| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Теория антиконтинуального предела для спиновых гамильтонианов: поиск дискретных бризерных мод И. Г. Бостремa, А. С. Овчинниковab, Е. Г. Екомасовc, Вл. Е. Синицынa, А. Е. Федоровa, А. А. Воронинаa a Институт естественных наук и математики, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия b Институт физики металлов им. М. Н. Михеева УрО РАН, Екатеринбург, Россия c Башкирский государственный университет, г. Уфа
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020095 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДискретными бризерами (ДБ) называются локализованные в пространстве и меняющиеся периодически по времени нелинейные возбуждения решеточных систем [1], [2]. Как и обычные линейные возбуждения в виде распространяющихся плоских волн, ДБ моды являются универсальным типом возбуждений, требующим для своего существования нелинейности и дискретности модели, описывающей физическую среду [3]. В частности, по аналогии с делением линейных возбуждений на бегущие и стоячие волны выделяют движущиеся и стационарные ДБ возбуждения. В большинстве случаев дискретные системы допускают адекватное описание в приближении сплошной среды и использование континуального приближения оказывается достаточно эффективным средством поиска и исследования свойств ДБ мод. Однако вполне возможно, что некоторые нелинейные явления в непрерывных моделях могут не проявляться в их дискретных аналогах, и потребуется применение альтернативных способов теоретического анализа. В качестве такого подхода наиболее широкую известность получил метод антиконтинуального предела, предложенный в работе [4] и позднее строго обоснованный в исследованиях Обри [5], [6]. Этот формализм применим к широкому классу нелинейных моделей и может рассматриваться контраналогом гармонического приближения, который обычно используется для нахождения колебательных мод динамической системы. Метод основан на продолжении бризерных решений, которые элементарно возникают в антиконтинуальном пределе, когда пренебрегается взаимодействием между узлами. В этом пределе отсутствует распространение колебательной энергии и динамика системы представляет собой набор независимых нелинейных колебаний, локализованных в избранных узлах решетки. Учет межузельного взаимодействия позволяет решить вопрос о существовании пространственно локализованных бризерных мод, охватывающих всю систему, и единственным очевидным недостатком метода является условие малости этого взаимодействия. Метод продолжения из антиконтинуального предела показал свою эффективность при рассмотрении задач, связанных с ДБ в динамике кристаллической решетки [7]–[9] и в бозе-системах [10]. Однако, насколько нам известно, расширение этого метода на случай дискретных спиновых моделей до сих пор отсутствует. Данное исследование призвано восполнить этот пробел. В качестве динамической системы выбрана модель моноаксиального хирального гелимагнетика. Этот выбор обусловлен прежде всего тем, что в этой модели представлены магнитные взаимодействия различной природы: симметричное и антисимметричное обменные взаимодействия, одноионная магнитная анизотропия и взаимодействие с внешним магнитным полем. Как показывает анализ [11], выполненный с помощью континуального приближения и подтверждаемый численными вычислениями, в реальном прототипе этой модели – хиральном гелимагнетике Cr$_{0.33}$NbS$_2$ – возникают ДБ моды темного типа, с упорядочением локальных моментов, близким к ферромагнитному. Данное исследование сфокусировано на поиске светлых ДБ мод с внутренним упорядочением спинов, близким к антиферромагнитному [12]. Такие нелинейные возбуждения лежат выше верхнего края спин-волновой зоны и возникают в случае слабого обменного взаимодействия. Мы показываем, что метод продолжения ДБ решений из антиконтинуального предела успешно воспроизводит решения данного вида. Статья организована следующим образом. В разделе 2 дана формулировка дискретной спиновой модели, построены решения антиконтинуального предела и показано выполнение необходимых условий для продолжения этих решений на случай ненулевого межузельного взаимодействия. В разделе 3 обсуждается устойчивость ДБ решений в рамках теории Флоке. Продолжение простейших ДБ решений антиконтинуального предела с помощью численной процедуры представлено в разделе 4. Заключения содержатся в разделе 5. 2. МодельРассмотрим спиновый гамильтониан одномерной цепочки, используемый для описания свойств моноаксиального хирального гелимагнетика:
$$
\begin{equation}
\mathcal{H} = - 2J \sum_n \mathbf{S}_n \cdot \mathbf{S}_{n+1} + A \sum_n (S^z_n)^2 + D \sum_n [\mathbf{S}_n \times \mathbf{S}_{n+1}]_z - H \sum_n S^z_n,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\mathbf{S}_n$ – локальный спин, расположенный на узле $n$. Предполагается, что ось цепочки совпадает с осью $z$. Первое слагаемое описывает гейзенберговское обменное взаимодействие, в котором $2J>0$ – интеграл обменного взаимодействия между ближайшими соседями. Второе слагаемое связано с одноионной магнитной анизотропией типа “легкая плоскость” ($A>0$). Третий член соответствует антисимметричному обменному взаимодействию Дзялошинского–Мория с вектором $\mathbf{D}=D \mathbf{z}$, направленным вдоль оси $z$. Последнее слагаемое отвечает зеемановскому взаимодействию локальных моментов с внешним магнитным полем для случая, когда поле направлено вдоль оси $z$, $\mathbf{H}=H \mathbf{z}$. Если величина поля удовлетворяет условию $H > 2S(\sqrt{4J^2+D^2} -2J + A)$, то энергетически выгодной оказывается фаза вынужденного ферромагнетизма, когда спины выстроены строго вдоль направления поля. В работе [11] было показано, что в данном магнитном состоянии возможно возникновение дискретных бризерных мод и дана их подробная классификация. Используя уравнение Гейзенберга для оператора $s^{+}_n = (S^x_n + iS^y_n)/S$, нормированного на величину спина $S$, получаем соответствующее уравнение движения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, i\hbar \frac{ds^{+}_n}{dt} ={}& H s^{+}_n - 2AS s^{+}_n s^z_n + 2JS s^{+}_n (s^z_{n+1} + s^z_{n-1})-{} \\ &- 2JS s^z_n (s^{+}_{n-1} + s^{+}_{n+1}) + i DS s^z_n (s^{+}_{n-1} - s^{+}_{n+1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $s^z_n=\sqrt{1-|s^{+}_n |^2}$ – величина нормированной продольной компоненты спина. Определим масштаб времени, связанный с константой одноионной обменной анизотропии $t_0 = \hbar/(2AS)$, и введем безразмерное время $\tau=t/t_0$. Тогда уравнение движения можно представить в следующем виде:
$$
\begin{equation}
i \frac{ds^{+}_n}{d\tau} = \tilde{\beta} s^{+}_n - s^{+}_n s^z_n + C s^{+}_n (s^z_{n+1} + s^z_{n-1}) - C s^z_n (s^{+}_{n-1} + s^{+}_{n+1}) + \frac{i}{2} C q_0 s^z_n (s^{+}_{n-1} - s^{+}_{n+1}),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где для удобства введены обозначения $\tilde{\beta} = H/2AS$, $C=J/A$ и $q_0 =D/J$. В работе [4] было строго доказано, что существование в нелинейной системе периодических по времени бризерных решений связано либо с одиночным бризером, либо с их распределением в антиконтинуальном пределе ($C=0$). Одноузельное бризерное решение уравнения (2) имеет вид
$$
\begin{equation}
s^{+}_n (\tau) = [1 - (\tilde{\beta} - \omega_n)^2]^{1/2} e^{-i\omega_n \tau + i \alpha_n},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где частота $\omega_n$ и фаза $\alpha_n$ выбираются произвольными и независимыми. Это решение описывает физическую ситуацию, когда спин выделенного узла $n_0$ находится в возбужденном состоянии, т. е. совершает ларморовскую прецессию вокруг поля с частотой $\omega_{n_0}$, тогда как остальные спины находятся в состоянии покоя, т. е. выстроены вдоль внешнего магнитного поля в направлении оси $z$. Чтобы обосновать возможность продолжения одноузельных возбуждений (3) на случай ненулевой связи $C$, необходимо учесть, что движение бризерных мод является периодическим и допускает удобное описание динамики в терминах переменных действие–угол. В отличие от атомных смещений и бозе-систем (последние описываются нелинейным уравнением Шредингера), переход к новым переменным в случае спинов достигается с помощью соотношений
$$
\begin{equation}
S^{+}_n = \sqrt{S^2- (S^z_n)^2} e^{i\varphi_n}, \qquad S^{-}_n = \sqrt{S^2- ( S^z_n)^2} e^{-i\varphi_n},
\end{equation}
\tag{4}
$$
известных в магнетизме как преобразование Виллана [13]. В преобразованиях (4) $S^z_n$ является переменной действия (новым “импульсом”), а $\varphi_n$ – сопряженной ей угловой переменной. Гамильтониан (1) в представлении действие–угол $\{S^z_n, \varphi_n\}$ приобретает форму
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{H} (&\{S^z_n, \varphi_n\}) = -2J \sum_n [\sqrt{S^2- (S^z_n)^2} \sqrt{S^2- (S^z_{n+1})^2} \cos(\varphi_n - \varphi_{n+1}) + S^z_n S^z_{n+1}]+{} \\ &+ A \sum_n (S^z_n)^2 + D \sum_n \sqrt{S^2 - (S^z_n)^2} \sqrt{S^2- (S^z_{n+1})^2} \sin(\varphi_{n+1} - \varphi_n) - H \sum_n S^z_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Динамика новых переменных подчиняется уравнениям Гамильтона
$$
\begin{equation}
\dot{\varphi}_n = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial S^z_n}, \qquad \dot{S}^z_n = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \varphi_n},
\end{equation}
\tag{6}
$$
явная форма которых определяется выражениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{\varphi}_n &={} {-} H + 2A S^z_n - 2J (S^z_{n+1} + S^z_{n-1})+{}
\\
&+2J \sqrt{1 + \frac{q^2_0}{2}} S^z_n \sqrt{\frac{S^2 - (S^z_{n+1})^2}{S^2- (S^z_{n})^2}} \cos (\varphi_{n+1} - \varphi_n - \delta)+{}
\\
&+2J \sqrt{1 + \frac{q^2_0}{2}} S^z_n \sqrt{\frac{S^2 - (S^z_{n-1})^2}{S^2- (S^z_{n})^2}} \cos (\varphi_{n} - \varphi_{n-1} - \delta),
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{S}^z_n &={} 2J \sqrt{1 + \frac{q^2_0}{2}} \sqrt{S^2 - (S^z_{n})^2} \sqrt{S^2 - (S^z_{n+1})^2} \sin (\varphi_{n+1} - \varphi_n - \delta)-{}
\\
&- 2J \sqrt{1 + \frac{q^2_0}{2}} \sqrt{S^2 - (S^z_{n})^2 } \sqrt{S^2 - (S^z_{n-1})^2} \sin(\varphi_n - \varphi_{n-1} - \delta),
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где принято обозначение $\delta = - \operatorname{tg} ^{-1} (D/2J)$. В антиконтинуальном пределе $J=0$ переменная “действие” $S^z_n$ не зависит от времени, $S^{z(0)}_n = \mathrm{const}$, а сопряженная ей переменная “угол” $\varphi_n$ меняется линейно по времени, $\varphi^{(0)}_n = \Omega_n t + \alpha_n$, с частотой зависящей от “действия”.Результат (9) позволяет доказать одно из необходимых условий продолжения антиконтинуального решения (3) на случай ненулевого межузельного взаимодействия – так называемое условие ангармоничности [6]. Оно сводится к требованию означающему, что одноузельные спиновые колебания ангармоничны, т. е. их частота зависит от их энергии.Второе необходимое условие должно обеспечивать отсутствие резонанса частоты локального возбуждения с частотами спин-волновых возбуждений. (Сразу отметим, что в нашем случае нелинейность модели обеспечивается не только одноионной анизотропией, но и связью $|s^{+}_n|^2 + (s^z_n)^2=1$, т. е. не сводится к эффектам ангармонизма, порождающим появление кратных частот.) Спектр спин-волновых возбуждений определяется выражением
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{k} = H - 2AS + 4JS - 4JS \sqrt{1 + \frac{q^2_0}{4}} \cos (k- \delta),
\end{equation}
\tag{11}
$$
устанавливающим связь между частотой магнонов $\varepsilon_{k}$ и волновым вектором $k$. Отсутствие резонанса означает, что никакие частоты прецессии $|\Omega_n|$ одиночного возбужденного спина не попадают в диапазон частот магнонных возбуждений $[\varepsilon_1, \varepsilon_2]$, где принято обозначение для границ диапазона
$$
\begin{equation}
\varepsilon_{1,2} = H - 2AS + 4AS C \biggl(1 \mp \sqrt{1+\frac{q^2_0}{4}}\biggr).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Верхняя граница для допустимых констант связи, при которых возможно продолжение решений антиконтинуального предела, получается как наибольшее значение $C$, для которого выполняется условие $|\Omega_n|=\varepsilon_2$:
$$
\begin{equation}
C_{\mathrm{max}} (\omega_n) = \frac{1 - |\tilde{\beta} - \omega_n|}{2(1+ \sqrt{1+ q^2_0/4})}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
При выводе этого соотношения было использовано одноузельное решение (3), определяемое параметрами $\omega_n$ и $\tilde{\beta}$, которое дает $s^z_n = |\tilde{\beta} - \omega_n|$. В случае мультибризерных решений, возникающих при продолжении распределения одиночных решений антиконтинуального предела, максимально допустимая константа связи выбирается как наименьшее из набора значений (13). Отметим, что рассматриваемые нами периодические бризерные моды, лежащие выше верхнего края спин-волновой зоны, принадлежат классу “верхних” светлых бризерных мод. В работе [11] было показано, что в континуальном пределе эти решения существуют, если выполнено соотношение $A/2J > 1 + \sqrt{1+D^2/4J^2}$. В терминах константы связи $C$ из уравнения (2) это сводится к условию т. е. порог допустимых значений $C$ значительно превосходит значение (13) антиконтинуального предела (порог применимости метода продолжений).Следует отметить, что в работе [11] также рассматривались мультибризерные решения в виде пространственно-периодических бризерных решеток. Рассмотрение таких сложных решений возможно и в антиконтинуальном пределе. В работе [6] было установлено, что продолжение как однобризерных, так и мультибризерных решений антиконтинуального предела в периодическое по времени решение с периодом $t_\mathrm{b}$ всей спиновой системы возможно, если конфигурация фаз $\{\alpha_n \}$ обеспечивает экстремум эффективного действия $ \mathcal{S} (\{ \alpha_n\})$. Обсудим этот вопрос детально. Используя гамильтониан (5) и преобразования (4), эффективное действие для переменных действие–угол можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal{S} (\{ S^z_n, \varphi_n\}) = \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \, \sum_n [ \dot{\varphi}_n S^z_n(t) - \mathcal{H} (\{S^z_n, \varphi_n \})] + \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt\,\mu_n \alpha_n,
\end{equation}
\tag{15}
$$
где последнее слагаемое учитывает условие фиксации начальных фаз $\{\alpha_n\}$, которые связаны с угловыми переменными $\varphi_n(t) = \Omega_n t + \alpha_n$. Множители Лагранжа $\{ \mu_n \}$ определяются из свойства периодичности $S^z_n(t+t_\mathrm{b}) = S^z_n(t)$, что после интегрирования (8) приводит к результату
$$
\begin{equation*}
\mu_n = \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \, \sqrt{4J^2+D^2} [ - S_n S_{n+1} \sin (\varphi_{n+1} - \varphi_n - \delta) + S_n S_{n-1} \sin (\varphi_{n} - \varphi_{n-1} - \delta)],
\end{equation*}
\notag
$$
где для краткости введено обозначение $S_n = \sqrt{S^2 - (S^{z}_n)^2}$. Уравнения Лагранжа–Эйлера для действия (15) совпадают с уравнениями (7), (8), за исключением дополнительного члена $\mu_n$ в правой части (8). Для явного вычисления эффективного действия, заданного общим выражением (15), воспользуемся теорией возмущения по малому параметру взаимодействия $J$ с точностью до членов второго порядка. Хотя получаемые выражения и имеют громоздкий вид, они позволяют получить важные соотношения между динамическими переменными для ближайших соседей и дают возможность оптимального выбора стартовой спиновой конфигурации при численном поиске периодических бризерных решений. Выпишем формальные разложения в ряд теории возмущений по параметру $J$ для следующих величин:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{S} &= \mathcal{S}^{(0)} + J \mathcal{S}^{(1)} + J^2 \mathcal{S}^{(2)} + \cdots, \\ \varphi_n &= \varphi^{(0)}_n + J \varphi^{(1)}_n + J^2 \varphi^{(2)}_n + \cdots, \\ S^z_n &= S^{z(0)}_n + J S^{z(1)}_n + J^2 S^{z(2)}_n + \cdots, \\ \mu_n &= \mu^{(0)}_n + J \mu^{(1)}_n + J^2 \mu^{(2)}_n + \cdots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Подставляя эти разложения в эффективное действие (15), последовательно находим
$$
\begin{equation}
\mathcal{S}^{(0)} = \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \, \sum_n [S^{z(0)}_n \dot{\varphi}^{(0)}_n - A(S^{z(0)}_n)^2 + H S^{z(0)}_n] = \sum_n A( S^{z(0)}_n)^2,
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{S}^{(1)}& = \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \, \sum_n \Bigl[2 S^{z(0)}_n S^{z(0)}_{n+1} + \sqrt{4+ q^2_0} S^{(0)}_n S^{(0)}_{n+1} \cos(\varphi^{(0)}_{n+1} - \varphi^{(0)}_{n} - \delta)\Bigr]={}
\\
=& 2 \sum_n S^{z(0)}_n S^{z(0)}_{n+1} + \sqrt{4+ q^2_0} \sum_n S^{(0)}_n S^{(0)}_{n+1} \cos(\alpha_{n+1} - \alpha_n - \delta) \delta_{\Omega_{n+1},\Omega_n},
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{S}^{(2)} & = \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \, \sum_n \biggl[\dot{\varphi}^{(1)}_n S^{z(1)}_n - A(S^{z(1)}_n)^2 + 2(S^{z(0)}_n S^{z(1)}_{n+1} + S^{z(1)}_n S^{z(0)}_{n+1})-{}
\\
&\quad- \sqrt{4+ q^2_0}\, S^{(0)}_n S^{(0)}_{n+1} (\varphi^{(1)}_{n+1} - \varphi^{(1)}_{n}) \sin(\varphi^{(0)}_{n+1} - \varphi^{(0)}_{n} - \delta)-{}
\\
&\quad- \sqrt{4+ q^2_0}\, \biggl[\frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_n} S^{z(0)}_n S^{z(1)}_{n} + \frac{S^{(0)}_n}{S^{(0)}_{n+1}} S^{z(0)}_{n+1} S^{z(1)}_{n+1}\biggr] \cos(\varphi^{(0)}_{n+1} - \varphi^{(0)}_{n} - \delta)\biggr],
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
где принято обозначение $S^{(0)}_n = \sqrt{S^2 - (S^{z(0)}_n)^2}$ для амплитуды спинового отклонения от оси $z$ на узле $n$ в нулевом приближении. Для дальнейшего упрощения выражения для $\mathcal{S}^{(2)}$ нужно воспользоваться уравнениями движения для поправок нулевого порядка к переменным действие–угол
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{S}^{z(1)}_n & ={} \sqrt{4+q^2_0} S^{(0)}_n S^{(0)}_{n+1} \sin(\varphi^{(0)}_{n+1} - \varphi^{(0)}_{n} -\delta)-{}
\\
&\qquad- \sqrt{4+q^2_0} S^{(0)}_n S^{(0)}_{n-1} \sin(\varphi^{(0)}_{n} - \varphi^{(0)}_{n-1} -\delta) + \mu^{(1)}_n,
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{\varphi}^{(1)}_n &={} {-} 2(S^{z(0)}_{n-1} + S^{z(0)}_{n+1})+ \sqrt{4+ q^2_0} \frac{S^{z(0)}_{n}}{S^{(0)}_n} \times{}
\\
&\qquad\times [S^{(0)}_{n+1} \cos(\varphi^{(0)}_{n+1} - \varphi^{(0)}_{n} -\delta) + S^{(0)}_{n-1} \cos(\varphi^{(0)}_{n} - \varphi^{(0)}_{n-1} -\delta)],
\end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
где множители Лагранжа в первом приближении определяются соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu^{(1)}_n ={}& {-}\sqrt{4+q^2_0} S^{(0)}_n S^{(0)}_{n+1} \sin(\alpha_{n+1} - \alpha_n - \delta) \delta_{\Omega_n, \Omega_{n+1}}+{} \\ &+ \sqrt{4+q^2_0} S^{(0)}_n S^{(0)}_{n-1} \sin(\alpha_{n} - \alpha_{n-1} - \delta) \delta_{\Omega_n, \Omega_{n-1}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Явный вид выражений, входящих в $\mathcal{S}^{(2)}$, приведен в приложении A. С помощью полученных выражений положение экстремумов эффективного действия может быть определено явно для бризерных решений в антиконтинуальном пределе. Рассмотрим ряд примеров. Простейшее периодическое по времени бризерное решение строится с помощью одного из решений (3) антиконтинуального предела, которое равно нулю на всех узлах, за исключением одного, на котором оно осциллирует с частотой $\omega_{n_0}$. Мы будем обозначать такое состояние как ${\bullet \, \bullet \, \bullet \, n_0 \bullet \, \bullet \, \bullet{}}$. С помощью явных выражений, приведенных в приложении A, легко убедиться, что в этом случае единственное зависящее от фаз $\{\alpha_n\}$ слагаемое эффективного действия возникает лишь во втором порядке по взаимодействию $J^2$ и имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{S}^{(2)} = -\frac{4+q^2_0}{2| \Omega_{n0}|} (S^0_{n0})^2 \{ \cos(2[\alpha_{n0} - \alpha_{n0-1} -\delta]) +\cos(2[\alpha_{n0+1} - \alpha_{n0} -\delta])\},
\end{equation}
\tag{23}
$$
откуда следует, что минимум эффективного действия достигается, когда фазы соседних узлов $(n_0-1, n_0)$ и $(n_0, n_0+1)$ связаны соотношением $\alpha_{n_0} = \pi+ \alpha_{n_0-1} + \delta$ и $\alpha_{n_0+1} = \pi+ \alpha_{n_0} + \delta$ соответственно. В разделе 3 с помощью численного моделирования показано, что бризерные решения, возбуждаемые из начального состояния $\bullet \, \bullet \, \bullet \, n_0 \bullet \, \bullet \, \bullet{}$, приводят к светлым локализованным модам типа Сиверса–Такено [14], максимум амплитуды которых приходится на узел $n_0$. Чтобы получить бризерную моду, центр которой расположен между узлами (моды Пейджа [15]), требуется выбор стартовой конфигурации $\bullet \, \bullet \, \bullet \, n_0 \, n_0 \bullet \, \bullet \, \bullet{}$. Тогда, как показывает анализ эффективного действия, соотношение между фазами будет определяться вкладом первого порядка (18). Очевидно, что в этом случае минимум $\mathcal{S}^{(1)}$ также достигается при выполнении условия $\alpha_{n_0+1} = \alpha_{n_0} + \delta + \pi$. В разделе 4 мы подробно обсудим оба случая для ненулевых значений константы $C$ с помощью численного анализа. 3. УстойчивостьДля определения линейной стабильности бризерных решений модельного спинового гамильтониана (1) необходимо рассмотреть временну́ю эволюцию малых возмущений $\{\delta s^{+}_n\}$ с заданными значениями в нулевой момент времени $t=0$ к периодическим бризерным решениям $\{ s^{+}_n\}$. Из соображений удобства выделим реальную и мнимую части, для чего представим $s^{+}_n = x_n + i y_n$ и $\delta s^{+}_n = \varepsilon_n + i \eta_n$, где $x_n$, $y_n$, $\varepsilon_n$ и $\eta_n$ – вещественные функции. Линеаризованная система дифференциальных уравнений для новых переменных определяется из уравнения (2) и приобретает конечный вид:
$$
\begin{equation*}
\frac{d \varepsilon_n}{d \tau} ={} \varepsilon_n \biggl[C \frac{x_n(y_{n-1} + y_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} - C \frac{q_0}{2} \frac{x_n (x_{n-1} - x_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} + \frac{x_n y_n}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} \biggr]+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ C \varepsilon_{n-1} \biggl[ - \frac{x_{n-1} y_n}{\sqrt{1-x^2_{n-1}-y^2_{n-1}}} + \frac{q_0}{2} \sqrt{1-x^2_n-y^2_n} \biggr]+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ C \varepsilon_{n+1} \biggl[ - \frac{x_{n+1} y_n}{\sqrt{1-x^2_{n+1}-y^2_{n+1}}} + \frac{q_0}{2} \sqrt{1-x^2_n-y^2_n} \biggr]+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ \eta_n \biggl[ \tilde{\beta} - \sqrt{1-x^2_n-y^2_n} + \frac{y^2_n}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} + C \frac{y_n ( y_{n-1}+y_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} +{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ C ( \sqrt{1-x^2_{n+1}-y^2_{n+1}} + \sqrt{1-x^2_{n-1}-y^2_{n-1}}) - C \frac{q_0}{2} \frac{y_n ( x_{n-1}-x_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} \biggr]-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}- C \eta_{n-1} \biggl[ \sqrt{1-x^2_{n}-y^2_{n}} + \frac{y_n y_{n-1}}{\sqrt{1-x^2_{n-1}-y^2_{n-1}}} \biggr]-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}- C \eta_{n+1} \biggl[ \sqrt{1-x^2_{n}-y^2_{n}} + \frac{y_n y_{n+1}}{\sqrt{1-x^2_{n+1}-y^2_{n+1}}} \biggr],
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation*}
\frac{d \eta_n}{d \tau} ={} {-} \eta_n \biggl[ C \frac{y_n ( x_{n-1} + x_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} + C \frac{q_0}{2} \frac{y_n (y_{n-1} - y_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} + \frac{x_n y_n}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} \biggr]+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ C \eta_{n-1} \biggl[ \frac{y_{n-1} x_n}{\sqrt{1-x^2_{n-1}-y^2_{n-1}}} + \frac{q_0}{2} \sqrt{1-x^2_n-y^2_n} \biggr]+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ C \eta_{n+1} \biggl[ \frac{y_{n+1} x_n}{\sqrt{1-x^2_{n+1}-y^2_{n+1}}} - \frac{q_0}{2} \sqrt{1-x^2_n-y^2_n} \biggr]-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}- \varepsilon_n \biggl[ \tilde{\beta} - \sqrt{1-x^2_n-y^2_n} + \frac{x^2_n}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} + C \frac{x_n ( x_{n-1}+x_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}}+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ C \Bigl(\sqrt{1-x^2_{n+1}-y^2_{n+1}} + \sqrt{1-x^2_{n-1}-y^2_{n-1}}\,\Bigr) + C \frac{q_0}{2} \frac{x_n ( y_{n-1}-y_{n+1})}{\sqrt{1-x^2_n-y^2_n}} \biggr]+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ C \varepsilon_{n-1} \biggl[ \sqrt{1-x^2_{n}-y^2_{n}} + \frac{x_n x_{n-1}}{\sqrt{1-x^2_{n-1}-y^2_{n-1}}} \biggr]+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ C \varepsilon_{n+1} \biggl[ \sqrt{1-x^2_{n}-y^2_{n}} + \frac{x_n x_{n+1}}{\sqrt{1-x^2_{n+1}-y^2_{n+1}}}\biggr].
\end{equation}
\tag{25}
$$
По определению решение $\{ s^{+}_n \}$ линейно стабильно, если возмущение $\delta s^{+}_n$, рассчитанное из системы линейных уравнений (24), (25), остается ограниченным со временем. Для периодических по времени решений $\{s^{+}_n\}$ исследование линейной стабильности может быть выполнено с помощью Флоке-анализа [16], [17]. В рамках этого подхода определяется матрица монодромии $\widehat{T}_0$:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \{ \varepsilon_n (t_\mathrm{b})\} \\ \{ \eta_n (t_\mathrm{b}) \} \end{pmatrix} = \widehat{T}_0 \begin{pmatrix} \{ \varepsilon_n (0) \} \\ \{ \eta_n (0) \} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{26}
$$
где $t_\mathrm{b}$ – период $\{ s^{+}_n \}$, а левая часть вычисляется прямым интегрированием уравнений (24), (25) за период $t_\mathrm{b}$. Легко проверить, что при $C=0$ система дифференциальных уравнений (24), (25) осуществляет линейное симплектическое отображение, при котором кососкалярное произведение
$$
\begin{equation}
\sum_n (\varepsilon^{(1)}_{n} \eta^{(2)}_{n} - \varepsilon^{(2)}_{n} \eta^{(1)}_{n})
\end{equation}
\tag{27}
$$
остается постоянным по времени для любых двух траекторий $\{ {\delta s^{+}_{n}}^{(1)} \}$ и $\{ {\delta s^{+}_{n}}^{(2)} \}$. Тогда матрица $\widehat{T}_0$ будет симплектической, и согласно общей теории [18] условие линейной стабильности будет эквивалентно требованию, чтобы ее собственные значения представляли собой пары комплексно-сопряженных чисел, расположенных на единичной окружности. В случае ненулевых значений константы взаимодействия $C$ устойчивость получаемых бризерных мод будет рассмотрена ниже в рамках численного анализа.
4. Численное продолжение из антиконтинуального пределаДля численного поиска периодических бризерных возбуждений используем метод, предложенный в работах [5], [10]. Суть этого подхода заключается в том, что в качестве начального выбирается решение антиконтинуального предела вида (3), в котором инициализированы частота $\omega_n$ и фаза $\alpha_n$. Эта стартовая конфигурация может быть продолжена на ненулевые значения константы $C$ в ходе итерационной процедуры, использующей метод Ньютона. На $k$-м шаге итераций строится решение $\{ {s^{+}_n}^{(k)} (t) \}$ уравнения (2) на временно́м интервале $(0,t_\mathrm{b})$, где $t_\mathrm{b} = 2\pi/\omega_n$. Используя представление ${s^{+}_n}^{(k)} (t) = x^{(k)}_n (t) + i y^{(k)}_n (t)$, решение на следующем итерационном шаге определяется по формуле (см. приложение Б)
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} \{ x^{(k+1)}_n ( 0) \} \\ \{ y^{(k+1)}_n ( 0) \} \end{pmatrix} ={}& \begin{pmatrix} \{ x^{(k)}_n ( 0) \} \\ \{ y^{(k)}_n ( 0) \} \end{pmatrix} + [ 1 - \widehat{T}_0(\{ s^{+(k)}_n \})]^{-1} \times{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad \times \left[ \begin{pmatrix} \{ x^{(k)}_n ( t_\mathrm{b}) \} \\ \{ y^{(k)}_n ( t_\mathrm{b}) \} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \{ x^{(k)}_n ( 0) \} \\ \{ y^{(k)}_n ( 0) \} \end{pmatrix} \right], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widehat{T}_0$ – матрица монодромии, заданная соотношением (26). Она вычисляется с помощью численного интегрирования дифференциальных уравнений (24), (25) от $t=0$ до $t=t_\mathrm{b}$ с $2N$ независимыми начальными условиями для $\{\varepsilon_n, \eta_n \}$, где $N$ – число узлов. На практике удобно выбирать начальные векторы, состоящие из одной единицы и $2N-1$ нулей. В нашем случае матрица $[1 - \widehat{T}_0(\{ s^{+}_n \})]$ оказывается обратимой ($\widehat{T}_0$ не имеет собственных значений, равных единице) в окрестности точного решения, и итерации сходятся к фиксированной точке для малых $C$. В качестве примеров применения этого численного алгоритма рассмотрим получение локализованных светлых мод типа Сиверса–Такено и Пейджа, обсуждавшихся выше. На рис. 1 и 2 представлены результаты численного расчета бризерных решений, возникающих из одноузельной затравочной конфигурации вида ${\bullet \, \bullet \, \bullet \, n_0 \bullet \, \bullet \, \bullet{}}$, для различных констант межузельного взаимодействия $C$. Очевидно, что увеличение константы $C$ расширяет область локализации спиновых отклонений. Численный расчет показывает, что для значений $\tilde{\beta}$ и $\omega_n$, соответствующих решениям, приведенным на рис. 1 и 2, алгоритм приводит к бризерным решениям вплоть до значения $C \approx 0.006$, что хорошо согласуется с теоретической оценкой (13), которая дает значение $C_{\textrm{max}} \approx 0.007$. Оценка (14) континуальной теории $C_{\textrm{max}} \approx 0.250$ значительно превосходит эти значения. Рис. 3 подтверждает основной вывод, сделанный на основе анализа эффективного действия (23): связь между фазами соседних узлов подчиняется закону $\alpha_{n+1}=\alpha_n + \pi + \delta$, где $\delta \approx -D/2J$. Важным преимуществом обсуждаемого алгоритма является возможность одновременного поиска как самой бризерной моды, так и решения задачи об ее устойчивости, поскольку вычислительная схема Ньютона–Пуанкаре требует вычисления матрицы монодромии на каждом шаге итераций. Рис. 4, 5 показывают распределение комплексных собственных значений матрицы $\widehat{T}_0$ на единичной окружности и отсутствие собственных значений, равных единице, что свидетельствует о линейной устойчивости полученных бризерных решений. Задача о движении собственных значений матрицы монодромии на единичной окружности при изменении константы взаимодействия $C$ и исследование связи этого движения с потерей устойчивости (теорема Крейна [19], [20]) будут представлены в отдельной работе. Существование светлой бризерной моды с центром локализации, расположенным между узлами цепочки, при ненулевом значении константы взаимодействия $C$ показано на рис. 6. Для расчетов выбиралась стартовая конфигурация $\bullet \, \bullet \, \bullet \, n_0 \, n_0 \bullet \, \bullet \, \bullet{}$ (два одинаково возбужденных центральных узла). Изменение фаз при переходе от узла к узлу подчиняется тому же соотношению, которое было найдено для мод Сиверса–Такено (рис. 7). Распределение собственных значений матрицы монодромии доказывает стабильность полученного решения (рис. 8).  Рис. 1.Одноузельный периодический бризер в цепочке из $N=31$ узлов при $C=0.001$. Узел $n_0=15$ возбуждается согласно уравнению (3) с параметрами $\omega_\mathrm{b} = 1.03$ и $\tilde{\beta}=2.0$. Использованы открытые граничные условия и взято отношение $D/2J=0.16$.  Рис. 3.Изменение фазы $\alpha_{n+1}-\alpha_n$ (в градусах) при переходе от узла к узлу для бризерных решений, приведенных на рис. 1, 2. Постоянное значение этого изменения равно $\pi+\delta=\pi - \mathrm{arctg}( D/2J) \approx 170.91^{\circ}$.  Рис. 4.Собственные значения ($\bullet$) матрицы монодромии $\widehat{T}_0$ для одноузельного периодического бризера, представленного на рис. 1.  Рис. 5. Собственные значения ($\bullet$) матрицы монодромии $\widehat{T}_0$ для одноузельного периодического бризера, представленного на рис. 2.  Рис. 6.Двухузельное периодическое бризерное решение для цепочки из $N=31$ узлов при $C=0.001$. Узлы с $n_0=15$ и $n_0+1=16$ возбуждаются согласно уравнению (3) с параметрами $\omega_\mathrm{b} = 1.03$ и $\tilde{\beta}=2.0$. Использованы открытые граничные условия.  Рис. 7.Изменение фазы $\alpha_{n+1}-\alpha_n$ (в градусах) при переходе от узла к узлу для бризерных решений, представленных на рис. 6. Изменение фазы для всех узлов равно $\pi+\delta \approx 170.91^{\circ}$.  Рис. 8. Собственные значения ($\bullet$) матрицы монодромии $\widehat{T}_0$ для двухузельного периодического бризера, представленного на рис. 6. Интересно, что энергия бризерного решения с центром в междоузлии ($E/AS^2=-30.02838$) оказывается чуть больше энергии бризерной моды с центром на узле цепочки ($E/AS^2=-30.02916$). Разница энергий может быть приписана энергии пиннинга ДБ моды, зависящей от координаты ее локализации. 5. ЗаключениеВ работе представлено обобщение теории продолжения бризерных решений антиконтинуального предела для дискретной спиновой системы. С помощью представления действие–угол для спиновых переменных показано выполнение необходимых условий для возможности такого продолжения при ненулевом межузельном взаимодействии и определено пороговое значение для соответствующей константы взаимодействия. С помощью численной процедуры, основанной на методе Ньютона–Пуанкаре, построены простейшие бризерные моды, являющиеся продолжением одноузельных и двухузельных возбуждений. В рамках линейной теории Флоке показана устойчивость этих решений. Приложение А. Поправки второго порядка к эффективному действиюПоправки к эффективному действию второго порядка по взаимодействию $J$ удобно представить в виде следующей суммы:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}^{(2)} = \mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{I} + \mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{II} + \mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{III} + \mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{IV} + \mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{V}.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем явный вид слагаемых, где сначала указывается их связь с исходным выражением (19):
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{I} ={} \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \, \sum_n \dot{\varphi}_n S^z_n(t)={}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}={} \sum_n \biggl[- 2(S^{z(0)}_{n+1} + S^{z(0)}_{n-1}) \biggl(- M_{n,n+1} \frac{\cos A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1}-\Omega_n} I_1 + M_{n,n-1} \frac{\cos A_{n,n-1}}{\Omega_{n}-\Omega_{n-1}} I_2\biggr)+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad+ \sqrt{4+q^2_0} S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_n} \cos A_{n+1,n} \times{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad\biggl(- M_{n,n+1} \frac{\cos A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1}-\Omega_n} I_3 + M_{n,n-1} \frac{\cos A_{n,n-1}}{\Omega_{n}-\Omega_{n-1}} I_4\biggl)-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad- \sqrt{4+q^2_0} S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_n} \sin A_{n+1,n} \times{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad\times\biggl( M_{n,n+1} \frac{\sin A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1}-\Omega_n} I_5 - M_{n,n-1} \frac{\sin A_{n,n-1}}{\Omega_{n}-\Omega_{n-1}} I_6 + \mu^{(1)}_n I_7\biggr)+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad+ \sqrt{4+q^2_0} S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n-1}}{S^{(0)}_n} \cos A_{n,n-1} \times{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad\times\biggl(- M_{n,n+1} \frac{\cos A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1}-\Omega_n} I_4 + M_{n,n-1} \frac{\cos A_{n,n-1}}{\Omega_{n}-\Omega_{n-1}} I_8\biggr)-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad- \sqrt{4+q^2_0} S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n-1}}{S^{(0)}_n} \sin A_{n,n-1} \times{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}\qquad\qquad\times\biggl( M_{n,n+1} \frac{\sin A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1}-\Omega_n} I_6 - M_{n,n-1} \frac{\sin A_{n,n-1}}{\Omega_{n}-\Omega_{n-1}} I_9 + \mu^{(1)}_n I_{10}\biggr) \biggr],
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{II} ={} {-} \frac{A}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \sum_n (S^{z(1)}_n)^2 ={}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}={} {-}A \sum_n \biggl[ M^2_{n,n+1} \frac{\cos^2 A_{n+1,n}}{(\Omega_{n+1} - \Omega_n)^2} I_3 + M^2_{n,n+1} \frac{\sin^2 A_{n+1,n}}{(\Omega_{n+1} - \Omega_n)^2} I_5+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad+ M^2_{n,n-1} \frac{\cos^2 A_{n,n-1}}{(\Omega_{n} - \Omega_{n-1})^2} I_8 + M^2_{n,n-1} \frac{\sin^2 A_{n,n-1}}{( \Omega_{n} - \Omega_{n-1})^2} I_9 + (\mu^{(1)}_n)^2 \frac{t^2_\mathrm{b}}{3}-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad - 2 M_{n,n+1} M_{n,n-1} \frac{\cos A_{n+1,n} \cos A_{n,n-1}}{(\Omega_{n+1} - \Omega_n) (\Omega_n - \Omega_{n-1}) } I_4-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad- 2 M_{n,n+1} M_{n,n-1} \frac{\sin A_{n+1,n} \sin A_{n,n-1}}{(\Omega_{n+1} - \Omega_n) (\Omega_n - \Omega_{n-1}) } I_6+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}\qquad\qquad + 2 M_{n,n+1} \mu^{(1)}_n \frac{\sin A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1} - \Omega_n} I_7 - 2 M_{n,n-1} \mu^{(1)}_n \frac{\sin A_{n,n-1}}{\Omega_{n} - \Omega_{n-1}} I_{10} \biggr],
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{III} ={} \frac{2}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \sum_n (S^{z(0)}_n S^{z(1)}_{n+1} + S^{z(0)}_{n+1} S^{z(1)}_{n})={}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}={} 2 \sum_n \biggl[ S^{z(0)}_{n+1} \biggl\{ - M_{n,n+1} \frac{\cos A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1} - \Omega_n} \delta_{\Omega_{n+1},\Omega_n}+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad + M_{n,n-1} \frac{\cos A_{n,n-1}}{\Omega_{n} - \Omega_{n-1}} \delta_{\Omega_{n},\Omega_{n-1}} + \mu^{(1)}_n \frac{t_\mathrm{b}}{2} \biggr\}+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad + S^{z(0)}_{n} \biggl \{ - M_{n+1,n+2} \frac{\cos A_{n+2,n+1}}{\Omega_{n+2} - \Omega_{n+1}} \delta_{\Omega_{n+2},\Omega_{n+1}}+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}\qquad\qquad + M_{n,n+1} \frac{\cos A_{n+1,n}}{\Omega_{n+1} - \Omega_n} \delta_{\Omega_{n+1},\Omega_n} + \mu^{(1)}_{n+1} \frac{t_\mathrm{b}}{2} \biggr\} \biggr],
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{IV} ={} {-} \sqrt{4+ q^2_0} \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt \sum_n S^{(0)}_n S^{(0)}_{n+1} (\varphi^{(1)}_{n+1} - \varphi^{(1)}_{n}) \sin(\varphi^{(0)}_{n+1} - \varphi^{(0)}_{n} - \delta)={}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}={} \sum_n \sqrt{4+ q^2_0} S^{(0)}_n S^{(0)}_{n+1} \biggl[2 \cos A_{n+1,n} ( S^{z(0)}_{n+2} + S^{z(0)}_{n} - S^{z(0)}_{n+1} - S^{z(0)}_{n-1}) I_7+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ \frac{\sqrt{4+ q^2_0}}{\Omega_{n+1} - \Omega_n} \biggl(S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_{n}} - S^{z(0)}_{n+1} \frac{S^{(0)}_{n}}{S^{(0)}_{n+1}}\biggr) (\cos^2 A_{n+1,n} I_5 + \sin^2 A_{n+1,n} I_3)-{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}- \frac{\sqrt{4+ q^2_0}}{\Omega_{n+2} - \Omega_{n+1}} S^{z(0)}_{n+1} \frac{S^{(0)}_{n+2}}{S^{(0)}_{n+1}} (\cos A_{n+1,n} \cos A_{n+2,n+1} I_{11} +{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}+ \frac{\sqrt{4+ q^2_0}}{\Omega_{n} - \Omega_{n-1}} S^{z(0)}_{n} \frac{S^{(0)}_{n-1}}{S^{(0)}_{n}} (\cos A_{n+1,n} \cos A_{n,n-1} I_{6} + \sin A_{n+1,n} \sin A_{n,n-1} I_{4})\biggr],
\end{equation}
\tag{А.4}
$$
$$
\begin{equation*}
\mathcal{S}^{(2)}_\mathrm{V} ={} {-} \sqrt{4+ q^2_0} \, \frac{1}{t_\mathrm{b}} \int^{t_\mathrm{b}}_0 dt\sum_n \biggl[ \frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_n} \, S^{z(0)}_n S^{z(1)}_{n} + \frac{S^{(0)}_{n}}{S^{(0)}_{n+1}} S^{z(0)}_{n+1} S^{z(1)}_{n+1}\biggr]\times {}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times \cos(\varphi^{(0)}_{n+1} - \varphi^{(0)}_{n} - \delta)={}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}={} {-} \sqrt{4+ q^2_0} \sum_n \biggl[ \biggl(S^{z(0)}_{n+1} \frac{S^{(0)}_{n}}{S^{(0)}_{n+1}} - S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_n}\biggr) \frac{M_{n,n+1}}{\Omega_{n+1} - \Omega_n} \times {}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times(\cos^2 A_{n+1,n} I_3 - \sin^2 A_{n+1,n} I_5)+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_n} \frac{M_{n,n-1}}{\Omega_{n} - \Omega_{n-1}} (\cos A_{n+1,n} \cos A_{n,n-1} I_3 - \sin A_{n+1,n} \sin A_{n,n-1} I_6)+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}+ S^{z(0)}_{n+1} \frac{S^{(0)}_{n}}{S^{(0)}_{n+1}} \frac{M_{n+1,n+2}}{\Omega_{n+2} - \Omega_{n+1}} \times {}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
{}\qquad\times(- \cos A_{n+1,n} \cos A_{n+2,n+1} I_{12} + \sin A_{n+1,n} \sin A_{n+2,n+1} I_{11})+{}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}+ \biggl( \mu^{(1)}_n S^{z(0)}_n \frac{S^{(0)}_{n+1}}{S^{(0)}_n} + \mu^{(1)}_{n+1} S^{z(0)}_{n+1} \frac{S^{(0)}_{n}}{S^{(0)}_{n+1}}\biggr) \sin A_{n+1,n} I_7 \biggr].
\end{equation}
\tag{А.5}
$$
Здесь приняты обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, A_{kl} = \alpha_k - \alpha_l - \delta,\qquad M_{kl} = \sqrt{4+q^2_0}S^{(0)}_k S^{(0)}_l, \\ I_1 = \delta_{\Omega_n, \Omega_{n+1}}, \qquad I_2 = \delta_{\Omega_n, \Omega_{n-1}}, \qquad I_3 = \frac12 (1+ \delta_{\Omega_n, \Omega_{n+1}}), \\ I_4 = \frac12 (\delta_{\Omega_{n-1}, \Omega_{n+1}} + \delta_{2\Omega_n, \Omega_{n-1}+ \Omega_{n+1}}), \qquad I_5 = \frac12 ( 1- \delta_{\Omega_n, \Omega_{n+1}}), \\ I_6 = \frac12 (\delta_{2\Omega_n, \Omega_{n-1}+ \Omega_{n+1}} - \delta_{\Omega_{n-1}, \Omega_{n+1}}), \qquad I_7 = \frac{1- \delta_{\Omega_n, \Omega_{n+1}}}{\Omega_n - \Omega_{n+1}}, \\ I_8 = \frac12 (1+ \delta_{\Omega_n, \Omega_{n-1}}), \qquad I_9 = \frac12 (1 - \delta_{\Omega_n, \Omega_{n-1}}), \qquad I_{10} = \frac{1- \delta_{\Omega_n, \Omega_{n-1}}}{\Omega_{n-1} - \Omega_n}, \\ I_{11} = \frac12 (\delta_{2\Omega_{n+1}, \Omega_{n}+ \Omega_{n+2}} - \delta_{\Omega_{n}, \Omega_{n+2}}), \qquad I_{12} = \frac12 (\delta_{2\Omega_{n+1}, \Omega_{n}+ \Omega_{n+2}} + \delta_{\Omega_{n}, \Omega_{n+2}}), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
которые появляются в результате усреднения зависящих от времени функций по периоду $t_\mathrm{b}$.
Приложение Б. Численная процедура: схема Ньютона–ПуанкареОпределим $2N$-вектор $k$-го шага итераций
$$
\begin{equation}
\mathbf{X}^{(k)}(t) = \begin{pmatrix} \{ x^{(k)}_n (t) \} \\ \{ y^{(k)}_n (t) \} \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
и воспользуемся свойством периодичности решения $\{ S^{+(0)}_n \}$ на $(k+1)$-м шаге итераций
$$
\begin{equation}
\mathbf{X}^{(k+1)}(0) = \mathbf{X}^{(k+1)} (t_\mathrm{b}).
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
Тогда, очевидно,
$$
\begin{equation}
\mathbf{X}^{(k)}(0) + \Delta \mathbf{X}^{(k)}(0) = \mathbf{X}^{(k)} (t_\mathrm{b}) + \Delta \mathbf{X}^{(k)} (t_\mathrm{b}),
\end{equation}
\tag{Б.3}
$$
где введены обозначения для приращений
$$
\begin{equation*}
\Delta \mathbf{X}^{(k)}(0) = \mathbf{X}^{(k+1)}(0) - \mathbf{X}^{(k)}(0),\qquad \Delta \mathbf{X}^{(k)}( t_\mathrm{b}) = \mathbf{X}^{(k+1)}(t_\mathrm{b}) - \mathbf{X}^{(k)}( t_\mathrm{b}),
\end{equation*}
\notag
$$
связанных между собой с помощью матрицы монодромии $\Delta \mathbf{X}^{(k)}(t_\mathrm{b}) = \widehat{T}_0 \Delta \mathbf{X}^{(k)}(0)$. Это позволяет преобразовать (Б.3) к виду
$$
\begin{equation}
[1 - \widehat{T}_0] \Delta \mathbf{X}^{(k)}(0) = \mathbf{X}^{(k)} ( t_\mathrm{b}) - \mathbf{X}^{(k)} (0),
\end{equation}
\tag{Б.4}
$$
которое приводит к основному соотношению численного алгоритма нахождения периодических бризерных решений
$$
\begin{equation}
\mathbf{X}^{(k+1)}(0) = \mathbf{X}^{(k)}(0) + [1 - \widehat{T}_0]^{-1} [\mathbf{X}^{(k)} (t_\mathrm{b}) - \mathbf{X}^{(k)} (0)].
\end{equation}
\tag{Б.5}
$$
Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BosOvcEko23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|