| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Многомерная задача Зарембы для уравнения Ю. А. Алхутовa, Г. А. Чечкинbcd a Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых, Владимир, Россия b Институт математики и математического моделирования Министерства образования и науки Республики Казахстан, Алматы, Казахстан c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия d Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792401001X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ настоящей работе рассматривается вопрос о повышенной суммируемости градиента решений задачи Зарембы для неоднородного уравнения $p(\,\cdot\,)$-Лапласа с переменным измеримым показателем $p$ таким, что
$$
\begin{equation}
1<\alpha\leqslant p(x)\leqslant \beta<\infty \quad\text{для почти всех}\ x\in D.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Задача рассматривается в ограниченной строго липшицевой области $D\subset \mathbb{R}^n$, $n\geqslant 2$. Для ее постановки введем класс функций
$$
\begin{equation*}
W(D)=\{v\in W^1_\alpha(D), |\nabla v|^{p(\cdot)}\in L_1(D)\},
\end{equation*}
\notag
$$
в котором можно определить норму Соболева–Орлича
$$
\begin{equation}
\|v\|_{W^1_{p(\cdot)}(D)}=\|v\|_{L_\alpha(D)}+\|\nabla v\|_{L_{p(\cdot)}(D)},\quad \|\cdot\|_{L_{p(\cdot)(D)}}=\inf_{t>0}\biggl\{\int_{D}|t^{-1} \cdot |^{p(x)}\, dx\leqslant 1\biggr\},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\|\cdot\|_{L_{p(\cdot)(D)}}$ – норма Люксембурга. Если ввести норму (1.2), этот класс функций будет рефлексивным банаховым пространством, которое будем обозначать через $W^1_{p(\cdot)}(D)$. Из определения нормы Люксембурга непосредственно следуют оценки (см. (1.10) из главы 1 книги [1])
$$
\begin{equation}
\|\nabla u\|_{L_{p(\cdot)(D)}}^\alpha-1\leqslant\int_D|\nabla u|^{p(x)}\,dx\leqslant \|\nabla u\|_{L_{p(\cdot)(D)}}^\beta+1, \qquad u\in W^1_{p(\cdot)}(D).
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Обозначим через $W^1_{p(\cdot)}(D,F)$ пополнение по норме (1.2) множества функций из $W^1_{p(\cdot)}(D)$ с носителем вне некоторой окрестности замкнутого множества $F\subset \partial D$. Для произвольного измеримого показателя $p(\,\cdot\,)$ множество гладких функций, вообще говоря, не плотно в пространстве $W^1_{p(\cdot)}(D)$ (см. [2]). Поэтому можно определить пространство функций $H^1_{p(\cdot)}(D)$, являющееся замыканием множества гладких функций по норме (1.2). Аналогично можно ввести пространство функций $H^1_{p(\cdot)}(D,F)$ как пополнение по норме (1.2) гладких функций, равных нулю в окрестности $F$. Из результатов работы Жикова [2] следует, что одного только предположения (1.1) недостаточно для плотности гладких функций в классе $W^1_{p(\cdot)}(D)$. Плотность гладких функций в данном классе обеспечивается выполнением известного логарифмического условия, найденного Жиковым [3]: существует константа $k_0$ такая, что
$$
\begin{equation}
|p(x)- p(y)| \leqslant \frac{k_0}{|\ln |x-y||}\quad \text{для всех}\ x, y\in D, \ |x-y|<\frac12.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Полагая $G=\partial D\setminus F$, рассмотрим задачу Зарембы
$$
\begin{equation}
\Delta_{p(\cdot)} u:=\operatorname{div} (|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u)= l\quad \text{в } D,\qquad u=0\quad \text{на}\ F,\qquad \frac{\partial u}{\partial n}=0\quad \text{на}\ G,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\partial u/\partial n$ означает внешнюю нормальную производную функции $u$, а $l$ является линейным функционалом в пространстве, сопряженном к $W^1_{p(\cdot)}(D,F)$ либо к $H^1_{p(\cdot)}(D,F)$, который описан ниже. Для такой задачи можно определить $W$-решения и $H$-решения. Под $W$-решением задачи (1.5) понимается функция $u\in W^1_{p(\cdot)}(D,F)$, для которой выполнено интегральное тождество
$$
\begin{equation}
\int_D |\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=-l(\varphi)
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
для всех пробных функций $\varphi\in W^1_{p(\cdot)}(D,F)$. Аналогично определяется $H$-решение, для которого тождество (1.6) имеет место на пробных функциях $\varphi\in H^1_{p(\cdot)}(D,F)$. Далее нам потребуется соболевское пространство функций $W^1_\alpha(D,F)$, $\alpha>1$ – постоянная из условия (1.1), а $F\subset\partial D$ – замкнутое множество, являющееся носителем однородного краевого условия Дирихле в задаче Зарембы (1.5). Данное пространство определяется как пополнение по норме $W^1_\alpha(D)$ множества гладких в $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt $ функций, равных нулю вблизи $F$. Нетрудно видеть, что $W^1_{p(\cdot)}(D,F)\subset W^1_\alpha(D,F)$ при выполнении логарифмического условия (1.4). Для функций $v\in W^1_\alpha(D,F)$ предполагается выполнение неравенства
$$
\begin{equation}
\|v\|_{L_\alpha(D)}\leqslant C \|\nabla v\|_{L_\alpha(D)}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
с постоянной $C$, не зависящей от $v$. Из этого неравенства вытекает (см., например, [4], лемма 7.2) соотношение
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{L_\alpha(D)}\leqslant C \|\nabla v\|_{L_{p(\cdot)}(D)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поэтому в пространстве $W^1_{p(\cdot)}(D,F)$ ($H^1_{p(\cdot)}(D,F)$) можно ввести норму
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{W^1_{p(\cdot)}(D,F)}=\|\nabla v\|_{L_{p(\cdot)}(D)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда каждому элементу из пространства $W^1_{p(\cdot)}(D,F)$ ($H^1_{p(\cdot)}(D,F)$) можно поставить во взаимно однозначное изометрическое соответствие его градиент, т. е. элемент из $(L_{p(\cdot)}(D))^n$. Используя теорему Хана–Банаха, как, например, в рассуждениях утверждения 12.3.2 из монографии [5] о виде функционала в сопряженных пространствах, нетрудно показать, что функционал $l$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
l(\varphi)= -\sum_{i=1}^n\int_D f_i\varphi_{x_i}\,dx,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где $f_i\in L_{p^\prime(\cdot)}(D)$, $p^\prime(x)=p(x)/(p(x)-1)$. Поэтому в силу (1.6) для каждого конкретного функционала решение задачи (1.5) понимается в смысле интегрального соотношения
$$
\begin{equation}
\int_D |\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dx=\int_D f\cdot\nabla\varphi\,dx
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
для всех пробных функций $\varphi\in W^1_{p(\cdot)}(D,F)$ ($H^1_{p(\cdot)}(D,F)$), в котором компоненты вектор-функции $f=(f_1,\ldots, f_n)$ являются функциями из $L_{p^\prime(\cdot)}(D)$. Ниже будем говорить о $V$-решениях задачи (1.5), понимая под этим либо $W$-решение, либо $H$-решение. Введем вектор-функцию $A(x,\nabla u)=|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u$ и заметим, что она удовлетворяет условию строгой монотонности
$$
\begin{equation}
(A(x,\xi)-A(x,\zeta))\cdot (\xi-\zeta)>0\quad \text{при}\quad \xi\ne\zeta.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
В рассматриваемом случае условия коэрцитивности и ограниченности выражаются через переменный показатель и принимают следующий вид:
$$
\begin{equation}
A(x,\xi)\cdot \xi=|\xi|^{p(x)} - \text{условие коэрцитивности},
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
$$
\begin{equation}
|A(x,\xi)|^{p^\prime(x)}=|\xi|^{p(x)} - \text{условие ограниченности, где } p' (x)= \frac{p(x)}{p(x) -1}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Такие условия Жиков (см. раздел 2.2 из главы 2 книги [1]) назвал $p(x)$-монотонностью. Приведем схему доказательства существования и единственности $V$-решения задачи Зарембы (1.5), пользуясь методом монотонных операторов и основываясь на рассуждениях теоремы 2.1 из главы 2 книги [1]. Пусть $V\subset W^1_{p(\cdot)}(D,F)$ (или $V\subset H^1_{p(\cdot)}(D,F)$) – замкнутое подпространство. По данному элементу $u\in V$ определим элемент $\mathcal{A}u$ из сопряженного пространства $V^\star$ равенством
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}u(\varphi)=\int_D A(x,\nabla u)\cdot\nabla\varphi\,dx\qquad\forall\varphi\in V.
\end{equation*}
\notag
$$
Это возможно, поскольку в силу условия ограниченности (1.12) и неравенства Юнга
$$
\begin{equation}
|A(x,\nabla u)\cdot\nabla\varphi|\leqslant |\nabla u|^{p(x)}+|\nabla\varphi|^{p(x)}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Отсюда следует, что оператор $\mathcal{A}\!: V\to V^\star$ ограничен. Осталось еще проверить, что оператор $\mathcal{A}$ монотонен, коэрцитивен и семинепрерывен. Монотонность вытекает из (1.10), а коэрцитивность следует из (1.11) и (1.3), так как
$$
\begin{equation*}
\mathcal{A}u(u)=\int_D|\nabla u|^{p(x)}\,dx\geqslant \|\nabla u\|_{L_{p(\cdot)}(D)}^\alpha-1.
\end{equation*}
\notag
$$
Семинепрерывность означает непрерывность скалярной функции
$$
\begin{equation*}
\lambda(t)=\mathcal{A}(u+tv)(\varphi)=\int_DA(x,\nabla u+t\nabla v)\cdot\nabla\varphi\,dx\qquad\forall u,v,\varphi\in V
\end{equation*}
\notag
$$
в точке $t=0$. Для доказательства заметим, что в силу (1.13)
$$
\begin{equation*}
|A(x,\nabla u+t\nabla v)\cdot\nabla\varphi|\leqslant |\nabla u+t\nabla v|^{p(x)}+|\nabla\varphi|^{p(x)},
\end{equation*}
\notag
$$
и при $|t|\leqslant 1$ имеем
$$
\begin{equation*}
|A(x,\nabla u+t\nabla v)\cdot\nabla\varphi|\leqslant C(p) (|\nabla u|^{p(x)}+|\nabla v|^{p(x)}+|\nabla\varphi|^{p(x)}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь требуемое свойство вытекает из каратеодориевости функции $A$ и теоремы Лебега о переходе к пределу. Существование и единственность $V$-решения задачи Зарембы (1.5) теперь следуют из классической теоремы для монотонных операторов (теорема 2.1 в [6], см. также [7]). Ниже мы будем пользоваться энергетической оценкой $V$-решения $u$ рассматриваемой задачи
$$
\begin{equation}
\int_D|\nabla u|^{p(x)}\, dx\leqslant C(\alpha,\beta) \int_D|f|^{p^\prime(x)}\,dx
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
с постоянными $\alpha$ и $\beta$ из условия (1.1). Данная оценка следует из интегрального тождества (1.9) при выборе пробной функции $\varphi=u$ и применении неравенства Юнга. Всюду далее предполагается выполненным логарифмическое условие (1.4). В этом случае $W^1_{p(\cdot)}(D,F)=H^1_{p(\cdot)}(D,F)$ и под решением задачи Зарембы (1.5) понимается функция $u\in W^1_{p(\cdot)}(D,F)$. Нас интересует вопрос о повышенной суммируемости градиента решений задачи (1.5) в предположении, что $|f|^{p^\prime}\in L_{1+\delta_0}(D)$, где $\delta_0>0$. Повышенная суммируемость градиента решений линейных дивергентных равномерно эллиптических уравнений с измеримыми коэффициентами на плоскости вытекает из результатов работы [8]. Позже в многомерном случае для уравнений такого же вида повышенная суммируемость градиента решения задачи Дирихле в области с достаточно регулярной границей была установлена в [9]. Аналогичные оценки Боярского–Мейерса решений задачи Зарембы в ограниченной липшицевой области для линейных эллиптических уравнений второго порядка известны из работы [10], для уравнения $p(\,\cdot\,)$-Лапласа с фиксированным $p(\,\cdot\,)$ – из [4] (в частном случае) и из [11]. Оценка Боярского–Мейерса решения задачи Дирихле в области с липшицевой границей для уравнения $p(\,\cdot\,)$-Лапласа с переменным показателем $p(\,\cdot\,)$, обладающим логарифмическим модулем непрерывности, впервые получена в [14]. Позже в работах [12] и [13] этот результат был распространен на системы эллиптических уравнений с переменным показателем суммируемости. Для уравнений с переменным показателем суммируемости стимулом получения оценок Мейерса явилась задача о термисторе, дающая совместное описание потенциала электрического поля и температуры системой дифференциальных уравнений (см. [14]–[16]). Такого же рода системы с переменным показателем суммируемости возникают и в гидромеханике квазиньютоновых жидкостей [17]. Для формулировки результатов нам понадобится условие на структуру множества $F$, являющегося носителем однородных данных Дирихле. Определим для компакта $K\subset \mathbb{R}^n$ емкость $C_q(K)$, которая при $1<q<n$ определяется равенством
$$
\begin{equation}
C_q(K)=\inf \biggl\{\int_{\mathbb{R}^n}|\nabla\varphi|^q\,dx\colon \varphi\in C^\infty_0 (\mathbb{R}^n), \ \varphi\geqslant 1\ \text{на}\ K\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Пусть $B^{x_0}_r$ означает открытый шар радиуса $r$ с центром в точке $x_0$, а $\mathrm{mes}_{n-1}(E)$ – $(n-1)$-мерную меру Хаусдорфа множества $E\subset\partial D$. Сформулируем условия на множество $F$. В общем случае предполагается, что для произвольной точки $x_0\in F$ при $r\leqslant r_0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
C_{q_0}(F\cap \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B ^{x_0}_r)\geqslant c_0 r^{n-q_0}, \quad \text{где}\ q_0=\frac{\alpha^\prime+1}{2},\ \alpha^{\prime}=\min{(\alpha,n(n-1)^{-1})},
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
с константой $\alpha>1$ из (1.1) с положительной постоянной $c_0$, не зависящей от $x_0$ и $r$. Отметим, что условие (1.16) вытекает из следующего универсального условия: для произвольной точки $x_0\in F$ при $r\leqslant r_0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\operatorname*{mes}_{n-1}(F\cap \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B ^{x_0}_r)\geqslant c_0r^{n-1}
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
с положительной постоянной $c_0$, не зависящей от $x_0$ и $r$. При выполнении (1.17) условие (1.16) следует из предложения 4 главы 13 монографии [18]. Из (1.16) условие (1.17), вообще говоря, не следует. В работе [10] при $n=2$ приведен пример канторовского множества $F$, когда $\mathrm{mes}_{n-1}(F)=0$, а условие (1.16) выполнено. Сформулируем теперь основные результаты. Теорема 1. Если выполнены условия (1.1), (1.4), (1.16) и $|f|^{p^\prime}\in L_{1+\delta_0}(D)$, где $\delta_0>0$, то существует положительная постоянная $\delta<\delta_0$, зависящая только от $\delta_0$, $\alpha$ и $n$, такая, что для решения задачи (1.5) справедлива оценка Предыдущая теорема допускает следующее обобщение на случай, когда т. е. когда $\alpha>n$.Теорема 2. Если выполнены условия (1.1), (1.4), (1.19), множество $F$ не пусто и $|f|^{p^\prime}\in L_{1+\delta_0}(D)$, где $\delta_0>0$, то существует положительная постоянная $\delta<\delta_0$, зависящая только от $\delta_0$, $\alpha$, $\nu$ и $n$, такая, что для решения задачи (1.5) справедлива оценка (1.18), в которой константа $C$ зависит только от $\alpha$, $\beta$, $k_0$, $\delta_0$, $\nu$, области $D$, $n$ и $\|f^{p^\prime(\cdot)}\|_{L_1(D)}$. Замечание 1. Однозначная разрешимость задачи (1.5) связана с выполнением неравенства (1.7), которое, как будет показано ниже, имеет место при выполнении каждого из условий (1.16) и (1.19). Если предположить, что $p(x)\geqslant n+\nu$ на замкнутом множестве $F\subset\partial D$, являющемся носителем однородных данных Дирихле задачи (1.5), то теорема 2 также будет справедлива в предположении, что решение рассматриваемой задачи существует. В дальнейшем при использовании условия (1.16) нам потребуется понятие емкости $C_q(K,\mathcal{Q}_{2d})$ компакта $K\subset\overline {\mathcal{Q}}_d$, где $\mathcal{Q}_d$ означает открытый куб с длиной стороны $d$ и ребрами, параллельными координатным осям, относительно концентрического с $\mathcal{Q}_d$ куба $\mathcal{Q}_{2d}$. Данная емкость определяется как
$$
\begin{equation}
C_q(K,\mathcal{Q}_{2d})=\inf \biggl\{\int_{\mathcal{Q}_{2d}}|\nabla\varphi|^q\,dx\colon \varphi\in C^\infty_0 (\mathcal{Q}_{2d}), \varphi\geqslant 1\ \text{на}\ K\biggr\}.
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
В следующем утверждении используем показатель $q_0$ из (1.16) и замкнутое множество $K\subset \overline {\mathcal{Q}_d}$. Доказательство. В силу определения емкости $C_q(K,\mathcal{Q}_{2R})$ и неравенства Гёльдера имеем Перейдем к доказательству неравенства (1.7). Из теоремы в разделе 14.1.2 и комментария к результатам главы 14 монографии [18], который приводится во введении к данной главе монографии, следует, что для ограниченных липшицевых областей $D$ с диаметром $d$ функции $v\in W^1_\alpha(D,F)$ при $1<\alpha\leqslant n$ удовлетворяют неравенству
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{L_\alpha(D)}\leqslant \frac{C(n,D)d^{n/\alpha}}{C_{\alpha}^{1/\alpha}(F,\mathcal{Q}_{2d})}\|\nabla v\|_{L_{\alpha}(D)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{Q}_{2d}$ – куб, концентрический с кубом $\mathcal{Q}_{d}$, который содержит область $D$. Поскольку $q_0<\alpha$, где $q_0$ – константа из условия (1.16), то из оценки (1.21) и условия (1.16) вытекает, что $C_{\alpha}(F,\mathcal{Q}_{2d})>0$, и из последнего неравенства приходим к (1.7), откуда следует однозначная разрешимость задачи Зарембы (1.5). Если $\alpha>n$, то для доказательства неравенства (1.7) нужно воспользоваться понятием внутреннего диаметра области $D$ (см. раздел 14.2.2 из [18]). В этом случае, если $F\ne {}$Ø, неравенство (1.7) вытекает из теоремы 1 раздела 14.2.3 монографии [18]. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 приводятся вспомогательные рассуждения и утверждения. Доказательство теорем 1 и 2 содержится в разделе 3. 2. Предварительные рассуждения и вспомогательные утвержденияДля доказательства основных утверждений нам потребуется определение строго липшицевой области $D$. Будем называть область $D$ строго липшицевой, если для каждой точки $x_0\in\partial D$ существует открытый куб $Q$ с центром в $x_0$, ребра которого параллельны координатным осям, длина ребра не зависит от $x_0$ и в некоторой декартовой системе координат с началом в $x_0$ множество $Q\cap\partial D$ есть график липшицевой функции $x_n=g(x_1, \ldots, x_{n-1})$ с постоянной Липшица, не зависящей от $x_0$. Длину ребра таких кубов будем считать равной $2R_0$, а постоянную Липшица соотвествующих функций $g$ обозначим через $L$. При этом для определенности предполагаем, что множество $Q\cap D$ расположено выше графика функции $g$. 2.1. Предварительные рассужденияСначала оценка повышенной суммируемости градиента решения задачи (1.5) устанавливается в окрестности границы области $D$. Здесь используется техника локального распрямления границы $\partial D$. Полагая $Q_{R_0}=\{x\colon |x_i|<R_0, i=1,\ldots,n\}$, для произвольной граничной точки $x_0\in\partial D$ рассмотрим локальную декартову систему координат с началом в $x_0$ такую, что часть границы $\partial D$, попадающая в куб $Q_{R_0}$, задается уравнением $x_n=g(x^\prime)$, где $x^\prime=(x_1,\ldots,x_{n-1})$, а $g$ – липшицева функция с показателем Липшица $L$. При этом предполагается, что область $D_{R_0}=Q_{R_0}\cap D$ расположена на множестве тех точек, где $x_n>g(x^\prime)$. Перейдем в $Q_{R_0}$ к новой системе координат, совершив невырожденное преобразование переменных Ясно, что часть границы $Q_{R_0}\cap\partial D$ преобразуется в участок гиперплоскости
$$
\begin{equation*}
P_{R_0}=\{y\colon |y_i|<R_0, i=1,\ldots,n-1, y_n=0\},
\end{equation*}
\notag
$$
и нетрудно показать, что образ $Q_{R_0}$ содержит куб
$$
\begin{equation}
K_{R_0}=\{y\colon |y_i|<(1+\sqrt{n-1} L)^{-1}R_0, i=1,\ldots,n\}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
В полукубе $K^+_{R_0}=K_{R_0}\cap \{y\colon y_n>0\}$, содержащемся в образе области $D\cap Q_{R_0}$, задача (1.5), за решением которой сохраним исходное обозначение, принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L_1 u:=\operatorname{div} (|\nabla_y u-u_{y_n}\nabla_y g|^{p_1(y)-2}a(y)\nabla_y u)=\widetilde l \quad \text{в } K^+_{R_0}, \\ u=0\quad \text{на } \widetilde F_{R_0},\qquad \frac{\partial u}{\partial \widetilde\nu}=0\quad \text{на } \widetilde G_{R_0}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Здесь симметричная матрица $a(y)=\{a_{ij}(y)\}$ равномерно положительно определена, т. е.
$$
\begin{equation}
\gamma^{-1}|\xi|^2\leqslant\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(y)\xi_i\xi_j\leqslant\gamma |\xi|^2\quad \text{для почти всех}\ y\in K^+_{R_0}\ \text{и для всех } \xi\in\mathbb{R}^n
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
с положительной постоянной $\gamma$, зависящей только от $L$. Вектор-функция $f$, участвующая в записи функционала (1.8), преобразуется в вектор-функцию $\widetilde f$, компоненты которой определяются равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde f(y)=(\widetilde f_1(y),\ldots, \widetilde f_n(y)),\quad \text{где}\ \widetilde f_i(y)= f_i(y^\prime,y_n+g(y^\prime))\ \text{при } i=1,\ldots,n-1, \\ \widetilde f_n(y)=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\partial g(y^\prime)}{\partial y_i} f_i(y^\prime,y_n+g(y^\prime))+f_n(y^\prime,y_n+g(y^\prime)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Множества $\widetilde F_{R_0}$ и $\widetilde G_{R_0}$ таковы, что $\widetilde F_{R_0}=\widetilde F\cap P_{R_0}\cap K_{R_0}$ и $\widetilde G_{R_0}=\widetilde G\cap P_{R_0}\cap K_{R_0}$, где $\widetilde F$, $\widetilde G$ – образы множеств $F\cap Q_{R_0}$ и $G\cap Q_{R_0}$ соответственно, а $\partial u/\partial \widetilde\nu$ означает внешнюю конормальную производную функции $u$, порожденную матрицей $a$. Продолжим функцию $u$, удовлетворяющую (2.3), четно относительно гиперплоскости $\{y\colon y_n=0\}$. Продолженная функция, за которой вновь сохраним предыдущее обозначение, удовлетворяет соотношению
$$
\begin{equation}
L_2 u=\operatorname{div}(|\widetilde{\nabla}u|^{\widetilde p(y)-2}b(y)\nabla u)=l_h\quad \text{в } K_{R_0}\setminus \widetilde F_{R_0},\qquad u=0\quad \text{на } \widetilde F_{R_0}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Здесь $\widetilde p$ является четным продолжением функции $p_1$ из (2.4) относительно гиперплоскости $y_n$, т. е.
$$
\begin{equation}
\widetilde p(y)=p(y^\prime,y_n+g(y^\prime))\quad {при}\ y_n\geqslant 0,\qquad \widetilde p(y)=p(y^\prime,-y_n+g(y^\prime))\quad {при}\ y_n<0.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Величина $\widetilde{\nabla}u$ сопадает с $\nabla u-u_{y_n}\nabla g$ при $y_n>0$, а при $y_n<0$ совпадает с таким же выражением с учетом того, что частная производная $u_{y_n}$ продолжается нечетно. Положительно определенная матрица $b(y)=\{b_{ij}(y)\}$ такова, что ее элементы $b_{jn}(y)=b_{jn}(y)$ при $j\ne n$ являются нечетными продолжениями элементов матрицы $a_{jn}(y)$ из (2.5), а все остальные элементы $b_{ij}(y)$ – четным продолжением $a_{ij}(y)$. Поэтому в силу (2.5)
$$
\begin{equation}
\gamma^{-1}|\xi|^2\leqslant\sum_{i,j=1}^nb_{ij}(y)\xi_i\xi_j\leqslant\gamma |\xi|^2\quad \text{для почти всех}\ y\in K^+_{R_0}\ \text{и для всех}\ \xi\in\mathbb{R}^n
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
с постоянной $\gamma=\gamma(L)$. Компоненты вектор-функции $h=( h_1,\ldots,h_n)$, участвующей в представлении функционала $l_h$ из (2.7), определяются равенствами: ее компоненты $h_i(y)$ при $i=1,\ldots,n-1$ – четные продолжения компонент $\widetilde f_i(y)$ из (2.3), а $h_n(y)$ – нечетное продолжение $\widetilde f_n(y)$. Отметим, что
$$
\begin{equation}
C_1(L)|\nabla u|\leqslant |\widetilde{\nabla}u|\leqslant C_2(L)|\nabla u|,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $L$ – постоянная Липшица функции $g$. В силу сделанных преобразований функция $u$ из (2.7) удовлетворяет интегральному тождеству (см. (1.9))
$$
\begin{equation}
\int_{K_{R_0}} |\widetilde{\nabla} u|^{\widetilde p(y)-2}b\nabla u\cdot\nabla\varphi\,dy=\int_ {K_{R_0}}h\cdot\nabla\varphi\,dy
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
на всех пробных функциях $\varphi\in W^1_{\widetilde p(\cdot)}(K_{R_0})$ с нулевым следом на $\partial K_{R_0}$ и $F_{R_0}$. 2.2. Вспомогательные утвержденияДалее нам понадобится несколько вспомогательных утверждений. Сначала заметим, что при выполнении логарифмического условия (1.4) в силу липшицевости функции $g$ и определения показателя $\widetilde p$ из (2.8)
$$
\begin{equation}
|\widetilde p(x)- \widetilde p(y)| \leqslant \frac{c(k_0,L)}{|\ln |x-y|\,|}\quad \text{для всех}\ x,y\in K_{R_0} , \ |x-y|<\frac12,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
где $k_0$ – константа из (1.4). Пусть $Q^{y_0}_R$ означает открытый куб с центром в точке $y_0$ со сторонами длиной $2R$, параллельными координатным осям, такой, что $Q^{y_0}_{2R}\subset K_{R_0}$, и положим
$$
\begin{equation}
\lambda =\sup_{Q^{y_0}_{2R}}{\widetilde p},\qquad s=\inf_{Q^{y_0}_{2R}}{\widetilde p},\qquad \omega(R)=\sup_{x,y\in Q^{y_0}_{2R}}|\widetilde p(x)-\widetilde p(y)|,\quad R\leqslant \frac{1}{4\,\sqrt{n}},
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
$$
\begin{equation}
q_1 =\frac{\lambda +1}{2},\quad \text{если}\ \lambda\geqslant\alpha,\qquad q_2=\frac{n\lambda}{\lambda+n},\quad \text{если}\ \lambda> n(n-1)^{-1},
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $\alpha$ – постоянная из условия (1.1). Пусть
$$
\begin{equation}
\widetilde\theta=\min{(\widetilde\theta_1,\widetilde\theta_2)},\quad \text{где}\ \widetilde\theta_1=2\alpha(\alpha+1)^{-1},\ \widetilde\theta_2=n(n-1)^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Ясно, что $\widetilde\theta\in (1,2)$. Ниже куб $K_{R_0}$ имеет тот же смысл, что и в (2.2). Предложение 2. Для любого куба $Q^{y_0}_R\subset K_{R_0}$ справедлива оценка Доказательство. Действительно, так как (см. (2.13)) Приведем используемые нами интегральные неравенства для функций из пространства Соболева–Орлича $W^1_{\widetilde p(\cdot)}(Q^{y_0}_{2R},K)$, где $K\subset \overline Q^{y_0}_{2R}$ – замкнутое множество. Данное пространство определяется пополнением по норме (1.2) множества функций из $W^1_{\widetilde p(\cdot)}(Q^{y_0}_{2R})$ с носителем вне окрестности $K$. Далее будем пользоваться оценкой (2.16), согласно которой $s/\theta_1<p(x)$ при $x\in Q^{y_0}_{2R}$. Отсюда в силу логарифмического условия (1.4) следует, что $W^1_{\widetilde p(\cdot)}(Q^{y_0}_{2R},K)\subset W^1_{s/\theta_1}(Q^{y_0}_{2R},K)$, где $W^1_{s/\theta_1}(Q^{y_0}_{2R},K)$ – классическое соболевское пространство функций, являющееся замыканием множества бесконечно дифференцируемых в $Q^{y_0}_{2R}$ функций, равных нулю вблизи $K$, по норме $W^1_{s/\theta_1}(Q^{y_0}_{2R})$. В формулировке и доказательстве следующего утверждения участвуют понятия емкостей компакта $K$, введенные в (1.15) и (1.20). В ходе дальнейших рассуждений будем пользоваться следующим неравенством Мазьи (см. раздел 14.1.2 в [18]): если $u\in W^1_{\widetilde q}(Q^{y_0}_{2R},K)$, где $K\subset \overline Q^{y_0}_{2R}$ – замкнутое множество и $\widetilde q<n$, то при $q\in [1,\widetilde q n(n-\widetilde q)^{-1}]$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\|u\|_{L_q(Q^{y_0}_{2R})}\leqslant \frac{C(n)R^{n/q}}{C_{\widetilde q}^{1/\widetilde q}(K,Q^{y_0}_{2R})}\|\nabla u\|_{L_{\widetilde q}(Q^{y_0}_{2R})}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Положим
$$
\begin{equation*}
\,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_R}g\, dy=\frac{1}{|Q^{y_0}_R|}\int_{Q^{y_0}_R}g\,dy,
\end{equation*}
\notag
$$
$q_0$ – константа из (1.16), постоянные $q_1$ и $q_2$ имеют тот же смысл, что и в (2.14), константы $\lambda$ и $s$ определены в (2.13), $\theta_1$ – в (2.17), а величина $R_1$ берется из (2.16). Предложение 3. Для любой функции $u\in W^1_{\widetilde p(\cdot)}(Q^{y_0}_{2R},K)$ при $R\leqslant R_1$ справедливо неравенство Доказательство. Если $q=\lambda\in [\alpha,n(n-1)^{-1}]$, то $\lambda<nq_0(n-q_0)^{-1}$ и в силу (2.20) Поскольку $q_0\leqslant q_1=(\lambda+1)/2$, то согласно неравенству Гёльдера найдем Поскольку $q_0<n$, то из определения емкостей (1.15) и (1.20) вытекает, что $C_{q_0}(K,Q^{y_0}_{2R})\geqslant C_{q_0}(K)$. Поэтому имеем
$$
\begin{equation}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant \frac{C(n)R^{n/q_0}}{C_{q_0}^{1/q_0}(K)}\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{q_1}\,dy\biggr)^{1/q_1}.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Рассмотрим теперь в (2.20) случай, когда $q=\lambda>n(n-1)^{-1}$ и $\widetilde q=q_2=\lambda n(\lambda+n)^{-1}\leqslant q_0$. Так как $\lambda\leqslant nq_0(n-q_0)^{-1}$, исходя из (2.20) сначала придем к (2.22), а затем – к (2.23). Если же $q_2>q_0$, то в силу (2.20) получим
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant \frac{C(n)R^{n/q_2}}{C_{q_2}^{1/q_2}(K,Q^{y_0}_{2R})}\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{q_2}\,dy\biggr)^{1/q_2},
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу оценки (1.21), в которой $q=q_2$, имеем
$$
\begin{equation}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant \frac{C(n)R^{n/q_0}}{C_{q_0}^{1/q_0}(K)}\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{q_2}\,dy\biggr)^{1/q_2}.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Нетрудно показать, что
$$
\begin{equation}
q_2<q_1=\frac{\lambda+1}{2} \quad \text{при}\ \lambda>n,
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
и согласно неравенству Гёльдера из (2.24) придем к (2.23). Далее, заметим (см. (2.15)), что
$$
\begin{equation}
q_1=\frac{\lambda+1}{2}\leqslant \frac{\lambda}{\widetilde \theta_1}.
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Действительно, последнее соотношение эквивалентно неравенству $\lambda\geqslant \widetilde\theta_1(2-\widetilde\theta_1)^{-1}$ и достаточно положить $\widetilde\theta_1(2-\widetilde\theta_1)^{-1}=\alpha$, что влечет (2.26). Поэтому из (2.23) согласно неравенству Гёльдера имеем
$$
\begin{equation}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant \frac{C(n)R^{n/q_0}}{C_{q_0}^{1/q_0}(K)}\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\lambda/\widetilde \theta_1}\,dy\biggr)^{\widetilde \theta_1/\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
При рассмотрении оставшегося случая, когда $\lambda\in (n(n-1)^{-1},n]$, $n>2$ и $q_2>q_0$, будем исходить из оценки (2.24). Ясно, что $q_2=\lambda n(\lambda+n)^{-1}\leqslant \lambda/\widetilde\theta_2$ (см. (2.15)) и согласно неравенству Гёльдера
$$
\begin{equation}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant \frac{C(n)R^{n/q_0}}{C_{q_0}^{1/q_0}(K)}\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\lambda/\widetilde \theta_2}\,dy\biggr)^{\widetilde \theta_2/\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Осталось заметить, что из (2.27), (2.28) и неравенства Гёльдера вытекает оценка
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant \frac{C(n)R^{n/q_0}}{C_{q_0}^{1/q_0}(K)}\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\lambda/\widetilde \theta}\,dy\biggr)^{\widetilde \theta/\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из соотношения (2.16) с учетом неравенства Гёльдера придем к (2.21). Предложение доказано. Нам потребуется еще одна интегральная оценка, использующая классическое неравенство Пуанкаре–Соболева. Предварительно положим
$$
\begin{equation}
\mu= \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{3R/2}} u\, dx
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
и будем использовать те же обозначения, что и в предложении 3. Следующее утверждение формулируется именно в том виде, который используется при доказательстве основных утверждений. Предложение 4. Для любой функции $u\in W^1_{\widetilde p(\cdot)}(Q^{y_0}_{2R})$ при $R\leqslant R_1$ справедливо неравенство Доказательство. Если $\lambda\in (\alpha,n(n-1)^{-1}]$, то в силу неравенства Пуанкаре–Соболева имеем Если $\lambda>n$, то в силу (2.25) вновь согласно неравенству Пуанкаре–Соболева придем к (2.31). Поэтому согласно (2.25) из неравенства Гёльдера получаем
$$
\begin{equation}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{3R/2}}|u-\mu|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant C(n)R\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\lambda/\widetilde \theta_1}\,dy\biggr)^{\widetilde\theta_1/\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
Осталось рассмотреть случай, когда $n>2$ и $\lambda\in (n(n-1)^{-1},n]$. Тогда (см. обозначение (2.14)) в силу неравенства Пуанкаре–Соболева имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{3R/2}}|u-\mu|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant C(n)R\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{3R/2}}|\nabla u|^{q_2}\,dy\biggr)^{1/q_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку, как отмечалось выше (см. (2.14)), $q_2\leqslant \lambda/\widetilde\theta_2$, то в силу неравенства Гёльдера получаем
$$
\begin{equation}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{3R/2}}|u-\mu|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant C(n)R\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\lambda/\widetilde \theta_2}\,dy\biggr)^{\widetilde\theta_2/\lambda}.
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
Исходя из (2.32) и (2.33) вновь согласно неравенству Гёльдера придем к оценке (см. (2.15))
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{3R/2}}|u-\mu|^{\lambda}\,dy\biggr)^{1/\lambda}\leqslant C(n)R\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\lambda/\widetilde \theta}\,dy\biggr)^{\widetilde\theta/\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (2.16) в силу неравенства Гёльдера придем к (2.30). Предложение доказано. Следующее утверждение нам понадобится при доказательстве теоремы 2. Здесь куб $K_{R_0}$ определен в (2.2), $L$ – постоянная Липшица функции $g$ из (2.1). Предложение 5. Для любого куба $Q^{y_0}_R\subset K_{R_0}$ при $\lambda\geqslant n+\nu$, где $\nu>0$ – постоянная, не зависящая от $R$, справедлива оценка Доказательство. Поскольку $\lambda\leqslant s+\omega(R)$ в силу (2.13), то для доказательства оценки (2.34) можно исходить из неравенства 3. Доказательство теорем 1 и 2В этом разделе используются все обозначения из предыдущих разделов. При доказательстве теорем будем исходить из интегрального тождества (2.11) для функций $u$, удовлетворяющих соотношению (2.7). Нам потребуется доказательство обратного неравенства Гёльдера для градиента таких функций. Предполагается, что
$$
\begin{equation*}
y_0\in K_{R_0/2}\backslash\partial K_{R_0/2},\qquad R\leqslant\frac{1}{2}\operatorname{dist}(y_0,\partial K_{R_0/2}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $K_{R_0}$ имеет то же смысл, что и в (2.2). Предварительно приведем вспомогательное утверждение, в котором $\alpha$ и $\beta$ – постоянные из условия (1.1), $k_0$ – константа из логарифмического условия (1.4), $L$ – постоянная Липшица функции $g$ из (2.1), $f$ – вектор-функция из (1.9), константа $\theta_1=\theta_1(\alpha,n)>1$ ранее определена в (2.17), а показатель $\widetilde p$ берется из (2.8). Лемма 1. Если $Q^{y_0}_{3R/2}\subset K_{R_0}\backslash \widetilde F_{R_0}$, то при $R\leqslant R_1(\alpha,k_0,L,n)$ с постоянной $R_1$ из (2.16) справедлива оценка Доказательство. Выберем в интегральном тождестве (2.11) пробную функцию где величина $\mu$ определена в (2.29), а срезающая функция $\eta\in C_0^{\infty}(Q^{y_0}_{3R/2})$ такова, что $0<\eta<1$, $\eta=1$ в $Q^{y_0}_R$ и $|\nabla \eta|\leqslant CR^{-1}$. В результате имеем Заметим (см. (2.10)), что
$$
\begin{equation}
\int_{Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\leqslant C(\alpha,\beta,L) \int_{Q^{y_0}_{2R}}|\widetilde{\nabla} u|^{\widetilde p}\,dy.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Поскольку $Q^{y_0}_{2R}\subset K_{R_0}$ и ранее при выводе (2.7) мы пользовались четным продолжением относительно гиперплоскости $\{y\colon y_n=0\}$, сохраняющим норму, то (см. (2.3) и (2.4)) имеет место неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{Q^{y_0}_{2R}}|\widetilde{\nabla} u|^{\widetilde p}\,dy\leqslant \int_{K^+_{R_0}}|\nabla_y u-u_{y_n}\nabla_y g|^{p_1(y)}\,dy,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где показатель $p_1$ определен в (2.4). Далее, если теперь совершить преобразование, обратное к (2.1), определитель матрицы Якоби которого равен единице, получим
$$
\begin{equation}
\int_{K^+_{R_0}}|\nabla_y u-u_{y_n}\nabla_y g|^{p_1(y)}\,dy\leqslant \int_{D}|\nabla u|^{p(x)}\,dx.
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
В итоге из (3.6)–(3.8) находим
$$
\begin{equation*}
\int_{Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\leqslant C(\alpha,\beta,L)\int_{D}|\nabla u|^{p(x)}\,dx
\end{equation*}
\notag
$$
и в силу энергетической оценки (1.14) имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\leqslant C(\alpha,\beta,L)\biggl(\,\int_{D}|f|^{p^{\prime}(x)}\,dx+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $(\lambda-s)/s\leqslant 1$ согласно (2.18) и (2.19), имеем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\int_{Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\biggr)^{(\lambda-s)/s}\leqslant C(\alpha,\beta,L)\biggl(\,\int_{D}|f|^{p^{\prime}(x)}\,dx+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Используя это соотношение в (3.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p/\theta_1}\,dy\biggr)^{\lambda\theta_1/s}\leqslant C\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p/\theta_1}\,dy\biggr)^{\!\theta_1}
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянной $C$, зависящей от $\alpha$, $\beta$, $k_0$, $L$, $n$ и $\|f^{p^\prime(\cdot)}\|_{L_1(D)}$. Отсюда и из (3.4) приходим к требуемой оценке (3.1). Лемма доказана. Доказательство теоремы 1 опирается на результат леммы 1 и является продолжением рассуждений этой леммы. Доказательство теоремы 1. Если $Q^{y_0}_{3R/2}\cap \widetilde F_{R_0}\ne{}$Ø, выберем в интегральном тождестве (2.11) пробную функцию $\varphi=u\eta^{\beta}$ с такой же срезающей функцией $\eta$, что и в доказательстве леммы 1. В результате придем к оценке (3.2), в которой $\mu=0$. Перепишем эту оценку в виде Так как $Q^{y_0}_{3R/2}\cap \widetilde F_{R_0}\ne{}$Ø, найдется точка $z_0\in Q^{y_0}_{3R/2}\cap \widetilde F_{R_0}$ такая, что $\overline Q^{z_0}_{R/2}\subset Q^{y_0}_{2R}$. Обозначим через $z\in F\cap Q_{R_0}$ прообраз точки $z_0$ при преобразовании (2.1). Нетрудно видеть, что прообраз замкнутого куба $\overline Q^{z_0}_{R/2}$ содержит замкнутый шар $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B ^z_{cR}$, где $c=c(L,n)>0$. В силу условия (1.16) выполнено неравенство $C_{q_0}(F\cap \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B ^{z}_{cR})\geqslant C(L,c_0,n)R^{n-q_0}$. Отсюда и из определения емкости (1.15) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
C_{q_0}(\widetilde F_{R_0}\cap \overline Q_{2R})\geqslant C(L,c_0,n)R^{n-q_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если положить $K=\widetilde F_{R_0}\cap \overline Q_{2R}$, то из оценки (2.21) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{\!1/\lambda}\leqslant C(n) R\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{s/\theta_1}\,dy\biggr)^{\!\theta_1/s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь исходя из (3.9) вновь придем к оценке (3.3), в которой постоянная $C$ дополнительно зависит от $c_0$. Из этой оценки, как показано в лемме 1, вытекает (3.1). По условию теоремы $|h|^{\widetilde p^\prime}\in L_{1+\delta_0}(K_{R_0})$, а так как $\theta_1>1$, то из (3.1) и обобщенной леммы Геринга (см. [19], [20], а также гл. VII в [21]) получаем, что существует положительная постоянная $\delta_1<\delta_0$, зависящая только от $\delta_0$, $\alpha$ и $n$, такая, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{K_{R_0/4}}|\nabla u|^{\widetilde p (\theta_1+\delta_1)/\theta_1}\,dy\leqslant {}& C\biggl(\!\biggl(\,\int_{K_{R_0/2}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\biggr)^{\!(\theta_1+\delta_1)/\theta_1}+{} \\ &+\int_{K_{R_0/2}}|h|^{\widetilde p^\prime (\theta_1+\delta_1)/\theta_1}\,dy+1\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полагая $\delta=\delta_1/\theta_1$, получаем
$$
\begin{equation}
\int_{K_{R_0/4}}|\nabla u|^{\widetilde p (1+\delta)}\,dy\leqslant C\biggl(\!\biggl(\,\int_{K_{R_0/2}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{K_{R_0/2}}|h|^{\widetilde p^\prime(1+\delta)}\,dy+1\biggr).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
В силу четности функции $u$ относительно гиперплоскости $\{y\colon y_n=0\}$ эту оценку можно переписать в виде (см. (2.3))
$$
\begin{equation}
\int_{K^+_{R_0/4}}|\nabla u|^{\widetilde p (1+\delta)}\,dy\leqslant C\biggl(\!\biggl(\,\int_{K^+_{R_0/2}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{K^+_{R_0/2}}|\widetilde f|^{\widetilde p^\prime(1+\delta)}\,dy+1\biggr).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Совершим здесь преобразование, обратное к (2.1). Нетрудно видеть, что прообраз полуквадрата $K^+_{R_0/2}$ содержится в множестве $D_{R_0}$, а прообраз полукуба $K^+_{R_0/4}$ содержит множество $D_{\zeta R_0}$, где $\zeta=\zeta(n,L)>0$. Учитывая еще соотношение (2.6), в силу (3.11) находим
$$
\begin{equation*}
\int_{D_{\zeta R_0}}|\nabla u|^{p(x) (1+\delta)}\,dx\leqslant C \biggl(\!\biggl(\,\int_{D_{R_0}}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{D_{R_0}}|f|^{p^\prime(x)(1+\delta)}\,dx+1\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
с постоянной $C$, зависящей только от $\alpha$, $\beta$, $k_0$, $\delta_0$, $L$, от величины $c_0$ из (1.16), от $n$ и $\|f^{p^{\prime}(\cdot)}\|_{L_1(D)}$. Переходя здесь к декартовой системе координат с началом в точке $x_0\in\partial D$, из которой мы исходили с самого начала рассуждений, получим
$$
\begin{equation*}
\int_{D\cap Q^{x_0}_{\zeta R_0}}|\nabla u|^{p(x) (1+\delta)}\,dx\leqslant C \biggl(\!\biggl(\,\int_{D\cap Q^{x_0}_{R_0}}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{D\cap Q^{x_0}_{R_0}}|f|^{p^\prime(x)(1+\delta)}\,dx+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $x_0\in\partial D$ – произвольная граничная точка, а граница $\partial D$ компактна, то можно найти такое конечное покрытие $\partial D$, что замкнутое множество
$$
\begin{equation*}
\mathcal{D}_{\zeta_1 R_0}=\{x\in D\colon \operatorname{dist}(x,\partial D)\leqslant \zeta_1 R_0\},\qquad \zeta_1=\zeta_1(L,n)>0,
\end{equation*}
\notag
$$
содержится в объединении множеств $D\cap Q^{x_i}_{\zeta R_0}$, где $x_i\in\partial D$. Поэтому, суммируя неравенства
$$
\begin{equation*}
\int_{D\cap Q^{x_i}_{\zeta R_0}}|\nabla u|^{p(x) (1+\delta)}\,dx\leqslant C \biggl(\!\biggl(\,\int_{D\cap Q^{x_i}_{R_0}}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{D\cap Q^{x_i}_{R_0}}|f|^{p^\prime(x)(1+\delta)}\,dx+1\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
придем к оценке
$$
\begin{equation}
\int_{D_{\zeta_1 R_0}}|\nabla u|^{p(x) (1+\delta)}\,dx\leqslant C \biggl(\!\biggl(\,\int_{D}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{D}|f|^{p^\prime(x)(1+\delta)}\,dx+1\biggr),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
в которой постоянная $C$ дополнительно зависит от области $D$. Внутренняя оценка
$$
\begin{equation}
\int_{D\setminus \mathcal{D}_{\zeta_1 R_0}}|\nabla u|^{p(x) (1+\delta)}\,dx\leqslant C \biggl(\!\biggl(\,\int_{D}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{D}|f|^{p^\prime(x)(1+\delta)}\,dx+1\biggr)
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
не учитывает граничных значений функции $u$ и доказывается намного проще. При ее доказательстве не нужно делать замены переменной, а достаточно получить оценку (3.1) в виде
$$
\begin{equation}
\,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{x_0}_{R}}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\leqslant C\biggl(\!\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{x_0}_{2R}}|\nabla u|^{p(x)/\theta_1}\,dx\biggr)^{\!\theta_1} + \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{x_0}_{2R}}|f|^{p^\prime(x)}\,dx+1\biggr)
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
для всех кубов $Q^{x_0}_{2R}\in D$. Эта оценка устанавливается точно так же, как при доказательстве леммы 1. Из данной оценки, как и выше, с помощью обобщенной леммы Геринга приходим к (3.13). Из (3.12) и (3.13) получаем
$$
\begin{equation}
\int_{D}|\nabla u|^{p(x) (1+\delta)}\,dx\leqslant C \biggl(\!\biggl(\,\int_{D}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\biggr)^{\!1+\delta} +\int_{D}|f|^{p^\prime(x)(1+\delta)}\,dx+1\biggr).
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Теперь исходя из энергетической оценки (1.14) решения задачи (1.5) и неравенства Гёльдера находим
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\int_{D}|\nabla u|^{p(x)}\,dx\biggr)^{\!1+\delta}\leqslant C(\alpha,\beta)\biggl(\,\int_{D}|f|^{p^\prime(x)}\,dx)\biggr)^{\!1+\delta}\leqslant C(\alpha,\beta,D) \int_{D}|f|^{p^\prime(x)(1+\delta)}\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.15) получаем заявленную оценку (1.18). Теорема 1 доказана. Доказательство теоремы 2. Доказательство практически повторяет рассуждения доказательства теоремы 1, и мы приведем его схематически, учитывая имеющиеся различия. Как и ранее, будем исходить из оценки (3.1) леммы 1. Из условия (1.19) следует (см. обозначение (2.13)), что $\lambda\geqslant 2+\nu$. Положим
$$
\begin{equation}
R_0=\min{(R_1,R_2)},\quad \theta=\min{(\theta_1,\theta_2)},
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $R_1$ и $\theta_1$ – положительные постоянные из (2.16) и (2.17) соответственно, а $R_2$ и $\theta_2$ – положительные постоянные из (2.34) и (2.35). Ниже постоянная $\nu>0$ из предложения 5 предполагается такой же, как и в условии (1.19). Поскольку $\theta\leqslant \theta_1$, в силу неравенства Гёльдера оценку (3.1) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{R}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\leqslant C\biggl(\!\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p/\theta}\,dy\biggr)^{\!\theta} + \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|h|^{\widetilde p^\prime}\,dy+1\biggr).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Напомним, что данная оценка справедлива в случае, когда $Q^{y_0}_{3R/2}\subset K_{R_0}\setminus \widetilde F_{R_0}$ и $R\leqslant R_1$. Ниже предполагается (см. (3.16)), что $R\leqslant R_0$. Если $Q^{y_0}_{3R/2}\cap \widetilde F_{R_0}\ne\varnothing$, выберем в интегральном тождестве (2.11) пробную функцию $\varphi=u\eta^{\beta}$ с такой же срезающей функцией $\eta$, что и в доказательстве леммы 1. В результате придем к оценке (3.2), в которой $\mu=0$. Вновь, как в доказательстве теоремы 1, перепишем эту оценку в виде (3.9). Перейдем к оценке первого интеграла в правой части (3.9). Так как $Q^{y_0}_{3R/2}\cap \widetilde F_{R_0}\ne \varnothing$, найдется точка $z_0\in Q^{y_0}_{3R/2}\cap \widetilde F_{R_0}$ такая, что $\overline Q^{z_0}_{R/2}\subset Q^{y_0}_{2R}$. По условию теоремы множество $\widetilde F_{R_0}$ не пусто. Поэтому, пользуясь понятием внутреннего диаметра области $Q^{y_0}_{2R}$ (см. раздел 14.2.2 в [18]), из теоремы 1 раздела 14.2.3 монографии [18] получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{\!1/\lambda}\leqslant C R\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{q_3}\,dy\biggr)^{\!1/q_3}
\end{equation*}
\notag
$$
с показателем $q_3$ из (2.34). Теперь из оценки (2.34) следует, что
$$
\begin{equation*}
\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|u|^{\lambda}\,dy\biggr)^{\!1/\lambda}\leqslant C R\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{s/\theta_2}\,dy\biggr)^{\!\theta_2/s}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда и из (3.9) получим аналог оценки (3.4):
$$
\begin{equation*}
\,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{R}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\leqslant C(\alpha,\beta,L,n)\biggl(\!\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p/\theta_2}\,dy\biggr)^{\!\lambda \theta_2/s} + \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|h|^{\widetilde p^\prime}\,dy+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Отличие от (3.4) здесь состоит только в том, что вместо константы $\theta_1$ участвует константа $\theta_2$. В итоге, продолжая рассуждения леммы 1, придем к аналогу оценки (3.1):
$$
\begin{equation}
\,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{R}}|\nabla u|^{\widetilde p}\,dy\leqslant C\biggl(\!\biggl(\, \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|\nabla u|^{\widetilde p/\theta_2}\,dy\biggr)^{\!\theta_2} + \,\rlap{-}\kern-1.5mm \int_ {Q^{y_0}_{2R}}|h|^{\widetilde p^\prime}\,dy+1\biggr)
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
с положительной постоянной $C$, зависящей только от $\alpha$, $\beta$, $k_0$, $\nu$, $L$, $n$ и $\|f^{p^\prime(\cdot)}\|_{L_1(D)}$. Так как $\theta_2\leqslant \theta$ (см. (3.16)), отсюда согласно неравенству Гёльдера вновь приходим к оценке (3.17), в которой постоянная $C$ зависит от тех же величин, что и в (3.18). Из (3.17) в силу обобщенной леммы Геринга, о которой упоминалось выше, придем к соотношению (3.10) с константой $\delta=\delta_1/\theta$, зависящей от $\alpha$, $\nu$ и $n$. Отсюда, повторяя рассуждения теоремы 1, получим оценку (3.12). Схема доказательства внутренней оценки (3.13) такая же, как в теореме 1. Различие состоит лишь в том, что в соотношении (3.14) константу $\theta_1$ нужно заменить на $\theta$. Используя теперь внутреннюю и приграничную оценки, как и в теореме 1, приходим к утверждению теоремы. Теорема доказана. В связи с замечанием 1 из раздела 1 отметим, что вместо условия (1.19) теоремы 2 достаточно предположить выполнение неравенства $p(x)\geqslant n+\nu$ на замкнутом множестве $F\subset\partial D$, являющемся носителем однородных данных Дирихле задачи (1.5). Тогда $p(x)\geqslant n+\nu/2$ в некоторой окрестности $F$ и доказательство теоремы 2 проходит без изменений. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlkChe24} |
|
||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|