О расширенной модели перехода Джозефсона, линейных системах с полиномиальными решениями, детерминантных поверхностях и уравнениях Пенлеве III

Рассматривается трехпараметрическое семейство линейных дифференциальных уравнений второго порядка: специальных дважды конфлюэнтных уравнений Гойна, введенных и исследованных В.М. Бухштабером и С.И. Тертычным. Оно дает эквивалентное описание модели сильно шунтированного перехода Джозефсона в сверхпроводимости. Бухштабер и Тертычный показали, что множество комплексных значений параметров, при которых уравнение Гойна имеет полиномиальное решение, есть объединение спектральных кривых — явно заданных алгебраических кривых в $\mathbb C^2$, занумерованных индексом $\ell \in \mathbb N$. Как было показано автором в совместной работе с И.В. Нетаем, каждая спектральная кривая неприводима в пространстве параметров уравнения Гойна (и состоит из двух неприводимых компонент в пространстве параметров модели перехода Джозефсона). В той же работе Нетай представил гипотетическую формулу для рода спектральных кривых, полученную им в результате численных экспериментов. Он свел свою гипотезу о роде к гипотезе о регулярности спектральных кривых в дополнении к подходящей координатной оси. В настоящей работе эти гипотезы Нетая о регулярности и о роде доказаны. Для доказательства исследовано четырехпараметрическое семейство линейных систем на сфере Римана, расширяющее семейство линейных систем, эквивалентных уравнениям Гойна. Оно дает эквивалентное описание расширения модели перехода Джозефсона, введенного автором в совместной работе с Ю.П. Бибило. Явно описаны детерминантные поверхности в расширенном пространстве параметров $\mathbb C^3$, состоящие из линейных систем с полиномиальными решениями. Спектральные кривые являются их пересечениями с гиперплоскостью, отвечающей исходной модели. Доказано, что каждая детерминантная поверхность регулярна вне подходящей гиперплоскости и состоит из двух рациональных неприводимых компонент. В доказательствах использованы явление Стокса, голоморфные векторные расслоения и изомонодромные деформации, управляемые уравнением Пенлеве III.