О классификации гладких торических поверхностей, имеющих ровно одну исключительную кривую

Приводится классификация всех гладких проективных торических поверхностей, содержащих ровно одну исключительную кривую. Показано, что каждая такая поверхность изоморфна либо поверхности $\mathbb F_1$, либо поверхности $S_r$, определяемой некоторым рациональным числом $r\in \mathbb Q\setminus \mathbb Z$ ($r>1$). Если положить $a:=[r]$, то поверхность $S_r$ получается из минимальной десингуляризации взвешенной проективной плоскости $\mathbb P(1,2,2a+1)$ последовательностью раздутий, количество которых равно номеру уровня рационального числа $\{r\}\in (0,1)$ в классическом дереве Фарея. Показано, что если $r = b/c$, где $b$ и $c$ взаимно просты, то поверхность $S_r$ — минимальная десингуляризация взвешенной проективной плоскости $\mathbb P(1,c,b)$. Веера $\Sigma _r$ поверхностей $S_r$ используются для построения двумерных крашеных вееров $\Sigma _r^{\textup {c}}$, описывающих трехмерные минимальные орисферические многообразия $V_r$, обладающие регулярным действием группы $\mathrm {SL}(2)\times \mathbb G_{\textup {m}}$. Многообразия $V_r$ являются торическими и минимальными, а их классификация была получена Д. Гуаном. Установлена непосредственная комбинаторная связь между трехмерными веерами $\widetilde {\Sigma }^{\textup {c}}_r$ многообразий $V_r$ и двумерными веерами $\Sigma _r$ поверхностей $S_r$.