| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Существование энтропийного решения нелинейной эллиптической задачи в неограниченной области Л. М. Кожевниковаab a Стерлитамакский филиал Уфимского университета науки и технологии, Стерлитамак, Россия b Елабужский институт (филиал) Казанского (Приволжского) федерального университета, Елабуга, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010082 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ работе рассматривается задача Дирихле
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div} \mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)+\frac{M(\mathrm{x},u)}{u}+b(\mathrm{x},u,\nabla u)=f,\qquad f\in L_1(\Omega), \quad \mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
в неограниченной области $\Omega\subset\mathbb{R}^n=\{\mathrm{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\}$, $n \geqslant 2$, с возможно бесконечной мерой Лебега. Здесь функции $\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=(a_1(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}),\ldots,a_n(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}))$, $b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ имеют рост, определяемый функцией Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$. При этом на функцию $M$ и сопряженную к ней функцию $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ не требуется дополнительного ограничения по переменной $z$ (обычно это $\Delta_2$-условие). Предполагается, что по переменной $\mathrm{x}\in\Omega$ функция $M$ подчиняется условию log-гёльдеровской непрерывности, что приводит к хорошим аппроксимационным свойствам нерефлексивного пространства Музилака–Орлича. Понятие ренормализованных и энтропийных решений служит основным инструментом для изучения общих вырождающихся эллиптических уравнений с правой частью в виде меры и, в частности, из пространства $L_1(\Omega)$. В работе [1] доказано существование ренормализованного решения задачи Дирихле для уравнения вида
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)=f,\qquad f\in L_1(\Omega),\quad \mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
с неоднородной анизотропной функцией Музилака–Орлича. Кроме того, в работе [2] авторы доказали существование и единственность ренормализованных решений эллиптических включений с многозначным оператором в условиях нерефлексивных и несепарабельных пространств Музилака–Орлича. Авторы работ [3], [4] установили существование соответственно ренормализованного и энтропийного решений задачи Дирихле для уравнения вида
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)+\mathrm{c}(u))+a_0(\mathrm{x},u,\nabla u)=f,\qquad f\in L_1(\Omega),\quad\mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
с функцией $\mathrm{c}\in C_0(\mathbb{R},\mathbb{R}^n)$. В работах [5], [6] (в случае $a_0\equiv0$), [7] доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле для уравнения вида
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}(\mathrm{a}(\mathrm{x},u,\nabla u)+\mathrm{c}(\mathrm{x},u))+a_0(\mathrm{x},u,\nabla u)=f,\qquad f\in L_1(\Omega),\quad\mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
с каратеодориевой функцией $\mathrm{c}(\mathrm{x},s_0)\colon \Omega\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, подчиняющейся условию роста по переменной $s_0$. В работе [8] в пространствах Музилака–Орлича доказаны существование и единственность энтропийных и ренормализованных решений задачи (1.3), (1.2), установлена их эквивалентность. Все перечисленные результаты получены для ограниченных областей $\Omega$. Трудность в областях с бесконечной мерой состоит в том, что не работают теоремы вложения и аналог неравенства Фридрихса, поэтому установить ключевое соотношение (4.7) (см. ниже) весьма проблематично. Автор решает эту проблему наличием в уравнении (1.1) слагаемого $M(\mathrm{x},u)/u$. Кроме того, важную роль в полученных результатах имеет теорема об аппроксимации элементов нерефлексивного пространства Музилака–Орлича–Соболева гладкими функциями (см. лемму 1). Следует отметить, что впервые в неограниченных областях, допускающих бесконечную меру, для $M(x,z)=|z|^{p(x)-1}$ существование энтропийного и ренормализованного решений уравнения (1.1) в анизотропных пространствах с переменными показателями нелинейностей было установлено в работах [9]–[11]. Более полный обзор результатов представлен в работе [12]. В настоящей статье без ограничений на меру строго липшицевой области $\Omega$ доказано существование энтропийного решения задачи Дирихле (1.1), (1.2) в нерефлексивных пространствах Музилака–Орлича–Соболева. Здесь снят ряд ограничений, которые налагались в работе [12] на структуру рассматриваемых уравнений и функцию Музилака–Орлича. В частности, в работе [12] требовалось, чтобы функция $M(\mathrm{x},z)$ была непрерывно дифференцируемой по $z$, интегрируемой по $\mathrm{x}\in \Omega$, а сопряженная функция $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ удовлетворяла $\Delta_2$-условию. 2. Пространства Музилака–ОрличаВ этом разделе приведены необходимые сведения из теории обобщенных $N$-функций и пространств Музилака–Орлича (см. [13], [14]). Определение 1. Пусть функция $M(\mathrm{x},z)\colon \Omega \times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$ удовлетворяет следующим условиям: 1) $M(\mathrm{x},\cdot)$ – $N$-функция по $z\in\mathbb{R}$, т. е. она является выпуклой вниз, неубывающей при $z\in\mathbb{R}_+$, четной, непрерывной, $M(\mathrm{x},0)=0$ для почти всех $\mathrm{x}\in \Omega$ и
$$
\begin{equation}
\mathop{{\rm vrai\kern1pt\inf}}_{\mathrm{x}\in\Omega} M(\mathrm{x},z)>0\quad \text{для всех}\quad z\neq 0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
2) $M(\cdot,z)$ – измеримая функция по $\mathrm{x}\in \Omega$ для любых $z\in\mathbb{R}$. Такая функция $M(\mathrm{x},z)$ называется функцией Музилака–Орлича или обобщенной $N$-функцией. Сопряженная функция $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M (\mathrm{x},\cdot)$ к функции Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},\cdot)$ в смысле Юнга для почти всех $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $z\geqslant 0$ определяется равенством
$$
\begin{equation*}
\kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M (\mathrm{x},z)=\sup_{y\geqslant 0} ( yz-M(\mathrm{x},y)).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следуют неравенство Юнга
$$
\begin{equation}
|zy| \leqslant M(\mathrm{x},z)+ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M (\mathrm{x},y),\qquad z,y \in \mathbb{R}, \quad \mathrm{x} \in \Omega,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
и неравенство
$$
\begin{equation}
\kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M \biggl(\mathrm{x},\frac{M(\mathrm{x},z)}{z}\biggr)\leqslant M(\mathrm{x},z),\qquad z\in \mathbb{R}, \quad \mathrm{x} \in \Omega.\
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Отметим, что $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ также является $N$-функцией (см. разделы 13.4, 13.6 в [13]). Если для каждой положительной константы $l$ имеем
$$
\begin{equation}
\lim_{z\to 0}\mathop{\rm{vrai\kern1pt\sup}}_{\mathrm{x} \in \Omega}{\frac{P(\mathrm{x},lz)}{M(\mathrm{x},z)}}=0\qquad \text {или}\qquad \lim_{z\to \infty}\mathop{\rm{vrai\kern1pt\sup}}_{\mathrm{x} \in \Omega}{\frac{P(\mathrm{x},lz)}{M(\mathrm{x},z)}}=0,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
то это обозначается $P\prec\!\prec M$ и говорят, что $P$ растет медленнее, чем $M$ в нуле или на бесконечности. Функция Музилака–Орлича $N$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, если существуют константы $c>0$, $z_0\geqslant 0$ и функция $H\in L_1(\Omega)$ такие, что для почти всех $\mathrm{x}\in \Omega$ и любых $|z|\geqslant z_0$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
N(\mathrm{x},2z) \leqslant cN(\mathrm{x},z)+H(\mathrm{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе не предполагается, что $N$-функция $M$ и ее сопряженная функция $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ удовлетворяют $\Delta_2$-условию. Существуют три класса Музилака–Орлича: 1) $\mathcal{L}_M(\Omega)$ – обобщенный класс Музилака–Орлича, состоящий из измеримых функций $v\colon \Omega\to \mathbb{R}$ таких, что
$$
\begin{equation*}
\varrho_{M,\Omega}(v)=\int_{\Omega}{M(\mathrm{x},v(\mathrm{x}))}\,d\mathrm{x}<\infty;
\end{equation*}
\notag
$$
2) $L_M(\Omega)$ – обобщенное пространство Музилака–Орлича, являющееся наименьшим линейным пространством, которое содержит класс $\mathcal{L}_M(\Omega)$, с нормой Люксембурга
$$
\begin{equation*}
\|v\|_{M,\Omega}=\inf\biggl\{ \lambda>0 \;\Big|\; \varrho_{M,\Omega}\biggl(\frac{v}{\lambda}\biggr) \leqslant 1 \biggr\};
\end{equation*}
\notag
$$
3) $E_M(\Omega)$ – наибольшее линейное пространство, содержащееся в классе $\mathcal{L}_M(\Omega)$. Очевидно, $E_M(\Omega)\subset \mathcal{L}_M(\Omega)\subset L_M(\Omega)$. Заметим, что для любого $v\in E_M(\Omega)$ и любого $\mu>0$ справедливо неравенство $\varrho_{M,\Omega}(v/\mu)<\infty$. Кроме того, для любого $v\in L_M(\Omega)$ найдется $\lambda>0$ такое, что $\varrho_{M,\Omega}(v/\lambda)<\infty$ (см. раздел 7.4 в [13]). Ниже, в обозначениях $\|\cdot\|_{M,Q}$, $\varrho_{M,Q}(\cdot)$, $\|\cdot\|_{1,Q}$, $\|\cdot\|_{\infty,Q}$ будем опускать индекс $Q$, если $Q=\Omega$. Далее будем рассматривать следующие условия на функцию Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$. Условие $(M1,\mathrm{loc})$. Функция $M(\mathrm{x},z)$ локально интегрируема, т. е.
$$
\begin{equation*}
\varrho_{M,Q}(z)=\int_Q{M(\mathrm{x},z)}\,d\mathrm{x}<\infty\qquad \forall z\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
для любого измеримого множества $Q\subset\Omega$ такого, что $\operatorname{meas}Q<\infty$. Условие $(M2)$. Функция $M(\mathrm{x},z)$ удовлетворяет log-гёльдеровой непрерывности по $\mathrm{x}$, а именно: существуют константы $c>0$, $b\geqslant 1$ такие, что для всех $\mathrm{x},\mathrm{y}\in \overline{\Omega}$, $|\mathrm{x}-\mathrm{y}|\leqslant 1/2$, $z\in\mathbb{R}$ выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
M(\mathrm{x},z)\leqslant \max\{|z|^{-{c}/{\log|\mathrm{x}-\mathrm{y}|}},b^{-{c}/{\log|\mathrm{x}-\mathrm{y}|}}\}M(\mathrm{y},z).
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что из условия $(M2)$ следует непрерывность функции $M(\cdot,z) $ по $\mathrm{x}\in \overline{\Omega}$ для любых $z\in\mathbb{R}$. Пусть $M$ и $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ подчиняются условию $(M1,\mathrm{loc})$. Тогда пространство $E_M(\Omega)$ является замыканием по норме $\|\cdot\|_M$ простых интегрируемых функций (см. теорему 7.5 в [13]). Пространство $E_M(\Omega)$ сепарабельное и $(E_M(\Omega))^*=L_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega)$. Если $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то $E_M(\Omega)= \mathcal{L}_M(\Omega)= L_M(\Omega)$ и пространство $L_M(\Omega)$ сепарабельное. Пространство $L_M(\Omega)$ рефлексивное тогда и только тогда, когда функции Музилака–Орлича $M$ и сопряженная функция $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ удовлетворяют $\Delta_2$-условию. Для $v\in L_M(\Omega)$ справедливо неравенство Последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ из $L_M(\Omega)$ модулярно сходится к $v \in L_M(\Omega)$ ($v^j \xrightarrow[j\to \infty]{M} v$), если существует константа $\lambda>0 $ такая, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $M$ удовлетворяет $\Delta_2$-условию, то модулярная топология и топология по норме совпадают. Также для двух сопряженных функций Музилака–Орлича $M$ и $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $, если $u \in L_M(\Omega)$ и $v \in L_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega)$, выполняется неравенство Гёльдера:
$$
\begin{equation*}
\biggl|\int_\Omega u(\mathrm{x})v(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}\biggr| \leqslant 2\|u\|_{M}\|v\|_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим пространство Музилака–Орлича–Соболева
$$
\begin{equation*}
W^1L_{M}(\Omega)=\{v\in L_{M}(\Omega)\; |\;|\nabla v|\in L_{M}(\Omega)\}
\end{equation*}
\notag
$$
с нормой $\|v\|^1_{M}=\|v\|_{M}+\||\nabla v|\|_{M}$. Последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ из пространства $W^1L_{M}(\Omega)$ модулярно сходится к $v \in W^1L_{M}(\Omega)$, если существует константа $\lambda>0$ такая, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{v^j-v}{\lambda}\biggr)=0,\qquad\lim_{j\to \infty}\varrho_{M}\biggl(\frac{|\nabla v^j- \nabla v|}{\lambda}\biggr)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Для краткости записи введем обозначения $(L_M(\Omega))^{n}=\mathrm{L}_M(\Omega)$, $(L_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf{L}_M(\Omega)$, $(E_M(\Omega))^{n}=\mathrm{E}_M(\Omega)$, $(E_M(\Omega))^{n+1}=\mathbf{E}_M(\Omega)$. Пространство $W^1L_{M}(\Omega)$ отождествляется с подпространством произведения $\mathbf{L}_M(\Omega)$ и является замкнутым по слабой топологии $\sigma(\mathbf{L}_M,\mathbf{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M })$. Пространство $\mathring{W}^{1}L_{M} (\Omega)$ определим как замыкание $C_0^{\infty}(\Omega)$ по слабой топологии $\sigma(\mathbf{L}_M,\mathbf{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M })$ в $W^1 L_{M} (\Omega)$. Пространство $\mathring W^1 L_{M}(\Omega)$ банахово (см. теорему 10.2 в [13]). Определение 2. Область $\Omega$ подчиняется сегментному свойству, если существует открытое покрытие $\{\Theta_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ множества $\overline{\Omega}$ и соответствующие ненулевые векторы $\mathrm{z}_i\in \mathbb{R}^n$ такие, что $(\overline{\Omega}\cap\Theta_i)+t\mathrm{z}_i\subset\Omega$ для любых $t\in(0,1)$ и $i\in\mathbb{N}$. Сформулируем теорему о плотности гладких функций в пространстве Музилака– Орлича–Соболева (см. теорему 3 в [15]). Лемма 1. Предположим, что область $\Omega$ удовлетворяет сегментному свойству, а $N$-функция $M$ удовлетворяет условиям $(M1,\mathrm{loc})$, $(M2)$ и пусть $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ удовлетворяет условию $(M1,\mathrm{loc})$. Тогда для любого $v\in\mathring W^1L_{M}(\Omega)$ существует последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ из $C_0^{\infty}(\Omega)$ такая, что Примеры функций Музилака–Орлича $M,$ удовлетворяющих условиям леммы 1: 1) $N$-функция $M(\mathrm{x},z)=M(z)$; 2) $M_1(\mathrm{x},z)=|z|^{p(\mathrm{x})}$, $M_2(\mathrm{x},z)=|z|^{p(\mathrm{x})}\log(1+|z|)$, $M_3(\mathrm{x},z)=|z|\log^{p(\mathrm{x})}(1+|z|)$, $M_4(\mathrm{x},z)=e^{|z|^{p(\mathrm{x})}}-1$, где $p\colon \Omega\to [p^-,p^+]$, $p^-=\inf_{\mathrm{x}\in \Omega}p(\mathrm{x})>1$, $p^+=\sup_{\mathrm{x}\in \Omega}p(\mathrm{x})<\infty$ и существует константа $c>0$ такая, что $|\mathrm{x}-\mathrm{y}|\leqslant 1/2$ для всех $\mathrm{x},\mathrm{y}\in \overline{\Omega}$ и выполняется неравенство
$$
\begin{equation*}
|p(\mathrm{x})-p(\mathrm{y})|\leqslant -\frac{c}{\log|\mathrm{x}-\mathrm{y}|}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Формулировка результатаПредполагается, что входящие в уравнение (1.1) функции
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n,\qquad b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\colon \Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}
\end{equation*}
\notag
$$
измеримы по $\mathrm{x}\in \Omega$ для $\mathbf{s}=(s_0, \mathrm{s})=(s_0,s_1,\ldots,s_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}$, непрерывны по $\mathbf{s}\in\mathbb{R}^{n+1}$ для почти всех $\mathrm{x}\in\Omega$ и выполнено следующее условие. Условие $(M)$. Существуют неотрицательные функции $\psi\in E_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega)$, $\phi\in L_1(\Omega)$ и положительные константы $\hat{a}, \bar{a}, \bar{d}, \hat{d}$ такие, что для почти всех $\mathrm{x}\in\Omega$ и для любых $s_0\in\mathbb{R}$, $\mathrm{s},\mathrm{t}\in\mathbb{R}^{n}$, $\mathrm{s}\neq \mathrm{t}$, справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\cdot \mathrm{s}\geqslant \bar{a} M(\mathrm{x},\bar{d}\,|\mathrm{s}|)-\phi(\mathrm{x}),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
$$
\begin{equation}
|\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant \psi(\mathrm{x})+\hat{a} \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M ^{-1}(\mathrm{x},M(\mathrm{x}, \hat{d}\,|\mathrm{s}|))+\hat{a} \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M ^{-1}(\mathrm{x},P(\mathrm{x}, s_0)),
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
$$
\begin{equation}
(\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})-\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{t}))\cdot(\mathrm{s}-\mathrm{t})> 0.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Здесь функция Музилака–Орлича $M(\mathrm{x},z)$ подчиняется условиям $(M1,\mathrm{loc})$, $(M2)$, сопряженная к $M$ функция $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M (\mathrm{x},z)$ удовлетворяет условию $(M1,\mathrm{loc})$. Функция Музилака–Орлича $P(\mathrm{x},z)$ такая, что $P\prec\!\prec M$ в окрестности нуля и бесконечности,
$$
\begin{equation*}
\mathrm{s}\cdot\mathrm{t}=\sum_{i=1}^ns_it_i,\qquad |\mathrm{s}|=\biggl(\sum_{i=1}^ns_i^2\biggr)^{1/2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, пусть существуют неотрицательная функция $\Phi_0\in L_{1}(\Omega)$ и непрерывная неубывающая функция $\hat{b}\colon \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ такие, что при почти всех $\mathrm{x}\in\Omega$, для всех $s_0\in \mathbb{R}$, $\mathrm{s}\in\mathbb{R}^n$ справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
|b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant \hat{b}(|s_0|)(M(\mathrm{x},\tilde{d}\,|\mathrm{s}|) +\Phi_0(\mathrm{x})),\qquad \tilde{d}\leqslant\bar{d},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Условию $(M)$ удовлетворяют, например, функции
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, a_i(\mathrm{x},\mathrm{s})=M(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)\frac{s_i}{|\mathrm{s}|^2}+\psi_i(\mathrm{x}),\qquad \psi_i\in E_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega),\qquad i=1,\dots,n, \\ b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b(s_0) \kern1.8pt\overline{\vphantom{R}\kern5.6pt}\kern-7.4pt R ^{-1}(M(\mathrm{x},|\mathrm{s}|)){R}^{-1}(\Phi_0) \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
c непрерывной неубывающей нечетной функцией $b\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, произвольной $N$-функцией $R(z)$ и неотрицательной функцией $\Phi_0\in L_{1}(\Omega)$. Определим срезающую функцию $T_k(r)=\max(-k,\min(k,r))$. Через $\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ обозначим множество измеримых функций $u\colon \Omega\to\mathbb{R}$ таких, что $T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{ M}(\Omega)$ при любом $k>0$. Для любой функции $u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ и любого $k>0$ имеем
$$
\begin{equation*}
\nabla T_k(u)=\chi_{\{|u|<k\}}\nabla u \in \mathrm{L}_{M}(\Omega),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi_Q$ – характеристическая функция измеримого множества $Q$, а $\nabla u$ – обобщенный градиент $u$. Введем обозначение $\langle u \rangle=\int_{\Omega}u\, d\mathrm{x}$. Определение 3. Энтропийным решением задачи (1.1), (1.2) называется функция $u\in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ такая, что при всех $k>0$ и для любой функции $\xi\in C_0^1(\Omega)$ справедливо неравенство Замечание 1. Несложно показать, что для любой функции $u\in\mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$, удовлетворяющей условию 2, и любых $\xi\in C_0^1(\Omega)$, $k>0$ справедливы следующие принадлежности: Основным результатом работы является Теорема 1. Пусть область $\Omega$ строго липшицева и выполнено условие $(M)$, тогда существует энтропийное решение задачи (1.1), (1.2). Следует отметить, что в работе [16] без ограничений на меру строго липшицевой области $\Omega$ при тех же требованиях на функцию $M$ для уравнения
$$
\begin{equation*}
-\operatorname{div}\mathrm{a}(\mathrm{x},\nabla u)+\frac{M(\mathrm{x},u)}{u}+b(\mathrm{x},u)=f,\qquad f\in L_1(\Omega), \quad \mathrm{x}\in \Omega,
\end{equation*}
\notag
$$
установлена эквивалентность энтропийных и ренормализованных решений задачи Дирихле и доказана их единственность.
4. Подготовительные сведенияВ этом разделе приведены вспомогательные леммы. Предполагается, что область $\Omega$ строго липшицева и выполнено условие $(M)$. Заметим, что из условия строгой липшицевости следует сегментное свойство. Все постоянные, встречающиеся ниже, положительны. Приведем теорему Витали в следующей форме (см. гл. III, § 6, теорема 15 в [17]). Лемма 2. Пусть $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ – последовательность функций из $L_1(\Omega)$ такая, что Для сходимости необходимо и достаточно, чтобы последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ имела равностепенно абсолютно непрерывные интегралы: для любого $\varepsilon>0$ существуют $\delta>0$ и измеримое множество $Q_{\varepsilon}$, $\operatorname{meas} Q_{\varepsilon}<\infty$, такие, что:
Замечание 2. Очевидно, в случае $\operatorname{meas}\Omega<\infty$ условие (ii) вытекает из условия (i). Пользуясь выпуклостью функции $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $, из (3.2) выводим оценку
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 3 \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M \biggl(\mathrm{x},\frac{|\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|}{3\hat{a}}\biggr)&\leqslant M(\mathrm{x},\hat{d}|\mathrm{s}|)+ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M \biggl(\mathrm{x},\frac{\psi}{\hat{a}}\biggr)+ P(\mathrm{x},s_0)={} \notag \\ &=M(\mathrm{x},\hat{d}|\mathrm{s}|)+\Psi(\mathrm{x})+ P(\mathrm{x},s_0) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
c функцией $\Psi\in L_1(\Omega)$. Применяя (2.3), (4.3), для $\mathrm{s}^1, \mathrm{s}^2\in \mathbb{R}^n$ и любого $\mu>0$ устанавливаем неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}^1)|\,|\mathrm{s}^2|&\leqslant 3\hat{a}\mu \biggl( \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M \biggl(\mathrm{x},\frac{|\mathrm{a}(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}^1)|}{3\hat{a}}\biggr)+M\biggl(\mathrm{x},\frac{|s^2|}{\mu}\biggr)\!\biggr) \leqslant{} \notag \\ &\leqslant \hat{a}\mu\biggl({M}(\mathrm{x},\hat{d}|s^1|)+P(\mathrm{x},s_0)+3M\biggl(\mathrm{x},\frac{|s^2|}{\mu}\biggr)+\Psi(\mathrm{x})\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Заметим, что ввиду $P\prec\!\prec M$ и согласно (2.5) для любого $\varepsilon>0$ найдется $C(\varepsilon)$ такое, что для почти всех $\mathrm{x}\in \Omega$ и $z\in \mathbb{R}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
P(\mathrm{x},z)\leqslant C(\varepsilon)M(\mathrm{x},\varepsilon z).
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Предложение 1. Пусть $v\colon \Omega\to \mathbb{R}$ – измеримая функция такая, что при всех $k\geqslant 1$ имеем $T_k (v)\in\mathring {W}L_{M}^1(\Omega)$ и справедливо неравенство Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдется $k_0(C_1,M,\varepsilon)$ такое, что справедливо неравенство Доказательство. Из (4.6) с учетом монотонности функции ${M(\mathrm{x},s_0)}/{s_0}$ по переменной $s_0$ выводим соотношение Лемма 3 (лемма 2 в [18]). Пусть $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ – ограниченная последовательность функций из $L_{M}(\Omega)$ такая, что имеет место сходимость (4.1). Тогда $v\in L_M(\Omega)$ и $v^j\rightharpoonup v$, $j\rightarrow\infty$, в топологии $\sigma(L_{M}, E_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M })$ пространства $L_M(\Omega)$. Следствием теоремы Витали является Лемма 4 (лемма 2 в [15]). Пусть $v$, $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ – функции из $L_{M}(\Omega)$ и Тогда $v^j\rightharpoonup v$, $j\to\infty$, в топологии $\sigma(L_{M}, L_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M })$ пространства $L_M(\Omega)$. Лемма 5. Пусть $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ – ограниченная последовательность функций из $L_{\infty}(\Omega)$ такая, что имеет место сходимость (4.1). Тогда $v\in L_{\infty}(\Omega)$, $v^j\rightharpoonup v$, $j\rightarrow\infty$, в топологии $\sigma(L_{\infty}, L_{1})$ пространства $L_{\infty}(\Omega)$. Если, кроме того, $g\in L_{M}(\Omega)$ ($g\in E_{M}(\Omega)$), то Доказательство леммы 5 следует из теоремы Лебега. Замечание 3. Пусть $\{v^j\}_{j\in\mathbb{N}}$, $v\colon \Omega\to \mathbb{R}$ – измеримые функции такие, что имеет место сходимость (4.1). Тогда Лемма 6 (определение 9.1, лемма 9.2 в [13]). Пусть $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ – последовательность функций из $E_M(\Omega)$. Для сходимости Лемма 7. Пусть $M$ подчиняется условию $(M1,\mathrm{loc})$, тогда для любой функции $v\in E_M(Q),\;{\rm meas}(Q)<\infty$, ее норма абсолютно непрерывна, т. е. выполнены условия (iii), (iv). Доказательство следует из леммы 13.16 в [13] и плотности ограниченных функций в $E_M(Q)$. Утверждение 1. Пусть $Q$ – ограниченное подмножество $\Omega$, выполнены условия (3.1)–(3.3) и для некоторого фиксированного $k>0$ для последовательности функций Доказательство утверждения 1 повторяет доказательство леммы 4.10 в [12], но, поскольку функция $ \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M $ не обязана подчиняться $\Delta_2$-условию, сходимость
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)\;\; \text{сильно в }\, \mathrm{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(Q),\quad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
устанавливается иначе. А именно, из (4.9) следует cходимость
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(u)\chi_s)\quad \text{почти всюду в}\,\, Q,\quad j\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а из (3.2), (4.5) имеем оценку
$$
\begin{equation*}
|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s)| \leqslant\psi(\mathrm{x})+\hat{a} \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M ^{-1}(\mathrm{x},M(\mathrm{x}, \hat{d}s))+\hat{a} \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M ^{-1}(\mathrm{x},C M(\mathrm{x}, k)),\qquad j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь ограниченностью функции $M(\cdot,z) $ по $\mathrm{x}\in \overline{Q}$ для любых $z\in\mathbb{R}$, устанавливаем оценку
$$
\begin{equation*}
|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s)| \leqslant\psi(\mathrm{x})+C_3\in E_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(Q),\qquad m\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом лемм 6, 7 получаем сходимость (4.11).
5. Существование энтропийного решения5.1. Аппроксимационная задачаПоложим
$$
\begin{equation*}
f^m(\mathrm{x})=T_m f(\mathrm{x})\chi_{\Omega(m)},\qquad \Omega(m)=\{\mathrm{x}\in \Omega\colon |\mathrm{x}|<m\}, \quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Несложно показать, что
$$
\begin{equation}
f^m\to f \quad \text{в} \quad L_1(\Omega),\quad m\to\infty,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
и при этом
$$
\begin{equation}
|f^m(\mathrm{x})|\leqslant |f(\mathrm{x})|,\qquad |f^m(\mathrm{x})|\leqslant m\chi_{ \Omega(m)},\qquad \mathrm{x}\in \Omega,\quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Рассмотрим уравнения
$$
\begin{equation}
-\operatorname{div}\mathrm{a}^m(\mathrm{x},u,\nabla u)+a_0^m(\mathrm{x},u,\nabla u)=f^m(\mathrm{x}),\qquad \mathrm{x}\in \Omega,\quad m\in\mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
c функциями
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(s_0),\mathrm{s}),\qquad a_0^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})+\frac{M(\mathrm{x},s_0)}{s_0},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=(a^m_1(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s}),\dots,a^m_n(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})),\qquad b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})=T_mb(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})\chi_{\Omega(m)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation}
|b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant |b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|,\quad |b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})|\leqslant m\chi_{\Omega(m)},\quad \mathrm{x}\in\Omega,\quad (s_0,\mathrm{s})\in \mathbb{R}^{n+1}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Кроме того, применяя (3.5), устанавливаем неравенство
$$
\begin{equation}
b^m(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})s_0\geqslant 0,\qquad \mathrm{x}\in \Omega,\quad (s_0,\mathrm{s})\in \mathbb{R}^{n+1}.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Для каждого $m\in\mathbb{N}$ существует обобщенное решение $u^m\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega(m))$ уравнения (5.3) (теорема 13 в [20]). Продолжим $u^m$ нулем на $\Omega\setminus\Omega(m)$, тогда для любой функции $v\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega(l))\cap L_{\infty}(\Omega(l))$, $l\leqslant m$, выполняется интегральное равенство
$$
\begin{equation}
\biggl\langle \biggl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}-f^m(\mathrm{x})\biggr)v\biggr\rangle+\langle \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m (u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla v\rangle= 0,\quad m\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
5.2. Оценки для приближенных решенийУстановим априорные оценки для последовательности $\{u^m\}_{m\in \mathbb{N}}$. Положив в (5.6) $v=T_{k,h} (u^m)=T_{k}(u^m-T_h(u^m))$, $h,k>0$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m\, d\mathrm{x}+{} \notag\\ & +\int_{\{ h\leqslant|u^m|\}}\biggl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+ \frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}\biggr)T_{k,h} (u^m)\,d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f^m|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Благодаря (5.5) на множестве $\{\Omega\colon h\leqslant |u^m|\}$ справедливо неравенство
$$
\begin{equation*}
\biggl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}\biggr)T_{k,h} (u^m)\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это, из (5.7), применяя (5.2), выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} & \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla u^m\, d\mathrm{x} +{} \\ &+\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}}\biggl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\biggr)|u^m-h\operatorname{sgn} u^m |\,d\mathrm{x}+{} \\ &+k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\biggl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\biggr) d\mathrm{x} \leqslant k\int_{\{|u^m|\geqslant h\}}|f|\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<k+h\}} (\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla u^m +\phi)\,d\mathrm{x}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad+k\int_{\{|u^m|\geqslant k+h\}}\biggl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\biggr)\, d\mathrm{x}\leqslant{} \notag \\ &\qquad \leqslant\int_{\{ |u^m|\geqslant h\}}(k|f|+\phi)\,d\mathrm{x}\leqslant C_4+C_5k,\qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Теперь, полагая в (5.7) $h=0$, устанавливаем неравенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\{ |u^m|<k\}}&\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot\nabla T_k(u^m) \, d\mathrm{x}+{} \notag\\ &+\int_{\Omega}\biggl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}\biggr)T_k(u^m)\, d\mathrm{x}\leqslant C_5k,\qquad m\geqslant k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Отсюда, применяя (3.1), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\bar{a}\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\bar{d}\,|\nabla u^m|)\, d\mathrm{x}+ {} \notag \\ &\quad+k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\biggl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+ \frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\biggr) d\mathrm{x}\leqslant C_4+C_5k,\qquad m\geqslant k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Из оценки (5.9) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}&M(\mathrm{x},T_k(u^m))\,d\mathrm{x}=\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x}+\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}M(\mathrm{x},k)\,d\mathrm{x}\leqslant{} \notag \\ &\leqslant\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},u^m)\,d\mathrm{x}+k\int_{\{ |u^m|\geqslant k\}}\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\,d\mathrm{x}={} \notag \\ &=\int_{\Omega} \frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}T_k(u^m)\,d\mathrm{x} \leqslant C_5k+C_4,\qquad m\geqslant k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Кроме того, из (5.10) следует оценка
$$
\begin{equation}
\int_{\{ |u^m|<k\}}M(\mathrm{x},\bar{d}\,|\nabla u^m|)\, d\mathrm{x}=\int_{\Omega}M(\mathrm{x},\bar{d}\,|\nabla T_k (u^m)|)\,d\mathrm{x}\leqslant C_6(k),\qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Соединяя (5.4), (3.4), (5.12), для $m\geqslant k$ выводим неравенство
$$
\begin{equation*}
\int_{\{|u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,d\mathrm{x} \leqslant\hat{b}(k)\int_{\{|u^m|<k\}} (M(\mathrm{x},\bar{d}\,|\nabla u^m|)+\Phi_0(\mathrm{x}))\,d\mathrm{x} \leqslant C_7(k).
\end{equation*}
\notag
$$
Соединяя последнее неравенство с (5.10), устанавливаем оценку
$$
\begin{equation}
\|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\|_{1} \leqslant C_{8}(k),\qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Кроме того, из оценок (5.11), (5.12) выводим
$$
\begin{equation}
\|T_k(u^m)\|_{M}+\|\nabla T_k(u^m)\|_{M} \leqslant C_{9}(k),\qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
5.3. Сходимость почти всюдуИз оценки (5.10) согласно предложению 1 имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{meas}\{ |u^m|\geqslant\rho\}\to 0 \quad \text{равномерно по}\;\, m\in\mathbb{N}, \quad \rho\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Теперь установим сходимость по подпоследовательности:
$$
\begin{equation}
u^m\to u \quad \text{почти всюду в} \;\; \Omega,\quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
Из оценки (5.14) следует ограниченность множества $\{ T_k(u^m)\}_{m\in \mathbb{N}}$ в пространстве $ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$, а следовательно, в $ {W}^1_1(\Omega(R))$, $R>0$. Кроме того, для любого фиксированного $k>0$ следует сходимость
$$
\begin{equation}
T_k(u^m)\rightharpoonup v_k \quad \text{по топологии}\quad \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M })\ \text{ в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega),\quad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
по некоторой подпоследовательности. Ввиду компактности вложения $W_1^1(\Omega(R))\hookrightarrow L_1(\Omega(R))$ заключаем сходимости по подпоследовательностям: $T_k(u^m) \to v_k$ в $L_1(\Omega(R))$, $T_k(u^m)\to v_k$ почти всюду в $\Omega(R)$. Далее, диагональным процессом по $R\in \mathbb{N}$ устанавливается сходимость по некоторой подпоследовательности
$$
\begin{equation}
T_k(u^m)\to v_k \quad \text {почти всюду в} \;\; \Omega,\quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Обозначим через $\Omega'$ подмножество точек $\mathrm{x}\in\Omega$, в которых последовательность функций $\{u^m(\mathrm{x})\}_{m\in \mathbb{N}}$ имеет конечный предел $u(\mathrm{x})$. При $\mathrm{x}'\in \Omega'$ имеем равенства
$$
\begin{equation*}
v_k(\mathrm{x}')=\lim_{m\to \infty} T_k(u^m(\mathrm{x}'))=T_k\Bigl(\lim_{m\to \infty}u^m(\mathrm{x}')\Bigr)=T_k(u(\mathrm{x}')).
\end{equation*}
\notag
$$
Если для некоторого $\mathrm{x}\in \Omega$ выполнено $\lim_{m\to \infty}|T_k(u^m(\mathrm{x}))|<k$, то
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to \infty}T_k(u^m(\mathrm{x}))=\lim_{m\to \infty}u^m(\mathrm{x})=v_k(\mathrm{x}),
\end{equation*}
\notag
$$
следовательно, $\mathrm{x}\in \Omega'$. Для почти всех $\mathrm{x}\not\in\Omega'$ имеем
$$
\begin{equation*}
\lim_{m\to \infty}T_k(u^m(\mathrm{x}))=k \operatorname{sgn} v_k(\mathrm{x}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $|u^m(\mathrm{x})|>k$ для больших $m$, следовательно, $\lim_{m\to \infty}|u^m(\mathrm{x})|=\infty$. В силу (5.15) мера множества таких точек в $\Omega$ равна нулю. Отсюда заключаем, что $\operatorname{meas}(\Omega\setminus\Omega')=0$, и сходимость (5.16) установлена. Кроме того, заключаем, что $T_k(u)=v_k$ почти всюду в $\Omega$. Тогда из (5.17), (5.18) для любого $k>0$ устанавливаем
$$
\begin{equation}
T_k(u^m)\rightharpoonup T_k(u) \quad \text{по топологии}\quad \sigma(\mathrm{L}_{M},\mathrm{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M })\ \text{ в }\ \mathring{W}^1L_{M}(\Omega),\quad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
$$
\begin{equation}
T_k(u^m)\to T_k(u) \quad \text{почти всюду в} \;\; \Omega,\quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Выполняя предельный переход в (5.11), заключаем принадлежность
$$
\begin{equation}
M(\mathrm{x},T_k(u)),\; \frac{M(\mathrm{x},u)}{u}T_k(u)\in L_1(\Omega).
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
Таким образом, условие 2 определения 3 выполнено. Далее, докажем, что для любых $k>0$, $\xi\in C^1_0(\Omega)$
$$
\begin{equation}
\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}T_k(u^m-\xi)\to \frac{M(\mathrm{x},u)}{u}T_k(u-\xi)\ \text{ в } \ L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega),\quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Учитывая сходимость (5.16), имеем
$$
\begin{equation}
\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}T_k(u^m-\xi)\to \frac{M(\mathrm{x},u)}{u}T_k(u-\xi)\quad\text{почти всюду в} \;\; \Omega, \quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Из (5.8) при $k=1$ для любого $h>0$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_{\{ h\leqslant|u^m|<1+h\}} (\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla u^m +\phi)\,d\mathrm{x}+{} \\ &\qquad\qquad\qquad+\int_{\{\Omega :|u^m|\geqslant h+1\}}\biggl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m )|+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\biggr)\, d\mathrm{x}\leqslant{} \\ &\qquad \leqslant\int_{\{\Omega :|u^m|\geqslant h\}}(|f|+\phi)\,d\mathrm{x},\qquad m\in \mathbb{N}.\end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Ввиду того что $f,\phi\in L_1(\Omega)$ и вследствие абсолютной непрерывности интеграла в правой части последнего неравенства, учитывая (5.15), для любого $\varepsilon>0$ можно выбрать достаточно большое $\tilde{h}(\varepsilon)>1$ такое, что для $h\geqslant\tilde{h}$ справедлива оценка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\{ h-1\leqslant|u^m|<h\}}&(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m), \nabla u^m)\cdot\nabla u^m +\phi)\,d\mathrm{x}+{} \notag \\ &+\int_{\{\Omega :|u^m|\geqslant {h}\}}\biggl(|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|+\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\biggr)\, d\mathrm{x} <\frac{\varepsilon}{2},\quad m\in\mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Пусть $Q$ – произвольное измеримое подмножество в $\Omega$ и $\tilde{h}>\max(k,1)$, $h=\tilde{h}+\|\xi\|_{\infty}>\max(\|\xi\|_{\infty}, k)$, $\hat{h}=h+\|\xi\|_{\infty}$. Применяя неравенства (2.3), (2.4), (5.24), получаем следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_{Q}&\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}|T_k(u^m-\xi)|\,d\mathrm{x}=\int_{Q}\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}|T_k(u^m-\xi)|\chi_{\{\Omega:|u^m-\xi|< h\}}\,d\mathrm{x}+{} \\ &\;\;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\int_{Q}\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u|}|T_k(u^m-\xi)|\chi_{\{\Omega:|u^m-\xi|\geqslant h\}}\, d\mathrm{x} \leqslant{} \\ &\leqslant \int_{Q}\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}(|u^m|+|\xi|)\chi_{\{\Omega:|u^m|< \hat{h}\}}\,d\mathrm{x}+k\int_{\Omega}\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\chi_{\{\Omega:|u^m|\geqslant \tilde{h}\}}\,d\mathrm{x}\leqslant{} \\ &\leqslant \int_{Q}(2M(\mathrm{x},\hat{h})+ M(\mathrm{x},|\xi|))\,d\mathrm{x}+k\frac{\varepsilon}{2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду принадлежностей $M(\mathrm{x},\hat{h})\in L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)$, $M(\mathrm{x},|\xi|)\in L_1(\Omega)$ заключаем равномерную интегрируемость последовательности $\left\{\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}|T_k(u^m-\xi)|\right\}_{m\in \mathbb{N}}$ для любого $Q\subset\Omega\colon \operatorname{meas}Q< \infty$. Учитывая сходимость (5.23), применяя лемму 2, устанавливаем сходимость (5.22). 5.4. Модулярная сходимость градиентов от срезокДокажем сходимости
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u)\quad \text{модулярно в } \mathrm{L}_{M,\mathrm{loc}}(\Omega), \quad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot \nabla T_k(u^m)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u))\cdot \nabla T_k(u)
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\text{в } L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega),\quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
Повторяя рассуждения шага 5 в работе [12], при любом $k>0$ устанавливаем оценку
$$
\begin{equation}
\|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\|_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }\leqslant C_{10}(k), \qquad m\geqslant k.
\end{equation}
\tag{5.27}
$$
Из оценки (5.27) следует сходимость по подпоследовательности
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \tilde{\mathrm{a}}_k\quad \text{по топологии}\,\, \sigma(\mathrm{L}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M },\mathrm{E}_{M})\,\, \text{в}\,\, \mathrm{L}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega),\quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Для положительных вещественных чисел $m,j,s$ обозначим через $\omega(m,j,s)$ любую величину такую, что
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to +\infty}\lim_{j\to +\infty}\lim_{m\to +\infty} \omega(m,j,s)=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $h,k$, $h-1>k>0$. Согласно лемме 1 существует последовательность функций $\{v^j\}_{j\in \mathbb{N}}$ из $C_0^{\infty}(\Omega)$:
$$
\begin{equation*}
v^j\to T_k(u) \quad \text{модулярно в}\,\, \mathring{W}^1L_{M}(\Omega),\quad j\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
T_k(v^j)\to T_k(u) \quad \text{модулярно в}\,\, \mathring{W}^1L_{M}(\Omega),\quad j\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
Отсюда согласно лемме 2 получаем, что найдется $\lambda>0$ такое, что для последовательностей
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl\{M\biggl(\mathrm{x}, \frac{|T_k(u)-T_k(v^j)|}{\lambda}\biggr)\!\biggr\}_{j\in \mathbb{N}},\qquad \biggl\{M\biggl(\mathrm{x}, \frac{|\nabla(T_k(u)-T_k(v^j))|}{\lambda}\biggr)\!\biggr\}_{j\in \mathbb{N}} \\ \text{выполнены условия}\; \text{(i)}, \text{(ii)} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
и справедлива сходимость по некоторой подпоследовательности $J\subset\mathbb{N}$ (см. замечание 7.9 в [13]):
$$
\begin{equation}
T_k(v^j)\to T_k(u),\quad \nabla T_k(v^j)\to \nabla T_k(u) \quad \text{почти всюду в}\,\, \Omega,\quad j\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
Замечание 4. Пользуясь выпуклостью функции $M(\mathrm{x},\cdot)$ и принадлежностью $T_k(u)\in \mathring{W}^1L_{M}(\Omega)$, несложно установить эквивалентность (5.30) следующему условию: c некоторым $\lambda_1>0$. Кроме того, согласно лемме 4 имеем
$$
\begin{equation*}
\nabla T_k(v^j)\rightharpoonup \nabla T_k(u) \quad \text{по топологии}\quad \sigma(\mathrm{L}_M,\mathrm{L}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }),\quad j\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Полагаем
$$
\begin{equation*}
z^{mj}=T_k(u^m)-T_k(v^j),\qquad z^{j}=T_k(u)-T_k(v^j),\qquad m,j\in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
$\varphi_k(\rho)=\rho e^{\gamma^2\rho^2}$, где $\gamma=\hat{b}(k)/\bar{a}$. Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\psi_k(\rho)=\varphi'_k(\rho)-\gamma|\varphi_k(\rho)|\geqslant \frac{7}{8},\qquad \rho\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следуют неравенства
$$
\begin{equation}
\frac{7}{8}\leqslant \psi_k(z^{mj})\leqslant \max_{[-2k,2k]}\psi_k(\rho)=C_{11}(k),\qquad m,j\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Ввиду (5.20), (5.31) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi_k(z^{mj})\to \varphi_k(z^{j}),\quad\varphi'_k(z^{mj})\to \varphi'_k(z^{j}),\quad \psi_k(z^{mj})\to \psi_k(z^{j}) \\ \text{почти всюду в } \Omega,\quad m\to \infty,\end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi_k(z^{j})\to \varphi_k(0)=0,\quad \varphi'_k(z^{j})\to \varphi'_k(0)=1, \quad \psi_k(z^{j})\to \psi_k(0)=1\\ \text{почти всюду в } \Omega,\quad j\to \infty, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.34}
$$
а также
$$
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{mj})| \leqslant \varphi_k(2k), \qquad 1 \leqslant\varphi_k'(z^{mj})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad m,j \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
$$
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{j})| \leqslant \varphi_k(2k), \qquad 1 \leqslant\varphi_k'(z^{j})\leqslant \varphi_k'(2k), \qquad j \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{5.36}
$$
Применяя (5.33), (5.35), (5.34), (5.36), с помощью леммы 5 устанавливаем сходимости:
$$
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{mj})| \rightharpoonup |\varphi_k(z^j)|\;\; \text{в топологии}\,\, \sigma(L_{\infty}, L_{1})\,\, \text{пространства}\; L_{\infty}(\Omega), \;\; m \to \infty,
\end{equation}
\tag{5.37}
$$
$$
\begin{equation}
|\varphi_k(z^{j})| \rightharpoonup 0\;\; \text {в топологии}\,\, \sigma(L_{\infty}, L_{1}) \,\, \text{пространства}\; L_{\infty}(\Omega), \;\; j \to\infty.
\end{equation}
\tag{5.38}
$$
Кроме того, для любой функции $g\in E_M(\Omega)$, применяя лемму 5, устанавливаем сходимости
$$
\begin{equation}
\varphi_k(z^{mj})g \to \varphi_k(z^{j})g \quad\text{сильно в } E_{M}(\Omega), \quad m \to\infty,
\end{equation}
\tag{5.39}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi_k(z^{j})g \to 0 \quad\text{сильно в } E_{M}(\Omega), \quad j \to \infty.
\end{equation}
\tag{5.40}
$$
Введем следующие обозначения: $\chi^j_s$, $\chi_s$, ${}_k\chi^m$, ${}_k\chi$ – характеристические функции множеств $\{\mathrm{x} \in \Omega\colon|\nabla T_k(v^j)|\leqslant s\}$, $\{\mathrm{x} \in \Omega\colon |\nabla T_k(u)|\leqslant s\}$, $\{\mathrm{x} \in \Omega\colon |u^m|\geqslant k\}$, $\{\mathrm{x} \in \Omega\colon |u|\geqslant k\}$ соответственно. Будем рассматривать правильные $k, s$, для которых $\operatorname{meas}\{\Omega\colon |u|=k\}=0$ и $\operatorname{meas}\{\Omega\colon |\nabla T_k(u)|=s\}=0$. Положим ${\eta}_{h}(r)=\min(1,\max(0,h-r+1))$, $r\in \mathbb{R}$. Для краткости записи будем использовать обозначения $\zeta_{h-1}^m=\eta_{h-1}(|u^m|)$, $\zeta_{h-1}=\eta_{h-1}(|u|)$, $\eta_R=\eta_R(|\mathrm{x}|)$. Из (5.16), (5.31) для правильных $k,s$ следуют сходимости
$$
\begin{equation}
\zeta_{h-1}^m \to \zeta_{h-1} \quad \text{почти всюду в } \Omega, \quad m \to \infty,
\end{equation}
\tag{5.41}
$$
$$
\begin{equation}
\chi_s^j \to \chi_{s} \quad \text{почти всюду в } \Omega, \quad j \to \infty,
\end{equation}
\tag{5.42}
$$
$$
\begin{equation}
{}_k\chi^m \to {}_k\chi \quad \text{почти всюду в } \Omega, \quad m \to \infty.
\end{equation}
\tag{5.43}
$$
Принимая в качестве тестовой функции в (5.6) $\varphi_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_{R}$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}&\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \nabla ( \varphi_k(z^{mj})\eta_{R}\zeta_{h-1}^m)\,d\mathrm{x}+{} \notag \\ & +\int_{\Omega}b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\varphi_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_{R}\,d\mathrm{x}+\int_{\Omega}\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}\varphi_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_{R}\,d\mathrm{x} -{} \notag \\ & - \int_{\Omega}f^m\varphi_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_{R}\,d\mathrm{x}=I_1+I_2+I_3+I_4=0,\quad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.44}
$$
Оценки интегралов $I_2$–$I_4$Ввиду
$$
\begin{equation*}
\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{|u^m|}\zeta_{h-1}^m\eta_{R}\leqslant \frac{M(\mathrm{x},h)}{h}\eta_{R}\in L_1(\Omega)
\end{equation*}
\notag
$$
и cходимостей (5.37), (5.38) имеем
$$
\begin{equation}
|I_3|\leqslant\int_{\Omega}\frac{M(\mathrm{x},h)}{h}\eta_{R}|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}=\omega(m)+\int_{\Omega}\frac{M(\mathrm{x},h)}{h}\eta_{R}|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x} =\omega_h(m,j).
\end{equation}
\tag{5.45}
$$
Аналогично благодаря (5.2) с учетом $f\in L_1(\Omega)$ получаем
$$
\begin{equation}
|I_4|\leqslant\int_{\Omega} |f|\,|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}=\omega(m)+\int_{\Omega} |f|\,|\varphi_k(z^{j})|\,d\mathrm{x}=\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.46}
$$
Очевидно, что $z^{mj}u^m\geqslant0 $ при $|u^m|\geqslant k$, поэтому ввиду (5.5) имеем
$$
\begin{equation*}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\varphi_k(z^{mj})\geqslant 0\quad \text{при}\quad |u^m|\geqslant k.
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая это и применяя (5.4), (3.4), оценим интегралы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -I_2&\leqslant\int_{\{\Omega:|u^m|<k\}}|b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)|\,|\varphi_k(z^{mj})|\eta_R\, d\mathrm{x}\leqslant{} \\ &\leqslant\hat{b}(k)\int_{\Omega} (M(\mathrm{x},\bar{d}\,|\nabla T_k (u^m)|)+\Phi_0(\mathrm{x}))|\varphi_k(z^{mj})|\eta_R\, d\mathrm{x},\qquad m\in \mathbb{N}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (3.1), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -I_2 & \leqslant\frac{\hat{b}(k)}{\bar{a}}\int_{\Omega} (\bar{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x}))|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}+{} \notag\\ &\quad+\frac{\hat{b}(k)}{\bar{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\eta_R\, d\mathrm{x}=I_{21}+I_{22}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.47}
$$
Ввиду (5.37), (5.38) имеем
$$
\begin{equation}
I_{21}=\frac{\hat{b}(k)}{\bar{a}}\int_{\Omega} (\bar{a}\Phi_0(\mathrm{x})+\phi(\mathrm{x}))|\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}=\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.48}
$$
Очевидно, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1={}&\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \varphi_k'(z^{mj})\nabla z^{mj}\eta_{R}\zeta_{h-1}^m\,d\mathrm{x}-{} \\ &-\int_{\{\Omega:h-1\leqslant |u^m|<h\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \nabla u^m |\varphi_k(z^{mj})|\eta_{R}\,d\mathrm{x}+{} \\ &+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \varphi_k(z^{mj})\nabla\eta_{R}\zeta_{h-1}^m\,d\mathrm{x} =I_{11}-I_{12}+I_{13}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, используя оценки интегралов (5.45)–(5.48), из (5.44) выводим неравенства
$$
\begin{equation}
I_5=I_{11}-I_{22}\leqslant\omega_h(m,j)+I_{12}-I_{13},\qquad m\geqslant h.
\end{equation}
\tag{5.49}
$$
Используя (5.35), оценим интегралы:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |I_{12}|\leqslant \varphi_k(2k) \int_{\{\Omega:h-1\leqslant|u^m|<h\}}& (\mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot \nabla u^m+\phi)\, d\mathrm{x}+{} \\ &+\varphi_k(2k) \int_{\{\Omega:h-1\leqslant|u^m|<h\}}\phi\, d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Благодаря (5.24), (5.15) имеем Применяя оценку (5.27) и сходимости (5.39), (5.40) c $g=\chi_{\Omega(R+1)}$, устанавливаем соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |I_{13}|&\leqslant \int_{\Omega(R+1)}|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))|\cdot |\varphi_k(z^{mj})|\,d\mathrm{x}\leqslant{} \notag \\ &\leqslant C_{10}(h)\|\varphi_k(z^{mj})\|_{M,\Omega(R+1)}=\omega_{h,R}(m,j). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.51}
$$
Соединяя (5.49)–(5.51), получаем
$$
\begin{equation}
I_5\leqslant\omega(h)+\omega_{h,R}(m,j),\qquad m\geqslant h.
\end{equation}
\tag{5.52}
$$
Представление $I_5$Выполняя элементарные преобразования, выводим равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_5={}&\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \nabla T_k(u^m) \varphi'_k(z^{mj})\eta_R\, d\mathrm{x}-{} \\ &- \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_R\, d\mathrm{x}-{} \\ &-\frac{\hat{b}(k)}{\bar{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot \nabla T_k(u^m) |\varphi_k(z^{mj})|\eta_R\, d\mathrm{x}={} \\ ={}&\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot \nabla T_k(u^m) \psi_k(z^{mj})\eta_R\,d\mathrm{x}-{} \\ &- \int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_R\, d\mathrm{x}={} \\ ={}&\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot (\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j) \psi_k(z^{mj})\eta_R\, d\mathrm{x}+{} \\ &+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot \nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j \psi_k(z^{mj})\eta_R\, d\mathrm{x}-{} \\ &-\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \nabla T_k(v^j) \varphi'_k(z^{mj})\chi_{s}^j\zeta_{h-1}^m \eta_R\, d\mathrm{x}+{} \\ &+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m))\cdot \nabla T_k(v^j)(\chi_{s}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m \eta_R\, d\mathrm{x}.\end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_5={}&\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot (\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j) \psi_k(z^{mj})\eta_R\,d\mathrm{x} -{} \notag\\ & -\frac{\hat{b}(k)}{\bar{a}}\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot \nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j |\varphi_k(z^{mj})|\eta_R\, d\mathrm{x}+{} \notag\\ &+\int_{\Omega}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\zeta^m_{h-1} \mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)))\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\times \nabla T_k(v^j){}_{k}\chi^m\chi_{s}^j \varphi'_k(z^{mj})\eta_R\,d\mathrm{x}+{}\notag\\ &+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_h(u^m),\nabla T_h(u^m)) \nabla T_k(v^j)(\chi_{s}^j-1) \varphi'_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_R\,d\mathrm{x}=\notag\\ ={}&I_{51}+I_{52}+I_{53}+I_{54},\qquad m\geqslant h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.53}
$$
Оценки интегралов $I_{52}$–$I_{54}$Применяя (5.33), (5.35), с помощью леммы 5 c $g=\nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j\eta_R\in \mathrm{E}_M(\Omega)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\eta_R \nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j|\varphi_k(z^{mj})|\to \eta_R\nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j|\varphi_k(z^{j})|\;\text{сильно в}\;\mathrm{E}_M(\Omega),\; m\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с учетом сходимости (5.28) устанавливаем
$$
\begin{equation*}
I_{52}=-\frac{\hat{b}(k)}{\bar{a}}\int_{\Omega}\tilde{\mathrm{a}}_k\cdot \nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j |\varphi_k(z^{j})|\eta_R\, d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (5.31), (5.34), (5.36), (5.42), по теореме Лебега устанавливаем Применяя (5.33), (5.35), (5.43) и лемму 5 c $g=\nabla T_k(v^j)\chi_s^j\eta_R\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j\varphi'_k(z^{mj}){}_k\chi^m\eta_R\to \nabla T_k(v^j)\chi_{s}^j \varphi'_k(z^{j}){}_k\chi\eta_R \;\text{сильно в}\;\mathrm{E}_M(\Omega),\;\; m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с помощью сходимости (5.28), (5.41) устанавливаем
$$
\begin{equation*}
I_{53}=\int_{\Omega}(\tilde{\mathrm{a}}_k-\zeta_{h-1}\tilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(v^j){}_k\chi\chi_{s}^j \varphi'_k(z^{j})\eta_R\, d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, применяя (5.31), (5.34), (5.36), (5.42), по теореме Лебега заключаем
$$
\begin{equation}
I_{53}=\int_{\Omega}(\tilde{\mathrm{a}}_k-\zeta_{h-1}\tilde{\mathrm{a}}_h)\cdot \nabla T_k(u){}_k\chi\chi_{s}\eta_R\, d\mathrm{x}+\omega(m,j)=\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.55}
$$
Далее, применяя (5.33), (5.34), (5.41) и лемму 5 c $g=\nabla T_k(v^j)(\chi_{s}^j-1)\eta_R\in \mathrm{E}_M(\Omega)$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \nabla T_k(v^j)(\chi_{s}^j-1)\varphi'_k(z^{mj})\zeta_{h-1}^m\eta_R\to \nabla T_k(v^j)(\chi_{s}^j-1) \varphi'_k(z^{j})\zeta_{h-1}\eta_R\\ \text{сильно в}\;\mathrm{E}_M(\Omega),\;\; m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда с помощью сходимости (5.28) устанавливаем
$$
\begin{equation*}
I_{54}=\int_{\Omega}\tilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(v^j)(\chi_s^j-1) \varphi'_k(z^{j})\zeta_{h-1}\eta_R\,d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (5.34), (5.36), (5.42), (5.29) и лемму 2 (см. замечание 4), получаем
$$
\begin{equation*}
\nabla T_k(v^j)(\chi_s^j-1) \varphi'_k(z^{j})\eta_R\to \nabla T_k(u)(\chi_s-1)\eta_R \;\;\text{модулярно в}\;\mathrm{L}_{M}(\Omega),\;\; j\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду принадлежности $\tilde{\mathrm{a}}_h\zeta_{h-1}\in \mathrm{L}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega)$ имеем
$$
\begin{equation*}
I_{54}=\int_{\Omega}\tilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u)(\chi_s-1)\eta_R\, d\mathrm{x}+\omega(m,j).
\end{equation*}
\notag
$$
В силу того, что $\tilde{\mathrm{a}}_h\cdot \nabla T_k(u) \in L_1(\Omega)$, имеем Из (5.52)–(5.56) следует, что Оценим интеграл:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0\leqslant I_6={}&\int_{\Omega}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j))\times{} \notag\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; \times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\chi_s^j) \psi_k(z^{mj})\eta_R\,d\mathrm{x}={} \notag \\ ={}&\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m)) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\chi_s^j) \psi_k(z^{mj})\eta_R\, d\mathrm{x}-{} \notag\\ &-\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j)\cdot (\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\chi_s^j) \psi_k(z^{mj})\eta_R\, d\mathrm{x}= {} \notag\\ ={}&I_{51}-I_{61}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.58}
$$
Из (5.20) следует cходимость
$$
\begin{equation*}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j)\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u), \nabla T_k(v^j)\chi_s^j)\quad \text{почти всюду в }\; \Omega,\quad m\to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
а из (3.2), (4.5) имеем оценки
$$
\begin{equation*}
|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j)|\leqslant\hat{a} \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M ^{-1}(\mathrm{x},M(\mathrm{x},\hat{d}s))+\hat{a} \kern1.9pt\overline{\vphantom{M}\kern8.2pt}\kern-10.1pt M ^{-1}(\mathrm{x},C M(\mathrm{x}, k))+\psi(\mathrm{x}),\quad m,j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь ограниченностью функции $M(\cdot,z) $ по $\mathrm{x}\in {\Omega(R+1)}$ для любых $z\in\mathbb{R}$, устанавливаем оценку
$$
\begin{equation*}
|\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j)|\eta_R \leqslant\psi(\mathrm{x})+C_{12}\eta_R\in\mathrm{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega),\qquad m,j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая (5.32), (5.33), с помощью лемм 6, 7 получаем сходимость
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j)\psi_k(z^{mj})\eta_R\to{} \notag\\ & \to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j)\psi_k(z^{j})\eta_R\;\; \text{сильно в } \mathrm{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega),\qquad m\to \infty. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.59}
$$
Аналогично устанавливается сходимость
$$
\begin{equation}
\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s)\eta_R\to \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s)\eta_R\;\; \text{сильно в } \mathrm{E}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega),\quad m\to \infty.
\end{equation}
\tag{5.60}
$$
Применяя (5.59), (5.19), выводим
$$
\begin{equation*}
I_{61}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(v^j)\chi_s^j)\cdot (\nabla T_k(u)-\nabla T_k(v^j)\chi_s^j) \psi_k(z^{j})\eta_R\,d\mathrm{x}+\omega(m),\quad j\in \mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя оценку (4.4) и сходимости (5.31), (5.34), (5.42), по теореме Лебега устанавливаем
$$
\begin{equation*}
I_{61}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0)\cdot \nabla T_k(u)(1-\chi_s)\eta_R\, d\mathrm{x}+\omega(m,j).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, благодаря $\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),0)\cdot \nabla T_k(u)\eta_R\in L_1(\Omega)$ (см. (4.4)) получаем Соединяя (5.58), (5.61), (5.57) и применяя (5.32), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_7={}&\int_{\Omega}(\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))-\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi^j_s))\times{} \notag\\ &\qquad \times(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\chi^j_s)\eta_R\, d\mathrm{x}\leqslant \frac{8}{7} I_6 \leqslant \omega_{h,R}(m,j,s)+\omega(h). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.62}
$$
Используя обозначение (4.10), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0\leqslant{}& \int_{\Omega(R)}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}\leqslant I_7+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\cdot(\nabla T_k(v^j)\chi^j_s-\nabla T_k(u)\chi_s)\eta_R\,d\mathrm{x}-{} \notag\\ &-\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(u)\chi_s)\eta_R\, d\mathrm{x}+{} \notag \\ &+\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(v^j)\chi^j_s)\cdot(\nabla T_k(u^m)-\nabla T_k(v^j)\chi^j_s)\eta_R\,d\mathrm{x}={} \notag \\ ={}&I_7+I_{71}+I_{72}+I_{73}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.63}
$$
Оценки интегралов $I_{71}$–$I_{73}$Ввиду сходимостей (5.28), (5.42), (5.31) имеем
$$
\begin{equation}
I_{71}=\int_{\Omega}\tilde{\mathrm{a}}_k\cdot(\nabla T_k(v^j)\chi^j_s-\nabla T_k(u)\chi_s)\eta_R\, d\mathrm{x}+\omega(m)=\omega(m,j).
\end{equation}
\tag{5.64}
$$
Применяя (5.19), (5.60), получаем
$$
\begin{equation*}
I_{72}=\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)(\chi_s-1)\eta_R\, d\mathrm{x}+\omega(m).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ввиду принадлежности $\mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)\chi_s) \cdot\nabla T_k(u)\eta_R \in L_1(\Omega)$, согласно теореме Лебега выводим Интеграл $I_{73}$ оценивается так же, как интеграл $I_{61}$: Соединяя (5.62)–(5.66), получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{\Omega(R)}q^m_s(\mathrm{x})\,d\mathrm{x} \leqslant \omega_{R,h}(m,j,s)+\omega(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку левая часть последнего неравенства не зависит от $j,h$, переходя последовательно к пределам по $m\to\infty$, $j\to\infty$, $s\to\infty$, устанавливаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega(R)}q^m_s(\mathrm{x}) \, d\mathrm{x}\leqslant \omega(h).
\end{equation*}
\notag
$$
Выполняя предельный переход при $h\to\infty$, выводим соотношение
$$
\begin{equation*}
\lim_{s\to \infty}\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega(R)}q^m_s(\mathrm{x})\, d\mathrm{x}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
По утверждению 1 ($Q=\Omega(R)$) ввиду произвольности $R>0$ имеем сходимости (5.25), (5.26) и сходимость
$$
\begin{equation}
\nabla T_k(u^m)\to \nabla T_k(u) \quad \text{почти всюду в} \;\; \Omega,\quad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.67}
$$
Далее, так же, как в разделе 5.5 работы [9], устанавливается сходимость по подпоследовательности:
$$
\begin{equation}
\nabla u^m\to \nabla u \quad \text{ почти всюду в} \;\; \Omega,\quad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.68}
$$
5.5. Сильная сходимость младших членовИспользуя оценку (5.27) и сходимости (5.20), (5.67), по лемме 3 устанавливаем слабую сходимость
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u^m),\nabla T_k(u^m))\rightharpoonup \mathrm{a}(\mathrm{x},T_k(u),\nabla T_k(u)) \notag\\ \text{ в топологии } \sigma(\mathrm{L}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }, \mathrm{E}_{M}) \text{ пространства } \mathrm{L}_{ \kern1.8pt\overline{\vphantom{M}\kern6.3pt}\kern-8.1pt M }(\Omega),\quad m\to \infty. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.69}
$$
Из непрерывности $b(\mathrm{x},s_0,\mathrm{s})$ по $(s_0,\mathrm{s}) $ и сходимостей (5.16), (5.68) следует, что
$$
\begin{equation}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u, \nabla u)\quad\text{почти всюду в} \;\; \Omega,\quad m\to\infty.
\end{equation}
\tag{5.70}
$$
Из оценки (5.13) с учетом (5.70) и согласно лемме Фату заключаем, что Таким образом, условия 1, 3 определения 3 выполнены. Доказательство сходимости
$$
\begin{equation}
b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\to b(\mathrm{x},u,\nabla u)\quad\text{в} \quad L_{1,\mathrm{loc}}({\Omega}),\quad m\to \infty,
\end{equation}
\tag{5.71}
$$
можно найти в работе [12] (шаг 6). 5.6. Предельный переходПусть $\xi\in C_0^1(\Omega)$, $\operatorname{supp}\xi\subset \Omega(l)$, $l\geqslant l_0$. Чтобы доказать неравенство (3.6), в тождестве (5.6) возьмем пробную функцию $v=T_k(u^m-\xi)$, получим соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_{\Omega}& \mathrm{a}(\mathrm{x},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}+{}\notag\\ &+\int_{\Omega} \biggl(b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m) +\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}-f^m\biggr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}=I^m+J^m,\quad m\geqslant l_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.72}
$$
Положим $\hat{k}=k+\|\xi\|_{\infty}$. Если $|u^m-\xi|< k$, то $|u^m|< \hat{k}$, поэтому $\{\Omega\colon |u^m-\xi|< k\} \subseteq \{\Omega\colon |u^m|< \hat{k}\}$, следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^m&=\int_{\Omega} {\mathrm{a}}({\mathrm{x}},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla T_k(u^m-\xi)\,d{\mathrm{x}} ={} \notag\\ &=\int_{\{\Omega:|u^m-\xi|< k\}} {\mathrm{a}}({\mathrm{x}},T_m(u^m),\nabla u^m)\cdot\nabla (u^m-\xi)\,d{\mathrm{x}}={} \notag\\ &=\int_{\{\Omega:|u^m-\xi|< k\}} {\mathrm{a}}({\mathrm{x}},T_{\hat{k}}(u^m),\nabla T_{\hat{k}}(u^m))\cdot \nabla T_{\hat{k}}(u^m)\,d\mathrm{x}-{} \notag\\ &\hphantom{={}}-\int_{\{\Omega:|u^m-\xi|< k\}}{\mathrm{a}}({\mathrm{x}},T_{\hat{k}}(u^m),\nabla T_{\hat{k}}(u^m))\cdot\nabla \xi \,d{\mathrm{x}}=I^m_1-I^m_2,\quad m\geqslant \max(\hat{k},l_0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.73}
$$
Применяя (5.16), (5.20), (5.67), по лемме Фату для правильных $k$ (таких, что $\operatorname{meas}\{\Omega\colon |u-\xi|=k\}=0)$ имеем сходимость
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim\inf_{m\to \infty} I^m_1&=\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega} {\mathrm{a}}({\mathrm{x}},T_{\hat{k}}(u^m),\nabla T_{\hat{k}}(u^m))\cdot \nabla T_{\hat{k}}(u^m) \chi_{\{\Omega:|u^m-\xi|< k\}}\, d\mathrm{x}\geqslant{} \notag\\ &\geqslant\int_{\{\Omega:|u-\xi|< k\}}\mathrm{a}({\mathrm{x}},T_{\hat{k}}(u),\nabla T_{\hat{k}}(u))\cdot \nabla T_{\hat{k}}(u)\, d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.74}
$$
Используя (5.16), по лемме 5 для правильных $k$ имеем сходимость
$$
\begin{equation*}
\nabla\xi\chi_{\{\Omega:|u^m-\xi|< k\}}\to \nabla\xi\chi_{\{\Omega:|u-\xi|< k\}}\quad \text{сильно в } \mathrm{E}_{M}(\Omega),\qquad m\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, учитывая сходимость (5.69), выводим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty} I^m_2&=\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\hat{k}}(u^m),\nabla T_{\hat{k}}(u^m))\cdot\nabla \xi \chi_{\{\Omega:|u^m-\xi|< k\}}\,d{\mathrm{x}}={} \notag\\ &=\int_{\{\Omega:|u-\xi|< k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x}, T_{\hat{k}}(u),\nabla T_{\hat{k}}(u))\cdot\nabla \xi \,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.75}
$$
Соединяя (5.73)–(5.75), устанавливаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lim_{m\to \infty} I^m &\geqslant\int_{\{\Omega:|u-\xi|< k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\hat{k}}(u),\nabla T_{\hat{k}}(u))\cdot \nabla T_{\hat{k}}(u) \,d\mathrm{x}-{} \notag\\ &\hphantom{-{}}-\int_{\{\Omega:|u-\xi|< k\}}\mathrm{a}(\mathrm{x},T_{\hat{k}}(u),\nabla T_{\hat{k}}(u))\cdot\nabla \xi\, d\mathrm{x}={} \notag\\ &=\int_{\{\Omega:|u-\xi|< k\}}\mathrm{a}({\mathrm{x}},u,\nabla u)\cdot\nabla(u-\xi)\,d\mathrm{x}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.76}
$$
Интеграл $J^m$ также разобьем на два слагаемых. Первый интеграл
$$
\begin{equation*}
J^m_1=\int_{\Omega} \biggl(\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}+b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\biggr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}
\end{equation*}
\notag
$$
при $l\geqslant l_0$ оценивается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, J^m_1={}&\int_{\Omega\backslash \Omega(l)}\biggl(\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}+b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\biggr)T_k(u^m)\,d\mathrm{x}+{} \\ &+\int_{\Omega(l)}\biggl(\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}+b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\biggr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}\geqslant{} \\ \geqslant{}&\int_{\Omega(l)}\biggl(\frac{M(\mathrm{x},u^m)}{u^m}+b^m(\mathrm{x},u^m,\nabla u^m)\biggr)T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}= \overline{J}^{lm}_1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Применяя (5.22), (5.71), переходим к пределу при $m\to \infty$, а затем при $l\to \infty$ получим
$$
\begin{equation}
\int_{\Omega}\biggl(\frac{M(\mathrm{x},u)}{u}+b(\mathrm{x},u,\nabla u)\biggr)T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}=\lim_{l\to \infty}\lim_{m\to \infty}\overline{J}^{lm}_1\leqslant \lim_{m\to \infty}\inf J_1^m .
\end{equation}
\tag{5.77}
$$
Из сходимости (5.16) согласно лемме 5 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T_k(u^m-\xi)\rightharpoonup T_k(u-\xi)\\ \text{по топологии}\; \sigma(L_{\infty}, L_{1}) \; \text{пространства}\; L_{\infty}(\Omega),\quad m\to \infty. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.78}
$$
Используя (5.1), (5.78), выполняя предельный переход при $m\to\infty$ во втором интеграле, устанавливаем
$$
\begin{equation}
\lim_{m\to \infty}J^m_2=\lim_{m\to \infty}\int_{\Omega}f^m T_k(u^m-\xi)\,d\mathrm{x}=\int_{\Omega}f T_k(u-\xi)\,d\mathrm{x}.
\end{equation}
\tag{5.79}
$$
Соединяя (5.72), (5.76), (5.77), (5.79), выводим (3.6). Таким образом, $u \in \mathring{\mathcal{T}}_{M}^1(\Omega)$ является энтропийным решением задачи (1.1), (1.2). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у нее нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Koz24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|