Продолжимость решений неавтономных систем квадратичных дифференциальных уравнений и их применение в задачах оптимального управления

В работе рассматриваются задачи минимизации со свободным правым концом на заданном отрезке времени для управляемых аффинных систем дифференциальных уравнений. Для такого класса задач исследуется оценка числа различных нулей функций переключений, определяющих вид соответствующих оптимальных управлений. В основе такого исследования лежит анализ неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений для функций переключений и отвечающих им вспомогательных функций. Подробно рассматриваются неавтономные линейные системы третьего порядка. В них выполняется замена переменных, которая преобразует матрицу такой системы к специальному верхне-треугольному виду, что позволяет, привлекая обобщенную теорему Ролля, оценить число нулей соответствующих функций переключений. В случае линейной системы третьего порядка это преобразование осуществляется с помощью функций, удовлетворяющих неавтономной системе квадратичных дифференциальных уравнений того же порядка. В работе представлены два подхода, обеспечивающие продолжимость решений неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на заданный отрезок времени. Первый подход использует дифференциальные неравенства и теорему сравнения Чаплыгина. Второй подход сочетает расщепление неавтономной системы квадратичных дифференциальных уравнений на подсистемы более низкого порядка с применением условия квазиположительности к этим подсистемам.