| Математический сборник |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Управляемость приближенно заданной управляемой системы Е. Р. Аваковa, Г. Г. Магарил-Ильяевbcd a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва b Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва d Южный математический институт Владикавказского научного центра Российской академии наук, г. Владикавказ
Английская версия:
Sbornik: Mathematics, 2024, Volume 215, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/sm9987e 
Реферативные базы данных:
     ВведениеПонятие управляемости управляемой системы является одним из важнейших в теории оптимального управления. В работе вводится понятие управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями общего вида относительно функции, которая, вообще говоря, не является для нее допустимой траекторией. Основной результат работы – условия, гарантирующие управляемость относительно такой функции не только первоначально заданной управляемой системы, но и близких к ней управляемых систем. Близость понимается в пространствах непрерывных отображений с равномерной метрикой. Помимо теоретического интереса, такой результат, на наш взгляд, важен для приложений. Дело в том, что отображения, входящие в определение исходной управляемой системы обладают определенной гладкостью, а для управляемости близких отображений достаточно только непрерывности соответствующих отображений. На практике близкие отображения возникают как следствие неточности задания исходных данных и/или как аппроксимация “сложных” отображений более простыми, которые, как правило, лишь непрерывны. Работа состоит из четырех параграфов. В § 1 формулируется основной результат. В § 2 доказывается специальная лемма об обратной функции для близких отображений и некоторые вспомогательные утверждения. Параграф 3 посвящен доказательству основного результата на основе леммы об обратной функции. В § 4 приведен иллюстративный пример. § 1. Формулировка основного результатаРассмотрим управляемую систему
$$
\begin{equation}
\dot x=\varphi(t,x,u(t)), \qquad u(t)\in U \quad\text{для п.в.}\ \ t\in[t_0,t_1],
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
$$
\begin{equation}
f(x(t_0),x(t_1))\leqslant0, \qquad g(x(t_0),x(t_1))=0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\varphi\colon \mathbb R\times\mathbb R^n\times\mathbb R^r\to\mathbb R^n$ – отображение переменных $t$, $x$ и $u$, отображения $f\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_1}$ и $g\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^{m_2}$ переменных $\zeta_i\in\mathbb R^n$, $i=0,1$, и $U$ – непустое подмножество $\mathbb R^r$. Всюду далее мы предполагаем, что отображение $\varphi$ непрерывно вместе со своей частной производной по $x$ на $\mathbb R\times\mathbb R^n\times \mathbb R^r$, а отображения $f$ и $g$ дифференцируемы на $\mathbb R^n\times\mathbb R^n$. Пространства непрерывных вектор-функций на $[t_0,t_1]$ со значениями в $\mathbb R^n$, абсолютно непрерывных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^n$ и существенно ограниченных вектор-функций со значениями в $\mathbb R^r$ обозначаются соответственно $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $\operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ (если $r=1$, то пишем $L_\infty([t_0,t_1])$). Пространство $W_\infty^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ – это совокупность вектор-функций $x(\cdot)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, у которых $\dot x(\cdot)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|x(\cdot)\|_{W_\infty^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)}=\|x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}+ \|\dot x(\cdot)\|_{L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^n)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пара $(x(\cdot),u(\cdot))\in Z=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)$ допустима для управляемой системы (слово “управляемая” далее часто опускаем) (1.1), (1.2), если выполняются условия (1.1) и (1.2). Определим следующее множество достижимости для системы (1.1), (1.2) относительно открытого множества $V\subset C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R(V) &=\bigl\{y=(y_1,y_2)\in\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2} \mid \exists\,(x(\cdot),u(\cdot))\in Z\colon \\ &\qquad \text{выполнено } (1.1),\, f(x(t_0),x(t_1))\leqslant y_1, \\ &\qquad g(x(t_0),x(t_1))=y_2,\, x(\cdot)\in V\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1. Скажем, что система (1.1), (1.2) управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и ее окрестности $V$, если выполняется включение Важно отметить, что в определении 1 функция $\widehat x(\cdot)$ не обязана быть допустимой траекторией для системы (1.1), (1.2). При стандартном определении управляемости предполагается, что $\widehat x(\cdot)$ – допустимая траектория (см., например, [1], [2]). Определение 1 означает, что окрестность $V$ содержит функции $x(\cdot)$ такие, что пара $(x(\cdot),u(\cdot))\in Z$ удовлетворяет условию (1.1), $f(x(t_0),x(t_1))\leqslant y_1$ и $g(x(t_0),x(t_1))=y_2$ для всех достаточно малых по норме $y_1$ и $y_2$. В частности, когда $y_1=0$, $y_2=0$, получаем, что $V$ содержит и допустимые траектории для системы (1.1), (1.2). В работе авторов [3] было введено понятие локальной управляемости системы (1.1), (1.2) относительно функции $\widehat x(\cdot)\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, которая также не обязана быть допустимой траекторией. Это определение (в приведенных здесь терминах) отличается от определения 1 тем, что включение $0\in \operatorname{int}R(V)$ должно выполняться для любой окрестности $V$ функции $\widehat x(\cdot)$. В указанной работе приведены достаточные условия локальной управляемости. Обычно в работах, связанных с управляемостью (см., например, [1], [4], [5]), интересуются достаточными условиями управляемости исходной системы. Наша цель – получить достаточные условия управляемости относительно функции $\widehat x(\cdot)$ не только для исходной системы (1.1), (1.2), но и для “близких” к ней систем в смысле, который будет объяснен ниже. Эти условия (сформулированные в теореме 1) гарантируют для близких систем управляемость в смысле определения 1, а для исходной системы (как следствие) они гарантируют уже локальную управляемость (доказанную, как уже сказано, авторами ранее). Для формулировки основного результата нам понадобятся некоторые дополнительные обозначения и определения. Пусть $k\in\mathbb N$. Положим
$$
\begin{equation*}
\mathcal A_k =\bigl\{\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_k(\cdot))\in (L_\infty([t_0,t_1]))^k \colon \overline\alpha(t)\in\Sigma^k \text{ для п.в.}\ t\in[t_0,t_1]\bigr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Sigma^k=\biggl\{\overline\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in \mathbb R_+^k\colon \sum_{i=1}^k\alpha_i=1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
и определим множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal U=\bigl\{u(\cdot)\in L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)\colon u(t)\in U\text{ для п.в.}\ t\in[t_0,t_1]\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Сопоставим системе (1.1), (1.2) следующую управляемую систему:
$$
\begin{equation}
\dot x =\sum_{i=1}^k\alpha_i(t)\varphi(t,x,u_i(t)), \qquad \overline\alpha(\cdot)\in \mathcal A_k, \quad \overline u(\cdot)\in \mathcal U^k ,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
$$
\begin{equation}
f(x(t_0),x(t_1))\leqslant0, \qquad g(x(t_0),x(t_1))=0,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_k(\cdot))$ и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_k(\cdot))$ – управляющие переменные. Эту систему, которую можно назвать выпуклым расширением системы (1.1), (1.2) (ясно, что при $k=1$ она совпадает с системой (1.1), (1.2)) будем называть просто выпуклой системой. Как и выше, тройку $(x(\cdot),\overline\alpha(\cdot),\overline u(\cdot))\in C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathcal A_k\times \mathcal U^k$ называем допустимой для выпуклой системы (1.3), (1.4), если выполняются условия (1.3), (1.4). Евклидову норму в $\mathbb R^n$ обозначаем $|\cdot|$. Значение линейного функционала $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in(\mathbb R^n)^*$ на элементе $x=(x_1,\dots,x_n)^\top\in\mathbb R^n$ ($\top$ – символ транспонирования) обозначаем $\langle \lambda,x\rangle=\sum_{i=i}^n\lambda_ix_i$. Через $(\mathbb R^n)^*_+$ обозначим множество функционалов на $\mathbb R^n$, принимающих неотрицательные значения на неотрицательных векторах. Если $\Lambda\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^m$ – линейный оператор, то $\Lambda^*$ обозначает сопряженный оператор к $\Lambda$. Если фиксирована функция $\widehat x(\cdot)$, то для сокращения записи частные производные отображений $f$ и $g$ по $\zeta_0$ и $\zeta_1$ в точке $(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ записываем соответственно как $\widehat f_{\zeta_i}$ и $\widehat g_{\zeta_i}$, $i=0,1$. Пусть $k\in\mathbb N$ и тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$, где $\widehat{\overline \alpha}(\cdot)=(\widehat a_1(\cdot),\dots,\widehat a_k(\cdot))$ и $\widehat{\overline u}(\cdot)=(\widehat u_1(\cdot),\dots,\widehat u_k(\cdot))$, допустима для выпуклой системы (1.3), (1.4). Обозначим через $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$ множество наборов
$$
\begin{equation*}
(\lambda_f,\lambda_g,p(\cdot))\in (\mathbb R^{m_1})_+^*\times(\mathbb R^{m_2})^*\times \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*),
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющих соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \dot p(t) =-p(t)\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\varphi_x(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t)), \\ p(t_0)={\widehat {f}_{\zeta_0}}^*\lambda_f+{\widehat {g}_{\zeta_0}}^*\lambda_g, \qquad p(t_1)=-{\widehat{f}_{\zeta_1}}^*\lambda_f-{\widehat {g}_{\zeta_1}}^*\lambda_g, \\ \langle \lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle=0, \\ \max_{u\in U}\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),u)\rangle=\langle p(t), \dot {\widehat x}(t)\rangle \quad \text{п.в. на }\ [t_0,t_1]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Ясно, что нулевой набор этим соотношениям удовлетворяет. Заметим, что, если $k=1$ (тогда $\widehat\alpha_1(\cdot)=1$ и обозначим $\widehat u_1(\cdot)=\widehat u(\cdot)$), то данные соотношения представляют собой условия принципа максимума Понтрягина с функцией Понтрягина $H(t,x,u,p)=\langle p,\varphi(t,x,u)\rangle$. Пусть $\mathcal M$ – топологическое пространство. Через $C(\mathcal M,Z)$ обозначаем пространство непрерывных ограниченных отображений $F\colon \mathcal M\to Z$ с нормой
$$
\begin{equation*}
\|F\|_{C(\mathcal M,Z)}=\sup_{x\in \mathcal M}\|F(x)\|_Z.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $\rho>0$,
$$
\begin{equation*}
\Delta(\rho)=\bigl\{(t,x,u)\in\mathbb R\times\mathbb R^n\times U \colon |x-\widehat x(t)|\leqslant\rho,\,t\in[t_0,t_1]\bigr\}
\end{equation*}
\notag
$$
и $B(\rho)$ – замкнутый шар в $\mathbb R^{2n}$ с центром в точке $(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ радиуса $\rho$. Обозначим
$$
\begin{equation*}
\mathcal L=C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)\times C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})\times C(B(\rho),\mathbb R^{m_2}).
\end{equation*}
\notag
$$
Это нормированное пространство, норму в котором определяем как сумму норм сомножителей. Сопоставим любой тройке непрерывных отображений $(\widetilde\varphi,\widetilde f, \widetilde g)\colon \mathcal L\to\mathbb R^n\times\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ систему вида (1.1), (1.2), в которой отображения $\varphi$, $f$ и $g$ заменены соответственно на отображения $\widetilde\varphi$, $\widetilde f$ и $\widetilde g$. Будем говорить о такой тройке как о системе $(\widetilde\varphi,\widetilde f, \widetilde g)$. Основным результатом настоящей работы является следующая Теорема 1. Пусть $k\in\mathbb N$ и $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$ таковы, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$. Тогда для каждой окрестности $V_0$ функции $\widehat x(\cdot)$ найдется окрестность $W_0$ нуля в $\mathcal L$ такая, что любая система $(\widetilde\varphi,\widetilde f,\widetilde g)$, для которой $(\widetilde\varphi-\varphi,\,\widetilde f-f, \widetilde g- g)\in W_0$, управляема относительно $\widehat x(\cdot)$ и $V_0$. Заметим, что для управляемости близкой (в указанном смысле) системы $(\widetilde\varphi,\widetilde f,\widetilde g)$ к системе $(\varphi, f, g)$ достаточно только непрерывности отображений $\widetilde\varphi$, $\widetilde f$ и $\widetilde g$. Следствие 1. В условиях теоремы 1 система $(\varphi, f, g)$ локально управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)$. § 2. Лемма об обратной функции и вспомогательные утвержденияЗдесь мы докажем лемму 1 об обратной функции, лемму 2, характеризующую условие $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$ в других терминах, и сформулируем лемму 3 об аппроксимации, являющуюся частным случаем леммы 4.3 из работы авторов [6]. Пусть $Z$ – нормированное пространство, $z_0\in Z$ и $\rho>0$. Всюду далее $U_Z(z_0,\rho)$ и $B_Z(x_0,\rho)$ обозначают соответственно открытый и замкнутый шары в $Z$ с центром в точке $z_0$ радиуса $\rho$. Лемма 1 (об обратной функции). Пусть $X$, $Y$, $Y_1$ – банаховы пространства и $Y_1$ непрерывно вложено в $Y$, $K$ и $Q$ – выпуклые замкнутые подмножества $X$, $V$ – окрестность точки $\widehat x\in K\cap Q$ и $F\in C(V,Y)$. Тогда если выполнены условия: 1) $F$ дифференцируемо в $\widehat x$ и $F(\widehat x)\in Y_1$, 2) $0\in\operatorname{int}F'(\widehat x)(K-\widehat x)$, 3) множество $B_X(0,1)\cap(F'(\widehat x))^{-1}B_{Y_1}(0,1)$ предкомпактно в $X$, 4) $F-F'(\widehat x)\subset C(V,Y_1)$, то найдутся константы $0<\delta_1\leqslant1$, $c>0$ и окрестность $W\subset C(V\cap K\cap Q,\,Y)$ отображения $F$ такие, что для любого отображения $\widetilde F\in W$, для которого $\widetilde F-F\in C(V\cap K\cap Q,\,Y_1)$ и при всех $(x,y)\in(V\cap K\cap Q)\times U_{Y_1}(F(\widehat x),\delta_1)$, существует отображение $\psi_{\widetilde F}$: $U_{Y_1}(F(\widehat x),\delta_1)\to V\cap K\cap Q$, удовлетворяющее для всех $y\in U_{Y_1}(F(\widehat x),\delta_1)$ соотношениям Доказательство. Из условий леммы следует, что выполнены предположения леммы $1$ из статьи авторов в [7], из которой, в свою очередь, следует существование чисел $\gamma>0$, $a>0$ и непрерывного отображения (правого обратного) $R\colon U_{Y}(0,\gamma)\to K-\widehat x$ таких, что для всех $z\in U_{Y}(0,\gamma)$ справедливы соотношения ($A=F'(\widehat x)$)
В силу условия $1)$ найдется $0<\delta=\delta(a)\leqslant 1$ такое, что $\widehat x+U_X(0,\delta)\subset V$ и если $x\in U_X(0,\delta)$, то
$$
\begin{equation}
\|F(\widehat x+x)-F(\widehat x)-A x\|_Y\leqslant\frac1{2a}\|x\|_X.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Поскольку $Y_1$ непрерывно вложено в $Y$, то существует константа $b>0$ такая, что $\|y\|_Y\leqslant b\|y\|_{Y_1}$ для всех $y\in Y_1$. Выберем $r>0$ и $0<\delta_1\leqslant1$ так, чтобы
$$
\begin{equation}
2(r+b\delta_1)\leqslant\min\biggl(\gamma,\frac \delta a\biggr).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Положим $W=U_{C(V\cap K\cap Q,\,Y)}(F,r)$ и обозначим $V_1=U_{Y_1}(F(\widehat x),\delta_1)$.
Фиксируем $y\in V_1$ и $\widetilde F\in W$ такое (согласно условиям леммы), что $\widetilde F-F\in C(V\cap K\cap Q,\,Y_1)$ и выполнено включение (2.1), из которого следует включение $B_X(0,1)\cap A^{-1}(z(x))\subset Q-\widehat x$ для всех $x\in E=U_X(0,\delta)\cap(K-\widehat x)\cap(Q-\widehat x))$, где
$$
\begin{equation*}
z(x)=z_{y,\widetilde F}(x)=A x+y-\widetilde F(\widehat x+x).
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $x\mapsto z(x)$ из $E$ в $Y$ непрерывно, поскольку $\widetilde F\in W$, то $\widetilde F\in C(V\cap K\cap Q,\,Y)$ и, значит, отображение $x\mapsto \widetilde F(\widehat x+x)$ из $E$ в $Y$ непрерывно. Запишем $z(x)$ в виде
$$
\begin{equation*}
z(x)=A(\widehat x+x)-F(\widehat x+x)+F(\widehat x+x)-\widetilde F(\widehat x+x)+F(\widehat x)-A\widehat x+y-F(\widehat x).
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия $4)$ леммы, выбора $\widetilde F$ и $y$ следует, что $z(x)\in Y_1$ для каждого $x\in E$ и справедлива оценка
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|z(x)\|_{Y_1} &\leqslant\|F-A\|_{C(V,Y_1)}+\|F-\widetilde F\|_{C(V\cap K\cap Q,\,Y_1)} \\ &\qquad+\|F(\widehat x)-A\widehat x\|_{Y_1}+ \|y-F(\widehat x)\|_{Y_1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $z(x)\in B_{Y_1}(0,\kappa)$ для всех $x\in E$, где $\kappa=\kappa(y,\widetilde F)$ – величина справа в этой оценке.
Записывая $z(x)$ в таком виде,
$$
\begin{equation*}
z(x)=-(F(\widehat x+x)-F(\widehat x)-A x) +F(\widehat x+x)-\widetilde F(\widehat x+x)+y-F(\widehat x),
\end{equation*}
\notag
$$
заключаем (в силу неравенства (2.4) и выбора $\widetilde F$), что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \|z(x)\|_Y &\leqslant \frac1{2a}\|x\|_X +\|\widetilde F-F\|_{C(V\cap K\cap Q,\,Y)}+\|y-F(\widehat x)\|_Y \nonumber \\ &=\frac1{2a}\|x\|_X+d, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где (учитывая непрерывное вложение $Y_1$ в $Y$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag d=d(y, \widetilde F) &=\|\widetilde F-F\|_{C(V\cap K\cap Q,\,Y)}+\|y-F(\widehat x)\|_Y \\ &<r+b\|y-F(\widehat x)\|_{Y_1}< r+b\delta_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Положим и введем отображение $\Phi=\Phi_{y,\widetilde F}\colon M\to X$, действующее по формуле Отображение определено корректно, так как, во-первых, $2ad<2a(r+b\delta_1)\leqslant\delta$ в силу (2.7) и (2.5) и тем самым $M\subset E$, а во-вторых, для любого $x\in M$ в силу (2.4)–(2.7) имеем
$$
\begin{equation*}
\|z(x)\|_Y\leqslant\frac1{2a}\|x\|_X+d\leqslant 2d<2(r+b\delta_1)\leqslant\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Отображение $\Phi$ непрерывно как суперпозиция непрерывных отображений. Покажем, что $\Phi$ переводит выпуклое замкнутое множество $M$ в себя.
Действительно, пусть $x\in M$. В силу (2.3) и предыдущей оценки
$$
\begin{equation*}
\|\Phi(x)\|_X=\|R(z(x))\|_X\leqslant a\|z(x)\|_Y\leqslant2ad,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\Phi(x)\in B_X(0, 2ad)$.
Далее, $\Phi(x)\in K-\widehat x$ в силу определения отображения $R$. Из равенства в (2.3) следует, что $A\Phi(x)=A R(z(x))=z(x)$. Отсюда вытекает, что $\Phi(x)\in A^{-1}(z(x))$. Так как $2ad<\delta\leqslant1$, то $\Phi(x)\in B_X(0,1)$ и теперь из условия (2.1) получаем, что $\Phi(x)\in B_X(0,1)\cap A^{-1}(z(x))\subset Q-\widehat x$. Итак, $\Phi(M)\subset M$. Докажем, что множество $\Phi(M)$ предкомпактно в $X$. Из равенства $A\Phi(x)=z(x)$, включения $z(x)\in B_{Y_1}(0,\kappa)$, доказанного выше, и включений $\Phi(x)\in B_X(0,1)$, которые справедливы для всех $x\in M$, следует, что $\Phi(M)\subset B_X(0,1)\cap A^{-1}B_{Y_1}(0,\kappa)$. По условию 3) леммы множество $B_X(0,1)\cap A^{-1}B_{Y_1}(0,1)$ предкомпактно, откуда легко вытекает, что и множество $B_X(0,1)\cap A^{-1}B_{Y_1}(0,\kappa)$ предкомпактно, а тогда его подмножество $\Phi(M)$ также предкомпактно. Таким образом, непрерывное отображение $\Phi$ переводит выпуклое замкнутое множество $M$ в себя, и его образ предкомпактен в $X$. Следовательно, по теореме Шаудера (утверждающей, что если образ непрерывного отображения, переводящего выпуклое замкнутое подмножество банахового пространства в себя, предкомпактен, то это отображение имеет неподвижную точку (см., например, [8; п. 3.6.2])) найдется элемент $\widetilde x=\widetilde x(y,\widetilde F)$ такой, что $\Phi(\widetilde x)=\widetilde x$. Тогда отсюда, из определения $\Phi$, из равенства в (2.3) и определения $z(x)$ следует, что
$$
\begin{equation*}
A\widetilde x=A\Phi(\widetilde x)=A R(z(\widetilde x))=z(\widetilde x)=A\widetilde x+y-\widetilde F(\widehat x+\widetilde x),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\widetilde F(\widehat x+\widetilde x)=y$. Положим $\psi_{\widetilde F}(y)=\widehat x+\widetilde x$. По условию $\widetilde x\in U_X(0,\delta)\cap(K- \widehat x)\cap(Q-\widehat x)\subset (V-\widehat x)\cap(K-\widehat x)\cap(Q-\widehat x)$, и поэтому $\psi_{\widetilde F}(y)\in V\cap K\cap Q$, т.е. справедливо равенство в (2.2) для любого $y\in V_1$.
Так как $\psi_{\widetilde F}(y)-\widehat x=\widetilde x\in B_X(0, 2ad)$, то, учитывая (2.7), получаем неравенство в (2.2) с $c=2a$, и лемма 1 об обратной функции доказана. Пусть $k\in\mathbb N$, тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$, где $\widehat{\overline \alpha}(\cdot)=(\widehat a_1(\cdot),\dots,\widehat a_k(\cdot))$ и $\widehat{\overline u}(\cdot)=(\widehat u_1(\cdot),\dots,\widehat u_k(\cdot))$, допустима для выпуклой системы (1.3), (1.4). Пусть, далее, $m=m_1+m_2$ и фиксированы наборы: $\overline N=(N_1,\dots, N_{m+1})$, где $N_i\in \mathbb N$ и $N_i>k$, $\overline\alpha=(\overline\alpha_1(\cdot),\dots,\overline\alpha_{m+1}(\cdot))$, где $\overline\alpha_i(\cdot)=(\alpha_{i1}(\cdot),\dots,\alpha_{iN_i}(\cdot))\in (L_\infty([t_0,t_1])^{N_i}$ и $\overline u=(\overline u_1(\cdot),\dots,\overline u_{m+1}(\cdot))$, где $\overline u_i(\cdot)=(u_{i1}(\cdot),\dots,u_{i(N_i-k)}(\cdot))\in (L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r))^{N_i-k}$, $i=1,\dots,m+1$. Положим
$$
\begin{equation*}
X=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times \mathbb R^{m+1}\times\mathbb R^{m_1}, \qquad Y=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}
\end{equation*}
\notag
$$
и рассмотрим отображение $A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)\colon X\to Y$, действующее для всех $(h(\cdot),\xi, \beta,\nu)\in X$ и $t\in[t_0,t_1]$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)[h(\cdot),\xi,\beta,\nu](t) =\biggl(h(t)-\xi- \int_{t_0}^t\biggl(\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_j(\tau) \varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))h(\tau) \\ &\ \ +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\biggl(\sum_{j=1}^k\alpha_{ij}(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))+ \sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),u_{i(j-k)}(\tau))\biggr)\biggr)d\tau, \\ &\quad\qquad\qquad \widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu, \, \widehat g'[\xi,h(t_1)]\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta=(\beta_1,\dots,\beta_{m+1})$. Это корректно определенный линейный непрерывный оператор. Действительно, обозначим
$$
\begin{equation*}
\gamma_u=\max\bigl\{\|\widehat{\overline u}(\cdot)\|_{(L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r))^k}, \,\|\overline u_i(\cdot)\|_{(L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r))^{N_i-k}},\,1\leqslant i\leqslant m+1\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
На компакте $\mathcal K=[t_0,t_1]\times B_{\mathbb R^r}(0,\gamma_u)$ отображения $(t,u)\mapsto \varphi(t,\widehat x(t),u)$ и $(t,u)\mapsto \varphi_x(t,\widehat x(t),u)$ непрерывны. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_0 &=\max_{(t,u)\in \mathcal K}|\varphi(t,\widehat x(t),u)|, \\ C_1 &=\max_{(t,u)\in \mathcal K}\|\varphi_x(t,\widehat x(t),u)\|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $\|(\cdot)\|$ – операторная норма линейного оператора из $\mathbb R^n$ в $\mathbb R^n$. Поскольку функции $\widehat\alpha_j(\cdot)$, $j=1,\dots,k$, и $\alpha_{ij}(\cdot)$, $i=1,\dots,m+1$, $j=1,\dots,N_i$, существенно ограничены, то выражение под знаком интеграла в определении отображения $A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)$ есть функция из $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, которая тем самым суммируема. Следовательно, первая компонента образа этого отображения принадлежит $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Тогда ясно, что данное отображение действует из $X$ в $Y$. Линейность его очевидна, и простая проверка показывает, что оно ограничено. Положим
$$
\begin{equation*}
K_0=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times\Sigma^{m+1}\times(\mathbb R^{m_1}_++f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))),
\end{equation*}
\notag
$$
где симплекс $\Sigma^k$ для любого $k\in\mathbb N$ определен выше. Напомним, что множества $\mathcal A_k$, $k\in\mathbb N$, и $\mathcal U$ введены перед определением выпуклой системы (1.3), (1.4). Если $N>k$, то обозначим $\widehat{\overline \alpha}_N(\cdot)=(\widehat\alpha_1(\cdot),\dots,\widehat\alpha_k(\cdot), 0,\dots,0)\in \mathcal A_N$. Лемма 2. Пусть $k\in\mathbb N$. Следующие утверждения эквивалентны. 1) Справедливо равенство $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$. 2) Найдутся наборы $\overline N^{\,*}{=}\,(N_1,\dots, N_{m+1})$, где $N_i{>}\,k$, $\overline\alpha_*{=}\,(\overline\alpha_1(\cdot),\dots,\overline\alpha_{m+1}(\cdot))$, где $\overline\alpha_i(\cdot)=(\alpha_{i1}(\cdot),\dots,\alpha_{iN_i}(\cdot))\in \mathcal A_{N_i}-\widehat{\overline\alpha}_{N_i}(\cdot)$ и $\overline u_*=(\overline u_1(\cdot),\dots,\overline u_{m+1}(\cdot))$, где $\overline u_i(\cdot)=(u_{i1}(\cdot),\dots,u_{i(N_i-k)}(\cdot))\in \mathcal U^{N_i-k}$, $i=1,\dots,m+1$, такие, что Доказательство этой леммы опирается на следующие два предложения. Предложение 1. Пусть $X$, $Y_1$, $Y_2$ – банаховы пространства, $A_i\colon X\to Y_i$, $i=1,2$, – линейные непрерывные операторы, оператор $A=(A_1,A_2)\colon X\to Y=Y_1\times Y_2$ действует по правилу $Ax=(A_1x,A_2x)$, $x\in X$, и $C$ – выпуклое замкнутое подмножество $X$. Тогда $0\in\operatorname{int}AC$ в том и только в том случае, если $0\in\operatorname{int}A_1C$ и $0\in\operatorname{int}A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1)$. Доказательство. Пусть $0\in\operatorname{int}AC$. Тогда найдется $r>0$ такое, что $U_{Y_1}(0,r)\times U_{Y_2}(0,r)\subset AC$. Отсюда получаем включение $U_{Y_1}(0,r)\subset A_1C$ и значит, $0\in\operatorname{int}A_1C$.
Далее, так как $\{0\}\times U_{Y_2}(0,r)\subset AC$, то для любого $y_2\in U_{Y_2}(0,r)$ найдется элемент $x\in C\cap\operatorname{Ker}A_1$ такой, что $A_2x=y_2$, и тем самым $0\in\operatorname{int}A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1)$. Обратно, пусть $0\in\operatorname{int}A_1C$ и $0\in\operatorname{int}A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1)$. Из первого включения следует, что выполнены предположения леммы $1$ из статьи авторов в [7], из которой, как уже было сказано в начале доказательства леммы 1, следует существование чисел $\gamma>0$, $a>0$ и отображения $R\colon U_{Y_1}(0,\gamma)\to C$ таких, что для всех $y_1\in U_{Y_1}(0,\gamma)$ справедливы соотношения
$$
\begin{equation}
A_1R(y_1)=y_1, \qquad \|R(y_1)\|_X\leqslant a\|y_1\|_{Y_1}.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Из второго включения следует, что $U_{Y_2}(0,\rho)\subset A_2(C\cap \operatorname{Ker}A_1)$ для некоторого $\rho>0$. Пусть $0<\delta\leqslant \min(\rho/4,\rho/4a\|A_2\|,\gamma/2)$. Покажем, что $U_{Y}(0,\delta)\subset AC$.
Если $y=(y_1,y_2)\in U_{Y}(0,\delta)$, то $2y_1\in U_{Y_1}(0,\gamma)$ согласно выбору $\delta$, и поэтому в силу (2.10) найдется $x_1=R(2y_1)\in C$ такое, что $A_1x_1=2y_1$. Покажем теперь, что $2y_2-A_2x_1\in U_{Y_2}(0,\rho)$. Действительно, учитывая выбор $\delta$ и неравенство в (2.10), будем иметь
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \|2y_2-A_2x_1\|_{Y_2} &\leqslant2\|y_2\|_{Y_2}+\|A_2\|\|x_1\|_X<\frac{\rho}2+\|A_2\|a\|2y_1\|_{Y_1} \\ &<\frac{\rho}2 +\|A_2\|2a\delta\leqslant \frac{\rho}2+ \frac{\rho}2=\rho. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, найдется $x_2\in C\cap \operatorname{Ker}A_1$, для которого $A_2x_2=2y_2-A_2x_1$.
Положим $x=(1/2)x_1+(1/2)x_2$. Так как $x_i\in C$, $i=1,2$, и $C$ выпукло, то $x\in C$. Далее, поскольку $x_2\in \operatorname{Ker}A_1$, то $A_1x=(1/2)A_1x_1+(1/2)A_1x_2=(1/2)A_1x_1=y_1$, а из определения $x_2$ следует, что $A_2x=(1/2)A_2x_1+(1/2)A_2x_2=(1/2)A_2x_1+y_2-(1/2)A_2x_1=y_2$, т.е. $Ax=(A_1x,A_2x)=(y_1,y_2)=y$. Таким образом, $U_{Y}(0,\delta)\subset AC$, и предложение 1 доказано. Оператор $A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)$, определенный перед леммой 2, можно представить в виде $A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)=(A_{1\overline N}(\overline\alpha,\overline u), A_{2\overline N}(\overline\alpha,\overline u))$, где линейный оператор $A_{1\overline N}(\overline\alpha, \overline u)\colon X\to Y_1=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ действует по правилу
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_{1\overline N}(\overline\alpha,\overline u)[h(\cdot),\xi,\beta,\nu](t)=h(t)-\xi- \int_{t_0}^t\biggl(\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_j(\tau) \varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))h(\tau) \\ &\qquad + \sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\biggl(\sum_{j=1}^k\alpha_{ij}(\tau) \varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))+ \sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),u_{i(j-k)}(\tau))\biggr)\biggr)d\tau \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $(h(\cdot),\xi,\beta,\nu)\in X$ и $t\in[t_0,t_1]$, а линейный оператор $A_{2\overline N}(\overline\alpha,\overline u)\colon X\to Y_2=\mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}$ – по правилу
$$
\begin{equation*}
A_{2\overline N}(\overline\alpha,\overline u)[h(\cdot),\xi,\beta,\nu] =(\widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu,\,\widehat g'[\xi,h(t_1)])
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $(h(\cdot),\xi,\beta,\nu)\in X$. Предложение 2. Пусть $k\in\mathbb N$. Следующие утверждения эквивалентны. a) $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$. b) Найдутся наборы $\overline N^{\,*}{=}\,(N_1,\dots, N_{m+1})$, где $N_i{>}\,k$, $\overline\alpha_*{=}\,(\overline\alpha_1(\cdot),\dots,\overline\alpha_{m+1}(\cdot))$, где $\overline\alpha_i(\cdot)=(\alpha_{i1}(\cdot),\dots,\alpha_{iN_i}(\cdot))\in \mathcal A_{N_i}-\widehat{\overline \alpha}_{N_i}(\cdot)$ и $\overline u_*=(\overline u_1(\cdot),\dots,\overline u_{m+1}(\cdot))$, где $\overline u_i(\cdot)=(u_{i1}(\cdot),\dots,u_{i(N_i-k)}(\cdot))\in \mathcal U^{N_i-k}$, $i=1,\dots,m+1$, такие, что Доказательство. a) $\Rightarrow$ b). Пусть $N>k$,
$$
\begin{equation*}
X_1=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times (L_\infty([t_0,t_1]))^N\times\mathbb R^{m_1},
\end{equation*}
\notag
$$
пространство $Y$ то же, что и перед формулировкой леммы 2, и $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots, u_{N-k}(\cdot))\in\mathcal U^{N-k}$.
Рассмотрим отображение $A_N(\overline u)\colon X_1\to Y$, действующее для всех $(h(\cdot),\xi, \overline \alpha(\cdot),\nu)\in X_1$ и $t\in[t_0,t_1]$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_N(\overline u)[h(\cdot),\xi,\overline \alpha(\cdot),\nu](t)=\biggl(h(t)-\xi- \int_{t_0}^t\biggl(\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(\tau)\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))h(\tau) \\ &\qquad +\sum_{i=1}^k\alpha_i(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))+ \sum_{i=k+1}^N\alpha_i(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),u_{i-k}(\tau))\biggr)d\tau, \\ &\qquad\qquad\qquad \widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu,\,\widehat g'[\xi,h(t_1)]\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))$. Это корректно определенный линейный непрерывный оператор. Доказательство этого такое же, как приведенное выше для оператора $A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)$.
Оператор $A_N(\overline u)$ можно представить в виде $A_N(\overline u)=(A_{1N}(\overline u), A_{2N}(\overline u))$, где линейный оператор $A_{1N}(\overline u)\colon X_1\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ действует по правилу
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_{1N}(\overline u)[h(\cdot),\xi,\overline \alpha(\cdot),\nu](t)=h(t)-\xi- \int_{t_0}^t\biggl(\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(\tau)\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))h(\tau) \\ &\qquad+\sum_{i=1}^k\alpha_i(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))+ \sum_{i=k+1}^N\alpha_i(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),u_{i-k}(\tau))\biggr)d\tau \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $(h(\cdot),\xi,\overline \alpha(\cdot),\nu)\in X_1$ и $t\in[t_0,t_1]$, а линейный оператор $A_{2N}(\overline u)\colon X_1\to \mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}$ – по правилу
$$
\begin{equation*}
A_{2N}(\overline u)[h(\cdot),\xi,\overline \alpha(\cdot),\nu]=(\widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu, \,\widehat g'[\xi,h(t_1)])
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $(h(\cdot),\xi,\overline \alpha(\cdot),\nu)\in X_1$.
Положим
$$
\begin{equation*}
K_N=C([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^n\times(\mathcal A_N-\widehat{\overline \alpha}_{N}(\cdot))\times(\mathbb R^{m_1}_++f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))).
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $K_N$ – выпуклое замкнутое подмножество $X_1$.
Покажем сначала, что из a) следует включение
$$
\begin{equation}
0\in\operatorname{int} \bigcup_{\overline u(\cdot)\in\mathcal V}A_{2N}(\overline u)(K_{N}\cap\operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u)),
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где $\mathcal V$ – множество всех наборов $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_{N-k}(\cdot))\in \mathcal U^{N-k}$, $N>k$.
Доказываем от противного. Предположив, что включение (2.12) не выполняется, покажем, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))\ne\{0\}$. Начнем с доказательства того, что множество справа в (2.12) выпукло. Действительно, обозначим это множество через $M$, и пусть $y_i\in M$, $\beta_i>0$, $i=1,2$, и $\beta_1+\beta_2=1$. Надо показать, что $\beta_1y_1+\beta_2y_2\in M$. Так как $y_i\in M$, то найдутся $N_i>k$, $\overline u_i(\cdot)=(u_{i1}(\cdot),\dots,u_{i(N_i-k)}(\cdot))\in\mathcal U^{N_i-k}$ и $z_i=(h_i(\cdot),\xi_i,\overline\alpha_i(\cdot),\nu_i)\in K_{N_i}\cap \operatorname{Ker}A_{1N_i}(\overline u_i)$, где $\overline\alpha_i(\cdot)=(\alpha_{i1}(\cdot)\dots,\alpha_{iN_i}(\cdot))$ и (так как $z_i\in\operatorname{Ker}A_{1N_i}(\overline u_i)$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \dot h_i(t) &=\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\varphi_x(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))h_i(t)+ \sum_{j=1}^k\alpha_{ij}(t)\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t)) \\ &\qquad +\sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(t)\varphi(t,\widehat x(t),u_{i(j-k)}(t)), \qquad h_i(t_0)=\xi_i, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
для всех $t\in[t_0,t_1]$ такие, что $y_i=A_{2N_i}(\overline u_i)[z_i]$, $i=1,2$.
Пусть $N=N_1+N_2-k$ и $\overline u(\cdot)=(\overline u_{1}(\cdot), \overline u_2(\cdot))$. Положим $z=(h(\cdot),\xi,\overline\alpha(\cdot),\nu)$, где $h(\cdot)=\beta_1h_1(\cdot)+\beta_2h_2(\cdot)$, $\xi=\beta_1\xi_1+\beta_2\xi_2$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \overline\alpha(\cdot) &=\bigl(\beta_1\alpha_{11}(\cdot)+\beta_2\alpha_{21}(\cdot), \dots, \beta_1\alpha_{1k}(\cdot)+\beta_2\alpha_{2k}(\cdot), \\ &\qquad \beta_1\alpha_{1(k+1)}(\cdot),\dots,\beta_1\alpha_{1N_1}(\cdot), \beta_2\alpha_{2(k+1)}(\cdot),\dots,\beta_2\alpha_{2N_2}(\cdot)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\nu=\beta_1\nu_1+\beta_2\nu_2$.
Нетрудно проверить, что $\overline\alpha(\cdot)\in \mathcal A_N-\widehat{\overline \alpha}_N(\cdot)$, и поэтому $z\in K_N$. Из (2.13) следует, что функция $h(\cdot)$ удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot h(t) &=\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\varphi_x(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))h(t) \\ &\qquad+\sum_{j=1}^k(\beta_1\alpha_{1j}(t)+\beta_2\alpha_{2j}(t))\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_{j}(t)) \\ &\qquad+ \sum_{j=k+1}^{N_1}\beta_1\alpha_{1j}(t)\varphi(t,\widehat x(t),u_{1(j-k)}(t)) \\ &\qquad +\sum_{j=N_1+1}^{N}\beta_2\alpha_{2(j-N_1+k)}(t)\varphi(t,\widehat x(t),u_{2(j-N_1)}(t)), \qquad h(t_0)=\xi, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in [t_0, t_1]$. Отсюда заключаем, что $z\in \operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u)$, и, значит, $z\in K_N\cap\operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u)$. Тогда
$$
\begin{equation*}
A_{2N}(\overline u)[z]=\beta_1A_{2N_1}(\overline u_1)[z_1]+\beta_2A_{2N_2}(\overline u_2)[z_2]=\beta_1y_1+\beta_2y_2,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\beta_1y_1+\beta_2y_2\in A_{2N}(\overline u)(K_{N}\cap\operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u))$, и тем самым множество $M$ выпукло.
Вернемся к включению (2.12). Если оно не выполняется, то либо множество $M$ имеет непустую внутренность и нуль ей не принадлежит, либо внутренность $M$ пуста. Так как $M$ выпукло, то его внутренность также выпукла и если она не пуста и нуль ей не принадлежит, то по конечномерной теореме отделимости найдется ненулевой вектор $\lambda\in (\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2})^*$ такой, что
$$
\begin{equation}
\langle\lambda,A_{2N}(\overline u)[h(\cdot),\xi,\overline\alpha(\cdot),\nu]\rangle\geqslant0
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
для любого набора $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_{N-k}(\cdot))\in \mathcal U^{N-k}$ и для всех $(h(\cdot),\xi,\overline\alpha(\cdot),\nu)\in K_{N}\,{\cap}\operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u)$, причем $h(\cdot)\,{=}\,h(\cdot,\xi,\overline\alpha;\overline u)$ (так как $(h(\cdot),\xi,\overline\alpha(\cdot),\nu)\,{\in}\operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u)$) удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \dot h &=\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\varphi_x(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))h+ \sum_{i=1}^k\alpha_{i}(t)\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t)) \\ &\qquad +\sum_{i=k+1}^{N}\alpha_{i}(t)\varphi(t,\widehat x(t),u_{i-k}(t)), \qquad h(t_0)=\xi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))$.
Если внутренность $M$ пуста, то, как хорошо известно (см., например, [9]), множество $M$ принадлежит некоторой гиперплоскости, содержащей нуль (так как нуль самому множеству принадлежит), и в этом случае неравенство (2.14) становится равенством. Полагая $\lambda=(\lambda_f,\lambda_{g})\in (\mathbb R^{m_1})^*\times (\mathbb R^{m_2})^*$, неравенство (2.14) согласно определению оператора $A_{2N}(\overline u)$ запишем следующим образом:
$$
\begin{equation}
\langle\lambda_f,\,\widehat f_{\zeta_0}\xi+\widehat f_{\zeta_1}h(t_1,\xi,\overline\alpha;\overline u)+\nu\rangle+\langle\lambda_g,\,\widehat g_{\zeta_0}\xi+\widehat g_{\zeta_1}h(t_1,\xi,\overline\alpha;\overline u)\rangle\geqslant0,
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $\nu=\nu'+f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ и $\nu'\in\mathbb R^{m_1}_+$.
Используя (2.16), докажем, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))\ne\{0\}$. Полагая $\xi=0$, $\overline\alpha(\cdot)=0$ (тогда $h(\cdot,\xi,\overline\alpha;\overline u)=0$ в силу единственности решения линейного уравнения (2.15)) и $\nu'=\nu_0-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ для любого $\nu_0\in\mathbb R^{m_1}_+$, получаем из (2.16), что $\langle\lambda_f,\nu_0\rangle\geqslant0$ для любого $\nu_0\in\mathbb R^{m_1}_+$, т.е. $\lambda_f\in(\mathbb R^{m_1})^*_+$. Пусть $\xi = 0$, $\overline\alpha(\cdot) = 0$ и $\nu' = 0$. Тогда из (2.16) вытекает, что выполнено неравенство $\langle\lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle \geqslant 0$. Но $\lambda_f\in(\mathbb R^{m_1})^*_+$, а $f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\leqslant0$, и поэтому $\langle\lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle\leqslant0$, т.е. $\langle\lambda_f,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))\rangle=0$, и, значит, выполняется четвертое соотношение в (1.5). Положим в (2.16) $\overline\alpha(\cdot)=0$ и $\nu'=-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$. Тогда в силу того, что $\xi\in \mathbb R^n$ и $h(\cdot)=h(\cdot,\xi,\overline\alpha;\overline u)$ от $\xi$ зависит линейно, неравенство (2.16) становится равенством
$$
\begin{equation}
\langle \lambda_f,\widehat f_{\zeta_0} \xi+\widehat f_{\zeta_1} h(t_1,\xi,0;\overline u)\rangle +\langle\lambda_g,\widehat g_{\zeta_0} \xi+\widehat g_{\zeta_1} h(t_1,\xi,0;\overline u)\rangle=0.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Пусть $p(\cdot)$ – решение уравнения
$$
\begin{equation}
\dot p =-p\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\varphi_x(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t)),\qquad p(t_1) =-{\widehat{f}_{\zeta_1}}^*\lambda_f-{\widehat {g}_{\zeta_1}}^*\lambda_g.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Из (2.17) и (2.18) получаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle\widehat f_{\zeta_0}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_0}^*\lambda_g,\xi\rangle =-\langle\widehat f_{\zeta_1}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_1}^*\lambda_g, h(t_1,\xi,0;\overline u)\rangle =\langle p(t_1),h(t_1,\xi,0;\overline u)\rangle \\ \notag &\qquad=\int_{t_0}^{t_1}(\langle p(t),\dot h(t,\xi,0;\overline u)\rangle+\langle\dot p(t),h(t,\xi,0;\overline u)\rangle)\,dt +\langle p(t_0),h(t_0,\xi,0;\overline u)\rangle \\ &\qquad = \langle p(t_0),h(t_0,\xi,0;\overline u)\rangle=\langle p(t_0),\xi\rangle \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
для любого $\xi\in\mathbb R^n$, и тем самым
$$
\begin{equation*}
p(t_0)=\widehat f_{\zeta_0}^*\lambda_f+\widehat g_{\zeta_0}^*\lambda_g.
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с (2.18) это означает, что выполняются первые три соотношения в (1.5). Осталось доказать последнее соотношение – условие максимума.
Положим в (2.16) $\nu'=-f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$, и пусть $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))\in \mathcal A_N-\widehat{\overline \alpha}_N(\cdot)$. Учитывая выражения для $p(t_0)$ и $p(t_1)$, из (2.16) получаем неравенство
$$
\begin{equation}
\langle p(t_0),\xi\rangle-\langle p(t_1),h(t_1,\xi,\overline\alpha; \overline u)\rangle\geqslant0,
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
справедливое для всех $\xi\in\mathbb R^n$.
Из (2.20), (2.18) и (2.15) следует, что ($h(t_0,\xi,\overline\alpha; \overline u)=\xi$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag 0 &\leqslant \langle p(t_0),h(t_0,\xi,\overline\alpha; \overline u)\rangle-\langle p(t_1),h(t_1,\xi,\overline\alpha; \overline u)\rangle \\ \notag &=-\int_{t_0}^{t_1}\bigl (\langle p(t),\dot h(t,\xi,\overline\alpha; \overline u)\rangle+\langle \dot p(t), h(t,\xi,\overline\alpha; \overline u)\rangle\bigr)\,dt \\ &=-\int_{t_0}^{t_1}\biggl(\sum_{i=1}^k\alpha_i(t)\langle p(t), \varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))\rangle \nonumber \\ &\qquad +\sum_{i=k+1}^N\alpha_i(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),u_{i-k}(t))\rangle\biggr)\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Положим $\overline\alpha_i(\cdot)=(0,\dots,0,-(1/2)\widehat\alpha_i(\cdot),0,\dots,0,(1/2)\widehat \alpha_i(\cdot),0,\dots,0)$ для любого $1\leqslant i\leqslant k$, где $-(1/2)\widehat\alpha_i(\cdot)$ стоит на $i$-м месте, $(1/2)\widehat\alpha_i(\cdot)$ – на $(k+1)$-м и последние $N-k-1$ элементов – нулевые. Ясно, что $\overline\alpha_i(\cdot)\in\mathcal A_N-\widehat{\overline \alpha}_N(\cdot)$.
Подставляя эти наборы в правую часть (2.21) и обозначая $v(\cdot)=u_1(\cdot)$, получим, что
$$
\begin{equation}
\int_{t_0}^{t_1}\widehat\alpha_{i}(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),v(t))\rangle\,dt\leqslant \int_{t_0}^{t_1}\widehat\alpha_i(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))\rangle\,dt
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
для всех $1\leqslant i\leqslant k$ и всех $v(\cdot)\in \mathcal U$.
Обозначим через $T_0$ пересечение множеств точек Лебега функций $\widehat\alpha_i(\cdot)$ и $\langle p(\cdot),\varphi(\cdot,\widehat x(\cdot),\widehat u_i(\cdot))\rangle$, $i=1,\dots,k$, на $(t_0,t_1)$. В силу существенной ограниченности этих функций, нетрудно проверить, что $T_0$ будет множеством точек Лебега и для функций $\widehat\alpha_i(\cdot)\langle p(\cdot),\varphi(\cdot,\widehat x(\cdot),\widehat u_i(\cdot))\rangle$, $i=1,\dots,k$. Через $T_1$ обозначим множество точек $t\in[t_0,t_1]$ таких, что $\widehat u_i(t)\in U$, $i=1,\dots,k$. По определению для каждого $i$ это множество полной меры, поэтому и $T_1$ – множество полной меры. Пусть $\tau\in T_0\cap T_1$ и $v\in U$. Фиксируем $1\leqslant i\leqslant k$. Для каждого $h>0$ такого, что $[\tau-h,\tau+h]\subset (t_0,t_1)$, положим $v_h(t)=v$, если $t\in [\tau-h,\tau+h]$ и $v_h(t)=\widehat u_i(t)$, если $t\in [t_0,t_1]\setminus[\tau-h,\tau+h]$. Ясно, что $v_h(\cdot)\in\mathcal U$, и из (2.22) следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac1{2h}\int_{\tau-h}^{\tau+h}\widehat\alpha_{i}(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),v)\rangle\,dt\leqslant \frac1{2h}\int_{\tau-h}^{\tau+h}\widehat\alpha_i(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))\rangle\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку функция $\varphi(\cdot,\widehat x,v)$ непрерывна, то $\tau$ – ее точка Лебега, а также согласно замечанию выше $\tau$ – точка Лебега и для функции $\widehat\alpha_i(\cdot)\langle p(\cdot),\varphi(\cdot,\widehat x,v)\rangle$. Переходя в последнем неравенстве к пределу при $h\to0$, получаем, что
$$
\begin{equation}
\widehat\alpha_i(\tau)\langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),v)\rangle \leqslant\widehat\alpha_i(\tau)\langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))\rangle
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
для каждого $i=1,\dots,k$.
По условию $\widehat\alpha_i(t)\geqslant0$, $i=1,\dots,k$, и $\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)=1$ для п.в. $t\in[t_0, t_1]$. Множество таких $t$ обозначим $T_2$, и пусть $\tau\in T_0\cap T_1\cap T_2$. Найдется такое $1\,{\leqslant}\, i\,{\leqslant}\, k$, что $\widehat\alpha_i(\tau)>0$. Тогда из (2.23) последует, что функция $v\mapsto \langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),v)\rangle$ достигает максимума на $U$ в точке $\widehat u_i(\tau)\in U$. Складывая неравенства (2.23) для $\tau\in T_0\cap T_1\cap T_2$, приходим к соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),v)\rangle &\leqslant\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(\tau)\langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))\rangle \\ &\leqslant\max_{v\in U}\langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),v)\rangle\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(\tau) \\ &=\max_{v\in U}\langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),v)\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя слева к максимуму по $v\in U$, получаем, что в этом соотношении везде равенства. Поскольку тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$ допустима для выпуклой системы (1.3), (1.4), то уравнение в (1.3) обращается в равенство в точках Лебега функции в правой части. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \max_{v\in U}\langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),v)\rangle &=\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(\tau)\langle p(\tau),\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))\rangle \\ &=\langle p(\tau),\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_i(\tau))\rangle =\langle p(\tau),\dot{\widehat x}(\tau)\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $T_0\cap T_1\cap T_2$ – множество полной меры, то выполняется последнее условие в (1.5).
Итак, доказано, что если $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$, то справедливо включение (2.12). Покажем теперь, что из этого включения следует включение (2.11). Обозначим для краткости $Z=\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ и $m=m_1+m_2$. Так как справедливо (2.12), то существует $m$-мерный симплекс $S\subset M$ такой, что $0\in\operatorname{int}S$ (см. [9]), и тем самым $U_{Z}(0,\rho_0)\subset S$ для некоторого $\rho_0>0$. Пусть $e_1,\dots,e_{m+1}$ – вершины $S$. Тогда найдутся $N_i>k$, $\overline u_i(\cdot)=(u_{i1}(\cdot),\dots,u_{i(N_i-k)}(\cdot))\in\mathcal U^{N_i-k}$ и $z_i=(h_i(\cdot),\xi_i,\overline\alpha_i(\cdot),\nu_i)\in K_{N_i}\cap \operatorname{Ker}A_{1N_i}(\overline u_i)$, где $\overline\alpha_i(\cdot)=(\alpha_{i1}(\cdot),\dots,\alpha_{iN_i}(\cdot))\in\mathcal A_{N_i}-\widehat{\overline \alpha}_{N_i}(\cdot)$ (напомним, $\widehat{\overline \alpha}_{N_i}(\cdot)=(\widehat\alpha_1(\cdot),\dots\widehat\alpha_k(\cdot),0,\dots,0)\in\mathcal A_{N_i}$), $i=1,\dots,m+1$ и (так как $z_i\in\operatorname{Ker}A_{1N_i}(\overline u_i)$)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_{1N_i}(\overline u_i)[h_i(\cdot),\xi_i,\overline \alpha_i(\cdot),\nu_i](t) \\ &\quad=h_i(t)-\xi_i- \int_{t_0}^t\biggl(\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_j(\tau)\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))h_i(\tau) \\ &\quad\qquad+\sum_{j=1}^k(\alpha_{ij}(\tau))\varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))+\sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(\tau)\varphi(\tau,\widehat x(\tau),u_{i(j-k)}(\tau))\biggr)\, d\tau=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in[t_0,t_1]$, или равносильно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot h_i(t) &=\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_{j}(t)\varphi_x(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t))h_i(t) +\sum_{j=1}^k\alpha_{ij}(t)\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t)) \\ &\qquad + \sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(t)\varphi(t,\widehat x(t),u_{i(j-k)}(t)), \qquad h_i(t_0)=\xi_i, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ такие, что
$$
\begin{equation*}
e_i=A_{2N_i}(\overline u_i)[z_i]=(\widehat f'[\xi_i,h_i(t_1)]+\nu_i,\quad \widehat g'[\xi_i,h_i(t_1)]),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_i(\cdot)=h_i(\cdot,\xi_i,\overline\alpha_i;\overline u_i)$, $i=1,\dots,m+1$.
Пусть $y\in U_{Z}(0,\rho_0)$. Следовательно, $y=\sum_{i=1}^{m+1}\beta_ie_i$ для некоторых $\beta_i>0$, для которых $\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i=1$ (см. [9]). Положим
$$
\begin{equation*}
h(\cdot)=\sum_{i=1}^{m+1}\beta_ih_i(\cdot),\qquad \xi=\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\xi_i,\qquad \nu=\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\nu_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $h(\cdot)$, очевидно, удовлетворяет уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \dot h &=\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_{j}(t)\varphi_x(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t))h +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\biggl(\sum_{j=1}^k\alpha_{ij}(t)\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t)) \\ &\qquad +\sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(t)\varphi(t,\widehat x(t),u_{i(j-k)}(t))\biggr), \qquad h(t_0)=\xi, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, из которого следует, что если положить $\overline N_*{=}\,(N_1,\dots, N_{m+1})$, $\overline\alpha_*=(\overline\alpha_1(\cdot),\dots,\overline\alpha_{m+1}(\cdot))$ и $\overline u_*=(\overline u_1(\cdot),\dots,\overline u_{m+1}(\cdot))$, то справедливо включение $(h(\cdot),\xi,\beta,\nu)\in K_0\cap\operatorname{Ker}A_{1\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)$.
Далее, по определению,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_{2\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)[h(\cdot),\xi,\beta,\nu] &=\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i(\widehat f'[\xi_i,h_i(t_1)]+\nu_i,\,\widehat g'[\xi_i,h_i(t_1)]) \\ &=\sum_{i=1}^{m+1}\beta_ie_i=y, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $U_{Y_1}(0,\rho_0)\subset A_{2\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)(K_0\cap\operatorname{Ker}A_{1\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*))$, и, значит, выполняется включение (2.11). Импликация a) $\Rightarrow$ b) доказана.
Докажем импликацию b) $\Rightarrow$ a). Доказываем от противного. Пусть $k\in\mathbb N$. Предположим, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))\ne\{0\}$, и покажем, что включение (2.11) невозможно ни для каких наборов $\overline N$, $\overline\alpha$ и $\overline u$. Сначала покажем, что ни для какого $ N>k$ и набора $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots, u_{N-k}(\cdot))\in\mathcal U^{N-k}$ не может выполняться включение
$$
\begin{equation}
0\in\operatorname{int}A_{2N}(\overline u)(K_{N}\cap\operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u)),
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
где $K_N$ определено в начале доказательства предложения 2.
Пусть ненулевая тройка $(\lambda_f,\lambda_g,p(\cdot))\in (\mathbb R^{m_1})^*_+\times(\mathbb R^{m_2})^*\times \operatorname{AC}([t_0,t_1],(\mathbb R^n)^*)$ принадлежит $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$. Фиксируем набор $\overline u(\cdot)=(u_1(\cdot),\dots,u_{N-k}(\cdot))\in\mathcal U^{N-k}$. Пусть $\xi\in\mathbb R^n$, $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))\in \mathcal A_N-\widehat{\overline \alpha}_N(\cdot)$ и $h(\cdot,\xi,\overline\alpha;\overline u)$ – решение уравнения (2.15) с этими данными. Пусть $T$ – множество точек $t\in[t_0,t_1]$ таких, что $\widehat u_i(t)\in U$, $i=1,\dots,k$, $u_i(t)\in U$, $i=1,\dots,N-k$, и $\widehat\alpha_i(t)\geqslant0$, $i=1,\dots,k$, $\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)=1$. Из условия максимума в соотношениях (1.5), очевидно, следуют неравенства
$$
\begin{equation*}
\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t))\rangle \leqslant\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in T$ и $j=1,\dots,k$.
Обозначим для краткости правую часть этих неравенств через $A(t)$. Умножая эти неравенства соответственно на $\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_k(\cdot)$, затем складывая их, получим (учитывая равенство $\sum_{j=1}^N\alpha_j(t)=0$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, следующее из включения $\overline\alpha(\cdot)\in \mathcal A_N-\widehat{\overline \alpha}_N(\cdot)$), что
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^{k}\alpha_j(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t))\rangle \leqslant\sum_{j=1}^{k}\alpha_j(t)A(t)=-\sum_{j=k+1}^{N}\alpha_j(t)A(t).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Из условия максимума в соотношениях (1.5) также следует, что
$$
\begin{equation*}
\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),u_{j-k}(t))\rangle \leqslant\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))\rangle
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in T$ и $j=k+1,\dots,N$.
Умножая эти неравенства соответственно на $\alpha_{k+1}(\cdot),\dots,\alpha_{N}(\cdot)$ и затем складывая их, получим, что
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=k+1}^{N}\alpha_j(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),u_{j-k}(t))\rangle \leqslant\sum_{j=k+1}^{N}\alpha_j(t)A(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, складывая это неравенство с неравенством (2.26), приходим к неравенству
$$
\begin{equation*}
\sum_{j=1}^{k}\alpha_j(t)\langle p(t),\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_j(t))\rangle+\sum_{j=k+1}^{N}\alpha_j(t)\langle, p(t),\varphi(t,\widehat x(t),u_{j-k}(t))\rangle\leqslant0,
\end{equation*}
\notag
$$
справедливому для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, из которого следует, что выражение справа в (2.21) неотрицательно, и тем самым, учитывая второе и третье соотношения в (1.5), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\langle p(t_0),h(t_0,\xi,\overline\alpha; \overline u)\rangle-\langle p(t_1),h(t_1,\xi,\overline\alpha; \overline u)\rangle \\ &\qquad =\langle\lambda_f,\widehat f_{\zeta_0}\xi+\widehat f_{\zeta_1}h(t_1,\xi,\overline\alpha;\overline u)\rangle+\langle\lambda_g,\widehat g_{\zeta_0}\xi+\widehat g_{\zeta_1}h(t_1,\xi,\overline\alpha;\overline u)\rangle\geqslant0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
для всех $\xi\in\mathbb R^n$ и $\overline\alpha(\cdot)\in \mathcal A_N-\overline\alpha_N(\cdot)$.
Пусть $z=(h(\cdot),\xi,\overline\alpha(\cdot),\nu)\in K_{N}\cap\operatorname{Ker}A_{1N}(\overline u)$. Функция $h(\cdot)$ должна удовлетворять уравнению (2.15), и поэтому в силу единственности $h(\cdot)= h(\cdot,\xi,\overline\alpha;\overline u)$. Далее, так как $\lambda_f\in (\mathbb R^{m_1})^*_+$ и справедливо четвертое соотношение в (1.5), то из (2.27) следует неравенство (2.16) для любого из указанных $z$. Поскольку пара $(\lambda_f,\lambda_g)$ ненулевая (иначе функция $p(\cdot)$ была бы нулевой), то это противоречит включению (2.25). Итак, доказано, что если существуют $\widehat N>k$ и набор $\overline v(\cdot)=(v_1(\cdot),\dots, v_{\widehat N-k}(\cdot))\in\mathcal U^{\widehat N-k}$ такие, что с этими $\widehat N$ и $\overline v(\cdot)$ выполняется включение (2.25), то $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$. Теперь заметим, что если положить $\overline N_*=(\widehat N,\dots,\widehat N)$, $\overline\alpha_*=(\overline\alpha(\cdot),\dots,\overline\alpha(\cdot))$ и $\overline u_*=(\overline v(\cdot),\dots,\overline v(\cdot))$ ($m+1$ раз), то включение (2.11) с этими наборами равносильно включению (2.25) с $\widehat N$ и $\overline v(\cdot)$. Импликация $b)\Rightarrow a)$ доказана. Предложение 2 доказано. Доказательство леммы 2. 1) $\Rightarrow$ 2). Так как $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$, то согласно предложению 2 справедливо включение (2.11) для указанных там наборов $\overline N_*$, $\overline\alpha_*$ и $\overline u_*$. Покажем, что справедливо также и включение $0\in\operatorname{int}A_{1\overline N_*}(\overline v_*,\overline u_*)K_0$.
Действительно, действие оператора $A_{1\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)$ на элементе $(h(\cdot),0,\beta,0)$, очевидно, можно записать так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &A_{1\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)[h(\cdot),0,\beta,0](t) \\ &\qquad =h(t)-\int_{t_0}^t\biggl(\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_j(\tau) \varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))\biggr)h(\tau)\,d\tau -b(\beta,t) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in[t_0,t_1]$, где функция $b(\beta,\cdot)$ непрерывна для любого $\beta\in\mathbb R^{m+1}$.
Из существования решения задачи Коши для линейного уравнения вытекает, что для любого $\beta$ это отображение сюръективно. В частности, если $\beta\in \Sigma^{m+1}$, то $(h(\cdot),0,\beta,0)\in K_0$ и мы получаем, что $0\in\operatorname{int}A_{1\overline N_*}(\overline v_*,\overline u_*)K_0$. Теперь из предложения 1, где $A_1=A_{1\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)$, $A_2=A_{2\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)$, $A=A_{\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)=(A_{1\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*),A_{2\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*))$ и $C=K_0$, следует, что справедливо включение (2.9). 2) $\Rightarrow$ 1). Если выполняется включение (2.9), то из предложения 1 (с теми же $A_1$, $A_2$, $A$ и $C$) вытекает, что справедливо включение (2.11), откуда в силу предложения 2 следует, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$. Лемма 2 доказана. Пусть $L>0$. Обозначим через $Q_L$ совокупность липшицевых функций в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ с константой Липшица $L$. Легко проверить, что $Q_L$ – выпуклое замкнутое подмножество $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Напомним, что множества $\mathcal A_k$, $k\in\mathbb N$, и $\mathcal U$ введены перед определением выпуклой системы (1.3), (1.4). Лемма 3 (об аппроксимации). Пусть $M$ и $\Omega$ – ограниченные множества в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и $\mathbb R^n$ соответственно, $N\in\mathbb N$, $\overline v(\cdot)=(v_1(\cdot),\dots,v_{N}(\cdot))\in \mathcal U^N$ и $L>0$. Тогда для любого $\overline\alpha(\cdot)=(\alpha_1(\cdot),\dots,\alpha_N(\cdot))\in\mathcal A_N$ найдется последовательность управлений $u_s(\overline\alpha;\overline v)(\cdot)\in \mathcal U^N$,
$$
\begin{equation*}
\|u_s(\overline\alpha;\overline v)(\cdot)\|_{L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)}\leqslant \max\{\|v_i(\cdot)\|_{L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^r)},\,1\leqslant i\leqslant N\}, \qquad s\in\mathbb N,
\end{equation*}
\notag
$$
такая, что отображения $\Phi_s\colon (M\cap Q_L)\times\Omega\times \mathcal A_N\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, определенные для всех $t\in[t_0,t_1]$ по правилу принадлежат пространству $C((M\cap Q_L)\times\Omega\times \mathcal A_N,\,C([t_0,t_1],\mathbb R^n))$ и сходятся в нем при $s\to\infty$ к отображению $\Phi\colon (M\cap Q_L)\times\Omega\times \mathcal A_N\to C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, определенному для всех $t\in[t_0,t_1]$ формулой Эта лемма, как уже было сказано, есть частный случай леммы $4.3$ из работы авторов [6]. § 3. Доказательства теоремы 1 и следствия 1Пусть $k\in\mathbb N$, тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$, где $\widehat{\overline \alpha}(\cdot)=(\widehat a_1(\cdot),\dots,\widehat a_k(\cdot))$ и $\widehat{\overline u}(\cdot)=(\widehat u_1(\cdot),\dots,\widehat u_k(\cdot))$, допустима для выпуклой системы (1.3), (1.4), наборы $\overline N_*$, $\overline\alpha_*$ и $\overline u_*$ из леммы 2. Будем считать, что величины $\gamma_u$, $C_0$ и $C_1$ (см. (2.8)) соответствуют набору $\overline u_*$. Положим $L=(1+\rho)C_1+(2\sqrt{m+1}+7)C_0+2$, где $\rho$ введено перед формулировкой теоремы 1. Напомним также, что множество $Q_L$ определено перед леммой 3. Воспользуемся теперь леммой 1, в которой пространства $X$ и $Y$ определены перед формулировкой леммы 2, $K=K_0$ ($K_0$ определено там же),
$$
\begin{equation*}
Y_1=W_\infty^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)\times\mathbb R^{m_1}\times \mathbb R^{m_2}, \qquad Q=Q_L\times\mathbb R^n\times \Sigma^{m+1}\times\mathbb R^{m_1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что $Y_1$ непрерывно вложено в $Y$ и что $K$ и $Q$– выпуклые замкнутые подмножества $X$. Из включения (2.9) в лемме 2 следует, что существует элемент $x_*=(h_*(\cdot),\xi_*, \beta_*,\nu_*)\in K_0$ такой, что $A_{\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)x_*=0$. Положим $\widehat x=(\widehat x(\cdot), \xi_*, \beta_*,\nu_*)$ и $V=U_X(\widehat x,\rho)$. Чтобы далее не путать $\widehat x$ с $\widehat x(\cdot)$ будем писать $\widehat z$ вместо $\widehat x$, т.е. $\widehat z\,{=}\,(\widehat x(\cdot),\xi_*, \beta_*,\nu_*)$. Так как тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$ удовлетворяет дифференциальному уравнению в (1.3), то
$$
\begin{equation*}
|\dot {\widehat x} (t)|\leqslant\sum_{i=1}^k\widehat\alpha_i(t)|\varphi(t,\widehat x(t),\widehat u_i(t))|\leqslant C_0
\end{equation*}
\notag
$$
для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, и, значит, $\widehat x(\cdot)$ – липшицева функция с константой Липшица $C_0$. Следовательно, $\widehat x(\cdot)\in Q_L$ и ясно, что $\widehat z\in K\cap Q$. Отображение $F\colon V\to Y$ определим для любого $t\in [t_0,t_1]$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F[x(\cdot),\xi,\beta,\nu](t)=\biggl(x(t)-\xi- \int_{t_0}^t\biggl(\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_j(\tau) \varphi(\tau,x(\tau),\widehat u_j(\tau)) \\ &\ \ +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\biggl(\sum_{j=1}^k\alpha_{ij}(\tau)\varphi(\tau,x(\tau),\widehat u_j(\tau))+ \sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(\tau)\varphi(\tau,x(\tau),u_{i(j-k)}(\tau))\biggr)\biggr)d\tau, \\ &\ \ \qquad\qquad\qquad f(\xi,x(t_1))+ \nu, \, g(\xi,x(t_1))\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с наборами $\overline N_*$, $\overline\alpha_*$ и $\overline u_*$ из леммы 2. Первая компонента образа отображения $F$ принадлежит $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ (ровно по тем же соображениям, что и для оператора $A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)$ выше), а поскольку $V$ – ограниченное множество и отображения $\varphi$, $f$ и $g$ непрерывны, то легко видеть, что $F\in C(V,Y)$. Проверим теперь, что введенные пространства, множества и отображение $F$ удовлетворяют условиям леммы 1. Выражение под знаком интеграла в первой компоненте $F(\widehat z)$ принадлежит $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ (см. соответствующие рассуждения выше для $A_{\overline N}(\overline\alpha,\overline u)$), сумма первых двух слагаемых и интеграла от первой суммы под ним равна нулю, поскольку тройка $(\widehat{x}(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$ удовлетворяет дифференциальному уравнению в (1.3), поэтому сама компонента принадлежит пространству $W_\infty^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, так что $F(\widehat z\,)\in Y_1$. Так как отображение $\varphi$ непрерывно дифференцируемо по $x$, то интегральное отображение в первой компоненте $F$ непрерывно дифференцируемо по $x(\cdot)$ (см., например, [10; п. 2.4.2]). Далее, учитывая, что отображения $f$ и $g$ непрерывно дифференцируемы и то, что $F$ линейно по $\xi$, $\beta$ и $\nu$, получим в итоге, что отображение $F$ дифференцируемо (в частности, в точке $\widehat z$), и тем самым условие 1) леммы 1 выполнено. Проверим выполнимость условия 2). Учитывая вид производной по $x(\cdot)$ интегрального отображения (см. там же), нетрудно видеть, что $F'(\widehat z)=A_{\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)$. Так как $K_0=K$, $A_{\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)x_*=0$ и по предположению теоремы $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot)) =\{0\}$, то из леммы 2 следует, что
$$
\begin{equation*}
0\in \operatorname{int}F'(\widehat z)(K-x_*)=\operatorname{int}F'(\widehat z)(K-\widehat z),
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. выполнено условие 2) леммы 1. Перейдем к проверке условия 3) этой леммы. Если $(h(\cdot),\xi,\beta,\nu)\in B_X(0,1)\cap(F'(\widehat z))^{-1}(B_{Y_1}(0,1))$, то найдется такой набор $(y(\cdot),w_1,w_2)\in B_{Y_1}(0,1)$, что справедливо равенство $F'(\widehat z)[h(\cdot),\xi,\beta,\nu]=(y(\cdot),w_1,w_2)$. В определении $A_{\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)$ обозначим
$$
\begin{equation*}
S(\cdot)=\sum_{j=1}^k\widehat\alpha_j(\cdot)\varphi_x(\cdot,\widehat x(\cdot),\widehat u_j(\cdot)),
\end{equation*}
\notag
$$
а через $P_i(\cdot)$ обозначим сомножитель при $\beta_i$ во второй сумме под знаком интеграла, $i=1,\dots,m+1$. Тогда равенство выше примет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(h(t)-\xi- \int_{t_0}^t\biggl(S(\tau)h(\tau) +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_iP_i(\tau)\biggr)\,d\tau, \ \widehat f'[\xi,h(t_1)]+\nu, \ \widehat g'[\xi,h(t_1)]\biggr) \\ &\qquad=(y(t),w_1,w_2) \quad \forall\,t\in[t_0,t_1]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $y(\cdot)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, то $h(\cdot)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и, значит, для п.в. $t\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation*}
\dot h(t)=S(t)h(t) +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_iP_i(t)+\dot y(t).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\|h(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant1$, $|\beta|\leqslant1$ и $\|y(\cdot)\|_{W_\infty^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant1$, то отсюда следует (учитывая (2.8) и то, что $(\alpha_{i1}(\cdot),\dots,\alpha _{iN_i}(\cdot))\in\mathcal A_{N_i}-\widehat{\overline \alpha}_{N_i}(\cdot)$, $i=1,\dots,m+1$) оценка $|\dot h(t)|\leqslant C_1+2C_0\sqrt{m+1}+1$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$. Итак, множество указанных функций $h(\cdot)$ ограничено в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, они липшицевы с одной и той же константой Липшица $C_1+2C_0\sqrt{m+1}+1$ и, значит, равностепенно непрерывны. Следовательно, по теореме Асколи–Арцела множество этих функций предкомпактно в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Далее, так как $|\xi|+|\beta|+|\nu|\leqslant1$, то множество таких наборов $(\xi,\beta,\nu)$ ограничено в $\mathbb R^n\times \mathbb R^{m+1}\times\mathbb R^{m_1}$, и тем самым множество $B_X(0,1)\cap(F'(\widehat x))^{-1}(B_{Y_1}(0,1))$ предкомпактно в $X$. Условие 3) леммы 1 выполнено. Осталось проверить условие 4). Для любых $z=(x(\cdot), \xi, \beta,\nu)\in V$ и $t\in[t_0,t_1]$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &F[z](t)-F'(\widehat z)[z](t) \\ &\qquad=\biggl(-\int_{t_0}^{t}\biggl(\sum_{j=1}^{k}\biggl(\varphi(\tau,x(\tau),\widehat u_j(\tau))) -\varphi_x(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))x(\tau) \biggr) \\ &\qquad +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\biggl(\sum_{j=1}^k\alpha_{ij}(\tau)(\varphi(\tau,x(\tau),\widehat u_j(\tau))- \varphi(\tau,\widehat x(\tau),\widehat u_j(\tau))) \\ &\qquad +\sum_{j=k+1}^{N_i}\alpha_{ij}(\tau)(\varphi(\tau,x(\tau),u_{i(j-k)}(\tau))- \varphi(\tau,\widehat x(\tau),u_{i(j-k)}(\tau)))\biggl)\biggl)\,d\tau, \\ &\qquad\qquad\qquad f(\xi,x(t_1))-\widehat f'[\xi,x(t_1)], \, g(\xi,x(t_1))-\widehat g'[\xi,x(t_1)]\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, как и раньше, следует, что выражение под знаком интеграла в первой компоненте образа разности $F[z](\cdot)-F'(\widehat z)[z](\cdot)$ принадлежит $L_\infty([t_0,t_1],\mathbb R^n)$ и, следовательно, первая компонента принадлежит $W_\infty^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Тогда сама разность, очевидно, принадлежит $Y_1$. Поскольку $V$ ограничено, а отображения $f$ и $g$ непрерывны, то данная разность принадлежит $C(V,Y_1)$, т.е. условие 4) леммы 1 выполнено. Итак, все предположения леммы 1 выполнены. Пусть константы $0<\delta_1\leqslant1$, $c>0$ и окрестность $W$ из этой леммы, и пусть $V_0$ – произвольная окрестность функции $\widehat x(\cdot)$ в $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$. Найдутся $r_0>0$ и $0<r<\min(1,r_0/c)$ такие, что $U_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}(\widehat x(\cdot),r_0)\subset V_0$ и $U_{C(V\cap K\cap Q,Y)}(F,r)\subset W$. Заметим теперь, что определенное выше отображение $F\colon V\to Y$ можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F[x(\cdot),\xi,\beta,\nu](t) &=\biggl(x(t)-\xi- \sum_{i=1}^N\int_{t_0}^t\alpha_{i\beta}(\tau)\varphi(\tau,x(\tau),v_i(\tau)) \,d\tau, \\ &\qquad f(\xi,x(t_1))+\nu,\,g(\xi,x(t_1))\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $N=\sum_{i=1}^{m+1}N_i-mk$,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (v_1(\cdot),\dots,v_N(\cdot))=(\widehat u_1(\cdot),\dots,\widehat u_k(\cdot),\overline u_1(\cdot),\dots,\overline u_{m+1}(\cdot)), \\ \begin{split} &\overline\alpha_\beta(\cdot) =(\alpha_{1\beta}(\cdot),\dots,\alpha_{N\beta}(\cdot))=\biggr(\sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\alpha_{i1}(\cdot) +\widehat\alpha_1(\cdot),\dots, \sum_{i=1}^{m+1}\beta_i\alpha_{ik}(\cdot)+\widehat\alpha_k(\cdot), \\ &\quad \beta_1\alpha_{1(k+1)}(\cdot),\dots,\beta_1\alpha_{1N_1}(\cdot), \dots, \beta_{m+1}\alpha_{(m+1)(k+1)}(\cdot),\dots,\beta_{m+1}\alpha_{(m+1)N_{m+1}}(\cdot)\biggl). \end{split} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $(\alpha_{i1}(\cdot),\dots,\alpha_{iN_i}(\cdot))\in \mathcal A_{N_i}-\widehat{\overline\alpha}_{N_i}(\cdot)$, $i=1,\dots,m+1$, то нетрудно проверить, что $\overline\alpha_\beta(\cdot)\in \mathcal A_{N}$ для любого $\beta\in \Sigma^{m+1}$. Для каждого $s\in\mathbb N$ рассмотрим отображение $F_s\colon V\cap K\cap Q\to Y$, определенное для всех $t\in[t_0,t_1]$ формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_s(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)(t) &=\biggl(x(t)-\xi-\int_{t_0}^t\varphi(\tau,x(\tau), u_s(\beta;\overline v)(\tau))\,d\tau, \\ &\qquad f(\xi,x(t_1))+\nu,\, g(\xi,x(t_1))\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где функции $u_s(\beta;\overline v)(\cdot)=u_s(\overline\alpha_\beta;\overline v)(\cdot)$ из леммы 3, в которой $M$ – проекция $V$ на $C([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, $\Omega$ – проекция $V$ на $\mathbb R^n$, $N=\sum_{i=1}^{m+1}N_i-mk$ и $\overline u(\cdot)=\overline v(\cdot)=(v_1(\cdot),\dots,v_N(\cdot))$. Зависимость $F_s$ от фиксированного набора $\overline v(\cdot)$ не отмечаем. Согласно лемме 3 для всех $s\in\mathbb N$ отображения $F_s$ принадлежат $C(V\cap K\cap Q,Y)$ и найдется такое $s_0$, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &|F_{s_0}(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)(t)-F(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)(t)| \\ &\qquad =|(\Phi_{s_0}(x(\cdot),\xi,\overline\alpha_\beta(\cdot))(t)-\Phi(x(\cdot), \xi,\overline\alpha_\beta(\cdot))(t), 0, 0,0)|<\frac{r}2 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
для всех $(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)\in V\cap K\cap Q$ и $t\in[t_0,t_1]$. Пусть окрестность $W_0$ из теоремы 1 есть открытый шар с центром в нуле радиуса $r/(2\max(1,t_1-t_0))$, и пусть $(\widetilde\varphi-\varphi,\widetilde f-f, \widetilde g-g)\in W_0$. Рассмотрим отображение $\widetilde F\colon V\cap K \cap Q\to Y$, определенное для всех $t\in[t_0,t_1]$ формулой
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde F(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)(t) &=\biggl(x(t)-\xi-\int_{t_0}^t\widetilde\varphi(\tau,x(\tau),u_{s_0}(\beta;\overline v)(\tau))\,d\tau, \\ &\qquad \widetilde f(\xi,x(t_1))+\nu,\, \widetilde g(\xi,x(t_1))\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда, учитывая, что $V=U_X(\widehat z,\rho)$ и $u_{s_0}(\beta;\overline v)(t)\in U$ для п.в. $t\in[t_0,t_1]$, будем иметь для любых $(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)\in V\cap K \cap Q$ и $t\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &|\widetilde F(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)(t)-F_{s_0}(x(\cdot),\xi,\beta,\nu)(t)| \\ &\qquad \leqslant \int_{t_0}^{t}|\widehat\varphi(\tau,x(\tau),u_{s_0}(\beta;\overline v)(\tau))-\varphi(\tau,x(\tau),u_{s_0}(\beta;\overline v)(\tau))|\,d\tau \\ &\qquad\qquad +|\widetilde f(\xi,x(t_1))-f(\xi,x(t_1))|+|\widetilde g(\xi,x(t_1))-g(\xi,x(t_1))| \\ &\qquad \leqslant (t_1-t_0)\|\widehat\varphi-\varphi\|_{C(\Delta(\rho),\mathbb R^n)}+\|\widehat f-f\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_1})}+\|\widehat g-g\|_{C(B(\rho),\mathbb R^{m_2})}<\frac{r}2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.1) получаем, что $\widetilde F\in U_{C(V\cap K\cap Q,\,Y)}(F,r)\subset W$. По соображениям, которые неоднократно приводились, ясно, что разность $\widetilde F-F$ принадлежит $C(V\cap K\cap Q,\,Y_1)$. Покажем, что справедливо включение (2.1). Пусть $(x(\cdot), \xi,\beta,\nu)$ принадлежит множеству слева в этом включении. Тогда $(x(\cdot), \xi,\beta,\nu)\in B_X(0,1)$ и найдутся элементы $(x'(\cdot), \xi',\beta',\nu')\in V\cap K\cap Q$ и $(y(\cdot),w_1,w_2)\in U_{Y_1}(F(\widehat z),\delta_1)$ такие, что (напомним, $\widehat z=(\widehat x(\cdot),\xi_*, \beta_*,\nu_*)$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag F'(\widehat z)[x(\cdot), \xi,\beta,\nu] &=F'(\widehat z)[x'(\cdot)-\widehat x(\cdot), \,\xi'-\xi_*,\,\beta'-\beta_*,\,\nu'-\nu_*] \\ &\qquad+(y(\cdot),w_1,w_2)-\widetilde F(x'(\cdot),\xi',\beta',\nu'). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Как было отмечено выше, $F'(\widehat z)=A_{\overline N_*}(\overline\alpha_*,\overline u_*)$. Пусть функции $S(\cdot)$ и $P_i(\cdot)$, $i=1,\dots,m+1$, те же, что и при проверки условия 3) леммы 1. Тогда равенство (3.2) запишется так:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\biggl(x(t)-\xi- \int_{t_0}^t\biggl(S(\tau)x(\tau) +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_iP_i(\tau)\biggr)d\tau,\ \widehat f'[\xi,x(t_1)]+\nu,\ \widehat g'[\xi,x(t_1)]\biggr) \\ &\quad =\biggl(-\widehat x(t)-\xi_*- \int_{t_0}^t\biggl(S(\tau)(x'(\tau)-\widehat x(\tau)) +\sum_{i=1}^{m+1}(\beta'_i-\beta_{i*})P_i(\tau) \biggr)d\tau+y(t) \\ &\quad\qquad +\int_{t_0}^t\widetilde\varphi(\tau,x'(\tau),u_{s_0}(\beta';\overline v)(\tau))\,d\tau,\ \widehat f'[\xi'-\xi_*,\,x(t_1)-\widehat x(t_1)]+\nu'-\nu_*+w_1, \\ &\quad\qquad\qquad \widehat g'[\xi'-\xi_*,\,x(t_1)-\widehat x(t_1)]+w_2\biggr) \quad \forall\,t\in[t_0,t_1], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\beta_*=(\beta_{1*},\dots,\beta_{(m+1)*})$. Теперь рассуждаем так же, как и при проверке выполнения условия $3)$. Так как $y(\cdot)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, то $x(\cdot)\in \operatorname{AC}([t_0,t_1],\mathbb R^n)$, и, значит, для п.в. $t\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \dot x(t) &=S(t)x(t) +\sum_{i=1}^{m+1}\beta_iP_i(t)-\dot{\widehat x}(t)-S(t)(x'(t)-\widehat x(t)) \\ &\qquad-\sum_{i=1}^{m+1}(\beta'_i-\beta_{i*})P_i(t) +\dot y(t)+\widetilde\varphi(t,x'(t),u_{s_0}(\beta';\overline v)(t)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}\leqslant1,\quad |\beta|\leqslant1,\quad \|y(\cdot)\|_{W_\infty^1([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\delta_1\leqslant1, \\ \|x'(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}<\rho \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\beta',\beta_*\in\Sigma^{m+1}$, то получаем, что для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ сумма слагаемых справа в (3.3), кроме последнего, оценивается величиной
$$
\begin{equation*}
C_1+2C_0\sqrt{m+1}+C_0+C_1\rho+4C_0+1=(1+\rho)C_1+(2\sqrt{m+1}+5)C_0+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычитая и добавляя $\varphi(t,x'(t),u_{s_0}(\beta';\overline v)(t))$ к последнему слагаемому справа в (3.3), получаем, что оно не превосходит для п.в. $t\in[t_0,t_1]$ величины $1+C_0$. Таким образом, для п.в. $t\in[t_0,t_1]$
$$
\begin{equation*}
|\dot x(t)|\leqslant(1+\rho)C_1+(2\sqrt{m+1}+6)C_0+2=L-C_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Проверим, что $(x(\cdot), \xi,\beta,\nu)\in Q-\widehat z$. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что функция $x(\cdot)$ принадлежит $Q_L-\widehat x(\cdot)$. У этой функции константа Липшица равна $L-C_0$, у функции $\widehat x(\cdot)$ она равна $C_0$, и поэтому $x(\cdot)+\widehat x(\cdot)\in Q_L$, т.е. $x(\cdot)\in Q_L-\widehat x(\cdot)$, и включение (2.1) доказано. Итак, все предположения относительно отображения $\widetilde F$ в лемме 1 выполнены, и, следовательно, существует отображение $\psi_{\widetilde F}\colon U_{Y_1}(F(\widehat x),\delta_1)\to V\cap K\cap Q$, удовлетворяющее соотношениям (2.2). Поскольку $F(\widehat z)=(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1)),0)$, то, очевидно, существует открытый шар $\mathcal O$ в $\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ с центром в нуле радиуса $0<\varepsilon<(r_0/c)-r$ такой, что $(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))+y_1,y_2)\in U_{Y_1}(F(\widehat x),\delta_1)$ для любой пары $(y_1,y_2)\in\mathcal O$. Пусть $(y_1,y_2)\in\mathcal O$ и $y=(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))+y_1,y_2)$. Положим $\psi_{\widetilde F}(y)=(\widetilde x(\cdot),\widetilde\xi,\widetilde\beta,\widetilde\nu)$, где $\widetilde\nu=\widetilde \nu_1+f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))$ и $\widetilde\nu_1\geqslant0$, тогда равенство в (2.2) примет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde F(\psi_{\widetilde F}(y))(t) =\widetilde F(\widetilde x(\cdot),\widetilde\xi,\widetilde\beta,\widetilde\nu)(t) \\ &\qquad=\biggl(\widetilde x(t)-\widetilde \xi-\int_{t_0}^t\widetilde\varphi(\tau,\widetilde x(\tau), u_{s_0}(\widetilde\beta;\overline v)(\tau))\,d\tau, \widetilde f(\widetilde \xi,\widetilde x(t_1))+\widetilde\nu,\, \widetilde g(\widetilde \xi,\widetilde x(t_1))\biggr) \\ &\qquad=(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))+y_1, y_2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in [t_0,t_1]$. Из равенства первых компонент следует, что пара $(\widetilde x(\cdot), \widetilde u(\cdot))$, где $\widetilde u(\cdot)=u_{s_0}(\widetilde\beta;\overline v)(\cdot)$, удовлетворяет условию (1.1) для управляемой системы $(\widetilde\varphi,\widetilde f,\widetilde g)$ и при этом $\widetilde \xi=\widetilde x(t_0)$. Отсюда и из равенства вторых компонент следует неравенство $\widetilde f(\widetilde x(t_0),\widetilde x(t_1))\leqslant y_1$, и ясно, что $\widetilde g(\widetilde x(t_0),\widetilde x(t_1))=y_2$. Далее, так как
$$
\begin{equation*}
\|y-F(\widehat z)\|_Y=\|y-F(\widehat z)\|_{Y_1}=|y_1|+|y_2|<\varepsilon<\frac{r_0}{c}-r,
\end{equation*}
\notag
$$
то отсюда, из оценки $\|\widetilde F-F\|_{C(V\cap K\cap Q,\,Y)}<r$ и неравенства в (2.2) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
\|\widetilde x(\cdot)-\widehat x(\cdot)\|_{C([t_0,t_1],\mathbb R^n)}< r_0,
\end{equation*}
\notag
$$
т.е. $\widetilde x(\cdot)\in V_0$. Таким образом, любая пара $(y_1,y_2)$ из некоторой окрестности нуля в $\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ принадлежит множеству достижимости для управляемой системы $(\widetilde\varphi,\widetilde f,\widetilde g)$ относительно окрестности $V_0$ точки $\widehat x(\cdot)$. Это означает по определению, что система $(\widetilde\varphi,\widetilde f,\widetilde g)$ управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)$ и ее окрестности $V_0$. Теорема 1 доказана. Докажем следствие 1. Для этого надо несколько изменить конец доказательства теоремы. Пусть $s_1\in\mathbb N$ такое, что выполняется неравенство (3.1) с $r$ вместо $r/2$. Положим $\widetilde F=F_{s_1}$. Тогда дословно повторяя последующие рассуждения, получим, что в данном случае равенство в (2.2) примет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widetilde F(\psi_{\widetilde F}(y))(t)=\widetilde F(\widetilde x(\cdot),\widetilde\xi,\widetilde\beta,\widetilde\nu)(t) \\ &\qquad=\biggl(\widetilde x(t)-\widetilde \xi-\int_{t_0}^t\varphi(\tau,\widetilde x(\tau), u_{s_1}(\widetilde\beta;\overline v)(\tau))\,d\tau,\, f(\widetilde \xi,\widetilde x(t_1))+\widetilde\nu,\, g(\widetilde \xi,\widetilde x(t_1))\biggr) \\ &\qquad=(0,f(\widehat x(t_0),\widehat x(t_1))+y_1, y_2) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $t\in [t_0,t_1]$. Из равенства первых компонент следует, что пара $(\widetilde x(\cdot), \widetilde u(\cdot))$, где $\widetilde u(\cdot)=u_{s_1}(\widetilde\beta;\overline v)(\cdot)$, удовлетворяет условию (1.1) для исходной управляемой системы $(\varphi, f, g)$ и при этом $\widetilde \xi=\widetilde x(t_0)$. Отсюда и из равенства вторых компонент следует неравенство $f(\widetilde x(t_0),\widetilde x(t_1))\leqslant y_1$, и ясно, что $g(\widetilde x(t_0),\widetilde x(t_1))=y_2$. Далее, как и раньше, получаем, что $\widetilde x(\cdot)\in V_0$. Таким образом, любая пара $(y_1,y_2)$ из некоторой окрестности нуля в $\mathbb R^{m_1}\times\mathbb R^{m_2}$ принадлежит множеству достижимости для управляемой системы $(\varphi, f, g)$ относительно произвольной окрестности $V_0$ точки $\widehat x(\cdot)$. Это означает по определению, что система $(\varphi,f, g)$ локально управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)$. Следствие 1 доказано. § 4. ПримерРассмотрим следующую управляемую систему:
$$
\begin{equation}
\, \dot x_1=u, \qquad \dot x_2=x_1, \qquad u(t)\in\{-1,1\} \quad \text{для п.в. }\ t\in[0,1],
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Покажем, что она локально управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)=(\widehat x_1(\cdot), \widehat x_2(\cdot))=(0,0)$, которая, очевидно, недопустима для данной системы. Воспользуемся следствием из теоремы 1. Пусть $k\,{=}\,2$. Тройка $(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot),\widehat{\overline u}(\cdot))$, где $\widehat{\overline \alpha}(\cdot)=(1/2, 1/2)$ и $\widehat{\overline u}(\cdot)=(-1,1)$, допустима для соответствующей выпуклой системы, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot{\widehat x_1}(t)&=0=\frac12\,(-1)+\frac12\,1, \\ \dot{\widehat x_2}(t)&=0=\frac12\,0+\frac12\,0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widehat x(0)=\widehat x(1)=0$. Покажем, что $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat{\overline \alpha}(\cdot), \widehat{\overline u}(\cdot))=\{0\}$. В нашем случае это равносильно тому, что следующая система соотношений:
$$
\begin{equation}
\max_{u\in\{-1,1\}}p_1(t)u=\langle p(t),\dot{\widehat x}(t)\rangle=0 \quad\text{для п.в. }\ t\in[0,1]
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
относительно абсолютно непрерывных вектор-функций $p(\cdot)=(p_1(\cdot),p_2(\cdot))$ имеет только нулевое решение. Действительно, из (4.4) следует, что $p_1(\cdot)=0$, тогда из (4.3) заключаем, что и $p_2=0$. Таким образом, $\Lambda(\widehat x(\cdot),\widehat \alpha{(\cdot)},\widehat u{(\cdot)})=\{0\}$, и, значит, система (4.1) локально управляема относительно функции $\widehat x(\cdot)=0$. Рассмотрим теперь следующее возмущение системы (4.1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\dot x_1=u+f_1(t,x,u), \qquad \dot x_2=x_1+f_2(t,x,u), \qquad u(t)\in\{-1,1\} \\ &\qquad \text{для п.в.}\quad t\in[0,1], \qquad x_1(0)=x_2(0)=0, \qquad x_1(1)=x_2(1)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $f_i\colon \mathbb R\times \mathbb R^2\times \mathbb R\to\mathbb R$ – непрерывные функции, $i=1,2$. Пусть $\rho>0$ и $\Delta(\rho)$ – множество, определенное перед формулировкой теоремы 1, где $n=2$. Тогда из теоремы 1 следует, что для любой окрестности $V_0$ точки $\widehat x(\cdot)=(\widehat x_1(\cdot),\widehat x_2(\cdot))=(0,0)$ найдется $\varepsilon>0$ такое, что если $\|f_i\|_{C(\Delta(\rho),\mathbb R)}<\varepsilon$, $i=1,2$, то система (4.5) управляема относительно $V_0$ и $\widehat x(\cdot)$. Отметим, что функции $f_i$, $i=1,2$, лишь только непрерывны и этот результат нельзя получить из [4; гл. 5], где необходимо было бы предположить липшицевость этих функций. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AvaMag24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|