Об одном алгоритме решения задачи быстродействия в линейных системах с выпуклыми ограничениями на фазовые переменные и управление

Исследуется задача поиска оптимального по быстродействию управления в случае, когда процесс описывается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными выпуклыми ограничениями на фазовые переменные и управление. Путем перехода из n-мерного евклидова пространства в гильбертово пространство задача оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные и управление сводится к задаче оптимального быстродействия без ограничений. Показано, что область достижимости в новом пространстве является выпуклым множеством. Для решения полученной задачи используется модифицированный метод разделяющих гиперплоскостей. Одним из ключевых моментов этого метода, от которого зависит скорость сходимости алгоритма, является нахождение нормали разделяющей гиперплоскости. В настоящей работе нормаль разделяющей гиперплоскости на каждой итерации строится путем минимизации функционала типа расстояния на выпуклой оболочке опорных к множеству достижимости точек, полученных на предыдущих итерациях. После нахождения нормали, разделяющей гиперплоскости, строится опорная к области достижимости гиперплоскость, которая затем непрерывно переносится по возрастанию времени и находится первый момент времени, при котором опорная гиперплоскость достигнет заданной конечной точки. Этот момент времени и принимается за очередное приближение времени быстродействия. Сформулирована теорема о сходимости последовательных приближений по времени к значению времени быстродействия и о слабой сходимости последовательности управлений к оптимальному управлению. Алгоритм апробирован на решении задачи внешнего нагрева неограниченной пластины до заданной температуры за минимальное время с учетом ограничений на растягивающие и сжимающие термонапряжения. Приведены результаты вычислительного эксперимента.