Феллеровское переходное ядро с носителями мер, заданными многозначным отображением

Пусть $X$ - топологическое пространство и $Y$ - сепарабельное метрическое пространство, снабженные борелевскими $\sigma$-алгебрами $\mathcal{B}_X$ и $\mathcal{B}_Y$ соответственно; $P(x,B)$ - стохастическое переходное ядро (т. е. отображение $x \mapsto P(x,B)$ измеримо для всех $B \in \mathcal{B}_Y$ и отображение $B\mapsto P(x, B)$ - вероятностная мера для всех $x \in X$); supp$(P(x,\cdot))$ - топологический носитель меры $B\mapsto P(x, B)$. Если переходное ядро $P(x,B)$ удовлетворяет феллеровскому свойству (т. е. отображение $x \mapsto P(x,\cdot)$ непрерывно по отношению к слабой топологии на пространстве вероятностных мер), тогда многозначное отображение $x \mapsto$ supp$(P(x,\cdot))$ полунепрерывно снизу. Обратно, пусть задано многозначное отображение $x \mapsto S(x)$, где $x \in X$ и $S(x)$ - непустое замкнутое подмножество польского пространства $Y$. Если $x \mapsto S(x)$ полунепрерывно снизу, то при достаточно общих предположениях относительно топологического пространства $X$ существует феллеровское переходное ядро, такое что supp$(P(x,\cdot ))=S(x)$ для всех $x\in X$.