Описание $3$-граней в $3$-многогранниках без смежных треугольников

За последние несколько десятилетий немало исследований было посвящено задачам о строении и раскраске плоских графов, разреженных в том или ином смысле.
В этой статье рассмотрены наиболее плотные среди неплотных $3$-многогранников, а именно не содержащие смежных $3$-циклов. О. В. Бородин в 1996 г. доказал, что такие $3$-многогранники содержат вершину степени не более $4$ и, более того, ребро с суммой степеней концевых вершин не более $9$, где обе оценки неулучшаемы.
Через $d(v)$ обозначим степень вершины $v$. Ребро $e=xy$ в $3$-многограннике есть $(i,j)$-ребро, если $d(x)\le i$ и $d(y)\le j$. Известный $(3,5;4,4)$-полуправильный многогранник отвечает плоской четыреангуляции, в которой каждое ребро соединяет $3$-вершину с $5$-вершиной. В частности, этот многогранник не содержит $3$-циклов.
Недавно О. В. Бородин и А. О. Иванова доказали, что любой $3$-многогранник, не содержащий ни смежных $3$-циклов, ни $(3,5)$-ребер, содержит $3$-грань с суммой степеней инцидентных вершин (весом) не более $16$, причем эта оценка неулучшаема.
$3$-Грань $f=(x,y,z)$ называется $(i,j,k)$-гранью или гранью типа $(i,j,k)$, если $d(x)\le i$, $d(y)\le j$ и $d(z)\le k$. Цель данной работы — доказать, что существуют ровно два точных описания типов $3$-граней в $3$-многогранниках без смежных $3$-граней при указанном выше необходимом условии отсутствия $(3,5)$-ребер, а именно: $\{(3,6,7) \vee (4,4,7)\}$ и $\{(4,6,7)\}$. \par Отсюда следует, что имеет место единственное точное описание $3$-граней в $3$- многогранниках без $3$-вершин, не содержащих смежных $3$-граней: $\{(4,4,7)\}$.