Эффективный метод кубических сеток решения уравнения Лапласа на параллелепипеде при разрывных граничных условиях

Рассматривается задача Дирихле для уравнения Лапласа на прямоугольном параллелепипеде при разрывных на ребрах заданных граничных значениях. Установлено, что если на одной грани граничные значения равны единице, а на остальных – нулю, то максимальная погрешность разностного решения, найденного по обычной семиточечной разностной схеме, ограничена снизу при достаточно малом шаге сетки $h$ положительной постоянной. Для улучшения разностного решения предлагается модификация семиточечной разностной схемы путем введения в правую часть разностных уравнений поправки, выражаемой через скачки граничных значений на ребрах и в вершинах параллелепипеда. Доказано, что если граничные значения на гранях дважды непрерывно дифференцируемы, то модифицированное разностное решение равномерно сходится на всей сетке со скоростью $O(h^2|\ln h|)$. Дан метод интерполяции модифицированного разностного решения с равномерной точностью $O(h^2|\ln h|)$ в любую точку параллелепипеда, в том числе сколь угодно близко расположенную к вершине или ребру, где разрывны заданные граничные значения. В случае, когда граничные значения на гранях являются некоторыми неполными алгебраическими многочленами второй степени, в частности линейными функциями или константами (на ребрах непрерывность не требуется), построена схема точности $O(h^6)$. Библиогр. – 15 назв.