| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Солитоны комплексного уравнения Кадомцева–Петвиашвили, обладающие симметрией четность–время Цзень-Ху Чан Graduate School of National Defense, National Defense University, Tauyuan City, Taiwan
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924050064 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНа протяжении последних трех десятилетий неимоверно возросло количество информации, передаваемой с помощью коммуникационных систем на основе оптического волокна. Высокая надежность современных коммуникационных линий обеспечивается оптическим волокном, в котором информация кодируется и переносится в виде последовательности световых импульсов. Проблема пропускной способности волоконно-оптической коммуникационной системы требует глубокого понимания физических принципов, лежащих в основе технической реализации, а также построения математических моделей, описывающих особенности систем [1]. Одна из наиболее важных моделей основана на понятии солитона. Солитоны представляют собой самолокализованные волновые пакеты, которые распространяются вдоль волновода, сохраняя свою форму и скорость и испытывая столкновения друг с другом подобно столкновениям частиц. После теоретического предсказания оптического солитона [2] и его наблюдения в эксперименте [3] возникла многообещающая идея использования солитона в качестве носителя информации в оптоволоконных коммуникационных системах [4] ввиду его исключительной устойчивости к возмущениям. Идея симметрии четность–время ($PT$-симметрия) [5], [6] в применении к широкому классу неэрмитовых гамильтонианов, имеющих полностью действительный спектр собственных значений, была предложена в работе Бендера и Боттчера [7]. Две фундаментальные дискретные симметрии в физике порождаются оператором четности $P$, который определяется формулой а также оператором обращения времени $T$, который задается по Вигнеру соотношением [8] где звездочка означает комплексное сопряжение. Оператор $T$ антилинейный, т. е. для любых векторов $\psi$, $\phi$ и комплексного числа $\lambda$. Кроме того, Оператор $H$ $PT$-симметричен, еслиНетрудно заметить, что если оператор $H$ $PT$-симметричен, а $\psi$ – собственная функция с собственным числом $\lambda$, то $PT \psi=\psi^{*}(-\vec{x}, -t)$ – также собственная функция гамильтониана $H$ с собственным числом $\lambda^*$. Связь между $PT$-симметрией и вещественностью спектра указана в работе [7]. Чтобы подчеркнуть эту связь, Бендер и Боттчер ввели понятие ненарушенной $PT$-симметрии. $PT$-симметричный оператор $H$ называется ненарушенным, если любая собственная функция гамильтониана $H$ является одновременно собственной функцией оператора $PT$. $PT$-симметричный оператор $H$ называется нарушенным, если ни одна собственная функция гамильтониана $H$ не является одновременно собственной функцией оператора $PT$. Для случая ненарушенного гамильтониана соотношение $H \Psi = E \Psi $ означает существование такого $\lambda $, что $PT \Psi = \lambda \Psi$. Из (1), т. е.
$$
\begin{equation*}
PTPT \Psi =\Psi= PT( \lambda \Psi) = \lambda^* PT \Psi= \lambda \lambda ^* \Psi,
\end{equation*}
\notag
$$
следует существование вещественной постоянной $\theta $ такой, что $ \lambda = e^{i \theta} $, т. е. любое собственное значение оператора $PT$ является чистой фазой. Если $H$ является $PT$-симметричным оператором и при этом является ненарушенным, то его собственные значения вещественны. Это можно понять из следующего соображения. Предположим, что $H \Psi= E\Psi$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
H (PT \Psi)=H( e^{i \theta} \Psi)=e^{i \theta} E \Psi= PT(H\Psi)= E^* PT \Psi=E^* e^{i \theta} \Psi.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $E$ – вещественное число. Но если $H$ является $PT$-симметричным оператором и одновременно нарушенным, его собственные числа будут комплексными. Рассмотрим гамильтонов оператор с комплексным потенциалом $u (x,y ) = P(x,y) + i Q(x,y)$. Чтобы оператор $H$ был $PT$-симметричным, нужно, чтобы выполнялось равенство $u^*(-x, - y )=u(x, y)$. Тогда его вещественная $P (x, y)$ и мнимая $Q (x, y)$ части удовлетворяют соотношениям [5], [6]
$$
\begin{equation}
P (-x, -y) = P (x, y), \qquad Q (-x, -y) = - Q (x, y),
\end{equation}
\tag{3}
$$
из которых следует, что $P(x, y)$ – четная функция, а $Q(x, y)$ – нечетная. В параксиальном приближении геометрической оптики предполагается, что лучи света образуют малый угол с центральным направлением распространения $z$. В этом случае имеем уравнение Шредингера где $u(x, y)$ – комплексный показатель преломления (или потенциал), а $\Psi$ – амплитуда электрического поля (или волновая функция). Если $PT$-симметрия не нарушена, среда с усилением и потерями допускает стационарное распространение света, а при нарушении $PT$-симметрии свет испытывает либо затухание, либо усиление. Эрмитовы гамильтонианы соответствуют случаям, когда оптическая энергия сохраняется, а потенциал $u(x,y)$ вещественный. С другой стороны, присутствие потерь или усиления в оптических структурах выражается в неэрмитовом операторе (2) с комплексным потенциалом [9]. Но если эрмитов оператор (2) $PT$-симметричен и симметрия не нарушена, то его спектр вещественный. В этом случае наблюдается оптимальный баланс усиления и потерь [10]. Для построения линейных солитонов $PT$-симметричного типа рассмотрим комплексное уравнение Кадомцева–Петвиашвили (КП-(II)) где $u(x,y,t)$ – комплексное число, а $x,y,t$ – вещественные числа. Пусть $u=P+iQ$, тогда получим связанную систему уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \partial_x [ -4 P_t+P_{xxx}+6(PP_x-QQ_x)]+ 3P_{yy}&=0, \\ \partial_x [ -4 Q_t+Q_{xxx}+6(PQ)_x]+ 3Q_{yy}&=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $P$ и $Q$ – вещественные числа. Резонансное взаимодействие, описываемое вещественным уравнением КП-(II) (5), играет фундаментальную роль в многомерных волновых явлениях. Оно привлекло большое внимание и основано на использовании полностью неотрицательных грассманианов [11]–[13], т. е. таких точек вещественного грассманиана, у которых все плюккеровы координаты неотрицательны. Тау-функция для уравнения КП-(II) представлена в виде вронскиана по $x$, полученного из билинейной формы Хироты [14]. Существуют три основных типа взаимодействий: X-образные солитоны P-типа и O-типа и солитон прямоугольной формы T-типа (резонанс) [15]. Если $u$ не зависит от $y$, получим комплексное уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ) [16]–[18] Взаимодействие солитонов комплексного уравнения КдФ (6) относится к P-типу. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 построено вещественное солитонное решение с помощью тау-функции и теории полностью неотрицательного грассманиана уравнения КП-(II). Затем вводятся комплексные многосолитонные решения уравнения КП-(II). В разделе 3 исследуется связь между $PT$-симметричными солитонами и полностью неотрицательным ортогональным грассманианом. В разделе 4 содержатся несколько замечаний. 2. Комплексное уравнение КПВ этом разделе строятся многосолитонные решения уравнения КП-(II) с помощью тау-функции. Представим тау-функции в виде линейных комбинаций с коэффициентами, удовлетворяющими соотношениям Плюккера. Комплексному уравнению КП-(II) (5) соответствует уравнение Хироты где $u(x,y,t)=2\ln \partial_x^2 \ln \tau_N(x,y,t)$. Чтобы построить $\tau_N(x,y,t)$, введем определитель
$$
\begin{equation}
\tau_N= \operatorname{det} \begin{bmatrix} f_1^{(0)} & f_1^{(1)} & \cdots & f_1^{(N-1)} \\ f_2^{(0)} & f_2^{(1)} & \cdots & f_2^{(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_N^{(0)}& f_N^{(1)} & \cdots & f_N^{(N-1)} \end{bmatrix},
\end{equation}
\tag{8}
$$
в котором элементы заданы системой уравнений, $i=1,2, \dots, N$,
$$
\begin{equation}
\frac{\partial f_i}{\partial x_m} = \frac{\partial^m f_i}{ \partial x^m}, \qquad x_1=x, \quad x_2=y, \quad x_3=t,
\end{equation}
\tag{9}
$$
при этом $f_i^{(n)}$ означает производную $n$-го порядка по $x$, $n=0,1,2, \dots, N-1$. Можно также представить $\tau_N$ в виде вронскиана, т. е. $(f_i^{(0)}=f_i)$
$$
\begin{equation*}
\tau_N=\operatorname{Wr}( f_1^{(0)}, f_2^{(0)}, \dots, f_N^{(0)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Было показано, что определитель (8) удовлетворяет уравнению Хироты (7) [14]. Построим теперь вещественные резонансные решения уравнения КП-(II) с помощью полностью неотрицательного грассманиана теории уравнения КП-(II) [11]–[13]. Рассмотрим решение конечной размерности
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_i (x,y,t) = \sum_{j=1}^M a_{ij} E_j (x,y,t), \qquad i=1,2, \dots, N < M, \\ E_j (x,y,t) = e^{\eta_j}, \qquad \eta_j= k_j x+k_j^2 y+ k_j^3 t + \xi_j, \quad j=1,2, \dots, M, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $k_j $ – вещественное число, а $\xi_j$ – параметры. Пусть $E_j(x,y,t)$ удовлетворяет уравнениям (9). Тогда каждое резонансное решение уравнения КП-(II) можно параметризовать матрицей полного ранга
$$
\begin{equation*}
A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1M} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2M} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NM} \end{bmatrix} \in M_{N \times M} (\mathbb{R}).
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью формулы Бине–Коши тау-функцию $\tau_N$ можно представить в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_A &= \tau_N = \operatorname{Wr} (f_1, f_2, \dots, f_N)=\operatorname{det} \begin{bmatrix} f_1 & f_1^{'} & \cdots & f_1^{(N-1)} \\ f_2 & f_2^{'} & \cdots & f_2^{(N-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_N & f_N^{'} & \cdots & f_N^{(N-1)} \end{bmatrix}={} \notag \\ &= \operatorname{det}\left[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1M} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2M} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{N1} & a_{N2} & \cdots & a_{NM} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_1 & k_1 E_1 & \cdots & k_1^{N-1}E_1 \\ E_2 & k_2 E_2 & \cdots & k_2^{N-1} E_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ E_M & k_M E_M & \cdots & k_M^{N-1} E_M \end{pmatrix} \right]={} \notag \\ &= \sum_J \Delta_J (A) E_J (x,y,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\Delta_J (A)$ – ($N \times N$)-минор из столбцов с набором индексов $J=\{ j_1, j_2, \dots, j_N\}$, а $E_J$ – вронскиан,
$$
\begin{equation}
E_J= \operatorname{Wr} (E_{j_1},E_{j_2}, \dots, E_{j_N} )= \prod_{m< l} (k_{j_l}-k_{j_m}) E_{j_1} E_{j_2} \cdots E_{j_N}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Заметим, что коэффициенты $\Delta_J (A)$ функции $\tau_A$ должны удовлетворять соотношениям Плюккера. Кроме того, чтобы обеспечить положительность произведения в (12), будем считать, что Каждый линейный солитон образуется путем установления баланса между смежными областями и локализуется только на границах доминирующих областей. Пусть в любой фиксированный момент времени $ E_{i} E_{j_2} E_{j_3} \dots E_{j_N}$ и $E_{j} E_{j_2} E_{j_3} \dots E_{j_N} $ являются смежными областями. В общем случае имеем граничный, т. е. линейный $ [i,j]$-солитон. С помощью (11) и (12) можно понять, что локально имеет место
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau_A \approx{} & \operatorname{det} (A_I) \prod_{j_l< j_m} (k_{j_l}-k_{j_m}) E_i E_{j_2} E_{j_3} \cdots E_{j_N}+{} \\ & + \operatorname{det} (A_J)\prod_{ j_l< j_m} (k_{j_l}-k_{j_m}) E_j E_{j_2} E_{j_3} \cdots E_{j_N}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $I=\{i, j_2, j_3, \dots, j_N\}$ и $J =\{j , j_2, j_3, \dots, j_N\}$. Поскольку $u=2 \partial_{xx} (\ln \tau_A)$ в (5), имеем $ [i,j]$-солитон
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u &= 2 \partial_{xx} [1+ e^{(k_i-k_j)x+ (k_i^2-k_j^2)y+ (k_i^3-p_j^3)t+ \mu_i-\mu_j}] ={} \notag \\ &= \frac{(k_i-k_j)^2}{2} \operatorname{sch}^2 \frac{(k_i-k_j)x+ (k_i^2-k_j^2)y+ (k_i^3-k_j^3)t+\mu_i-\mu_j }{2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu_i &= \eta_i+ \ln \biggl[\operatorname{det} (A_I) \prod_{j_l< j_m } (k_{j_l}-k_{j_m}) \biggr], \\ \mu_j &=\eta_j +\ln \biggl[\operatorname{det} (A_J)\prod_{ j_l< j_m} (k_{j_l}-k_{j_m}) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, предположим, что потенциал $u$ имеет вид $u=P(x,y,t)+ i Q(x,y,t)$ и удовлетворяет условию $PT$-симметрии (3), или Чтобы получить солитоны комплексного уравнения КП-(II), рассмотрим выражение (10) при условии где $\mu_j$ и $\theta_j$ – вещественные параметры. Сначала рассмотрим комплексный линейный солитон комплексного уравнения КП-(II) (5) и возьмем тау-функцию вида
$$
\begin{equation*}
\tau_1 (x,y,t)= f_1+f_2=e^{\eta_1}+e^{\eta_2}= e^{ k_1 x+k_1^2 y+ k_1^3 t + \mu + i \theta_1}+e^{ k_2 x+k_2^2 y+ k_2^3 t + \mu+ i \theta_2},
\end{equation*}
\notag
$$
где используется ограничение $\mu_1=\mu_2=\mu$ с целью удовлетворить условию $PT$-симметрии (15). Заметим, что
$$
\begin{equation*}
\tau_1^* (-x,-y,-t)=e^{-\eta_1}+e^{-\eta_2}=e^{-\eta_1-\eta_2} (e^{\eta_1}+e^{\eta_2})=e^{-\eta_1-\eta_2} \tau_1 (x,y,t).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из соотношения
$$
\begin{equation*}
u(x,y,t)=2 \partial_{xx} \ln \tau_1 (x,y,t)=2 \partial_{xx} \ln \tau_1^*(-x,-y,-t)
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^*(-x,-y,-t)&= u(x,y,t)=\frac{A_{[1,2]}+ A_{[1,2]} \cos (\theta_2-\theta_1) \operatorname{ch} \Delta_{[1,2]}}{ [\cos (\theta_2-\theta_1)+ \operatorname{ch} \Delta_{[1,2]}]^2}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\;+ i \frac{A_{[1,2]} \sin (\theta_2-\theta_1) \operatorname{sh} \Delta_{[1,2]}}{ [\cos (\theta_2-\theta_1)+ \operatorname{ch} \Delta_{[1,2]}]^2}=\notag\\ &=P(x,y,t)+ i Q(x,y,t), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_{[1,2]}=(k_2-k_1)^2, \qquad \Delta_{[1,2]}= [(k_2-k_1)x+(k_2^2-k_1^2)y + (k_2^3-k_1^3)t ].
\end{equation*}
\notag
$$
Максимум линейного солитона $P(x,y,t)$ определяется условием $\Delta_{[1,2]}=0$, а минимумами солитона $P(x,y,t)$ являются линии
$$
\begin{equation*}
\Delta_{[1,2]}=\pm \frac{1}{k_2-k_1} \operatorname{arch} [\cos(\theta_2-\theta_1)-2 \sec (\theta_2-\theta_1)].
\end{equation*}
\notag
$$
Минимум и максимум солитона $Q(x,y,t)$ определяются уравнением (см. рис. 1) [16]
$$
\begin{equation*}
\Delta_{[1,2]}=\pm \frac{1}{k_2-k_1} \operatorname{arch} \biggl[\frac{1}{2} \cos (\theta_2-\theta_1) +\frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{17+\cos[2(\theta_2-\theta_1)]} \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\theta_1-\theta_2=0$, получим вещественный линейный солитон. Существует также сингулярный линейный солитон при $\theta_1-\theta_2=\pi$. Кроме того, при $\theta_2-\theta_1=\pm \pi/2$ имеем
$$
\begin{equation*}
u(x,y,t)=A_{[1,2]} [ \operatorname{sch}^2 \Delta_{[1,2]} \pm i \operatorname{th} \Delta_{[1,2]} \operatorname{sch} \Delta_{[1,2]}].
\end{equation*}
\notag
$$
Это частный случай потенциала Скарфа-II [19].  Рис. 1.Линейный солитон при $t=2$: $k_1=0.1, k_2=2, \theta_2-\theta_1=3 \pi/4$. Вещественная часть $P(x,y,t)$ (а) и мнимая часть $Q(x,y,t)$ (б), заданные формулой (17). Заметим, что вещественная часть $P(x,y,t)$ имеет отрицательные значения, в отличие от вещественного уравнения КП. 3. $PT$-симметрия и ортогональное грассманово многообразиеВ данном разделе изучается связь между $PT$-симметрией и ортогональным грассманианом. При заданном ортогональном грассманиане можно построить связанное с ним $PT$-симметричное многосолитонное решение. Чтобы получить условие (15), заметим, что тау-функция удовлетворяет достаточному условию В такой ситуации нужно исследовать упругие солитоны уравнения КП-(II) [11] и соответствующие самодуальные тау-функции уравнения КП [15], [20]. Термин “упругие солитоны” означает линейные солитоны, для которых наборы приходящих и уходящих $(|y| \to \infty) $ асимптотических линейных солитонов совпадают. Как упоминалось ранее, существуют три основных типа упругих солитонов: P-тип, O-тип и T-тип. $N$-солитонные решения представляют собой комбинацию этих трех линейных солитонов [20]. Заметим, что X-образные солитоны P-типа и O-типа описывают нерезонансный случай, а солитон прямоугольной формы T-типа – резонансный. Чтобы удовлетворить условию $PT$-симметрии (18), рассмотрим ортогональное грассманово многообразие.Для $N$-солитонных решений рассмотрим $(N \times 2N)$-матрицу. Из формулы (11) следует, что тау-функция является неотрицательной суммой тех же самых комбинаций экспоненциальных фаз с другим набором коэффициентов, удовлетворяющих соотношениям Плюккера. С помощью (11) заметим, что
$$
\begin{equation*}
\tau(-x, -y, -t)= e^{-(\eta_1+\eta_2+\cdots+\eta_N)} \tilde\tau(x,y,t),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\tilde\tau(x,y,t)=\sum_{J \subset [2N],\, \sharp J=N} \operatorname{det} (A_J) K_JE_{i_1} E_{i_2} \cdots E_{i_N},
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $K_J= \prod_{ j_l< j_m} (k_{j_m}-k_{j_l})$. Здесь $\{j_1, j_2, \dots, j_N\}$ и $\{i_1, i_2, \dots, i_N\}$ образуют непересекающиеся разбиения множества $\{1,2, \dots, 2N\}$. Таким образом, можно определить ортогональное грассманово многообразие [21], [15]: при заданной неприводимой $(N \times 2N)$-матрице коэффициентов $A$ ранга $N$ все ее $(N \times N)$-миноры удовлетворяют условиям дуальности где $J =\{ j_1, j_2, \dots, j_N \}$ и $I= \{i_1, i_2, \dots, i_N\}$ образуют непересекающиеся разбиения множества $[2N]=\{1,2,3,\dots, 2N\}$. Можно доказать, что условие (20) эквивалентно условию [22], [15] где $A^\mathrm{T}$ – матрица, транспонированная к $A$, а $D=\operatorname{diag}[-1,1,-1,1, \dots , -1,1]$. Тогда ортогональное грассманово многообразие можно определить соотношением
$$
\begin{equation}
OG(N, 2N)=\{ A \in R^{N\times 2N} \mid A D A^\mathrm{T}=0 \}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Его размерность равна $N(N-1)/2$, и оно описывается следующим образом. Существует погружение симметричной $(N \times N)$-матрицы $M=[m_{i,j}]$, у которой $m_{i,i}=1$, в $A=[a_{i,j}] \in OG(N, 2N)$. Матрица $A$ задана элементами
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} a_{i,2j-1}=a_{i, 2j}=m_{i, j}=1 & \text{при}\, i =j, \\ a_{i,2j-1}=-a_{i, 2j}=(-1)^{i+j+1} m_{i, j} &\text{при}\, i <j, \\ a_{i,2j-1}=-a_{i, 2j}=(-1)^{i+j} m_{i, j} & \text{при}\, i >j, \\ \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
например
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, M=\begin{bmatrix} 1 & m_{12}& m_{13}&m_{14} \\ m_{12} & 1& m_{23}&m_{24} \\ m_{13}& m_{23}& 1&m_{34} \\ m_{14}& m_{24} & m_{34} &1 \end{bmatrix}\quad \to{} \\ A=\begin{bmatrix} 1 & 1& m_{12}& -m_{12} &- m_{13} & m_{13} & m_{14} & - m_{14} \\ -m_{12}& m_{12} &1 &1 & m_{23} & -m_{23} &- m_{24} & m_{24} \\ m_{13}&- m_{13} &- m_{23} & m_{23} &1 & 1 &m_{34} & -m_{34} \\ -m_{14}& m_{14} & m_{24} & -m_{24} &-m_{34} & m_{34} &1&1 \\ \end{bmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда справедлива следующая Теорема 1 [21]. Если ортогональное грассманово многообразие $OG(N, 2N) $ полностью неотрицательно, то оно гомеоморфно $N \choose 2 $-мерному замкнутому шару. Таким образом, если $A$ – элемент полностью неотрицательного ортогонального грассманова многообразия, то соотношение (19) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\tilde\tau(x,y,t)=\sum_{J \subset [2N],\, \sharp J=N} \operatorname{det}(A_I) K_J E_{i_1} E_{i_2} \dots E_{i_N} .
\end{equation}
\tag{22}
$$
Далее, выберем параметр $\mu _j$ в формуле (16), который входит в фазу $\eta_j$, в виде
$$
\begin{equation}
\mu_j= \frac{1}{2} \sum_{r \neq j} \ln |(k_r-k_j) |, \qquad j, r =1,2,\dots, 2N.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\exp\biggl[\,\sum_{m=1}^N \mu_{i_m}\biggr]= \prod_{m=1}^N \prod_{r \neq i_m} |(k_r-k_{i_m}) |^{1/2} =K_J^{-1/2} K_I^{1/2} K_{[2N]}^{1/2}, \qquad I \cup J=[2N],
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $K_{[2N]}= \prod_{i <j} (k_i-k_j) $ – общий множитель. Подставляя (24) в (22) и используя условие дуальности (20), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde\tau(x,y,t) &= \sum_{J \subset [2N]} \operatorname{det}(A_I) K_J^{1/2} K_I^{1/2} K_{[N]}^{1/2}\widehat E_{i_1} \widehat E_{i_2} \cdots \widehat E_{i_N}={} \notag \\ &= \frac{1}{2}K_{[N]}^{1/2} \sum_{J \subset [2N]} \operatorname{det}(A_I) K_J^{1/2} K_I^{1/2} ( \widehat E_{i_1} \widehat E_{i_2} \cdots \widehat E_{i_N} + \widehat E_{j_1} \widehat E_{j_2} \cdots \widehat E_{j_N}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $\widehat E_m= e^{ k_m x+k_m^2 y+ k_m^3 t + i \theta_m}$. Следовательно, тау-функция, заданная выражением (25), удовлетворяет условию $PT$-симметрии (18). Но сингулярные солитоны могут образоваться благодаря функциям $e^{i (\theta_{i_1}+\theta_{i_2}+ \cdots+ \theta_{i_N}) }$ и $e^{i (\theta_{j_1}+\theta_{j_2}+\cdots+ \theta_{j_N})}$. Чтобы получить несингулярные солитоны, нужно взять $\theta_m \geqslant 0$, $m=1, 2, \dots, 2N $ и $\sum_{m=1}^{2N} \theta_m \leqslant \pi/2$. Например, рассмотрим полностью неотрицательное ортогональное грассманово $(2 \times 4)$-многообразие
$$
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & m_{12} & -m_{12} \\ -m_{12} & m_{12} & 1 & 1 \end{bmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где одномерный шар задан условием $0 \leqslant m_{12} \leqslant 1$. Чтобы удовлетворить $PT$-симметрии, выберем параметры согласно (23):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu_1 &= \frac{1}{2} [\ln (k_2-k_1)+\ln (k_3-k_1) +\ln (k_4-k_1)], \\ \mu_2 &= \frac{1}{2} [\ln (k_2-k_1)+\ln (k_3-k_2) +\ln (k_4-k_2)], \\ \mu_3 &= \frac{1}{2} [\ln (k_3-k_1)+\ln (k_3-k_2) +\ln (k_4-k_3)], \\ \mu_4 &= \frac{1}{2} [\ln (k_4-k_1)+\ln (k_4-k_2) +\ln (k_4-k_3)]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (11) и (25), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_A={}&W(f_1,f_2, f_3, f_4) = \sqrt{(k_2-k_1) (k_3-k_1)(k_4-k_1)(k_3-k_2) (k_4-k_2) (k_4-k_3) } \times{} \notag \\ &\times [2m_{12} \sqrt{(k_2-k_1) (k_4-k_3) } (\widehat E_1 \widehat E_2+ \widehat E_3 \widehat E_4) +{} \notag \\ &+(1+m_{12}^2) \sqrt{(k_3-k_1) (k_4-k_2) } (\widehat E_1 \widehat E_3+ \widehat E_2 \widehat E_4)+{} \notag \\ &+ (1-m_{12}^2) \sqrt{(k_4-k_1) (k_3-k_2) } (\widehat E_1 \widehat E_4+ \widehat E_2 \widehat E_3)]\equiv{} \notag \\ \equiv{}& [2m_{12} \sqrt{(k_2-k_1) (k_4-k_3) } (\widehat E_1 \widehat E_2+ \widehat E_3 \widehat E_4) +{} \notag \\ &+ (1+m_{12}^2) \sqrt{(k_3-k_1) (k_4-k_2) } (\widehat E_1 \widehat E_3+ \widehat E_2 \widehat E_4)+{} \notag \\ & + (1-m_{12}^2) \sqrt{(k_4-k_1) (k_3-k_2) } (\widehat E_1 \widehat E_4+ \widehat E_2 \widehat E_3)]\equiv{} \notag \\ \equiv{}& \tau_A^*(-x,-y, -t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Существуют три основных типа солитонов.
Из выражения для $\tau_\mathrm{T}$ видно, что возможно образование сингулярного солитона. Чтобы получить несингулярный солитон, выберем надлежащим образом параметры $0 \leqslant \theta_1 \leqslant \theta_2 \leqslant \theta_3 \leqslant \theta_4 \leqslant \pi/2$ в соответствии с рис. 2.  Рис. 2. Резонансный солитон T-типа при $t=10$: $k_1=-1$, $k_2=0$, $k_3=1$, $k_4=2$, $\theta_1=\pi/4$, $\theta_2=\pi/7$, $\theta_3=\pi/10$, $\theta_4=\pi/3$, $m_{12}=1/2$. Вещественная часть $P(x,y,t)$ (а) и мнимая часть $Q(x,y,t)$ (б), полученные с использованием тау-функции (27). График соответствующего солитона (в). Наконец заметим, что $u(x,y,t)$ – комплексный потенциал, а в (19) рассматривается только вещественный ортогональный грассманиан. Причина этого состоит в том, что если определитель $\operatorname{det}(A_J)$ в (19) комплексный, то функция $\tilde\tau(x,y,t)$ не является $PT$-симметричной. Это следует из (27), если каждый элемент $m_{ij}$ – комплексное число. Кроме того, если $\theta_i=0$, $i=1,2, \dots, 2N$ (вещественная фаза), то $PT$-симметричный солитон $u(x,y,t)$ является вещественным и обладает симметрией $u(-x,-y,-t)=u(x,y,t)$ ввиду наличия ортогонального грассманиана. 4. Заключительные замечанияПостроены $PT$-симметричные решения комплексного уравнения КП с помощью полностью неотрицательного ортогонального грассманова многообразия. При заданной размерности $N \times 2N$ полностью неотрицательного грассманова многообразия существует $N(N-1)/2 +N$ параметров $PT$-симметричных солитонов. $PT$-симметричные солитоны могут быть сингулярными или несингулярными в зависимости от выбора параметров. Заметим, что несингулярный солитон может иметь отрицательную вещественную часть, в отличие от вещественного уравнения КП. Кроме того, мнимая часть может иметь структуру, похожую на структуру вещественной части, но с другой амплитудой. Есть несколько вопросов, которые следует изучить. В работах [17], [18] исследовались регуляризованные вырожденные многосолитонные решения уравнения КдФ с положительной энергией с целью найти $PT$-симметричные солитоны (P-типа). Здесь слово “вырожденный” означает, что некоторые параметры $k_j$ могут совпадать, а параметры $\theta_m$ можно выбрать соответствующим образом так, что образуются несингулярные солитоны. Аналогичную задачу можно рассмотреть для $PT$-симметричных решений комплексного уравнения КП. Кроме того, $PT$-симметричные решения можно использовать в качестве потенциалов гамильтонова оператора (2). Тогда для такого потенциала существует $N(N-1)/2 +N+1$ параметров. Известно, что $PT$-симметрия оператора $H$ нарушена, если ни одна из собственных функций гамильтониана $H$ не является собственной функцией $PT$-оператора. Таким образом, нарушение $PT$-симметрии может наблюдаться для $PT$-симметричных решений комплексного уравнения КП. Наконец, тау-функцию теории уравнения КП можно использовать для построения солитонных решений модифицированного уравнения КП [14], [15]. Тогда потенциал Вадати для $PT$-симметрии в модифицированном уравнении КдФ [9], [23] можно обобщить на модифицированное уравнение КП с помощью $PT$-симметричных солитонов (25). Этот аспект требует дальнейших исследований. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Cha24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|