| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Локализация оконных функций двойственных и жестких фреймов Габора, порожденных функцией Гаусса Е. А. Киселев, Л. А. Минин, И. Я. Новиков, С. Н. Ушаков Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9957e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеСемейство функций вида
$$
\begin{equation}
g (x)=\exp\biggl(-\frac{(x-a)^2} {2} \biggr)e^{i b x}, \qquad a, b \in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
было введено в квантовую механику в 1926 г. Э. Шрёдингером. Случай, когда $a$, $b$ заданы дискретно, на прямоугольной решетке, впервые рассмотрел в 1929 г. И. Нейман (см. [1; приложение]). Он предположил, что в случае вещественных положительных параметров $v_{1}$, $v_{2}$, удовлетворяющих равенству $ v_{1}v_{2}=2\pi$, система функций
$$
\begin{equation}
g_{k, m}(x, v_1, v_2)=\exp\biggl(-\frac{(x-v_{1}k)^{2}}{2}\biggr)e^{i v_{2}mx}, \qquad k, m \in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
полна в $L_{2}(\mathbb{R})$ и из нее с помощью ортогонализации Грама–Шмидта можно получить ортонормированный базис с хорошо локализованными базисными функциями. Полнота системы функций (1.2) в случае $ v_{1} v_{2}=2\pi$ была доказана в 1971 г. (см. [2], [3]), а в 1975 г. было установлено, что не существует устойчивой процедуры разложения по ней (см. [4]). Одним из способов достижения устойчивости стал переход к переполненным системам (фреймам). В 1946 г. Д. Габор (см. [5]) предложил использовать систему функций (1.2) для цифровой обработки сигналов. После выхода в 1963 г. статьи Р. Глаубера [6] за функциями вида (1.1) и (1.2) закрепилось название когерентные состояния. В дальнейшем будем вместо $v_1,v_2$ использовать два набора параметров:
$$
\begin{equation*}
\omega_{1}, \omega_{2} >0, \quad \omega_1 \omega_2 > 2\pi;\qquad \alpha_{1}, \alpha_{2}>0, \quad \alpha_1 \alpha_2 < 2\pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно [7; гл. 3, п. 3.4], [8], [9] переполненная система функций
$$
\begin{equation}
g_{k, m} (x,\alpha_1,\alpha_2)=\exp \biggl (- \frac{(x-k\alpha_1)^2} {2} \biggr ) e^{i m \alpha_2 x}, \qquad k,m \in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
образует фрейм Габора с функцией окна $g(x)=\exp (-x^2/2)$. Для нахождения функции окна двойственного фрейма обычно используется метод разложения в ряд Неймана (см. [7; гл. 3, п. 3.2], [10]) или метод конечномерной редукции (см. [11], [12]). В [13], [14] приводится большой набор фактов о фреймах Габора. В серии статей А. Янссена [15]–[18] в случае
$$
\begin{equation}
\alpha_{1} \alpha_{2}=\frac\pi n, \qquad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
получены явные формулы для функций окон двойственного фрейма и жесткого фрейма. Именно этот случай и рассматривается в настоящей статье. Частотно-временная локализация является важной характеристикой для описания фреймов и базисов. Чем лучше локализован ортогональный базис, тем эффективнее вычисляются коэффициенты разложения по этому базису и реализуется синтез исходного сигнала. В случае фреймов хорошая локализация требуется не только от исходного фрейма, но и от двойственного, поскольку именно он используется для нахождения коэффициентов разложения. Для описания частотно-временной локализации существует несколько вариантов (см. [19; гл. 2]). Одним из них является оценка скорости убывания исходной функции, ее производных и преобразования Фурье. Второй вариант состоит в нахождении численной характеристики, называемой константой неопределенности. Функциями, на которых константа неопределенности принимает наименьшее значение, являются когерентные состояния (1.1). Существуют и другие аналоги константы неопределенности. Задачи, связанные с поиском хорошо локализованных функций, относятся к области дизайна окон. Первым ортогональным базисом с равномерно ограниченной константой неопределенности стал базис из сдвигов и сжатий одной функции, представленный И. Мейером в 1986 г. (см. [20]). Позднее, в 1988 г., Ж. Бургейн (см. [21]) построил базис со сколь угодно близкой к оптимальному значению константой неопределенности на основе когерентных состояний, однако структура сдвигов и кратных частот при процедуре ортогонализации не была сохранена. Как известно, базисы в виде всплесков имеют ограничение снизу на значение константы неопределенности (см. [22; гл. 1]). В этой связи отметим работы Е. А. Лебедевой и В. Ю. Протасова [23], [24], посвященные способам улучшения частотно-временной локализации масштабирующей функции. Вопрос о скорости убывания фреймов Габора, жестких фреймов и базисов Вейля–Гейзенберга также активно изучался в целом ряде работ (см. [25], [26]). Частотно-временная локализация описывается в основном при помощи оценок на функцию и ее преобразование Фурье. В статьях Т. Стромера и С. Бивера [27], [28] изучался вопрос об оптимальном OFDM-базисе (были получены значения, близкие к минимальным), в том числе с применением константы неопределенности. В настоящей работе наличие явных формул позволило получить точные выражения для констант неопределенности оконных функций и оценить их локализацию в зависимости от параметра $n$, характеризующего степень переполненности фрейма, и соотношения параметров частотно-временного окна $\alpha_1$, $\alpha_2$. Полученные численные расчеты позволяют предъявить семейства фреймов Габора, которые вместе со своими двойственными имеют константу неопределенности, очень близкую к оптимальной. Общий вывод статьи таков: при стремлении $\alpha_1/\alpha_2$ к нулю или к $\infty$ локализация быстро ухудшается. С другой стороны, чем более переопределена система функций, образующих фрейм, тем оконные функции лучше локализованы. Это отражает специфику когерентных состояний, сочетающих свойства непрерывного спектра (они являются собственными функциями оператора уничтожения, собственные числа которого заполняют всю комплексную плоскость) и дискретного спектра (все собственные функции нормируемы). Для жесткого фрейма локализация функции окна при одном и том же наборе параметров существенно лучше, чем для двойственного фрейма. Рассматриваемая задача тесно связана с задачей интерполяции по равномерным сдвигам функции Гаусса. Построение узловой функции при интерполяции (см. [29], [30; гл. 7]) и функции окна двойственного фрейма (см. [16]) в случае выполнения соотношения (1.4) осуществляется с помощью одних и тех же коэффициентов. Эти коэффициенты играют важную роль и при выводе формул для констант неопределенности (см. [31]). Поэтому в настоящей работе изучаются их свойства, связанные со знакочередуемостью и монотонностью убывания по модулю. При работе с жестким фреймом используется следующий факт: построение функции окна равносильно ортогонализации сопряженной к фрейму системы Рисса, а эта процедура реализована в [32]. § 2. Обозначения и предварительные сведенияРассматривается гильбертово пространство $L_{2}(\mathbb{R})$ комплекснозначных функций со скалярным произведением $(f,g)$ и нормой $\|f\|_{L_2}$:
$$
\begin{equation*}
(f,g)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g^*(x) \,dx, \qquad \|f\|_{L_2}^2=\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
где $g^*(x)$ – комплексное сопряжение. Обозначим через $\widehat{g}(\xi)$ преобразование Фурье функции $g(x)$:
$$
\begin{equation*}
\widehat{g}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{-i\xi x}\,dx,
\end{equation*}
\notag
$$
являющееся линейным унитарным оператором, действующим в $L_{2}(\mathbb{R})$. Если применить преобразование Фурье к дискретной системе когерентных состояний (1.2), то снова получим систему когерентных состояний
$$
\begin{equation*}
\widehat{g}_{k, m}(\xi,v_{1},v_{2})=\exp\biggl(-\frac{(\xi-v_{2}m)^{2}}{2}\biggr) e^{-i v_{1}k\xi} e^{i v_{1} v_{2}km}
\end{equation*}
\notag
$$
с фазовым множителем $e^{i v_{1} v_{2}km}$. Наиболее простую форму последнее равенство принимает, если $v_{1} v_{2}=2\pi n$, $n \in \mathbb{N}$:
$$
\begin{equation}
\widehat{g}_{k, m}(\xi,v_{1},v_{2})=g_{m,-k}(\xi,v_{2},v_{1}).
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Выпишем также скалярные произведения функций этой системы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & (g_{k, m}(x,v_1, v_2), g_{k', m'} (x,v_1, v_2) )=\sqrt{\pi} \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 v_1^2}{4} \biggr) \\ &\qquad\qquad \times \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2 v_2^2}{4} \biggr) \exp\biggl(\frac{i(k+k')(m-m') v_1 v_2}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $v_1 v_2=4 \pi n$, $n \in \mathbb{N}$, то в скалярном произведении происходит разделение множителей с индексами $k$, $k'$ и $m$, $m'$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &(g_{k, m}(x,v_1, v_2), g_{k', m'} (x,v_1, v_2) ) \\ &\qquad =\sqrt{\pi} \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 v_1^2}{4} \biggr) \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2 v_2^2}{4} \biggr) . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Определение 1 (см. [22; гл. 1]). Функции $\varphi_{k, m}(x) \in L_{2}(\mathbb{R})$, $k, m \in \mathbb{Z}$, образуют систему Рисса, если существуют положительные константы $A_R$ и $B_R$ такие, что для любой последовательности коэффициентов $c=\{c_{k, m}\} \in \ell_{2}$ выполнена двусторонняя оценка Соответствующая норма $\|c\|_{\ell_2}$ задается формулой Наибольшая из величин $A_R$ называется нижней константой Рисса, наименьшая из величин $B_R$ – верхней константой Рисса. В случае конечного набора функций аналогами констант Рисса являются минимальное и максимальное собственные значения матрицы Грама, а их отношение $B_R/A_R$ равно числу обусловленности матрицы Грама и является характеристикой устойчивости при разложении по данной системе функций. Рассмотрим замыкание множества линейных комбинаций функций, образующих систему Рисса. Чтобы найти ортогональную проекцию на получающееся при этом подпространство для произвольной функции из $L_{2}(\mathbb{R})$, нужно провести ортогонализацию исходной системы функций или построить биортогональную систему. Определение 2 (см. [22; гл. 1]). Функции $\varphi_{k, m}(x), \psi_{k, m}(x) \,{\in}\, L_{2}(\mathbb{R})$, $k, m \,{\in}\,\mathbb{Z}$, образуют биортогональную систему, если где $\delta_{kk'}$, $\delta_{m m'}$ – символы Кронекера. Для переполненных наборов функций (которые уже не могут в силу линейной зависимости образовывать систему Рисса) обычно используются конструкции фреймов. Определение 3 (см. [7; гл. 3], [14; гл. 1]). Функции $g_{k, m}(x) \,{\in}\, L_{2}(\mathbb{R})$, $k,m \,{\in}\, \mathbb{Z}$, образуют фрейм, если существуют такие положительные константы $A_{F}$, $B_{F}$, что для всех $f \in L_{2}(\mathbb{R})$ выполнена двусторонняя оценка Наибольшая из величин $A_{F}$ называется нижней границей фрейма, а наименьшая из величин $B_{F}$ – верхней границей фрейма. Если $A_{F}=B_{F}$, то фрейм называется жестким. Для фреймов Габора верен принцип двойственности, связывающий их с системами Рисса (см. [12]). Теорема 1. Набор функций $g_{k, m}(x, \alpha_1, \alpha_2)$, $k, m \in \mathbb{Z}$, является фреймом в $L_2(\mathbb{R})$ тогда и только тогда, когда функции $g_{k, m}(x, \omega_1, \omega_2)$, $k, m \in \mathbb{Z}$, с параметрами $\omega_{1}=2\pi /\alpha_2$, $\omega_2=2\pi/\alpha_1$ образуют систему Рисса в этом же пространстве. При этом между границами фрейма $A_F$, $B_F$ и соответствующими константами Рисса $A_R$, $B_R$ имеет место соотношение Существует несколько вариантов формулировки принципа двойственности (см. [11], [12], [15]), здесь мы приводим наиболее удобный для целей настоящей статьи. Теорема 1 в применении к жесткому фрейму делает его двойственным к системе Рисса попарно ортогональных функций. Важной характеристикой функции, показывающей, насколько хорошо она локализована как во временной, так и в частотной областях, является константа неопределенности. Пусть $g(x), x g(x) \in L_2(\mathbb{R})$, причем $\| g \|_{L_2} \neq 0$. Тогда среднее значение $\langle g \rangle$ и радиус $\Delta(g)$ функции $g$ задаются формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \langle g \rangle=\frac{1}{\|g\|_{L_2}^2} \int_{-\infty}^{\infty} x |g(x)|^2 \,dx , \\ \Delta(g)=\biggl (\frac{1}{\|g\|_{L_2}^2} \int_{-\infty}^{\infty} (x-\langle g \rangle)^2 |g(x)|^2 \,dx \biggr )^{1/2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично определяются среднее значение $\langle \widehat{g} \rangle$ и радиус $\Delta(\widehat{g})$ для преобразования Фурье $\widehat{g}$ в случае $\xi \widehat{g}(\xi) \in L_2(\mathbb{R})$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \langle \widehat{g} \rangle=\frac{1}{\|\widehat{g}\|_{L_2}^2} \int_{-\infty}^{\infty} \xi |\widehat{g}(\xi)|^2 \,d\xi , \\ \Delta(\widehat{g})=\biggl (\frac{1}{\|\widehat{g}\|_{L_2}^2} \int_{-\infty}^{\infty}(\xi-\langle \widehat{g} \rangle)^2 |\widehat{g}(\xi)|^2\, d\xi \biggr )^{1/2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нам понадобится третья тета-функции Якоби (см. [34; гл. 21]), для которой будут использованы представления в виде ряда
$$
\begin{equation*}
\vartheta_3(x,q)=\sum_{k=-\infty}^\infty q^{k^2} e^{2ikx}, \qquad |q|<1,
\end{equation*}
\notag
$$
и бесконечного произведения Якоби
$$
\begin{equation*}
\vartheta_{3}(x,q)=\prod_{k=1}^\infty(1-q^{2k})(1+2q^{2k-1}\cos{2x}+q^{4k-2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего равенства следует, что $\vartheta_{3}(x,q)>0$ при всех $ x \in \mathbb{R}$, $q \in (-1,1)$. Аргументы тета-функции могут быть и комплексными, но в настоящей работе мы ограничиваемся случаем действительных переменных. Обозначим через $c_{k} (\omega)$ коэффициенты ряда Фурье
$$
\begin{equation}
\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k}(\omega) e^{ikx} =\frac{1}{\vartheta_{3}(x/2, \exp (-\omega^2/4))}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Как следует из работ В. Г. Мазьи и Г. Шмидта (см. [29], [30; гл. 7, п. 7.3, лемма 7.8]), для них справедливо представление
$$
\begin{equation}
c_k (\omega)=\frac{1}{K(\omega)} \exp \biggl(\frac{k^{2} \omega^2 }{4 } \biggr) \sum_{r=|k|}^{\infty}(-1)^{r} \exp \biggl(-\frac{(r+0.5)^{2} \omega^{2}}{4} \biggr),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
K(\omega)=\sum_{r=-\infty}^{\infty}(4r+1)\exp \biggl(-\frac{(2r+0.5)^{2} \omega^{2}}{4 } \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Эти коэффициенты появились в связи с решением задачи интерполяции по системе целочисленных сдвигов функции Гаусса, поскольку равенство (2.4) равносильно соотношению
$$
\begin{equation}
\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k}(\omega) \exp\biggl(-\frac{\omega^2 (m-k)^2}{4}\biggr)= \delta_{m 0} , \qquad m \in \mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Из формулы (2.5) следует, что
$$
\begin{equation}
c_k (\omega) \in \mathbb{R}, \quad c_k (\omega)=c_{-k} (\omega) \quad \forall k \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Заметим, что фактически формула (2.5) для коэффициентов ряда Фурье (2.4) была получена Э. Т. Уиттакером в 1903 г. (см. [34; гл. 21, пример 14]). Кроме того, коэффициенты $ c_{k}(\omega)$ могут быть найдены численно при помощи дискретного преобразования Фурье. Особенности данной процедуры исследованы в статье [35]. Согласно [11], [13] фрейму Габора (1.3) в случае $\alpha_1 \alpha_2 <2 \pi$ соответствует сопряженная система Рисса
$$
\begin{equation}
\varphi_{k,m}(x,\omega_1,\omega_2)=\exp\biggl(-\frac{(x-\omega_{1}k)^{2}}{2}\biggr) e^{i\omega_{2}mx}, \qquad k, m \in \mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
с параметрами
$$
\begin{equation}
\omega_1=\frac{2 \pi} {\alpha_2},\quad \omega_2=\frac{2 \pi} {\alpha_1},\qquad \omega_1 \omega_2 >2 \pi.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Как известно из статьи Янссена [16], при выполнении условия (1.4), что соответствует равенству $\omega_1 \omega_2=4\pi n,$ функция окна двойственного к (1.3) фрейма задается формулой
$$
\begin{equation}
\widetilde {g} (x, \omega_1, \omega_2 )=\frac{1} {2n \sqrt {\pi}} \sum_{k,m=-\infty}^{\infty} c_{k} (\omega_1) c_{m} (\omega_2) g_{k, m} (x, \omega_1, \omega_2).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Соответственно $\widetilde {\varphi} (x,\omega_1, \omega_2)=2n \widetilde {g} (x, \omega_1, \omega_2 )$ – функция окна биортогональной к (2.8) системы. Приведем краткое доказательство этого факта, демонстрирующее связь с задачей интерполяции. Из формулы (2.2) следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\widetilde {\varphi} (x,\omega_1, \omega_2), \varphi_{k', m'} (x, \omega_{1}, \omega_{2}) ) \\ &\qquad =\sum_{k, m} c_k (\omega_1) c_m (\omega_2) \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 \omega_1^2}{4} \biggr) \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2 \omega_2^2}{4} \biggr) \\ &\qquad =\sum_{k} c_k (\omega_1) \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 \omega_1^2}{4} \biggr) \sum_{m} c_m (\omega_2) \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2 \omega_2^2}{4} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для завершения доказательства осталось заметить, что согласно (2.6)
$$
\begin{equation*}
(\widetilde {\varphi}(x,\omega_1, \omega_2),g_{k', m'} (x, \omega_{1}, \omega_{2}) )= \delta_{k' 0}\delta_{m' 0}.
\end{equation*}
\notag
$$
При численных расчетах более удобным оказывается записывать функцию окна двойственного фрейма в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\widetilde{g} (x, \omega_1, \omega_2)=\frac{\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} (\omega_1) \exp (- (x-k\omega_1)^2/2 )} {2 n \sqrt {\pi}\, \vartheta_{3}(\omega_2 x/2, \exp(-\omega_2^2/4)) },
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где параметры фрейма $\alpha_1$, $\alpha_2$ связаны с $\omega_1$, $\omega_2$ равенствами (2.9). Если для системы Рисса (2.8) применить предложенную в [32] для случая $\omega_1 \omega_2=4\pi n$, $n \in \mathbb{N},$ процедуру ортогонализации, то сопряженным к полученной ортонормированной системе будет жесткий фрейм Габора. Опишем кратко эту процедуру. Обозначим через $c_{k}^{\bot}(\omega)$ коэффициенты следующего ряда Фурье:
$$
\begin{equation}
\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k}^{\bot}(\omega) e^{ikx}=\frac{1}{\sqrt{\vartheta_{3}(x/2,\exp(-\omega^{2}/4)})}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation}
g^{\bot} (x,\omega_{1},\omega_{2})=\frac{\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}^{\bot} (\omega_{1})\exp\bigl(-(x-\omega_{1}k)^{2}/2\bigr)} {\sqrt {\sqrt{\pi}\, \vartheta_{3}(\omega_{2}x/2,\exp{(-\omega_{2}^{2}/4)})}}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Тогда система функций
$$
\begin{equation*}
\varphi_{k,m}^{\bot}(x) =g^{\bot}(x-\omega_{1}k) e^{i\omega_{2}mx}, \qquad k, m \in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
является ортонормированной в $L_{2}(\mathbb{R})$. Соответственно $g^{\bot} (x,\omega_{1}, \omega_{2})$ является функцией окна жесткого фрейма Габора с параметрами $\alpha_1=2\pi/\omega_{2}$, $\alpha_2=2\pi/\omega_{1}$. Полученное соотношение несколько проще и удобнее для расчетов по сравнению с результатом из [17].
§ 3. Формулировка результатовУстановим вначале некоторые свойства коэффициентов $ c_{k}(\omega)$, определяемых равенством (2.4). Напомним, что $c_k (\omega)=c_{-k} (\omega)$ согласно (2.7). Следствие 1. При $k \geqslant 0$, удовлетворяющих неравенству последовательность $|c_k (\omega)|$ строго монотонно убывает. Следствие 3. Для монотонного убывания $|c_k (\omega)|$ начиная с нулевого номера достаточно выполнения неравенства $q <(\sqrt{5}-1)/2$, что соответствует $ \omega > 1.38739 \dots$ . Заметим, что при используемой в работе нормировке преобразования Фурье минимальное значение константы неопределенности равно $1/2$, причем этот минимум в точности достигается на функциях вида (1.1). Теорема 3. Константа неопределенности для функции окна (2.10) двойственного фрейма задается формулой Теорема 4. Квадрат константы неопределенности для функции окна (2.13) жесткого фрейма задается формулой § 4. Доказательства4.1. Доказательство теоремы 2Сначала докажем лемму, при формулировке которой нам понадобится первая тета-функция Якоби (см. [34; гл. 21])
$$
\begin{equation*}
\vartheta_1(x,q)=2\sum_{k=0}^\infty (-1)^k q^{(k+1/2)^2} \sin((2k+1)x), \qquad |q|<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Преобразуем ряд $K(\omega)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, K(\omega) &=\sum_{r=-\infty}^{\infty} (4r+1) \exp \biggl(-\frac{(4r+1)^{2} \omega^{2}}{16} \biggr) \\ &=\sum_{r=0}^{\infty} (4r+1) \exp \biggl(-\frac{(4r+1)^{2} \omega^{2}}{16} \biggr) - \sum_{r=1 }^{\infty} (4r-1) \exp \biggl(-\frac{(4r-1)^{2} \omega^{2}}{16} \biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Множители перед экспонентой в ряду $\sum_{r=-\infty}^{\infty}$ представляют собой нечетные числа, дающие при делении на $4$ остаток $1$, во втором – нечетные числа, дающие при делении на $4$ остаток $3$. Объединим их в один ряд по всем нечетным числам:
$$
\begin{equation}
K (\omega )=\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^{m} (2m+1) \exp \biggl(-\frac{(2m+1)^{2} \omega^{2}}{16} \biggr).
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Исследуем его на абсолютную сходимость с помощью признака Коши:
$$
\begin{equation*}
\lim_{m \to \infty} \sqrt[m]{(2m+1) \exp \biggl(-\frac{(2 m+1)^{2} \omega^{2}}{16} \biggr)}= \lim_{m \to \infty} \exp \biggl(-\frac{(2m+1)^{2} \omega^{2}}{16 m} \biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, ряд сходится при всех $\omega > 0$. Остается заметить, что ряд (4.1) получается при дифференцировании $\frac{1}{2}\vartheta_1(x,\exp(-\omega^2/4))$ по $x$ в точке $x=0$.
Лемма доказана. Известно (см. [34; гл. 21]), что
$$
\begin{equation*}
\vartheta'_1 (0, q)=2q^{1/4} G^3, \qquad G=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
K (\omega)=\exp \biggl(-\frac{\omega^2}{16}\biggr) \prod_{n=1}^{\infty} \biggl\{1-\exp \biggl(-\frac{n \omega^2 }{2}\biggr)\biggr\}^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что $K (\omega)>0$, так как $0<\exp(-\omega^2/2)<1$ при $\omega \neq 0$. Поэтому знак коэффициентов $c_k (\omega)$ зависит от знака ряда
$$
\begin{equation*}
\sum_{r=|k|}^{\infty}(-1)^{r} \exp \biggl(-\frac{(r+0.5)^{2} \omega^2 }{4} \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Этот сходящийся знакочередующийся ряд в силу монотонного убывания по абсолютной величине его членов имеет знак первого члена, т.е. Формула (3.1) доказана. Введем для неотрицательных целых $k$ ряд
$$
\begin{equation*}
X_{k}=\biggl| \sum_{r=k}^{\infty}(-1)^{r} q^{(r+0.5)^{2}} \biggr|, \quad\text{где } \ q=\exp \biggl(-\frac{\omega^2 }{4}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
\frac{|c_{k}(\omega)|}{|c_{k+1}(\omega)|}=\frac{q^{-k^2} X_{k}}{q^{-(k+1)^2} X_{k+1}} =q^{2k+1} \frac{q^{(k+1/2)^2} - X_{k+1} }{X_{k+1}}=q^{2k+1} \biggl(\frac{q^{(k+1/2)^2} }{X_{k+1}}-1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $ X_{k+1} \leqslant q^{(k+3/2)^2}$. Отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
q^{2k+1} \biggl(\frac{q^{(k+1/2)^2} }{X_{k+1}}-1\biggr) \geqslant q^{2k+1} \biggl(\frac{q^{(k+1/2)^2} }{q^{(k+3/2)^2}}-1\biggr)= q^{-1}-q^{2k+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2 доказана. 4.2. Доказательство следствий 1–3Для доказательства следствия 1 найдем $q$ и $\omega$, при которых справедливо неравенство $q^{-1}-q^{2k+1} > 1$:
$$
\begin{equation*}
q^{2k+1} < q^{-1}-1, \qquad 2k+1 > \log_q (q^{-1}-1).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $ 2k > \log_q (1-q) -2$, откуда сразу следует (3.3). Следствие 2 очевидно в силу оценки (3.2). Перейдем к следствию 3. Из (3.3) получаем, что последовательность $|c_k (\omega)|$ будет убывать при всех $k \geqslant 0$, если Учитывая, что $q > 0$, приходим к неравенству Переходя к $\omega$ и решая полученное неравенство, получим
$$
\begin{equation*}
\exp \biggl (\frac{\omega^2} {4} \biggr ) > \frac{\sqrt{5}+1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следствие 3 доказано. 4.3. Доказательство теоремы 3Формула для константы неопределенности $u(\widetilde {g})$ будет получена при помощи четырех лемм. Доказательство. Функция $\widetilde {g} (x,\omega_1, \omega_2)$ в силу соотношения (2.7) четная по $x$. Отсюда следует (4.2). Равенство (4.3) является следствием того факта, что преобразование Фурье от нашей функции в силу (2.1) и (2.7) равно самой функции с переменой мест параметров:
Лемма доказана. Введем следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
a_{\ell}(\omega)=\sum_{k'=-\infty}^{\infty} c_{\ell+k'}(\omega) c_{k'}(\omega),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
A(\omega)=\sum_{\ell=-\infty}^{\infty} \exp\biggl(-\frac{{\ell}^2 \omega^2}{4}\biggr) a_{\ell}(\omega),
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
D (\omega)=\sum_{\ell=-\infty}^{\infty} \ell^2 \exp\biggl(-\frac{{\ell}^2 \omega^2}{4}\biggr) a_{\ell}(\omega), \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
b_{\ell} (\omega)=\sum_{k'=-\infty}^{\infty} k' c_{l+k'}(w) c_{k'}(w).
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Доказательство. При доказательстве этой леммы мы будем пользоваться (2.7). В формуле (4.4) сделаем замену индекса $n=\ell+k'$:
$$
\begin{equation*}
a_{\ell}(\omega)=\sum_{k'} c_{\ell+k'}(\omega) c_{k'}(\omega)=\sum_{n} c_{n}(\omega) c_{n-\ell}(\omega). \label{al1}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь вместо $n$ запишем $k'$:
$$
\begin{equation}
a_{\ell}(\omega)=\sum_{k'} c_{k'-\ell}(\omega) c_{k'}(\omega)=a_{-\ell}(\omega).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Перейдем ко второму равенству:
$$
\begin{equation*}
b_{\ell}(\omega)=\sum_{k'} k' c_{\ell+k'}(\omega) c_{k'}(\omega)=\sum_{k'} k' c_{\ell+k'}(\omega) c_{-k'}(\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену $k=-k'$, тогда
$$
\begin{equation*}
b_{\ell}(\omega)=- \sum_{k} k c_{\ell-k}(\omega) c_{k}(\omega)=- \sum_{k} k c_{-\ell+k}(\omega) c_{k}(\omega)=- b_{-\ell}(\omega).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь в формуле (4.6) сделаем замену индекса $n=\ell+k'$ и получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, b_{\ell}(\omega) &=\sum_{n} (n-\ell) c_{n}(\omega) c_{n-\ell}(\omega)=\sum_{n} n c_{n}(\omega) c_{n-\ell}(\omega) - \ell \sum_{n} c_{n}(\omega) c_{n-\ell}(\omega) \\ &=b_{-\ell}(\omega) - \ell a_{-\ell}(\omega)=b_{-\ell}(\omega) - \ell a_{\ell}(\omega). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, из равенств
$$
\begin{equation*}
b_{\ell}(\omega)=- b_{-\ell}(\omega), \qquad b_{\ell}(\omega)=b_{-\ell}(\omega) - \ell a_{\ell}(\omega)
\end{equation*}
\notag
$$
вытекает (4.7).
Лемма доказана. Выпишем норму $\widetilde {g} (x,\omega_1, \omega_2) $, используя введенные ранее ряды. Доказательство. Квадрат модуля функции имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & | \widetilde {g} (x,\omega_1, \omega_2)|^2=\frac{1}{4\pi n^{2}} \\ &\qquad\qquad \times \sum_{k, m, k', m'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) {c}_{m}(\omega_2) {c}_{m'}(\omega_2) g_{k, m} (x,\omega_1, \omega_2) g^*_{k', m'} (x,\omega_1, \omega_2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.2) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \| \widetilde {g} (x,\omega_1, \omega_2)\|_{L_2}^2 &=\frac{\sqrt{\pi}}{4\pi n^{2}} \sum_{k, k'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) \exp\biggl(-\frac{(k -k')^2 \omega_1^2}{4} \biggr) \\ &\qquad \times \sum_{m, m'} c_{m}(\omega_2) c_{m'}(\omega_2) \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2 \omega_2^2}{4}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сделаем замену индексов $\ell=k -k'$, $k=\ell +k'$ и воспользуемся (4.4):
$$
\begin{equation*}
\sum_{k, k'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) \exp\biggl(-\frac{(k -k')^2 \omega_1^2}{4}\biggr)= \sum_{\ell} \exp\biggl(-\frac{{\ell}^2 \omega_1^2}{4}\biggr) a_{\ell}(\omega_{1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда Аналогично преобразуем другой ряд: Утверждение леммы следует из перечисленных формул и унитарности преобразования Фурье.
Лемма доказана. Лемма 5. Справедлива формула Доказательство. Аналогично действиям в доказательстве леммы 4 сначала вычислим вспомогательные интегралы с учетом $\omega_{1} \omega_2=4 \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(x^2 g_{k, m} (x,\omega_1, \omega_2), g_{k', m'} (x,\omega_1, \omega_2) ) \\ &\qquad = \frac{\sqrt{\pi}}{4} \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 \omega_1^2}{4} \biggr) \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2 \omega_2^2}{4} \biggr) \\ &\qquad\qquad \times \exp \biggl(\frac{i(k+k')(m-m') \omega_1\omega_2}{2}\biggr) \bigl(2-((m-m') \omega_2 - i (k+k') \omega_1)^2\bigr) \\ &\qquad =\frac{\sqrt{\pi}}{4} \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 \omega_1^2}{4} \biggr) \exp\biggl(-\frac{ (m-m')^2 \omega_2^2}{4} \biggr) \\ &\qquad\qquad \times \bigl(2-((m-m') \omega_2 - i (k+k') \omega_1)^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Упростим последнее выражение:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &((m-m') \omega_2 - i (k+k') \omega_1 )^2 \\ &\qquad =(m-m')^2 \omega_2^2 - 8 i (m-m') (k+k') \pi n - (k-k')^2 \omega_1^2 - 4 k k' \omega_1^{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью (4.5) получим
$$
\begin{equation}
\nonumber (x^2 \widetilde {g} (x,\omega_1, \omega_2), \widetilde {g} (x,\omega_1,\omega_2)) =\frac{1}{4\pi n^{2}}\biggl[\frac{\sqrt{\pi}}{2} A(\omega_1)A(\omega_2)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad -\frac{\sqrt{\pi}\, \omega_2^2}{4} A(\omega_1) \sum_{m, m'} c_{m}(\omega_2) c_{m'}(\omega_2) (m-m')^2 \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2\omega_2^2}{4} \biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad + \frac{\sqrt{\pi}\, \omega_1^2}{4} A(\omega_2) \sum_{k, k'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) (k-k')^2 \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2\omega_1^2}{4} \biggr)
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \qquad\qquad + i 2 \sqrt{\pi}\, \pi n \sum_{k, k'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) (k+k') \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 \omega_1^2}{4} \biggr)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad \times \sum_{m, m'} c_{m}(\omega_2) c_{m'}(\omega_2) (m-m') \exp\biggl(-\frac{(m-m')^2 \omega_2^2}{4} \biggr)
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad + \sqrt{\pi}\, \omega_1^2 A(\omega_2) \sum_{k, k'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) k k' \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 \omega_1^2}{4}\biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Сделав замену $\ell=k -k'$, $k=\ell +k'$, преобразуем ряд (4.9): Аналогично,
В силу (4.8) произведение рядов (4.10) равно нулю. Сделав замену $\ell=k -k'$, $k= \ell +k'$, преобразуем последний ряд (4.11):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k, k'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) k k' \exp\biggl(-\frac{(k-k')^2 \omega_1^2}{4}\biggr) \\ &\qquad =\sum_{\ell} \exp\biggl(-\frac{\ell^2 \omega_1^2}{4}\biggr) \sum_{k'} (\ell+k') k' c_{\ell+k'}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) \\ &\qquad =\sum_{\ell} \ell \exp\biggl(-\frac{\ell^2 \omega_1^2}{4}\biggr) b_{\ell}(\omega_1) + \sum_{\ell} \exp\biggl(-\frac{\ell^2 \omega_1^2}{4}\biggr) \sum_{k'} {k'}^2 c_{\ell+k'}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Последний ряд (4.11) позволяет вычислить изменение порядка суммирования и свойства коэффициентов $c_k (\omega)$ (2.6):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{\ell} \exp\biggl(-\frac{\ell^2 \omega_1^2}{4}\biggr) \sum_{k'} {k'}^2 c_{\ell+k'}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) \\ &\qquad =\sum_{k'} {k'}^2 c_{k'}(\omega_1) \sum_{\ell} c_{\ell+k'}(\omega_1) \exp\biggl(-\frac{ \ell^2 \omega_1^2}{4}\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оставшееся слагаемое ряда (4.11) упростим, используя (4.7):
$$
\begin{equation*}
\sum_{\ell} \ell \exp\biggl(-\frac{\ell^2 \omega_1^2}{4}\biggr) b_{\ell}(\omega_1)= -\frac{1}{2} D(\omega_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\sum_{k, k'} c_{k}(\omega_1) c_{k'}(\omega_1) k k' \exp\biggl(-\frac{(k -k')^2 \omega_1^2}{4} \biggr)=-\frac{1}{2} D(\omega_1).
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & (x^2 \widetilde {g} (x,\omega_1, \omega_2), \widetilde {g} (x,\omega_1, \omega_2) ) \\ &\qquad = \frac{1}{4\pi n^{2}}\biggl(\frac{\sqrt{\pi}}{2} A(\omega_1) A(\omega_2) - \frac{\sqrt{\pi}\, \omega_2^2}{4} A(\omega_1) D(\omega_2) - \frac{\sqrt{\pi}\, \omega_1^2}{4} A(\omega_2) D(\omega_1)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 5 доказана. Из утверждений лемм 2, 4, 5 следует формула для константы неопределенности
$$
\begin{equation*}
u({\widetilde {g}} (x,\omega_1, \omega_2))=\frac{1}{2} - \frac{\omega_2^2}{4} \frac{ D(\omega_2)}{A(\omega_2)} - \frac{\omega_1^2}{4} \frac{D(\omega_1)}{A(\omega_1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, радиусы для функции ${\widetilde {g}} (x,\omega_1, \omega_2)$ и ее преобразования Фурье совпадают. 4.4. Доказательство теоремы 4Для коэффициентов $c_k (\omega)$ есть явная формула (2.5), для $c_k^{\bot} (\omega)$ такая формула нам неизвестна. Поэтому воспользуемся общей теоремой о свойствах коэффициентов Фурье для аналитических функций (см. [36; гл. 1]): поскольку функция
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{\sqrt{\vartheta_{3}(x/2,\exp{(-\omega^{2}/4)})}}
\end{equation*}
\notag
$$
является аналитической на отрезке $[-\pi,\pi]$, то для ее коэффициентов Фурье $c_{k}^{ \bot}(\omega)$ справедлива оценка с некоторыми константами $M>0$, $0<r<1$. Наличие этой оценки обеспечивает абсолютную сходимость всех используемых при доказательстве рядов. Формулы из теоремы 4 получаются несколько сложнее, чем формулы из теоремы 3, поскольку для коэффициентов $c_{k}^{\bot}(\omega)$, в отличие от коэффициентов $c_{k} (\omega)$, нет соотношения (2.6). В остальном все проводимые при доказательстве этих двух теорем преобразования полностью аналогичны, поэтому мы их не повторяем.
§ 5. Обсуждение результатовКлючевой особенностью настоящей статьи является то, что для получения констант неопределенности оконных функций двойственного и жесткого фреймов мы не вычисляем сами функции, а получаем ответ в терминах коэффициентов $c_k (\omega)$, $c_k^{\bot} (\omega)$. Поэтому значительное внимание в статье уделяется изучению свойств этих коэффициентов. В табл. 1 приведены рассчитанные по формулам из теоремы 2 константы неопределенности для функций окна двойственного фрейма. Из таблицы видно, что наблюдается рост констант с увеличением диспропорции параметров фрейма $\alpha_1$, $\alpha_2$, а увеличение параметра $n$, характеризующего степень переполненности фрейма, приводит к существенному замедлению этого роста. Кроме того, константа неопределенности двойственного фрейма стремится (согласно численным расчетам) к $1/2$ при $n\to \infty$. Это обстоятельство можно объяснить тем, что двойственный фрейм стремится по норме $L_2(\mathbb{R})$ к исходному при сгущении сетки (см. [37; следствие 3.6.12]). Таблица 1.Константы неопределенности для функции окна двойственного фрейма
Остановимся более подробно на коэффициентах, используемых при построении жесткого фрейма. Численные расчеты для достаточно широкого диапазона изменения значений параметров $\omega$ (от $0.4$ до $10$) и $k$ ($|k| \leqslant 200$) дают следующие результаты:
Вычисления проводились с точностью $10^{-17}$. Расширять диапазон изменения $\omega$ с практической точки зрения не имеет смысла. Дело в том, что, например, при $\omega=0.4$ значения коэффициентов оказываются очень большими:
$$
\begin{equation*}
c_0(\omega)=4.469 \cdot 10^{23}, \qquad c_0^{\bot} (\omega)=1.276 \cdot 10^{11},
\end{equation*}
\notag
$$
при $\omega=10$ эти коэффициенты очень быстро убывают:
$$
\begin{equation*}
c_0(\omega)=c_0^{\bot} (\omega)=1, \qquad c_1(\omega)=-1.389 \cdot 10^{-11}, \qquad c_1^{\bot} (\omega)=-6.944 \cdot 10^{-12}.
\end{equation*}
\notag
$$
Все приведенные значения верные, с точностью до округления. Можно выдвинуть гипотезу о справедливости указанных выше свойств $c_k^{\bot} (\omega)$ при любых соотношениях параметров. В табл. 2 приводятся константы неопределенности для функций окна жесткого фрейма при тех же значениях параметров, что и в табл. 1. Сравнение констант неопределенности позволяет сделать вывод, что локализация оконных функций в случае жесткого фрейма существенно лучше. Для обоих фреймов оптимальным будет случай квадратного частотно-временного окна, т.е. $\omega_1=\omega_{2}$. Таблица 2.Константы неопределенности для функции окна жесткого фрейма
Если же при фиксированной степени переполненности фрейма $n$ отношение параметров окна $\omega_2 / \omega_{1}$ стремится к $\infty$, то согласно результатам работы [38] функция окна жесткого фрейма $g^{\bot} (x,\omega_{1},\omega_{2})$ стремится к функции отсчетов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KisMinNov24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|