Липшицева устойчивость операторов в банаховых пространствах

Исследуется задача аппроксимации произвольного отображения $F\colon X\to Y$ банаховых пространств $X$ и $Y$ аффинным оператором $A\colon X\to Y$ в липшицевой метрике: разность $F-A$ должна быть липшицевым отображением с малой константой $\varepsilon>0$. В случае $Y=\mathbb R$ доказано, что если отображение $F$ может быть аффинно $\varepsilon$-приближено на любой прямой в $X$, то оно может быть глобально $2\varepsilon$-приближено аффинным оператором на всем $X$. При этом оценка $2\varepsilon$ точна. Получены также обобщения этого результата на произвольные сопряженные банаховы пространства $Y$, а необходимость налагаемых при этом условий проиллюстрирована примерами. В качестве следствия решена задача, поставленная Ж. Палешем в 2008 г. Указана связь полученных результатов с задачами об устойчивости уравнений типа Коши в смысле Улама–Хайерса–Рассиаса.