Об оценке хаусдорфова расстояния между множеством и его выпуклой оболочкой в евклидовых пространствах малой размерности

В работе выводятся оценки хаусдорфова расстояния между множествами и их выпуклыми оболочками в конечномерных евклидовых пространствах со стандартным скалярным произведением и соответствующей нормой. В первой части работы данные оценки рассматриваются для $\alpha$-множеств. Под $\alpha$-множеством понимается произвольный компакт, у которого параметр, характеризующий степень невыпуклости и вычисляемый определенным образом, равен $\alpha$. В большинстве случаев упомянутый параметр $\alpha$ представляет собой максимальный возможный угол, под которым видны из точек, не принадлежащих рассматриваемому множеству, их проекции на это множество. $\alpha$-множества были введены В.Н. Ушаковым для классификации невыпуклых множеств по степени их невыпуклости. Они используются для описания волновых фронтов и других задач, возникающих в теории управления. В работе рассмотрены $\alpha$-множества только в двумерном пространстве. Доказано, что если $\alpha$ мало, то соответствующие $\alpha$-множества близки к выпуклым множествам в хаусдорфовой метрике. Это позволяет пренебрегать их невыпуклостью и считать их выпуклыми, если известно, что параметр $\alpha$ мал. Отметим, что таким же образом часто применяется известная теорема Шепли - Фолкмана. Во второй части работы получены некоторое улучшение к оценке из самой теоремы Шепли - Фолкмана. В оригинальной теореме Шепли - Фолкмана утверждается, что сумма Минковского большого количества множеств близка в хаусдорфовой метрике к ее выпуклой оболочке по отношению к величине чебышëвского радиуса суммы. В данной работе рассмотрен частный случай, когда эта сумма состоит из одинаковых слагаемых, т. е. мы складываем некоторое множество $M$ само с собой. Для данного частного случая получено улучшение оценки, которое существенно для множеств в пространствах малой размерности. Кроме того, как и в известном следствии Старра, новая оценка допускает следующее улучшение: мы можем заменить чебышëвский радиус $R(M)$ в правой части оценки на внутренний радиус $r(M)$ множества $M$. Однако, отметим, что при неограниченном увеличении размерности пространства наша новая оценка асимптотически стремится к оценке, непосредственно вытекающей из теоремы Шепли - Фолкмана.