Редуцированные критические ветвящиеся процессы в неблагоприятной случайной среде

Рассматривается критический ветвящийся процесс $\left\{Z_{n},n=0,1,2,...\right\}$, эволюционирующий в случайной среде, порожденной последовательностью независимых случайных величин. Пусть $Z_{r,n}$ – число частиц в этом процессе в момент времени $0\leq r\leq n-1$, каждая из которых имеет ненулевое потомство в момент времени $n$, и пусть $\left\{ S_{n},n=0,1,2,...\right\} $ – сопровождающее случайной блуждание, соответствующее процессу $\left\{Z_{n},n=0,1,2,...\right\} $. Известно, что если приращения сопровождающего случайного блуждания имеют нулевое среднее и конечную положительную дисперсию $\sigma ^{2}, $ то для любого $t\in \lbrack 0,1]$
\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow \infty }\mathbf{P}\left( \frac{\ln Z_{\left[ nt\right] ,n}}{\sigma \sqrt{n}}\leq x\Big|Z_{n}>0\right) =\mathbf{P}\left( \min_{t\leq s\leq 1}B_{s}^{+}\leq x\right),\, x\in[0,\infty), \end{equation*}
где $\left\{ B_{t}^{+},0\leq t\leq 1\right\} $– броуновская извилина. Мы дополняем этот результат исследованием условного распределения соответствующим образом нормированной случайной величины $\ln Z_{r,n}$ при условии $\left\{ S_{n}\leq t\sqrt{k},Z_{n}>0\right\},$ где $t>0,$ а параметры $r$ и $k$ стремятся к бесконечности при $n\rightarrow \infty $ таким образом, что $k=o(n)$. Рассматривается также случай, когда распределение приращений сопровожающего случайного блуждания принадлежит (без центрирования) области притяжения устойчивого закона.