Проекционно замкнутые множества и пространства Ефимова–Стечкина

В работе рассматриваются задачи о существовании, единственности и устойчивости наилучшего приближения, а также связанные с ними задачи о солнечности для не обязательно замкнутых множеств (в частности, рассматриваемые множества могут не быть множествами существования). Вводятся определения проекционной границы и проекционно замкнутого множества. Показывается, что если $X$ — симметризуемое несимметричное пространство Ефимова–Стечкина, то множество точек аппроксимативной компактности непустого проекционно замкнутого множества $M\subset X$ имеет вторую категорию в метрической внешности $\operatorname{out}(M)$ множества $M$. Исследуются соотношения между классами связности множеств в несимметричных пространствах Ефимова–Стечкина. Показано, что если $X$ — симметризуемое пространство Ефимова–Стечкина и $M\subset X$ проекционно замкнуто и $\ell_0P_0$-связно, то $M$ $\ell_0{\mathring{B}}$-связно. Исследуется задача о солнечности множеств единственности. В частности, на случай множеств единственности обобщается известная теорема, восходящая к В. И. Бердышеву и В. Л. Кли о солнечности ограниченно компактных чебышёвских множеств. Также получены результаты о солнечности ограниченно предкомпактных проекционно замкнутых множеств единственности. Установлены результаты о сохранении солнечности и других аппроксимативных свойств множеств при переходе к замкнутым окрестностям $M+B(x,r)$ множеств. Отдельно рассмотрен случай чебышёвских солнц, в котором получена характеризационная теорема.