Сингулярный подмодуль и сингулярный идеал

Если $I$ – двусторонний идеал кольца $R$, то $I$-сингулярным идеалом $R^\Delta(I)$ кольца $R$ называется совокупность всех таких элементов $x\in R$, что для $I(x)=\{y\in R\mid xy\in I\}$ выполняется соотношение $I(x)\overset{\supset}{\underset{+}{+}}I$ для любого правого идеала $B\overset{\supset}{\underset{+}{+}} I$ кольца $R$. Для правого $R$-модуля $M$ через $[MI]$ обозначается подмодуль, порожденный $MI$. $I$-сингулярным подмодулем $M^\Delta(I)$ модуля $M$ называется совокупность всех таких элементов $m\in M$, что для $MI(m)=\{x\in R\mid mx\in [MI]\}$ выполняется соотношение $MI(m)\cap B\overset{\supset}{\underset{+}{+}} I$ для любого правого идеала $B\overset{\supset}{\underset{+}{+}} I$ кольца $R$. Найдены условия, при которых $I=R^\Delta(I)$ и $[MI]=M^\Delta(I)$, и в качестве следствий, – условия существования классических колец частных и колец частных в смысле Джонсона.