Бифуркации в интегрируемых системах с тремя степенями свободы. I

Изучается локальная структура вещественно аналитической интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы в окрестностях компактных особых орбит. В таких системах одномерные компактные орбиты соответствующего гамильтонова действия встречаются обычно однопараметрическими семействами, а двумерные орбиты — двухпараметрическими семействами. Поэтому вдоль семейств возможны изменения локальной структуры разбиения на орбиты действия. В работе изучаются окрестности компактных одномерных орбит (т.е. полулокальных особенностей ранга $1$ и коранга $2$ отображения энергии-момента). С помощью результатов Зунга и Кудрявцевой о существовании локального гамильтонова действия двумерного тора исследуются бифуркации полулокальной структуры орбит около вырожденных орбит, соответствующих резонансам различного типа. Показано, что эти бифуркации структурно устойчивы относительно аналитических интегрируемых возмущений системы. Во всех случаях построены стандартные полиномиальные гамильтонианы, которые вместе с квадратичными и линейными первыми интегралами дают $C^\omega $-лево-правую классификацию отображений энергии-момента в окрестностях вырожденных компактных орбит. Приведены фазовые портреты и бифуркационные диаграммы некоторых стандартных систем при соответствующих бифуркациях.