| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Числа, удаленные от простых, образуют базис порядка М. Р. Габдуллинab, А. О. Радомскийc a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва b University of Illinois Urbana-Champaign, Champaign, IL, USA c Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9980e 
Реферативные базы данных:
     § 1. ВведениеПусть $p_n$ – $n$-е простое число и – длина наибольшего промежутка между последовательными простыми, не превосходящими $X$. При помощи усреднения из асимптотического закона распределения простых чисел легко получается оценка $G(X)\geqslant (1+o(1))\log X$, а в 1938 г. Р. А. Ранкин (см. [1]) получил оценку вида
$$
\begin{equation*}
G(X)\geqslant(c+o(1))\frac{\log X \log\log X\log\log\log\log X}{(\log\log\log X)^2},
\end{equation*}
\notag
$$
улучшающую предыдущие результаты Е. Вестфинсиуса (см. [2]) и П. Эрдёша (см. [3]). Ранкин доказал вышеупомянутую оценку для $c=1/3$, и в течение последующих 80 лет константа увеличивалась во многих работах; последнее улучшение $c=2e^{\gamma}$ принадлежит Дж. Пинцу (см. [4]). В 2016 г. К. Форд, В. Грин, С. В. Конягин и Т. Тао (см. [5]) и независимо от них Дж. Мейнард (см. [6]) показали различными методами, что значение $c$ можно выбрать сколь угодно большим, что дало положительный ответ на давнюю гипотезу П. Эрдёша (см. [7]). В 2018 г., сочетая идеи из работ [5] и [6], эти пять авторов добились дальнейшего прорыва (см. [8]), установив, что
$$
\begin{equation}
G(X)\gg \frac{\log X \log\log X \log\log\log\log X}{\log\log\log X}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Ожидается, что величина $G(X)$ имеет порядок $(\log X)^2$ (см. [9] для более точной формулировки гипотезы Крамера, основанной на вероятностной модели для простых чисел; данная модель также была усовершенствована А. Гренвиллем в [10] и совсем недавно У. Бэнксом, К. Фордом и Т. Тао в [11]). Заметим также, что наилучшая известная верхняя оценка для $G(X)$ вида $G(X)\ll X^{0.525}$ была получена К. Бейкером, Г. Харманом и Дж. Пинцем (см. [12]). За дальнейшим обсуждением величины $G(X)$ мы отсылаем читателя к работе [8]. В работе [13] К. Форд, Д. Р. Хис-Браун и С. В. Конягин ввели понятие “избегания” простых чисел. Для натурального $n$ обозначим через $F(n)$ расстояние от $n$ до ближайшего простого числа (ясно, что максимум значений $F(n)$ по всем $n\leqslant X$ имеет тот же порядок, что и $G(X)$). Они назвали $n$ “числом, избегающим простые числа с константой $c$”, если
$$
\begin{equation*}
F(n)\geqslant c\frac{\log n \log\log n \log\log\log\log n}{(\log\log\log n)^2},
\end{equation*}
\notag
$$
и доказали, что для всякого натурального $k$ существует постоянная $c=c(k)\,{>}\,0$ такая, что существует бесконечно много точных $k$-х степеней, избегающих простых чисел с константой $c$. Используя метод работы [8], Х. Майер и М. Ч. Рассиас (см. [14]) распространили данный результат на $k$-е степени простых чисел и более сильное избегание простых чисел (с нижней оценкой вида (1.1)); см. также их недавнюю работу [15]. В настоящей работе мы рассматриваем следующую аддитивную задачу, связанную с избеганием простых чисел: можно ли установить, что всякое большое положительное целое число $N$ представимо в виде суммы двух чисел $n_1$ и $n_2$, где оба числа $F(n_1)$ и $F(n_2)$ велики в терминах $N$? На первый взгляд может показаться, что для доказательства такого результата нужно использовать метод работы [8] (которая в общих чертах следует стратегиям предыдущих работ, начиная со статьи К. Вестфинсиуса). Однако имеется общее препятствие, которое делает данную идею неприменимой в контексте нашей задачи. В данном подходе используется “гладкое” число $m$, делящееся на все простые числа вплоть до некоторого (относительного небольшого) $z$, с помощью которого можно гарантировать, что большинство из $G(X)$ подряд идущих чисел, начиная с $m+2$, делятся на маленькое простое число; после этого цель состоит в том, чтобы использовать большие простые числа, чтобы отсеять оставшиеся числа и сделать данную процедуру как можно более эффективной. Однако если построить при помощи этой конструкции $n_1$ и $n_2$, то оба эти числа будут близки к таким гладким числам, так что их сумма (которую мы хотим сделать равной $N$) также будет близка к гладкому числу и, таким образом, не может быть произвольной. Стало быть, чтобы продвинуться в решении поставленной задачи, нужно использовать совершенно другой метод. Прежде всего отметим, что некоторая стандартная техника позволяет нам установить следующее “тривиальное” утверждение. Заметим, что из асимптотического закона распределения простых чисел следует, что среднее значение $F(n)$ (взятое по всем $n\leqslant N$) имеет порядок хотя бы $\log N$. Предложение 1.1. Всякое достаточно большое натуральное число $N$ может быть представлено в виде суммы $N=n_1\,{+}\,n_2$, где $F(n_i)\gg \log N$, $i=1,2$. Цель настоящей работы – улучшить нижнюю оценку из данного утверждения, т.е. доказать аналогичное утверждение, в котором $\log N$ умножается на некоторую растущую функцию. Для числа $\rho\in(0,1)$ положим
$$
\begin{equation}
C(\rho)=\sup\biggl\{\delta\in\biggl(0,\frac 12\biggr)\colon \frac{6\cdot10^{2\delta}}{\log(1/(2\delta))}<\rho\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Наш основной результат состоит в следующем. Теорема 1.1. Всякое достаточно большое натуральное число $N$ может быть представлено в виде суммы $N=n_1+n_2$, где для $i=1,2$. Более того, из доказательства теоремы 1.1 следует, что существует по меньшей мере $\exp((\log N)^{1-o(1)})$ таких представлений (в силу существования многих “хороших” значений $\mathbf b$ в теореме 4.1; см. § 4). Отметим, что численная проверка позволяет установить неравенство $C(1/2)>1/325565$. Теорема 1.1 допускает следующую интерпретацию. Напомним, что множество $A\subseteq \mathbb{N}$ называется базисом порядка $k$, если всякое достаточно большое натуральное число может быть представлено в виде суммы $k$ слагаемых, принадлежащих $A$. Рассмотрим множество
$$
\begin{equation*}
\bigl\{n\geqslant3\colon F(n)\geqslant (\log n)(\log\log n)^\delta \bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
(которое является примером множества чисел, избегающих простых чисел). Из теоремы 1.1 следует, что это множество – базис порядка $2$ для каждого $\delta<C(1/2)$. Для доказательства теоремы 1.1 мы применяем метод недавней работы [16] К. Форда, С. В. Конягина, Дж. Мейнарда, К. Померанса и Т. Тао, в которой авторы используют лемму типа Пипинджера–Спенсера о покрытии гиперграфа (которая была представлена в статье [8]) для выявления больших промежутков в общих просеянных множествах. Для формулировки их результата нам потребуется следующее определение (символ $p$ всегда означает простое число). Определение 1.1. Просеивающая система – это набор $\mathcal{I}$ множеств $I_p \subset \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ остатков по модулю $p$ для каждого простого $p$. Основной результат работы [16] состоит в том, что для просеивающей системы с указанными свойствами просеянное множество
$$
\begin{equation*}
S_x=S_x(\mathcal{I})=\mathbb{Z}\setminus\bigcup_{p\leqslant x}I_p
\end{equation*}
\notag
$$
(множество целых чисел, не принадлежащих ни одному из множеств $I_p$, где $p\leqslant x$) допускает промежуток, не содержащий элементов $S_x$ и имеющий длину $x(\log x)^{C(\rho)-o(1)}$, где $C(\rho)$ определено1 формулой (1.2) и скорость убывания в $o(1)$ зависит от $\mathcal{I}$. Несмотря на то, что данная общая оценка, примененная к решету Эратосфена (т.е. к просеивающей системе с условием $I_p=\{0\}$ для всех $p$) дает только оценку
$$
\begin{equation*}
G(X) \gg (\log X)(\log\log X)^{C(1)-o(1)} \gg (\log X)(\log\log X)^{1/835},
\end{equation*}
\notag
$$
которая слабее, чем (1.1), она не имеет дела с “гладкими” числами из предыдущего обсуждения, что является для нас существенным преимуществом. В доказательстве теоремы 1.1 мы также будем работать с одномерной эратосфеновой просеивающей системой; однако нам придется работать с двумя множествами $S_x-n_1$ и $S_x-N+n_1$ (для некоторого $n_1$) одновременно; наша цель будет состоять в том, чтобы обеспечить выполнение неравенства (2.2) из § 2. Для этого мы используем два непересекающихся множества “больших” простых чисел плотности $1/2$ (именно поэтому нижняя оценка в нашем результате содержит показатель $C(1/2)$). К счастью для нас, одномерность оказывается нужна только для “малых” простых чисел, так что у нас получается использовать их до разделения множества больших простых. За исключением этой необходимости работы с двумя множествами одновременно, наше доказательство практически повторяет доказательство основного результата работы [16]. Однако в силу новых технических трудностей работа [16] содержит не так много утверждений, которые могут быть использованы нами без изменений, поэтому мы решили привести полное доказательство, несмотря на большое пересечение с текстом статьи [16]. Настоящая работа организована следующим образом. В § 2 мы доказываем предложение 1.1 (доказательство относительно просто и основывается на идеях, которые нужны для нашего основного результата); вместе с тем мы сводим теорему 1.1 к задаче просеивания двух сдвигов $S_{x/2}$. В § 3 мы приводим краткое изложение следующих шагов доказательства и вводим необходимые обозначения. Рассуждения в §§ 4–6 являются аналогами рассуждений из §§ 3–5 статьи [16], а наши теоремы 4.1 и 5.1 – модифицированные версии теорем 2 и 3 статьи [16]. БлагодарностьАвторы благодарны С. В. Конягину за постановку задачи. § 2. Предварительные сведения и доказательство предложения 1.1В этом параграфе мы доказываем предложение 1.1 для того, чтобы проиллюстрировать некоторые части общей стратегии в более простом контексте, а также произвести первую редукцию теоремы 1.1. Это доказательство сходно с утверждением (1.8) из работы [16] (которое показывает наличие промежутка длины ${\gg}\, x$ между элементами $S_x$); разница состоит в том, что нам вновь нужно работать с двумя множествами вместо одного. Доказательство предложения 1.1. Пусть $x\geqslant 2$. Положим
$$
\begin{equation*}
S_x=\{n\in \mathbb{Z}\colon n\neq0 \ (\operatorname{mod}p) \text{ для всех } p\leqslant x\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $S_x$ – периодическое множество периода $P(x)=\prod_{p\leqslant x}p$, содержащее все простые числа, большие $x$. Положим $z=x/2$ и выберем число $b'\in \mathbb{Z}/P(z)\mathbb{Z}$ случайно с равномерным распределением. Рассмотрим случайные множества
$$
\begin{equation*}
A_{b'}:=(S_z-b')\cap[-y,y], \qquad A_{N-b'}:=(S_z-N+b')\cap[-y,y],
\end{equation*}
\notag
$$
где $y=\lfloor 0.08x \rfloor$ и для множества $S\subset\mathbb{Z}$ и целого числа $b$ через $S\,{-}\,b$ обозначено множество $\{s-b\colon s\in S\}$. Справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{E}|A_{b'}| &=\mathbb{E}\sum_{|n|\leqslant y}1_{n\in S_z-b'}=\sum_{|n|\leqslant y}\prod_{p\leqslant z}\mathbb P(b'\neq -n\ (\operatorname{mod}p)) \\ &=\sum_{|n|\leqslant y}\prod_{p\leqslant z}\biggl(1-\frac1p\biggr)=\frac{(2e^{-\gamma}+o(1))y}{\log z}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma$ – константа Эйлера–Маскерони, и аналогично
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}|A_{N-b'}|=\frac{(2e^{-\gamma}+o(1))y}{\log z}.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, если $x$ достаточно велико, то Следовательно, можно выбрать $b'$ по модулю $P(z)$ так, что
Выберем число $P_{z,x}=\prod_{z<p\leqslant x}p$ и множество
$$
\begin{equation*}
S_{z,x}=\{n\in\mathbb{Z}\colon n\neq 0 \ (\operatorname{mod}p)\ \forall p\in(z,x]\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем теперь число $b$ по модулю $P(x)$. Полагая $b\equiv b'\ (\operatorname{mod}P(z))$, мы утверждаем, что можно выбрать $b \ (\operatorname{mod}P_{z,x})$ (обозначим его $b''$) так, что
$$
\begin{equation}
(S_x-b)\cap[-y,y]=(S_x-N+b)\cap [-y,y] = \varnothing.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Чтобы установить, что это возможно, заметим, что
$$
\begin{equation*}
S_x-b=\{n\in \mathbb{Z}\colon n\neq -b \ (\operatorname{mod}p) \ \forall\, p\leqslant x\} = (S_z-b')\cap (S_{z,x}-b'').
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, для каждого элемента $m\in A_{b'}$ выберем простое $q\in(z,x]$ и, пользуясь китайской теоремой об остатках, определим $b\equiv b_q\ (\operatorname{mod}q)$ так, что $m\equiv -b_q \ (\operatorname{mod}q)$; тогда $m\notin S_{z,x}-b''$ и, следовательно, $m\notin S_x-b$. Будем действовать подобным же образом для каждого $m\in A_{N-b'}$. Поскольку отрезок $(z,x]$ содержит $(0.5\,{+}\,o(1))x/\log x$ простых чисел, а количество “выживших” чисел из $m\in A_{b'}\cup A_{N-b'}$ не больше $0.4x/\log x$, то можно произвести данный шаг “очистки”.
Чтобы завершить доказательство, положим $f(n)=\min\{|n-l|\colon l\in S_x\}$. Тогда равенство (2.1) означает, что для нашего выбора $b\ (\operatorname{mod}P(x))$. Возьмем теперь $x\approx \log (N/2)$ максимальным таким, что $P(x)\leqslant N/2$. Тогда мы видим, что можно выбрать $b$ с условием $b\in [N/4,3N/4]$; значит, также имеем $N-b\in [N/4,3N/4]$. Наконец, поскольку $\{N^{1/2}<p\leqslant N\} \subset S_x$, получаем и аналогично для $F(N-b)\gg \log N$. Это и завершает доказательство предложения 1.1.Теперь ясно, что для доказательства теоремы 1.1 достаточно показать, что для любого фиксированного $\delta<C(1/2)$ и $y=\lceil x(\log x)^{\delta} \rceil$ можно выбрать $b$ по модулю $P(x/2)$ так, что
$$
\begin{equation}
\bigl|\bigl((S_{x/2}-b)\cup (S_{x/2}-N+b)\bigr)\cap [-y,y]\bigr| \leqslant \biggl(\frac12-\varepsilon\biggr)\frac{x}{\log x}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
для некоторого $\varepsilon>0$. Тогда, используя те же аргументы, что и в шаге очистки из доказательства выше, можно легко получить, что $F(b)$ и $F(N-b)$ оба ${\gg}\,(\log N)(\log\log N)^{\delta}$, откуда будет следовать теорема 1.1. Отметим, что условие $\delta<C(1/2)$ эквивалентно (вспоминая определение (1.2) величины $C(\rho)$)
$$
\begin{equation}
\frac{6\cdot10^{2\delta}}{\log(1/(2\delta))}<\frac12;
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
мы будем использовать его в такой форме в § 5.
§ 3. Обозначения и краткое изложение методаНа протяжении доказательства основного результата (теоремы 1.1) мы будем использовать положительные параметры $K$, $\xi$, $M$, которые описаны ниже; большую часть времени мы будем считать их фиксированными (на самом деле единственное место, где важен конкретный выбор этих параметров, – это окончание § 5). Подразумеваемая константа в символах $\ll$ и другие порядковые оценки могут зависеть от данных параметров. Мы будем использовать вероятностные методы; при этом символы, записанные жирным шрифтом, такие, как $\mathbf S'$, $\boldsymbol{\lambda}$, $\mathbf n$, будут означать случайные величины (множества, функции, числа и т.д.), а соответствующие символы, записанные обычным шрифтом как $S'$, $\lambda$, $n$, означают детерминированные значения, соответствующие данным величинам. Для фиксированного $\delta\in (0,1/2)$, подчиняющегося условию (2.3), положим Пусть $\xi>1$ – вещественное число (которое в конце будет выбрано близким к $1$) и
$$
\begin{equation*}
\mathfrak H=\biggl\{ H\in \{1,\xi, \xi^2,\dots\}\colon \frac{2y}{x} \leqslant H\leqslant \frac{y}{\xi z}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
так что каждое $H$ удовлетворяет неравенствам
$$
\begin{equation}
2(\log x)^{\delta}\leqslant H\leqslant \frac{y}{z} = \frac{(\log x)^{1/2}}{\log\log x}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Для каждого $H$ и $i\in\{1,3\}$ обозначим через $\mathcal Q_{H,i}$ множество простых чисел, сравнимых с $i\ (\operatorname{mod}4)$ в отрезке $(y/(\xi H),y/H]$. Заметим, что
$$
\begin{equation}
|\mathcal Q_{H,i}|\sim \biggl(1-\frac 1\xi\biggr)\frac{y}{2H\log x}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
при достаточно большом $x$ (т.е. при $x>x_0(\xi)$). Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q=\bigcup_{H\in\mathfrak H}(\mathcal Q_{H,1}\cup\mathcal Q_{H,3})
\end{equation*}
\notag
$$
и для каждого $q\,{\in}\, \mathcal Q$ зададим $H_q$ как единственное $H$ такое, что $q\,{\in}\, \mathcal Q_{H,1}\,{\cup}\,\mathcal Q_{H,3}$, что эквивалентно Пусть также $M$ – число с условием Как и в § 2, мы будем использовать обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S_z=\{n\in\mathbb{Z}\colon n\neq 0 \ (\operatorname{mod}p) \text{ для всех } p\leqslant z\}, \\ S_{z,u}=\{n\in\mathbb{Z}\colon n\neq 0 \ (\operatorname{mod}p) \text{ для всех } z<p\leqslant u\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Также примем сокращения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P=P(z)=\prod_{p\leqslant z}p, \qquad \sigma=\sigma(z)=\prod_{p\leqslant z}\biggl(1-\frac1p\biggr), \\ \mathbf S'=S_z-\mathbf b, \qquad \mathbf S''=S_z-N+\mathbf b, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где $\mathbf b$ – класс вычетов, выбранный случайно с равномерным распределением из $\mathbb{Z}/P(z)\mathbb{Z}$; таким образом, и $\mathbf S'$, и $\mathbf S''$ – случайные сдвиги $S_z$. Для фиксированного $H\in \mathfrak H$ пусть
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_1=\prod_{p\leqslant H^M}p, \qquad \sigma_1=\sigma(H^M), \qquad \mathbf b_1\equiv \mathbf b \ (\operatorname{mod}P_1), \\ \mathbf S'_1=S_{H^M}-\mathbf b_1, \qquad \mathbf S''_1=S_{H^M}-N+\mathbf b_1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, P_2=\prod_{H^M<p\leqslant z}p, \qquad \sigma_2=\sigma(H^M,z), \qquad \mathbf b_2\equiv \mathbf b \ (\operatorname{mod}P_2), \\ \mathbf S'_2=S_{H^M,z}-\mathbf b_2, \qquad \mathbf S''_2=S_{H^M,z}-N+\mathbf b_2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\sigma(H^M,z)=\prod_{H^M<p\leqslant z}(1-1/p)$. Очевидно, для каждого $H\in\mathfrak H$
$$
\begin{equation}
P=P_1P_2, \qquad \sigma=\sigma_1\sigma_2, \qquad \mathbf S'=\mathbf S'_1\cap \mathbf S'_2, \qquad \mathbf S''=\mathbf S''_1\cap \mathbf S''_2.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Заметим, что все величины, определенные в (3.7) и (3.8), зависят от $H$ и $M$; однако для краткости мы будем опускать эту зависимость (значения $H$ и $M$ всегда будут ясны из контекста). Пусть наконец
$$
\begin{equation}
\mathbf{AP}'(KH_q; q,n)=\{n+qh\colon 1\leqslant h\leqslant KH_q\}\cap \mathbf S_1',
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{AP}''(KH_q; q,n)=\{n+qh\colon 1\leqslant h\leqslant KH_q\}\cap \mathbf S_1'',
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $K$ – натуральное число, которое будет выбрано достаточно большим, при $q\equiv1\ (\operatorname{mod}4)$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\lambda}(H_q; q,n)= \begin{cases} \sigma_2^{-|\mathbf{AP}'(KH_q;q,n)|}, &\text{если } \mathbf{AP}'(KH_q; q,n) \subset \mathbf S'_2, \\ 0 &\text{в противном случае}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
а при $q\equiv3\ (\operatorname{mod}4)$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol{\lambda}(H_q; q,n)= \begin{cases} \sigma_2^{-|\mathbf{AP}''(KH_q;q,n)|}, &\text{если } \mathbf{AP}''(KH_q; q,n) \subset \mathbf S''_2, \\ 0 &\text{в противном случае}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Итак, для каждого $q\in\mathcal Q$ веса $\boldsymbol{\lambda}(H_q;q,n)$ – случайные функции, которые зависят от $\mathbf b$. Приведем теперь краткое изложение доказательства неравенства (2.2). Так же, как и в работе [16], имеется три основных шага. 1. Равномерно случайный шаг. Выбираем $\mathbf b$ по модулю $P(z)$ случайно с равномерным распределением; такой выбор эквивалентен выбору $b \ (\operatorname{mod}p)$ случайно с равномерным распределением и независимо для каждого $p\leqslant z$. Тогда в первую очередь мы можем легко гарантировать, что оба множества $\mathbf S'\,{\cap}\,[-y,y]$ и $\mathbf S''\,{\cap}\,[-y,y]$ имеют размер около $2\sigma y$ (см. замечание 6.1 ниже). Мы также покажем, что с высокой вероятностью множества $\mathbf S_1'$, $\mathbf S_2'$, $\mathbf S_1''$, $\mathbf S_2''$ ведут себя нужным для нас образом для всех диапазонов $H\in\mathfrak H$. 2. Жадный шаг. Выбрав подходящее $b\ (\operatorname{mod}P(z))$, мы продолжаем просеивать множества $S'\cap[-y,y]$ и $S''\cap[-y,y]$. Они имеют малые пересечения, так что нам нужно работать с ними по отдельности при помощи непересекающихся подмножеств “больших” (т.е. между $z$ и $x/2$) простых чисел $\{q\in\mathcal Q\colon q\equiv1\ (\operatorname{mod}4)\}$ и $\{q\in\mathcal Q\colon q\equiv3\ (\operatorname{mod}4)\}$ соответственно с плотностями $1/2$. Чтобы установить (2.2), выберем $b$ по модулю $P(z,x/2)$ случайным, но зависящим от выбора $b$ по модулю $P(z)$ способом. Чуть более точно, для каждого простого $q\in(z,x/2]$ с условием $q\equiv1\ (\operatorname{mod}4)$ выберем $b\equiv b_q \ (\operatorname{mod}q)$ так, что $\{b_q+kq\colon k\in\mathbb{Z}\}$ удаляет почти так же много элементов $(S_z-b) \cap [-y,y]$, как это возможно; сделаем то же самое с простыми $q\in(z,x/2]$, $q\equiv3\ (\operatorname{mod}4)$, чтобы отсеять почти все $(S_z-N+b)\cap[-y,y]$. Это можно сделать при помощи так называемой теоремы о покрытиях гиперграфов (лемма 4.1 ниже). 3. Шаг очистки. Наконец, как мы уже видели в § 2, можно использовать оставшиеся простые числа из $(x/2,x]$, чтобы “устранить” все числа из $S'\cap[-y,y]$ или $S''\cap[-y,y]$, пережившие жадный шаг, что и завершает доказательство неравенства (2.2). Мы отсылаем заинтересованного читателя к работе [16] для более детального обсуждения данного метода. В § 4 мы сводим неравенство (2.2) к теореме 4.1, которая в свою очередь сводится к теореме 5.1 в § 5. Доказательству теоремы 5.1 посвящен § 6. § 4. Жадное просеивание и покрытия гиперграфовНапомним, что $\mathbf S'$ и $\mathbf S''$ – случайные множества $(S_z-\mathbf b)$ и $(S_z-N+\mathbf b)$ соответственно, где $\mathbf b$ выбрано случайно из $\mathbb{Z}/P\mathbb{Z}$ с равномерным распределением. Как было упомянуто ранее, через $S'$ и $S''$ мы обозначим их реализации (для какого-то выбора $b$); то же касается случайных весов $\boldsymbol{\lambda}$. Теорема 4.1. Зафиксируем $\delta$, удовлетворяющее (2.3). Предположим, что величины $M-6$, $1/K$ и $\xi-1$ достаточно малы как функции $\delta$ и что $x$ достаточно велико как функция $\delta$, $M$, $K$, $\xi$. Тогда для любого положительного $\varepsilon<(M-6)/6$ существуют $b \ (\operatorname{mod}P(z))$ и множества $\mathcal Q'\subseteq\{q\in \mathcal Q\colon q\equiv1\ (\operatorname{mod}4)\}$ и $\mathcal Q''\subseteq\{q\in \mathcal Q\colon q\equiv3\ (\operatorname{mod}4)\}$ такие, что: (i) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\bigl|(S'\cup S'')\cap[-y,y]\bigr| \leqslant 9\sigma y;
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
(ii) для любого $q\in \mathcal Q'\cup \mathcal Q''$ имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\lambda(H_q;q,n)=\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{(\log x)^{\delta(1+\varepsilon)}}\biggr)\biggr)(K+2)y;
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
(iii) для всех за исключением не более $x/(10\log x)$ элементов $n$ множества $S'\cap[-y,y]$ выполнено
$$
\begin{equation}
\sum_{q\in \mathcal Q'}\sum_{h\leqslant KH_q}\lambda(H_q;q,n-qh)= \biggl(C_2'+O\biggl(\frac{1}{(\log x)^{\delta(1+\varepsilon)}}\biggr)\biggr)(K+2)y,
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
а также для всех за исключением не более $x/(10\log x)$ элементов $n$ множества $S''\cap[-y,y]$ справедливо где $C_2'$ и $C_2''$ – некоторые не зависящие от $n$ числа с условиями Теорему 4.1 можно считать подготовительной для жадного шага просеивания множеств $S'$ и $S''$ при помощи больших простых чисел из $(z,x/2)$. Зафиксировав подходящее значение $b\ (\operatorname{mod}P(z))$ и получив непересекающиеся множества $\mathcal Q'$ и $\mathcal Q''$ для работы с $S'$ и $S''$ соответственно, мы сможем применить следующую лемму (т.е. лемму 3.1 работы [16]) и вывести теорему 1.1 из теоремы 4.1. Лемма 4.1 (о покрытии гиперграфов). Пусть $0<\delta\leqslant1/2$ и $K\geqslant1$, положим $y\geqslant y_0(\delta,K)$, где $y_0(\delta,K)$ достаточно велико, пусть $V$ – конечное множество с условием $|V|\leqslant y$. Пусть $1\leqslant s\leqslant y$ и $\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_s$ – случайные подмножества $V$, удовлетворяющие следующим условиям: Вывод теоремы 1.1 из теоремы 4.1. Пусть $b$, $\mathcal Q'$ и $\mathcal Q''$ даны теоремой 4.1. Будем применять лемму о покрытии гиперграфов 4.1. Положим Мы покажем, что существует реализация $n_q$ величины $\mathbf n_q$ такая, что соответствующие множества $e_q'$ и $e_q''$ удовлетворяют неравенствам
$$
\begin{equation}
\biggl|V'\setminus \bigcup_{q\in \mathcal Q'}e_q'\biggr| \leqslant \frac{x}{10\log x},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
$$
\begin{equation}
\biggl|V''\setminus \bigcup_{q\in \mathcal Q''}e_q''\biggr| \leqslant \frac{x}{10\log x}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Когда мы это сделаем, можно взять $b\equiv -n_q \ (\operatorname{mod}q)$ для $q\in \mathcal Q'$ и $b\equiv n_q+N \ (\operatorname{mod}q)$ для $q\in Q''$ и затем выбрать $b\ (\operatorname{mod}q)$ для $q\in(z,x/2]\setminus (\mathcal Q'\cup \mathcal Q'')$ произвольным образом. Тогда, поскольку для любого $q\in \mathcal Q'$ имеем
$$
\begin{equation*}
e_q' \subset \{n\in \mathbb{Z}\colon n\equiv n_q \ (\operatorname{mod}q) \}
\end{equation*}
\notag
$$
и для любого $q\in \mathcal Q''$ справедливо
$$
\begin{equation*}
e_q'' \subset \{n\in \mathbb{Z}\colon n\equiv n_q \ (\operatorname{mod}q) \},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(S_{x/2}-b)\cap[-y,y]| &\leqslant |(S'\cap[-y,y])\setminus V'| +\biggl|V'\setminus \bigcup_{q\in \mathcal Q'}e_q'\biggr| \\ &\leqslant \frac{x}{10\log x}+\frac{x}{10\log x}=\frac{x}{5\log x} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |(S_{x/2}-N+b)\cap[-y,y]| &\leqslant |(S''\cap[-y,y])\setminus V''| +\biggl|V''\setminus \bigcup_{q\in \mathcal Q''}e_q''\biggr| \\ &\leqslant \frac{x}{10\log x}+\frac{x}{10\log x}=\frac{x}{5\log x}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует (2.2). Применим лемму о покрытии дважды, для $V'$ и $V''$, чтобы получить (4.13) и (4.14) соответственно. Эти два применения полностью аналогичны, поэтому рассмотрим только то, которое имеет дело с $V'$. Возьмем $s=|\mathcal Q'|$, $\{ \mathbf e_1,\dots,\mathbf e_s\}=\{\mathbf e_q'\colon q\in \mathcal Q' \}$, $C_2'$ из теоремы 4.1 и Тогда из (4.1) получаем
$$
\begin{equation*}
C_3\eta|V'| \leqslant C_3\eta |S'\cap[-y,y]| \leqslant \frac{9\sigma y}{100(\log x)^{\delta}}\sim \frac{9e^{-\gamma}y}{100(\log x)^{\delta}\log z}\leqslant \frac{x}{10\log x}
\end{equation*}
\notag
$$
для достаточно больших $x$, и соотношение (4.13) следует из (4.11). Таким образом, достаточно проверить условия леммы о покрытии. Прежде всего, согласно (3.1) имеем
$$
\begin{equation*}
|\mathbf e'_{q}| \leqslant KH_q \leqslant \frac{Ky}{z} \leqslant \frac{K(\log x)^{1/2}}{\log\log x} \leqslant \frac{K(\log y)^{1/2}}{\log\log y},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует (4.6). Далее, пусть $n\in V'$ и $q\in \mathcal Q'$. Согласно (4.12), (4.2) и (3.1) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb P(n\in \mathbf e_q') &= \sum_{h=1}^{\lfloor KH_q \rfloor}\mathbb P(\mathbf n_q=n-qh) \ll y^{-1}\sum_{h\leqslant KH_q}\lambda(H_q; q,n-qh) \\ &\ll y^{-1}H_q\sigma_2^{-KH_q} \leqslant y^{-9/10}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда выводим (4.7). Кроме того, из (4.3) получается
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{q\in \mathcal Q'}\mathbb P(n\in \mathbf e_q') &= \sum_{q\in \mathcal Q'}\sum_{h\leqslant KH_q}\frac{\lambda(H_q; q,n-qh)}{\sum_{-(K+1)y<n'\leqslant y}\lambda(H_q;q,n')} \\ &=C_2'+O\bigl((\log x)^{-\delta(1+\varepsilon)}\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
что и доказывает (4.9). Займемся теперь условием (4.8). Если $v$ и $v'$ лежат в $\mathbf e_q$, то $q$ делит $|v-v'|$, что не превосходит $2y$. Однако $q>z>\sqrt{2y}$, так что для любого фиксированного $v\neq v'$ может существовать не более одного такого $q$. Таким образом, (4.8) следует из (4.7). Это завершает доказательство (2.2), и, таким образом, теорема 1.1 следует из теоремы 4.1. § 5. Третья редукцияВ этом параграфе мы выводим теорему 4.1 из следующей теоремы. Теорема 5.1. Пусть $M\geqslant2$. Тогда: (i) имеет место равенство
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}|\mathbf S'\cap[-y,y]|=\mathbb{E}|\mathbf S''\cap[-y,y]|=\sigma(2y+1);
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
(ii) для всех $H\in \mathfrak H$, всех $j\in\{0,1,2\}$ и $i\in\{1,3\}$ справедливо соотношение
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,i}}\biggl(\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n)\biggr)^j = \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)((K+2)y)^j|\mathcal Q_{H,i}|;
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
(iii) для всех $H\in \mathfrak H$ и $j\in\{0,1,2\}$ выполнено
$$
\begin{equation}
\nonumber \mathbb{E}\sum_{n\in \mathbf S'\cap[-y,y]}\biggl(\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\sum_{h\leqslant KH}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh)\biggr)^j
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad = \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)\biggl(\frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor }{\sigma_2}\biggr)^j\sigma (2y+1),
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Напомним, что в теореме 5.1 случайные величины $\mathbf S', \mathbf S''$ и $\boldsymbol{\lambda}$ определены в терминах случайной величины $\mathbf b$, выбранной случайно с равномерным распределением из $\mathbb{Z}/P\mathbb{Z}$, а не при помощи случайных величин $\mathbf n_q$, использованных в § 4. Замечание 5.1. Можно показать, что Вывод теоремы 4.1 из теоремы 5.1. Покажем сначала, что (4.1) выполнено с вероятностью хотя бы $1/2$. Из соотношения (5.1) мы видим, что Перейдем теперь к частям (ii) и (iii) теоремы 4.1. Зафиксируем $H\in\mathfrak H$. Из (5.2) получаем
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\biggl(\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n) - (K+2)y\biggr)^2 \ll \frac{y^2|\mathcal Q_{H,1}|}{H^{M-2}}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Пусть теперь $\boldsymbol{\mathcal Q}_H'$ – (случайное) множество $q\in \mathcal Q_{H,1}$, для которых
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n) - (K+2)y\biggr| \leqslant \frac{y}{H^{1+\varepsilon}}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Оценивая левую часть соотношения (5.6) сверху суммой по $q\in \mathcal Q_{H,1}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H$, находим
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}|\mathcal Q_{H,1}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H| \ll \frac{|\mathcal Q_{H,1}|}{H^{M-4-2\varepsilon}}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Положим теперь
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\mathcal Q}'=\bigcup_{H\in\mathfrak H}\boldsymbol{\mathcal Q}_H' \subseteq \{q\in\mathcal Q\colon q\equiv1\ (\operatorname{mod}4) \}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом определим случайное множество $\boldsymbol{\mathcal Q}''$:
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\mathcal Q}''=\bigcup_{H\in\mathfrak H}\boldsymbol{\mathcal Q}_H'' \subseteq \{q\in\mathcal Q\colon q\equiv3\ (\operatorname{mod}4) \},
\end{equation*}
\notag
$$
где для каждого $H\in\mathfrak H$ через $\boldsymbol{\mathcal Q}_H''$ мы обозначили случайное множество простых чисел $q\in \mathcal Q_{H,3}$, для которых
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n) - (K+2)y\biggr| \leqslant \frac{y}{H^{1+\varepsilon}};
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
вновь получаем
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}|\mathcal Q_{H,3}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H| \ll \frac{|\mathcal Q_{H,3}|}{H^{M-4-2\varepsilon}}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
для всех $H\in\mathfrak H$. Займемся теперь условием (iii) теоремы 4.1. Зафиксируем $H$. Аналогично (5.6) из (5.3) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathbb{E}\sum_{n\in \mathbf S'\cap[-y,y]}\biggl(\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\sum_{h\leqslant KH}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh)-\frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2}\biggr)^2 \\ &\qquad \ll \frac{1}{H^{M-2}}\biggl(\frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2}\biggr)^2\sigma y. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Пусть $\boldsymbol{\mathcal E}'_H$ – множество $n\in \mathbf S'\cap[-y,y]$ таких, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\sum_{h\leqslant KH}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh)-\frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2}\biggr| \geqslant \frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2H^{1+\varepsilon}}.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Тогда поскольку $M>6$ и $\varepsilon$ мало, (5.11) влечет соотношение
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}|\boldsymbol{\mathcal E}'_H| \ll \frac{\sigma y}{H^{1+2\varepsilon}},
\end{equation*}
\notag
$$
и, стало быть, $|\boldsymbol{\mathcal E}'_H|\leqslant {\sigma y}/{H^{1+\varepsilon}}$ с вероятностью $1-O(H^{-\varepsilon})$. Оценим теперь вклад “плохих” простых $q\in \mathcal Q_{H,1}\setminus \boldsymbol{\mathcal Q}'_H$. Для любого $h\leqslant KH$ из неравенства Коши–Буняковского–Шварца (для векторнозначных функций) получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H}\sum_{n\in \mathbf S'\cap[-y,y]}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh) \\ &\qquad \leqslant\bigl(\mathbb{E}|\mathcal Q_{H,1}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H|\bigr)^{1/2}\biggl(\mathbb{E}\sum_{\mathcal Q_{H,1}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H}\biggl|\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n)\biggr|^2\biggr)^{1/2}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где интервал суммирования $\boldsymbol{\lambda}(H;q,\,\cdot)$ расширен до большего интервала $(-(K+ 1)y,y]$ (напомним, что веса $\boldsymbol{\lambda}(H;q,\,\cdot)$ неотрицательны). Далее, согласно неравенству треугольника, (5.6) и (5.8)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}\sum_{\mathcal Q_{H,1}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H}\biggl|\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n)\biggr|^2 \\ &\qquad \leqslant2\mathbb{E}\sum_{\mathcal Q_{H,1}\setminus\boldsymbol{\mathcal Q}'_H}\biggl(\biggl|\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n)-(K+2)y\biggr|^2+(K+2)^2y^2\biggr) \\ &\qquad\ll \frac{y^2|\mathcal Q_{H,1}|}{H^{M-4-2\varepsilon}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Комбинируя две последние оценки (и снова используя (5.8)), получаем после суммирования по всем $h\leqslant KH$, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\sum_{n\in \mathbf S'\cap[-y,y]}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}\setminus \boldsymbol{\mathcal Q}'_H}\sum_{h\leqslant KH} \boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh) \ll \frac{y|\mathcal Q_{H,1}|}{H^{M-5-2\varepsilon}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\boldsymbol{\mathcal F}'_H$ – множество всех $n\in\mathbf S'\cap[-y,y]$ таких, что
$$
\begin{equation}
\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}\setminus \boldsymbol{\mathcal Q}'_H}\sum_{h\leqslant KH} \boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh) \geqslant \frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2H^{1+\varepsilon}}.
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}|\boldsymbol{\mathcal F}'_H| \ll \frac{\sigma_2y}{H^{M-5-3\varepsilon}} \ll \frac{\sigma y \log H}{H^{M-5-3\varepsilon}},
\end{equation*}
\notag
$$
и согласно неравенству Маркова
$$
\begin{equation*}
|\boldsymbol{\mathcal F}'_H| \leqslant \frac{\sigma y}{H^{1+\varepsilon}}
\end{equation*}
\notag
$$
с вероятностью $1-O(H^{-(M-6-5\varepsilon)})$. Поскольку $\varepsilon<(M-6)/6$, имеем $M-6-5\varepsilon> \varepsilon$, и неравенство выше выполняется с вероятностью $1-O(H^{-\varepsilon})$. Аналогично, пользуясь (5.4), мы можем определить множество $\boldsymbol{\mathcal E}''_H$ таких $n\in \mathbf S''\cap[-y,y]$, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\sum_{q\in \mathcal Q_{H,3}}\sum_{h\leqslant KH}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh)-\frac{|\mathcal Q_{H,3}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2}\biggr| \geqslant \frac{|\mathcal Q_{H,3}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2H^{1+\varepsilon}},
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
и множество $\boldsymbol{\mathcal F}''_H$ таких $n\in \mathbf S''\cap[-y,y]$, что
$$
\begin{equation}
\sum_{q\in \mathcal Q_{H,3}\setminus \boldsymbol{\mathcal Q}''_H}\sum_{h\leqslant KH} \boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh) \geqslant \frac{|\mathcal Q_{H,3}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2H^{1+\varepsilon}};
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
оценка
$$
\begin{equation*}
|\boldsymbol{\mathcal E}''_H|, |\boldsymbol{\mathcal F}''_H| \leqslant \frac{\sigma y}{H^{1+\varepsilon}}
\end{equation*}
\notag
$$
выполнена с вероятностью $1-O(H^{-\varepsilon})$. Поскольку $\sum_{H\in\mathfrak H}H^{-\varepsilon}\ll (\log x)^{-\delta\varepsilon}$, получаем, что вероятность того, что существует $H\in\mathfrak H$ такое, что хотя бы одно из множеств $\boldsymbol{\mathcal E}'_H$, $\boldsymbol{\mathcal F}'_H$, $\boldsymbol{\mathcal E}''_H$, $\boldsymbol{\mathcal F}''_H$ имеет размер хотя бы $(\sigma y)H^{-1-\varepsilon}$, есть $o(1)$. Теперь мы готовы выбрать $\mathbf b \ (\operatorname{mod}P(z))$. Рассмотрим событие, состоящее в том, что выполнено (5.5) и для каждого $H\in\mathfrak H$ все четыре множества $\boldsymbol{\mathcal E}'_H$, $\boldsymbol{\mathcal F}'_H$, $\boldsymbol{\mathcal E}''_H$, $\boldsymbol{\mathcal F}''_H $ имеют размер не более $(\sigma y)H^{-1-\varepsilon}$. Согласно обсуждению выше данное событие имеет место с вероятностью хотя бы $1/2-o(1)$. Начиная с этого места, мы фиксируем $\mathbf b\ (\operatorname{mod}P(z))$ такое, что это выполнено, так что все наши случайные множества и веса становятся детерминированными. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal{N}'=S'\cap[-y,y]\setminus\bigcup_{H\in\mathfrak H}(\mathcal E'_H\cup\mathcal F'_H), \\ \mathcal{N}''=S''\cap[-y,y]\setminus\bigcup_{H\in\mathfrak H}(\mathcal E''_H\cup\mathcal F''_H). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим (4.3) для $n\in\mathcal{N}'$, соотношение (4.4) будет следовать из нашей конструкции полностью аналогично. Число исключительных элементов удовлетворяет
$$
\begin{equation*}
\biggl|\bigcup_{H\in\mathfrak H}(\mathcal E'_H\cup\mathcal F'_H)\biggr| \leqslant \frac{\sigma y}{(\log x)^{(1+\varepsilon)\delta}},
\end{equation*}
\notag
$$
а эта величина меньше $x/(10\log x)$ для больших $x$. Выберем произвольное $n\in \mathcal{N}'$. Для такого $n$ выполнены неравенства, противоположные к (5.12) и (5.13), так что для каждого $H\in\mathfrak H$ имеем
$$
\begin{equation*}
\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\sum_{h\leqslant KH}\lambda(H;q,n-qh)=\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{(\log x)^{(1+\varepsilon)\delta}}\biggr)\biggr) \frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу нашего выбора $M$. Суммируя по всем $H\in\mathfrak H$, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{q\in \mathcal Q'}\sum_{h\leqslant KH_q}\lambda(H_q;q,n-qh)=\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{(\log x)^{(1+\varepsilon)\delta}}\biggr)\biggr)C_2'(K+2)y,
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где (так как $\sigma_2=\sigma_2(H)$)
$$
\begin{equation*}
C_2'=\frac{1}{(K+2)y}\sum_{H\in\mathfrak H} \frac{|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor}{\sigma_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $C_2'$ зависит от $x$, $K$, $M$, $\xi$ и $\delta$, но не от $n$. Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lfloor KH \rfloor=KH\biggl(1+O\biggl(\frac 1H\biggr)\biggr)=KH(1+O(\log x)^{-\delta}), \\ \sigma_2^{-1}=\prod_{H^M<p\leqslant z}\biggl(1-\frac 1p\biggr)^{-1}\sim\frac{\log z}{M\log H}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при помощи (3.5) получаем
$$
\begin{equation*}
C_2'\sim \frac{K}{(K+2)y} \cdot \frac12\biggl(1-\frac1\xi\biggr) \sum_{H\in\mathfrak H}\frac{y/H}{\log x}\cdot\frac{H\log z}{M\log H} \sim \frac{K(1-1/\xi)}{2M(K+2)}\sum_{H\in\mathfrak H}\frac{1}{\log H}
\end{equation*}
\notag
$$
при $x\to\infty$. Вспоминая определение $\mathfrak H$, видим, что
$$
\begin{equation*}
C_2'\sim \frac{K(1-1/\xi)}{2M(K+2)\log \xi}\sum_{j}\frac{1}{j},
\end{equation*}
\notag
$$
где $j$ пробегает интервал
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta\log\log x}{\log \xi} \leqslant j \leqslant \frac{(1/2+o(1))\log\log x}{\log \xi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, получаем
$$
\begin{equation*}
C_2'\sim \frac{K(1-1/\xi)}{2M(K+2)\log \xi}\log\frac{1}{2\delta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним условие (2.3) на $\delta$, а также, что $K$ и $x$ велики, $M$ близко к $6$, а $\xi$ к $1$ (как функции $\delta$). Не теряя общности, мы можем считать, что $\delta$ достаточно близко к $C(1/2)$, откуда получаем $\log(1/(2\delta))<13\cdot10^{2\delta}$. Отсюда выводим Совместно с (5.16) из этого следует (4.3). При помощи аналогичных аргументов получаем (4.4) для $n\in \mathcal{N}''$. Теорема 4.1 доказана. Нам осталось доказать теорему 5.1. В этом состоит цель § 6 работы. § 6. Вычисление корреляцийСначала введем некоторые обозначения. Для $H\in\mathfrak H$ через $\mathcal D_H$ обозначим множество свободных от квадратов чисел $d$, все простые делители которых лежат в отрезке $(H^M,z]$. Далее, для $A>0$ положим
$$
\begin{equation}
E_A(m;H)=\sum_{d\in \mathcal D_H\setminus\{1\}}\frac{A^{\omega(d)}}{d}1_{m \equiv 0\ (\operatorname{mod}d)}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Заметим, что $E_A(m;H)=E_A(-m;H)$. Нам понадобятся следующие две леммы (см. леммы 5.1 и 5.2 работы [16]). Лемма 6.1. Пусть $10<H<z^{1/M}$, $1\leqslant l\leqslant 10KH$ и $\mathcal U\subset \mathcal V$ – два конечных множества с условием $|\mathcal V|=l$. Тогда Замечание 6.1. Лемма 5.1 из работы [16] сформулирована для вероятности $\mathbb P(\mathcal U\subset \mathbf S_2)$, где $\mathbf S_2=S_{H^M,z}+\mathbf b_2$. Однако это не влияет на наши рассуждения, поскольку легко видеть (при помощи замены переменных $\mathbf b_2\mapsto -\mathbf b_2$ или $\mathbf b_2\mapsto -N+\mathbf b_2$), что $\mathbb P(\mathcal U\subset \mathbf S_2)=\mathbb P(\mathcal U\subset \mathbf S'_2)=\mathbb P(\mathcal U\subset \mathbf S''_2)$. Отметим также, что в данной лемме появляется параметр $B$, поскольку она связана с $B$-ограниченными просеивающими системами (см. определение просеивающей системы в § 1); однако в нашем случае $B=1$, и поэтому зависимость от $B$ отсутствует. Лемма 6.2. Пусть $10<H<z^{1/M}$ и $(m_t)_{t\in T}$ – конечная последовательность такая, что для некоторых $X$, $R>0$, любых $d\in \mathcal D_H\setminus\{1\}$ и $a\in\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$. Тогда для любого $A$ с условием $0<A\leqslant H^M$ и любого целого $j$ Теперь мы готовы доказать теорему 5.1. Доказательство теоремы 5.1, (i). В первую очередь заметим, что при помощи замены переменных легко установить, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}|\mathbf S'\cap[-y,y]|=\mathbb{E}|\mathbf S''\cap[-y,y]|.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, достаточно доказать данное утверждение для $\mathbf S'$. По линейности математического ожидания получаем
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}|\mathbf S'\cap[-y,y]|=\sum_{-y\leqslant n\leqslant y}\mathbb P(n\in \mathbf S').
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, поскольку $\mathbf b$ выбрано равномерно из множества $\mathbb{Z}/P(z)\mathbb{Z}$, то для любого фиксированного $n$ из китайской теоремы об остатках следует, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb P(n\in \mathbf S')=\prod_{p\leqslant z}\mathbb P(\mathbf b\neq -n \ (\operatorname{mod}p))=\sigma,
\end{equation*}
\notag
$$
откуда и следует (5.1). Доказательство теоремы 5.1, (ii). Докажем утверждение для $i=1$ (случай $i=3$ рассматривается аналогично). Зафиксируем $H\in\mathfrak H$. Случай $j=0$ тривиален, так что будем рассматривать случай $j=1$, т.е.
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H; q,n)= \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)(K+2)y|\mathcal Q_{H,1}|.
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
В силу (3.12) левая часть раскрывается как
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\sum_{q\in\mathcal Q_{H,1}}\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\frac{1_{\mathbf{AP}'(KH;q,n)\subset\mathbf S'_2}}{\sigma_2^{|\mathbf{AP}'(KH;q,n)|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вспоминая, что величины $\mathbf b_1$ и $\mathbf b_2$ независимы (согласно определениям (3.8) и (3.10)), видим, что независимыми будут и множества $\mathbf{AP}'(KH; q,n)=\{n+qh\colon 1\leqslant h\leqslant KH\}\cap \mathbf S'_1$ и $\mathbf S'_2$. Тогда записанное выше выражение равно
$$
\begin{equation*}
\sum_{q\in\mathcal Q_{H,1}}\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\, \sum_{b_1\, (\operatorname{mod}P_1)}\frac{\mathbb P(\mathbf b_1=b_1)}{\sigma_2^{|\operatorname{AP}'(KH;q,n)|}}\mathbb P(\operatorname{AP}'(KH; q,n)\subset\mathbf S'_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиксированных $q$, $n$ и $b_1$, применяя лемму 6.1 к (детерминированным) множествам $\mathcal U=\operatorname{AP}'(KH;q,n)$ и $\mathcal V=\{n+qh\colon 1\leqslant h\leqslant KH\}$, находим, что левая часть (6.3) равна
$$
\begin{equation*}
\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\biggl(1+O\biggl(H^{-(M-2)}+H^{-2}\sum_{\substack{1\leqslant h<h'\leqslant KH}}E_{2K^2H^2}(qh-qh';H) \biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь достаточно показать, что для любого $1\leqslant h< h'\leqslant KH$ верна оценка Для дальнейших применений докажем более общую оценку для каждого $i\in\{1,3\}$, $0<|r|\leqslant KH$ и любого целого $s$. Заметим, что $E_A(m;H)$ – возрастающая функция $A$.
Чтобы установить (6.4), зафиксируем $r$ и $s$. Для любого $d\in\mathcal D_{H\setminus\{1\}}$ все простые делители $d$ больше, чем $H^M>KH\leqslant |r|$, так что $r$ и $d$ взаимно просты. Таким образом, сравнение $qr\equiv a\ (\operatorname{mod}d)$ выполнено не более чем для одного класса вычетов $q\ (\operatorname{mod}d)$. Таким образом, для $d\leqslant y^{1/2}$ из неравенства Бруна–Титчмарша (напомним, что $H\leqslant (\log y)^{1/2}$ в силу (3.4)) получаем
$$
\begin{equation*}
\#\{q\in \mathcal Q_{H,i}\colon qr\equiv a\ (\operatorname{mod}d)\} \ll \frac{y/H}{\varphi(d)\log(y/d)} \ll \frac{y/H}{\varphi(d)\log y}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для $d>y^{1/2}$ можно проигнорировать условие простоты $q$ и получить тривиальным образом
$$
\begin{equation*}
\#\{q\in \mathcal Q_{H,i}\colon qr\equiv a\ (\operatorname{mod}d)\} \ll \frac{y/H}{d} + 1 \ll \frac{y^{1/2}}{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, для каждого $d$ имеем
$$
\begin{equation*}
\#\{q\in \mathcal Q_{H,i}\colon qr\equiv a\ (\operatorname{mod}d)\} \ll \frac{y/H}{\varphi(d)\log y}+\frac{y^{1/2}}{H}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, из леммы 6.2 получаем, снова используя (3.4), что
$$
\begin{equation*}
\sum_{q\in Q_{H,i}} E_{8K^2H^2}(qr+s;H) \ll \frac{y/H}{\log y}\frac{H^2}{H^M}+\frac{y^{1/2}}{H}\exp(O(H^2\log\log y)) \ll \frac{|\mathcal Q_{H,i}|}{H^{M-2}},
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку $|\mathcal Q_{H,i}|\asymp (y/H)/\log y$ для каждого $i\in\{1,3\}$. Стало быть, (6.4) доказано, откуда следует случай $j=1$ теоремы 5.1, (ii).
Обратимся теперь к случаю $j=2$ пункта (ii), который состоит в том, что
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\biggl(\sum_{-(K+1)y<n\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H; q,n)\biggr)^2= \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)(K+2)^2y^2|\mathcal Q_{H,1}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Левая часть представляется в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\sum_{q\in\mathcal Q_{H,1}}\sum_{-(K+1)y<n_1,n_2\leqslant y}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n_1)\boldsymbol{\lambda}(H;q,n_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим сначала, что для каждого фиксированного $q$ вклад пар $(n_1,n_2)$, для которых $|n_1-n_2|\leqslant KH$, пренебрежимо мал: в самом деле, существует $O(yH)$ таких пар и каждая из них дает вклад не более $\sigma_2^{-2KH}=y^{o(1)}$, так что общий вклад таких пар есть $O(y^{1+o(1)}|\mathcal Q_{H,1}|)$. Следовательно, достаточно сконцентрироваться на парах $(n_1,n_2)$, для которых множества $\{n_\nu+qh\colon 1\leqslant h\leqslant KH\}$, $\nu=1,2$, не пересекаются; будем называть такие пары хорошими. Тогда достаточно показать, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\mathbb{E}\sum_{q\in\mathcal Q_{H,1}}\sum_{\substack{-(K+1)y<n_1,n_2\leqslant y\\(n_1,n_2) \text { хорошая}}}\frac{1_{\mathbf{AP}'(KH;q,n_1)\cup \mathbf{AP}'(KH;q,n_2)\subset\mathbf S'_2}}{\sigma_2^{|\mathbf{AP}'(KH;q,n_1)|+|\mathbf{AP}'(KH;q,n_2)|}} \\ &\qquad =\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)(K+2)^2y^2|\mathcal Q_{H,1}|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Так же, как и в случае $j=1$, для любой реализации $b_1$ величины $\mathbf b_1$ и любой хорошей пары $(n_1,n_2)$ можно применить лемму 6.1 с
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal U=\operatorname{AP}'(KH;q,n_1)\sqcup \operatorname{AP}'(KH;q,n_2), \\ \mathcal V=\{n_1+qh\colon 1\leqslant h\leqslant KH\}\sqcup \{n_2+qh\colon 1\leqslant h\leqslant KH\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда поскольку
$$
\begin{equation*}
|\mathcal U|=|\operatorname{AP}'(KH;q,n_1)|+|\operatorname{AP}'(KH;q,n_2)|
\end{equation*}
\notag
$$
и $|\mathcal V|= 2\lfloor KH\rfloor$, мы видим, что левая часть (6.5) равна
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{q\in\mathcal Q_{H,1}}\sum_{\substack{-(K+1)y<n_1,n_2\leqslant y\\(n_1,n_2)\text{ хорошая}}} \biggl(1\,{+}\,O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\,{+}\,H^{-2}\!\!\!\sum_{1\leqslant h,h'\leqslant KH}1_{h\neq h'}E_{8K^2H^2}(qh\,{-}\,qh';H) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad +1_{n_1\neq n_2}E_{8K^2H^2}(n_1-n_2+qh-qh';H)\biggr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как все, кроме $O(yH)$ пар $(n_1,n_2)$ являются хорошими, отсюда получается главный член $(K+2)^2y^2|\mathcal Q_{H,1}|$. Кроме того, при помощи (6.4) получаем пренебрежимо малые остаточные члены для всех слагаемых, кроме тех, у которых $h=h'$. Чтобы разобраться с этими исключениями, заметим, что для фиксированного $n_2$, любого положительного $d$ и $a\ (\operatorname{mod}d)$ выполнено
$$
\begin{equation*}
\#\{-(K+1)y<n_1\leqslant y\colon n_1-n_2 \equiv a\ (\operatorname{mod}d)\} \ll \frac{y}{d}+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Стало быть, из леммы 6.2 получаем
$$
\begin{equation*}
\sum_{-(K+1)y<n_1, n_2\leqslant y}E_{8K^2H^2}(n_1-n_2;H) \ll \frac{y^2}{H^{M-2}}+y\exp(O(H^2\log\log y)) \ll \frac{y^2}{H^{M-2}}
\end{equation*}
\notag
$$
в силу (3.4). Следовательно, (6.5) и утверждение для $j=2$ доказаны. Доказательство теоремы 5.1, (iii). Зафиксируем $H$. Будем доказывать только (5.3), поскольку (5.4) можно установить абсолютно аналогичным образом (единственная разница между данными случаями состоит в том, что веса $\boldsymbol{\lambda}(H_q; q,n)$ определены в терминах $\mathbf S'$ для $q\equiv1\ (\operatorname{mod}4)$ и в терминах $\mathbf S''$ для $q\equiv3\ (\operatorname{mod}4)$). Случай $j=0$ следует из (i) (т.е. (5.1)), так что будем смотреть на случай $j=1$, который состоит в том, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathbb{E}\sum_{n\in \mathbf S'\cap[-y,y]}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\sum_{h\leqslant KH}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh) \\ &\qquad= \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)|\mathcal Q_{H,1}|\cdot\lfloor KH\rfloor\sigma_1 (2y+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно показать, что для любого $h\leqslant KH$ выполнено
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}\sum_{n\in \mathbf S'\cap[-y,y]}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\boldsymbol{\lambda}(H;q,n-qh) = \biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)|\mathcal Q_{H,1}|\sigma_1 (2y+1).
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Согласно (3.12) левая часть равна
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\sum_{n\in\mathbf S'\cap[-y,y]}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\frac{1_{\mathbf{AP}'(KH;q,n-qh)\subset \mathbf S'_2}}{\sigma_2^{|\mathbf{AP}'(KH;q,n-qh)|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу (3.9) условие $n\in \mathbf S'\cap[-y,y]$ влечет $n\in\mathbf S'_1\cap[-y,y]$. С другой стороны, если $n\in\mathbf S'_1$, то $n\in\mathbf{AP}'(KH;q,n-qh)$, так что условие $n\in\mathbf S'_2$ содержится в условии $ \operatorname{AP}'(KH;q,n-qh)\subset\mathbf S'_2$. Таким образом, левая часть (6.6) может быть переписана как
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\sum_{n\in\mathbf S'_1\cap[-y,y]}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\frac{1_{\mathbf{AP}'(KH;q,n-qh)\subset \mathbf S'_2}}{\sigma_2^{|\mathbf{AP}'(KH;q,n-qh)|}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вспоминая, что $\mathbf S_2'$ независимо с $\mathbf S_1'$ и $\mathbf{AP}'(KH;q,n-qh)$, можем применить лемму 6.1 так же, как ранее, и найти, что левая часть (6.6) есть
$$
\begin{equation*}
\mathbb{E}\sum_{n\in\mathbf S'_1\cap[-y,y]}\sum_{q\in \mathcal Q_{H,1}}\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}+H^{-2}\sum_{\substack{h',h''\leqslant KH\\h'\neq h''}}E_{2K^2H^2}(qh'-qh'')\biggr)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, поскольку мы видим, что (6.6) следует из (6.4).
Обратимся теперь к случаю $j=2$ пункта (iii), т.е.
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \sum_{h_1,h_2\leqslant KH}\mathbb{E}\sum_{n\in\mathbf S'\cap[-y,y]}\sum_{q_1,q_2\in\mathcal Q_{H,1}}\boldsymbol{\lambda}(H;q_1,n-q_1h_1)\boldsymbol{\lambda}(H;q_2,n-q_2h_2) \\ &\qquad =\biggl(1+O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\biggr)\biggr)|\mathcal Q_{H,1}|^2\cdot\lfloor KH\rfloor^2\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(2y+1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (3.13) левая часть равна
$$
\begin{equation}
\sum_{h_1,h_2\leqslant KH}\mathbb{E}\sum_{n\in\mathbf S'\cap[-y,y]}\sum_{q_1,q_2\in \mathcal Q_{H,1}}\frac{1_{\mathbf{AP}'(KH;q_1,n-q_1h_1)\cup \mathbf{AP}'(KH;q_2,n-q_2h_2)\subset \mathbf S'_2}}{\sigma_2^{|\mathbf{AP}'(KH;q_1,n-q_1h_1)| +|\mathbf{AP}'(KH;q_2,n-q_2h_2)|}}.
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
Заметим, что в силу (3.4) и (6.7) вклад $q_1=q_2$ по порядку не превосходит
$$
\begin{equation*}
H^2\sigma_2^{-2KH}|\mathcal Q_{H,1}|\sigma_1y\leqslant |\mathcal Q_{H,1}|^2y^{o(1)},
\end{equation*}
\notag
$$
что является пренебрежимо малым остаточным членом. Если же $q_1\neq q_2$, то множество
$$
\begin{equation*}
\mathbf{AP}'(KH;q_1,n-q_1h_1)\cup \mathbf{AP}'(KH;q_2,n-q_2h_2)
\end{equation*}
\notag
$$
имеет размер $|\mathbf{AP}'(KH;q_1,n-q_1h_1)|+|\mathbf{AP}'(KH;q_2,n-q_2h_2)|-1$, поскольку $n$ – единственный общий элемент данных прогрессий (так как $q_1$ и $q_2$ простые, $q_1, q_2\gg y/H$ и $h_1,h_2\ll H=y^{o(1)}$). Как и ранее, в (6.8) можно просуммировать по $n\in\mathbf S'_1\cap[-y,y]$ и затем применить лемму 6.1, чтобы переписать слагаемые (6.8) с условием $q_1\neq q_2$ в виде
$$
\begin{equation*}
\lfloor KH\rfloor^2\sigma_2^{-1}\mathbb{E}\!\!\sum_{n\in\mathbf S'_1\cap[-y,y]}\sum_{\substack{q_1,q_2\in \mathcal Q_{H,1}\\ q_1\neq q_2}}\!\!\biggl(1{\kern1pt}{+}\,O\biggl(\frac{1}{H^{M-2}}\,{+}\,\frac{E'(q_1)\,{+}\,E'(q_2)\,{+}\,E''(q_1,q_2)}{H^2}\biggr)\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E'(q)=\sum_{\substack{h,h'\leqslant KH \\ h\neq h'}} E_{8K^2H^2}(qh-qh';H), \\ E''(q_1,q_2)=\sum_{\substack{h_1',h_2'\leqslant KH \\ h_1'\neq h_1,h_2'\neq h_2}} E_{8K^2H^2}(q_1h_1'-q_1h_1-q_2h_2'+q_2h_2;H). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Вклад $E'(q_1)+E'(q_2)$ пренебрежимо мал, как мы уже видели в доказательстве для случая $j=1$. Наконец, нужно показать, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{q_1,q_2\in\mathcal Q_{H,1}}E_{8K^2H^2}(q_1h_1'-q_1h_1-q_2h_2'+q_2h_2;H) \ll \frac{|\mathcal Q_{H,1}|^2}{H^{M-2}}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $h_1'$, $h_2'$ с условиями $h_1'\neq h_1$ и $h_2'\neq h_2$. Данная оценка следует из (6.4), примененного к сумме по $q_1$ для $r=h_1'\,{-}\,h_1$ и $s=-q_2h_2'\,{+}\,q_2h_2$ (с последующим суммированием по всем $q_2$). Это и завершает доказательство случая $j=2$, а значит и доказательство теоремы 5.1. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GabRad24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|