О гамильтоновых проективных бильярдах на границах произведений выпуклых тел

Пусть $K\subset \mathbb R^n_q$ и $T\subset \mathbb R^n_p$ — два ограниченных строго выпуклых тела (открытых подмножества) с $C^6$-гладкими границами. Рассматривается произведение $\,\overline {\!K}\times \overline T\subset \mathbb R^{2n}_{q,p}$, снабженное стандартной симплектической формой $\omega =\sum _{j=1}^ndq_j\wedge dp_j$. Орбитами $(K,T)$-бильярда называются непрерывные кривые на границе $\partial (K\times T)$, пересечения которых с открытым всюду плотным подмножеством $(K\times \partial T)\cup (\partial K\times T)$ касаются характеристического поля направлений, заданного ядрами ограничений симплектической формы $\omega $ на касательные пространства к границе. Для любой точки $(q,p)\in K\times \partial T$ характеристическая прямая в $T_{(q,p)}\mathbb R^{2n}$ порождается вектором $(\vec n(p),0)$, где $\vec n(p)$ — вектор внешней нормали к $T_p\partial T$; аналогичное утверждение справедливо и для $(q,p)\in \partial K\times T$. Проекция каждой орбиты $(K,T)$-бильярда на $K$ является орбитой так называемого $T$-бильярда в $K$. В случае, когда тело $T$ центрально симметрично, это бильярд в пространстве $\mathbb R^n_q$, снабженном структурой финслерова пространства Минковского, "двойственной к $T$". Соответствующий финслеров закон отражения был введен в совместной работе С. Табачникова и Е. Гуткина в 2002 г. Исследование орбит $(K,T)$-бильярдов тесно связано с симплектической изопериметрической гипотезой К. Витербо (контрпример к которой недавно построили П. Хаим-Кислев и Я. Островер) и со знаменитой гипотезой Малера из выпуклой геометрии. В настоящей работе исследуется частный случай, когда закон отражения $T$-бильярда является проективным законом отражения, введенным Табачниковым, т.е. задается проективными инволюциями проективизированных касательных пространств $T_q\mathbb R^n$, $q\in \partial K$. Показано, что это происходит тогда и только тогда, когда $T$ — эллипсоид, или, что эквивалентно, когда все $T$-бильярды одновременно аффинно эквивалентны евклидовым бильярдам. В качестве приложения аналогичные результаты выводятся для финслеровых бильярдов.