Задачи теории управления и теорема Рашевского — Чоу на группе Картана

Рассматривается задача управления нелинейными $5$-мерными системами, индуцированными горизонтальными векторными полями $X,Y$, $[\cdot, \cdot]$-порождающими алгебру Картана, линейно зависящими от двух кусочно-постоянных управлений. Изучены свойства решений таких систем. Решение интерпретируется как горизонтальная $k$-ломаная $L_k$ на канонической группе Картана $\Bbb K$, где звенья ломаной $L_k$ — отрезки интегральных линий векторных полей вида $aX+bY$, $a,b=\mathrm{const}$. На $\Bbb K$ доказано, что минимальное число $N_{\Bbb K}$ такое, что любые две точки $u,v\in\Bbb K$ соединяются $L_k$, $k\leq N_{\Bbb K}$, равно $4$. Таким образом, получена наилучшая версия теоремы Рашевского — Чоу на группе Картана. Доказано, что минимальное число звеньев замкнутой горизонтальной ломаной на $\Bbb K$ равно $6$.