| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Высшие спины в гармоническом суперпространстве Е. А. Ивановab a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия b Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792312005X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ течение последних десятилетий суперсимметричные теории высших спинов привлекают повышенное внимание (см., например, [1]–[6] и приведенные там ссылки). Одна из основных причин интереса к ним состоит в том, что они могут рассматриваться как “мост” между теорией суперструн и низкоэнергетическими (супер)калибровочными теориями. Свободные безмассовые теории бозонных и фермионных полей высших спинов были впервые сформулированы в работах [7], [8]. Компонентный подход к описанию свободных $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных четырехмерных моделей безмассовых высших спинов был инициирован в работах [9], [10]. Естественное описание суперсимметричных теорий основано на суперполевых методах вне массовой поверхности. Суперполевой подход обеспечивает явную реализацию суперсимметрии на супермультиплетах вне массовой поверхности, с правильными наборами вспомогательных полей. Предпочтительны (особенно в квантовой области) формулировки в терминах суперполей, не подверженных внешним связям. Законченная лагранжева формулировка вне массовой поверхности $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных четырехмерных моделей свободных высших спинов (включая модели на плоском и AdS фонах) в терминах $\mathcal{N}=1$ суперполей была развита много лет назад в серии работ [11], [12] (см. также работы [13], [14], где, в частности, более детально обсуждаются соответствующие компонентные лагранжианы вне и на массовой поверхности). В течение длительного времени суперполевые лагранжевы формулировки для теорий высших спинов с расширенными суперсимметриями, реализованными явно и вне массовой поверхности, были неизвестны даже в свободном случае. Эта лакуна была недавно заполнена в работе [15], где впервые была построена явно $\mathcal{N}=2$ суперсимметричная формулировка без связей для $4D$, $\mathcal{N}=2$ суперрасширения теории Фронсдала для целых спинов, на основе подхода гармонических суперпространств [16], [17]. Позже в работе [18] было построено явно $\mathcal{N}=2$ суперсимметричное кубичное взаимодействие $4D$, $\mathcal{N}=2$ калибровочных суперполей высших спинов с гипермультиплетами (см. краткий обзор в [19]). Более детальный анализ этой теории, включая ее компонентную структуру, был предпринят в недавней работе [20]. Работы [15], [18] [20] открыли новую многообещающую область применения гармонических методов, на этот раз в теории высших спинов. Настоящая статья представляет собой краткий обзор основных идей и результатов этого подхода. Новый момент состоит в переформулировке связей гипермультиплета с $\mathcal{N}=2$ мультиплетами высших спинов для четных значений суперспина на языке так называемого $\omega$-представления для аналитических суперполей гипермультиплета (раздел 4). 2. Гармоническое суперпространствоВ настоящее время для четырех измерений самосогласованным суперполевым формализмом вне массовой поверхности для $\mathcal{N}=2$ и $\mathcal{N}=3$ суперсимметричных теорий является подход гармонического суперпространства [17]. Гармоническое $\mathcal{N}=2$ суперпространство параметризуется следующим набором координат:
$$
\begin{equation}
Z = (x^m,\theta^\alpha_i, \bar\theta^{\dot\alpha j}, u^{\pm i}), \qquad u^{\pm i} \in SU(2)/U(1), \quad u^{+ i}u^-_i = 1.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Основное его свойство состоит в наличии в качестве инвариантного подпространства аналитического гармонического $\mathcal{N}=2$ суперпространства:
$$
\begin{equation*}
\zeta_A = (x^m_A, \theta^{+ \alpha}, \bar\theta^{+ \dot\alpha}, u^{\pm i}), \quad \theta^{+ \alpha, \dot\alpha} := \theta^{\alpha, \dot\alpha i} u^+_i, \quad x^m_A := x^m - 2i\theta^{(i}\sigma^m \bar\theta^{j)}u^+_iu^+_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналитический базис в полном гармоническом суперпространстве (2.1) задается набором координат
$$
\begin{equation}
Z = (\zeta_A, \theta^{- \alpha}, \bar\theta^{- \dot\alpha}), \qquad \theta^{- \alpha, \dot\alpha} := \theta^{\alpha, \dot\alpha i} u^-_i.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Все базисные $\mathcal{N}=2$ мультиплеты вне массовой оболочки описываются аналитическими суперполями:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\underline{\text{суперсимметричная теория Янга}{-}\text{Миллса}}: \quad V^{++}(\zeta_A), \\ & \underline{\text{гипермультиплеты материи}}: \quad q^{+}(\zeta_A), \,\bar{q}^{+}(\zeta_A), \\ &\underline{\text{супергравитация}}: \quad h^{++ m}(\zeta_A),\,h^{++ \alpha +}(\zeta_A), \,h^{++ \dot\alpha +}(\zeta_A), \,h^{++ 5}(\zeta_A). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В дальнейшем нам понадобятся выражения для различных гармонических и спинорных производных в аналитическом базисе:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{D}^{\pm\pm} = \partial^{\pm\pm} - 2i\theta^{\pm\alpha}\bar\theta^{\pm\dot\alpha}\partial_{\alpha\dot\alpha} + \theta^{\pm\alpha}\partial^\pm_\alpha + \bar\theta^{\pm\dot\alpha}\partial^\pm_{\dot\alpha} + i [(\theta^{\pm})^2 - (\bar\theta^{\pm})^2]\partial_5, \\ \mathcal{D}^0 = \partial^{0} + \theta^{+\alpha}\partial^-_\alpha + \bar\theta^{+\dot\alpha}\partial^-_{\dot\alpha} - \theta^{-\alpha}\partial^+_\alpha + \bar\theta^{-\dot\alpha}\partial^+_{\dot\alpha}, \\ [\mathcal{D}^{++}, \mathcal{D}^{--}] = \mathcal{D}^0, \\ D^+_{\alpha} = \partial_\alpha^-, \qquad \bar{D}^+_{\dot\alpha} = \partial_{\dot\alpha}^-, \\ \begin{aligned} \, & D^-_{\alpha} = [\mathcal{D}^{--}, D^+_{\alpha}] = - \partial_\alpha^- + 2i \bar{\theta}^{-\dot{\alpha}} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} - 2i \theta^-_{\alpha} \partial_5, \\ & \bar{D}^-_{\dot{\alpha}} = [\mathcal{D}^{--}, \bar{D}^+_{\dot{\alpha}}] = -\partial_{\dot{\alpha}}^- - 2i \theta^{-\alpha} \partial_{\mu\dot{\alpha}} - 2i \bar{\theta}^-_{\dot{\mu}} \partial_5, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
\partial^{\pm \pm} := u^{\pm i}\frac{\partial}{\partial u^{\mp i}}, \quad \partial^{0} := u^{+i}\frac{\partial}{\partial u^{+ i}} - u^{-i}\frac{\partial}{\partial u^{- i}}, \quad \partial^\pm_\alpha := \frac{\partial}{\partial \theta^{\mp\alpha}}, \quad \partial^\pm_{\dot\alpha} := \frac{\partial}{\partial \bar\theta^{\mp\dot\alpha}}.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Мы включили в эти выражения частные производные по дополнительной координате $x^5$, которая необходима для описания линеаризованных $\mathcal{N}=2$ калибровочных теорий высших спинов и массивных гипермультиплетов. В дальнейшем предполагается, что ни $\mathcal{N}=2$ калибровочные суперполя высших спинов, ни соответствующие калибровочные параметры не зависят от этой координаты. По отношению к $\mathcal{N}=2$ суперсимметрии координата $x^5$ в аналитическом базисе преобразуется по правилу
$$
\begin{equation}
\delta_\epsilon x^5 = 2i(\epsilon^-\theta^+ - \bar\epsilon^-\bar\theta^+),
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
и, таким образом, соответствующее расширение аналитического подпространства (2.2), т. е. $(\zeta_A, x^5)$, остается замкнутым относительно $\mathcal{N}=2$ суперсимметрии. “Укороченность” ковариантных производных $D^+_{\alpha}$, $\bar{D}^+_{\dot\alpha}$ в аналитическом базисе отражает независимость аналитических суперполей от координат $\theta^{-\alpha}$, $\bar\theta^{-\dot\alpha}$ в этом базисе. Также эти спинорные производные коммутируют с гармонической производной $\mathcal{D}^{++}$, из чего следует, что последняя сохраняет $\mathcal{N}=2$ гармоническую аналитичность. 2.1. $\mathcal{N}=2$ спин 1Простейший пример теорий $\mathcal{N}=2$ спинов – абелева $\mathcal{N}=2$ калибровочная теория с аналитическим калибровочным потенциалом $V^{++}(\zeta_A)$ в качестве основного объекта:
$$
\begin{equation}
V^{++}(\zeta_A), \qquad \delta V^{++} = \mathcal{D}^{++}\Lambda (\zeta_A).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
В калибровке Весса–Зумино
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V^{++}(\zeta_A) ={}& (\theta^+)^2 \phi + (\bar\theta^+)^2 \bar\phi + 2i\theta^{+\alpha}\bar\theta^{+\dot\alpha} A_{\alpha\dot\alpha}+{}\nonumber \\ & + (\bar\theta^+)^2 \theta^{+\alpha}\psi_\alpha^i u^-_i + (\theta^+)^2 \bar\theta^{+}_{\dot\alpha}\bar\psi^{\dot\alpha i} u^-_i +(\theta^+)^2(\bar\theta^+)^2 D^{(ik)}u^-_iu^-_k \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
четырехмерные поля $\phi$, $\bar\phi$, $A_{\alpha\dot\alpha}$, $\psi_\alpha^i$, $\bar\psi_{\dot\alpha}^i$, $D^{(ik)}$ образуют абелев калибровочный $\mathcal{N}\!=2$ мультиплет ($8 + 8$ степеней свободы вне массовой поверхности). Инвариантное действие задается выражением
$$
\begin{equation}
S \sim \int d^{12}Z\, (V^{++} V^{--}), \qquad \mathcal{D}^{++} V^{--} - \mathcal{D}^{--} V^{++} = 0, \qquad \delta V^{--} = D^{--}\Lambda,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где – мера интегрирования по полному гармоническому суперпространству, при этом $[du]$ обозначает интегрирование по гармоникам. Вторая (неаналитическая) гармоническая связность $V^{--}$ выражается с точностью до калибровочной свободы с аналитическим калибровочным параметром через $V^{++}(\zeta_A)$ из условия гармонической нулевой кривизны в (2.8). Выражение для $V^{--}$ может быть получено либо решением условия гармонической нулевой кривизны с помощью гармонических распределений (см. книгу [17]), либо прямым вычислением в гармоническом формализме с использованием выражения Весса–Зумино для $V^{++}$. 2.2. $\mathcal{N}=2$ спин 2: линеаризованная $\mathcal{N}=2$ супергравитацияВ этом случае аналогом $V^{++}(\zeta_A)$ является следующий набор аналитических калибровочных потенциалов:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, ( h^{++m}(\zeta_A), h^{++5}(\zeta_A), h^{++\hat{\mu}+}(\zeta_A)), \qquad \hat{\mu} = (\mu, \dot{\mu}), \\ \begin{aligned} \, &\delta_\lambda h^{++m } = \mathcal{D}^{++} \lambda^m + 2i (\lambda^{+\alpha} \sigma^m_{\alpha\dot{\alpha}} \bar{\theta}^{+\dot{\alpha}} + \theta^{+\alpha} \sigma^m_{\alpha\dot{\alpha}} \bar{\lambda}^{+\dot{\alpha}}), \\ &\delta_\lambda h^{++5} = \mathcal{D}^{++} \lambda^5 - 2i (\lambda^{+{\alpha}} \theta^{+}_{\alpha} - \bar\theta^{+}_{\dot{\alpha}}\bar\lambda^{+\dot{\alpha}}),\qquad \delta_\lambda h^{++\hat{\mu}+} = \mathcal{D}^{++} \lambda^{+\hat{\mu}}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Калибровка Весса–Зумино соответствует выбору
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^{++m}& = -2i \theta^+\sigma^a \bar{\theta}^+ \Phi^m_a + \big[(\bar{\theta}^+)^2 \theta^+ \psi^{m\,i}u^-_i + \text{к. с.}]+ \cdots, \\ h^{++5} &= -2 i \theta^+ \sigma^a \bar{\theta}^+ C_a + \cdots, \qquad h^{++\mu+} = \cdots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточием обозначены вспомогательные поля1. Остаточная калибровочная свобода в калибровке Весса–Зумино определяется преобразованиями2
$$
\begin{equation*}
\lambda^m \, \Rightarrow\, a^m(x), \qquad \lambda^5\, \Rightarrow\, b(x), \qquad \lambda^{\mu+}\, \Rightarrow\, \epsilon^{\mu i}(x) u^+_i + \theta^{+\nu}l_{(\nu}^{\;\;\;\mu)}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
В конечном итоге получаем стандартный полевой состав $40 + 40$ минимальной эйнштейновской $\mathcal{N}=2$ супергравитации [21]–[23]. Физическими полями являются $\Phi^m_a$, $\psi^{mi}_\mu$, $C_a$ (спины $(\mathbf{2, 3/2, 3/2, 1})$ на массовой поверхности). Та часть поля $\Phi^m_a$, которая описывает спин $\mathbf{1}$, устраняется локальными “лоренцевыми” параметрами $l_{(\nu}^{\;\;\;\mu)}(x)$, $l_{(\dot{\nu}}^{\;\;\;\dot{\mu})}(x)$. В этой “физической” калибровке
$$
\begin{equation*}
\Phi^m_a \sim \Phi_{\beta\dot\beta\alpha\dot\alpha} \Rightarrow \Phi_{(\beta\alpha)(\dot\beta\dot\alpha)} + \varepsilon_{\alpha\beta}\varepsilon_{\dot\alpha\dot\beta} \Phi.
\end{equation*}
\notag
$$
Инвариантное действие записывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, S_{(s=2)} = -\int d^4x\, d^8\theta\, du \,( G^{++\alpha\dot\alpha}G^{--}_{\alpha\dot\alpha} + G^{++5}G^{--5}), \\ \begin{aligned} \, G^{++ \mu\dot\mu} &:= h^{++ \mu\dot\mu} + 2i( h^{++\mu+}\bar\theta^{-\dot\mu} + \theta^{-\mu}h^{++\dot\mu+}), \\ G^{++ 5} & := h^{++ 5} - 2i( h^{++\mu+}\theta^-_\mu - \bar\theta^-_{\dot\mu}h^{++\dot\mu+}), \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{++}G^{--\mu\dot\mu} = \mathcal{D}^{--}G^{++\mu\dot\mu}, \qquad \mathcal{D}^{++}G^{--5} = \mathcal{D}^{--}G^{++5}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Заметим, что условия гармонической нулевой кривизны (2.11) (подобно аналогичным уравнениям для высших $\mathcal{N}=2$ спинов $\mathbf{s}$) эквивалентны условиям, включающим аналитические потенциалы. Уравнения на последние однозначно решаются, как в случае спина $\mathbf{s}=1$. После перехода к компонентам та часть лагранжиана, которая описывает спин $\mathbf{2}$, может быть представлена как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &G^{++\alpha\dot\alpha}_{(\Phi)}G_{(\Phi)\alpha\dot\alpha}^{--} + G_{(\Phi)}^{++5}G_{(\Phi)}^{--5} \quad \Rightarrow \\ \mathcal{L}_{(\Phi 2)} &= -\frac{1}{4}[\Phi^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} \,\Box\, \Phi_{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} - \Phi^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} \partial^{\rho\dot{\rho}} \Phi_{(\rho\beta)(\dot{\rho}\dot{\beta})}+{} \\ & \quad \, + 2 \Phi \partial^{\alpha\dot{\alpha}} \partial^{\beta\dot{\beta}} \Phi_{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} - 6 \Phi \,\Box\, \Phi]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Она инвариантна относительно линеаризованных калибровочных преобразований для спина $\mathbf{2}$,
$$
\begin{equation*}
\delta \Phi_{\beta \dot{\beta}\alpha \dot{\alpha}} =\frac{1}{2}(\partial_{\alpha\dot{\alpha}} a_{\beta\dot{\beta}} + \partial_{\beta\dot{\beta}} a_{\alpha\dot{\alpha}}),\qquad \delta \Phi = \frac{1}{4} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} a^{\alpha\dot{\alpha}}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. $\mathcal{N}=2$ спин 3 и высшие спиныОбобщение на $\mathcal{N}=2$ супермультиплеты высшего целого суперспина проводится непосредственно. Показателен пример суперспина $\mathbf{3}$. Триплет аналитических калибровочных суперполей для спина $\mathbf{3}$ определяется как
$$
\begin{equation*}
h^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)} (\zeta), \quad h^{++ \alpha\dot\alpha}(\zeta), \quad h^{++(\alpha\beta)\dot{\alpha}+}(\zeta), \quad h^{++(\dot\alpha\dot\beta){\alpha}+}(\zeta).
\end{equation*}
\notag
$$
Он обладает следующими законами преобразований с аналитическими калибровочными параметрами:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta h^{++(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} &= \mathcal{D}^{++} \lambda^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} + 2i [\lambda^{+(\alpha\beta)(\dot{\alpha}} \bar{\theta}^{+\dot{\beta})} + \theta^{+(\alpha} \bar{\lambda}^{+\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}], \\ \delta h^{++\alpha\dot{\alpha}} &= \mathcal{D}^{++} \lambda^{\alpha\dot{\alpha}} - 2i [\lambda^{+(\alpha\beta)\dot{\alpha}} \theta^{+}_{\beta} + \bar\lambda^{+(\dot\alpha\dot\beta){\alpha}} \bar\theta^{+}_{\dot\beta}], \\ \delta h^{++(\alpha\beta)\dot{\alpha}+} &= \mathcal{D}^{++} \lambda^{+(\alpha\beta)\dot{\alpha}}, \qquad \delta h^{++(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha+} = \mathcal{D}^{++} \lambda^{+(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Физические поля в калибровке Весса–Зумино содержатся в $\theta^+$-, $\bar\theta^+$-разложениях
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^{++(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} &= -2i \theta^{+\rho} \bar{\theta}^{+\dot{\rho}} \Phi^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}_{\rho\dot{\rho}} + [(\bar\theta^+)^2 \theta^+ \psi^{(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)i} u^-_i + \text{к. с.}] + \cdots,\\ h^{++\alpha\dot{\alpha}} &= -2i \theta^{+\rho} \bar{\theta}^{+\dot{\rho}} C^{\alpha\dot{\alpha}}_{\rho\dot{\rho}} + \cdots . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Физические калибровочные поля суть $\Phi^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}_{\rho\dot{\rho}}$ (калибровочное поле спина $\mathbf{3}$), $C^{\alpha\dot{\alpha}}_{\rho\dot{\rho}}$ (калибровочное поле спина $\mathbf{2}$) и $\psi^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})i}_\gamma$ (калибровочное поле спина $\mathbf{5/2}$). Остальные поля вспомогательные (как и в других случаях, полный вид калибровки Весса– Зумино для спина $\mathbf{s}=3$ приведен в [15]). На массовой поверхности остается мультиплет $(\mathbf{3, 5/2, 5/2, 2})$. Остаточная калибровочная свобода может быть использована для приведения физических бозонных калибровочных полей к следующему неприводимому виду:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Phi_{\gamma\dot\gamma (\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} &= \Phi_{(\alpha\beta\gamma)(\dot\alpha\dot\beta\dot\gamma)} + \varepsilon_{\dot\gamma(\dot\alpha} \varepsilon_{\gamma(\beta} \Phi_{\alpha)\dot\beta)}, \\ C_{\gamma\dot\gamma \alpha\dot\alpha} &= C_{(\gamma\alpha)(\dot\gamma\dot\alpha)} + \varepsilon_{\gamma\alpha}\varepsilon_{\dot\gamma\dot\alpha} C \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с остаточными калибровочными преобразованиями
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \delta \Phi_{(\alpha \gamma \beta ) (\dot{\alpha} \dot{\gamma} \dot{\beta} )} & = \partial_{(\beta(\dot{\beta}} a_{\alpha \gamma) \dot{\alpha} \dot{\gamma})}, &\qquad \delta \Phi_{\alpha\dot{\beta}} &= \frac{4}{9} \partial^{\gamma \dot{\gamma}} a_{(\alpha\gamma)(\dot{\beta}\dot{\gamma})}, \\ \delta C_{(\alpha\beta) (\dot{\alpha}\dot{\beta})} &= \partial_{(\beta (\dot{\beta}} b_{\alpha)\dot{\alpha})}, &\qquad \delta C &= \frac{1}{4} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} b^{\alpha\dot{\alpha}}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Это правильные калибровочные преобразования полей Фронсдала со спином $\mathbf{3}$ ($\Phi_{(\alpha\beta\gamma)(\dot\alpha\dot\beta\dot\gamma)}, \Phi_{\alpha\dot\beta}$) и полей со спином $\mathbf{2}$ ($C_{(\alpha\beta) (\dot{\alpha}\dot{\beta})}, C$). Инвариантное суперполевое действие строится по образцу действия для спина $\mathbf{2}$
$$
\begin{equation}
S_{(s=3)} = \int d^4x\, d^8\theta\, du \,\{G^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)}G^{--}_{(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)} + G^{++\alpha\dot\beta}G^{--}_{\alpha\dot\beta} \},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & G^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)} = h^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)}+ 2i[ h^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha+} \bar\theta^{-\dot\beta)} - h^{++(\dot\alpha\dot\beta) (\alpha +}\theta^{-\beta)}], \\ &G^{++\alpha\dot\beta} = h^{++\alpha\dot\beta} - 2i [h^{++(\alpha\beta)\dot\beta+}\theta^-_\beta - \bar\theta^-_{\dot\alpha}h^{++(\dot\alpha\dot\beta)\alpha+}], \\ & \mathcal{D}^{++} G^{--(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)} - \mathcal{D}^{--}G^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)} = 0, \qquad \mathcal{D}^{++}G^{--\alpha\dot\beta} - \mathcal{D}^{--}G^{++\alpha\dot\beta} = 0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Компонентное бозонное действие для спина $\mathbf{3}$, следующее из этого суперполевого действия, имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_{(\Phi 3)} ={}&\int d^4x \, \biggl\{\Phi^{(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)( \dot{\alpha}_1\dot{\alpha}_2\dot{\alpha}_3)} \,\Box\, \Phi_{(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)( \dot{\alpha}_1\dot{\alpha}_2\dot{\alpha}_3)} -{} \\ &\qquad\qquad- \frac{3}{2} \Phi^{(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)( \dot{\alpha}_1\dot{\alpha}_2\dot{\alpha}_3)} \partial_{\alpha_1\dot{\alpha}_1} \partial^{\rho\dot{\rho}} \Phi_{(\rho\alpha_2\alpha_3)( \dot{\rho}\dot{\alpha}_2\dot{\alpha}_3)}+{} \\ &\qquad\qquad+ 3 \Phi^{(\alpha_1\alpha_2\alpha_3)( \dot{\alpha}_1\dot{\alpha}_2\dot{\alpha}_3)} \partial_{\alpha_1\dot{\alpha}_1} \partial_{\alpha_2\dot{\alpha}_2} \Phi_{\alpha_3\dot{\alpha}_3} - \frac{15}{4} \Phi^{\alpha\dot{\alpha}} \, \Box\, \Phi_{\alpha\dot{\alpha}} +{} \\ &\qquad\qquad+ \frac{3}{8} \partial_{\alpha_1\dot{\alpha}_1} \Phi^{\alpha_1\dot{\alpha}_1} \partial_{\alpha_2\dot{\alpha}_2} \Phi^{\alpha_2\dot{\alpha}_2}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Общий случай с максимальным спином $\mathbf{s}$ описывается следующими аналитическими калибровочными потенциалами:
$$
\begin{equation*}
h^{++\alpha(s-1)\dot\alpha(s-1)}(\zeta),\; h^{++\alpha(s-2)\dot\alpha(s-2)}(\zeta),\; h^{++\alpha(s-1)\dot\alpha(s-2)+}(\zeta),\; h^{++\dot\alpha(s-1)\alpha(s-2)+}(\zeta),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha(s) := (\alpha_1 \ldots \alpha_s), \dot\alpha(s) := (\dot\alpha_1 \ldots \dot\alpha_s)$. Соответствующие калибровочные преобразования могут быть также определены и использованы для перехода в калибровку Весса–Зумино с мультиплетом физических полей $(\mathbf{s, s-1/2, s-1/2, s-1})$. Инвариантное действие имеет универсальный вид для всех $\mathbf{s}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{(s)} ={}& (-1)^{s+1} \int d^4x\, d^8\theta\, du \, \bigl\{G^{++\alpha(s-1)\dot\alpha(s-1)}G^{--}_{\alpha(s-1)\dot\alpha(s-1)} +{} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+ G^{++\alpha(s-2)\dot\alpha(s-2)}G^{--}_{\alpha(s-2)\dot\alpha(s-2)}\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G^{\pm\pm\alpha(s-1)\dot\alpha(s-1)} &= h^{\pm\pm\alpha(s-1)\dot\alpha(s-1)} + 2i [h^{\pm\pm\alpha(s-1)(\dot\alpha(s-2)+}\bar\theta^{-\dot\alpha_{s-1})} -{} \\ &\quad- h^{\pm\pm\dot\alpha(s-1)(\alpha(s-2)+}\theta^{-\alpha_{s-1})}], \\ G^{\pm\pm\alpha(s-2)\dot\alpha(s-2)} &= h^{\pm\pm\alpha(s-2)\dot\alpha(s-2)} - 2i [h^{\pm\pm(\alpha(s-2)\alpha_{s-1}) \dot\alpha(s-2)+}\theta^{-}_{\alpha_{s-1}} +{} \\ &\quad+ h^{\pm\pm\alpha(s-2)(\dot\alpha(s-2)\dot\alpha_{s-1})+}\bar\theta^{-}_{\alpha_{s-1}}], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
и отрицательно заряженные потенциалы определяются по фундаментальным аналитическим потенциалам соответствующими гармоническими условиями нулевой кривизны.
4. Взаимодействия с гипермультиплетомПостроение взаимодействий высших спинов составляет очень важную (хотя и трудную) задачу. Простейшее взаимодействие описывается кубической вершиной, которая билинейна по полям материи и имеет первый порядок по калибровочным полям. К настоящему времени накоплена огромная литература по кубичным взаимодействиям высших спинов (cм., например, [24]–[31]). Суперсимметричные $\mathcal{N}=1$ расширения чисто бозонных кубических вершин с участием материи и соответствующие супертоки были построены в терминах $\mathcal{N}= 1$ суперполей в ряде работ (см., например, [32]). В работе [18] были впервые построены вне массовой поверхности явно $\mathcal{N}=2$ суперсимметричные кубические связи типа $\mathbf{1/2, 1/2, s}$ для $\mathcal{N}=2$ калибровочного мультиплета произвольного высшего целого суперспина $\mathbf{s}$ с гипермультиплетом материи (суперспин $\mathbf{1/2}$ ) в $4D$, $\mathcal{N}=2$ гармоническом суперпространстве. Исходным пунктом является свободное действие $\mathcal{N}=2$ гипермультиплета вне массовой поверхности
$$
\begin{equation}
S = \int d\zeta^{(-4)} \, \mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free} = -\int d\zeta^{(-4)} \, \frac{1}{2} q^{+a} \mathcal{D}^{++} q^+_a, \qquad a = 1,2,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $d\zeta^{(-4)} = [du]\, d^4x_A\, d^4\theta^+$ – мера интегрирования по аналитическому суперпространству. Дублетный индекс $a$ вращается внешней группой Паули–Гюрси $SU(2)_\mathrm{PG}$, коммутирующей с $\mathcal{N}=2$ суперсимметрией и группой $R$-симметрии $SU(2)_R$. Гипермультиплет с действием (4.1) может быть массивным или безмассовым. В случае массивного $\mathcal{N}=2$ гипермультиплета (без калибровочных полей) минимальный механизм генерации массы обеспечивается ненулевым центральным зарядом в $\mathcal{N}=2$ супералгебре, при этом масса отождествляется с собственным значением генератора центрального заряда. Как уже обсуждалось в разделе 2, общепринятый способ введения центрального заряда состоит в добавлении дополнительной фиктивной координаты $x^5$. Предполагается, что суперполе гипермультиплета зависит от $x^5$ почти тривиально:
$$
\begin{equation}
q^{+a}(\zeta_A, x^5) = (e^{-im \tau^3 x^5})^a_b q^{+ b}(\zeta_A, u) \quad \Leftrightarrow \quad \partial_5 q^{+a} := -im (\tau^3)^a_{\;b} q^{+b},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
(\tau_3)^a_{\;b} = \begin{pmatrix} 1 & \hphantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad (\tau_3)_{ab} = \epsilon_{ac} (\tau_3)^c_{\;b} =\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & -1 \\ -1 & \hphantom{-}0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Чтобы избежать интегрирования по $x^5$ в гипермультиплетном действии (4.1), налагается стандартное условие Шерка–Шварца, состоящее в том, что $\partial_5 q^{+a}$ совпадает с действием некоторой абелевой подгруппы $U(1)_\mathrm{PG} \subset SU(2)_\mathrm{PG}$. Параметр $m$ отождествляется с массой гипермультиплета, так что в общем случае рассматривается массивный гипермультиплет. Очевидно, что Действие (4.1) инвариантно относительно глобальной $\mathcal{N}=2$ суперсиметрии,
$$
\begin{equation}
\delta^*_{\epsilon} q^{+a} = -\delta_\epsilon Z^M\partial_M q^{+a},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где необходимо также принять во внимание преобразование $x^5$ (2.5) при $m\neq 0$. Благодаря свойству (4.4) введение массы не влияет на преобразование лагранжиана относительно $\mathcal{N}=2$ суперсимметрии, хотя и приводит к модификации $\mathcal{N}=2$ преобразования $q^{+a}$. Внутренняя симметрия действия одного гипермультиплета есть $SU(2)_\mathrm{PG} \times SU(2)_{R}$ в безмассовом случае ($\partial_5 q^{+a} =0$) и $U(1)_\mathrm{PG} \times SU(2)_{R}$ в массивном случае ($\partial_5 q^{+a} \neq 0$). Калибровочные $\mathcal{N}=2$ суперполя высших спинов можно вывести посредством калибрования подходящих глобальных симметрий свободного действия гипермультиплета (4.1), включающих различные степени производных по координатам. Для простоты в этом разделе мы полагаем все константы взаимодействия равными единице. Суперспин 1. Простейшая симметрия имеет нулевой порядок по производным, и это $U(1)$ преобразование $q^{+a}$,
$$
\begin{equation}
\delta q^{+a} = -\lambda_0 J q^{+ a}, \qquad J q^{+ a} = i (\tau_3)^a_{\;b} q^{+b}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Калибрование этой симметрии сводится к замене $\lambda_0$ аналитическим суперпараметром, $\lambda_0 \to \lambda(\zeta)$, и для обеспечения калибровочной инвариантности $q^{+a}$ действия соответствующей замене $\mathcal{D}^{++}$ в (4.1):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{D}^{++}\; \Rightarrow \; \mathcal{D}^{++} + \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(1)}, \qquad \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(1)}= h^{++}J, \\ \delta_\lambda \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(1)} = [\mathcal{D}^{++}, \hat{\Lambda}_{(1)}], \qquad \hat{\Lambda}_{(1)}= \lambda J\; \Rightarrow \; \delta_\lambda h^{++} = \mathcal{D}^{++}\lambda. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Заметим, что нет прямой связи между $J$ и $\partial_5$: можно выбрать или $\partial_5 q^{+a}=0$, что соответствует безмассовому $q^{+a}$, или $\partial_5 q^{+a} \sim mJ q^{+ a}$, что отвечает массивному $q^{+a}$. Суперспин 2. Глобальная симметрия, которую надо калибровать в случае спина $\mathbf{2}$, более сложная, ее преобразования имеют первый порядок по производным:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \delta_\mathrm{rig} q^{+a} = -\hat{\Lambda}_\mathrm{rig} q^{+a}, \\ \begin{aligned} \, \hat{\Lambda}_\mathrm{rig} &= ( \lambda^{\alpha\dot{\alpha}}_0 - 2i \lambda^{-\alpha}_0 \bar{\theta}^{+\dot{\alpha}} - 2i \theta^{+\alpha} \bar{\lambda}^{-\dot{\alpha}}_0) \partial_{\alpha\dot{\alpha}} + \lambda^{+\alpha}_0 \partial^-_{\alpha} + \bar{\lambda}^{+\dot{\alpha}}_0 \partial^-_{\dot{\alpha}} +{} \\ &\quad+( \lambda^5_0 + 2i \lambda^{\hat{\alpha}-}_0 \theta^+_{\hat{\alpha}}) \partial_5 := \Lambda^M_0 \partial_M, \qquad [\mathcal{D}^{++},\hat{\Lambda}_\mathrm{rig}] = 0. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта вариация включает пять постоянных бозонных параметров $\lambda^{\alpha\dot{\alpha}}_0$, $\lambda^5_0$, четыре постоянных спинорных параметра $\lambda^{\pm\hat{\alpha}_0} = \lambda^{\hat{\alpha}i}_0 u^\pm_i$ и может рассматриваться как копия глобальных преобразований $\mathcal{N}=2$ суперсимметрии в их активной форме. Мы калибруем именно эти преобразования и оставляем глобальной $\mathcal{N}=2$ суперсимметрию, реализованную на координатах суперпространства. В случае спина $\mathbf{2}$ имеются две возможности для калибровочных преобразований гипермультиплета:
$$
\begin{equation}
\delta_1 q^{+a} = -\hat{\Lambda}_{(2)} q^{+a}, \qquad \hat{\Lambda}_{(2)} : = \lambda^M \partial_M = \lambda^{\alpha\dot{\alpha}} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} + \lambda^{+\alpha} \partial^-_{\alpha} + \bar{\lambda}^{+\dot{\alpha}} \partial^-_{\dot{\alpha}} + \lambda^5 \partial_5,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
$$
\begin{equation}
\delta_2 q^{+a} = -\frac{1}{2} \Omega_{(2)} q^{+a}, \qquad \Omega_{(2)} := (-1)^{P(M)} \partial_M \lambda^M = \partial_{\alpha\dot{\alpha}}\lambda^{\alpha\dot{\alpha}} - \partial^-_{\alpha} \lambda^{+\alpha} - \partial^-_{\dot{\alpha}}\bar{\lambda}^{+\dot{\alpha}},
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
$$
\begin{equation*}
(\delta_1 + \delta_2) \mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free} = \frac{1}{2} q^{+a} [\mathcal{D}^{++}, \hat{\Lambda}_{(2)}] q^+_a.
\end{equation*}
\notag
$$
В качестве следующего шага мы вводим дифференциальный оператор
$$
\begin{equation}
\hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)} = h^{++\alpha\dot{\alpha}} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} + h^{++\hat{\mu}+} \partial^-_{\hat{\mu}} + h^{++5}\partial_5
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
с законом преобразования
$$
\begin{equation}
\delta \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)} = [\mathcal{D}^{++}, \hat{\Lambda}_{(2)}].
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Линейная по калибровочным суперполям часть калибровочно-инвариантного действия тогда выразится как
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free}\quad \to\quad \mathcal{L}^{+4 (s=2)}_\mathrm{gauge} = \mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free} - \frac{1}{2} q^{+a} \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)} q^+_a.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Заметим, что действие $\mathcal{L}^{+4 (s=2)}_\mathrm{gauge}$ можно сделать полностью калибровочно-инвариантным (а не только на линеаризованном уровне) посредством следующей модификации закона калибровочного преобразования (4.11) оператора $\hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)}$:
$$
\begin{equation}
\delta_\mathrm{full} \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)} = [\mathcal{D}^{++} +\hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)}, \hat{\Lambda}_{(2)}].
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Полное нелинейное действие $\mathcal{N}=2$ супергравитации, включающее чисто супергравитационную нелинейную часть, было построено в работе [33]. Суперспин 3. Особенность случая спина $\mathbf{3}$ состоит в том, что калибруемые преобразования с двумя производными и возникающие связи калибровочных суперполей с гипермультиплетом $q^{+ a}$ могут быть согласованно определены только ценой нарушения глобальной $SU(2)_\mathrm{PG}$ симметрии до подгруппы $U(1)$, генератор которой явно входит во все соотношения. Это свойство распространяется на все нечетные $\mathcal{N}=2$ спины. Хотя в случае спина $\mathbf{3}$ изначально можно ввести четыре независимых калибровочных преобразования $q^{+ a}$, только две их фиксированные комбинации могут быть скомпенсированы подходящими преобразованиями калибровочных суперполей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta_{\lambda} q^{+a} &= -\biggl[ \lambda^{\alpha\dot\alpha M}\partial_M\partial_{\alpha\dot\alpha} + \frac12 ( \partial_{\alpha\dot\alpha}\lambda^{\alpha\dot\alpha M})\partial_M + \frac12\Omega^{\alpha\dot\alpha}_{(3)}\partial_{\alpha\dot\alpha} +\frac12\Omega_{(3)}\biggr] (\tau_3)^a_{\;b} q^{+ b},\\ \delta_{\xi} q^{+a} &= - \xi \Omega_{(3)}J q^{+a} = - i\xi \Omega_{(3)}(\tau_3)^a_{\;b} q^{+ b}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где3
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda^{\alpha\dot\alpha M}\partial_M &= \lambda^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}\partial_{\beta\dot{\beta}} + \lambda^{(\alpha\beta)\dot{\alpha}+} \partial^-_\beta + \bar{\lambda}^{(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha+} \partial^-_{\dot{\beta}} + \lambda^{\alpha\dot{\alpha}} \partial_5, \\ \Omega_{(3)} &= (\partial_{\alpha\dot\alpha}\Omega_{(3)}^{\alpha\dot\alpha}), \qquad \Omega^{\alpha\dot\alpha}_{(3)} = (-1)^{P(M)}(\partial_M\lambda^{\alpha\dot\alpha M}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Определяя
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \hat{\mathcal{H}}^{++\alpha\dot{\alpha}} &= h^{++(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}\partial_{\beta\dot{\beta}} + h^{++(\alpha\beta)\dot{\alpha}+} \partial^-_\beta + \bar{h}^{++(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha+} \partial^-_{\dot{\beta}} + h^{++\alpha\dot{\alpha}} \partial_5, \\ \Gamma^{++\alpha\dot{\alpha}} &= \partial_{\beta\dot{\beta}}h^{++(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})}- \partial^-_{\beta}h^{++(\alpha\beta)\dot{\alpha}+} - \partial^-_{\dot{\beta}} h^{++\alpha(\dot{\alpha}\dot{\beta})+}, \end{aligned} \\ \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(3)} = \hat{\mathcal{H}}^{++\alpha\dot{\alpha}} \partial_{\alpha\dot{\alpha}}, \qquad \Gamma^{++}_{(3)} = \partial_{\alpha\dot{\alpha}}\Gamma^{++\alpha\dot{\alpha}}, \\ \delta \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(3)} = [\mathcal{D}^{++}, \hat{\Lambda}_{(3)}], \qquad \hat{\Lambda}_{(3)} = {\lambda}^{\alpha\dot{\alpha}M}\partial_M \partial_{\alpha\dot{\alpha}}, \qquad \delta\Gamma^{++}_{(3)} = \mathcal{D}^{++}\Omega_{(3)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
мы можем построить калибровочно-инвариантное расширение $q^+$ действия:
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{+4(s=3)}_\mathrm{gauge} = \mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free} -\frac12q^{+a} (\mathcal{D}^{++} + \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(3)} J +\xi \Gamma^{++}_{(3)} J ) q^+_a.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Наличие константы $\xi$ в калибровочном лагранжиане означает, что вне массовой оболочки существуют два возможных взаимодействия калибровочных $\mathcal{N}=2$ суперполей спина $\mathbf{3}$ с гипермультиплетом. Коэффициент $\xi$ есть безразмерная константа связи, определяющая относительную силу этих взаимодействий. Недавно было проверено, что на массовой поверхности $\xi$-член не дает вклада в кубическую вершину (по крайней мере, в бозонном секторе), он присутствует только вне массовой оболочки и, возможно, играет какую-то роль в квантовой теории [20]. Суперспин 4. В случае суперспина $\mathbf{4}$ преобразования $q^{+a}$ не требуют включения генераторов внутренней симметрии, т. е. они сохраняют $SU(2)_\mathrm{PG}$ инвариантность. Преобразования глобальной симметрии имеют третий порядок по производным и хорошо определены. Их локализация на аналитическом подпространстве допускает шесть независимых вариаций, но в итоге только три из них оказываются существенными:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta_1 q^{+a} = -\partial_{\alpha\dot{\alpha}} \partial_{\beta\dot{\beta}} \hat{\Lambda}^{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}} q^{+a}, \qquad \delta_2 q^{+a} = -\hat{\Lambda}^{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} \partial_{\beta\dot{\beta}} q^{+a}, \\ \delta_3 q^{+a} = -\partial_{\alpha\dot{\alpha}} \partial_{\beta\dot{\beta}} \Omega^{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}} q^{+a}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\hat{\Lambda}^{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}} = \lambda^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})M}\partial_M, \qquad \Omega^{\alpha\beta\dot{\alpha}\dot{\beta}} = (-1)^{P(M)}(\partial_M\lambda^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})M})
\end{equation*}
\notag
$$
и производные свободно действуют вправо. Можно найти
$$
\begin{equation*}
(\delta_1 + \delta_2 + \delta_3) \mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free} = \frac{1}{2} q^{+a} [\mathcal{D}^{++}, \hat{\Lambda}_{(4)}] q^+_a,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\hat{\Lambda}_{(4)}= \lambda^{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})M}\partial_M\partial_{\alpha\dot{\alpha}}\partial_{\beta\dot{\beta}}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Эта комбинация вариаций однозначно выделяется требованием, чтобы ее можно было скомпенсировать калибровочными преобразованиями калибровочного $\mathbf{s}=4$ мультиплета. Ковариантизованный $q^{+a}$ лагранжиан имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{+4(s=4)}_\mathrm{gauge} = - \frac12 q^{+a} (\mathcal{D}^{++} + \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(4)}) q^+_a,
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
где
$$
\begin{equation}
\hat{\mathcal{H}}^{++}_{(4)} = h^{++(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})M}\partial_M\partial_{\alpha\dot{\alpha}}\partial_{\beta\dot{\beta}}, \qquad \delta \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(4)} = [\mathcal{D}^{++},\hat{\Lambda}_{(4)}].
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Минимальные взаимодействия гипермультиплета с калибровочными $\mathcal{N}=2$ мультиплетами высших суперспинов $\mathbf{s}$ могут быть построены аналогичными методами, и они имеют единую кубическую структуру с калибровочными суперполями и калибровочными параметрами, объединенными в подходящие дифференциальные операторы ранга $(\mathbf{s -1})$. Наше рассмотрение непосредственно обобщается на несколько гипермультиплетов. Свободный лагранжиан $n$ гипермультиплетов записывается в следующем явно $USp(2n)$-инвариантном виде:
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}^{+4}_{\mathrm{free}, n} = -\frac12 q^{+ A}\mathcal{D}^{++}q^+_A, \qquad \widetilde{q^+_A} = \Omega^{AB} q^+_B, \qquad A = 1, 2, \ldots , 2n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\Omega^{AB} = -\Omega^{BA}$ – $USp(2n)$ инвариантная постоянная $(2n \times 2n)$-симплектическая метрика. Эквивалентная комплексная форма лагранжиана дается выражением
$$
\begin{equation*}
\mathcal{L}^{+4}_{\mathrm{free}, n} \sim \tilde{q}^{+a}\mathcal{D}^{++}q^+_a -\mathcal{D}^{++} \tilde{q}^{+a} q^+_a, \qquad a= 1, 2, \ldots, n, \quad q^+_A = (q^+_a, - \tilde{q}^{+ a}),
\end{equation*}
\notag
$$
в котором явная симметрия понижена до $U(n)= SU(n)\times U(1) \subset USp(2n)$. По отношению к этой группе $q^+_a$ и $\tilde{q}^{+ a}$ преобразуются по фундаментальному и сопряженному представлениям. Один из возможных выборов $U(1)$ генератора, необходимого для описания нечетных спинов, определяется соотношениями
$$
\begin{equation*}
J q^+_a = i q^+_a, \qquad J \tilde{q}^{+ a} = -i \tilde{q}^{+ a},
\end{equation*}
\notag
$$
показывающими, что исходная $USp(2n)$ симметрия нарушается до $U(n)$. Возможны и другие варианты для $J$, нарушающие также и $SU(n)$ симметрию. Следует подчеркнуть, что для всех суперспинов, за исключением $\mathbf{s}= 1$ и $\mathbf{s}= 2$, кубическая вершина калибровочно-инвариантна только в низшем порядке по калибровочным суперполям. В общем случае мы не можем повторить прием, который работал в случае суперспина $\mathbf{2}$: заменить плоскую гармоническую производную $\mathcal{D}^{++}$ в калибровочном законе $\hat{\cal H}^{++}_{(s)}$ на “калибровочно-ковариантную” $\mathcal{D}^{++} + \hat{\cal H}^{++}_{(s)}$ по аналогии с (4.13). Из-за присутствия высших степеней производных в дифференциальных операторах $ \hat{\cal H}^{++}_{(s)}$ для $s\geqslant 3$ такая наивная замена не обеспечит полную ковариантность. Не исключено, что для решения этой проблемы потребуется с самого начала добавить некоторые калибровочные преобразования более высоких спинов, с параметрами, подходящим образом построенными из $\hat{\Lambda}_{(s)}$ (например, включающими ее производные), и, следовательно, допустить присутствие всех потенциалов высших суперспинов, $\hat{\cal H}^{++}_{(s')}, s' > s$. $\omega$-Представление. Еще одно заслуживающее внимания свойство состоит в том, что $q^{+a}$ описание гипермультиплета приводит к формализму первого порядка для физических скалярных полей, а правильный лагранжиан второго порядка восстанавливается только после исключения некоторого вспомогательного векторного поля в $q^{+a}$. Одновременно, помимо исходной трилинейной вершины, возникает вершина четвертого порядка, включающая два калибровочных поля и два физических скаляра4. Явно $\mathcal{N}=2$ суперсимметричная версия перехода от формализма первого порядка к формализму второго порядка связана с $\omega$-формализмом, основанным на следующем эквивалентном представлении для $q^{+ a}$:
$$
\begin{equation}
q^{+}_ a = u^{+}_a \omega + u^{-}_a L^{++}, \qquad L^{++} = u^{+ a}q^+_a, \qquad \omega = -u^{- a}q^+_a,
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
где $ L^{++} = L^{++}(\zeta_A)$, $\omega = \omega(\zeta_A)$. После этой замены переменных лагранжиан в (4.1) с точностью до полной гармонической производной принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free} = L^{++}\mathcal{D}^{++}\omega + \frac12 (L^{++})^2 .
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Варьируя его по вспомогательному суперполю $L^{++}$, получаем $L^{++} = -\mathcal{D}^{++}\omega$ и после подстановки этого выражения обратно в (4.22) приходим к $\omega$-форме лагранжиана гипермультиплета
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{+4}_\mathrm{free} \quad \Rightarrow \quad -\frac12 (\mathcal{D}^{++}\omega)^2.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Применяя тот же прием к лагранжиану, содержащему кубическую вершину взаимодействия, мы можем найти $\omega$-представление для соответствующих калибровочно-ковариантизованных $q^{+ a}$ действий. Эта процедура проводится довольно прямолинейно для вершин четного спина $\mathbf{s}$, но она не столь проста для нечетных $\mathbf{s}$ из-за присутствия нарушающего $SU(2)_\mathrm{PG}$ симметрию оператора $J$ в этом случае. Хотя второй тип теорий также допускает переход к $\omega$-представлению, хотя и с несколько более сложной, чем (4.21), суперполевой заменой5, здесь мы ограничимся случаем четных суперспинов и для простоты рассмотрим только суперспины $\mathbf{s} = 2, 4$. Совершая замену (4.21) в лагранжиане (4.12), получаем с точностью до полной производной
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{L}^{+4(s=2)}_\mathrm{gauge} &= \mathcal{D}^{++}\omega L^{++} + \frac12 (L^{++})^2 + L^{++} \biggl[\hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)}+ \frac12 \Gamma^{++}_{(2)}\biggr] \omega, \\ \Gamma^{++}_{(2)}& := (-1)^{P(M)} \partial_M h^{++ M}. \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
Варьируя $L^{++}$ и подставляя результат обратно в (4.24), получаем $\omega$-вариант ковариантизованного $q^{+a}$ лагранжиана для суперспина $\mathbf{s}=2$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{+4(s=2)}_\mathrm{gauge} \quad \Rightarrow \quad -\frac12 \biggl[\biggl(\mathcal{D}^{++} + \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)}+ \frac12 \Gamma^{++}_{(2)}\biggr)\omega\biggr]^2.
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Можно проверить, что
$$
\begin{equation}
\delta_\mathrm{full}\omega = (\delta_1 + \delta_2)\omega = -\biggl(\hat\Lambda_{(2)} + \frac12 \Omega_{(2)}\biggr)\omega
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
и
$$
\begin{equation}
\delta_\mathrm{full} \Gamma^{++}_{(2)} = (\mathcal{D}^{++} + \hat{\mathcal{H}}^{++}_{(2)})\Omega_{(2)} - \hat\Lambda_{(2)} \Gamma^{++}_{(2)}.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Тогда легко получить
$$
\begin{equation}
\delta_\mathrm{full} \mathcal{L}^{+4(s=2)}_\mathrm{gauge} = \frac12 ( \hat{\Lambda}_{(2)} + \Omega_{(2)})\mathcal{L}^{+4(s=2)}_\mathrm{gauge}.
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
Это выражение – полная производная: результат интегрирования по частям по отношению к $\partial_M$ в первом члене в точности сокращает второй член. $\omega$-Представление ковариантизованного действия (4.20) для суперспина $\mathbf{4}$ может быть выведено подобным же образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{+4(s=4)}_\mathrm{gauge} \quad \Rightarrow \quad-\frac12 \biggl[\biggl(\mathcal{D}^{++} + \hat{\cal H}^{++}_{(4)}+ \frac12 \Gamma^{++}_{(4)}\biggr)\omega\biggr]^2,
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Gamma^{++}_{(4)}:= (-1)^{P(M)} \partial_{\alpha\dot\alpha}\partial_{\beta\dot\beta}\partial_M h^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)M}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
(напомним, что точечные и бесточечные индексы в $h^{++(\alpha\beta)(\dot\alpha\dot\beta)M}$ должны быть симметризованы с теми, которые скрыты в мультииндексе $M$). Лагранжиан для общего четного $\mathbf{s}$ в $\omega$-представлении строится как непосредственное обобщение (4.24) и (4.29). Хотя $\omega$-действия для $\mathbf{s}\geqslant 4$ подобно их кубическим $q^{+ a}$ аналогам калибровочно-инвариантны только в первом порядке по калибровочным суперполям, их можно рассматривать как полезную отправную точку для построения гипотетических полностью калибровочно-инвариантных действий гипермультиплета, так как они автоматически включают вершину, билинейную по калибровочным суперполям, которая приводит к корректным компонентным действиям второго порядка для физических бозонных полей материи (все высшие производные появляются только в вершинах взаимодействия).
5. Уравнения движения и супертокиВ недавней работе [20] было проведено детальное изучение суперполевых уравнений движения, соответствующих сумме линеаризованных действий для $\mathcal{N}=2$ калибровочных суперполей высших спинов и ковариантизованных действий гипермультиплета. Варьирование по аналитическим калибровочным потенциалам дает как явный вид супеполевых уравнений с источниками, так и точную структуру этих источников в терминах суперполей гипермультиплета. С другой стороны, варьирование по $q^{+ a}$ приводит к ковариантизованным уравнениям для гипермультиплета. Частичное решение последних фиксирует гармоническую зависимость $q^{+ a}$ и выражает это суперполе через физические поля. В этом разделе основной фокус сосредоточен на первом типе уравнений. Восстановить константы связи гипермультиплета удобно через подстановку $(\hat{H}^{++}_{(s)}, \Gamma^{++}_{(s)}) \Rightarrow (\kappa_s\hat{H}^{++}_{(s)}, \kappa_s\Gamma^{++}_{(s)})$ с $[\kappa_s] = - \mathbf{s} + 1$ в единицах массы в уравнениях (4.7), (4.12), (4.13), (4.16), (4.19), (4.24), (4.27), (4.29) и их аналогах для высших $\mathbf{s}$. Первый нетривиальный пример токовых суперполей предоставляет $\mathcal{N}=2$ теория с суперспином $\mathbf{2}$. Вариации по отношению к аналитическим потенциалам линеаризованной $\mathcal{N}=2$ супергравитации,
$$
\begin{equation*}
h^{++\alpha\dot{\alpha}},\quad h^{++5},\quad h^{++\alpha+},\quad h^{++\dot{\alpha}+},
\end{equation*}
\notag
$$
в сумме чисто калибровочного действия суперспина $\mathbf{2}$ и взаимодействия соответствующих калибровочных суперполей с гипермультиплетом приводят к уравнениям движения с источниками6:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & (D^+)^4 G^{--\alpha \dot{\alpha} }= \frac{1}{2} \kappa_2 J^{++\alpha \dot{\alpha}}, \\ &(D^+)^4 G^{--5 } = \frac{1}{2} \kappa_2 J^{++}, \\ &(\bar{D}^+)^2 D^{+\alpha} G^{--}_{\alpha \dot{\alpha}} - (D^+)^2 \bar{D}^+_{\dot{\alpha}} G^{--5} = 2i \kappa_2 \mathcal{J}^+_{\dot{\alpha}}, \\ &(D^+)^2 \bar{D}^{+\dot{\alpha}} G^{--}_{\alpha \dot{\alpha}}+ (\bar{D}^+)^2 D^+_{\alpha} G^{--5} = 2i \kappa_2 \mathcal{J}^+_{\alpha }, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal{J}^+_{\alpha} = J^+_\alpha - 2i \bar{\theta}^{-\dot{\mu}} J^{++}_{\alpha\dot{\mu}} + 2i \theta^-_\alpha J^{++}, \qquad \mathcal{J}^+_{\dot{\alpha}} = J^+_{\dot{\alpha}} + 2i \theta^{-\mu} J^{++}_{\mu\dot{\alpha}} + 2i \bar{\theta}^-_{\dot{\alpha}} J^{++}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J^{++}_{\alpha\dot{\alpha}} &= - \frac{1}{2} q^{+a} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} q^+_a, \qquad J^{++} = - \frac{1}{2} q^{+a} \partial_5 q^+_a, \\ J^+_\alpha &= -\frac{1}{2} q^{+a} \partial^-_{\alpha} q^+_a, \qquad J^+_{\dot{\alpha}} = -\frac{1}{2} q^{+a} \partial^-_{\dot{\alpha}} q^+_a. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Заметим, что все эти токовые суперполя можно отождествить с подходящими проекциями единого неаналитического “главного” токового суперполя $\mathcal{J}$, введенного (в суперконформном случае) в работе [34]:
$$
\begin{equation}
\mathcal{J} := - \frac{1}{2} q^{+a} \mathcal{D}^{--} q^+_a, \qquad \mathcal{D}^{++} \mathcal{J} = 0.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Действительно, используя линеаризованные уравнения движения и аналитичность $q^{+ a}$, из (5.4) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{J}^+_\alpha = D^+_\alpha \mathcal{J}, \qquad \mathcal{J}^+_{\dot{\alpha}} = -\bar{D}^+_{\dot{\alpha}} \mathcal{J}, \\ J^{++}_{\alpha\dot{\alpha}} = -\frac{i}{2} D^{+}_\alpha \bar{D}^+_{\dot{\alpha}} \mathcal{J}, \qquad J^{++} = \frac{i}{4} (D^+)^2 \mathcal{J} = - \frac{i}{4} (\bar D^+)^2 \mathcal{J}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Геометрический смысл суперполя $\mathcal{J}$ становится ясным в суперконформном случае, где оно появляется как гипермультиплетное токовое суперполе, связанное с дополнительным аналитическим калибровочным потенциалом $H^{+4}$ [35]. Из этого представления немедленно следует единый закон сохранения
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{++}J^{++}_{\alpha\dot{\alpha}} = \mathcal{D}^{++}\mathcal{J}^+_\alpha = \mathcal{D}^{++} J^{++} = 0,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
который согласован с действием $\mathcal{D}^{++}$ на левые части уравнений (5.1), дающим ноль как следствие гармонической аналитичности и условия нулевой кривизны (2.11). Наиболее важным объектом является суперток $J^{++}_{\alpha\dot{\alpha}}$, поскольку он содержит в себе тензор энергии-импульса, фермионный спин-векторный ток и векторный ток $R$-симметрии. Он удовлетворяет дополнительному закону сохранения
$$
\begin{equation}
\partial_{\alpha\dot{\alpha}}J^{++ \alpha\dot{\alpha}} = 0.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Обобщением уравнений (5.1) на случай $\mathcal{N}=2$ суперспина $\mathbf{s} =3$ является следующая система:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, (D^+)^4 G^{--(\alpha\beta) (\dot{\alpha}\dot{\beta}) }&= -\frac{1}{2} \kappa_3 J^{++(\alpha\beta) (\dot{\alpha}\dot{\beta}) }, \\ (D^+)^4 G^{--5\alpha \dot{\alpha} } &= -\frac{1}{2} \kappa_3 J^{++\alpha \dot{\alpha}}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, (\bar{D}^+)^2 D^{+\beta} G^{--}_{(\beta\alpha) (\dot{\alpha}\dot{\beta})} - (D^+)^2 \bar{D}^+_{(\dot{\alpha}} G^{--5}_{\alpha \dot{\beta})} & = -2i \kappa_3 \mathcal{J}^+_{\alpha (\dot{\alpha}\dot{\beta})}, \\ (D^+)^2 \bar{D}^{+\dot{\beta}} G^{--}_{(\alpha\beta) (\dot{\beta}\dot{\alpha})} + (\bar{D}^+)^2 D^+_{(\alpha} G^{--5}_{\beta) \dot{\alpha}} & = -2i \kappa_3 \mathcal{J}^+_{(\alpha\beta) \dot{\alpha}}, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J^{++}_{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} & = - \frac{1}{2} q^{+a} \, \partial_{(\alpha \dot{\alpha}} \partial_{\beta) \dot{\beta}} J q^+_a - \frac{1}{2} \xi \,\partial_{(\alpha \dot{\alpha}} \partial_{\beta) \dot{\beta}} (q^{+a} J q^+_a ), \\ J^{++}_{\alpha\dot{\alpha}} &= - \frac{1}{2} q^{+a}\, \partial_{\alpha\dot{\alpha}} J\, \partial_5 q^+_a, \\ J^+_{(\alpha\beta)\dot{\alpha}} &= - \frac{1}{2} q^{+a}\,\partial_{(\alpha\dot{\alpha}} \partial^-_{\beta)} J q^+_a - \frac{1}{2} \xi\, \partial_{(\alpha\dot{\alpha}} \partial^-_{\beta)} ( q^{+a} J q^+_a), \\ J^+_{(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha} &= - \frac{1}{2} q^{+a}\,\partial_{\alpha(\dot{\alpha}} \partial^-_{\dot{\beta})} J q^+_a - \frac{1}{2} \xi\, \partial_{\alpha(\dot{\alpha}} \partial^-_{\dot{\beta})} (q^{+a} J q^+_a). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Как и в случае $\mathbf{s}=2$, эти токовые суперполя можно получить из единого “главного” токового суперполя, на этот раз векторного,
$$
\begin{equation}
\mathcal{J}_{\alpha\dot{\alpha}} := - \frac{1}{2} q^{+a} \mathcal{D}^{--} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} J q^+_a - \frac{1}{2} \xi \mathcal{D}^{--} \partial_{\alpha\dot{\alpha}} (q^{+a} J q^+_a),
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
которое удовлетворяет на массовой поверхности гипермультиплета закону сохранения
$$
\begin{equation}
\mathcal{D}^{++} \mathcal{J}_{\alpha\dot{\alpha}} = -\frac{1}{2} q^{+a}\, \partial_{\alpha\dot{\alpha}} J q^+_a - \xi \, \partial_{\alpha\dot{\alpha}}(q^{+a} J q^+_a).
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Из (5.10) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{J}^+_{(\alpha\beta)\dot{\alpha}} = D^+_{(\alpha} \mathcal{J}_{\beta)\dot{\alpha}}, \qquad \mathcal{J}^+_{(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha} = -\bar{D}^+_{(\dot{\alpha}} \mathcal{J}_{\dot{\beta})\alpha}, \\ J^{++}_{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} = -\frac{i}{2} D^{+}_{(\alpha} \bar{D}^+_{(\dot{\alpha}} \mathcal{J}_{\beta)\dot{\beta})}, \qquad J_{\alpha\dot{\alpha}}^{++} = \frac{i}{4}(D^+)^2 \mathcal{J}_{\alpha\dot{\alpha}} = -\frac{i}{4}(\bar D^+)^2 \mathcal{J}_{\alpha\dot{\alpha}}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{J}^+_{(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha }& = J^+_{(\dot{\alpha}\dot{\beta})\alpha } + 2i \theta^{-\mu} J^{++}_{(\alpha\mu)(\dot{\alpha}\dot{\beta})} + 2i \bar{\theta}^-_{(\dot{\alpha}}J^{++}_{\alpha\dot{\beta})}, \\ \mathcal{J}^+_{(\alpha\beta) \dot{\alpha}}& = J^+_{(\alpha\beta) \dot{\alpha}} - 2i \bar{\theta}^{-\dot{\mu}} J^{++}_{(\alpha\beta)(\dot{\alpha}\dot{\mu})} + 2i \theta^-_{(\alpha} J^{++}_{\beta)\dot{\alpha}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Токовые суперполя удовлетворяют стандартным гармоническим законам сохранения $\mathcal{D}^{++}J^{++}_{\alpha\dot\alpha} = 0$ и т. п. Описанная конструкция допускает прямое обобщение на случай произвольного $\mathcal{N}=2$ суперспина $\mathbf{s}$. Необходимо отметить, что супертоки в $\mathcal{N}=2$ суперсимметричных теориях высших спинов обсуждались в работе [36] (см. также [37] и недавние статьи [38], [39]) без использования подхода гармонического суперпространства. По-видимому, такие модели отвечают специальному выбору калибровки для аналитических потенциалов. Важно подчеркнуть, что в упомянутых работах токовые суперполя строятся в рамках описания гипермультиплетов на массовой оболочке в терминах стандартных $\mathcal{N}=2$ (или $\mathcal{N}=1$) суперполей, подверженных подходящим связям. Главное отличие подхода, разработанного в работах [15], [18] и [20], состоит в том, что в нем описание как калибровочных $\mathcal{N}=2$ мультиплетов высших спинов, так и гипермультиплетов материи осуществляется вне массовой оболочки на основе гармонических аналитических суперполей без сторонних связей. 6. Заключение$\mathcal{N}= 2$ теория высших спинов $\mathbf{s}\geqslant 3$ открывает новую перспективную область применения подхода гармонического суперпространства, который ранее показал себя незаменимым для описания более привычных $\mathcal{N}= 2$ теорий с максимальными спинами $s\leqslant 2$. Как и в этих теориях, главным принципом, лежащим в основе новых теорий с высшими спинами, является гармоническая грассманова аналитичность: все калибровочные потенциалы описываются аналитическими суперполями без связей, включающими бесконечное число вспомогательных полей вне массовой оболочки до фиксации калибровок типа Весса–Зумино. Оставшиеся вопросы и проблемы:
БлагодарностиЯ благодарен организаторам конференции, посвященной памяти А. А. Славнова, за приглашение и за теплое гостеприимство в Математическом институте им. В. А. Стеклова. Я признателен моим соавторам Иосифу Бухбиндеру и Никите Заиграеву, на общих публикациях с которыми в значительной степени основана статья. Я также благодарен рецензенту за полезные замечания, позволившие сделать изложение более полным и, надеюсь, понятным. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Iva23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|