Равномерная аппроксимация кривизны гладких плоских кривых с использованием частных сумм ряда Фурье

В статье получена оценка сверху погрешности аппроксимации кривизны графиков периодических функций класса $W^r$ при $r\ge 3$ в равномерной метрике с помощью простейшего аппарата приближения гладких периодических функций — частных сумм их тригонометрических рядов Фурье. Задача в математическом плане интересна тем, что кривизна графика функций является специфичным нелинейным оператором на классе гладких функций $W^r$ на периоде (и отрезке) при $r\ge 2$. Ранее было опубликовано несколько работ об аппроксимации кривизны плоских кривых в среднеквадратичной и чебышевской метриках. В качестве аппарата приближения в предшествовавших работах использовались частные суммы тригонометрических рядов (в $L^2$-норме), интерполяционные сплайны с равномерными узлами, средние Фейера частных сумм тригонометрических рядов и интерполяционно-ортогональные всплески на базе всплесков Мейера (в $C^{\infty}$-норме). Методику настоящей работы, отраженную в лемме, вероятно, можно распространить на $L^p$-метрику и другие методы аппроксимации.