| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Сигма-модели как модели Гросса–Невё. II Д. В. Быковab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Институт теоретической и математической физики, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120048 
Реферативные базы данных:
   Памяти А. А. Славнова, с благодарностью Цель настоящей статьи – собрать воедино некоторые идеи, относящиеся к обнаруженному недавно соответствию между интегрируемыми моделями в двумерном пространстве и нильпотентными (ко)присоединенными орбитами комплексных групп Ли (см. [1], [2] и литературу, приведенную в этих статьях). Хотя это может показаться не вполне очевидным, последние возникают в физике в контексте моделей Гросса–Невё. В настоящей работе в основном обсуждается классическая теория1, хотя мы вкратце остановимся также на квантовании одномерных моделей. Как мы увидим, классическая теория сама по себе весьма богата и, в частности, из нее вытекают связи с гармоническими отображениями в однородные пространства (сигма-модели), нильпотентными орбитами, разрешениями замыканий нильпотентных орбит и колчанными представлениями подобных многообразий. На настоящий момент существование подобных взаимосвязей не вызывает сомнений, что, весьма вероятно, приведет в будущем к лучшему пониманию сигма-моделей на квантовом уровне, однако некоторые шаги по-прежнему остаются гипотезами. 1. Сигма-модели в механикеНачнем с одномерных прототипов тех двумерных моделей, о которых пойдет речь далее. Пусть $x\colon\mathbb R_t\mapsto(\mathcal M,\varkappa)$ – траектория частицы, движущейся на римановом многообразии $\mathcal M$ с метрикой $\varkappa$. Описание свободного движения частицы эквивалентно задаче о геодезических на многообразии $\mathcal M$: уравнения движения получаются путем экстремизации действия
$$
\begin{equation}
\mathcal S=\int\,dt\,\frac{1}{2}\varkappa_{ij}\dot x^i\dot x^j.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Гамильтонова формулировка данной системы предполагает, что задано симплектическое многообразие $(T^\ast\mathcal M,\,\Omega=\sum_i\,dp_i\wedge dx^i)$ и соответствующая траектория движения $y\colon\mathbb R_t\mapsto T^\ast\mathcal M$. В таком случае действие можно переписать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal S=\int\,dt\biggl(\sum_ip_i\dot x^i-\mathsf H(x,p)\!\biggr),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\mathsf H$ – гамильтониан. Интересный класс многообразий, для которых в некоторых случаях можно решить уравнения явно, – это однородные пространства где $G$ – компактная редуктивная группа Ли. В этом случае пространство однородных (т. е. $G$-инвариантных) метрик конечномерно [8], а его размерность $M$ зависит от конкретного многообразия. Важный подкласс составляют симметрические пространства, для которых $M=1$, т. е. в этом случае метрика единственна с точностью до общего множителя. В общем случае задача о геодезических даже на однородном пространстве может не быть решаемой (см. [9], [10]). Однако всегда существует специальная метрика (которая называется нормальной), в которой задача априори решается (см. гл. X в [8]). В рамках гамильтоновой формулировки данную метрику можно описать следующим образом (независимое определение дано в п. 1.1). На $\mathcal M$ задано действие группы Ли $G$, которое можно продолжить до действия $G$ на $T^\ast\mathcal M$. Следовательно, можно определить отображение момента2 где $\mathsf g$ – алгебра Ли группы $G$. Так как алгебра Ли $\mathsf g$ редуктивна, на ней существует невырожденная $ad$-инвариантная метрика $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$. На практике данная метрика дается формой следа $\langle a,b\rangle=\operatorname{Tr}(ab)$ в матричном представлении алгебры $\mathsf g$. Благодаря метрике можно отождествить $\mathsf g^\vee\simeq\mathsf g$, поэтому мы будем попеременно считать $\mu$ элементом либо $\mathsf g^\vee$, либо $\mathsf g$ в зависимости от контекста.Определим гамильтониан Наша цель – показать, что соответствующие гамильтоновы уравнения отвечают геодезическому потоку в определенной метрике. Компоненты матрицы отображения момента имеют вид где $T$ – фиксированный генератор из алгебры Ли $\mathsf g$, а $v_T=v^i_T\,\partial/\partial x^i$ – векторное поле на $\mathcal M$, порождающее поток однопараметрической подгруппы $\{e^{sT},\,s\in\mathbb R\}\subset G$. Следовательно, гамильтониан можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\mathsf H=\frac{1}{2}\sum_ap_ip_jv^i_{T_a}v^j_{T_a},
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
где сумма берется по ортонормированному набору генераторов $T_a$ алгебры Ли $\mathsf g$. Таким образом, мы получили частный случай гамильтониана (1.3), когда обратная метрика имеет вид Метрики такого типа возникали, например, в работе [12]. Поясним, прежде всего, почему уравнения Гамильтона в данном случае разрешимы. Важное наблюдение состоит в том, что в силу $G$-симметрии задачи отображение момента $\mu$ (или, более точно, композиция $\mu\circ y\colon\mathbb R_t\mapsto\mathsf g$, которую мы обозначаем тем же символом) является сохраняющейся величиной согласно теореме Нётер:
$$
\begin{equation}
\dot\mu=0\quad\quad\Longrightarrow\quad\mu=\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Уравнения движения, которые получаются вариацией по $p$, имеют вид Другими словами, решения уравнений описывают силовые линии векторного поля $v_\mu$, отвечающего однопараметрической подгруппе группы $G$, порожденной элементом $\mu$. Таким образом, задача полностью решена: все геодезические являются орбитами однопараметрических подгрупп в $G$. 1.1. Нормальная метрикаПрежде чем идти дальше, дадим независимое определение нормальной метрики на $\mathcal M=G/H$. Рассмотрим стандартное разложение алгебры Ли $\mathsf g$: где $\mathsf m$ – ортогональное дополнение к $\mathsf h$ в метрике $\langle\,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$. Далее определим ток Маурера–Картана $\hat j=-g^{-1}\,dg$ ($g\in G$), представляющий собой 1-форму на $G$ со значениями в $\mathsf g$. Более инвариантным образом можно определить
$$
\begin{equation}
\hat j(v_T)=-g^{-1}Tg\qquad\text{для любого генератора}\quad T\in\mathsf g.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Стандартная процедура состоит в том, чтобы разложить ток $\hat j$ в соответствии с (1.12): Относительно правого действия группы $H$ ($g\to gh$, где $h\in H$) ток преобразуется как $\hat j_{\mathsf m}\to h^{-1}\hat j_{\mathsf m}h$. На самом деле удобнее иметь дело с калибровочно-инвариантной 1-формой $\widehat J_{\mathsf m}:=g\hat j_{\mathsf m}g^{-1}$, при помощи которой можно построить метрику с элементом длины
$$
\begin{equation*}
ds^2=\langle\widehat J_{\mathsf m},\widehat J_{\mathsf m}\rangle.
\end{equation*}
\tag{1.15}
$$
Эта метрика и называется нормальной, обозначим ее $\varkappa_{\mathrm{norm}}$. Покажем, что данное определение эквивалентно предыдущему, т. е. $\varkappa_{\mathrm{norm}}=\varkappa$. Для этого вспомним, что на $\mathcal M$ имеются как базисные векторные поля $v_{T_a}$, так и базисные 1-формы $\theta_{T_a}=\langle T_a,\widehat J_{\mathsf m}\rangle$ для каждого генератора $T_a\in\mathsf g$, которые можно связать при помощи метрики (1.9) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\varkappa^{-1}(\,\bullet\,,\theta_{T_b})=\sum_av_{T_a} \langle T_a,\widehat J_{\mathsf m}(v_{T_b})\rangle \equiv v_{\widehat J_{\mathsf m}(v_{T_b})}:=\theta_{T_b}^\vee,
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widehat J_{\mathsf m}(v_{T_b})=-g[g^{-1}T_bg]_{\mathsf m}g^{-1}.
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
В последней формуле мы воспользовались свойством (1.13). Далее заметим, что
$$
\begin{equation}
\varkappa_{\mathrm{norm}}(\theta_{T_b}^\vee,\theta_{T_c}^\vee) =\langle[g^{-1}T_b g]_{\mathsf m},[g^{-1}T_cg]_{\mathsf m}\rangle.
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
С другой стороны,
$$
\begin{equation}
\varkappa(\theta_{T_b}^\vee,\theta_{T_c}^\vee)=\theta_{T_b}(\theta_{T_c}^\vee) =\langle T_b,g[g^{-1}T_cg]_{\mathsf m}g^{-1}\rangle =\varkappa_{\mathrm{norm}}(\theta_{T_b}^\vee,\theta_{T_c}^\vee),
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
что тем самым доказывает эквивалентность двух определений метрики. 1.2. Квантовый случайЕще один важный факт состоит в том, что для данной метрики можно явным образом решить задачу диагонализации гамильтониана в квантовом случае. При квантовании гамильтониан (1.6) переходит в $\widehat{\mathsf H}=-\triangle$, где $\triangle$ – лапласиан для нормальной метрики. Мы не будем этого доказывать, но гамильтониан эквивалентен квадратичному оператору Казимира, действующему в гильбертовом пространстве
$$
\begin{equation}
\mathcal H=L^2(G/H)=\bigoplus_{i\in\mathcal I}V_i\otimes\mathbb C^{m_i}\,,
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
где суммирование ведется по подмножеству $\mathcal I$ неприводимых представлений $V_i$ группы $G$, а $m_i$ – кратность представления. Разложение (1.21) может быть построено при помощи теоремы Петера–Вейля3. Это означает, что задача нахождения спектра гамильтониана $\widehat{\mathsf H}$ сводится к задаче нахождения значений оператора Казимира $\mathcal C_2$ в представлениях $V_i$. 1.2.1. СферыВ качестве примера, когда гильбертово пространство и спектр могут быть определены явно, рассмотрим случай сферы $G/H=S^{n-1}$. Будет полезным представить сферу в виде фактора где $\mathbb R^+$ – группа положительных чисел по умножению. Данное представление удобно потому, что группа $G=O(n)$ действует в $\mathbb R^n$ линейно, в связи с чем векторные поля $v_{T_a}(x)$ также линейные. Начнем со свободного действия
$$
\begin{equation}
\mathcal S_0=\int\,dt\biggl(\,\sum_{i=1}^np_i(\dot x^i-A x^i)\biggr),
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
где $x^i$ – координаты в $\mathbb R^n$, а фактор $\mathbb R^+$ реализован при помощи калибровочного поля, которое с точки зрения гамильтоновой формулировки задает симплектическую редукцию. Хотя подобное описание может на первый взгляд показаться избыточным, в конечном итоге оно существенным образом упрощает описание. Калибровочные преобразования действуют следующим образом:
$$
\begin{equation}
x^i\mapsto\lambda x^i,\quad p_i\mapsto\lambda^{-1} p_i,\quad A\mapsto A+\frac{d}{dt}(\ln\lambda),\qquad\lambda\in\mathbb R^+\,.
\end{equation}
\tag{1.24}
$$
Данная система отвечает симплектической редукции
$$
\begin{equation}
(T^\ast\mathbb R^n\setminus\{0\})\,/\!/\,\mathbb R^+ \simeq\biggl\{\sum_ip_ix^i=0\subset T^\ast\mathbb R^n\setminus\{0\}\biggr\}\,/\,\mathbb R^+,
\end{equation}
\tag{1.25}
$$
где выражение в скобках – это отображение момента, полученное путем вариации по калибровочному полю. Отображение момента, отвечающее действию глобальной группы симметрии $O(n)$, имеет вид $\mu=x\otimes p-p\otimes x\in\mathsf o(n)$. Учитывая также гамильтониан (1.6), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal S&=\mathcal S_0+\frac{1}{2}\int\,dt\,\operatorname{Tr}(\mu^2)= \nonumber \\ &=\int\,dt\biggl(\sum_ip_i(\dot x^i-A x^i)-\sum_j(x^j)^2\cdot\sum_k(p_k)^2 +\biggl(\sum_ix^ip_i\biggr)^{\!2}\,\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.26}
$$
Заметим, что последнее слагаемое пропорционально условию связи, возникающему при вариации по калибровочному полю $A$, поэтому его можно отбросить (можно, например, сделать сдвиг $A\mapsto A+\sum_ix^ip_i$, позволяющий избавиться от данного слагаемого). Систему (1.26) легко проквантовать. Постулируем канонические коммутационные соотношения $[x^j,p_k]=i\,\delta_k^j$, тогда импульс можно представить в виде $p_k=-i\,\partial/\partial x^k$. Гамильтониан и условие связи можно получить из (1.26):
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathsf H}\psi=-\sum_j(x^j)^2 \cdot\sum_k\frac{\partial^2\psi}{\partial(x^k)^2},\qquad \mathcal C\psi=\sum_jx^j\frac{\partial\psi}{\partial x^j}=0.
\end{equation}
\tag{1.27}
$$
Из условия связи следует, что $\psi$ является функцией от отношений $x_i/x_j$, т. е. хорошо определенной функцией на факторе $(\mathbb R^n\setminus\{0\})/\mathbb R^+$, что тем самым оправдывает выбор упорядочения операторов в условии связи (1.27). Для собственных функций гамильтониана выберем естественный анзац однородных функций (здесь $\|x\|^2=\sum_i(x^i)^2$)
$$
\begin{equation}
\psi_\ell=\frac{1}{\|x\|^\ell}\sum_{i_1,\dots,i_\ell=1}^n A_{i_1\dotsb i_\ell}x^{i_1}\dotsb x^{i_\ell}
\end{equation}
\tag{1.28}
$$
с постоянными коэффициентами $A_{i_1\dotsb i_\ell}$. Легко убедиться, что, для того чтобы $\psi_\ell$ была собственной функцией, тензор $A$ должен быть бесследовым: $\sum_jA_{j\,j\,i_3\dotsb i_\ell}=0$ для любых $i_3,\dots,i_\ell$. Другими словами, выражение в числителе представляет собой гармонический полином, в то время как наличие знаменателя эффективно означает, что данный полином ограничен на сферу $S^{n-1}$. Тем самым воспроизводится известная взаимосвязь между сферическими гармониками и гармоническими полиномами. Действуя на $\psi_\ell$ гамильтонианом $\widehat{\mathsf H}$, находим спектр:
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathsf H}\psi_\ell=\ell(\ell+n-2)\psi_\ell,\qquad \ell=0,1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{1.29}
$$
Заметим также, что если ограничиться четными значениями $\ell=0,2,4,\dots$, то получится спектр вещественного проективного пространства $\mathbb{RP}^{n-1}$. В этом случае мы имеем фактор по группе $\mathbb R^\ast$, а не по $\mathbb R^+$, и инвариантными относительно такой факторизации являются только состояния $\psi_\ell$ с четными значениями $\ell$. Похожая конструкция применима к $\mathbb C\mathbb P^{n-1}$ и, по всей видимости, также к кватернионному проективному пространству $\mathbb{HP}^{n-1}$. Спектры операторов Лапласа во всех этих случаях можно найти в книге [14]. 2. Редукции модели главного кирального поляУ механической задачи о геодезических существует естественное двумерное обобщение, известное как теория гармонических отображений, или сигма-моделей на физическом языке. Это не что иное, как отображения $x\colon\Sigma\to(\mathcal M,\varkappa)$ римановой поверхности $\Sigma$, являющиеся критическими точками действия4
$$
\begin{equation}
\mathcal S_{2D}=\int_\Sigma\,d^2z\,\frac{1}{2}\varkappa_{ij}\,\partial x^i\,\bar\partial x^j.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Начнем со случая, когда $\mathcal M=G$ – группа, т. е. с модели главного кирального поля. Как и раньше, введем ток Маурера–Картана $\hat j=-g^{-1}\,dg\in\Lambda^1(G)\otimes\mathsf g$ ($g\in G$). Обозначим через $j=x^\ast\hat j$ его ограничение на $\Sigma$. Уравнения движения модели главного кирального поля можно записать в терминах этого тока следующим образом: Здесь $\ast$ – звездочка Ходжа, действующая на 1-формы в точности так же, как комплексная структура на $\Sigma$ (по причине, которая упомянута в сноске). Другими словами, она действует по правилу $\ast\,dz=i\,dz$, $\ast\,\overline{dz}=-i\,\overline{dz}$. Ток $j$ можно разложить по базису элементарных 1-форм: $j=i\,(j_z\,dz+\overline{j_z}\,\overline{dz})$, что позволяет переписать уравнения движения в виде одного комплекснозначного уравнения
$$
\begin{equation}
\overline{\partial}j_z+\frac{i}{2}[j_z,\overline{j_z}]=0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Возьмем $j_z$ в стандартном представлении соответствующей алгебры Ли (например, в случае $G=U(n)$ это ($n\times n$)-матрица). Из (2.4) следует, что $\bar\partial\operatorname{Tr}(j_z^\ell)=0$ для всех $\ell=1,2,3,\dots$, т. е. $a_\ell(z):=\operatorname{Tr}(j_z^\ell)\,dz^\ell$ – голоморфные сечения степени канонического расслоения $K_\Sigma^{\otimes\ell}$. Редукция, о которой пойдет речь, состоит в том, чтобы зафиксировать значения этих сечений $a_\ell(z)$. Рассмотрим некоторые специальные случаи.
Далее мы будем рассматривать случай, когда матрица $j_z$ нильпотентна, т. е. $j_z^m=0$. В окрестности5 каждой точки решение уравнения главного кирального поля (2.4) можно представить в виде где матрица $Q(z)$ голоморфна. Таким образом, жорданов тип матрицы $j_z$ может меняться лишь в изолированных точках на поверхности $\Sigma$, в которых вырождается матрица $Q(z)$. Следовательно, можно считать, что в точке общего положения на $\Sigma$ матрица $j_z\in N\subset\mathsf g_{\mathbb C}$, где $N$ – некоторая фиксированная нильпотентная орбита6 группы $G_{\mathbb C}$. Как мы увидим, вычисления существенно упрощаются при удачном выборе координат на $N$ (а также на замыкании $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt $).Рассмотрим два примера, в чем-то схожих, но и обладающих существенными различиями: это случаи минимальных орбит в алгебрах $\mathsf{sl}_n$ и $\mathsf{sp}_{2n}$. В обоих случаях мы имеем ненулевую матрицу $j_z$, принимающую значение в соответствующей алгебре, причем $j_z^2=0$, а ранг матрицы равен единице. Без ограничения общности такую матрицу можно параметризовать следующим образом:
Подставляя данные выражения для компонент тока в уравнение движения главного кирального поля (2.4), получим следующие уравнения на $U$, $V$, $W$ (а также комплексно-сопряженные им):
$$
\begin{equation}
\kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt U-\frac{i}{2}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U U) \kern1.2pt\overline{\vphantom{V^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt V =0,\qquad \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt V+\frac{i}{2}(V \kern1.2pt\overline{\vphantom{V^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt V ) \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U =0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
$$
\begin{equation}
\bar\partial W+\frac{i}{2}\omega_{2n}(\overline WW)W^\ast=0.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Фигурирующие в первой строке ковариантные производные определены следующим образом: $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt U:=\bar\partial U-i\overline{\mathcal A}U$ и $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt V:=\bar\partial V+i\overline{\mathcal A}V$, где для упрощения обозначений мы ввели вспомогательное $\mathbb C^\ast$ калибровочное поле7 $\overline{\mathcal A}$. Правила преобразований полей относительно калибровочной группы $\mathbb C^\ast$ таковы: $U\to e^\chi U$, $V\to e^{-\chi}V$. Переменную $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{V^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt V $ можно найти из первого уравнения, что после подстановки во второе уравнение дает
$$
\begin{equation}
\kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt D \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U +\rho \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U =0,\qquad \rho=\frac{D \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt U}{ \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U U}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Это не что иное, как уравнения движения $\mathbb C\mathbb P^{n-1}$ сигма-модели. Что касается уравнения (2.7), в этом случае не существует аналогичного преобразования, которое позволило бы переписать его в виде уравнения второго порядка. Следовательно, в этом случае нет эквивалентности с сигма-моделью. Ниже в п. 3.2 показано, что первый случай отвечает киральной, а второй – некиральной моделям Гросса–Невё. Естественный вопрос состоит в том, какие нильпотентные орбиты приводят к сигма-моделям. Согласно нашей гипотезе таковы орбиты $N$, замыкание которых $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt $ допускает симплектическое разрешение особенностей (напомним, что $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt $ – алгебраическое многообразие с особенностями). В этом случае разрешение особенностей дает $T^\ast\mathcal F$ [16] – кокасательное расслоение к некоторому многообразию флагов. Соответствующее многообразие флагов и есть таргет-пространство искомой сигма-модели. В следующем разделе приведено краткое введение в теорию разрешения особенностей такого типа8. 3. Разрешение СпрингераВ отличие от примеров из предыдущего раздела, рассмотрим сначала наиболее типичную нильпотентную орбиту (т. е. в некотором смысле противоположную минимальной) $N_{\mathrm{reg}}$, которая называется регулярной. Построим фактор
$$
\begin{equation}
V:=G_{\mathbb C}\times n(\mathsf b)/B\equiv G_{\mathbb C}\times_B n(\mathsf b),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $B\subset G_{\mathbb C}$ – борелевская подгруппа, $\mathsf b$ – ее алгебра Ли, а $n(\mathsf b)$ – ее нильрадикал9. Фактор берется относительно следующего действия $B$:
$$
\begin{equation}
(g,\beta)\sim(gh,h^{-1}\beta h),\qquad g\in G_{\mathbb C},\quad \beta\in n(\mathsf b),\quad h\in B.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Покажем, что $V\simeq T^\ast G_{\mathbb C}/B$, где $G_{\mathbb C}/B$ – многообразие полных флагов. Для доказательства воспользуемся тем фактом, что на любом однородном пространстве $G/H$ касательное расслоение можно представить следующим образом10: где действие $H$ определяется как $(g,a)\to(gh,h^{-1}ah)$. Для того чтобы перейти к кокасательному расслоению, следует заменить в (3.3) $\mathsf g/\mathsf h$ на двойственное пространство $(\mathsf g/\mathsf h)^\vee$. Действие $H$ на $\mathsf g/\mathsf h$ задает действие на двойственном пространстве: пусть $a\in\mathsf g/\mathsf h$ и $\beta\in(\mathsf g/\mathsf h)^\vee$, тогда $ [h\circ \beta](h\circ a)=\beta(a)$. В нашем случае $\mathsf h=\mathsf b$, поэтому $(\mathsf g/\mathsf b)^\vee\simeq n(\mathsf b)$. Рассматривая $n(\mathsf b)$ как пространство строго верхнетреугольных матриц, можно в явном виде описать спаривание при помощи формы следа: $\beta(a)=\operatorname{Tr}(\beta a)$. Данное определение корректно с точки зрения фактора $\mathsf g/\mathsf b$, так как при $a_0\in\mathsf b$ имеем $\operatorname{Tr}(\beta a_0)=0$. Действие $H=B$ на $n(\mathsf b)$ имеет вид $h\circ\beta=h^{-1}\beta h$, что тем самым приводит к определению (3.2).Определим каноническую 1-форму на кокасательном расслоении $V$: Чтобы убедиться, что она хорошо определена на факторе, сделаем преобразование $g\to gh$, где $h\in B$:
$$
\begin{equation}
\theta\mapsto\theta+\operatorname{Tr}(\beta\,dhh^{-1})=\theta,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
так как $\beta\in n(\mathsf b)$ и $dhh^{-1}\in\mathsf b$. Поскольку мы доказали, что $V$ – кокасательное расслоение, $\theta$ можно отождествить с канонической 1-формой. Ее производная совпадает с симплектической формой на кокасательном расслоении: Определим также отображение проекции
$$
\begin{equation}
\pi_{\mathrm{Spring}}\colon V\mapsto \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt _{\mathrm{reg}},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
известное как разрешение Спрингера. Здесь $\pi_{\mathrm{Spring}}=\mu=g\beta g^{-1}$, и можно показать, что $\mu$ – отображение момента, отвечающее действию $G_{\mathbb C}$ на $V$. Чтобы доказать, что $\pi_{\mathrm{Spring}}$ дает разрешение особенностей, прежде всего вспомним, что $n(\mathsf b)\subset \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt _{\mathrm{reg}}$. Рассмотрим множество $n_0(\mathsf b):=n(\mathsf b)\cap N_{\mathrm{reg}}$, т. е. множество всех элементов из $n(\mathsf b)$ “общего положения”. Можно показать, что группа $B$ действует транзитивно на $n_0(\mathsf b)$, т. е. что любой элемент данного множества можно перевести в другой (фиксированный) элемент действием группы: $h_0^{-1}\beta h_0=\beta_0$ для $\beta\in n_0(\mathsf b)$ и $h_0\in B$. В результате
$$
\begin{equation}
\pi_{\mathrm{Spring}}^{-1}(N_{\mathrm{reg}}) =G_{\mathbb C}\times n_0(\mathsf b)/B\simeq G_{\mathbb C}/G_{\mathrm{Stab}},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $G_{\mathrm{Stab}}\subset B$ – стабилизатор элемента $\beta_0\in n_0(\mathsf b)$. Так как $G_{\mathbb C}/ G_{\mathrm{Stab}}\simeq N_{\mathrm{reg}}$, ясно, что $\pi_{\mathrm{Spring}}^{-1}(N_{\mathrm{reg}})\simeq N_{\mathrm{reg}}$, т. е. что $\pi_{\mathrm{Spring}}$ представляет собой взаимнооднозначное отображение вне особого множества. Выберем элемент $\beta_0\in n_0(\mathsf b)$, тогда 1-форма корректно определена на факторе $G_{\mathbb C}/G_{\mathrm{Stab}}$, в чем можно убедиться, делая калибровочное преобразование $g\to gk$ ($k\in G_{\mathrm{Stab}}$), как и раньше в (3.5). Внешняя производная этой 1-формы дает
$$
\begin{equation}
\Omega_0=d\theta_0=-\operatorname{Tr}(\beta_0g^{-1}\,dg\wedge g^{-1}\,dg)
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
– симплектическую форму Кириллова–Костанта на нильпотентной орбите $N_{\mathrm{reg}}$. Заметим, что в данном случае она является точной, в отличие от аналогичной 2-формы на присоединенных орбитах компактных групп Ли (которые представляют собой сами многообразия флагов). 3.1. Пример: нильпотентная орбита группы $GL(2,\mathbb C)$Рассмотрим случай $G_{\mathbb C}=GL(2,\mathbb C)$ и выберем $\beta_0=\bigl(\begin{smallmatrix} \,0 &\,1\\ 0 &0\end{smallmatrix}\bigr)$. Стабилизатор имеет вид $G_{\mathrm{Stab}}=\bigl\{\!\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha &\gamma\\ 0 &\alpha\end{smallmatrix} \bigr)\!\bigr\}\subset B$. Элемент фактор-пространства $N=G_{\mathbb C}/G_{\mathrm{Stab}}$ можно параметризовать следущим образом:
$$
\begin{equation}
g=\begin{pmatrix} U_1 &\bullet\\ U_2 &\bullet\end{pmatrix},\qquad g^{-1}=\begin{pmatrix} \bullet &\bullet\\ V_1 &V_2\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Из условия $gg^{-1}=1\!\!1_2$ следует, что $\sum_{i=1}^2V_iU_i=0$. Кроме того, имеется остаточный фактор $U_i\to\alpha U_i$, $V_i\to\alpha^{-1}V_i$, где $\alpha\in\mathbb C^\ast$. В этих переменных 1-форма (3.9) переписывается в виде Это каноническая 1-форма на орбите $N$, где $N$ (открытая часть алгебраического многообразия $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt $) определена условиями $(U_1,U_2)\ne 0$ и $(V_1,V_2)\ne 0$. Полезно также выписать в явном виде выражение для отображения момента
$$
\begin{equation}
\mu:=g\beta_0g^{-1}=\begin{pmatrix} U_1\\ U_2\end{pmatrix} \otimes\begin{pmatrix} V_1 &V_2\end{pmatrix}\in\mathsf{sl}(2,\mathbb C).
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
На орбите $N$ имеем $\mu\ne 0$, а замыкание получается в результате добавления точек, в которых $\mu=0$. Переменные $(U,V)$ здесь те же самые, которые фигурировали в (2.6), так как в случае группы $GL(2,\mathbb C)$ минимальная орбита совпадает с регулярной. 3.2. Грассманианы и дальнейшие обобщенияВ качестве обобщения можно заменить в (3.1) борелевскую подгруппу $B$ на произвольную параболическую подгруппу $P$ группы $G_{\mathbb C}$, а алгебру Ли $\mathsf b$ – на алгебру Ли $\mathsf p$ группы $P$ соответственно. В этом случае образ отображения (3.7) – замыкание некоторой нильпотентной орбиты. Однако, вообще говоря, не все нильпотентные орбиты возникают таким образом: соответствующие орбиты называются орбитами Ричардсона. По всей видимости, именно эти орбиты возникают в приложениях к сигма-моделям11. Простой пример, во многом противоположный случаю многообразия полных флагов, – это пример грассманиана $\mathrm{Gr}(k,n)$. Без ограничения общности будем считать, что $n-k\geqslant n/2$, в противном случае заменим $k\to n-k$. Соответствующая параболическая подгруппа изображена на рис. 1а. Разрешение особенностей представляет собой отображение
$$
\begin{equation}
T^\ast \mathrm{Gr}(k,n)\mapsto \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt ,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
а типичный элемент нильпотентной орбиты $N$ показан на рис. 1$\text{б}$, где для определенности мы выбрали $k=2$. Заметим, что, как обсуждалось ранее, $\beta_0$ лежит в $n(\mathsf p)\cap N$. Для произвольного $k$ жорданова структура имеет вид $(2^k,1^{n-2k})$. Как уже упоминалось, данный алгоритм можно применить к различным параболическим подгруппам12. Основную идею можно резюмировать при помощи следующей коммутативной диаграммы:  Здесь $j_z$ – отображение в нильпотентные матрицы, которое задается $z$-компонентой тока (см. раздел 2), $\pi_{\mathrm{Spring}}$ – разрешение Спрингера, $\pi$ – стандартная проекция на базу расслоения, а “$\mathrm{lift}$” – поднятие отображения из $\Sigma$ в разрешенное многообразие. Существование такого поднятия совершенно не тривиально: из него следует, что соответствующие уравнения движения можно разбить на два набора уравнений, на $U$ и на $V$, как это имеет место, например, в (2.6), (2.8). При этом композиция $\pi\circ\mathrm{lift}\colon\Sigma\to\mathcal F$ представляет собой отображение в таргет-пространство результирующей сигма-модели13. 3.3. Колчанное представлениеСледующий важный факт состоит в том, что на $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt $ существует специальный набор координат, связанный с тем, что $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{L}\kern6.8pt}\kern-8.6pt N\kern0.4pt $ – колчанное многообразие14. В дальнейшем будем пользоваться следующим рабочим определением колчанного многообразия:
$$
\begin{equation}
Q:=\Phi_0\,/\!/\, \widehat G_{\mathbb C},\qquad\Phi_0\simeq\mathbb C^{2N}.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Это означает, что $Q$ – комплексный симплектический фактор плоского пространства $\mathbb C^{2N}$ по комплексной редуктивной группе $\widehat G_{\mathbb C}$. Как правило, при симплектической редукции речь идет о действии группы, сохраняющем симплектическую форму, т. е. £${}_\xi\Omega=0$, где $\xi$ – соответствующее векторное поле. Однако во всех наших примерах выполняется более сильное условие: существует каноническая 1-форма $\theta$ такая, что $\Omega=d\theta$, и при этом все интересующие нас симметрии сохраняют ее, т. е. £${}_\xi\theta=0$. Пространство $\mathbb C^{2N}$, а также действие группы на нем удобно закодировать при помощи колчана. Колчаны для минимальных орбит изображены на рис. 2, где $\mathsf h_n$ и $\mathsf\omega_{2n}$ – симметрическая и антисимметрическая формы на соответствующих векторных пространствах ($\mathsf h_1$ и $\mathsf\omega_2$ единственны с точностью до множителя). Когда узлы колчана соединены отрезком, это означает, что задан минимальный набор отображений между этими узлами, допускающий симплектическую структуру. Они приведены в табл. 1. Таблица 1
Заметим, что в последних двух случаях пространство полей материи “самодуально” ввиду наличия обратимых тензоров на векторных пространствах в узлах колчана: в результате этого можно отождествить данные векторные пространства с двойственными им. Чтобы получить замыкания нильпотентных орбит из приведенных в табл. 1 данных, необходимо построить симплектический фактор по группам, стоящим в круглых узлах колчана. Квадратные узлы при этом не затрагиваются, а стоящие в них группы отвечают глобальным симметриям соответствующих орбит. 4. Двумерные теории поля, связанные с нильпотентными орбитамиВ предыдущих двух разделах мы имели дело исключительно с геометрией нильпотентных орбит. Однако в конечном счете нас интересуют двумерные модели, связанные с нильпотентными орбитами так, как это было описано в разделе 2. В настоящем разделе мы не будем выводить уравнения движения интересующих нас моделей из уравнений движения главного кирального поля (2.4), а вместо этого сформулируем способ получения лагранжианов, из которых эти уравнения движения напрямую следуют. В случае минимальных нильпотентных орбит данные лагранжианы можно получить исходя из данных табл. 1. Прежде всего рассмотрим случай $\mathsf{sl}_n$, являющийся обобщением примера, приведенного в п. 3.1, на случай старших $n$. Основной вопрос состоит в том, как получить ограничение элементарной 1-формы $\theta_0=\sum_{i=1}^nV_i\,dU_i$ на мировую поверхность $\Sigma$, которое можно было бы использовать в качестве кинетического члена модели. Чтобы построить таким способом кинетический член, будем рассматривать $U_i$ как сечения некоторого линейного расслоения15 $L$ над $\Sigma$, а $V_i$ – как сечения двойственного расслоения $L^{-1}\otimes K_\Sigma$. Тогда корректно определен интеграл
$$
\begin{equation}
\mathcal S_{\mathrm{hol}}=\int_\Sigma i\,dz\wedge d\bar z\sum_{i=1}^nV_i \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt _AU_i,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $D_A$ – связность в расслоении $L$. Отметим, что переменные $(U,V)$ представляют собой комплексные обобщения переменных $(x,p)$, использовавшихся в п. 1.2.1 применительно к фазовому пространству $T^\ast S^{n-1}$. Вариация действия (4.1) по калибровочному полю дает условие $\sum_{i=1}^nV_iU_i=0$, вследствие чего отображение момента $\mu=U\otimes V\in\mathsf{sl}_n\otimes K_\Sigma$ (т. е. является бесследовой матрицей). В результате взаимодействие $\operatorname{Tr}(\mu\bar\mu)$ является формой типа $(1,1)$, которую можно проинтегрировать по $\Sigma$. Чтобы увидеть связь с моделью Гросса–Невё, следует сгруппировать переменные $(U,V)$ в один дираковский спинор
$$
\begin{equation}
\Psi=\begin{pmatrix} U\\ \kern1.2pt\overline{\vphantom{V^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt V \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
В этих терминах полное действие записывается в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal S=\int_\Sigma i\,dz\wedge d\bar z \biggl[\overline\Psi{D}{\kern-6.5pt/}_A \Psi+\biggl(\overline\Psi\frac{1+\sigma_3}{2}\Psi\biggr) \biggl(\overline\Psi\frac{1-\sigma_3}{2}\Psi\biggr)\biggr],
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $\sigma_i$ – матрицы Паули, и отвечает киральной модели Гросса–Невё с калибровочным полем, правда с бозонными, а не фермионными полями. Легко убедиться, что взаимодействие пропорционально $\operatorname{Tr}(\mu\bar\mu)$, что является двумерным обобщением гамильтониана (1.6). Результирующие уравнения движения совпадают с выписанными в (2.6), поэтому данная система эквивалентна $\mathbb C\mathbb P^{n-1}$ сигма-модели, что можно доказать исключением переменных $(V, \kern1.2pt\overline{\vphantom{V^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt V )$ (см. (2.8)). Как уже отмечалось выше, замыкание не каждой нильпотентной орбиты допускает симплектическое разрешение. Если подобное разрешение отсутствует, следует ожидать, что соответствующая орбита не приводит к сигма-модели16. В качестве примера вернемся к минимальной $\mathsf{sp}_{2n}$-орбите, уже обсуждавшейся в разделе 2. Из соответствующего колчанного представления очевидно, что она изоморфна $\mathbb C^{2n}/\mathbb Z_2$ (так как $\mathsf O(1)\simeq\mathbb Z_2$). Отображение момента, которое следует из приведенной в табл. 1 симплектической формы, имеет вид $\mu=W\otimes W^t\cdot\omega_{2n}$ и удовлетворяет условию $\mu^2=0$. Выбрав в качестве $\omega_{2n}$ произведение $i\sigma_2\otimes{1\!\!1}_n$, расщепим поле $W=\bigl(\begin{smallmatrix}U\\ V^t\end{smallmatrix}\bigr)$. В терминах дираковского спинора (4.2) действие принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathcal S=\int_\Sigma i\,dz\wedge d\bar z\, [\overline\Psi {D}{\kern-6.5pt/}\Psi+(\overline\Psi\Psi)^2].
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Мы здесь вновь ввели взаимодействие в виде $\operatorname{Tr}(\mu\bar\mu)=(\overline WW)^2=(\overline\Psi\Psi)^2$, и, чтобы это имело смысл, следует считать обе переменные $U$ и $V$ сечениями расслоения $K_\Sigma^{1/2}$. Таким образом, мы получили некиральную модель Гросса–Невё. В действии содержатся четвертичные слагаемые типа $|U|^4$, $|V|^4$, поэтому невозможно простым способом исключить ни одну из переменных $(U,V)$. В этом состоит практическая причина, по которой в данном случае прямая связь с сигма-моделями отсутствует. Любопытно, что случай $n=1$ представляет собой исключение. В этом случае замыкание нильпотентной орбиты есть $\mathbb C^2/\mathbb Z_2$ и, как известно, допускает разрешение особенностей17, изоморфное $T^\ast\mathbb{CP}^1$. Причина этого состоит в том, что группы $\mathsf{Sp}(2)\simeq\mathsf{SL}(2)$ изоморфны, поэтому можно использовать альтернативную формулировку той же самой системы в терминах киральной модели Гросса–Невё (4.3) с $n=2$. Чтобы доказать эквивалентность этих двух формулировок, разрешим связь $\sum_{i=1}^2V_iU_i=0$ следующим образом: $V_i=\lambda\epsilon_{ij}U_j$, где $\lambda\in\mathbb C$ (в предположении $U\ne 0$). Подставляя данное выражение в (4.3), приходим к модели (4.4) без калибровочных полей для случая $n=1$. 5. ЗаключениеВ настоящей работе исследованы геометрические причины, которые, по всей видимости, лежат в основе соответствия между двумерными сигма-моделями и моделями Гросса–Невё. Мы старались подчеркнуть тот факт, что первостепенную роль здесь играют замыкания нильпотентных орбит, а также отвечающие им разрешения особенностей, приводящие естественным образом к кокасательным расслоениям к пространствам флагов $G_{\mathbb C}/P$, причем последние суть таргет-пространства наших сигма-моделей. Тем самым удалось обобщить результаты работ [1], [2] на случай произвольных классических групп Ли (случай исключительных групп также представляет интерес, но пока что не был изучен). Кроме того, мы также вкратце рассмотрели случай орбит, замыкания которых не допускают симплектические разрешения. Оказалось, что они тоже приводят к интересным некиральным моделям Гросса–Невё (которые, однако, уже не связаны с сигма-моделями). Интересующие нас нильпотентные орбиты допускают выделенный набор квазилинейных переменных Дарбу, существование которых вытекает из колчанной формулировки для этих орбит. Использование данных переменных оказалось весьма полезным в квантово-механических приложениях (см. [25]), и важный открытый вопрос состоит в том, будут ли они столь же полезными в контексте двумерной квантовой теории поля. БлагодарностиДанная статья посвящается памяти моего научного руководителя А. А. Славнова. Я буду помнить его как глубокого и в то же время очень жизнерадостного человека, которого отличала абсолютная научная честность и приверженность науке, и всегда буду благодарен ему за доброжелательность и поддержку. Я также хочу поблагодарить П. Зинн-Жюстена, Е. Иванова, А. Нерсесяна, А. Рослого, А. Смилгу и участников семинара И. Р. Шафаревича, на котором докладывалась настоящая работа, за полезные обсуждения и замечания, и в особенности В. Кривороля за внимательное чтение рукописи. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Byk23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|