Условие асимптотической конечномерности полугруппы операторов

Пусть $X$ – банахово пространство, $T\colon X\to X$ – линейный оператор, ограниченный со степенями. Положим $X_0=\{x\in X\mid T^nx\to0\}$. Пусть существует компакт $K\subset X$ такой, что $\liminf_{n\to\infty}\rho\{T^nx,K\}\le\eta<1$ для любого $x\in X$, $\|x\|\le1$. Доказано, что если $\eta<\frac12$, то $\operatorname{codim}X_0<\infty$. (При $\eta\in[\frac12,1)$ это верно для рефлексивных $X$, но неверно в общем случае.)