Асимптотическое поведение множеств достижимости нелинейных систем с изопериметрическими ограничениями на малых временных промежутках

В данной работе изучается задача приближенного описания множеств достижимости на малых временных промежутках для аффинных по управлению систем с изопериметрическими ограничениями на управление. Под изопериметрическим ограничением понимается интегральное ограничение типа неравенства с подынтегральной функцией, зависящей от управляющих параметров и фазовых переменных системы. Ранее подобная задача рассматривалась в предположении, что подынтегральная функция зависит только от управляющих параметров, относительно которых является положительно определенной квадратичной формой. В этом случае было показано, что при дополнительных предположениях об асимптотике грамиана управляемости линеаризованной системы, такое множество достижимости оказывается выпуклым и асимптотически близким по форме к эллипсоиду в пространстве состояний при достаточно малой длине промежутка времени. Данный эллипсоид представляет собой множество достижимости линеаризованной вдоль траектории, отвечающей нулевому управлению, системы. В настоящей работе доказывается, что при небольшом усилении условий, накладываемых на грамиан управляемости, данный результат остается справедливым, если подынтегральная функция, задающая изопериметрическое ограничение, имеет вид суммы положительно определенной квадратичной формы от управляющих параметров и неотрицательной функции фазовых переменных. Данное асимптотическое представление имеет место, в частности, для достаточно широкого класса аффинных по управлению систем второго порядка при условии полной управляемости линеаризованной системы. Доказательство опирается на результаты теории сильно выпуклых множеств и функций.