| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Структура квантовых поправок и точные результаты в суперсимметричных теориях, выявленные с помощью регуляризации высшими ковариантными производными К. В. Степаньянцab a Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120127 
Реферативные базы данных:
   Посвящается памяти Андрея Алексеевича Славнова 1. ВведениеКвантовые свойства суперсимметричных теорий привлекают значительное внимание в течение длительного времени, поскольку суперсимметрия существенно ограничивает возможные расходящиеся вклады в эффективное действие. В частности, имеется несколько общих утверждений о структуре ультрафиолетовых расходимостей в суперсимметричных теориях во всех порядках теории возмущений. Некоторые из них были получены из довольно общих аргументов, причем иногда не очень легко подтвердить их явными петлевыми вычислениями. С другой стороны, эти результаты следуют из некоторых особых свойств квантовых поправок, которые должны быть поняты. В этой работе мы будем обсуждать, как некоторые особенности квантовых поправок в суперсимметричных теориях могут быть выявлены в случае использования регуляризации высшими ковариантными производными, предложенной Андреем Алексеевичем Славновым [1]–[3]. Мы продемонстрируем, что, несмотря на то что наиболее популярным методом регуляризации суперсимметричных теорий является размерная редукция [4], метод высших ковариантных производных имеет существенные преимущества в суперсимметричном случае и может открыть некоторые интересные свойства структуры квантовых поправок, которые не удается увидеть в случае использования размерной редукции. Более того, в отличие от размерной редукции [5], регуляризация высшими ковариантными производными является непротиворечивой. Она может быть сформулирована явно суперсимметричным образом в терминах $\mathcal{N}=1$ суперполей [6], [7] и, следовательно, не нарушает суперсимметрию в высших порядках. Еще одним преимуществом регуляризации высшими ковариантными производными в суперсимметричном случае является то, что она позволяет объяснить, как точная $\beta$-функция Новикова–Шифмана–Вайнштейна–Захарова (НШВЗ) [8]–[11] появляется в теориях с $\mathcal{N}=1$ суперсимметрией. Формула НШВЗ связывает $\beta$-функцию и аномальную размерность суперполей материи $(\gamma_\phi)_i{}^j$ в $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных калибровочных теориях и может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha,\lambda) = - \frac{\alpha^2 (3 C_2 - T(R) + C(R)_i{}^j (\gamma_\phi)_j{}^i(\alpha,\lambda)/r)}{2\pi(1-C_2\alpha/2\pi)},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\alpha$ и $\lambda$ – калибровочная и юкавская константы связи соответственно. Также здесь мы используем обозначения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \operatorname{tr}\,(T^A T^B) \equiv T(R)\delta^{AB},\qquad (T^A)_i{}^k (T^A)_k{}^j \equiv C(R)_i{}^j, \\ & f^{ACD} f^{BCD} \equiv C_2 \delta^{AB},\qquad r\equiv \delta_{AA} = \operatorname{dim} G.\end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Трех- и четырехпетлевые вычисления в $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теориях, сделанные с использованием размерной редукции, дополненной модифицированным минимальным вычитанием [12] (т. е. в так называемой $\overline{\mathrm{DR}}$-схеме) [13]–[17] (см. обзор [18]), выявили, что соотношение НШВЗ в $\overline{\mathrm{DR}}$-схеме справедливо только в одно- и двухпетлевом приближениях, где $\beta$-функция является схемно независимой. Однако в трех- и четырехпетлевом приближениях можно восстановить соотношение НШВЗ с помощью специально подстроенной конечной перенормировки калибровочной константы связи. Заметим, что возможность совершения этой конечной перенормировки является чрезвычайно нетривиальной, благодаря некоторым схемно независимым следствиям формулы НШВЗ [19], [20]. Это означает, что соотношение НШВЗ справедливо только в некоторых специальных схемах перенормировки, которые обычно называются “схемами НШВЗ”, причем $\overline{\mathrm{DR}}$-схема не является схемой НШВЗ. В этой работе мы обсуждаем, как можно вывести формулу НШВЗ во всех порядках и построить всепетлевые схемы НШВЗ с помощью регуляризации высшими ковариантными производными. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем, как регуляризация высшими ковариантными производными формулируется в суперсимметричном случае. Различные определения ренормгрупповых функций (РГФ) вводятся в разделе 3. Основные шаги вывода формулы НШВЗ в $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теориях описаны в разделе 4. В частности, мы демонстрируем, что в случае использования регуляризации высшими ковариантными производными РГФ, определенные в терминах голых констант связи, удовлетворяют формуле НШВЗ во всех порядках для любого перенормировочного предписания, дополняющего ее. Для РГФ, определенных в терминах перенормированных констант связи, мы доказываем, что некоторые всепетлевые схемы НШВЗ даются HD+MSL предписанием, когда регуляризация высшими ковариантными производными дополняется минимальными вычитаниями логарифмов для устранения расходимостей. Явные выражения для РГФ в низших порядках теории возмущений, полученные с использованием регуляризации высшими ковариантными производными, приводятся в разделе 5. Частный случай $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теорий, конечных в однопетлевом приближении, рассматривается в разделе 6. Соотношения НШВЗ для теорий с несколькими калибровочными константами связи обсуждаются в разделе 7. Краткая сводка результатов приводится в разделе 8. 2. Регуляризация высшими ковариантными производными в суперсимметричном случаеВ терминах $\mathcal{N}=1$ суперполей перенормируемые $\mathcal{N}=1$ суперсимметричные калибровочные теории с суперполями материи на классическом уровне описываются действием
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S ={}& \frac{1}{2 e_0^2}\operatorname{Re}\operatorname{tr}\int d^4x\, d^2\theta\,W^a W_a + \frac{1}{4} \int d^4x\, d^4\theta\,\phi^{*i} (e^{2V})_i{}^j \phi_j+{} \nonumber\\ & + \biggl\{ \int d^4x\,d^2\theta\, \biggl(\frac{1}{4} m_0^{ij}\phi_i \phi_j + \frac{1}{6}\lambda_0^{ijk} \phi_i \phi_j \phi_k\biggr) + \text{к. с.}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь мы предполагаем, что калибровочная группа является простой, а киральные суперполя материи $\phi_i$ лежат в ее представлении $R$. Голые калибровочная и юкавские константы связи обозначаются через $e_0$ и $\lambda_0^{ijk}$ соответственно. Напряженность калибровочного суперполя $V$, присутствующая в действии (3), определяется формулой
$$
\begin{equation}
W_a \equiv \frac{1}{8} \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt ^2 (e^{-2V} D_a e^{2V}).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Теория (3) является калибровочно-инвариантной, если (голые) массы и юкавские константы связи удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & m_0^{im} (T^A)_m{}^j + m_0^{mj} (T^A)_m{}^i = 0, \\ & \lambda_0^{ijm} (T^A)_m{}^{k} + \lambda_0^{imk} (T^A)_m{}^{j} + \lambda_0^{mjk} (T^A)_m{}^{i} = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Удобно квантовать $\mathcal{N}=1$ суперсимметричные калибровочные теории с помощью метода фонового поля [21]–[23], сформулированного в терминах $\mathcal{N}=1$ суперполей (см., например, [24]–[26]). Также в суперсимметричном случае необходимо принимать во внимание нелинейную перенормировку (безразмерного) квантового калибровочного суперполя [27]–[29]. Для этого фоново-квантовое расщепление производится с помощью замены где $\mathbf{V}$ и $V$ – фоновое и квантовое суперполя соответственно, а функция $\mathcal{F}(V)$ включает бесконечный набор параметров, необходимых для описания нелинейной перенормировки. В низшем порядке эта функция дается выражением [30], [31]
$$
\begin{equation}
\mathcal{F}(V)^A = V^A + e_0^2 y_0 G^{ABCD} V^B V^C V^D + \cdots,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $y_0$ – первая константа в указанном выше бесконечном наборе, а $G^{ABCD}$ – некоторая функция структурных констант, симметричная по всем индексам. Благодаря использованию суперполевого метода фонового поля фоновая калибровочная инвариантность
$$
\begin{equation}
\phi_i \to (e^{A})_i{}^j \phi_j,\qquad V \to e^{-{A^+}} V e^{{A^+}},\qquad e^{2\mathbf{V}} \to e^{-{A^+}} e^{2\mathbf{V}} e^{-A},
\end{equation}
\tag{8}
$$
параметризуемая киральным суперполем $A$, остается явной симметрией эффективного действия. Для построения регуляризованной теории мы вначале добавляем к ее действию слагаемое с высшими производными. После этого регуляризованное действие принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_\mathrm{reg} ={}& \frac{1}{2 e_0^2}\operatorname{Re} \operatorname{tr} \int d^4x\, d^2\theta\, W^a (e^{-2\mathbf{V}} e^{-2\mathcal{F}(V)})_\mathrm{Adj} R\biggl(-\frac{\overline\nabla^2 \nabla^2}{16\Lambda^2}\biggr)_\mathrm{Adj} (e^{2\mathcal{F}(V)}e^{2\mathbf{V}})_\mathrm{Adj} W_a+{} \nonumber\\ & + \frac{1}{4} \int d^4x\,d^4\theta\, \phi^{*i} \biggl[F\biggl(-\frac{\overline\nabla^2 \nabla^2}{16\Lambda^2}\biggr) e^{2\mathcal{F}(V)}e^{2\mathbf{V}}\biggr]_i{}^j \phi_j +{} \nonumber\\ & + \biggl[\, \int d^4x\,d^2\theta\, \biggl(\frac{1}{4} m_0^{ij} \phi_i \phi_j + \frac{1}{6} \lambda_0^{ijk}\phi_i \phi_j \phi_k \biggr)+ \text{к. с.} \biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где функции-регуляторы $R(x)$ и $F(x)$ равны единице при $x=0$ и быстро растут при $x\to\infty$. Ковариантные производные задаются выражениями
$$
\begin{equation}
\nabla_a = D_a,\qquad \overline\nabla_{\dot a} = e^{2\mathcal{F}(V)} e^{2\mathbf{V}} \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt _{\dot a} e^{-2\mathbf{V}} e^{-2\mathcal{F}(V)},
\end{equation}
\tag{10}
$$
а напряженность калибровочного суперполя $W_a$ в формуле (9) получается из формулы (4) после фоново-квантового расщепления (6). Калибровка фиксируется добавлением слагаемого
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{gf}} = -\frac{1}{16\xi_0 e_0^2} \operatorname{tr} \int d^4x\,d^4\theta\, \mathbf{\nabla}^2 V K\biggl(-\frac{\mathbf{\overline\nabla}^2 \mathbf{\nabla}^2}{16\Lambda^2}\biggr)_{\!\mathrm{Adj}} \mathbf{\overline\nabla}^2 V,
\end{equation}
\tag{11}
$$
которое включает новую функцию-регулятор $K(x)$ с теми же свойствами, что и $R(x)$ и $K(x)$. Также необходимо ввести духи Фаддеева–Попова и Нильсена–Каллош. Действия для них могут быть найдены, например, в [32]. После замены исходного действия на $S_\mathrm{reg}$ мы регуляризуем все расходимости, за исключением однопетлевых расходимостей и подрасходимостей. Это является характерной особенностью регуляризации высшими ковариантными производными [33]. В соответствии с результатами работы [3] для регуляризации остаточных однопетлевых расходимостей необходимо вставить в производящий функционал детерминанты Паули–Вилларса. В суперсимметричном случае нам необходимо два таких детерминанта [34], [35],
$$
\begin{equation}
Z = \int D\mu\, \operatorname{Det}(PV,M_\varphi)^{-1} \operatorname{Det}(PV,M)^c \exp\{i(S_{\mathrm{reg}} + S_{\mathrm{gf}} + S_{\mathrm{FP}} + S_{\mathrm{NK}} + S_{\mathrm{sources}})\},
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $D\mu$ – мера функционального интегрирования, а
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{Det}(PV,M_\varphi)^{-1} &\equiv \int D\varphi_1\, D\varphi_2\, D\varphi_3\, e^{iS_\varphi}, \\ \operatorname{Det}(PV,M)^{-1} &\equiv \int D\Phi\, e^{iS_\Phi}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
(Заметим, что здесь мы используем грассманово четные суперполя Паули–Вилларса.) Суперполя $\varphi_{1,2,3}$ принадлежат присоединенному представлению и сокращают однопетлевые расходимости, создаваемые квантовым калибровочным суперполем и духами. Суперполя $\Phi_i$ лежат в представлении $R_{\mathrm{PV}}$ и сокращают расходимости, которые появляются из петли суперполей материи, если $c = T(R)/T(R_{\mathrm{PV}})$. Массы этих суперполей должны быть пропорциональны параметру обрезания $\Lambda$ в регуляризованной теории, причем коэффициенты $a_\varphi$ и $a$ не должны зависеть от констант связи.
3. Различные определения РГФ и схема HD+MSLВ соответствии с [36] важно различать РГФ, определенные в терминах голых констант связи $\alpha_0$ и $\lambda_0$,
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha_0,\lambda_0) \equiv \frac{d\alpha_0}{d\ln \Lambda}\Big|_{\alpha,\lambda=\mathrm{const}},\qquad \gamma_x(\alpha_0,\lambda_0) \equiv -\frac{d \ln Z_x}{d\ln\Lambda}\Big|_{\alpha,\lambda=\mathrm{const}},
\end{equation}
\tag{15}
$$
и РГФ, стандартно определенные в терминах перенормированных констант связи $\alpha$ и $\lambda$,
$$
\begin{equation}
\widetilde\beta(\alpha,\lambda) \equiv \frac{d\alpha}{d\ln\mu}\Big|_{\alpha_0,\lambda_0=\mathrm{const}},\qquad \widetilde\gamma_x(\alpha,\lambda) \equiv \frac{d\ln Z_x}{d\ln\mu}\Big|_{\alpha_0,\lambda_0=\mathrm{const}}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Первые функции (определенные в терминах голых констант связи) не зависят от перенормировочного предписания при фиксированной регуляризации, но зависят от регуляризации. С другой стороны, как хорошо известно, РГФ, определенные в терминах перенормированных констант связи, зависят и от регуляризации, и от перенормировочного предписания. Однако оба определения РГФ дают одни и те же функции в схеме HD+MSL,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde\beta(\alpha,\lambda)\Big|_\mathrm{HD+MSL} &= \beta(\alpha_0\to \alpha, \lambda_0 \to\lambda), \\ \widetilde\gamma_x(\alpha,\lambda)\Big|_\mathrm{HD+MSL}& = \gamma_x(\alpha_0\to \alpha, \lambda_0 \to \lambda). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
В этой схеме теория регуляризуется высшими производными, и только степени $\ln\Lambda/\mu$ (где $\mu$ – точка перенормировки) включаются в различные константы перенормировки. Этот способ устранения расходимостей аналогичен минимальному вычитанию в случае использования размерной техники, так что мы называем ее минимальными вычитаниями логарифмов.
4. Формула НШВЗ и регуляризация высшими ковариантными производнымиЗдесь мы кратко опишем доказательство следующих утверждений. 1. Формула НШВЗ справедлива для РГФ, определенных в терминах голых констант связи, во всех порядках в случае использования регуляризации высшими ковариантными производными вне зависимости от перенормировочного предписания, дополняющего эту регуляризацию. 2. Для РГФ, определенных в терминах перенормированных констант связи, некоторые схемы НШВЗ во всех порядках задаются HD+MSL предписанием. (Заметим, что минимальные вычитания логарифмов могут дополнять различные версии регуляризации высшими ковариантными производными, так что схема HD+MSL не является единственной.) 4.1. Неперенормировка тройных калибровочно-духовых вершинКак ни странно, для пертурбативного вывода $\beta$-функции НШВЗ необходимо доказать, что тройные калибровочно-духовые вершины являются конечными во всех порядках. Эти вершины имеют две внешние линии духов Фаддеева–Попова и одну внешнюю линию квантового калибровочного суперполя. В общей $\xi$-калибровке ультрафиолетовая конечность этих вершин была доказана [37] с помощью тождеств Славнова–Тейлора [38], [39] и правил для вычисления суперграфов. Однопетлевые супердиаграммы, дающие вклад в эти вершины, показаны на рис. 1. В работе [37] конечность их суммы была проверена явным вычислением. Двухпетлевая конечность рассматриваемых вершин была доказана в работах [40], [41]. Заметим, что в зависимости от внешних духовых линий имеются четыре вершины рассматриваемой структуры, $\bar c\, V c$, $\bar c^+ V c$, $\bar c\, V c^+$ и $\bar c^+ V c^+$, с одной и той же константой перенормировки $Z_\alpha^{-1/2} Z_c Z_V$. Поэтому благодаря их конечности константы перенормировки удовлетворяют соотношению где $\alpha = Z_\alpha \alpha_0$, $V = Z_V Z_\alpha^{-1/2} V_R$, $\bar c c = Z_c Z_\alpha^{-1} \bar c_R c_R$. Используя формулу (18), мы можем связать $\beta$-функцию (определенную в терминах голых констант связи) с аномальными размерностями духов Фаддеева–Попова и квантового калибровочного суперполя (обозначаемыми $\gamma_c$ и $\gamma_V$ соответственно):
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha_0,\lambda_0) =-\alpha_0 \frac{d\ln Z_\alpha}{d\ln\Lambda}\Big|_{\alpha,\lambda=\mathrm{const}} = 2\alpha_0 (\gamma_c(\alpha_0,\lambda_0) + \gamma_V(\alpha_0,\lambda_0)).
\end{equation}
\tag{19}
$$
4.2. Новая форма $\beta$-функции НШВЗС помощью формулы (19), которая следует из неперенормировки тройных калибровочно-духовых вершин, можно переписать неабелеву формулу НШВЗ в эквивалентной форме [37]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\beta(\alpha_0,\lambda_0)}{\alpha_0^2} &= - \frac{3 C_2 - T(R) + C(R)_i{}^j (\gamma_\phi)_j{}^i(\alpha_0,\lambda_0)/r}{2\pi} + \frac{C_2}{2\pi}\cdot \frac{\beta(\alpha_0,\lambda_0)}{\alpha_0}={} \nonumber\\ & = - \frac{1}{2\pi}(3 C_2 - T(R) - 2C_2 \gamma_c(\alpha_0,\lambda_0) - 2C_2 \gamma_V(\alpha_0,\lambda_0) +{} \nonumber\\ &\quad + C(R)_i{}^j (\gamma_\phi)_j{}^i(\alpha_0,\lambda_0)/r). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Благодаря отсутствию в правой части знаменателя, зависящего от константы связи, эта формула связывает $\beta$-функцию в определенной петле с аномальными размерностями квантовых суперполей только в предыдущей петле, в отличие от исходной формулы НШВЗ, которая связывает $\beta$-функцию только с аномальной размерностью суперполей материи, но во всех предыдущих порядках. Используя регуляризацию высшими ковариантными производными, можно вывести формулу НШВЗ в виде (20) во всех порядках для РГФ, определенных в терминах голых констант связи. 4.3. $\beta$-Функция суперсимметричных теорий как интеграл от двойных полных производныхКлючевым наблюдением, необходимым для вывода соотношения НШВЗ, является то, что для $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных калибровочных теорий, регуляризованных высшими ковариантными производными, интегралы, задающие $\beta$-функцию, определенную в терминах голых констант связи, являются интегралами от двойных полных производных. Это было впервые замечено при вычислении низших квантовых поправок для $\mathcal{N}=1$ суперсимметричной квантовой электродинамики (СКЭД) в работе [42] (факторизация в полные производные) и в [43] (факторизация в двойные полные производные). Строгое всепетлевое доказательство этого утверждения было сделано в работе [44] для абелевого случая и в [45] для общих неабелевых $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных калибровочных теорий. В качестве примера приведем трехпетлевое выражение для $\beta$-функции $\mathcal{N}=1$ СКЭД с $N_f$ ароматами в виде интеграла от двойных полных производных по области, которая не содержит малых окрестностей сингулярных точек:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\beta(\alpha_0)}{\alpha_0^2}={}& N_f \frac{d}{d\ln\Lambda} \biggl\{2\pi \int \frac{d^4Q}{(2\pi)^4} \frac{\partial}{\partial Q^\mu} \frac{\partial}{\partial Q_\mu} \frac{\ln(Q^2+M^2)}{Q^2} + 4\pi \int \frac{d^4Q}{(2\pi)^4} \frac{d^4K}{(2\pi)^4} \frac{e^2}{K^2 R_K^2}\times{} \nonumber\\ & \times \frac{\partial}{\partial Q^\mu} \frac{\partial}{\partial Q_\mu} \biggl(\frac{1}{Q^2 (K+Q)^2} - \frac{1}{(Q^2+M^2)((K+Q)^2 + M^2)}\biggr)\times{} \nonumber\\ & \times \biggl[ R_K \biggl(1+\frac{e^2 N_f}{4\pi^2}\ln\frac{\Lambda}{\mu}\biggr) - 2 e^2 N_f \biggl(\int \frac{d^4L}{(2\pi)^4}\frac{1}{L^2 (K+L)^2} -{} \nonumber\\ &- \int \frac{d^4L}{(2\pi)^4} \frac{1}{(L^2+M^2)((K+L)^2+M^2)} \biggr)\biggr]+{} \nonumber\\ & + 4\pi \int \frac{d^4Q}{(2\pi)^4} \frac{d^4K}{(2\pi)^4} \frac{d^4L}{(2\pi)^4} \frac{e^4}{K^2 R_K L^2R_L} \frac{\partial}{\partial Q^\mu} \frac{\partial}{\partial Q_\mu}\times{} \nonumber\\ & \times\biggl\{\biggl( - \frac{2 K^2}{Q^2 (Q+K)^2 (Q+K+L)^2(Q+L)^2} + \frac{2}{Q^2(Q+K)^2(Q+L)^2}\biggr) -{} \nonumber\\ &- \biggl(- \frac{2(K^2 + M^2)}{((Q+K)^2+M^2) ((Q+L)^2+M^2)(Q^2+M^2)((Q+K+L)^2+M^2)} +{} \nonumber\\ &+ \frac{2}{(Q^2+M^2) ((Q+K)^2+M^2)((Q+L)^2+M^2)}-{} \nonumber\\ & - \frac{4M^2}{(Q^2+M^2)^2((Q+K)^2+M^2) ((Q+L)^2+M^2)} \biggr) + O(e^6)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Заметим, что в этом выражении прописные буквы указывают евклидовы импульсы, которые получаются после поворота Вика. Интегралы от двойных полных производных в приведенном выше выражении отличны от нуля благодаря сингулярностям подынтегрального выражения. Действительно, пусть $f(Q^2)$ – несингулярная функция, которая быстро убывает на бесконечности. Тогда интеграл от двойных полных производных по области, которая не содержит малую окрестность сингулярности при $Q_\mu=0$, сводится к поверхностному интегралу по малой сфере $S^3_\varepsilon$, окружающей сингулярность, и может быть легко вычислен:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int \frac{d^4Q}{(2\pi)^4} \frac{\partial}{\partial Q^\mu} \frac{\partial}{\partial Q_\mu} \biggl(\frac{f(Q^2)}{Q^2}\biggr) &= \int_{S^3_\varepsilon} \frac{dS^\mu}{(2\pi)^4}\biggl(-\frac{2Q_\mu}{Q^4} f(Q^2) + \frac{2Q_\mu}{Q^2} f'(Q^2)\biggr) ={} \nonumber \\ &= \frac{1}{4\pi^2} f(0) \ne 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Таким образом, после взятия интегралов от двойных полных производных количество интегрирований по петлевым импульсам уменьшается на единицу. Сравнение получающихся выражений с петлевыми интегралами, задающими аномальную размерность суперполей материи (определенную в терминах голых констант связи), демонстрирует, что за рамками однопетлевого приближения они отличаются на множитель $-N_f/\pi$, так что
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha) = \frac{\alpha^2N_f}{\pi}(1-\gamma(\alpha)).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Эта формула представляет собой соотношение НШВЗ для $\mathcal{N}=1$ СКЭД с $N_f$ ароматами [46], [47], которое, как оказывается, справедливо для РГФ, определенных в терминах голых констант связи, независимо от перенормировочного предписания, дополняющего регуляризацию высшими ковариантными производными. Более детальный анализ [43], [48] продемонстрировал, что вклад в $\beta$-функцию, создаваемый всеми суперграфами, получаемыми из одного вакуумного графа с помощью прикрепления двух внешних линий калибровочного суперполя, связан со вкладом в аномальную размерность от всех суперграфов, получаемых разрезанием линии материи в исходном вакуумном суперграфе. Аналогичная структура интегралов, задающих $\beta$-функцию, была выявлена в неабелевых суперсимметричных теориях (см., например, [49], [50]). Они также являются интегралами от двойных полных производных по петлевым импульсам. Кроме того, в низших петлях формула НШВЗ появляется в виде (20) точно так же, как и в абелевом случае, и имеет аналогичную графическую интерпретацию. А именно, для каждого вакуумного суперграфа формула НШВЗ связывает вклад в $\beta$-функцию, получаемый прикреплением двух внешних линий фонового калибровочного суперполя, с соответствующим вкладом в аномальные размерности квантовых суперполей, получаемым с помощью всевозможных разрезов внутренних линий, как проиллюстрировано на рис. 2. Заметим, что, в отличие от $\mathcal{N}=1$ СКЭД, в неабелевом случае внутренние линии могут соответствовать квантовому калибровочному суперполю, духам Фаддеева–Попова и суперполям материи. 4.4. Вывод новой формы точной $\beta$-функции НШВЗ суммированием сингулярных вкладовБлагодаря факторизации в интегралы от двойных полных производных функция $\beta/\alpha_0^2$ может быть найдена суммированием сингулярных вкладов. Во всех петлях это было сделано в работе [51] с помощью достаточно сложной техники. Результат может быть записан как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\beta(\alpha_0,\lambda_0)}{\alpha_0^2}&- \frac{\beta_{\mathrm{1-loop}}(\alpha_0)}{\alpha_0^2} ={} \nonumber \\ &= \frac{1}{\pi} C_2 \gamma_V(\alpha_0,\lambda_0) + \frac{1}{\pi} C_2 \gamma_c(\alpha_0,\lambda_0) - \frac{1}{2\pi r} C(R)_i{}^j (\gamma_\phi)_j{}^i(\alpha_0,\lambda_0), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
где в правой части первое слагаемое соответствует калибровочным пропагаторам, второе слагаемое – пропагаторам духов Фаддеева–Попова, третье слагаемое – пропагаторам материи. Это означает, что слагаемое, содержащее аномальную размерность $\gamma_V$, получается из суммы всех сингулярных вкладов, которые появляются, когда двойные полные производные действуют на пропагатор квантового калибровочного суперполя. Аналогично слагаемые с $\gamma_c$ и $(\gamma_\phi)_j{}^i$ являются суммами всех сингулярностей, которые появляются, когда двойные полные производные действуют на пропагатор духов Фаддеева–Попова или на пропагатор материи соответственно. 4.5. Условия, требуемые для справедливости соотношения НШВЗ во всех петлях. Всепетлевая схема НШВЗПодставляя хорошо известное выражение для однопетлевой $\beta$-функции в формулу (24), мы получаем, что соотношение НШВЗ
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\beta(\alpha_0,\lambda_0)}{\alpha_0^2} = &\,{-}\frac{1}{2\pi}(3 C_2 - T(R) -{} \nonumber \\ &- 2C_2 \gamma_c(\alpha_0,\lambda_0) - 2C_2 \gamma_V(\alpha_0,\lambda_0) + C(R)_i{}^j (\gamma_\phi)_j{}^i(\alpha_0,\lambda_0)/r) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
и, следовательно, соотношение НШВЗ
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha_0,\lambda_0) = - \frac{\alpha_0^2(3 C_2 - T(R) + C(R)_i{}^j (\gamma_\phi)_j{}^i(\alpha_0,\lambda_0)/r)}{2\pi(1- C_2\alpha_0/2\pi)}
\end{equation}
\tag{26}
$$
справедливы во всех порядках теории возмущений для РГФ, определенных в терминах голых констант связи, для $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теорий, регуляризованных высшими ковариантными производными. Как следствие, благодаря формулам (17) для РГФ, определенных в терминах перенормированных констант связи, аналогичные формулы справедливы в схеме HD+MSL во всех порядках теории возмущений. Зная условия, при которых выполняется соотношение НШВЗ, можно использовать его для вычисления $\beta$-функции в высших порядках теории возмущений. Некоторые из результатов, полученных таким образом, будут описаны ниже. 5. РГФ $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теорий, регуляризованных высшими производными в низших порядкахДвухпетлевая аномальная размерность, определенная в терминах голых констант связи, для $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теорий с одной калибровочной константой связи, регуляризованных методом высших производных, была вычислена в работе [52]. Результат дается выражением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(\gamma_\phi)_i{}^j(\alpha_0,\lambda_0) = - \frac{\alpha_0}{\pi}C(R)_i{}^j+\frac{1}{4\pi^2}\lambda^*_{0imn}\lambda_0^{jmn} + \frac{\alpha_0^2}{2\pi^2} [C(R)^2]_i{}^j -{} \nonumber\\ & -\frac{1}{16\pi^4}\lambda^*_{0iac}\lambda_0^{jab}\lambda^*_{0bde}\lambda_0^{cde}-\frac{3\alpha_0^2}{2\pi^2} C_2 C(R)_i{}^j\biggl(\ln a_{\varphi}+1+\frac{A}{2}\biggr) +\frac{\alpha_0^2}{2\pi^2} T(R)\times{} \nonumber \\ &\qquad\times C(R)_i{}^j\biggl(\ln a + 1 + \frac{A}{2}\biggr) - \frac{\alpha_0}{8\pi^3} \lambda^*_{0lmn}\lambda^{jmn}_0 C(R)_i{}^l(1-B+A) +{} \nonumber \\ &+ \frac{\alpha_0}{4\pi^3}\lambda^*_{0imn}\lambda_0^{jml}C(R)_l{}^n(1-A+B) + O(\alpha_0^3,\alpha_0^2\lambda_0^2,\alpha_0\lambda_0^4,\lambda_0^6), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где
$$
\begin{equation}
A = \int_0^\infty dx \ln x \frac{d}{dx}\frac{1}{R(x)},\quad\ B = \int_0^\infty dx \ln x \frac{d}{dx}\frac{1}{F^2(x)},\quad a = \frac{M}{\Lambda},\quad\ a_\varphi = \frac{M_\varphi}{\Lambda}
\end{equation}
\tag{28}
$$
– параметры, зависящие от конкретной версии регуляризации высшими ковариантными производными. Если аномальная размерность суперполей материи, определенная в терминах голых констант связи, вычислена в $L$ петлях с использованием регуляризации высшими производными, то можно построить $(L+1)$-петлевую $\beta$-функцию из формулы НШВЗ без петлевых вычислений, поскольку теперь мы знаем условия, при которых формула НШВЗ справедлива. Например, в трехпетлевом приближении $\beta$-функция, определенная в терминах голых констант связи, полученная этим методом, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\beta(\alpha_0,\lambda_0)}{\alpha_0^2} = - \frac{1}{2\pi} (3C_2-T(R)) +\frac{\alpha_0}{4\pi^2} \biggl\{ -3 C_2^2 + \frac{1}{r} C_2 \operatorname{tr}C(R) +\frac{2}{r} \operatorname{tr}[C(R)^2] \biggr\}-{} \nonumber\\ & - \frac{1}{8\pi^3 r} C(R)_j{}^i \lambda^*_{0imn} \lambda_0^{jmn} + \frac{\alpha_0^2}{8\pi^3}\biggl\{-3 C_2^3 + \frac{1}{r} C_2^2 \operatorname{tr} C(R) - \frac{2}{r}\operatorname{tr}[C(R)^3] +{} \nonumber \\ &+\frac{2}{r} C_2 \operatorname{tr}[C(R)^2]\biggl(3\ln a_\varphi + 4 +\frac{3A}{2}\biggr) - \frac{2}{r^2} \operatorname{tr} C(R) \operatorname{tr}[C(R)^2]\biggl(\ln a + 1 +\frac{A}{2}\biggr)\biggr\} -{} \nonumber \\ &- \frac{\alpha_0 C_2}{16\pi^4 r} C(R)_j{}^i \lambda^*_{0imn} \lambda_0^{jmn}+ \frac{\alpha_0}{16\pi^4 r} [C(R)^2]_j{}^i \lambda^*_{0imn} \lambda_0^{jmn} (1+A-B) -{} \nonumber \\ &- \frac{\alpha_0}{8\pi^4 r} C(R)_j{}^i C(R)_l{}^n \lambda^*_{0imn} \lambda_0^{jml} (1-A+B)+{} \nonumber\\ & + \frac{1}{32\pi^5 r} C(R)_j{}^i \lambda^*_{0iac} \lambda_0^{jab} \lambda^*_{0bde} \lambda_0^{cde} + O(\alpha_0^3,\alpha_0^2\lambda_0^2,\alpha_0\lambda_0^4,\lambda_0^6). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Часть этого результата, содержащая юкавские константы, в точности совпадает с результатом прямых пертурбативных вычислений, проведенных в работах [49], [50]. (Слагаемые без юкавских констант пока еще не вычислены напрямую с помощью регуляризации высшими ковариантными производными.) Для вычисления РГФ, определенных в терминах перенормированных констант связи, вначале необходимо проинтегрировать уравнения
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha_0,\lambda_0) \equiv \frac{d\alpha_0}{d\ln\Lambda}\Big|_{\alpha,\lambda=\mathrm{const}},\qquad (\gamma_\phi)_i{}^j(\alpha_0,\lambda_0) \equiv -\frac{d (\ln Z_\phi)_i{}^j}{d\ln\Lambda}\Big|_{\alpha,\lambda=\mathrm{const}}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
В результате мы получаем выражения для перенормированной калибровочной константы связи и $(\ln Z_\phi)_i{}^j$, зависящие от определенного набора конечных констант, которые определяют схему вычитаний в рассматриваемом приближении. В частности, в низшем приближении имеем
$$
\begin{equation}
(\ln Z_\phi)_i{}^j(\alpha,\lambda) ={} \frac{\alpha}{\pi} C(R)_i{}^j \biggl(\ln\frac{\Lambda}{\mu}+g_{11}\biggr) - \frac{1}{4\pi^2} \lambda^*_{imn}\lambda^{jmn} \biggl(\ln\frac{\Lambda}{\mu} + g_{12} \biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{31}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\alpha_0} ={} -\frac{3}{2\pi}C_2\biggl(\ln \frac{\Lambda}{\mu} + b_{11}\biggr) + \frac{1}{2\pi} T(R) \biggl(\ln \frac{\Lambda}{\mu} + b_{12}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{3\alpha}{4\pi^2} C_2^2 \biggl(\ln\frac{\Lambda}{\mu} + b_{21}\biggr) + \frac{\alpha}{4\pi^2 r}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times C_2 \operatorname{tr} C(R) \biggl(\ln \frac{\Lambda}{\mu} + b_{22}\biggr) + \frac{\alpha}{2\pi^2 r} \operatorname{tr}[C(R)^2] \biggl(\ln \frac{\Lambda}{\mu} + b_{23}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{8\pi^3 r} C(R)_j{}^i \lambda^*_{imn} \lambda^{jmn} \biggl(\ln \frac{\Lambda}{\mu}+ b_{24}\Big) + O(\alpha^2,\alpha \lambda^2,\lambda^4).
\end{equation}
\tag{32}
$$
После этого необходимо подставить полученные таким способом выражения в формулы
$$
\begin{equation}
\widetilde\beta(\alpha,\lambda) \equiv \frac{d\alpha}{d\ln\mu}\Big|_{\alpha_0,\lambda_0=\mathrm{const}},\qquad (\widetilde\gamma_\phi)_i{}^j(\alpha,\lambda) \equiv \frac{d(\ln Z_\phi)_i{}^j}{d\ln\mu}\Big|_{\alpha_0,\lambda_0=\mathrm{const}}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Благодаря схемной зависимости выражения для этих РГФ включают конечные константы, присутствующие в (31) и (32). Результаты, полученные в [52], могут быть записаны как
$$
\begin{equation}
(\widetilde{\gamma}_\phi)_i{}^j (\alpha,\lambda) = - \frac{\alpha}{\pi}C(R)_i{}^j+\frac{1}{4\pi^2}\lambda^*_{imn}\lambda^{jmn} +\frac{\alpha^2}{2\pi^2}[C(R)^2]_i{}^j -\frac{1}{16\pi^4}\lambda^*_{iac}\lambda^{jab}\lambda^*_{bde}\lambda^{cde}-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{34}
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{3\alpha^2}{2\pi^2}C_2 C(R)_i{}^j\biggl(\ln a_{\varphi}+1+\frac{A}{2}-b_{11}+g_{11}\biggr) + \frac{\alpha^2}{2\pi^2} T(R) C(R)_i{}^j\biggl(\ln a+1+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{A}{2}-b_{12}+g_{11}\biggr)-\frac{\alpha}{8\pi^3}\lambda^*_{lmn}\lambda^{jmn}C(R)_i{}^l (1-B+A-2g_{12}+2g_{11}) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \frac{\alpha}{4\pi^3}\lambda^*_{imn}\lambda^{jml}C(R)_l{}^n (1-A+B +2g_{12}-2g_{11}) + O(\alpha^3,\alpha^2\lambda^2,\alpha\lambda^4,\lambda^6),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\widetilde\beta(\alpha,\lambda)}{\alpha^2} = - \frac{1}{2\pi} (3C_2-T(R)) +\frac{\alpha}{4\pi^2} \biggl\{ -3 C_2^2 + \frac{1}{r} C_2 \operatorname{tr} C(R) +\frac{2}{r} \operatorname{tr}[C(R)^2] \biggr\} -{} \nonumber
\end{equation}
\tag{35}
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{8\pi^3 r} C(R)_j{}^i\lambda^*_{imn} \lambda^{jmn} + \frac{\alpha^2}{8\pi^3}\biggl\{-3 C_2^3(1+3b_{21}-3b_{11}) + \frac{1}{r} C_2^2 \operatorname{tr} C(R)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times (1+3b_{21}-3b_{12} +3b_{22} -3b_{11})-\frac{2}{r}\operatorname{tr}[C(R)^3] - \frac{1}{r^2} C_2 [\operatorname{tr} C(R)]^2 (b_{22}-b_{12})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \frac{1}{r} C_2 \operatorname{tr}[C(R)^2](6\ln a_\varphi +8 + 3A +6 b_{23} -6b_{11})+ \frac{1}{r^2} \operatorname{tr} C(R) \operatorname{tr}[C(R)^2]\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times(-2\ln a -2 -A -2 b_{23} + 2 b_{12})\biggr\} - \frac{\alpha C_2}{16\pi^4 r} C(R)_j{}^i \lambda^*_{imn} \lambda^{jmn} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \frac{\alpha}{16\pi^4 r}[C(R)^2]_j{}^i \lambda^*_{imn} \lambda^{jmn} (1+A-B -2b_{24}+2g_{11}) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{\alpha}{8\pi^4 r} C(R)_j{}^i C(R)_l{}^n \lambda^*_{imn} \lambda^{jml} (1-A+B+2b_{24}-2g_{11}) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \frac{1}{16\pi^5 r} C(R)_j{}^i \lambda^*_{iac} \lambda^{jab} \lambda^*_{bde} \lambda^{cde} \biggl(\frac{1}{2} + b_{24} - g_{12}\biggr) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \frac{1}{32\pi^5 r} C(R)_j{}^i \lambda^*_{imn} \lambda^{kmn} \lambda^*_{kpq} \lambda^{jpq} (b_{24} - g_{12}) + O(\alpha^3,\alpha^2\lambda^2,\alpha\lambda^4,\lambda^6).
\end{equation}
\notag
$$
Заметим, что эти выражения в общем случае не удовлетворяют формуле НШВЗ. Однако в схеме HD+MSL, где все конечные константы $g_i$ и $b_i$ равны нулю, соотношение НШВЗ действительно выполняется в рассматриваемом приближении, что согласуется с общими утверждениями, обсуждавшимися выше. 6. РГФ и формула НШВЗ для теорий, конечных в одной петлеИнтересным и важным частным случаем $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных калибровочных теорий являются теории, конечные в однопетлевом приближении [53], [54] (см. недавние обзоры [55], [56]), которые удовлетворяют условиям
$$
\begin{equation}
T(R) = 3C_2, \qquad \lambda^*_{imn} \lambda^{jmn} = 4\pi\alpha C(R)_i{}^j.
\end{equation}
\tag{36}
$$
В этом случае двухпетлевая аномальная размерность (34) и трехпетлевая $\beta$-функция (35) (определенные в терминах перенормированных констант связи) принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(\widetilde{\gamma}_\phi)_i{}^j(\alpha,\lambda) = -\frac{3\alpha^2}{2\pi^2}C_2 C(R)_i{}^j \biggl(\ln \frac{a_{\varphi}}{a} - b_{11} + b_{12} \biggr) - \frac{\alpha}{4\pi^2} \biggl(\frac{1}{\pi} \lambda^*_{imn} \lambda^{jml} C(R)_l{}^n +{} \nonumber \\ &\qquad+ 2\alpha [C(R)^2]_i{}^j \biggr) (A-B -2g_{12} +2g_{11}) + O(\alpha^3,\alpha^2\lambda^2,\alpha\lambda^4,\lambda^6),\end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\frac{\widetilde\beta(\alpha,\lambda)}{\alpha^2} = \frac{3\alpha^2}{4\pi^3 r} C_2 \operatorname{tr}[C(R)^2] \biggl(\ln \frac{a_\varphi}{a} - b_{11} + b_{12} \biggr) + \frac{\alpha}{8\pi^3 r} \biggl(\frac{1}{\pi} C(R)_j{}^i C(R)_l{}^n \times{} \nonumber \\ &\qquad\times\lambda^*_{imn} \lambda^{jml} +2\alpha\operatorname{tr}[C(R)^3] \biggr) (A-B -2g_{12}+2g_{11}) + O(\alpha^3,\alpha^2\lambda^2,\alpha\lambda^4,\lambda^6). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Как ни странно, мы видим, что в этом случае формула НШВЗ справедлива в низшем нетривиальном приближении при произвольном перенормировочном предписании,
$$
\begin{equation}
\frac{\beta(\alpha,\lambda)}{\alpha^2} = - \frac{1}{2\pi r} C(R)_i{}^j (\gamma_{\phi})_j{}^i(\alpha,\lambda) + O(\alpha^3,\alpha^2\lambda^2,\alpha\lambda^4,\lambda^6).
\end{equation}
\tag{39}
$$
На самом деле это не случайность, а следствие общего утверждения, сформулированного в работе [57]. Известно, что для $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теорий, конечных в однопетлевом приближении, можно подстроить схему вычитаний так, чтобы теория была конечной во всех петлях [58]–[61]. Если схема вычитаний подстроена таким образом, что $\beta$-функция равна нулю в первых $L$ петлях, а аномальная размерность суперполей материи равна нулю в первых $L-1$ петлях, то $(L+1)$-петлевая калибровочная $\beta$-функция должна удовлетворять формуле [57]
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_{L+1}(\alpha,\lambda)}{\alpha^2} = - \frac{1}{2\pi r} C(R)_i{}^j (\gamma_{\phi,L})_j{}^i(\alpha,\lambda)
\end{equation}
\tag{40}
$$
при произвольном перенормировочном предписании. Поэтому если теория конечна в определенном приближении, то ее $\beta$-функция должна быть равна нулю в следующем порядке. Это в точности согласуется с результатом [62], [63], полученным ранее другими методами.
7. Соотношения НШВЗ для теорий с несколькими калибровочными константами связиФормулы НШВЗ также могут быть записаны для теорий с несколькими калибровочными константами связи [64], когда калибровочная группа является прямым произведением простых или $U(1)$ множителей, $G = G_1\times G_2\times \cdots \times G_n$. В этом случае число формул НШВЗ равно числу сомножителей в этом прямом произведении. Они могут быть представлены в виде [65]
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_K(\alpha,\lambda)}{\alpha_K^2} = - \frac{1}{2\pi(1-C_{2}(G_K) \alpha_K/2\pi)} \biggl[ 3 C_2(G_K) - \sum_\mathrm{a} \mathbf{T}_{\mathrm{a}K}(1-\gamma_\mathrm{a}(\alpha,\lambda)) \biggr].
\end{equation}
\tag{41}
$$
При этом в наших обозначениях индекс “$\mathrm{a}$” нумерует киральные суперполя материи в неприводимых представлениях простых $G_I$, а
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}_K(R) = \sum_\mathrm{a} \mathbf{T}_{\mathrm{a}K},
\end{equation}
\tag{42}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathbf{T}_{\mathrm{a}K} = \begin{cases} \delta_{i_1}{}^{i_1}\ldots \delta_{i_{K-1}}{}^{i_{K-1}} T_K(R_{\mathrm{a}K}) \delta_{i_{K+1}}{}^{i_{K+1}}\ldots \delta_{i_n}{}^{i_n}, & \text{если}\ G_K\ \text{простая}, \\ \delta_{i_1}{}^{i_1}\ldots \delta_{i_{K-1}}{}^{i_{K-1}} q_{\mathrm{a} K}^2 \delta_{i_{K+1}}{}^{i_{K+1}}\ldots \delta_{i_n}{}^{i_n},& \text{если}\ G_K = U(1). \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
$$
В частности, для минимальной суперсимметричной Стандартной модели эти точные во всех порядках $\beta$-функции НШВЗ принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\beta_3(\alpha,\lambda)}{\alpha_3^2} &= - \frac{1}{2\pi(1 - 3\alpha_3/2\pi)} \biggl[3 + \operatorname{tr}\biggl(\gamma_{Q_I}(\alpha,\lambda) + \frac{1}{2} \gamma_{U_I}(\alpha,\lambda) + \frac{1}{2} \gamma_{D_I}(\alpha,\lambda)\biggr)\biggr], \\ \frac{\beta_2(\alpha,\lambda)}{\alpha_2^2} &= - \frac{1}{2\pi(1 - \alpha_2/\pi)} \biggl[-1 + \operatorname{tr}\biggl(\frac{3}{2} \gamma_{Q_I}(\alpha,\lambda)+ \frac{1}{2} \gamma_{L_I}(\alpha,\lambda)\biggr) +{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + \frac{1}{2} \gamma_{H_u}(\alpha,\lambda) + \frac{1}{2} \gamma_{H_d}(\alpha,\lambda)\biggr], \\ \frac{\beta_1(\alpha,\lambda)}{\alpha_1^2} &= - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2\pi}\biggl[-11 + \operatorname{tr}\biggl(\frac{1}{6} \gamma_{Q_I}(\alpha,\lambda) + \frac{4}{3} \gamma_{U_I}(\alpha,\lambda) + \frac{1}{3} \gamma_{D_I}(\alpha,\lambda)+{} \\ &\qquad\qquad\quad\,\, + \frac{1}{2} \gamma_{L_I}(\alpha,\lambda) + \gamma_{E_I}(\alpha,\lambda)\biggr) + \frac{1}{2} \gamma_{H_u}(\alpha,\lambda) + \frac{1}{2} \gamma_{H_d}(\alpha,\lambda)\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
где следы берутся по индексам поколений. В другой форме они были впервые представлены в работе [64] и правильно воспроизводят (схемно независимые) двухпетлевые вклады [66]. Используя соотношения (44) и явные выражения для двухпетлевых аномальных размерностей суперполей материи, можно найти трехпетлевые $\beta$-функции в минимальной суперсимметричной Стандартной модели для произвольного суперсимметричного перенормировочного предписания, дополняющего регуляризацию высшими ковариантными производными [67]. Результат является очень большим и зависит от (большого числа) параметров регуляризации и конечных констант, фиксирующих схему перенормировки. При определенных значениях этих конечных констант он воспроизводит результат в $\overline{\mathrm{DR}}$-схеме, полученный ранее в работе [68]. В качестве примера приведем трехпетлевое выражение для функции $\widetilde\beta_3$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \frac{\widetilde\beta_3(\alpha,Y)}{\alpha_{3}^2} = - \frac{1}{2\pi} \biggl\{3 -\frac{11\alpha_{1}}{20\pi} -\frac{9\alpha_{2}}{4\pi} -\frac{7\alpha_{3}}{2\pi} + \frac{1}{8\pi^2} \operatorname{tr}(2Y_{U}^+ Y_{U} + 2 Y_{D}^+ Y_{D}) + \frac{1}{2\pi^2}\biggl[ \frac{137\alpha_{1}^2}{1200}+{} \nonumber\\ & + \frac{27\alpha_{2}^2}{16} + \frac{\alpha_{3}^2}{6} + \frac{3\alpha_{1}\alpha_{2}}{40} - \frac{11\alpha_{1}\alpha_{3}}{60} -\frac{3\alpha_{2}\alpha_{3}}{4} + \frac{363\alpha_{1}^2}{100}\biggl(\ln a_{1} + 1 +\frac{A}{2} + b_{2,31} - b_{1,1}\biggr) +{} \nonumber \\ &+ \frac{9\alpha_{2}^2}{4}\biggl(-6\ln a_{\varphi,2} + 7\ln a_{2} + 1 +\frac{A}{2} + b_{2,32} - b_{1,2}\biggr) - 24\alpha_{3}^2\biggl(3\ln a_{\varphi,3} -2\ln a_3 +{} \nonumber \\ &+ 1 +\frac{A}{2} + \frac{7}{16} b_{2,33}- \frac{7}{16} b_{1,3} \biggr) \biggr] + \frac{1}{8\pi^3}\operatorname{tr}(Y_{U} Y_{U}^+)\biggl[\frac{3\alpha_{1}}{20} + \frac{3\alpha_{2}}{4} + 3\alpha_{3} + \frac{13\alpha_{1}}{30}\times{} \nonumber \\ &\times (B-A+2b_{2,3U} -2j_{U1})+ \frac{3\alpha_{2}}{2}(B-A+2b_{2,3U}-2j_{U2}) + \frac{8\alpha_{3}}{3}(B-A+2b_{2,3U}-{} \nonumber \\ &-2j_{U3})\biggr] +\frac{1}{8\pi^3}\operatorname{tr}(Y_{D} Y_{D}^+)\biggl[\frac{3\alpha_{1}}{20} + \frac{3\alpha_{2}}{4}+ 3\alpha_{3} + \frac{7\alpha_{1}}{30} (B-A+2b_{2,3D}-2j_{D1}) +{} \nonumber \\ &+ \frac{3\alpha_{2}}{2} (B-A+2b_{2,3D}-2j_{D2}) + \frac{8\alpha_{3}}{3}(B-A+2b_{2,3D}-2j_{D3})\biggr] -{} \nonumber \\ &- \frac{1}{(8\pi^2)^2}\biggl[ \frac{3}{2}\operatorname{tr}((Y_{U} Y_{U}^+)^2)(1+4b_{2,3U}-4j_{UU}) + \frac{3}{2}\operatorname{tr}((Y_{D} Y_{D}^+)^2)(1+4b_{2,3D}-4j_{DD}) +{} \nonumber \\ &+ 3(\operatorname{tr}(Y_{U} Y_{U}^+))^2(1+2b_{2,3U}-2j_{UtU}) + 3(\operatorname{tr}(Y_{D} Y_{D}^+))^2(1+2b_{2,3D}-2j_{DtD}) +{} \nonumber \\ &+ \operatorname{tr}(Y_{E} Y_{E}^+)\operatorname{tr}(Y_{D} Y_{D}^+)(1+2b_{2,3D}-2j_{DtE}) + \operatorname{tr}(Y_{D} Y_{D}^+ Y_{U} Y_{U}^+)(1+2b_{2,3U}+{} \nonumber\\ &+ 2b_{2,3D} - 2j_{UD}-2j_{DU})\biggr]\biggr\} + O(\alpha^3,\alpha^2 Y^2, \alpha Y^4, Y^6). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Следовательно, регуляризация высшими ковариантными производными может быть действительно использована для проведения очень сложных явных многопетлевых вычислений.
8. ЗаключениеТаким образом, мы видим, что регуляризация высшими ковариантными производными, предложенная А. А. Славновым, позволила выявить интересные особенности структуры квантовых поправок в различных суперсимметричных теориях, вывести некоторые точные результаты и даже решить долго стоявшую проблему построения предписания, дающего всепетлевую схему НШВЗ. В частности, было продемонстрировано, что в $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теориях, регуляризованных высшими производными, интегралы, дающие $\beta$-функции, являются интегралами от двойных полных производных. Благодаря этому факту РГФ, определенные в терминах голых констант связи, удовлетворяют соотношению НШВЗ в теориях, регуляризованных высшими производными, во всех петлях, а некоторые всепетлевые схемы НШВЗ для РГФ, определенных в терминах перенормированных констант связи, даются HD+MSL предписанием. Поэтому теперь мы знаем, как проводить вычисления так, чтобы формула НШВЗ была справедлива. Конечно, это существенно упрощает некоторые многопетлевые вычисления и открывает путь для дальнейших исследований структуры квантовых поправок в суперсимметричных теориях. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ste23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|