| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О двойственности гротендиковского типа для пространств голоморфных функций нескольких переменных Ю. А. Хорьякова, А. А. Шлапунов Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 8, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9956e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеОдна из первых двойственностей в пространствах голоморфных функций была открыта в 1950-х гг. независимо А. Гротендиком (см. [1]), Г. Кёте (см. [2]) и Ж. Себастьяном-и-Сильвой (см. [3]), давших описание сильного сопряженного пространства $({\mathcal O} (D))^*$ к пространству голоморфных функций ${\mathcal O} (D)$ (снабженному стандартной топологией Фреше) в ограниченной односвязной области $D\subset{\mathbb C}$:
$$
\begin{equation}
({\mathcal O} (D))^* \cong{\mathcal O} (\widehat{\mathbb C} \setminus D),
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где ${\mathcal O} (\widehat{\mathbb C} \setminus D)$ есть пространство голоморфных функций в окрестностях замкнутого множества ${\mathbb C} \setminus D$ и равных нулю в бесконечности, снабженное стандартной топологией индуктивного предела. К сожалению, теорема Гартогса о стирании компактных особенностей и классическая теорема Лиувилля запрещают непосредственный аналог этой двойственности для голоморфных функций нескольких переменных (хотя некоторые обобщения в этом направлении известны для линейно выпуклых многомерных областей, см. [4], [5]). Другие двойственности были получены Л. А. Айзенбергом и С. Г. Гиндикиным в [6], Л. А. Айзенбергом и Б. С. Митягиным в [7] и Е. Л. Стаутом в [8]:
$$
\begin{equation}
({\mathcal O} (D) )^*\cong{\mathcal O} (\overline D)
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
для ограниченных областей $D \subset{\mathbb C}^n$ с вещественно аналитической границей (псевдовыпуклых при $n>1$); при этом в разных случаях были использованы различные отношения двойственности (именно, порожденные скалярными произведениями пространств Бергмана и Харди, соответственно, ср. также [9], [10] для других отношений двойственности). Много обобщений упомянутых выше двойственностей известно в теории когомологий Дольбо, см. [11]–[13] и в теории эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных, см. [9], [14]–[19]. Один из наиболее общих результатов, описывающих двойственность в пространствах решений эллиптических систем с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах, принадлежит А. Гротендику, см. [15; теоремы 3 и 4]; в некотором смысле это описание вполне аналогично (1.1). К сожалению, полное описание получается только для операторов, обладающих двусторонним регулярным фундаментальным решением, см. [15; теорема 4], что не применимо к таким переопределенным эллиптическим системам, как многомерный оператор Коши–Римана. Хотя [15; теорема 3] все еще применима к пространствам решений переопределенных эллиптических операторов, обладающих левым регулярным фундаментальным решением, она дает ответ в терминах пространств решений соответствующих формально сопряженных недоопределенных операторов. Пространства последнего типа слишком велики, чтобы обеспечивать топологический изоморфизм, т.е. теорема дает только наличие линейного сюръективного отображения, а для построения изоморфизма необходима дополнительная факторизация, существенно снижающая конструктивность всей схемы построения двойственности. Другая общая схема построения двойственности (как для определенных, так и для переопределенных) эллиптических систем была представлена в работе [19]. В ней была использована концепция гильбертовых пространств с воспроизводящими ядрами, а соответствующие отношения двойственности были тесно связаны со скалярными произведениями этих пространств Гильберта. Однако применение данной схемы зависит от очень тонкой информации о свойствах воспроизводящих ядер, которая не всегда есть под рукой. Для того чтобы сформулировать основной результат нашей работы, обозначим через $D$ ограниченную область в ${\mathbb R}^{2n}$, $n>1$, с липшицевой границей, а через ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb R}^{2n} \setminus D)$ – пространство гармонических комплекснозначных функций на замкнутом множестве ${\mathbb R}^{2n} \setminus D$, равных нулю в бесконечности, т.е. таких, что Мы снабдим данное пространство стандартной топологией индуктивного предела для гармонических функций на замкнутых множествах. Для описания нужного пространства нам потребуются касательные условия Коши–Римана на $\partial D$, см., например, [20]. Более точно, пусть теперь $\Sigma ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$ обозначает замкнутое подпространство пространства ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb R}^{2n} \setminus D)$, состоящее из функций $v\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb R}^{2n} \setminus D)$, удовлетворяющих касательным условиям Коши–Римана на $\partial D$. Альтернативные описания пространства $\Sigma ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$ приведены в следствии 1 ниже.Теорема 1. Пусть $n> 1$, и пусть $D$ – ограниченная липшицева область в ${\mathbb C}^n$ со связным дополнением такая, что пространство $H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D) $ голоморфных функций в $D$ из класса Соболева $H^1 (D)$ плотно в ${\mathcal O} (D) $. Тогда (топологически) Отношение двойственности для (1.4) будет описано в § 3, см. (3.1). Идея его построения навеяна работой Л. А. Айзенберга [13], в которой уточнялась двойственность Ж. Серра (см. [11]). Отметим также, что для ограниченных областей $D \Subset{\mathbb C}^n$ с вещественно аналитической границей таких, что пространство ${\mathcal O}(\overline D)$ плотно в ${\mathcal O}(D)$, теорему 1 можно извлечь из результатов [9], где изоморфизм (1.2) был построен для одного очень специального отношения двойственности. Конечно, так как $\mathcal O(\overline D) \subset H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$, то из известной теоремы Ока–Вейля следует, что аппроксимационное свойство, предположенное в теореме 1, выполнено для строго псевдовыпуклых областей в ${\mathbb C}^n$, $n>1$, см., например, [21; гл. 1, §§ F, G]. В § 4 мы покажем, что это аппроксимационное свойство является также и необходимым для того, чтобы представленная в теореме 1 двойственность была справедлива. Также заметим, что оригинальная двойственность (1.1) для голоморфных функций одной переменной не нуждается ни в каких ограничениях на гладкость кривой $\partial D$. Наконец, уместно отметить, что, по-видимому, теорема 1 может быть обобщена на широкий класс переопределенных эллиптических операторов, обладающих левыми регулярными фундаментальными решениями и порождающих нетривиальные касательные условия на гиперповерхностях. § 2. Предварительные сведенияПусть ${\mathbb R}^n$, $n\geqslant 2$, обозначает евклидово пространство с координатами $x=(x_1,x_2, \dots, x_n)$, и пусть ${\mathbb C}^n \cong{\mathbb R}^{2n}$ – $n$-мерное комплексное пространство с координатами $z=(z_1,z_2, \dots z_n)$, $z_j=x_j+\iota x_{n+j}$, где $\iota$ есть мнимая единица. Пусть также $D$ обозначает ограниченную область (открытое связное множество) в ${\mathbb C}^n$ с липшицевой границей $\partial D$. Мы рассматриваем комплекснозначные функции на подмножествах ${\mathbb C}^n$. Как обычно, для $s\in{\mathbb Z}_+$, мы используем обозначения $C^s (D)$ и $C^s (\overline D)$ для пространств $s$ раз непрерывно дифференцируемых функций на $D$ и $\overline D$ соответственно. Гильбертовы пространства Лебега и Соболева на $D$ будем обозначать как $L^2 (D)$ и $H^s (D)$ соответственно. Пусть также $H^{s} (\partial D)$, $0<s<1$, обозначают стандартные пространства Соболева–Слободецкого на $\partial D$. Для открытого множества $U$ в ${\mathbb R}^n$ обозначим через ${\mathcal H} (U)$ пространство гармонических функций на $U$ с топологией равномерной сходимости на компактах из $U$. Известно, что ${\mathcal H} (U)$ есть топологическое векторное пространство Фреше ($F$-пространство), см. [22; гл. II, § 4]. Более того, стандартные априорные оценки решений эллиптических уравнений, см., например, [23], означают, что ${\mathcal H} (U) \subset C^\infty (U)$ есть на самом деле замкнутое подпространство в пространстве $C (U)$, т.е. топология пространства может быть определена как системой полунорм $p_\nu (u)=\max_{x\in K_\nu} | u (x)|$, ассоциированной с любой возрастающей системой компактных множеств $\{K_{\nu} \} \subset U$ и удовлетворяющей $\bigcup_{\nu} K_\nu=U$, так и системой полунорм
$$
\begin{equation*}
p^{(\alpha)}_\nu (u)= \max_{z\in K_\nu}|\partial ^\alpha u (z)|, \qquad \alpha\in{\mathbb Z}^{n}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
где дополнительно предполагается, что каждое множество $K_\nu$ есть замыкание открытого подмножества из $U$. Так как любая голоморфная функция на открытом множестве $U\subset {\mathbb C}^n$ гармонична, то мы рассматриваем пространство ${\mathcal O} (U)$ голоморфных функций на $U$ как замкнутое подпространство в ${\mathcal H} (U)$. Далее, для замкнутого множества $\sigma \subset{\mathbb R}^n$ обозначим через ${\mathcal H} ( \sigma)$ множество функций, гармонических в различных окрестностях $\sigma$, зависящих от функции. На самом деле ${\mathcal H} (\sigma)$ можно рассматривать как пространство (классов эквивалентности) гармонических функций на $\sigma$; здесь две функции эквивалентны, если найдется окрестность множества $\sigma$, где они совпадают. Говорят, что последовательность $\{u_{\nu} \}$ сходится в ${\mathcal H} (\sigma)$, если найдется окрестность $\mathcal V$ для $\sigma$, в которой все эти функции определены и сходятся равномерно на компактах из $\mathcal V$. Альтернативно топологическое пространство ${\mathcal H} (\sigma)$ можно описать как индуктивный предел пространств ${\mathcal H} (U_{\nu})$, где $\{U_{\nu} \}$ есть какая-нибудь убывающая последовательность открытых множеств, содержащих $\sigma$ и таких, что каждая окрестность множества $\sigma$ содержит какое-нибудь $U_{\nu}$ и каждая связная компонента каждого $U_{\nu}$ пересекается с $\sigma$. Таким образом, отображение ${\mathcal H} (U_{\nu}) \to{\mathcal H} (\sigma)$ взаимно однозначно. Тогда ${\mathcal H} (\sigma)$ есть хаусдорфово пространство, обычно называемое $\mathrm{DF}$-пространством, см. [22; гл. II, § 6]. Для ограниченной области $D \subset{\mathbb R}^{2n}$ введем пространство ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb R}^{2n} \setminus D)$, $n>1$, как замкнутое подпространство в ${\mathcal H} ({\mathbb R}^{2n} \setminus D)$ с элементами, удовлетворяющими (1.3). Далее, напомним, что функция $w_0\in L^1 (\partial D)$ называется $\mathrm{CR}$-функцией на гиперповерхности $\partial D$, если она удовлетворяет касательным условиям Коши–Римана на $\partial D$, т.е. для всех $(n,n-2)$-дифференциальных форм $\psi$ с коэффициентами класса $C^1 (\overline D)$, см., например, [20], [24; гл. 2, § 6]; естественно, для достаточно гладких функций на гладкой поверхности $\mathrm{CR}$-условия можно проверять поточечно. Тогда пространство $\Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D) $, определенное выше как множество элементов $v\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb R}^{2n} \setminus D)$, удовлетворяющих касательным условиям Коши–Римана на $\partial D$, есть замкнутое подпространство в ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, поскольку любая последовательность, сходящаяся в ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, сходится равномерно и на компакте $\partial D \subset{\mathbb C}^n$.Дадим характеризацию пространства $\Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D) $ для липшицевых областей. Для этого обозначим через $\Delta_n $ обычный оператор Лапласа $\sum_{j=1}^n {\partial^2}/{\partial x _j^2} $ в ${\mathbb R}^n$. Хорошо известно, что оператор Лапласа имеет фундаментальное решение $\Phi_{n}$ сверточного типа:
$$
\begin{equation*}
\Phi_{n} (y-x)= \begin{cases} \dfrac{|y-x|^{2-n}}{(2-n)\sigma_n}, & n\geqslant 3, \\ \dfrac{\ln{|y-x|}}{2\pi}, & n=2, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_n$ есть площадь сферы в ${\mathbb R}^n$. Пусть $\overline \partial$ обозначает оператор Коши–Римана в ${\mathbb C}^n$, т.е. это $n$-столбец с компонентами
$$
\begin{equation*}
\overline \partial_j= \frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial}{\partial x_j}+\iota \,\frac{\partial}{\partial x_{j+n}} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, обозначим через
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak U}_n (z,\zeta)=\frac{(n-1)}{(2\pi \iota)^n} \sum_{j=1}^n \frac{(-1)^{j-1}(\overline \zeta_j - \overline z_j)} {|\zeta-z|^{2n}} \,d\overline \zeta[j] \wedge d\zeta, \qquad z,\zeta\in{\mathbb C}^n, \quad z\ne \zeta,
\end{equation*}
\notag
$$
ядро Бохнера–Мартинелли в ${\mathbb C}^n$, см., например, [24; § 1]. Как известно, ${\mathfrak U}_n$ можно представить как
$$
\begin{equation}
{\mathfrak U}_n (\zeta,z)=\sum_{j=1}^n (\overline \partial ^*_{j,\zeta} \Phi_{2n} (\zeta,z))(-1)^{j-1}\,d\overline \zeta [j] \wedge d\zeta,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $\zeta=(\zeta_1, \dots \zeta_n )$, $\zeta _j=y_j+\iota y_{j+n}$, а
$$
\begin{equation*}
\overline \partial_j ^*= \frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial}{\partial y_j} - \iota \frac{\partial}{\partial y_{j+n}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
суть компоненты формально сопряженного оператора $\overline \partial ^*=(\overline \partial_1 ^*, \dots, \overline \partial_n ^*)$ для оператора Коши–Римана $\overline \partial$, см. [24; § 1]. В частности, ядро Бохнера–Мартинелли гармонично по $z$, если $z \ne \zeta $ и $n>1$. Естественно, при $n=1$ ядро ${\mathfrak U}_n (\zeta,z)$ совпадает с ядром Коши
$$
\begin{equation*}
{\mathfrak K} (\zeta,z)= \frac{1}{2\pi \iota} \, \frac{1}{\zeta-z},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, в этом случае оно голоморфно по $z$, если $z \ne \zeta $. Если $D$ – ограниченная липшицева область, то для достаточно регулярной функции $u_0$, заданной на $\partial D$, обозначим через
$$
\begin{equation*}
M_{\partial D} u_0 (z)=\int_{\partial D}{\mathfrak U}_n (z,\zeta) \, u_0 (\zeta), \qquad z \notin \partial D,
\end{equation*}
\notag
$$
ее интеграл Бохнера–Мартинелли. Ясно, что $M_{\partial D}u_0 (z)$ определен для любой $u_0\in H^{1/2} (\partial D)$ как интеграл, зависящий от параметра $z \notin \partial D$. Обозначим через $M^-_{\partial D}u_0 $ его сужение на $D$, а через $M^+_{\partial D}u_0$ – его сужение на ${\mathbb C}^n \setminus \overline D$. На самом деле его можно рассматривать как аналог потенциала двойного слоя, а значит, он определяет непрерывный линейный оператор
$$
\begin{equation}
M_{\partial D}^-\colon H^{1/2} (\partial D) \to H^1 (D),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
см., например, [24; § 16], [25; § 2.3.2.5] для гладких областей или [26] для липшицевых областей. С другой стороны, для любой ограниченной липшицевой области $G \subset{\mathbb C}^n$, содержащей $\overline D$, формула (2.3) означает, что интеграл $M_{\partial D}$ определяет непрерывный линейный оператор
$$
\begin{equation*}
M^+_ {\partial D} \colon H^{1/2} (\partial D) \to H^1 (G \setminus \overline D)\cap {\mathcal H} (G \setminus \overline D) .
\end{equation*}
\notag
$$
Исходя из структуры ядра ${\mathfrak U}_n$, можно заключить, что
$$
\begin{equation}
|M^+_ {\partial D} u_0 (z)| \leqslant c (\partial D) \|u_0\|_{H^{1/2} (\partial D)} |z|^{1-2n},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
а значит, $M_{\partial D}$ индуцирует линейное непрерывное отображение
$$
\begin{equation}
M^+_ {\partial D} \colon H^{1/2} (\partial D) \to H^{1}_{\mathrm{loc}} ({\mathbb C}^n \setminus D)\cap{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D) ;
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
здесь пространство $H^{1}_{\mathrm{loc}} ({\mathbb C}^n \setminus D)$ состоит из функций, принадлежащих классам $H^{1} (G\setminus D)$ для любой ограниченной области $G$, содержащей $\overline D$, и снабжено топологией сходимости в каждом таком классе $H^{1} (G\setminus D)$. В следующем утверждении $\mathrm t^-$ и $\mathrm t^+$ обозначают непрерывные операторы следа
$$
\begin{equation*}
\mathrm t^-\colon H^1 (D) \to H^{1/2} (\partial D), \qquad \mathrm t^+\colon H^{1}_{\mathrm{loc}} ({\mathbb C}^n \setminus D) \to H^{1/2} (\partial D).
\end{equation*}
\notag
$$
Для областей с гладкими границами результат, сформулированный теореме 2, можно извлечь из [24; теорема 7.1 и следствие 15.5]. Теорема 2. Пусть $D\subset{\mathbb C}^n$ – ограниченная липшицева область со связным дополнением, а функция $w_0$ принадлежит $H^{1/2} (\partial D)$. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) $w_0$ есть $\mathrm{CR}$-функция на $\partial D$; (2) найдется функция $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$, удовлетворяющая $\mathrm t^-(w)= w_0 $ на $\partial D$; (3) $M^{+}_{\partial D} w_0 \equiv 0$ в ${\mathbb C}^n \setminus \overline D$. Доказательство. Основано на следующем утверждении, хорошо известном для $C^1 (\partial D)$-функций и $C^1$-гладких областей $D$, см. [24; следствие 15.5].
Лемма 1. Пусть $D\subset{\mathbb C}^n$ – липшицева область. Для заданной функции $w_0 \in H^{1/2} (\partial D) $ найдется функция $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$, удовлетворяющая $\mathrm t^-(w)=v$ на $\partial D$, тогда и только тогда, когда $M^{+}_{\partial D} w_0\equiv 0$. Доказательство. Поскольку операторы $M^{\pm}_{\partial D}$, заданные (2.3), (2.5), непрерывны, то по формуле Бохнера–Мартинелли для голоморфных Соболевских функций, см. [24; § 16], мы имеем для любой $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$. В частности, это значит, что для функции $w_0\in H^{1/2} (\partial D)$ мы имеем $M^{+}_{\partial D} w_0 \equiv 0$ в ${\mathbb C}^n \setminus \overline D$, если существует $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$, удовлетворяющая $\mathrm t^-(w)=w_0$ на $\partial D$.
Обратно, возьмем функцию $w_0\in H^{1/2} (\partial D)$, для которой $M^{+}_{\partial D} w_0 \equiv 0$ в ${\mathbb C}^n \setminus \overline D$. Обозначим через $\overline \partial_\nu$ так называемую комплексную нормальную производную относительно $\partial D$, см., например, [24; § 4]:
$$
\begin{equation*}
\overline \partial_\nu w=\ \sum_{j=1}^n (\nu _j - \iota \nu_{j+n}) \overline \partial _j w,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu (z)=(\nu_1 (\zeta), \dots, \nu_{2n} (\zeta))$ – единичная внешняя нормаль к $\partial D$ в точке $\zeta\in \partial D$. Тогда по формулам о скачках для интеграла Бохнера–Мартинелли получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M^-_{\partial D} w_0 - M^+_{\partial D}w_0=w_0 \quad\text{на }\ \partial D, \\ \overline \partial_\nu ( M^-_{\partial D} w_0 ) - \overline \partial_\nu(M^+_{\partial D} w_0)=0 \quad\text{на }\ \partial D, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
см. [24; следствие 4.9] для гладких областей и [26] для липшицевых областей. В частности, так как $M^{+}_{\partial D} w_0\equiv 0$ в ${\mathbb C}^n \setminus \overline D$, то
$$
\begin{equation*}
\mathrm t^- M^{-}_{\partial D} w_0=w_0 \quad\text{на }\ \partial D, \qquad \overline \partial_\nu ( M^-_{\partial D} w_0 ) ^-=0 \quad\text{на }\ \partial D.
\end{equation*}
\notag
$$
По построению интеграл $M^{-}_{\partial D}w_0$ гармоничен в $D$. Более того, из (2.3) следует, что $M^{-}_{\partial D} w_0\in H^1 (D)$, а поэтому функция $w=M^{-}_{\partial D}w_0$ есть $H^1(D)$-решение задачи Коши
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \Delta_{2n} w=0 &\text{в }\ D, \\ w=w_0 &\text{на }\ \partial D, \\ \overline \partial_\nu w=0 &\text{на }\ \partial D \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
с данными на всей границе области $D$. Так как $D$ – липшицева область, то найдется последовательность $\{w_k\}\subset C^1 (\overline D)$, аппроксимирующая $w$ в $H^1 (D)$. Из формулы Остроградского–Гаусса получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{j=1}^n \|\overline \partial_j w \|^2 _{L^2 (D)} &=\lim_{k \to+\infty} \sum_{j=1}^n (\overline \partial_j w,\overline \partial_j w_k ) _{L^2 (D)} \\ &= \lim_{k \to+\infty} \int_{\partial D} \overline w_k \overline \partial_\nu w \,ds(y)=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $\overline \partial_\nu w=0$ на $\partial D$. Следовательно, $ \overline \partial w=0$ слабо в $D$, а значит, согласно [27; § 24.7] функция $w$ голоморфна в $D$, т.е. $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$ удовлетворяет $\mathrm t^- w=w_0$ на $\partial D$, что и требовалось доказать.
Лемма доказана. Из леммы 1 сразу следует, что условия (2) и (3) теоремы 2 эквивалентны. Теперь, пользуясь формулой Стокса, мы замечаем, что из (2) следует (1):
$$
\begin{equation*}
\int_{\partial D} w_0 \, \overline \partial \psi =\int_{\partial D} \mathrm t^-w \, \overline \partial \psi =\int_{D} \bigl( \overline \partial w \wedge \overline \partial \psi +w\,\overline\partial (\overline \partial \psi) \bigr) =0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $(n,n-2)$-дифференциальных форм $\psi$ с коэффициентами класса $C^1 (\overline D)$. Наконец, пусть $w_0\in H^{1/2} (\partial D)$ – $\mathrm{CR}$-функция на $\partial D$. Поскольку $D$ ограничена, то найдется шар $B(0,R)$, содержащий $\overline D$. Тогда для $z \notin \overline B(0,R)$ ядро Бохнера–Мартинелли удовлетворяет
$$
\begin{equation*}
\overline \partial _\zeta{\mathfrak U} (\zeta, z)=0 \quad\text{в }\ \overline B(0,R).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как комплекс Дольбо точен на гладких формах в выпуклых областях, то для любой $z \notin \overline B(0,R)$ найдется $(n,n-2)$-форма $\psi_z (\zeta)$ с гладкими коэффициентами в $\overline B(0,R)$, удовлетворяющая
$$
\begin{equation*}
\overline \partial _\zeta \psi_z (\zeta)={\mathfrak U} (\zeta, z) \quad\text{в }\ B(0,R),
\end{equation*}
\notag
$$
см. [28]. Значит, согласно (2.1)
$$
\begin{equation*}
(M_{\partial D} w_0)(z)=\int_{\partial D}w_0 (\zeta)\,\overline \partial _\zeta \psi_z (\zeta)=0 \quad\text{для всех }\ z \notin \overline B(0,R).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, так как $(M_{\partial D} w_0)(z)$ гармоничен вне $\overline D$, то теорема единственности для гармонических функций означает, что $M^{+}_{\partial D} w_0 \equiv 0$ в ${\mathbb C}^n \setminus \overline D$ в силу связности последнего множества. Таким образом, (1) эквивалентно (2) и (3) (ср. также [24; теорема 7.1] для областей с гладкой границей), что и требовалось доказать. Теорема 2 доказана. Следствие 1. Пусть $D\subset{\mathbb C}^n$ – ограниченная липшицева область со связным дополнением, а функция $v$ принадлежит ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus D) $. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) элемент $v$ принадлежит пространству $\Sigma (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus D) $; (2) существует функция $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$, удовлетворяющая $\mathrm t^-(w)= \mathrm t^+(v) $ на $\partial D$; (3) $M^{+}_{\partial D} \mathrm t^+v \equiv 0$ в ${\mathbb C}^n \setminus \overline D$. Далее, обозначим через $({\mathcal O} (D))^*$ двойственное пространство к ${\mathcal O} (D)$, т.е. пространство всех непрерывных линейных функционалов на ${\mathcal O} (D)$. Как обычно, снабдим $({\mathcal O} (D))^*$ сильной топологией, т.е. топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах ${\mathcal O} (D)$, см. [22; гл. IV, § 6]. Тогда при $n=1$ классические результаты (см. [1]–[3]) утверждают, что для односвязной ограниченной области $D$ справедлив изоморфизм (1.1), порожденный отношением двойственности
$$
\begin{equation}
\langle \cdot, \cdot \rangle_{1}\colon {\mathcal O} (D) \times{\mathcal O} ( \widehat{\mathbb C}\setminus D) \to{\mathbb R},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
с помощью криволинейного интеграла
$$
\begin{equation}
\langle u, h \rangle _{1}=\int_{\partial G} h (z) u(z)\,dz
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
для $ u\in{\mathcal O} (D)$ и $h\in{\mathcal O}(\widehat{\mathbb C} \setminus D)$, где $G\Subset D$, а кусочно гладкая кривая $\partial G$ лежит в пересечении областей определения функций $u$ и $h$ (естественно, это спаривание не зависит от $G$ с описанными выше свойствами). Чтобы задействовать общую теорию уравнений в частных производных, обозначим через $S_{\overline \partial ^*} (U)$ пространство гладких решений уравнения $\overline \partial ^* g=0 $ на открытом множестве $U \subset{\mathbb C}^n$; эти решения суть $n$-столбцы $g=(g_1, \dots, g_n)^\top$ функций $g_j\in C^\infty (U)$, удовлетворяющих
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^n \overline \partial_j^* g_j=0 \quad\text{в }\ U.
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=1$ пространство $S_{\overline \partial ^*} (U)$ есть в точности пространство антиголоморфных функций, а свойства пространства $S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C} \setminus D)$ вполне аналогичны свойствам пространства ${\mathcal O}(\widehat{\mathbb C} \setminus D)$. Ясно, что в этом случае комплексное сопряжение индуцирует сопряженно линейный изоморфизм
$$
\begin{equation*}
{\mathcal O} (\widehat{\mathbb C} \setminus D) \ni h \to \overline h=g\in S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C} \setminus D).
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, при $n=1$ отношение двойственности
$$
\begin{equation}
\langle u, g \rangle _{Gr}=\int_{\partial G} \overline{g} (z)u(z) \, dz,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
определенное для $ u\in{\mathcal O} (D)$ и $g\in S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C} \setminus D)$, порождает топологический (сопряженно линейный) изоморфизм, см. [15],
$$
\begin{equation}
({\mathcal O} (D))^* \cong S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C} \setminus D).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
А. Гротендик доказал, что для любого эллиптического оператора $A$ на гладком многообразии $X$, имеющего регулярное двустороннее фундаментальное решение, имеет место быть топологический изоморфизм где $\widehat X$ означает, что рассматриваются только решения, регулярные “в бесконечности” относительно выбранного фундаментального решения, см. [15; теорема 4]. К сожалению, при $n>1$ оператор Коши–Римана $\overline \partial $ не имеет двустороннего фундаментального решения в силу теоремы Гартогса о стирании компактных особенностей голоморфных функций, а поэтому [15; теорема 4] в этом случае не применима. Тем не менее оператор $\overline \partial $ имеет левое регулярное фундаментальное решение, например, представленное ядром Бохнера–Мартинелли ${\mathfrak U}_n (\zeta,z)$, $n>1$. Тогда [15; теорема 3] означает, что гротендиковское отношение двойственности
$$
\begin{equation}
\langle u, g \rangle _{Gr}=\int_{\partial G}\sum_{j=1}^n \overline g_j (z)u(z)(-1)^{j-1}\, d\overline z[j] \wedge dz,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
определенное для $ u\in{\mathcal O} (D)$ и $g\in S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, где $G\Subset D$, а кусочно гладкая гиперповерхность $\partial G$ лежит в пересечении областей определения функций $u$ и $g$, индуцирует непрерывное сюръективное сопряженно линейное отображение
$$
\begin{equation}
S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D) \to ({\mathcal O} (D))^*
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
(снова спаривание не зависит от $G$ с описанными выше свойствами). Однако оператор $\overline \partial ^*$ не эллиптичен при $n>1$, а значит, пространство $S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D) $ слишком велико чтобы (2.13) было биективным, см. пример ниже. Пример 1. Пусть $n\geqslant 1$, и пусть $D=B (0,1)$ обозначает единичный шар с центром в начале координат. Чтобы убедиться, что отображение (2.13) не инъективно при $n>1$, задействуем сферические однородные многочлены. Именно, пусть $\{h^{(j)}_{r} \}$, $r\geqslant 0$, – какой-нибудь ортонормированный базис в пространстве Лебега $L^2 (\partial B (0,1))$ на сфере $\partial B (0,1)$ в ${\mathbb R}^{2n}$, $n\geqslant 1$, состоящий из сферических гармоник степени $r$, см., например, [29; гл. XI], где $j$ – номер полинома степени $r$ в базисе, $1\leqslant j\leqslant J(r,2n)$, $J_{0,2}=1$, $J_{r,2}=2$, $r\in \mathbb N$, а
$$
\begin{equation*}
J_{r,2n}=\frac{(2n+2r-2)(r+2n-3)!}{r!\, (2n-2)!}, \qquad n>1.
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждого $r$ гармоническое продолжение $h_r$ в $D$ дает однородный гармонический многочлен, который мы снова обозначим через $h_r$. Гармоническое продолжение полинома $h_r$ в ${\mathbb R}^{2n} \setminus \overline D$, с нулем в бесконечности при $n>1$ и ограниченное в бесконечности при $n=1$, задается формулой Если $n\geqslant 1$, то любая векторная функция вида
$$
\begin{equation*}
\overline \partial \biggl(\frac{h_r (x)}{|x|^{2n+2r-2}}\biggr), \qquad r\in{\mathbb Z}_+,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяет
$$
\begin{equation}
\overline \partial ^* \biggl(\overline \partial \biggl(\frac{h_r (x)}{|x|^{2n+2r-2}}\biggr)\biggr)=0 \quad\text{в }\ {\mathbb C}^{n}\setminus \{0\},
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
а следовательно, $\overline \partial ({h_r (x)}/{|x|^{2n+2r-2}})$ принадлежит пространству $S_{\overline \partial ^*} (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus D)$ для любого $r\in{\mathbb Z}_+$. Используя комплексную структуру, можно записать однородный гармонический многочлен $h_r$ как
$$
\begin{equation*}
h_{p,q} (z,\overline z)=\sum_{|p+q|=r} a_{p,q} z^p \overline z^q,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, p=(p_1, \dots p_n), \qquad q=(p_1, \dots q_n)\in{\mathbb Z}^{n}_+, \\ z^p=z_1^{p_1} \dotsb z_n^{p_n}, \qquad \overline z^p= \overline z_1^{q_1} \dotsb \overline z_n^{q_n}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а $a_{p,q}$ – суть подходящие комплексные коэффициенты, обеспечивающие гармоничность, см. [24; гл. 1, § 5]. Тогда из (2.15) следует, что пространство $S_{\overline \partial^*} (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus B(0,1))$ содержит сходящиеся в окрестностях ${\mathbb C}^n \setminus B(0,1)$ ряды типа
$$
\begin{equation}
\sum_{r=0}^\infty \sum_{|p+q|=r} a^{(j)}_{p,q} \sum_{j=1}^{J(r)} \overline \partial \biggl(\frac{z^p \overline z^q}{|z|^{2n+2r-2}}\biggr)
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
с подходящими комплексными коэффициентами $a^{(j)}_{p,q}$ и, более того, оно содержит ненулевые элементы $g$, аннигилирующие спаривание (2.12) для любой функции $u\in{\mathcal O}(B(0,1))$ при $n>1$. В самом деле, рассмотрим вектор
$$
\begin{equation*}
g^{(p,q)}=\overline \partial \biggl(\frac{2\overline z^q z^p}{|z|^{2n+2|q|-2}}\biggr)\in S_{\overline \partial^*} (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus D).
\end{equation*}
\notag
$$
При $n=1$ получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{2\overline z^q z^p}{|z|^{2n+2|q|-2}}= \frac{2\overline z^q z^p}{|z|^{2|q|}}=\frac{2 z^p}{z^q},
\end{equation*}
\notag
$$
а значит, $g^{(p,q)}\equiv 0$ в ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ в этом частном случае. Продолжим рассуждения для $n>1$. Как известно, для любой гладкой области ${\mathcal D} \subset{\mathbb R}^n$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
(-1)^{j-1} dx[j]=\nu_j (x) ds (x) \quad\text{на }\ \partial{\mathcal D},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\nu (x)=(\nu _1(x), \dots \nu _n(x))$ – внешняя единичная нормаль к $\partial{\mathcal D}$ в точке $x$, а $ds $ – форма объема на $\partial D$. Ясно, что для любой сферы $S_R$ с центром в нуле и радиуса $R$ имеем $ \nu(x)=x/R$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
(-1)^{j-1} d\overline z[j] \wedge dz=2^{n-1}\iota^n \frac{z_j}{2R} \, ds (z,\overline z)
\end{equation*}
\notag
$$
на $S$, см. [24; лемма 3.5]. Теперь по формуле Эйлера для положительно однородных функций получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sum_{j=1}^n \overline g^{(p,q)}_j (z) \, (-1)^{j-1}\, d\overline z[j] \wedge dz &= 2^{n-1}\iota^n \sum_{j=1}^n \frac{z_j}{R} \overline{\overline \partial _j \biggl( \frac{\overline z^q z^p}{|z|^{2n+2|q|+2|p|-2}}\biggr)}\,ds \\ \notag &=\frac{2^{n-1}\iota^n}{R} \overline{\sum_{j=1}^n \overline z_j \overline \partial _j \biggl(\frac{\overline z^q z^p}{|z|^{2n+2|q|+2|p|-2}}\biggr)} \, ds \\ &=2^{n-1}\iota^n (1-|p|-n) \frac{z^{q} \overline z^p ds}{R^{2n+2|q|+2|p|-1}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
на сфере $S_R$. Наконец, поскольку гротендиковское отношение двойственности $\langle \cdot,\cdot \rangle_{Gr} $ не зависит от выбора области $G$, то можно взять шар $G=B(0,R)$ с подходящим радиусом $R$. Тогда $S_R \subset B(0,1)$, а формула (2.17) влечет, что для всех $q\in{\mathbb Z}_+$ с $|q|\geqslant 1$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\langle z^s,g^{(0,q)}\rangle_{Gr}=2^{n-1}\iota^n (1-n)\int_{S_R} \frac{z^{q+s}\,ds}{R^{2n+2|q|-1}}=0 \quad\text{для всех }\ s\in{\mathbb Z}^n_+
\end{equation*}
\notag
$$
в силу интегральной теоремы Коши для голоморфных функций. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\langle u, g^{(0,q)} \rangle_{Gr}=0 \quad\text{для всех }\ u\in{\mathcal O}(B(0,1)),
\end{equation*}
\notag
$$
для бесконечного числа $g^{(0,q)}$ при $|q|\geqslant 1$, что и требовалось. В конце примера отметим, что согласно формуле (2.14) и следствию 1 пространство $\Sigma (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus B(0,1))$ совпадает со множеством всех сходящихся в окрестностях ${\mathbb C}^n \setminus B(0,1)$ рядов вида
$$
\begin{equation*}
\sum_{|p|\geqslant 0} \frac{a^{(j)}_{p} z^p}{|z|^{2n+2|p|-2}}
\end{equation*}
\notag
$$
с подходящими коэффициентами $a^{(j)}_{p}$. Конечно, вектор
$$
\begin{equation*}
g^{(p)}(z)=\overline \partial \biggl(\frac{z^p}{|z|^{2n+2|p|-2}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
лежит в пространстве $S_{\overline \partial^*} (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus D)$. Однако по формуле (2.17)
$$
\begin{equation*}
\langle z^p, g ^{(p)}\rangle_{Gr}= 2^{n-1}\iota^n(1-|p|-n)\int_{S_R} \frac{|z|^{2p_1} \dotsb |z|^{2p_n}\,ds}{R^{2n+2|p|-1}} \ne 0 \quad\text{для всех }\ p\in{\mathbb Z}^n_+,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $g^{(p)}$ не зануляет пространство ${\mathcal O} (B(0,1))$ в спаривании (2.12). § 3. Доказательство теоремы 1Доказательство идет по достаточно близкой к классической схеме, опробованной на (1.1) и (2.11). 3.1. Отношение двойственностиСначала напомним, что элементы пространства ${\mathcal H} (U)$ бесконечно дифференцируемы на открытом множестве $U\,{\subset}\,\mathbb R^n$. В частности, для любого замкнутого множества $\sigma \subset{\mathbb C}^n$ каждый элемент пространства ${\mathcal H} (\sigma)$ бесконечное число раз непрерывно дифференцируем на некотором открытом множестве $U \Supset \sigma$. Зафиксируем $u\in{\mathcal O} (D) $ и $v\in \Sigma ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$. Согласно изложенному выше найдется (неограниченная) область $U_v$, содержащая ${\mathbb C}^n \setminus D$ и такая, что $v\in{\mathcal H} (U_v) $. Поэтому $V_v=U_v\cap D$ есть открытое множество в ${\mathbb C}^n$. Более того, так как дополнение области $D$ связно, то найдется замкнутая гиперповерхность $\Gamma \subset V_v$, являющаяся границей некоторой области $G\Subset D$. Теперь мы можем определить отношение двойственности $\langle \cdot, \cdot \rangle $ между пространствами ${\mathcal O}(D)$ и $\Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$:
$$
\begin{equation}
\langle u, v \rangle=\int_{\Gamma} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j v_j) (z)}u(z) \, d\overline z[j] \wedge dz
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для $ u\in{\mathcal O} (D)$ и $v\in \Sigma ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$. Отметим, что вектор $w=\overline \partial v$ принадлежит $S_{ \overline \partial ^*}( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, если $v\in \Sigma ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, т.е. (3.1) очень тесно связано с гротендиковским отношением двойственности (2.12). Конечно, тот факт, что под интегралом (3.1) стоит $(n,n-1)$-форма, роднит это спаривание с тем, которое было построено в работе Ж. Серра [11]. Далее, по формуле Стокса для любых двух гиперповерхностей $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ с требуемыми свойствами мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\Gamma_1} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j v_j) (z)}u(z) \, d\overline z[j] \wedge dz \\ &\qquad\qquad - \int_{\Gamma_2} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j v_j) (z)}u(z) \, d\overline z[j] \wedge dz \\ &\qquad =\int_{\Omega} \biggl(\sum_{j=1}^n\overline{(\overline \partial_j v)} \overline \partial_j u - \frac{1}{4} \Delta_{2n} u\biggr)\,d\overline z\wedge dz=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $ u\in{\mathcal O}(D)$ и $v\in\Sigma (\widehat{\mathbb C} ^n\setminus D)$, где $\Omega \subset D$ – открытое множество, ограниченное поверхностями $\Gamma_1$, $\Gamma_2$. Итак, спаривание (3.1) не зависит от выбора $\Gamma \subset V_v$ с заявленными выше свойствами. Очевидно, что
$$
\begin{equation}
|\langle u, v \rangle| \leqslant C_{\Gamma} \max_{z\in \Gamma} |\nabla v (z)| \max_{x\in \Gamma} |u (z)|
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
с некоторой постоянной $C_{\Gamma}$, не зависящей от $ u\in{\mathcal O}(D)$ и $v\in \Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$. Поэтому, принимая во внимание топологию рассматриваемых пространств, заключаем, что (3.1) индуцирует полуторалинейное раздельно непрерывное отображение
$$
\begin{equation}
\langle \cdot, \cdot \rangle\colon {\mathcal O}(D) \times \Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D) \to \mathbb C.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В частности, для любой фиксированной функции $v\in \Sigma ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$ функционал
$$
\begin{equation}
f_v (u)=\langle u, v \rangle, \qquad u\in{\mathcal O}(D),
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
ограничен и линеен, т.е. $f_v\in ({\mathcal O}(D))^*$. Более того, согласно (3.2) отображение
$$
\begin{equation}
\Sigma ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D) \ni v \to f_v\in ({\mathcal O}(D))^*
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
сопряженно линейно и непрерывно. 3.2. Инъективность отображенияПокажем, что отображение (3.5) инъективно. Пусть
$$
\begin{equation*}
\langle u, v \rangle=0 \quad\text{для всех }\ u\in{\mathcal O}(D).
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно следствию 1 найдется функция $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$, для которой $\mathrm t^-(w)=v$ на $\partial D$. В частности, С другой стороны, так как $w\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$, то по формуле Стокса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &=\langle w, v \rangle=\int_{\Gamma} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j v_j) (z)}w(z)\,d\overline z[j] \wedge dz \\ \notag &=\int_{\partial D}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j v_j) (z)}v(z) \, d\overline z[j] \wedge dz \\ &=\lim_{R\to+\infty}\biggl(\int_{B (0,R) \setminus \overline D} |\overline \partial v (z)|^2\,dx -\int_{|z|=R}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j v_j) (z)}v(z) \, d\overline z[j] \wedge dz \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Поскольку $v $ гармонична в ${\mathbb R}^{2n} \setminus D$ и исчезает в бесконечности, то
$$
\begin{equation*}
|\partial^\alpha v(z)| \leqslant c_1 |z|^{2-2n-|\alpha|} \quad\text{при }\ n\geqslant 2, \quad \alpha\in{\mathbb Z}^{2n}_{+},
\end{equation*}
\notag
$$
см., например, [27; § 24.10, формулы (33)–(35)]. Поэтому
$$
\begin{equation}
\lim_{R\to+\infty}\biggl(\int_{|z|=R}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j v_j) (z)}v(z)\,d\overline z[j] \wedge dz\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Теперь из (3.6), (3.7) следует, что
$$
\begin{equation*}
0=\langle w, v \rangle=\sum_{j=1}^n \|\overline \partial_j v\|^2_{L^2({\mathbb C}^n \setminus \overline D)},
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $v\in{\mathcal O} ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D) $. Более того, функция $v$ принадлежит ${\mathcal O} ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus D) $, так как гармонична в некоторой окрестности $\widehat{\mathbb C}^n \setminus D$. При $n>1$ теорема Гартогса немедленно влечет, что функция $v$ голоморфно продолжается на ${\mathbb C}^n$. В частности, так как $v\in{\mathcal O}({\mathbb C}^n)$ равна нулю в бесконечности, то она тождественно равна нулю по теореме Лиувилля, т.е. отображение (3.5) сопряженно линейно и инъективно. 3.3. Сюръективность отображенияПокажем, что отображение (3.5) сюръективно. В самом деле, зафиксируем какой-нибудь элемент $f\in ({\mathcal O} (D))^*$. Так как ${\mathcal O} (D)$ есть замкнутое подпространство в $C(D)$, то по теореме Хана–Банаха найдется функционал $F\in (C(D))^*$, совпадающий с $f$ на ${\mathcal O}(D)$. По классической двойственности Рисса для пространства $C(D)$ существует мера Радона $\mu$ с компактным носителем в $D$ такая, что
$$
\begin{equation}
f(u)=\int_{K} u (z)\,d\mu (z) \quad\text{для всех }\ u\in{\mathcal O} (D),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где компакт $K\Subset D$ содержит носитель $\operatorname{supp} (\mu)$ меры $\mu$, см., например, [30; § 4.10]. Поскольку $K\Subset D$, то найдется область $G$ с гладкой границей такая, что $K\Subset G\Subset D$. В частности, по формуле Бохнера–Мартинелли (2.6)
$$
\begin{equation}
(M_{\partial G} u) (z) =\begin{cases} u(z), & z\in G, \\ 0, & z \notin \overline G, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
для любой функции $u\in{\mathcal O} (D)$. Из формул (2.2), (3.8), (3.9) и теоремы Фубини следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f(u) &=\int_{K}\biggl(\int_{\partial G}{\mathfrak U}_n (\zeta,z) u(\zeta)\biggr)\,d\mu (z) \\ &=\begin{cases} \displaystyle \int_{\partial G} h (\zeta)u(\zeta) \, d\zeta, & n=1, \\ \displaystyle \int_{\partial G} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j \widehat v) (\zeta)}u(\zeta) \, d\overline \zeta[j] \wedge d\zeta, & n>1, \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
для всех $u\in{\mathcal O} (D)$, где
$$
\begin{equation*}
h (\zeta)=\frac{1}{2\pi \iota}\int_{K} \frac{d \mu (z)}{\zeta- z}, \qquad \widehat v(\zeta)=\int_{K} \Phi_{2n} (\zeta,z)\,d\overline \mu (z).
\end{equation*}
\notag
$$
Если $n=1$, то функция $h$ голоморфна в ${\mathbb C} \setminus K$ и равна нулю в бесконечности в силу свойств ядра Коши, т.е. $h\in{\mathcal O} (\widehat{\mathbb C} \setminus D)$, поскольку $K\Subset D$. Это дает классическую двойственность (1.1), см. [1]–[3], относительно спаривания (2.8). Делая замену $g=\overline h$, получаем классическую двойственность Гротендика (2.12), см. [15], относительно спаривания (2.9). При $n>1$, так как ядро $\Phi_{2n} (\zeta,z)$ представляет двустороннее фундаментальное решение оператора Лапласа, мы заключаем, что функция $\widehat v $ гармонична в ${\mathbb C}^n \setminus K$ и равна нулю в бесконечности. В частности, $\widehat v\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, так как $K\Subset D$. Однако мы не можем гарантировать, что $\widehat v\in \Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$. Чтобы разрешить эту трудность, зафиксируем $u\in{\mathcal O}(D)$ и последовательность $\{u_\nu \} \subset{\mathcal O} (D)\cap H^1 (D)$, аппроксимирующую $u$ в $C (D)$ (существующую по условию теоремы). Тогда, согласно (3.10) и формуле Стокса получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag f(u) &=\lim_{\nu \to\infty} f(u_\nu) \\ \notag &=\lim_{\nu \to\infty}\int_{\partial G}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j \widehat v) (\zeta)}u_\nu(\zeta) \, d\overline \zeta[j]\wedge d\zeta \\ &=\lim_{\nu \to\infty}\int_{\partial D} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j \widehat v) (\zeta)}u_\nu(\zeta) \, d\overline \zeta[j]\wedge d\zeta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
С другой стороны, напомним один результат из [31]. Для функции $w_0\in H^{1/2} (\partial D)$ обозначим через ${\mathcal P}_{D} (w_0)$ единственное решение $w\in H^1 (D)$ (внутренней для $D$) задачи Дирихле для оператора Лапласа:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Delta_{2n}{\mathcal P}_{D} (w_0)=0 & \text{в }\ D, \\ {\mathcal P}_{D} (w_0)=w_0 & \text{на }\ \partial D \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
(фактически, ${\mathcal P}_{D} (w_0)$ есть интеграл Пуассона функции $w_0$ для области $D$). Аналогично, обозначим через $\widetilde{\mathcal P}_{D} (w_0) $ единственное решение (внешней) задачи Дирихле для оператора Лапласа:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \Delta_{2n} \widetilde{\mathcal P}_{D} (w_0)=0 & \text{в }\ {\mathbb C}^n \setminus \overline D, \\ \widetilde{\mathcal P}_{D} (w_0)=w_0 & \text{на }\ \partial D,\ \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
удовлетворяющее (1.3) и такое, что $\overline \partial \widetilde{\mathcal P}_{D} (w_0)\in L^2 ({\mathbb C}^n \setminus \overline D)$. Лемма 2. Эрмитова форма Доказательство см. [31] (или [32] для более подробного обсуждения). Теперь из формулы Стокса вытекает, что
$$
\begin{equation*}
-\int_{\partial D} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j \widehat v) (\zeta)}h(\zeta) \, d\overline \zeta[j] \wedge d\zeta=h_D (h,{\mathcal P}_D \widehat v)
\end{equation*}
\notag
$$
для каждой $h\in H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$. В частности, (3.11) означает, что
$$
\begin{equation}
f(u)=- \lim_{\nu \to\infty} h_{D} (u_\nu,{\mathcal P}_D \widehat v)=- \lim_{\nu \to\infty} h_{D} (u_\nu, \Pi_D{\mathcal P}_D \widehat v),
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где $\Pi_D\colon H^1 (D) \to H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$ – ортогональный проектор относительно эрмитовой формы $ h_{D} (\cdot, \cdot)$. Покажем, что функция $\widetilde{\mathcal P}_{D}( \Pi_D{\mathcal P}_D w)$ принадлежит пространству ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, если $w\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$. С этой целью зафиксируем $w\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$. По определению найдется область $G\Subset D$ с липшицевой границей такая, что $w\in{\mathcal H}(\widehat{\mathbb C}^n \setminus G)$. Так как отношение двойственности не зависит от $G$, то мы выберем ее так, чтобы множество $D\setminus G$ не имело компактных компонент в $D$ (это возможно, так как ${\mathbb C}^n \setminus D$ связно). Снабдим пространства $H^1 (D) $, $H^1 (G) $ скалярными произведениями $h_{D} (\cdot, \cdot)$, $h_{G} (\cdot, \cdot)$ соответственно. Теперь заметим, что внешняя задача Дирихле корректна по Адамару, а значит, эрмитова форма
$$
\begin{equation*}
\widetilde h_{D} (W, \widetilde W)=\sum_{j=1}^n \int_{D} \overline{(\overline \partial_j{\mathcal P}_D W)} \overline \partial_j{\mathcal P}_D (\widetilde W) \,dx+ \sum_{j=1}^n\int_{{\mathbb C}^n \setminus \overline D} \overline{( \overline \partial_j W)} \overline \partial_j \widetilde W \,dx
\end{equation*}
\notag
$$
определяет скалярное произведение на пространстве $\widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline D)\cap{\mathcal H}(\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D)$, состоящем из элементов пространства ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D)\cap H^1_{\mathrm{loc}} ({\mathbb C}^n \setminus D)$ таких, что $\overline \partial_j W\in L^2 ({\mathbb C}^n \setminus \overline D)$ для всех $1\leqslant j \leqslant n$. Более того, по построению
$$
\begin{equation}
h_{D} ({\mathcal P}_D W, h)= \widetilde h_{{\mathbb C}^n \setminus \overline D} (W, \widetilde{\mathcal P}_{D} h )
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
для всех $h\in H^1 (D)\cap{\mathcal H} (D) $ и $W\in \widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline D)\cap{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D)$. Другими словами, отображение $\widetilde{\mathcal P}_{D}$ задает изоморфизм между пространствами Гильберта $H^1 (D)\cap{\mathcal H} (D)$ и $\widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline D)\cap{\mathcal H} ( \widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D )$, и аналогично
$$
\begin{equation}
h_{G} ({\mathcal P}_G W, h)=\widetilde h_{G} (W, \widetilde{\mathcal P}_{G} h )
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
для всех $h\in H^1 (G)\cap{\mathcal H} (G)$ и $W\in \widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline G)\cap{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline G)$. Обозначим теперь через $Y^1(G)$ замыкание пространства $H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D)$ в $H^1 (G)\cap{\mathcal O} (G)$. По теореме Стилтьеса–Витали вложение $R\colon H^1 (D)\cap{\mathcal H} (D) \to H^1 (G)\cap{\mathcal H} (G)$ компактно. Тогда по теореме Гильберта–Шмидта о спектре компактного самосопряженного оператора существует ортонормированный (относительно $h_{D} (\cdot, \cdot)$) базис $\{b_m\}_{m\in \mathbb N}$ в $H^1 (D)\cap{\mathcal H} (D)$, формирующий ортогональную (относительно $h_{G} (\cdot, \cdot)$) систему в $H^1 (G)\cap{\mathcal H} (G)$, удовлетворяющий Более того, так как множество $D\setminus G$ не имеет компактных компонент в $D$, то по теореме Мергеляна пространство $H^1 (D)\cap{\mathcal H}(D) $ всюду плотно в $H^1 (G)\cap{\mathcal H}(G) $, т.е. система $\{R b_m \}_{m\in \mathbb N}$ есть ортогональный базис в $H^1 (G)\cap{\mathcal H}(G) $, см. [33]. В частности, собственные значения $\lambda_m \ne 0$ соответствуют подпространству $H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D)$, система $\{b_m \}_{\lambda_m\ne 0}$ есть ортонормированный базис в $H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D) $, а система $\{R b_m \}_{\lambda_m\ne 0}$ есть ортогональный базис в $H^1 (G)\cap{\mathcal H}(G) $ $Y^1 (G)$. Тогда проектор $\Pi_D$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\Pi_D h=\sum_{\lambda_m\ne 0} h_{D} (h, b_m) b_m \quad\text{для всех }\ h\in H^1 (D)\cap {\mathcal H}(D).
\end{equation*}
\notag
$$
Однако по (3.15) мы можем на самом деле рассматривать оператор $\Pi_D{\mathcal P}_D$ как ортогональный проектор из $\widetilde H^1 ({\mathbb R}^n \setminus \overline D)\cap{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D)$ на замкнутое подпространство функций $W$ таких, что $\overline \partial P_D W=0$ в $D$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal P}_{D}\Pi_D h=\sum_{\lambda_m\ne 0} h_{D} (h, b_m) \widetilde{\mathcal P}_{D} b_m \quad\text{для всех }\ h\in H^1 (D)\cap {\mathcal H}(D).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначив через $\widetilde R$ оператор непрерывного вложения $\widetilde R\colon {\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline G)\cap \widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline G) \to{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline D)\cap \widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline D)$, заключаем, что для любой функции $w\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, w=\sum_{m=1}^\infty h_{G} ({\mathcal P}_{G} w, R b_m) \frac{\widetilde{\mathcal P}_{G} Rb_m} {h_G (Rb_m, Rb_m)}, \\ \widetilde R w=\sum_{m=1}^\infty h_{D} ({\mathcal P}_{D} w, b_m) \widetilde{\mathcal P}_{D} b_m, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal P}_{D} \Pi_D{\mathcal P}_D\widetilde R w=\sum_{\lambda_m\ne 0} h_{D} ({\mathcal P}_{D} \widetilde R w, b_m) \widetilde{\mathcal P}_{D} b_m.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Конечно, по теореме единственности для гармонических функций $w$ есть единственное гармоническое продолжение функции $\widetilde Rw$ из ${\mathbb C}^n \setminus D$ в ${\mathbb C}^n \setminus G$. Кроме того, если $\lambda_m \ne 0$, то
$$
\begin{equation*}
h_G (Rb_m, Rb_m)=h_D (\Pi_DR^*R\Pi_D b_m, b_m)=\lambda_m,
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $h_D (b_m, b_m)=1$, а тогда ряд
$$
\begin{equation}
\sum_{\lambda_m\ne 0} h_{G} ({\mathcal P}_{G} w, R b_m) \frac{\widetilde{\mathcal P}_{G} Rb_m} {h_G (Rb_m, Rb_m)}=\sum_{\lambda_m\ne 0} h_{G} ({\mathcal P}_{G} w, R b_m) \frac{\widetilde{ \mathcal P}_{G} Rb_m}{\lambda_m}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
сходится в пространстве ${\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline G)\cap \widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline G)$. С другой стороны, если $w\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$, то по формуле Стокса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag h_{D} ({\mathcal P}_D \widetilde R w, \Pi_D h) &=-\int_{\partial D}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j w) (\zeta)}\Pi_D h(\zeta) \, d\overline \zeta[j]\wedge d\zeta \\ \notag &=-\int_{\partial G}\sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial _j w) (\zeta)}\Pi_D h(\zeta) \, d\overline \zeta[j]\wedge d\zeta \\ &= h_{G} ({\mathcal P}_G w, R \Pi_D h) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
для всех $h\in H^1 (D)\cap{\mathcal H} (D)$. В частности,
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal P}_{D} \Pi_D{\mathcal P}_D\widetilde R w=\sum_{\lambda_m\ne 0} h_{G} ({\mathcal P}_G w, R b_m) \widetilde{\mathcal P}_{D} b_m.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Более того, так как ${\mathcal P}_G \widetilde{\mathcal P}_G=I$, то из формулы (3.19) следует, что
$$
\begin{equation*}
h_{D} ({\mathcal P}_D \widetilde R \widetilde{\mathcal P}_G Rb_m, \Pi_D h)= h_{G} (Rb_m, R R\Pi_D h)=\lambda_m h_{D} (b_m, \Pi_D h)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $h\in H^1 (D)\cap{\mathcal H} (D)$ при $\lambda_m \ne 0$. Итак, поскольку $H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D)$ плотно вложено в $Y^1 (G)$, а отображение $\widetilde{\mathcal P}_{G}$ есть изоморфизм между пространствами Гильберта $H^1 (G)\cap{\mathcal H} (G)$ и $\widetilde H^1 ({\mathbb C}^n \setminus \overline G)\cap{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus \overline G )$, то из формул (3.17), (3.18), (3.20) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal P}_{D} \Pi_D{\mathcal P}_D\widetilde R w= \sum_{\lambda_m\ne 0} h_{G} ({\mathcal P}_{G} w, R b_m) \frac{\widetilde{\mathcal P}_{G} Rb_m} {h_G (Rb_m, Rb_m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $\widetilde{\mathcal P}_{D} \Pi_D{\mathcal P}_D w\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$ и
$$
\begin{equation*}
\overline \partial{\mathcal P}_D \widetilde{\mathcal P}_{D}\Pi_D{\mathcal P}_D w=0 \quad\text{в }\ D \quad\text{для всех }\ w\in{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $v=\widetilde{\mathcal P}_{D} \Pi_D{\mathcal P}_D \widehat v $ принадлежит $ \Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$ и согласно (3.11), (3.14)
$$
\begin{equation*}
f(u)=-\lim_{\nu \to\infty} h_{D} (u_\nu, v)= \int_{\partial G} \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} \overline{(\overline \partial_j v (\zeta))}u(\zeta) \, d\overline \zeta [j]\wedge d\zeta=\langle u, v \rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. отображение (3.5) сюръективно. Наконец, из теоремы о замкнутом графике для $\mathrm{DF}$-пространств, см. [30; гл. 6] или [34; следствие A.6.4], следует, что обратное отображение к (3.5) также непрерывно, т.е. отображение (3.5) есть топологический (сопряженно линейный) изоморфизм. Теорема 1 доказана. § 4. Разные замечанияКак мы отметили во введении, для ограниченной области $D \Subset{\mathbb C}^n$ с вещественно аналитической границей такой, что пространство ${\mathcal O}(\overline D)$ плотно в ${\mathcal O}(D)$, теорема 1 может быть извлечена из результатов [9], где двойственность (1.2) была доказана для очень специального отношения двойственности, родственного к (3.1) (ср. также [6]–[8], и [19] для (1.2), построенного с помощью других спариваний в областях с вещественно аналитическими границами). Существенная разница в предположениях относительно $D$ в этом конкретном случае появляется по той причине, что для доказательства в [9] используются двойственность Гротендика
$$
\begin{equation*}
({\mathcal H} (D ))^* \cong{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus D ),
\end{equation*}
\notag
$$
вытекающая из [15; теоремы 4] для любой ограниченной области со связным дополнением, и непрерывное отображение
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal P}_{D} \colon {\mathcal O} (\overline D) \to{\mathcal H} (\widehat{\mathbb C}^{n} \setminus D ),
\end{equation*}
\notag
$$
гарантированное результатами [35] для областей с вещественно аналитическими границами (конечно, последнее невозможно для всех ограниченных областей даже с $C^\infty$-гладкими границами). Как следует из [9; теоремы 8.1], отношение двойственности, построенное в [9], индуцирует топологический изоморфизм (1.2) тогда и только тогда, когда пространство ${\mathcal O} (\overline D)$ плотно в ${\mathcal O}(D)$. Последнее наблюдение подсказывает нам, как доказать соответствующее утверждение для отображения (3.5). Следствие 2. Пусть $D\subset{\mathbb C}^n$, $n>1$, – ограниченная липшицева область со связным дополнением. Тогда спаривание (3.1) индуцирует топологический изоморфизм (1.4) тогда и только тогда, когда пространство $H^1 (D)\cap{\mathcal O} (D)$ плотно в ${\mathcal O} (D)$. Доказательство. С учетом теоремы 1 нужно доказать, что в условиях следствия $H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D) $ плотно в ${\mathcal O}(D) $. С этой целью пусть $F$ – непрерывный линейный функционал на ${\mathcal O}(D) $, исчезающий на $H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D) $. По теореме Хана–Банаха наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что $F\equiv 0$. По предположению найдется $v\in \Sigma (\widehat{\mathbb C}^n \setminus D)$ такая, что $\langle v, u\rangle=0$ для всех $u\in H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D) $. Как вытекает из следствия 1, мы имеем ${\mathcal P}_D v\in H^1 (D)\cap{\mathcal O}(D)$, а значит, $\langle v,{\mathcal P}_D v\rangle=0$. Поэтому аргументы, аналогичные тем, что были приведены нами при доказательстве инъективности отображения в теореме 1, показывают, что $v=0$ в $D$. Итак, $F=0$, что и требовалось.
Следствие доказано. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhoShl24} |
|
||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|