Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье

Дается решение дискретного варианта задачи Фейера о наибольшем значении в нуле четного неотрицательного тригонометрического полинома с фиксированным средним значением. В качестве следствий для всех рациональных $h$, $0<h\le1/2$, найдены наибольшие средние значения непрерывных 1-периодических четных функций с неотрицательными коэффициентами Фурье, фиксированным значением в нуле и равных нулю на отрезке $[h,1-h]$ (задача Турана) или неположительных на этом отрезке (задача Дельсарта). Подобные задачи решены и в дискретном случае. Также в одном случае приводится решение экстремальной задачи Монтгомери для неотрицательных тригонометрических полиномов.