Оценки наилучших приближений функций класса логарифмической гладкости в пространстве Лоренца

В статье рассматривается $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$ — пространство Лоренца периодических функций $m$ переменных. Определено пространство Бесова функций с логарифмической гладкостью $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$. Основная цель статьи — найти точный порядок наилучшего приближения функций из класса $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$ в различных соотношениях между параметрами $p, \tau, \theta$. Статья состоит из трех разделов. В первом разделе приведены некоторые известные утверждения, необходимые для доказательства основных результатов и доказаны несколько вспомогательных утверждений. Во втором разделе установлены точные по порядку оценки наилучшего приближения функций из класса $B_{p, \tau, \theta}^{0, \alpha}$ в пространстве $L_{p,\tau}(\mathbb{T}^{m})$. В третьем разделе доказано неравенство разных метрик для тригонометрических полиномов и установлено достаточное условие принадлежности функции $f\in L_{p,\tau_{1}}(\mathbb{T}^{m})$ в пространство $L_{p,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ в случае $1<\tau_{2}<\tau_{1}$ в терминах наилучшего приближения. В отличие от анизотропных пространств Лоренца это условие не зависит от количества переменных $m$. Получены точные по порядку оценки наилучшего приближения тригонометрическими полиномами функции класса Бесова $B_{p, \tau_{1}, \theta}^{0, \alpha}$ в пространстве $L_{p,\tau_{2}}(\mathbb{T}^{m})$ в случае $1<\tau_{2}<\tau_{1}$.