О кратно монотонных функциях

По тематике и методу статья относится к классическому анализу. Винеровская банахова алгебра (нормированное кольцо) $A(\mathbb{R}^d),d\in \mathbb N,$ представляет собой пространство преобразований Фурье функций из $L_1(\mathbb{R}^d)$ (умножение поточечное). Принадлежность этой алгебре является существенной для мультипликаторов Фурье из $L_1$ в $L_1$ и определяющей для сходимости на пространстве $L_1$ методов суммирования рядов и интегралов Фурье, задаваемых одной функцией-множителем.
Функцию $f$ на $\mathbb{R}_+=(0,+\infty)$ называют $m$-кратно монотонной, если $(-1)^{\nu}f^{(\nu)} (t)\ge 0$ при $t\in \mathbb{R}_+$ и $0\le \nu \le m+1$. Давно известно для таких функций интегральное представление Шенберга (I. J. Schoenberg), которое при $m\to\infty$ переходит в формулу С. Н. Бернштейна для вполне монотонных функций. Обозначим через $V_0(\mathbb{R}_+)$ множество функций ограниченной вариации на $\mathbb{R}_+$, т. е., множество функций, представимых в виде разности двух ограниченных монотонных функций. При $m\in \mathbb N$ через $V_m(\mathbb{R}_+)$ обозначим пространство функций из $V_{0,loc}(\mathbb{R}_+)$ с условием $ \|f\|_{V_m}=\sup_{t\in \mathbb{R}_+} |f(t)| + \int_0^\infty t^m|df^{(m)}(t)|< \infty. $ Это банахова алгебра. Для того чтобы функция $f$ принадлежала $V_m(\mathbb{R}_+)$, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде разности двух ограниченных функций с выпуклыми производными порядка $m-1$ (теорема 1). В данной работе рассмотрен также вопрос о принадлежности $A(\mathbb{R}^d)$ функций вида $f_0(|x|_{p,d})$, где $x=(x_1,\ldots,x_d)\in\mathbb{R}^d,$\; $|x|_{\infty,d} =\max\limits_{1\le j\le d}|x_j|,$\; $|x|_{p,d}= \big(\sum_{j=1}^d |x_j|^p\big)^{1/p}$ при $p\in (0,\infty)$. Случай $p=2$ (радиальные функции) хорошо изучен, включая признак Пойя — Аски (G. Pólya – R. Askey) положительной определенности функций на $\mathbb {R}^d$. Сформулируем следствия из полученной здесь теоремы 2:
1) если $f_0\in C_0[0,\infty)$ и $f_0\in V_d(\mathbb{R}_+),$ то при $p\in [1,\infty]$ функция $f_0(|x|_{p,d})$ принадлежит $A(\mathbb{R}^d);$
2) если $f_0\in C_0[0,\infty)$ и $f_0\in V_{d+1}(\mathbb{R}_+),$ то при $p\in (0,1)$ функция $f_0(|x|_{p,d})$ принадлежит $A(\mathbb{R}^d).$
Приведены примеры, среди которых одна осциллирующая функция.