Устойчивое решение неравномерно возмущенной задачи квадратичной минимизации экстраградиентным методом с отделенным от нуля шагом

Рассматривается задача квадратичной минимизации в гильбертовых пространствах при наличии ограничений, заданных линейным операторным уравнением и выпуклым квадратичным неравенством.
Основная особенность постановки задачи состоит в том, что практически доступные аппроксимации точных линейных операторов, задающих критерий и ограничения, сходятся к ним не по равномерной операторной норме, а лишь сильно поточечно, что делает невозможным обоснованное применение классических методов регуляризации. В работе предлагается метод регуляризации, применимый при наличии оценок погрешности приближенных операторов в парах других операторных норм, более слабых по сравнению с исходными. Для каждого из операторов пара соответствующих ему ослабленных операторных норм получается за счет усиления нормы в области его определения и ослабления нормы во множестве его значений. Ослабление операторных норм, как правило, позволяет оценить погрешности в операторах, когда это было принципиально невозможно в исходных нормах, например, при конечномерной аппроксимации некомпактного оператора. От исходной оптимизационной постановки осуществляется переход к задаче поиска седловой точки функции Лагранжа. Предлагаемый численный метод поиска седла представляет собой итерационную регуляризованную экстраградиентную двухэтапную процедуру. На каждой итерации на первом этапе уточняется приближение к оптимальному значению критерия, а на втором этапе происходит уточнение ее приближенного решения по основной переменной. По сравнению с методами, разработанными авторами ранее и работающими в подобных информационных условиях, данный метод предпочтительнее при практической реализации, поскольку не требует обязательной сходимости градиентного шага к нулю. Основным результатом работы является доказательство сильной сходимости генерируемых методом приближений к одному из точных решений исходной задачи по норме исходного пространства.