Строгие солнца, составленные из плоскостей

Множество $M$ называется строгим солнцем, если для каждой точки $x\notin M$ множество ближайших точек $P_Mx$ из $M$ для $x$ непусто и любая точка $y\in P_Mx$ является ближайшей точкой из $M$ для любой точки $z$ из луча с началом в $y$ и проходящего через $x$. Строгие солнца иногда называют множествами Колмогорова, поскольку для них выполнен критерий Колмогорова элемента наилучшего приближения. Исследуются структурные свойства строгих солнц, составленных из конечного числа плоскостей (аффинных подпространств, возможно, вырожденных в точки). Мы всегда будем предполагать, что объединение плоскостей $M:=\bigcup L_i$ является неприводимым, т. е. никакая плоскость из объединения $\bigcup L_i$ не содержит другую. Устанавливается, что если $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ — строгое солнце в нормированном пространстве, являющееся конечным неприводимым объединением плоскостей, то $M$ состоит из одной плоскости. Показывается, что условие строгой солнечности нельзя заменить на условие солнечности. В пространстве $\ell^\infty_n$ доказывается более сильный локальный аналог этого свойства. Именно, показывается, что если $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ — неприводимое конечное объединение плоскостей в $\ell^\infty_n$, $\Pi$ — брус (пересечение экстремальных гиперполос), $M\cap \Pi\ne \emptyset$, то множество $M':=M\cap \Pi$ является строгим солнцем в пространстве $\ell^\infty_n$, если и только если $M'$ выпукло, т. е. $M'$ — пересечение некоторой плоскости $L_i$ с брусом $\Pi$. Как следствие, если $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ — локальное строгое солнце в пространстве $\ell^\infty_n$, то $M$ состоит из одной плоскости. Аналогичные утверждения получены для множеств $M :=\bigcup_{i=1}^N L_i$ с непрерывной метрической проекцией в $\ell^\infty_n$. Полученные результаты продолжают и развивают исследования о приближении чебышёвскими множествами, составленными из объединения плоскостей, начатые автором статьи и И. Г. Царьковым, в линейных нормированных и несимметрично нормированных пространствах, а также результаты И. Г. Царькова о множествах с кусочно-непрерывной метрической проекцией.