| Математический сборник |
|
|
|
|
|
О восстановлении аналитических функций, точном на подпространствах целых функций К. Ю. Осипенкоab a Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9976e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеОдна из распространенных идей при построении численных методов состоит в том, что ищутся методы, точные на некотором подпространстве функций. При этом исходят из естественных соображений, основанных на том, что если исходная функция приближается с достаточной точностью элементами этого подпространства, то и соответствующий метод (как правило, являющийся некоторым линейным функционалом или оператором от этой функции) будет иметь приемлемую погрешность. Характерным примером здесь являются квадратурные формулы, построенные из условия их точности на алгебраических многочленах фиксированной степени, а наиболее ярким примером являются квадратурные формулы Гаусса (см., например, [1]). Другой подход к построению численных методов, а в более широком смысле – к аппроксимации в целом, связан с идеями А. Н. Колмогорова. В этом случае вначале фиксируется некоторая априорная информация о функциях – некоторое множество функций (класс), для которых затем строится оптимальный (наилучший) метод из условия его минимальной погрешности на этом классе функций. Здесь также одним из характерных примеров являются квадратурные формулы, впервые построенные в такой постановке С. М. Никольским (см. [2]). В работе [3] было предложено совместить эти два подхода: один, идущий от Гаусса и основанный на построении методов, точных на подпространствах, и другой, идущий от А. Н. Колмогорова, который основан на построении методов, оптимальных на данном классе. Иначе говоря, предлагалось искать методы, которые были бы оптимальны на классе и в то же время точны на некотором фиксированном подпространстве. В рамках такого подхода в работах [4] и [5] были решены некоторые задачи о восстановлении решений уравнений математической физики. В настоящей работе рассматриваются задачи построения оптимальных методов восстановления аналитических в полосе функций и их производных по неточно заданному следу преобразования Фурье этих функций на вещественной оси. Причем от оптимальных методов дополнительно требуется, чтобы они были точны на подпространствах целых функций. § 2. Постановка задачиПусть $X$ – линейное пространство, $Y,Z$ – линейные нормированные пространства и $A\colon X\to Z$, $I\colon X\to Y$ – линейные операторы. Рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора $A$ на множестве $W\subset X$ по неточно заданным значениям оператора $I$ на элементах этого множества. Считается, что для каждого элемента $x\in W$ известно значение $y\in Y$ такое, что $\|Ix-y\|_Y\leqslant\delta$, где $\delta>0$ – число, характеризующее погрешность исходной информации об элементах множества $W$. Требуется по значению $y$ восстановить наиболее точным образом значение $Ax$. Любой метод восстановления представляет из себя отображение $m\colon Y\to Z$, которое элементу $y\in Y$ ставит в соответствие значение $m(y)\in Z$, принимаемое за приближенное значение $Ax$. Погрешностью метода $m$ называется величина
$$
\begin{equation*}
e(A,W,I,\delta,m)=\sup_{\substack{x\in W,\ y\in Y\\ \|Ix-y\|_Y\leqslant\delta}}\|Ax-m(y)\|_Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Оптимальной погрешностью восстановления называется величина
$$
\begin{equation*}
E(A,W,I,\delta)=\inf_{m\colon Y\to Z}e(A,W,I,\delta,m),
\end{equation*}
\notag
$$
а методы, на которых достигается нижняя грань, называются оптимальными на множестве $W$. Сформулированная задача относится к теории оптимального восстановления. Более подробные сведения об этой теории и задачах, рассматриваемых в рамках этой теории, можно найти в обзорной статье [6] и монографиях [7]–[10]. Пусть $L\subset X$ – линейное подпространство $X$. Будем говорить, что метод $m\colon Y\to Z$ точен на $L$, если $Ax=m(Ix)$ для всех $x\in L$. Рассмотрим множество $\mathcal E_L$, состоящее из линейных операторов $m\colon Y\to Z$, точных на $L$. Положим
$$
\begin{equation*}
E_L(A,W,I,\delta)=\inf_{m\in\mathcal E_L}e(A,W,I,\delta,m).
\end{equation*}
\notag
$$
Методы, на которых достигается нижняя грань в этом равенстве, будем называть оптимальными на $W$ среди точных на $L$. Под суммой множеств $A$ и $B$ из линейного пространства будем понимать множество Предложение (см. [4]). Пусть $L\subset X$ – линейное подпространство $X$ и $m^*\colon Y\to Z$ – линейный оператор, являющийся оптимальным методом восстановления оператора $A$ на множестве $W+L$. Тогда Если $E_L(A,W+L,I,\delta)<\infty$, то $m^*$ – оптимальный метод на $W$ среди точных на $L$. Тем самым для нахождения линейных оптимальных на $W$ методов среди точных на $L$ достаточно найти в множестве оптимальных методов на $W+L$ линейные. В настоящей работе рассматривается задача оптимального восстановления аналитических в полосе
$$
\begin{equation*}
S_\beta=\{z\in\mathbb C\colon |{\operatorname{Im} z}|<\beta\}
\end{equation*}
\notag
$$
функций и их производных при условии, что методы восстановления точны на подпространстве целых функций $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$, являющемся подпространством в $L_2(\mathbb R)$, образованном сужениями на $\mathbb R$ целых функций экспоненциального типа $\sigma$. Перейдем к точной постановке задачи. Пространством Харди $\mathcal H_2^\beta$ называется множество функций $f$, аналитических в полосе $S_\beta$, для которых
$$
\begin{equation*}
\|f\|_{\mathcal H_2^\beta}=\biggl(\sup_{0\leqslant\eta<\beta} \frac12\int_{\mathbb R}(|f(t+i\eta)|^ 2+|f(t-i\eta)|^2)\,dt\biggr)^{1/2}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\mathcal H_2^{r,\beta}$ (пространство Харди–Соболева) будем обозначать множество аналитических в полосе $S_\beta$ функций, для которых $f^{(r)}\in\mathcal H_2^\beta$. Обозначим через $H_2^{r,\beta}$ множество функций $f\in\mathcal H_2^{r,\beta}\cap L_2(\mathbb R)$, для которых $\|f^{(r)}\|_{\mathcal H_2^\beta}\leqslant1$. Если $\sigma>0$, то через $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ обозначим подпространство в $L_2(\mathbb R)$, образованное сужениями на $\mathbb R$ целых функций экспоненциального типа $\sigma$. Как хорошо известно, $f\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ тогда и только тогда, когда носитель преобразования Фурье $Ff$ принадлежит отрезку $\Delta_\sigma=[-\sigma,\sigma]$. По определению $\mathcal B_{0,2}(\mathbb R)=\{0\}$. Рассмотрим задачу оптимального восстановления $k$-й производной функции $f\in H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$, $k\leqslant r$, по следу на $\Delta_{\sigma_1}$, $\sigma_1>0$, ее преобразования Фурье, заданному с погрешностью в метрике $L_2(\Delta_{\sigma_1})$, т.е. считается, что вместо следа на $\Delta_{\sigma_1}$ функции $Ff$ известна функция $y\in L_2(\Delta_{\sigma_1})$ такая, что Требуется по функции $y$ восстановить на $\mathbb R$ наилучшим образом функцию $f^{(k)}$. Тем самым речь идет о нахождении величины
$$
\begin{equation*}
E(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)=\inf_{m\colon L_2(\Delta_{\sigma_1})\to L_2(\mathbb R)}e(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta,m),
\end{equation*}
\notag
$$
где $D^kf=f^{(k)}$, $I_{\sigma_1}f=Ff_{\big|\Delta_{\sigma_1}}$,
$$
\begin{equation*}
e(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta,m) =\sup_{\substack{f\in H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),\ y\in L_2(\Delta_{\sigma_1})\\ \|Ff-y\|_{L_2(\Delta_{\sigma_1})} \leqslant\delta}}\|f^{(k)}-m(y)\|_{L_2(\mathbb R)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Иными словами, мы хотим найти оптимальные методы восстановления $k$-й производной на классе $H_2^{r,\beta}$ среди точных на подпространстве целых функций $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$. Без требования точности методов на $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ эта задача рассматривалась в работе [11].
§ 3. Основные результатыРассмотрим функцию $y=s(x)$, $x\geqslant0$, которая задается параметрически
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} x=t^{2r}\operatorname{ch} 2\beta t,& \\ y=t^{2k}, \end{cases} \qquad t\geqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
$k,r\in\mathbb N$, $r\geqslant k$, $\beta>0$. В силу того, что при $t>0$ производная этой функции положительна:
$$
\begin{equation*}
\frac{dy}{dx}=\frac{kt^{2(k-r)}}{r\operatorname{ch}2\beta t+t\beta\operatorname{sh} 2\beta t}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
и монотонно убывает, $s$ – вогнутая и монотонно возрастающая функция. Прямая, соединяющая точку $(x(t),y(t))$ с началом координат, имеет вид $y= \lambda_2x$, где
$$
\begin{equation*}
\lambda_2=\frac{y(t)}{x(t)}=\frac1{t^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta t}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу вогнутости функции $s$ найдется точка $t_0$ такая, что касательная к $s$ в точке $(x(t_0),y(t_0))$ будет параллельна прямой $y=\lambda_2x$. Тем самым точка $t_0$ находится из уравнения Это уравнение можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\frac{kt_0^{2(k-r)}}{r\operatorname{ch}2\beta t_0+t_0\beta\operatorname{sh}2\beta t_0}=\frac1{t^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta t}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Сама касательная, проходящая через точку $(x(t_0),y(t_0))$, будет иметь вид $y=\lambda_1+\lambda_2x$, где
$$
\begin{equation}
\lambda_1=t_0^{2k}\biggl(1-\frac k{r+t_0\beta\operatorname{th}2\beta t_0}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Обозначим через $h(t)$ точку, для которой $y(h(t))=\lambda_1$ (рис. 1). Тем самым
$$
\begin{equation*}
h(t)=t_0\biggl(1-\frac k{r+t_0\beta\operatorname{th}2\beta t_0}\biggr)^{1/(2k)}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу того, что функция в правой части (3.2) при $t_0\in[0,+\infty)$ монотонно возрастает от нуля до $+\infty$, для любого числа $\lambda_1>0$ найдется точка $t_0>0$ такая, что касательная к $s$ в точке $(x(t_0),y(t_0))$ будет проходить через точку $(0,\lambda_1)$. Обозначим такую точку $t_0$ через $h_1(\lambda_1)$. Функция $t^r\sqrt{\operatorname{ch}2\beta t}$ монотонно возрастает при $t\in\mathbb R_+$ от $0$ до $+\infty$. Поэтому для любого $x\in\mathbb R_+$ существует единственное решение уравнения принадлежащее интервалу $[0,+\infty)$. Обозначим его через $\mu_{r\beta}(x)$.Через $\widehat\sigma_1$ обозначим значение параметра $t$, при котором $t_0=\widehat t_0=\mu_{r\beta}(\sqrt{2\pi}/\delta)$, т.е. $x(\widehat t_0)=2\pi/\delta^2$. Положим $\widehat\sigma=h(\widehat\sigma_1)$. Уравнение касательной, проходящей через точку $(x(\widehat t_0),y(\widehat t_0))$, будет иметь вид $y=\widehat\lambda_1+\widehat\lambda_2x$, где
$$
\begin{equation*}
\widehat\lambda_1 =\widehat t_0^{\,2k}\biggl(1-\frac k{r+\widehat t_0\beta\operatorname{th}2\beta\widehat t_0}\biggr), \qquad \widehat\lambda_2 =\frac{k\widehat t_0^{\,2(k-r)}}{r\operatorname{ch}2\beta\widehat t_0+\widehat t_0\beta\operatorname{sh}2\beta\widehat t_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation*}
\widehat\sigma=\widehat\lambda_1^{1/(k)}, \qquad \widehat\sigma_1=\mu_{r-k,\beta}\biggl(\frac{1}{\sqrt{\widehat\lambda_2}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
(рис. 2). Рассмотрим следующие четыре области на плоскости $\mathbb R^2$ (рис. 3):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Sigma_1&=\bigl\{(\sigma_1,\sigma)\in\mathbb R^2\colon 0<h(\sigma_1)\leqslant\sigma\leqslant\sigma_1\bigr\}, \\ \Sigma_2&=\bigl\{(\sigma_1,\sigma)\in\mathbb R^2\colon 0\leqslant\sigma\leqslant h(\sigma_1),\ 0<\sigma_1\leqslant\widehat\sigma_1\bigr\}, \\ \Sigma_3&=\bigl\{(\sigma_1,\sigma)\in\mathbb R^2\colon \sigma_1\geqslant\widehat\sigma_1,\ 0\leqslant\sigma\leqslant\widehat\sigma\bigr\}, \\ \Sigma_4&=\bigl\{(\sigma_1,\sigma)\in\mathbb R^2\colon \widehat\sigma\leqslant\sigma\leqslant h(\sigma_1)\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
(\lambda_1,\lambda_2)= \begin{cases} \biggl(\sigma^{2k},\dfrac1{\sigma_1^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}\biggr), &(\sigma_1,\sigma)\in \Sigma_1, \\ \biggl(h^{2k}(\sigma_1),\dfrac1{\sigma_1^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}\biggr), &(\sigma_1,\sigma) \in\Sigma_2, \\ \biggl(\widehat\sigma^{2k},\dfrac1{\widehat\sigma_1^{2(r-k)} \operatorname{ch}2\beta\widehat\sigma_1}\biggr), &(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_3, \\ \biggl(\sigma^{2k},\dfrac{h_1^{2k}(\sigma^{2k})-\sigma^{2k}}{h_1^{2r}(\sigma^{2k}) \operatorname{ch}(2\beta h_1(\sigma^{2k}))}\biggr), &(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_4. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Через $\Theta(\sigma,\sigma_1)$ обозначим множество измеримых функций $\theta$ на $[-\sigma_1,-\sigma)\cup(\sigma,-\sigma_1]$, для которых $|\theta(t)|\leqslant1$ для п.в. $\sigma<|t|\leqslant\sigma_1$. Теорема. Пусть $k,r$ целые, $0\leqslant k\leqslant r$. 1) Если $\sigma>\sigma_1$, то $E(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) =\infty$. 2) Если $k\geqslant1$, то для всех $\sigma_1>0$, $\sigma\geqslant0$ таких, что $\sigma\leqslant\sigma_1$, имеет место равенство
$$
\begin{equation}
E(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)=\sqrt{\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
и для каждой функции $\theta\in\Theta(\sigma,\sigma_1)$ метод
$$
\begin{equation*}
\widehat m_\theta(y)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma(it)^ky(t)e^{itx}\,dt +\frac1{2\pi}\int_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}(it)^ka_\theta(t)y(t)e^{itx}\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
a_\theta(t)=\frac{\lambda_1+\theta(t)|t|^{r-k}\sqrt{\lambda_1\lambda_2\operatorname{ch}2\beta t} \, \sqrt{-t^{2k}+\lambda_1+ \lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}}{\lambda_1+\lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
является оптимальным. 3) Если $k=0$, то для всех $\sigma_1>0$, $\sigma\geqslant0$ таких, что $\sigma\leqslant\sigma_1$, имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
E(D^0,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)=\sqrt{\dfrac{\delta^2}{2\pi}+ \frac1{\sigma_1^{2r}\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}}
\end{equation*}
\notag
$$
и для каждой функции $\theta\in\Theta(\sigma,\sigma_1)$ метод где является оптимальным. Доказательство. По основной теореме о представлении аналитических функций над трубчатыми областями (см. [12]) следует, что $f\in\mathcal H_2^\beta$ в том и только том случае, если она имеет вид где $g$ – функция, удовлетворяющая условию ($g$ – преобразование Фурье функции $f(x)$, $x\in\mathbb R$). Из теоремы Планшереля вытекает тогда, что
Докажем, что $f\in\mathcal H_2^{r,\beta}\cap L_2(\mathbb R)$ принадлежит классу $H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ тогда и только тогда, когда
$$
\begin{equation}
\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Действительно, если $f\in H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$, то $f=f_1+f_2$, где $f_1\in H_2^{r,\beta}$, а $f_2\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$. Тогда, учитывая, что $Ff_2$ сосредоточено на отрезке $\Delta_{\sigma}$, имеем
$$
\begin{equation*}
\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt=\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff_1(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1.
\end{equation*}
\notag
$$
Обратно, пусть $f\in\mathcal H_2^{r,\beta}\cap L_2(\mathbb R)$ такова, что выполнено неравенство (3.9). Обозначим через $f_2\in L_2(\mathbb R)$ функцию, для которой $Ff_2=\chi_{\sigma}Ff$, где $\chi_{\sigma}$ – характеристическая функция отрезка $\Delta_\sigma$. Тогда ясно, что $f_2\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$. Положим $f_1=f-f_2$. Очевидно, что $f_1\in\mathcal H_2^{r,\beta}\cap L_2(\mathbb R)$, и в силу (3.8) (учитывая, что $Ff_1=0$ на $\Delta_{\sigma}$) будем иметь
$$
\begin{equation*}
\|f_1^{(r)}\|^2_{\mathcal H_2^\beta} =\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff_1(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt =\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $f=f_1+f_2\in H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$.
Пусть $f\in\mathcal H_2^{r,\beta}\cap L_2(\mathbb R)$ такова, что $\|Ff\|_{L_2(\Delta_{\sigma_1})}\leqslant\delta$, и выполнено неравенство (3.9). Для любого метода $m\colon L_2(\Delta_{\sigma_1})\to L_2(\mathbb R)$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2\|f^{(k)}\|_{L_2(\mathbb R)} &=\|f^{(k)}-m(0)-(-f^{(k)}-m(0))\|_{L_2(\mathbb R)} \\ &\leqslant \|f^{(k)}-m(0)\|_{L_2(\mathbb R)}+\|-f^{(k)}-m(0)\|_{L_2(\mathbb R)} \\ &\leqslant2e(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta,m). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\sup_{\substack{f\in\mathcal H_2^{r,\beta}\cap L_2(\mathbb R),\ \|Ff\|_{L_2(\Delta_{\sigma_1})}\leqslant\delta \\ \frac1{2\pi} \int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1}} \|f^{(k)}\|_{L_2(\mathbb R)} \\ &\qquad\leqslant e(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta,m) \leqslant E(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Рассмотрим экстремальную задачу в левой части (3.10). Переходя для удобства к квадратам, ее можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2k}|Ff(t)|^2\,dt\to\max, \\ \int_{|t|\leqslant\sigma_1}|Ff(t)|^2\,dt\leqslant\delta^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1, \\ f\in\mathcal H_2^{r,\beta}\cap L_2(\mathbb R). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
1) Предположим, что $\sigma>\sigma_1$. Пусть функция $f_0$ такова, что
$$
\begin{equation*}
Ff_0(t)= \begin{cases} c,&t\in(\sigma_1,\sigma), \\ 0,&t\notin(\sigma_1,\sigma), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $c>0$. Тогда $f_0$ – допустимая функция в задаче (3.11) и
$$
\begin{equation*}
\|f_0^{(k)}\|^2_{L_2(\mathbb R)}=\frac{c^2}{2\pi}\int_{\sigma_1}^\sigma t^{2k}\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Устремляя $c$ к бесконечности, получаем из (3.10), что
$$
\begin{equation*}
E(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
2) Пусть $k\geqslant1$. Докажем, что в каждой из областей $\Sigma_j$, $j=1,2,3,4$, выполнена оценка
$$
\begin{equation}
E(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)\geqslant \sqrt{\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Пусть $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_1$. Для каждого $n\in\mathbb N$ такого, что $1/n<\sigma$, рассмотрим функцию $f_n$, для которой
$$
\begin{equation}
Ff_n(t)=\begin{cases} \delta\sqrt n,&\sigma-\dfrac1n<t<\sigma, \\ \sqrt{2\pi n}\biggl(\sigma_1+\dfrac1n\biggr)^{-r}\operatorname{ch}^{-1/2}\biggl(2\beta\biggl(\sigma_1+\dfrac1n\biggr) \biggr), &\sigma_1<t<\sigma_1+\dfrac1n, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|Ff_n\|^2_{L_2(\Delta_{\sigma_1})}=\int_{\sigma-1/n}^\sigma\delta^2n\,dt=\delta^2, \\ \begin{split} &\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff_n(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad =\frac n{(\sigma_1+1/n)^{2r}\operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))}\int_{\sigma_1}^{\sigma_1+1/n}t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1. \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функции $f_n$ являются допустимыми в задаче (3.11). В силу (3.10) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) \\ &\qquad \geqslant\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2k}|Ff_n(t)|^2\,dt \\ &\qquad =\frac1{2\pi}\int_{\sigma-1/n}^\sigma t^{2k}\delta^2n\,dt +\frac n{(\sigma_1+1/n)^{2r}\operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))}\int_{\sigma_1}^{\sigma_1+1/n}t^{2k}\,dt \\ &\qquad =\frac{\delta^2n(\sigma^{2k+1}-(\sigma-1/n)^{2k+1})}{2\pi(2k+1)} \\ &\qquad\qquad +\frac n{(\sigma_1+1/n)^{2r}\operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))} \,\frac{(\sigma_1+1/n)^{2k+1}-\sigma_1^{2k+1}}{2k+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $n\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)\geqslant\frac{\delta^2\sigma^{2k}}{2\pi}+ \frac1{\sigma_1^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}=\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть теперь $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_2$. Прямая, соединяющая точку $(x(\sigma_1),y(\sigma_1))$ с началом координат, имеет вид $y=\lambda_2x$, где
$$
\begin{equation*}
\lambda_2=\frac{y(\sigma_1)}{x(\sigma_1)}=\frac1{\sigma_1^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как было отмечено, в силу вогнутости функции $s$ найдется точка $t_0$ такая, что касательная к $s$ в точке $(x(t_0),y(t_0))$ будет параллельна прямой $y=\lambda_2x$. Сама касательная, проходящая через точку $(x(t_0),y(t_0))$, будет иметь вид $y= \lambda_1+ \lambda_2x$, где
$$
\begin{equation*}
\lambda_1=t_0^{2k}-\lambda_2t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0=t_0^{2k}\biggl(1-\frac{t_0^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta t_0}{\sigma_1^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}\biggr)=h^{2k}(\sigma_1).
\end{equation*}
\notag
$$
Из того, что $\sigma_1\leqslant\widehat\sigma_1$, вытекает, что $t_0\leqslant\widehat t_0$. Следовательно, $t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0\leqslant2\pi/\delta^2$. Для каждого $n\in\mathbb N$ такого, что $h(\sigma_1)<t_0-1/n$, рассмотрим функцию $f_n$, для которой
$$
\begin{equation*}
Ff_n(t)= \begin{cases} \delta\sqrt n,&t_0-\dfrac1n<t<t_0, \\ \dfrac{\sqrt{n(2\pi-\delta^2t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0)}}{(\sigma_1+1/n)^r\sqrt{\operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))}}, &\sigma_1<t<\sigma_1+\dfrac1n, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|Ff_n\|^2_{L_2(\Delta_{\sigma_1})}=\int_{t_0-1/n}^{t_0}\delta^2n\,dt=\delta^2, \\ \begin{aligned} \, &\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff_n(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad =\frac{\delta^2n}{2\pi}\int_{t_0-1/n}^{t_0} t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad\qquad+\frac{n(2\pi-\delta^2t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0)}{2\pi(\sigma_1+1/n)^{2r}\operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))} \int_{\sigma_1}^{\sigma_1+1/n}t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad \leqslant\frac{\delta^2}{2\pi}t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0+1-\frac{\delta^2}{2\pi}t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0=1. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функции $f_n$ являются допустимыми в задаче (3.11). В силу (3.10) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) \\ &\qquad\geqslant\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2k}|Ff_n(t)|^2\,dt \\ &\qquad =\frac1{2\pi}\int_{t_0-1/n}^{t_0}t^{2k}\delta^2n\,dt+\frac{n(2\pi-\delta^2t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0)}{2\pi(\sigma_1+1/n)^{2r}\operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))} \int_{\sigma_1}^{\sigma_1+1/n}t^{2k}\,dt \\ &\qquad =\frac{\delta^2n(t_0^{2k+1}-(t_0-1/n)^{2k+1})}{2\pi(2k+1)} \\ &\qquad\qquad +\frac{n(2\pi-\delta^2t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0)((\sigma_1+1/n)^{2k+1}-\sigma_1^{2k+1})}{2\pi(2k+1)(\sigma_1+1/n)^{2r} \operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $n\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) \\ &\qquad\geqslant\frac{\delta^2t_0^{2k}}{2\pi}+\frac{2\pi-\delta^2t_0^{2r}\operatorname{ch}2\beta t_0}{2\pi\sigma_1^{2(r-k)} \operatorname{ch}2\beta\sigma_1} \\ &\qquad =\frac{\delta^2t_0^{2k}}{2\pi}\biggl(1-\frac{t_0^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta t_0}{\sigma_1^{2(r-k)} \operatorname{ch}2\beta\sigma_1}\biggr)+\frac1{\sigma_1^{2(r-k)} \operatorname{ch}2\beta\sigma_1} \\ &\qquad=\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_3$. Для каждого $n\in\mathbb N$ такого, что $\sigma<\widehat t_0-1/n$, рассмотрим функцию $f_n$, для которой
$$
\begin{equation*}
Ff_n(t)= \begin{cases} \delta\sqrt n,&\widehat t_0-\dfrac1n<t<\widehat t_0, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|Ff_n\|^2_{L_2(\Delta_{\sigma_1})}=\int_{\widehat t_0-1/n}^{\widehat t_0}\delta^2n\,dt=\delta^2, \\ \begin{aligned} \, \frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff_n(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt &=\frac{\delta^2n}{2\pi}\int_{\widehat t_0-1/n}^{\widehat t_0} t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\leqslant\frac{\delta^2}{2\pi}\widehat t_0^{\,2r}\operatorname{ch}2\beta\widehat t_0=1. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, функции $f_n$ являются допустимыми в задаче (3.11). В силу (3.10) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) \\ &\qquad\geqslant\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2k}|Ff_n(t)|^2\,dt =\frac1{2\pi}\int_{\widehat t_0-1/n}^{\widehat t_0}t^{2k}\delta^2n\,dt \\ &\qquad =\frac{\delta^2n(\widehat t_0^{\,2k+1}-(\widehat t_0-1/n)^{2k+1})}{2\pi(2k+1)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $n\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)\geqslant\frac{\delta^2\widehat t_0^{\,2k}}{2\pi}=\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi} +\lambda_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_4$, а $t_0$ – точка, которая определялась при рассмотрении случая, когда $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_2$. Положим $\xi=h_1(\sigma^{2k})$. В силу того, что $\sigma\leqslant h(\sigma_1)$, получаем, что $\xi\leqslant t_0<\sigma_1$. Кроме того, так как $\sigma\geqslant\widehat\sigma$, то $\xi\geqslant\widehat t_0$. Следовательно, $\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi\geqslant2\pi/\delta^2$. Для каждого $n\in\mathbb N$ такого, что $1/n<\sigma$ и $\xi-1/n>\sigma$, рассмотрим функцию $f_n$, для которой
$$
\begin{equation*}
Ff_n(t)= \begin{cases} \sqrt n\sqrt{\delta^2-\dfrac{2\pi}{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}},&\sigma-\dfrac1n<t<\sigma, \\ \dfrac{\sqrt{2\pi n}}{\xi^r\sqrt{\operatorname{ch}2\beta\xi}},&\xi-\dfrac1n<t<\xi, \\ 0& \text{в остальных случаях}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|Ff_n\|^2_{L_2(\Delta_{\sigma_1})}=\int_{\sigma-1/n}^\sigma n\biggl(\delta^2- \dfrac{2\pi}{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\biggr)\,dt+\int_{\xi-1/n}^\xi\frac {2\pi n}{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\,dt=\delta^2, \\ \frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff_n(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt=\frac n{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\int_{\xi-1/n}^\xi t^{2r}|Ff_n(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым функции $f_n$ являются допустимыми в задаче (3.11). В силу (3.10) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) \\ &\qquad\geqslant\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}t^{2k}|Ff_n(t)|^2\,dt \\ &\qquad =\frac n{2\pi}\biggl(\delta^2-\dfrac{2\pi}{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\biggr) \int_{\sigma-1/n}^\sigma t^{2k}\,dt+\frac n{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\int_{\xi-1/n}^\xi t^{2k}\,dt \\ &\qquad =\frac n{2\pi}\biggl(\delta^2-\dfrac{2\pi}{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\biggr) \frac{\sigma^{2k+1}-(\sigma-1/n)^{2k+1}}{2k+1} \\ &\qquad\qquad +\frac n{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\frac{\xi^{2k+1}-(\xi-1/n)^{2k+1}}{2k+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $n\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, E^2(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) &\geqslant\frac {\sigma^{2k}}{2\pi}\biggl(\delta^2-\dfrac{2\pi}{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi}\biggr)+\frac {\xi^{2k}}{\xi^{2r}\operatorname{ch}2\beta\xi} \\ &=\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Будем искать оптимальные методы восстановления $m_a\colon L_2(\Delta_{\sigma_1})\to L_2(\mathbb R)$ среди отображений, которые в образах Фурье представляются в виде
$$
\begin{equation}
Fm_a(y)(t)= \begin{cases} (it)^ka(t)y(t),&t\in\Delta_{\sigma_1}, \\ 0,&t\notin\Delta_{\sigma_1}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Для оценки погрешности такого метода нужно оценить значение экстремальной задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \|f^{(k)}-m_a(y)\|_{L_2(\mathbb R)}\to\max, \\ \|Ff-y\|_{L_2(\Delta_{\sigma_1})}\leqslant\delta, \qquad f\in H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Переходя к образам Фурье в максимизируемом функционале, получим по теореме Планшереля, что квадрат значения задачи (3.15) равен значению такой задачи
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac 1{2\pi}\int_{-\sigma_1}^{\sigma_1}t^{2k}|Ff(t)-a(t)y(t)|^2\,dt+\frac 1{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2k}|Ff(t)|^2\,dt\to\max, \\ \int_{-\sigma_1}^{\sigma_1}|Ff(t)-y(t)|^2 \,dt\leqslant\delta^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{|t|\geqslant\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt\leqslant1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Заметим, что на допустимых в этой задаче парах $(f,y)$, где $f\in\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ и $y=Ff$, максимизируемый функционал имеет вид
$$
\begin{equation*}
\frac 1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma t^{2k}|Ff(t)|^2|1-a(t)|^2\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что если функция $a$ не равна п.в. единице на $\Delta_\sigma$, то, поскольку $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ – линейное пространство, значение задачи (3.16) (и тем самым задачи (3.15)) равно бесконечности, т.е. погрешность метода с таким $a$ бесконечна.
Пусть $a\equiv1$ на $\Delta_\sigma$. Оценим сверху максимизируемый функционал в (3.16), представив его для этого в виде суммы трех слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1=&\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma t^{2k}|Ff(t)-y(t)|^2\,dt, \\ I_2=&\frac1{2\pi}\int_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}t^{2k}|Ff(t)-a(t)y(t)|^2\,dt, \\ I_3=&\frac 1{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2k}|Ff(t)|^2\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что
$$
\begin{equation}
I_1\leqslant\frac{\lambda_1}{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma|Ff(t)-y(t)|^2\,dt
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
во всех областях $\Sigma_j$, $j=1,2,3,4$. Действительно, неравенство
$$
\begin{equation*}
I_1\leqslant\frac{\sigma^{2k}}{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma|Ff(t)-y(t)|^2\,dt
\end{equation*}
\notag
$$
очевидно. Так как $\sigma^{2k}=\lambda_1$ в $\Sigma_1$ и $\Sigma_4$, то для этих областей (3.17) выполняется. Если $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_2$, то а если $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_3$, то так что оценка (3.17) выполняется для всех областей.
Оценим теперь величину $I_2$. Используя неравенство Коши–Буняковского, будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &t^{2k}|Ff(t)-a(t)y(t)|^2 \\ \notag &\qquad=t^{2k}|(1-a(t))Ff(t)+a(t)(Ff(t)-y(t))|^2 \\ &\qquad \leqslant t^{2k}\biggl(\frac{|1-a(t)|^2} {\lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}+\frac{|a(t)|^2}{\lambda_1}\biggr)(\lambda_2t^{2r} |Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t+\lambda_1|Ff(t)-y(t)|^2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
S_a=\operatorname*{vraimax}_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}t^{2k}\biggl(\frac{|1-a(t)|^2} {\lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}+\frac{|a(t)|^2}{\lambda_1}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, интегрируя (3.18), получаем следующую оценку для величины $I_2$:
$$
\begin{equation}
I_2\leqslant\frac{S_a}{2\pi}\int_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}(\lambda_2t^{2r} |Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t+\lambda_1|Ff(t)-y(t)|^2)\,dt.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Покажем теперь, что для $I_3$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
I_3\leqslant\frac{\lambda_2}{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
во всех областях $\Sigma_j$, $j=1,2,3,4$. Имеем
$$
\begin{equation*}
I_3=\frac1{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2(k-r)}t^{2r}|Ff(t)|^2\,dt\leqslant \frac{\sigma_1^{2(k-r)}}{2\pi\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку в областях $\Sigma_1$ и $\Sigma_2$
$$
\begin{equation*}
\lambda_2=\frac{\sigma_1^{2(k-r)}}{\operatorname{ch}2\beta\sigma_1},
\end{equation*}
\notag
$$
то в этих областях неравенство (3.20) выполняется. Если $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_3$, то $\sigma_1\geqslant \widehat\sigma_1$. Поэтому
$$
\begin{equation*}
\lambda_2=\dfrac1{\widehat\sigma_1^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta\widehat\sigma_1} \geqslant\frac{\sigma_1^{2(k-r)}}{\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_4$. Тогда $\lambda_2$ – угловой коэффициент касательной к $s$ в точке $(x(\xi),y(\xi))$, а величина $\sigma_1^{2(k-r)}\operatorname{ch}^{-1}2\beta\sigma_1$ – угловой коэффициент касательной к $s$ в точке $(x(t_0),y(t_0))$ (точка $t_0$ определялась при рассмотрении оценки снизу для случая $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_2$). Поскольку $\xi\leqslant t_0$, а функция $s$ вогнутая, то
$$
\begin{equation*}
\lambda_2\geqslant\frac{\sigma_1^{2(k-r)}}{\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, оценка (3.20) справедлива во всех областях.
Если предположить, что функция $a$ такова, что $S_a\leqslant1$, то, складывая неравенства (3.17), (3.19) и (3.20), получаем следующую оценку для максимизируемого функционала в задаче (3.16):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{\lambda_1}{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma|Ff(t)-y(t)|^2\,dt \\ &\qquad\qquad +\frac 1{2\pi}\int_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}(\lambda_2t^{2r} |Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t+\lambda_1|Ff(t)-y(t)|^2)\,dt \\ &\qquad\qquad +\frac{\lambda_2}{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad =\frac{\lambda_1}{2\pi}\int_{-\sigma_1}^{\sigma_1}|Ff(t)-y(t)|^2\,dt +\frac{\lambda_2}{2\pi} \int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad\leqslant\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
e(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta,m_a)\leqslant\sqrt{\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.12), получаем, что
$$
\begin{equation*}
E(D^k,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)=\sqrt{\lambda_1\frac{\delta^2}{2\pi}+\lambda_2},
\end{equation*}
\notag
$$
а методы $m_a$ оптимальные.
Покажем, что функции $a$, для которых $S_a\leqslant1$, существуют. Заметим (“выделяя полный квадрат”), что условие $S_a\leqslant1$ равносильно тому, что для п.в. $\sigma<|t|\leqslant\sigma_1$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|a(t)-\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}\biggr|^2\leqslant \frac{\lambda_1\lambda_2t^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta t(-t^{2k}+\lambda_1+ \lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t)}{(\lambda_1+\lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если
$$
\begin{equation}
-t^{2k}+\lambda_1+\lambda_2t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t\geqslant0
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
при $\sigma<|t|\leqslant\sigma_1$, то такие $a$, очевидно, существуют и описываются равенством (3.5).
Если $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_1$, то прямая $y=\lambda_1+\lambda_2x$ параллельна касательной, проведенной к $s$ в точке $(x(t_0),y(t_0))$, где $t_0$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\frac{kt_0^{2(k-r)}}{r\operatorname{ch}2\beta t_0+t_0\beta\operatorname{sh}2\beta t_0}=\frac1{\sigma_1^{2(r-k)}\operatorname{ch}2\beta \sigma_1}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. (3.1)), и в силу условия $\sigma\geqslant h(\sigma_1)$ проходит не ниже касательной. Следовательно, в силу вогнутости $s$ для всех $x\geqslant0$ выполняется неравенство $\lambda_1+\lambda_2x\geqslant s(x)$. Отсюда вытекает условие (3.21). В остальных трех случаях прямые $y=\lambda_1+\lambda_2x$ являются касательными к $s$, и по тем же соображениям условие (3.21) выполнено.
3) Пусть $k=0$, $\sigma_1>0$, $\sigma\geqslant0$ и $\sigma\leqslant\sigma_1$. Как было показано выше, функции $f_n$, определенные равенством (3.13), являются допустимыми в задаче (3.11). Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &E^2(D^0,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta) \\ &\qquad\geqslant\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|Ff_n(t)|^2\,dt \\ &\qquad =\frac1{2\pi}\int_{\sigma-1/n}^\sigma\delta^2n\,dt +\frac n{(\sigma_1+1/n)^{2r}\operatorname{ch}(2\beta(\sigma_1+1/n))}\int_{\sigma_1}^{\sigma_1+1/n}\,dt \\ &\qquad =\frac{\delta^2}{2\pi}+\frac1{(\sigma_1+1/n)^{2r}\operatorname{ch}2\beta(\sigma_1+1/n)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя к пределу при $n\to\infty$, получаем
$$
\begin{equation}
E^2(D^0,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)\geqslant\frac{\delta^2}{2\pi}+\widetilde\lambda,\qquad\widetilde\lambda= \frac1{\sigma_1^{2r}\operatorname{ch}2\beta\sigma_1}.
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Будем искать оптимальные методы восстановления $m_a\colon L_2(\Delta_{\sigma_1})\to L_2(\mathbb R)$ среди отображений, которые в образах Фурье представляются в виде (3.14) с $k=0$. Рассуждая по той же схеме, которая была приведена выше, считаем, что $a\equiv1$ на $\Delta_\sigma$, и будем оценивать сверху максимизируемый функционал в (3.16) (при $k=0$), представив его для этого в виде суммы трех слагаемых:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1=&\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma|Ff(t)-y(t)|^2\,dt, \\ I_2=&\frac1{2\pi}\int_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}|Ff(t)-a(t)y(t)|^2\,dt, \\ I_3=&\frac 1{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}|Ff(t)|^2\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оценим $I_2$. Используя неравенство Коши–Буняковского, будем иметь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|Ff(t)-a(t)y(t)|^2 \\ \notag &\qquad=|(1-a(t))Ff(t)+a(t)(Ff(t)-y(t))|^2 \\ &\qquad \leqslant\biggl(\frac{|1-a(t)|^2} {\widetilde\lambda t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}+|a(t)|^2\biggr)\bigl(\widetilde\lambda t^{2r} |Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t+|Ff(t)-y(t)|^2\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\widetilde S_a=\operatorname*{vraimax}_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}\biggl(\frac{|1-a(t)|^2} {\widetilde\lambda t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}+|a(t)|^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, интегрируя (3.23), получаем следующую оценку для величины $I_2$:
$$
\begin{equation*}
I_2\leqslant\frac{\widetilde S_a}{2\pi}\int_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}(\widetilde\lambda t^{2r} |Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t+|Ff(t)-y(t)|^2)\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $I_3$ имеем
$$
\begin{equation*}
I_3\leqslant\frac{\widetilde\lambda}{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Если предположить, что функция $a$ такова, что $\widetilde S_a\leqslant1$, то, учитывая оценки, полученные для $I_2$ и $I_3$, получаем следующую оценку для максимизируемого функционала в задаче (3.16) (при $k=0$):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac1{2\pi}\int_{-\sigma}^\sigma|Ff(t)-y(t)|^2\,dt \\ &\qquad\qquad +\frac 1{2\pi}\int_{\sigma<|t|\leqslant\sigma_1}(\widetilde\lambda t^{2r} |Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t+|Ff(t)-y(t)|^2)\,dt \\ &\qquad\qquad +\frac{\widetilde\lambda}{2\pi}\int_{|t|>\sigma_1}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad =\frac1{2\pi}\int_{-\sigma_1}^{\sigma_1}|Ff(t)-y(t)|^2\,dt +\frac{\widetilde\lambda}{2\pi} \int_{|t|>\sigma}t^{2r}|Ff(t)|^2\operatorname{ch}2\beta t\,dt \\ &\qquad\leqslant\frac{\delta^2}{2\pi}+\widetilde\lambda. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
e(D^0,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta,m_a)\leqslant\sqrt{\frac{\delta^2}{2\pi}+\widetilde\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (3.22), получаем, что
$$
\begin{equation*}
E(D^0,H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R),I_{\sigma_1},\delta)=\sqrt{\frac{\delta^2}{2\pi}+\widetilde\lambda},
\end{equation*}
\notag
$$
а методы $m_a$ оптимальные.
Условие $\widetilde S_a\leqslant1$ равносильно тому, что для п.в. $\sigma<|t|\leqslant\sigma_1$ выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl|a(t)-\frac1{1+\widetilde\lambda t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}\biggr|\leqslant \frac{\widetilde\lambda t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}{1+\widetilde\lambda t^{2r}\operatorname{ch}2\beta t}.
\end{equation*}
\notag
$$
Такие $a$, очевидно, существуют и описываются равенством (3.6).
Теорема доказана. § 4. Обсуждение оптимальных методовПри восстановлении $f^{(k)}$ на классе $H_2^{r,\beta}+\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ по неточно заданному преобразованию Фурье функции $f$ на отрезке $[-\sigma_1,\sigma_1]$ возникают следующие два вопроса:
Иными словами, нас интересует, не является ли часть информации, которая нам дается о функции $f$, лишней и нельзя ли среди получаемого семейства оптимальных методов найти тот, который был бы точен на более широком подпространстве и не увеличивал бы погрешность оптимального восстановления? Будем рассматривать случай, когда $k\geqslant1$. Ответы на эти вопросы зависят от того, в какую из областей $\Sigma_j$, $j= 1,2,3,4$, попадает точка $(\sigma_1,\sigma)$. В случае, когда $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_1$, из (3.4) видно, что при уменьшении $\sigma_1$ или увеличении $\sigma$ погрешность оптимального восстановления увеличивается. Тем самым ответы на эти вопросы в этом случае отрицательные. Если $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_2$, то погрешность оптимального восстановления не изменится для точки $(\sigma_1,h(\sigma_1)$. Это означает, что можно расширить исходное подпространство $\mathcal B_{\sigma,2}(\mathbb R)$ до подпространства $\mathcal B_{h(\sigma_1),2}(\mathbb R)$, не увеличивая при этом погрешность оптимального восстановления. При $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_4$ можно уменьшить отрезок, на котором задается информация о функции $f$, сузив его до отрезка $[-\sigma_1',\sigma_1']$, где $\sigma_1'$ таково, что $h(\sigma_1')=\sigma$. Наконец, если $(\sigma_1,\sigma)\in\Sigma_3$, то можно и сузить отрезок, на котором задается информация о функции $f$, до отрезка $[-\widehat\sigma_1,\widehat\sigma_1]$, и расширить подпространство до $\mathcal B_{\widehat\sigma,2}(\mathbb R)$. Схематично эти переходы показаны на рис. 4. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Osi24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|