| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Объединение калибровочных констант связи в перевернутой К. В. Степаньянцab a Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020090 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКвантовые числа различных полей в Стандартной модели не являются случайными. Например, они удовлетворяют некоторым очень нетривиальным ограничениям, следующим из условия сокращения аномалий (см., например, [1], [2]). Кроме того, много лет назад стало понятно [3], что они подразумевают существование более широкой калибровочной симметрии, так что Стандартная модель предположительно возникает как низкоэнергетический остаток от более симметричной теории Великого объединения (ТВО) [4]. Простейшая ТВО [3] имеет калибровочную группу $SU_5$ и предсказывает объединение калибровочных констант связи $\alpha_2 = \alpha_3$ и значение угла Вайнберга $\sin^2\theta_\mathrm{W}=3/8$. Эти предсказания должны быть справедливы при очень высоких энергиях, порядка масштаба нарушения $SU_5$ симметрии (около $10^{16}$ ГэВ). Если константа связи для гиперзарядной группы $U_1$ обозначена через $e_1$, то удобно ввести константу связи поскольку в этом случае условие объединения калибровочных констант связи может быть записано в простой форме $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$. Хотя бегущие константы связи в Стандартной модели не удовлетворяют этому предсказанию, это условие замечательным образом согласуется с поведением бегущих констант связи в ее простейшем суперсимметричном расширении, называемом минимальной суперсимметричной Стандартной моделью (МССМ) [5]–[7]. Конечно, этот факт вряд ли является случайным.Однако простейшая суперсимметричная ТВО, основанная на группе $SU_5$, имеет несколько существенных проблем. Например, расщепление дуплета и триплета требует точной подстройки [8], [9], а предсказываемое время жизни протона меньше, чем современные экспериментальные ограничения [10]. Эти проблемы успешно решаются в суперсимметричных ТВО с дополнительными пространственными измерениями, компактифицированными на орбифолды [11]–[14] (см. также [15]). Однако в настоящей работе мы рассматриваем обычные суперсимметричные ТВО в четырех измерениях. В простейшей $SU_5$ теории левые фермионы одного поколения1 принадлежат приводимому представлению $1+\overline{5}+10$ $SU_5$. Эквивалентно можно работать с правыми фермионами в представлении $1+5+\overline{10}$. В частности, в суперсимметричном случае киральные суперполя одного поколения могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
\overline{10}\,{}^{ij} \sim \begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & \hphantom{-}U_3 & -U_2 & \hphantom{-}\widetilde U^1 & \widetilde D^1\\ -U_3 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}U_1 & \hphantom{-}\widetilde U^2 & \widetilde D^2\\ \hphantom{-}U_2 & -U_1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}\widetilde U^3 & \widetilde D^3\\ -\widetilde U^1 & -\widetilde U^2 & - \widetilde U^3 & \hphantom{-}0 & E\\ -\widetilde D^1 & -\widetilde D^2 & -\widetilde D^3 & -E & 0 \end{pmatrix}, \qquad 5_i \sim \begin{pmatrix} \hphantom{-}D_1\\ \hphantom{-}D_2\\ \hphantom{-}D_3\\ \hphantom{-}\widetilde E\\ -\widetilde N \end{pmatrix},\qquad 1\sim N,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $N$, $E$, $U$ и $D$ включают правые нейтрино, заряженные лептоны, верхние и нижние кварки соответственно, а зарядово-сопряженные левые лептоны и кварки являются компонентами суперполей
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \widetilde N\\ \widetilde E \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} \widetilde U\\ \widetilde D \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{3}
$$
соответственно. Вакуумным средним хиггсовского поля в присоединенном представлении $24$ $SU_5$ симметрия может быть нарушена до подгруппы $SU_3\times SU_2\times U_1$ с элементами
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \omega_3 e^{-i\beta_Y/3} & 0 \\ 0 & \omega_2^* e^{i\beta_Y/2} \end{pmatrix} \in SU_3\times SU_2 \times U_1 \subset SU_5.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Тогда из $SU_5$ тензорных преобразований получается, что по отношению к подгруппе $SU_3\times SU_2\times U_1$ киральные суперполя в формуле (2) имеют такие же квантовые числа, как и суперполя МССМ. Замечательным образом именно представление $1+5+\overline{10}$ возникает в разложении спинорного неприводимого представления $SO_{10}$ по подгруппе $SU_5\times U_1$ [17],
$$
\begin{equation}
\overline{16}|_{SO_{10}}=1(5)+ 5(-3)+\overline{10}(1)|_{SU_5\times U_1},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $U_1$-заряды приведены в скобках. Поэтому теория, основанная на калибровочной группе $SO_{10}$ [18], [19], является более привлекательной, так как все частицы одного поколения принадлежат одному неприводимому представлению $\overline{16}$ (или $16$). Теории, основанные на группе $SO_{10}$, привлекли значительное внимание (см. недавние работы [20]–[57]). Заметим, что $SO_{10}$ симметрия может быть нарушена различными способами, и наиболее бросающийся в глаза способ нарушения симметрии $SO_{10} \to SU_5 \to SU_3\times SU_2 \times U_1$ не является лучшим. Намного лучше нарушать симметрию через перевернутую $SU_5$ модель [58]–[61], так что $SO_{10}\to SU_{5}\times U_1 \to SU_3\times SU_2\times U_1$. В данной модели калибровочной группой является $SU_5\times U_1$, и киральные суперполя одного поколения размещаются по представлениям группы $SU_5$ несколько иначе, чем в формуле (2),
$$
\begin{equation}
\overline{10}\,{}^{ij} \sim \begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & \hphantom{-}D_3 & -D_2 & \hphantom{-}\widetilde U^1 & \widetilde D^1\\ -D_3 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}D_1 & \hphantom{-}\widetilde U^2 & \widetilde D^2\\ \hphantom{-}D_2 & -D_1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}\widetilde U^3 & \widetilde D^3\\ -\widetilde U^1 & -\widetilde U^2 & - \widetilde U^3 & \hphantom{-}0 & N\\ -\widetilde D^1 & -\widetilde D^2 & -\widetilde D^3 & -N & 0 \end{pmatrix}, \qquad 5_i \sim \begin{pmatrix} \hphantom{-}U_1\\ \hphantom{-}U_2\\ \hphantom{-}U_3\\ \hphantom{-}\widetilde E\\ -\widetilde N \end{pmatrix},\qquad 1\sim E.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Мы видим, что по сравнению с формулой (2) суперполя $U$ и $D$, $N$ и $E$ поменялись местами, из-за чего данная теория и называется перевернутой. Однако когда симметрия нарушается до $SU_3\times SU_2\times U_1$, ненарушенная $U_1$ подгруппа является теперь суперпозицией $SU_5$ преобразований
$$
\begin{equation*}
\omega_5 = \exp\biggl\{\frac{i\beta_Y}{30} \begin{pmatrix} 2\cdot 1_3 & 0 \\ 0 & -3\cdot 1_2 \end{pmatrix}\biggr\}
\end{equation*}
\tag{7}
$$
и преобразований $U_1$-множителя в калибровочной группе $SU_5\times U_1$ с $\omega_1 = e^{-iq\beta_Y/5}$, где $U_1$-заряд $q$ нормирован формулой (5). Несложно убедиться, что в этом случае также получаются правильные квантовые числа для всех суперполей МССМ. При этом нарушение $SU_5\times U_1$ симметрии может быть реализовано, если вакуумные средние приобретают хиггсовские поля в представлениях $10 (-1)$ и $\overline{10} (1)$. Перевернутая $SU_5$ модель не исключается современными ограничениями на время жизни протона [62] (см. также [63]–[65]), позволяет избежать проблемы расщепления дуплета и триплета [59], [66]–[68], не вовлекает неприводимые представления очень больших размерностей и может быть выведена из струнных аргументов [69], [70]. Недавние исследования этой модели можно найти в работах [71]–[82]. Некоторые другие группы также используются для построения различных ТВО. Например, теории, основанные на калибровочной группе $E_6$ [83] (см. недавний обзор [84]), заслужили особое внимание, поскольку они появляются после компактификации суперструн на многообразия Калаби–Яу [85], [86] (см. также [87]). Различные цепочки, которые могут быть использованы для нарушения $E_6$ симметрии, перечислены в работе [17]. Различные феноменологические аспекты теорий, основанных на группе $E_6$, обсуждались в работах [32], [41], [45], [88]–[108]. Заметим, что диаграммы Дынкина для групп $E_6$, $SO_{10}$, $SU_5$ и даже $SU_3\times SU_2$ являются очень сходными. На самом деле все они могут быть рассмотрены как продолжение $E$-серии, которая начинается с группы $E_8$. Это иллюстрируется на рис. 1. Сходство между этими диаграммами Дынкина наводит на мысль о том, что большие группы $E$-серии могут быть использованы для построения ТВО. Основным препятствием для этого является факт, что все представления групп $E_8$ и $E_7$ являются вещественными (см., например, [17]). Тем не менее ТВО, основанные на группе $E_8$, иногда рассматриваются в литературе (см., например, [109]–[125]). В настоящей работе мы также будем исследовать возможность построения ТВО, основанной на группе $E_8$, с цепочкой нарушения симметрии2
$$
\begin{equation}
E_8\to E_7\times U_1 \to E_6\times U_1 \to SO_{10}\times U_1 \to SU_5 \times U_1 \to SU_3 \times SU_2 \times U_1.
\end{equation}
\tag{8}
$$
При этом предполагается, что все группы $U_1$ являются различными и не являются подгруппами простых групп с предыдущего шага. В частности, мы не будем рассматривать такие возможные варианты нарушения симметрии, когда на некотором шаге $n$ в группе $G_n\times U_1$ сомножитель $U_1$ полностью нарушается, а группа $G_n$ нарушается до $G_{n+1}\times U_1$ (это происходит, если вакуумные средние получают хиггсовские поля, одно из которых лежит в присоединенном представлении $G_n$ и имеет нулевой $U_1$-заряд, а второе является синглетом по отношению к $G_n$ с нетривиальным $U_1$-зарядом). Выбор цепочки (8) мотивирован аналогией с перевернутой $SU_5$ моделью [58]–[61], так что мы будем называть рассматриваемую теорию перевернутая $E_8$ модель. Основным преимуществом рассматриваемой цепочки нарушения симметрии является то, что она может быть реализована без привлечения $E_8$-представлений выше, чем присоединенное представление 248 (заметим, что присоединенное $E_8$-представление 248 совпадает с ее фундаментальным представлением, другими словами, 248 является наименьшим нетривиальным представлением $E_8$). Интересно заметить, что $\mathcal{N}=4$ суперсимметричная теория Янга–Миллса (которая свободна от ультрафиолетовых расходимостей [126]–[130]) содержит суперполя материи только в присоединенном представлении, так что использование $\mathcal{N}=4$ $E_8$ суперсимметричной теории Янга–Миллса для объединения электрослабых и сильных взаимодействий не кажется столь невозможным. Однако изучение этой возможности выходит далеко за рамки данной статьи. Здесь мы сконцентрируемся на исследовании объединения калибровочных констант связи (в древесном приближении). А именно, мы хотим выяснить, возможно ли получение $SU_3\times SU_2\times U_1$ теории с
$$
\begin{equation}
\alpha_2=\alpha_3, \qquad \sin^2\theta_\mathrm{W}=\frac{3}{8}
\end{equation}
\tag{9}
$$
при очень высоких энергиях после нарушения симметрии (8), предполагая, что только различные части представления 248 приобретают вакуумные средние, ответственные за него. Конечно, это означает, что мы имеем дело с суперсимметричными теориями, поскольку только в этом случае происходит такое объединение калибровочных констант связи. Заметим, что здесь мы не обсуждаем динамический механизм нарушения симметрии. В частности, это означает, что мы не указываем точно состав полей получающейся теории. Действительно, мы можем найти представления, ответственные за определенное нарушение симметрии, но без динамического механизма нарушения симметрии невозможно выявить число (супер)полей, которые приобретают соответствующие вакуумные средние. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем, как построить гамма-матрицы, удовлетворяющие условию $\{\Gamma_i,\Gamma_j\} = 2\delta_{ij}\cdot 1$ в различных размерностях. Эти матрицы будут необходимы для построения явных выражений для генераторов рассматриваемых групп и их коммутационных соотношений. Некоторые полезные обозначения вводятся в разделе 3. В разделе 4 мы исследуем, как $E_8$ симметрия нарушается до $E_7\times U_1$ вакуумным средним представления 248. Также мы находим соотношения между константами связи исходной $E_8$ теории и получающейся $E_7\times U_1$ теории. Следующее нарушение симметрии $E_7\times U_1 \to E_6\times U_1$ рассматривается в разделе 5. Раздел 6 посвящен нарушению симметрии $E_6\times U_1\to SO_{10}\times U_1$. В частности, мы демонстрируем, что для него имеются два различных варианта. Они дают три различных варианта для нарушения симметрии $SO_{10}\times U_1 \to SU_5\times U_1$, рассматриваемого в разделе 7. Наконец, в разделе 8 мы рассматриваем нарушение симметрии $SU_5\times U_1\to SU_3\times SU_2\times U_1$, которое может происходить шестью возможными способами. Мы демонстрируем, что только один из них приводит к стандартным условиям объединения (9), и только этот вариант дает все представления, необходимые для размещения суперполей МССМ. Для остальных вариантов мы находим величины констант связи, величины угла Вайнберга (на классическом уровне) и правила ветвления для $E_8$-представления 248 по отношению к низкоэнергетической группе $SU_3\times SU_2\times U_1$. Результаты кратко суммируются в разделе 8. Заметим, что мы фактически имеем дело с алгебрами Ли и игнорируем глобальную структуру рассматриваемых групп. 2. Гамма-матрицы в различных размерностяхЗададим наши обозначения для гамма-матриц в произвольной размерности $D$ (и евклидовой сигнатуре), поскольку эти матрицы появляются в коммутационных соотношениях генераторов исключительных групп. Как мы уже упоминали, эти матрицы удовлетворяют основному условию где $1$ – единичная матрица того же размера, что и $\Gamma_i$. Хорошо известно, что для четных значений $D$ этот размер равен $2^{D/2}\times 2^{D/2}$, тогда как для нечетных значений $D$ размер гамма-матриц равен $2^{(D-1)/2}\times 2^{(D-1)/2}$. В частности, в размерностях $2$ и $3$ в качестве гамма-матриц можно взять матрицы Паули,
$$
\begin{equation}
\Gamma_1^{(2)} = \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \Gamma_2^{(2)} = \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & \hphantom{-}0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
\Gamma_1^{(3)} = \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \Gamma_2^{(3)} = \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & \hphantom{-}0 \end{pmatrix}, \qquad \Gamma_3^{(3)} = \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & \hphantom{-}0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Заметим, что в наших обозначениях размерность $D$ при необходимости указывается сверху в круглых скобках (однако иногда мы будем опускать ее, если соответствующая формула записана для произвольной размерности). Для других значений $D$ гамма-матрицы могут быть построены с помощью математической индукции. А именно, мы предполагаем, что мы построили их в определенной нечетной размерности $D$. Тогда в четной размерности $D+1$ гамма-матрицы определяются как
$$
\begin{equation}
\Gamma^{(D+1)}_i =\begin{pmatrix} 0 & \Gamma^{(D)}_i\\ \Gamma^{(D)}_i & 0 \end{pmatrix},\quad i=1,\ldots,D,\qquad \Gamma^{(D+1)}_{D+1} = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & \hphantom{-}0 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{13}
$$
и имеют размер в два раза больше, чем в предыдущей (нечетной) размерности. Кроме того, в этом случае имеется матрица
$$
\begin{equation}
\Gamma^{(D+1)}_{D+2} = \begin{pmatrix} 1 & \hphantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Легко проверить, что она антикоммутирует с другими гамма-матрицами, и ее квадрат равен единичной матрице,
$$
\begin{equation}
\{\Gamma^{(D+1)}_{D+2}, \Gamma^{(D+1)}_{i}\} = 0,\quad i=1,\ldots, D+1,\qquad (\Gamma^{(D+1)}_{D+2})^2 =1.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Поэтому в следующей (нечетной) размерности $D+2$ в качестве гамма-матриц мы можем взять гамма-матрицы из предыдущей (четной) размерности, $\Gamma_i^{(D+2)}\equiv \Gamma_i^{(D+1)}$, где $i=1,\ldots, D+1$, и добавить к ним матрицу $\Gamma^{(D+2)}_{D+2} \equiv \Gamma^{(D+1)}_{D+2}$. Это завершает шаг индукции. Заметим, что все построенные выше гамма-матрицы являются эрмитовыми, Для четных значений $i$ они являются чисто мнимыми и антисимметричными, тогда как для нечетных значений $i$ они вещественные и симметричные.Матрица зарядового сопряжения определяется как произведение всех симметричных гамма-матриц. Ниже мы будем рассматривать только четные размерности $D$. В этом случае матрица зарядового сопряжения задается формулой и удовлетворяет соотношениям
$$
\begin{equation}
C\Gamma_i C^{-1} = - (-1)^{D/2} (\Gamma_i)^\mathrm{T},\qquad C^{-1} = C^+ = C^\mathrm{T} = (-1)^{D(D-2)/8} C.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Ниже мы также будем использовать антисимметризованные произведения гамма-матриц
$$
\begin{equation}
\Gamma_{i_1 i_2\ldots i_k} \equiv \frac{1}{k!}(\Gamma_{i_1}\Gamma_{i_2}\ldots \Gamma_{i_k}\pm\text{перестановки}).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Из формулы (18) видно, что эти матрицы, умноженные на $C$ (или на $\Gamma_{D+1} C$), являются либо симметричными, либо антисимметричными, а именно (для четного $D$)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\Gamma_{i_1 i_2\ldots i_k} C)^\mathrm{T}&= (-1)^{(D-2k)(D-2k-2)/8} \Gamma_{i_1 i_2\ldots i_k} C,\\ (\Gamma_{i_1 i_2\ldots i_k} \Gamma_{D+1} C)^\mathrm{T} &= (-1)^{(D-2k)(D-2k+2)/8} \Gamma_{i_1 i_2\ldots i_k} \Gamma_{D+1} C. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
3. ОбозначенияВ наших обозначениях генераторы фундаментального представления обозначаются через $t_\mathbf{A}$, где $\mathbf{A}=1,\ldots,\operatorname{dim}G$. Заметим, что здесь мы указываем индексы генераторов жирным шрифтом, поскольку часто удобно представлять их как наборы некоторых подындексов (которые будут обозначаться обычным шрифтом). Мы всегда будем предполагать, что генераторы нормированы условием
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr} (t_\mathbf{A} t_\mathbf{B}) = \frac{1}{2} g_{\mathbf{AB}},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $g_{\mathbf{AB}} = g_{\mathbf{BA}}$ – некоторая метрика. Для групп $SO_n$ или $SU_n$ удобно выбрать ее равной $\delta_\mathbf{AB}$. Однако для групп $E_8$, $E_7$ и $E_6$ удобно использовать другую метрику, которая будет указана ниже. Матрица, обратная к $g_\mathbf{AB}$, обозначается через $g^\mathbf{AB}$. Генераторы произвольного представления $R$, обозначаемые через $T_\mathbf{A}$, удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr} (T_{\mathbf{A}} T_{\mathbf{B}}) = T(R) g_{\mathbf{AB}},\qquad g^{\mathbf{AB}} (T_{\mathbf{A}} T_{\mathbf{B}})_{\mathbf{i}}{}^{\mathbf{j}} = C(R)_{\mathbf{i}}{}^{\mathbf{j}},\qquad [T_{\mathbf{A}}, T_{\mathbf{B}}] = i f_{\mathbf{AB}}{}^{\mathbf{C}} T_{\mathbf{C}},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $f_{\mathbf{AB}}{}^{\mathbf{C}}$ – структурные константы. Мы видим, что выражение $f_{\mathbf{ABC}}\equiv g_{\mathbf{CD}} f_{\mathbf{AB}}{}^{\mathbf{D}}$ антисимметрично по отношению к перестановкам всех индексов. Генераторы присоединенного представления и групповой оператор Казимира $C_2(G)$ можно построить по структурным константам как
$$
\begin{equation}
(T_{\mathrm{Adj}\,\mathbf{A}})^{\mathbf{C}}{}_{\mathbf{B}} = if_{\mathbf{AB}}{}^{\mathbf{C}},\qquad C_2\, g_{\mathbf{AB}} \equiv - f_{\mathbf{AC}}{}^{\mathbf{D}} f_{\mathbf{BD}}{}^{\mathbf{C}}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Это, в частности, означает, что
$$
\begin{equation}
g^{\mathbf{AB}} [T_{\mathbf{A}}, [T_{\mathbf{B}}, T_{\mathbf{C}}]] = C_2 T_{\mathbf{C}}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Для неприводимых представлений
$$
\begin{equation}
C(R)_{\mathbf{i}}{}^{\mathbf{j}} = C(R)\delta_{\mathbf{i}}{}^{\mathbf{j}},\quad \text{где}\quad C(R) = T(R)\cdot \frac{\operatorname{dim}G}{\operatorname{dim}R}
\end{equation}
\tag{25}
$$
(последнее равенство может быть легко выведено из (22), если умножить первую формулу на $g^{\mathbf{AB}}$ и принять во внимание, что $g^{\mathbf{AB}} g_{\mathbf{AB}}=\operatorname{dim} G$ и $\delta_{\mathbf{i}}{}^{\mathbf{i}} = \operatorname{dim} R$).
4. Нарушение симметрии $E_8\to E_7\times U_1$4.1. Группа $E_8$Нашей исходной точкой является теория с $E_8$ симметрией и определенным набором (супер)полей в присоединенном представлении 248. Заметим, что 248 является минимальным нетривиальным представлением группы $E_8$, так что в этом случае присоединенное и фундаментальное представления совпадают. Следуя [131], для описания группы $E_8$ мы будем использовать факт (см., например, [17]), что она содержит подгруппу $SO_{16}\subset E_8$. Соответствующее правило ветвления для представления 248 записывается как Здесь 120 является присоединенным представлением $SO_{16}$, а 128 – ее представление майораново-вейлевскими спинорами. Для определенности мы будем полагать, что представление 128 соответствует правым спинорам, индексы которых мы будем обозначать буквами $a,b$ и т. д. Заметим, что гамма-матрицы в размерности $D=16$ имеют размер $2^{16/2}\times 2^{16/2} = 256\times 256$, так что спиноры имеют 256 компонент. Однако из формулы (14) мы видим, что только первые 128 компонент правого спинора (который получается действием $(1+\Gamma^{(16)}_{17})/2$ на произвольный 256-компонентный спинор) отличны от нуля. Поэтому можно считать, что спинорные индексы пробегают значения от 1 до 128. Принимая это во внимание, из правила ветвления (26) мы заключаем, что генераторы группы $E_8$ могут быть представлены как набор где векторные индексы $i,j$ у генераторов $t_{ij} = -t_{ji}$ пробегают значения от 1 до 16, а спинорный индекс $a$ у $t_a$ пробегает значения от 1 до 128. Коммутаторы этих генераторов можно получить, используя явный вид $SO_{16}$ генераторов в присоединенном и спинорном представлениях, свойств симметрии, $SO_{16}$ тензорной структуры различных выражений и тождества Якоби. Нормировка генераторов может быть найдена с помощью формулы (24), в которой необходимо положить $C_2=1/2$, поскольку присоединенное $E_8$-представление совпадает с фундаментальным. Записывая коммутаторы, мы принимаем во внимание, что матричные элементы $(\Gamma^{(16)}_{ij} (1+\Gamma^{(16)}_{17})/2)_{ab}$ отличны от нуля, только если $a,b=1,\ldots,128$, и в этом случае совпадают с $(\Gamma^{(16)}_{ij})_{ab}$. Результат для коммутаторов $E_8$-генераторов может быть представлен в виде
$$
\begin{equation}
E_8\ \ \begin{cases} [t_{ij},t_{kl}] = \dfrac{i}{\sqrt{120}}(\delta_{il} t_{jk} - \delta_{jl} t_{ik} - \delta_{ik} t_{jl} + \delta_{jk} t_{il}), \\ [t_{ij},t_a] = -\dfrac{i}{\sqrt{480}} (\Gamma^{(16)}_{ij})_a{}^b t_b, \\ [t_a,t_b] = - \dfrac{i}{2\sqrt{480}} (\Gamma^{(16)}_{ij} C^{(16)})_{ab} t_{ij}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{28}
$$
где матрица зарядового сопряжения $C^{(16)}$ определена формулой (17). Согласно формулам (18) и (20) она является симметричной, тогда как матрицы $\Gamma^{(16)}_{ij} C^{(16)}$ антисимметричны. Соответствующая метрика (определенная формулой (21)) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_{\mathbf{AB}} &\to \begin{pmatrix} \delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk} & 0\\ 0 & (C^{(16)})_{ab} \end{pmatrix}, \\ g^{\mathbf{AB}} &\to \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}) & 0\\ 0 & (C^{(16)})^{ab} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Действительно, используя формулу (28), можно проверить, что приведенные выше $E_8$ генераторы удовлетворяют соотношению
$$
\begin{equation}
g^{\mathbf{AB}} t_{\mathbf{A}} t_{\mathbf{B}} = \frac{1}{2} t_{ij} t_{ij} + (C^{(16)})^{ab} t_a t_b = \frac{1}{2}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Конечно, это тождество эквивалентно формулам
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{2}[t_{ij},[t_{ij},t_{kl}]] + (C^{(16)})^{ab} [t_a,[t_b,t_{kl}]] &= \frac{1}{2} t_{kl}, \\ \frac{1}{2}[t_{ij},[t_{ij},t_{d}]] + (C^{(16)})^{ab} [t_a,[t_b,t_{d}]] &= \frac{1}{2} t_{d}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
которые могут быть легко проверены. 4.2. Группа $E_7$Группа $E_7$ может быть описана аналогично случаю $E_8$. С этой целью мы будем использовать максимальную подгруппу $SO_{12}\times SO_3 \subset E_7$. Двумя низшими (нетривиальными) неприводимыми $E_7$-представлениями являются фундаментальное представление 56 и присоединенное представление 133 с правилами ветвления [17]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 56|_{E_7} &= [12,2] + [32,1]|_{SO_{12}\times SO_3},\\ 133|_{E_7} &= [1,3] + [32',2] + [66,1]|_{SO_{12}\times SO_3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Здесь $3$ и $66$ представляют собой присоединенные представления $SO_3$ и $SO_{12}$ соответственно, $32$ и $32'$ – два спинорных представления $SO_{12}$, соответствующие вейлевским спинорам, а $2$ – спинорное представление $SO_3$. Заметим, что в размерности $D=12$ гамма-матрицы имеют размер $2^{12/2}\times 2^{12/2} = 64\times 64$, но мы вновь будем использовать индексы, которые пробегают половину этих значений, как и в случае $E_8$. Они будут обозначаться прописными буквами и пробегать значения от 1 до 32. Индексы, соответствующие левым спинорам, также будут помечаться точкой. Для определенности мы будем считать, что представления $32$ и $32'$ соответствуют правым и левым спинорам соответственно. Тогда из второй формулы в (32) мы заключаем, что генераторы $E_7$ даются набором где $SO_3$ спинорные индексы, обозначенные буквами $a,b,\ldots$ , принимают значения 1 и 2, а $SO_3$ векторные индексы, обозначенные буквами $\alpha,\beta,\ldots$ , пробегают значения от 1 до 3. $SO_{12}$ векторные индексы $i,j,\ldots$ пробегают значения от 1 до 12. Коммутационные соотношения для генераторов $E_7$ вновь можно получить, если использовать явный вид генераторов $SO_{3}$ и $SO_{12}$ в различных представлениях, соображения симметрии и тождество Якоби. Результат для генераторов, нормированных условием (21), может быть записан как
$$
\begin{equation}
E_7\quad \begin{cases} [t_\alpha,t_\beta] = \dfrac{i}{\sqrt{12}} \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} t_\gamma,\qquad [t_\alpha,t_{ij}] = 0, \\ [t_\alpha,t_{a\dot{A}}] = -\dfrac{1}{2\sqrt{12}} (\sigma_\alpha)_a{}^b t_{b\dot{A}},\qquad [t_{ij}, t_{a\dot{A}}] = - \dfrac{i}{2\sqrt{24}} (\Gamma^{(12)}_{ij})_{\dot{A}}{}^{\dot{B}} t_{a\dot{B}}, \\ [t_{ij},t_{kl}] = \dfrac{i}{\sqrt{24}}(\delta_{il} t_{jk} - \delta_{jl} t_{ik} - \delta_{ik} t_{jl} + \delta_{jk} t_{il}), \\ [t_{a\dot{A}}, t_{b\dot{B}}] = \dfrac{i}{4\sqrt{24}} (\sigma_2)_{ab} (\Gamma^{(12)}_{ij} C^{(12)})_{\dot{A}\dot{B}} t_{ij} + \dfrac{1}{2\sqrt{12}} (C^{(12)})_{\dot{A}\dot{B}} (\sigma_\alpha\sigma_2)_{ab} t_\alpha, \end{cases}
\end{equation}
\tag{34}
$$
где метрика имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_{\mathbf{AB}} &\to \begin{pmatrix} \delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk} & 0 & 0\\ 0 & \delta_{\alpha\beta} & 0\\ 0 & 0 & -(\sigma_2)_{ab} (C^{(12)})_{\dot{A}\dot{B}} \end{pmatrix}, \\ g^{\mathbf{AB}} &\to \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}) & 0 & 0\\ 0 & \delta_{\alpha\beta} & 0\\ 0 & 0 & (\sigma_2)^{ab} (C^{(12)})^{\dot{A}\dot{B}} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
Матрица Паули $\sigma_2 = i\sigma_1\sigma_3$ фактически является матрицей зарядового сопряжения в $D=3$, умноженной на $i$. Она антисимметрична, тогда как матрицы $\sigma_\alpha\sigma_2$ симметричны. В соответствии с формулами (18) и (20) $D=12$ матрица зарядового сопряжения $C^{(12)}$ является антисимметричной, тогда как матрицы $\Gamma^{(12)}_{ij} C^{(12)}$ симметричны,
$$
\begin{equation}
(C^{(12)})^\mathrm{T} = - C^{(12)},\qquad (C^{(12)})^2=-1,\qquad (\Gamma^{(12)}_{ij} C^{(12)})^\mathrm{T} = \Gamma^{(12)}_{ij} C^{(12)}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
В частности, это означает, что метрика (35) действительно является симметричной, в то время как правая часть в последней строке формулы (34) антисимметрична (по отношению к одновременной перестановке обоих индексов). В явном виде генераторы фундаментального представления 56 могут быть построены с помощью первого правила ветвления (32) и записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, t_{ij} &= \frac{i}{\sqrt{24}} \begin{pmatrix} (\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})\delta_a^b & 0\\ 0 & \dfrac{1}{2}(\Gamma^{(12)}_{ij})_{A}{}^{B} \end{pmatrix}, \\ t_\alpha &= \frac{1}{2\sqrt{12}} \begin{pmatrix} \delta_{kl} (\sigma_\alpha)_a{}^b & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ t_{d\dot{D}} &= \frac{i}{2\sqrt{12}} \begin{pmatrix} 0 & (\sigma_2)_{da} (\Gamma^{(12)}_k)_{\dot{D}}{}^{B}\\ (\Gamma^{(12)}_l C^{(12)})_{A\dot{D}} \delta_d^b & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
В частности, легко проверить, что
$$
\begin{equation}
C(56) \equiv g^{\mathbf{AB}} t_{\mathbf{A}} t_{\mathbf{B}} = \frac{1}{2} t_{ij} t_{ij} + t_\alpha t_\alpha + (\sigma_2)^{ab} (C^{(12)})^{\dot{A}\dot{B}} t_{a\dot{A}} t_{b\dot{B}} = \frac{19}{16} = \frac{1}{2}\cdot \frac{133}{56}
\end{equation}
\tag{38}
$$
в согласии с формулой (25). 4.3. Детали нарушения симметрииВначале необходимо исследовать, можно ли нарушить $E_8$ симметрию вакуумным средним скалярного поля в представлении 248, поскольку мы стремимся избежать использования высших представлений $E_8$. Как мы уже упоминали, группа $E_8$ имеет максимальную подгруппу $SO_{16}$, тогда как одной из максимальных подгрупп $SO_{16}$ является $SO_{12}\times SO_3\times SO_{3}$. Также мы заметим, что $SO_{12} \times SO_{3}$ является максимальной подгруппой $E_7$ с соответствующими правилами ветвления (32). Поэтому мы получаем вложение
$$
\begin{equation}
E_8 \supset SO_{16} \supset \underbrace{SO_{12}\times SO_3}_{\subset E_7}\times SO_{3}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Это означает, что представления, которые появляются в правиле ветвления представления 248 по отношению к $SO_{12}\times SO_3\times SO_3$, могут быть объединены в $E_7\times SO_3 \subset E_8$ представления. Результат может быть записан как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &248|_{E_8} = 120 + 128|_{SO_{16}} ={} \notag\\ & = \underbrace{[1,1,3]}_{[1,3]\vphantom{|_{E_7\times SO_3}}} + \underbrace{[1,3,1] + [66,1,1] + [32',2,1]}_{+ [133,1]\vphantom{|_{E_7\times SO_3}}} + \underbrace{[12,2,2] + [32,1,2]}_{+ [56,2]|_{E_7\times SO_3}}|_{SO_{12}\times SO_3\times SO_3}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
где $E_7\times SO_3 \subset E_8$ представления указываются под фигурными скобками. Скалярное поле в представлении 248 может быть представлено в виде
$$
\begin{equation}
\varphi = \varphi_{\mathbf{A}} g^{\mathbf{AB}} t_{\mathbf{B}} = \frac{1}{2} \varphi_{ij} t_{ij} + \varphi_a (C^{(16)})^{ab} t_b.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Предположим, что компоненты $\varphi_{13,14}$ и $\varphi_{15,16}$ приобретают одни и те же вакуумные средние3, и найдем соответствующую малую группу. По определению вакуумные средние скалярных полей должны быть инвариантны относительно калибровочных преобразований малой группы. Поэтому нам необходимо найти все $E_8$-генераторы, которые коммутируют с $\varphi_0 = v_8 (t_{13,14} + t_{15,16})$. Начнем с генераторов $t_{ij}$. Очевидно, они коммутируют с $\varphi_0$, если $i,j=1,\ldots,12$. Эти генераторы соответствуют подгруппе $SO_{12}$. Легко видеть, что генераторы малой группы также включают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde t_1 &\equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (t_{13,16} - t_{14,15}), \qquad \tilde t_2 \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (-t_{13,15} - t_{14,16}), \\ \tilde t_3 &\equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (t_{13,14} - t_{15,16}), \qquad \tilde t_3' \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(-t_{13,14} - t_{15,16}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Они нормированы стандартным образом, $\operatorname{tr}(\tilde t_\alpha \tilde t_\beta)\kern-1pt=\kern-1pt\delta_{\alpha\beta}/2$, $\operatorname{tr}((\tilde t_3')^2)\kern-1pt=\kern-1pt 1/2$, $\operatorname{tr}(\tilde t_\alpha \tilde t_3')\kern-1pt = \kern-1pt 0$, и генерируют $SO_3\times U_1$ подгруппу малой группы,
$$
\begin{equation}
[\tilde t_3', \tilde t_\alpha] = 0,\qquad [\tilde t_\alpha,\tilde t_\beta] = \frac{i}{\sqrt{60}} \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \tilde t_\gamma.
\end{equation}
\tag{44}
$$
Полученную таким образом подгруппу $SO_3$ можно отождествить с первым $SO_3$ множителем в $SO_{12}\times SO_3\times SO_3$ подгруппе (39), тогда как $\tilde t_3'$ генерирует подгруппу $U_1$ второго $SO_3$ множителя. Эта вторая подгруппа $SO_3$ генерируется операторами $\tilde t_\alpha'$, $\alpha = 1,2,3$, и
$$
\begin{equation}
\tilde t_1'\equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (-t_{13,16} - t_{14,15}),\qquad \tilde t_2' \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (t_{13,15} - t_{14,16}),
\end{equation}
\tag{45}
$$
которые удовлетворяют коммутационным соотношениям
$$
\begin{equation}
[\tilde t_\alpha', \tilde t_\beta] = 0,\qquad [\tilde t_\alpha', \tilde t_\beta'] = \frac{i}{\sqrt{60}} \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} \tilde t_\gamma'.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Однако малая группа шире, чем $SO_{12}\times SO_3\times U_1$, поскольку некоторые из $E_8$-генераторов $t_a$ также дают ноль, действуя на вакуумное среднее скалярного поля. Действительно, коммутируя $t_a$ и $\varphi_0$ с помощью формулы (28), мы получаем
$$
\begin{equation}
[\varphi_0, t_a] = v_8 [t_{13,14}+t_{15,16},t_a] = -\frac{i v_8}{2\sqrt{120}} (\Gamma^{(16)}_{13,14} + \Gamma^{(16)}_{15,16})_a{}^b\, t_b.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Используя явный вид гамма-матриц, описанный в разделе 2, легко проверить, что матрица, присутствующая в этой формуле, может быть записана как
$$
\begin{equation}
-\frac{i}{2}(\Gamma^{(16)}_{13,14} + \Gamma^{(16)}_{15,16}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \hphantom{-}0 & 0\\ 0 & 0 & \hphantom{-}0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & \hphantom{-}0 & 0 \end{pmatrix} \cdot 1_{32} = \begin{pmatrix} 1 & \hphantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{2}(1+\Gamma^{(12)}_{13}).
\end{equation}
\tag{48}
$$
Заметим, что, как мы уже обсуждали, индексы $a$ и $b$ в формуле (47) пробегают значения от 1 до 128 (хотя размер гамма-матриц в размерности $D=16$ равен $256\times 256$), так что матрица (48) имеет размер $128\times 128$. В последнем равенстве формулы (48) мы также приняли во внимание, что
$$
\begin{equation}
\Gamma^{(12)}_{13} = \begin{pmatrix} 1 & \hphantom{-}0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}\cdot 1_{32}.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Поэтому из формулы (47) мы заключаем, что те $E_8$-генераторы $t_a$, которые принадлежат малой группе, образуют два левых $SO_{12}$ спинора (каждый из которых имеет 32 нетривиальные компоненты). Также легко видеть, что они принадлежат спинорному представлению 2 группы $SO_3$ с генераторами $\tilde t_\alpha$, определенными в (43), поскольку в спинорном представлении 128 группы $SO_{16}$ они принимают вид
$$
\begin{equation}
\widetilde T_\alpha = T(\tilde t_\alpha) = \frac{1}{2\sqrt{60}} \sigma_\alpha \cdot \frac{1}{2}(1-\Gamma^{(12)}_{13}).
\end{equation}
\tag{50}
$$
Это означает, что спинорные генераторы малой группы принадлежат представлению $[32',2]$ группы $SO_{12}\times SO_3$. Используя этот факт, из второго правила ветвления (32) мы видим, что для вакуумного среднего (42) генераторы малой группы совпадают с генераторами подгруппы $E_7\times U_1$. Таким образом, вакуумное среднее (42) действительно обеспечивает требуемое нарушение симметрии Нашей следующей целью является получение соотношения между величинами констант связи для малой группы $E_7\times U_1$ и исходной $E_8$-константой связи $e_8$. Для того чтобы это сделать, мы вначале сравним коммутационные соотношения для генераторов $t_{ij}$ в формулах (28) и (34). Из этих формул мы заключаем, что (надлежащим образом нормированные) $E_8$- и $E_7$-генераторы $t_{ij}$ связаны формулой Эквивалентно можно сравнить коммутационные соотношения для $E_8$-генераторов $\tilde t_\alpha$, определенных формулой (43), и $E_7$-генераторы $t_\alpha$. Тогда из первой строки формулы (34) и формулы (44) мы получаем причем численный множитель в точности такой же, как и в формуле (52).Стандартно поле Янга–Миллса $A_\mu$ представляется в виде $A_\mu = i e A_\mu^{\mathbf{A}} t_{\mathbf{A}}$, где $e$ (или, эквивалентно, $\alpha=e^2/4\pi$) – константа связи. Мы всегда предполагаем, что квадратичная часть лагранжиана Янга–Миллса записывается как
$$
\begin{equation}
\mathcal{L} \to -\frac{1}{4} g_{\mathbf{AB}} (\partial_\mu A_\nu^{\mathbf{A}} - \partial_\nu A_\mu^{\mathbf{A}}) (\partial_\mu A_\nu^{\mathbf{B}} - \partial_\nu A_\mu^{\mathbf{B}}),
\end{equation}
\tag{54}
$$
и генераторы (фундаментального представления) $t_{ij}$ различных групп нормированы условием
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr}(t_{ij} t_{kl}) = \frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})
\end{equation}
\tag{55}
$$
(см., например, формулы (29) и (35)). Это означает, что если генераторы различаются на числовой множитель, то соответствующие константы связи $e$ должны различаться на обратный числовой множитель. Поэтому из формулы (52) мы заключаем, что где $e_8$ и $e_7$ – константы связи для исходной $E_8$ и остаточной $E_7\times U_1$ теорий соответственно. Конечно, $e_7$ является константой связи, соответствующей множителю $E_7$ в малой группе, и в этой теории также есть константа связи $e^{(7)}_1$, которая соответствует $U_1$-множителю. Генератор $U_1$-компоненты малой группы $E_7\times U_1$, нормированный тем же самым способом, что и $E_8$-генераторы, – это генератор $\tilde t_3'$, определенный формулой (43). Однако желательно, чтобы $U_1$-заряды были как можно проще. Поэтому разумно потребовать, чтобы они были наименьшими возможными целыми числами. Для того чтобы найти соответствующий генератор, мы вначале выберем генераторы компоненты $SO_3$ группы $E_7\times SO_3\subset E_8$ в представлениях $2$ и $3$ в виде
$$
\begin{equation}
t_\alpha'|_{R=2} = \sigma_\alpha \qquad\text{и} \qquad (t_\alpha')_{\beta\gamma}|_{R=3} = -2i\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}
\end{equation}
\tag{57}
$$
соответственно. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям
$$
\begin{equation}
[t_\alpha',t_\beta'] = 2i\varepsilon_{\alpha\beta\gamma} t_\gamma'.
\end{equation}
\tag{58}
$$
Генератор $U_1$-компоненты малой группы очевидно совпадает с $t_3'$. Его собственные значения в представлениях $2$ и $3$ равны $\pm 1$ и $-2,0,2$ соответственно. Поэтому из формулы (40) мы заключаем, что правило ветвления для присоединенного $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе $E_7\times U_1$ имеет вид
$$
\begin{equation}
248|_{E_8} = 1(0) + 1(2) + 1(-2) + 133(0) + 56(1) + 56(-1)|_{E_7\times U_1}.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Мы видим, что благодаря условию нормировки (58) $U_1$-заряды действительно являются наименьшими возможными целыми числами. Однако константа связи $e_1^{(7)}$, соответствующая подгруппе $U_1$, очевидно, отличается от $e_8$. Для ее вычисления нам необходимо сравнить коммутационное соотношение (58) с коммутационным соотношением (46) для генераторов $\tilde t_\alpha'$, нормированных тем же способом, что и все $E_8$-генераторы. Из этого сравнения мы заключаем, что Поэтому соответствующие константы связи связаны как
$$
\begin{equation}
e_1^{(7)} = \frac{e_8}{4\sqrt{15}} = \frac{e_7}{4\sqrt{3}},
\end{equation}
\tag{61}
$$
где для вывода последнего равенства мы также использовали формулу (56). Таким образом, мы получили, что константы связи $E_7\times U_1$ теории даются выражениями
$$
\begin{equation}
\alpha_7 = \frac{\alpha_8}{5},\qquad \alpha_1^{(7)} = \frac{\alpha_7}{48},
\end{equation}
\tag{62}
$$
где $\alpha_8\equiv e_8^2/4\pi$, $\alpha_7\equiv e_7^2/4\pi$ и $\alpha_1^{(7)} \equiv (e_1^{(7)})^2/4\pi$.
5. Нарушение симметрии $E_7\times U_1 \to E_6\times U_1$5.1. Группа $E_6$Группа $E_6$ может быть описана аналогично группам $E_7$ и $E_8$. С этой целью мы вначале заметим, что $E_6$ имеет максимальную подгруппу $SO_{10}\times U_1$. Соответствующие правила ветвления для низших нетривиальных представлений даются формулами [17]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 27|_{E_6} &= 1(4) + 10(-2)+16(1)|_{SO_{10}\times U_1}, \\ \overline{27}|_{E_6} &= 1(-4) + 10(2)+\overline{16}(-1)|_{SO_{10}\times U_1}, \\ 78|_{E_6} &= 1(0) + 16(-3) + \overline{16}(3) + 45(0)|_{SO_{10}\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{63}
$$
где $27$ и $78$ – фундаментальное и присоединенное представления $E_6$ соответственно, а $U_1$-заряд представлен в скобках. Представления $SO_{10}$, присутствующие в правых частях, могут быть легко построены. А именно, присоединенное представление $45$ соответствует антисимметричным тензорам с двуми индексами, а спинорные представления $16$ и $\overline{16}$ соответствуют правым и левым спинорам. Размер гамма-матриц в размерности $D=10$ равен $32\times 32$. В отличие от случая $E_7$, здесь более удобно использовать единственный спинорный индекс, который пробегает значения от 1 до 32. Как обычно, правые спиноры являются собственными векторами матрицы $\Gamma^{(10)}_{11}$ с собственным значением 1, а все их компоненты, соответствующие $a=17,\ldots, 32$, равны нулю. Аналогично, в левых спинорах, которые соответствуют собственному значению $(-1)$, компоненты с $a=1,\ldots,16$ равны нулю. Тогда в соответствии с третьей формулой в (63) генераторы $E_6$ могут быть представлены как набор где векторные индексы $i,j$ пробегают значения от 1 до 10. Генераторы $t_{ij}$ соответствуют $SO_{10}$ представлению $45$, генераторы $t_a$ включают $16$ и $\overline{16}$, а $t$ является $SO_{10}$ синглетом. Коммутационные соотношения для $E_6$ вновь могут быть получены из правила ветвления для представления $78$, соображений симметрии и тождества Якоби. Результат может быть записан как
$$
\begin{equation}
E_6\quad \begin{cases} [t_{ij},t_{kl}] = \dfrac{i}{\sqrt{12}}(\delta_{il} t_{jk} - \delta_{jl} t_{ik} - \delta_{ik} t_{jl} + \delta_{jk} t_{il}), \\ [t_{ij},t] = 0,\qquad [t,t_a] = \dfrac{1}{4} (\Gamma^{(10)}_{11})_a{}^b t_b,\qquad [t_{ij},t_a] = - \dfrac{i}{2\sqrt{12}} (\Gamma^{(10)}_{ij})_a{}^b t_b, \\ [t_a,t_b] = - \dfrac{i}{4\sqrt{12}} (\Gamma^{(10)}_{ij}C^{(10)})_{ab} t_{ij} + \dfrac{1}{4} (\Gamma^{(10)}_{11} C^{(10)})_{ab} t, \end{cases}
\end{equation}
\tag{65}
$$
где генераторы нормированы условием (21) с метрикой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g_{\mathbf{AB}} &\to \begin{pmatrix} \delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk} & 0 & 0\\ 0 & (C^{(10)})_{ab} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \\ g^{\mathbf{AB}} &\to \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}) & 0 & 0\\ 0 & (C^{(10)})^{ab} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{66}
$$
Заметим, что в соответствии с формулами (18) и (20) $D=10$ матрица зарядового сопряжения $C^{(10)}$ является симметричной, тогда как матрицы $\Gamma^{(10)}_{ij} C^{(10)}$ и $\Gamma^{(10)}_{11} C^{(10)}$ антисимметричны,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (C^{(10)})^\mathrm{T} = C^{(10)},\qquad (C^{(10)})^2 = 1, \\ (\Gamma^{(10)}_{ij} C^{(10)})^\mathrm{T} = -\Gamma^{(10)}_{ij} C^{(10)},\qquad (\Gamma^{(10)}_{11} C^{(10)})^\mathrm{T} = -\Gamma^{(10)}_{11} C^{(10)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{67}
$$
Генераторы фундаментального представления $27$ также можно построить явно с помощью первого правила ветвления (63) и коммутационных соотношений (65). Результат может быть представлен в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, t_{ij} &= \frac{i}{\sqrt{12}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & \delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk} & 0\vphantom{\Big(_a}\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{4} [\Gamma^{(10)}_{ij}(1+\Gamma^{(10)}_{11})]_a{}^b \end{pmatrix}, \notag \\ t &= \frac{1}{12} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\ 0 & -2\delta_{kl} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{2}(1+\Gamma^{(10)}_{11})_a{}^b \end{pmatrix}, \\ t_d &= \frac{1}{\sqrt{96}} \begin{pmatrix} 0 & 0 & \sqrt{2} (1+\Gamma^{(10)}_{11})_d{}^b\\ 0 & 0 & [\Gamma^{(10)}_k(1+\Gamma^{(10)}_{11})]_d{}^b\\ \sqrt{2}[(1+\Gamma^{(10)}_{11}) C^{(10)}]_{ad} & [(1+\Gamma^{(10)}_{11}) \Gamma^{(10)}_l C^{(10)}]_{ad} & 0 \end{pmatrix}. \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{68}
$$
В качестве проверки правильности можно убедиться в том, что
$$
\begin{equation}
C(27) = g^{\mathbf{AB}} t_{\mathbf{A}} t_{\mathbf{B}} = \frac{1}{2} t_{ij} t_{ij} + (C^{(10)})^{ab} t_a t_b + t^2 = \frac{13}{9} = \frac{1}{2}\cdot \frac{78}{27}
\end{equation}
\tag{69}
$$
в точном согласии с формулой (25). 5.2. Нарушение симметрииВ соответствии с [17] группа $E_7$ содержит максимальную подгруппу $E_6\times U_1$. Соответствующие правила ветвления для низших $E_7$-представлений записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 56|_{E_7} &= 27(1) + \overline{27}(-1) + 1(3) + 1(-3)|_{E_6\times U_1},\\ 133|_{E_7} &= 1(0) + 27(-2) + \overline{27}(2) + 78(0)|_{E_6\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
$$
Заметим, что $U_1$-заряды (указанные в скобках) не приводятся в [17]. Для полноты изложения мы описываем их вывод в приложении. Из формул (70) мы видим, что представление $56$ содержит два $E_6$-синглета с нетривиальными $U_1$-зарядами. Поэтому если скалярное поле, соответствующее одному из этих синглетов, приобретает вакуумное среднее, то малая группа, очевидно, будет содержать множитель $E_6$. Конечно, подгруппа $U_1 \subset E_7$ нарушена, поскольку скалярное поле, которое приобретает вакуумное среднее, имеет нетривиальный заряд по отношению к этой группе. Однако мы начинаем с теории, инвариантной относительно $E_7\times U_1$ преобразований, так что калибровочная группа содержит подгруппу $E_6\times U_1 \times U_1$. Из этой подгруппы $U_1\times U_1$ в малой группе выживает определенная $U_1$ подгруппа. Действительно, пусть $E_7\times U_1$ представление $56(1)$ приобретает вакуумное среднее $v_7$. Без потери общности мы можем считать, что соответствующее скалярное поле принадлежит представлению $1(3)$ $E_6\times U_1\subset E_7$. Пусть $\beta_2$ и $\beta_1$ являются параметрами двух групп $U_1$ в $(E_6\times U_1)\times U_1 \subset E_7\times U_1$ соответственно,
$$
\begin{equation}
E_7\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(7)}} \supset (E_6\times \underbrace{U_1}_{\beta_2^{(7)}}\,)\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(7)}}.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Тогда вакуумное среднее, ответственное за нарушение симметрии, рассматриваемое в этом разделе, преобразуется как Это означает, что оно остается инвариантным относительно преобразований с $\beta^{(7)}_1 + 3\beta^{(7)}_2 = 0$, которые, очевидно, образуют подгруппу $U_1 \subset U_1\times U_1$. Важно найти связь между константами связи исходной $E_7\times U_1$ теории и ее $E_6\times U_1$ остатком. Соотношение между $E_7$- и $E_6$-константами связи может быть найдено из сравнения коммутационных соотношений для (надлежащим образом нормированных) генераторов $t_{ij}$ этих групп. Они даются третьей строкой в формуле (34) и первой строкой в формуле (65) соответственно. Требуя, чтобы после нарушения симметрии выполнялось4
$$
\begin{equation}
A_\mu|_{E_7} = i e_7 A_\mu^{\mathbf{A}} t_{\mathbf{A}}|_{E_7}\quad \to\quad A_\mu|_{E_6} = ie_6 A_\mu^{\mathbf{A}} t_{\mathbf{A}}|_{E_6},
\end{equation}
\tag{73}
$$
и замечая, что $t_{ij}$ для $E_7$ в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем для $E_6$, мы видим, что константы связи должны быть связаны формулой Для нахождения константы связи, соответствующей $U_1$-компоненте малой группы $E_6\times U_1$, мы вначале записываем правило ветвления для представления $56(1)$ по отношению к подгруппе (71), используя первую формулу в (70):
$$
\begin{equation}
56(1)|_{E_7\times U_1} = 27(1,1) + \overline{27}(1,-1) + \mathbf{1(1,3)} + 1(1,-3)|_{E_6\times U_1\times U_1},
\end{equation}
\tag{75}
$$
где $E_6$-синглет, который приобретает вакуумное среднее, указан жирным шрифтом. В скобках мы приводим заряды $Q_1^{(7)}$ и $Q_2^{(7)}$, соответствующие подгруппам $U_1$, параметризуемым $\beta_1^{(7)}$ и $\beta_2^{(7)}$ соответственно5. Это означает, что под действием подгруппы $U_1\times U_1$ в (71) (супер)поле $\varphi$ меняется как
$$
\begin{equation}
\varphi \to \exp(i Q_1^{(7)} \beta_1^{(7)} + i Q_2^{(7)} \beta_2^{(7)})\varphi.
\end{equation}
\tag{76}
$$
Очевидно, $U_1$-заряд, соответствующий малой группе, может быть выбран в виде поскольку в этом случае $E_6$-синглет, приобретающий вакуумное среднее, действительно будет иметь требуемый нулевой заряд по отношению к малой группе. Множитель $1/2$ включается для дальнейшего удобства. А именно, благодаря этому множителю различные слагаемые в правиле ветвления для $E_8$-представления 248 по отношению к подгруппе $E_6\times U_1$ будут иметь наименьшие возможные целые значения $U_1$-зарядов (см. формулу (87) ниже). Преобразование (супер)поля под действием малой группы может быть записано как и нашей целью является нахождение константы связи $e_1^{(6)}$, соответствующей этой группе. Вначале мы заметим, что в соответствии с формулой (61) константа связи для $U_1$-компоненты $E_7\times U_1$ дается выражением Это означает, что заряд $Q_1^{(7)}$ является собственным значением оператора $4\sqrt{3}\,t_1^{(7)}$, где $t_1^{(7)}$ – генератор $U_1$-компоненты в подгруппе $E_7\times U_1$, нормированный тем же самым образом, что и генераторы группы $E_7$.Введем также генератор $t|_{U_1\subset E_7}$ компоненты $U_1$ в подгруппе $E_6\times U_1 \subset E_7$, нормированный тем же самым образом, что и остальные $E_7$-генераторы. В соответствии с первым правилом ветвления (70) он может быть представлен как
$$
\begin{equation}
t|_{U_1\subset E_7} =\frac{1}{12} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\qquad \text{при действии на} \quad \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 27\\ \overline{27} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{80}
$$
Заметим, что этот генератор действительно нормирован надлежащим образом, поскольку
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr}((t|_{U_1\subset E_7})^2) = \frac{1}{144} (1\cdot 3^2 + 1\cdot (-3)^2 + 27\cdot 1^2 + 27\cdot 1^2) = \frac{72}{144} = \frac{1}{2}.
\end{equation}
\tag{81}
$$
Сравнивая формулу (80) с первым правилом ветвления (70), мы видим, что заряд $Q_2^{(7)}$ можно рассматривать как собственное значение оператора $12 t|_{U_1\subset E_7}$. Поэтому заряд по отношению к малой группе (77) является собственным значением оператора
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2} (- 3\cdot 4\sqrt{3} t_1^{(7)} + 12 t|_{U_1\subset E_7}) = 12 \biggl(- \frac{\sqrt{3}}{2} t_1^{(7)} + \frac{1}{2} t|_{U_1\subset E_7}\biggr).
\end{equation}
\tag{82}
$$
Оператор в скобках в правой части этой формулы нормирован тем же самым способом, что и все генераторы группы $E_7$. Поэтому численный коэффициент перед этим оператором указывает, во сколько раз константа связи для $U_1$-компоненты малой группы меньше, чем $E_7$-константа связи, Принимая во внимание формулу (74), которая связывает константы связи, соответствующие группам $E_6$ и $E_7$, мы находим величины констант связи для получающейся $E_6\times U_1$ теории:
$$
\begin{equation}
e_6 = \frac{e_7}{\sqrt{2}},\qquad e_1^{(6)} = \frac{e_7}{12} = \frac{e_6}{6\sqrt{2}}.
\end{equation}
\tag{84}
$$
Эти формулы могут быть эквивалентно переписаны как
$$
\begin{equation}
\alpha_6 = \frac{\alpha_7}{2},\qquad \alpha_1^{(6)} = \frac{\alpha_6}{72}.
\end{equation}
\tag{85}
$$
Используя правила ветвления (59) и (70), мы получаем разложение $E_8$-представления $248$ по отношению к $E_6\times U_1\times U_1$ подгруппе (71):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& [1(0,0) + 1(2,0) + 1(-2,0)] + [1(0,0) + 27(0,-2) + \overline{27}(0,2) + 78(0,0)]+{} \notag\\ & + [27(1,1) + \overline{27}(1,-1) + \mathbf{1(1,3)} + 1(1,-3)] + [27(-1,1) + \overline{27}(-1,-1)+{} \notag\\ & + 1(-1,3) + 1(-1,-3)]|_{E_6\times U_1\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{86}
$$
где в круглых скобках мы приводим заряды $Q_1^{(7)}$ (первое число) и $Q_2^{(7)}$ (второе число). Вычисляя заряд малой группы (77) для каждого слагаемого в этом выражении, мы строим правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе $E_6\times U_1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& [1(0) + 1(-3) + 1(3)] + [1(0) + 27(-1) + \overline{27}(1) + 78(0)]+{} \notag\\ & + [27(-1) + \overline{27}(-2) + \mathbf{1(0)} + 1(-3)] + [27(2) + \overline{27}(1) + 1(3) + 1(0)]|_{E_6\times U_1}={} \notag\\ ={}& 4\times 1(0) + 2\times 1(3) + 2\times 1(-3) + 2\times 27(-1) + 2\times\overline{27}(1) + 27(2)+{} \notag\\ &+ \overline{27}(-2) + 78(0)|_{E_6\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{87}
$$
Ниже мы увидим, что дальнейшее нарушение симметрии (до $SO_{10}\times U_1$) может быть реализовано с помощью вакуумных средних представлений $27$ (и/или $\overline{27}\,$) с нетривиальными $U_1$-зарядами. Из формулы (87) мы видим, что имеются два различных возможных значения $U_1$-заряда представления $27$, так что дальнейшее нарушение симметрии может быть сделано двумя различными способами, которые будут рассмотрены в следующем разделе. 6. Нарушение симметрии $E_6\times U_1 \to SO_{10} \times U_1$6.1. $SO_{10}$ константа связиМы будем выбирать $SO_{10}$ генераторы в виде
$$
\begin{equation}
(t_{ij})_{kl} = \frac{i}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk}).
\end{equation}
\tag{88}
$$
В этом случае они удовлетворяют условию нормировки (21) с метрикой
$$
\begin{equation}
g_{\mathbf{AB}} \to \delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk},\qquad g^{\mathbf{AB}} \to \frac{1}{4}(\delta_{ik}\delta_{jl} - \delta_{il}\delta_{jk})
\end{equation}
\tag{89}
$$
и коммутационным соотношениям
$$
\begin{equation}
[t_{ij},t_{kl}] = \frac{i}{2}(\delta_{il} t_{jk} - \delta_{jl} t_{ik} - \delta_{ik} t_{jl} + \delta_{jk} t_{il}).
\end{equation}
\tag{90}
$$
Сравнивая этот коммутатор с коммутатором генераторов $t_{ij}$ для группы $E_6$ (представленным в первой строке формулы (65)) и требуя, чтобы $E_6$ калибровочное поле давало $SO_{10}$ калибровочное поле после нарушения симметрии,
$$
\begin{equation}
A_\mu|_{E_6} = i e_6 A_\mu^{\mathbf{A}} t_{\mathbf{A}}|_{E_6}\quad \to\quad A_\mu|_{SO_{10}} = ie_{10} A_\mu^{\mathbf{A}} t_{\mathbf{A}}|_{SO_{10}} = \frac{i}{2} e_{10} (A_\mu)_{ij} t_{ij}|_{SO_{10}},
\end{equation}
\tag{91}
$$
мы получаем соотношение Сложнее найти аналогичную формулу для константы связи подгруппы $U_1$. На самом деле форма этого соотношения зависит от способа нарушения симметрии. В соответствии с формулой (63) $E_6$-представление $27$ содержит $SO_{10}$ синглет. Конечно, то же самое будет и для сопряженного представления $\overline{27}$. Это означает, что данное представление может быть использовано для нарушения $E_6\times U_1$ до $SO_{10}\times U_1$. Однако разложение (87) $E_8$-представления $248$ содержит представления $27$ и $\overline{27}$ с различными $U_1$-зарядами. Очевидно, имеются только два существенно различных варианта: 1) вакуумное среднее приобретается представлениями $27(-1)$ и/или $\overline{27}(1)$; 2) вакуумное среднее приобретается представлениями $27(2)$ и/или $\overline{27}(-2)$. Действительно, если определенное представление содержит синглет по отношению к малой группе, то сопряженное представление также будет содержать синглет по отношению к той же самой малой группе. Ниже мы будем отдельно рассматривать оба варианта для нарушения симметрии, называя их B-1 и B-2 соответственно. Заметим, что здесь и ниже первый вариант всегда соответствует меньшему модулю соответствующего $U_1$-заряда, тогда как второй вариант соответствует большему значению. 6.2. Нарушение симметрии вакуумным средним $27(-1)$ (B-1)В соответствии с первой формулой в (63) $E_6$-представление $27$ содержит синглет по отношению к $SO_{10}$ множителю в подгруппе $SO_{10}\times U_1\subset E_6$, который, однако, имеет нетривиальный заряд по отношению к $U_1$-множителю. Тем не менее исходная теория имеет симметрию $E_6\times U_1$, которая шире, чем $E_6$. Поэтому малая группа будет также содержать $U_1$-множитель, составленный из двух подгрупп $U_1$ во вложении
$$
\begin{equation}
E_6\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(6)}} \supset (SO_{10}\times \underbrace{U_1}_{\beta_2^{(6)}}\,)\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(6)}}.
\end{equation}
\tag{93}
$$
Параметры этих $U_1$ групп, обозначаемые $\beta_1^{(6)}$ и $\beta_2^{(6)}$, указаны под каждой группой. Это означает, что определенное (супер)поле с зарядами $Q_1^{(6)}$ и $Q_2^{(6)}$ под действием $U_1\times U_1$ преобразований меняется как
$$
\begin{equation}
\varphi \to \exp(i Q_1^{(6)} \beta_1^{(6)} + i Q_2^{(6)} \beta_2^{(6)})\varphi.
\end{equation}
\tag{94}
$$
По отношению к подгруппе (93) правило ветвления для $E_6\times U_1$ представления $27(-1)$ записывается как
$$
\begin{equation}
27(-1)|_{E_6\times U_1} = 16(-1,1) + 10(-1,-2) + \mathbf{1(-1,4)}|_{SO_{10}\times U_1\times U_1},
\end{equation}
\tag{95}
$$
где мы представляем $(Q_1^{(6)},Q_2^{(6)})$ в скобках и указываем $SO_{10}$ синглет жирным шрифтом. Из этой формулы очевидно, что малая группа содержит $U_1$-множитель, под действием которого преобразование (94) сводится к
$$
\begin{equation}
\varphi \to \exp(i Q_1^{(10)}\beta_1^{(10)} )\varphi\qquad {с}\qquad Q_1^{(10)} \equiv \frac{1}{3} (4 Q_1^{(6)} + Q_2^{(6)}),
\end{equation}
\tag{96}
$$
поскольку по отношению к этой группе $SO_{10}$ синглет имеет заряд Найдем величину константы связи $e_1^{(10)}$ для этой группы $U_1$. В соответствии с формулой (84) так что выражение $Q_1^{(6)}/6\sqrt{2}$ является собственным значением $U_1$-генератора $t_1^{(6)}$, который нормирован тем же способом, что и генераторы группы $E_6$. Поэтому заряд $Q_1^{(6)}$ является собственным значением оператора $6\sqrt{2} t_1^{(6)}$. Чтобы построить аналогичное выражение для $Q_2^{(6)}$, сравним формулу (95) с явным выражением для $E_6$-генератора $t = t|_{U_1\subset E_6}$ в фундаментальном представлении, даваемом формулами (68). Тогда мы заключаем, что заряд $Q_2^{(6)}$ является собственным значением оператора $12\,t$. Поэтому величина $(4Q_1^{(6)} + Q_2^{(6)})/3$ соответствует оператору
$$
\begin{equation}
\frac{1}{3} (4\cdot 6\sqrt{2}\,t_1^{(6)} + 12 t) = 12\biggl(\frac{\sqrt{8}}{3} t_1^{(6)} + \frac{1}{3} t\biggr).
\end{equation}
\tag{98}
$$
В правой части оператор в скобках нормирован так же, как и $E_6$-генераторы, поскольку
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\sqrt{8}}{3}\biggr)^2 + \biggl(\frac{1}{3}\biggr)^2 = 1.
\end{equation}
\tag{99}
$$
Поэтому константа связи $e_1^{(10)}$ может быть выражена через константу связи $e_6$ как
$$
\begin{equation}
e_1^{(10)} = \frac{e_6}{12} = \frac{e_{10}}{4\sqrt{3}},
\end{equation}
\tag{100}
$$
где мы также приняли во внимание формулу (92). Таким образом, мы получаем, что константы связи $SO_{10}\times U_1$ теории, получаемой после нарушения симметрии, связаны друг с другом и с $E_6$-константой связи формулами
$$
\begin{equation}
{B-1:}\qquad \alpha_{10} = \frac{\alpha_6}{3},\qquad \alpha_1^{(10)} = \frac{\alpha_{10}}{48}.
\end{equation}
\tag{101}
$$
Затем мы должны построить правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к подгруппе $SO_{10}\times U_1$. С этой целью мы вначале напишем правило ветвления по отношению к $SO_{10}\times U_1\times U_1$ подгруппе (93), используя формулы (63) и (87). Результат может быть записан как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 5\times 1(0,0) + 2\times 1(3,0) + 2\times 1(-3,0) + 2\times \mathbf{1(-1,4)} + 2\times 1(1,-4)+{} \notag\\ & + 1(2,4) + 1(-2,-4) + 2\times 10(1,2) + 2\times 10(-1,-2) + 10(2,-2)+{} \notag\\ & + 10(-2,2) + 16(0,-3) + \overline{16}(0,3) + 2\times 16(-1,1) + 2\times\overline{16}(1,-1)+{}\notag\\ &+ 16(2,1) + \overline{16}(-2,-1) + 45(0,0)|_{SO_{10}\times U_1\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{102}
$$
Вычисляя заряды $Q_1^{(10)}$ по отношению к малой группе $SO_{10}\times U_1$ с помощью формулы (96), мы получаем требуемое правило ветвления
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 9\times 1(0) + 3\times 1(4) + 3\times 1(-4) +3\times 10(-2) + 3\times 10(2)+{} \notag\\ & + 3\times 16(-1) + 3\times \overline{16}(1) + 16(3) + \overline{16}(-3) + 45(0)|_{SO_{10}\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{103}
$$
В разделе 7 показано, что нарушение симметрии $SO_{10}\times U_1 \to SU_5\times U_1$ может быть реализовано, если вакуумное среднее приобретается скалярным полем в представлении $16$ группы $SO_{10}$. В этом случае вновь имеются два различных варианта для данного нарушения симметрии, поскольку это скалярное поле может принадлежать либо представлениям $16(-1)$ (и/или $\overline{16}(1)$), либо $16(3)$ (и/или $\overline{16}(-3)$). Все эти варианты (называемые B-1-1 и B-1-2 соответственно) рассмотрены в разделе 7. 6.3. Нарушение симметрии вакуумным средним $27(2)$ (B-2)Альтернативно нарушение симметрии $E_6\times U_1 \to SO_{10}\times U_1$ может быть реализовано, если вакуумное среднее приобретает скалярное поле в представлении $27(2)$ (и/или $\overline{27}(-2)$) $E_6\times U_1$. Хотя в этом случае малая группа будет такая же, как и в варианте B-1, $U_1$-константа связи (как мы увидим ниже) будет отличаться. Принимая во внимание, что правило ветвления для представления $27(2)$ по отношению к $SO_{10}\times U_1\times U_1$ подгруппе (93) записывается как
$$
\begin{equation}
27(2)|_{E_6\times U_1} = 16(2,1) + 10(2,-2) + \mathbf{1(2,4)}|_{SO_{10}\times U_1\times U_1},
\end{equation}
\tag{104}
$$
мы видим, что заряд по отношению к $U_1$-компоненте малой группы пропорционален $2Q_1^{(6)} - Q_2^{(6)}$. Действительно, в этом случае заряд $SO_{10}$ синглета, присутствующего в представлении $27(2)$ (который указан жирным шрифтом в формуле (104)), равен нулю. Удобно выбрать нормировочную константу равной $1/3$, так что для варианта B-2 заряд по отношению к $U_1$-компоненте малой группы определяется как В точности как и для варианта B-1, мы видим, что этот заряд является собственным значением оператора
$$
\begin{equation}
\frac{1}{3} (2\cdot 6\sqrt{2} t_1^{(6)} - 12 t) = 4\sqrt{3}\biggl(\sqrt{\frac{2}{3}} t_1^{(6)} - \sqrt{\frac{1}{3}} t\biggr).
\end{equation}
\tag{106}
$$
Вновь оператор в скобках в правой части нормирован тем же образом, что и все $E_6$-генераторы, поскольку
$$
\begin{equation}
\biggl(\sqrt{\frac{2}{3}}\biggr)^2 + \biggl(-\sqrt{\frac{1}{3}}\biggr)^2 = 1.
\end{equation}
\tag{107}
$$
Из формулы (106) мы заключаем, что константа связи для $U_1$-компоненты малой группы связана с $E_6$-константой связи формулой
$$
\begin{equation}
e_1^{(10)} = \frac{e_6}{4\sqrt{3}} = \frac{e_{10}}{4},
\end{equation}
\tag{108}
$$
где мы также использовали формулу (92). Таким образом, мы получаем, что константы связи $SO_{10}\times U_1$ теории, получающейся после нарушения симметрии вакуумным средним $27(2)$ $E_6\times U_1$, даются выражениями
$$
\begin{equation}
\text{B-2:}\qquad \alpha_{10} = \frac{\alpha_6}{3},\qquad \alpha_1^{(10)} = \frac{\alpha_{10}}{16}.
\end{equation}
\tag{109}
$$
В частности, мы видим, что величина $U_1$-константы связи отличается от ее величины в варианте B-1 (см. (101)). Поэтому эти два варианта нарушения симметрии действительно являются существенно различными. Вычисляя заряды $Q_1^{(10)}$ для различных слагаемых в формуле (102) с помощью формулы (105), мы выводим правило ветвления для $E_8$-представления 248 по отношению к малой группе $SO_{10}\times U_1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 7\times 1(0) + 4\times 1(2) + 4\times 1(-2) +4\times 10(0) + 10(2) + 10(-2)+{} \notag\\ & + 2\times 16(1) + 2\times \overline{16}(-1) + 2\times 16(-1) + 2\times \overline{16}(1) + 45(0)|_{SO_{10}\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{110}
$$
Заметим, что в этом случае вакуумные средние представлений $16(1)$ и $16(-1)$ являются фактически эквивалентными, поскольку различие в знаке $U_1$-константы связи не является существенным. Поэтому в этом случае имеется единственный вариант для дальнейшего нарушения симметрии, который ниже мы будем называть B-2-1. 7. Нарушение симметрии $SO_{10}\times U_1 \to SU_{5} \times U_1$7.1. Вложение $SU_5\times U_1 \subset SO_{10}$Чтобы построить вложение $U_5\subset SO_{10}$, рассмотрим комплексный 5-компонентный столбец $z = x+iy$ в фундаментальном представлении группы $U_5$. Это означает, что он преобразуется как
$$
\begin{equation}
z\equiv x+iy \to \Omega_5 z = (B+iC)(x+iy) = (Bx -Cy) + i(By + Cx),
\end{equation}
\tag{111}
$$
где $(5\times 5)$-матрица $\Omega_5 \in U_5$ была записана как сумма вещественной части $B$ и чисто мнимой части $iC$. Заметим, что из условия $\Omega_5^+ \Omega_5=1$ мы получаем, что вещественные матрицы $B$ и $C$ удовлетворяют связям
$$
\begin{equation}
B^\mathrm{T} B + C^\mathrm{T} C = 1,\qquad B^\mathrm{T} C = C^\mathrm{T} B.
\end{equation}
\tag{112}
$$
Преобразование (111) может быть эквивалентно представлено как преобразование вещественного 10-компонентного столбца
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} B & -C\\ C & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{113}
$$
Из формул (112) легко видеть, что матрица, вращающая этот столбец, является ортогональной. Кроме того, ее определитель равен единице, поскольку групповое многообразие $U_5$ является связным. Поэтому эта матрица принадлежит группе $SO_{10}$. Из формулы (113) мы видим, что надлежащим образом нормированные генераторы $SO_{10}$, соответствующие подгруппе $SU_5$, могут быть записаны в виде
$$
\begin{equation}
t_A|_{SU_5\subset SO_{10}} = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t_{A,5} & 0\\ 0 & t_{A,5} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} T(t_{A,5}), & \text{если}\;\; t_{A,5}\;\; \text{чисто мнимый},\\ \dfrac{i}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & t_{A,5}\\ - t_{A,5} & 0 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} T(t_{A,5}),& \text{если}\;\; t_{A,5}\;\; \text{вещественный}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{114}
$$
где $t_{A,5}$ (с $A=1,\ldots,24$) – генераторы фундаментального представления $SU_5$, нормированные условием
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr}(t_{A,5} t_{B,5}) = \frac{1}{2}\delta_{AB}
\end{equation}
\tag{115}
$$
(конечно, удобно выбрать их таким образом, чтобы они были либо вещественными, либо чисто мнимыми). Множитель $1/\sqrt{2}$ появляется благодаря условию нормировки (21), в котором метрика равна $\delta_{\mathbf{AB}}$ (как для $SO_{10}$, так и для $SU_5$). Благодаря этому множителю константы связи для группы $SO_{10}$ и ее подгруппы $SU_5$ связаны формулой Аналогично из формулы (113) мы видим, что генератор подгруппы $U_1$ (вновь нормированный условием (21)) имеет вид
$$
\begin{equation}
t|_{U_1\subset SO_{10}} = -\frac{i}{\sqrt{20}} \begin{pmatrix} 0 & -1_5\\ 1_5 & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{117}
$$
В соответствии с [17] правила ветвления для низших представлений $SO_{10}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 10|_{SO_{10}} &= 5(2) + \overline{5}(-2)|_{SU_5\times U_1},\\ 16|_{SO_{10}} &= 1(-5)+\overline{5}(3) + 10(-1)|_{SU_5\times U_1},\\ \overline{16}|_{SO_{10}} &= 1(5) + 5(-3) + \overline{10}(1)|_{SU_5\times U_1},\\ 45|_{SO_{10}} &= 1(0) + 10(4) + \overline{10}(-4) + 24(0)|_{SU_5\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{118}
$$
где $U_1$-заряды представлены в круглых скобках. Легко видеть, что их можно отождествить с собственными значениями оператора (117), умноженного на $4\sqrt{5}$. 7.2. Варианты нарушения симметрииОчевидно, группа $SO_{10}\times U_1$ содержит подгруппу $SU_5\times U_1\times U_1$, которая строится как
$$
\begin{equation}
SO_{10}\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(10)}} \supset (SU_{5}\times \underbrace{U_1}_{\beta_2^{(10)}})\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(10)}},
\end{equation}
\tag{119}
$$
где $\beta_1^{(10)}$ и $\beta_2^{(10)}$ – вещественные числа, которые параметризуют преобразования подгрупп $U_1$. В соответствии с правилом ветвления для $SO_{10}$-представления $16$, представленного во второй строке формулы (118), вакуумное среднее скалярного поля в этом представлении может нарушать симметрию до $SU_5\times U_1$, где $U_1$-подгруппа малой группы является нетривиальной комбинацией преобразований двух $U_1$-множителей в (119). Явный вид этой комбинации и соответствующая константа связи существенно зависят от двух $U_1$-зарядов скалярного поля, которое приобретает вакуумное среднее. Как мы уже упоминали выше, имеются три различных варианта для нарушения симметрии $SO_{10}\times U_1\to SU_5\times U_1$, которые по отдельности рассматриваются ниже. 7.2.1. B-1-1. Вакуумные средние $27(-1)|_{E_6\times U_1}$ и $16(-1)|_{SO_{10}\times U_1}$В этом случае вакуумные средние приобретают скалярные поля в представлениях $27(-1)$ $E_6\times U_1$ и $16(-1)$ $SO_{10}\times U_1$ (и/или соответствующих сопряженных представлениях). Чтобы исследовать нарушение симметрии, начнем с правил ветвления представления $16(-1)$ по отношению к подгруппе (119):
$$
\begin{equation}
16(-1)|_{SO_{10}\times U_1} = 10(-1,-1) + \overline{5}(-1,3) + \mathbf{1(-1,-5)}|_{SU_{5}\times U_1\times U_1}.
\end{equation}
\tag{120}
$$
Из этой формулы мы видим, что исходная $SO_{10}\times U_1$ симметрия может быть нарушена до $SU_5\times U_1$, где $U_1$-заряд по отношению к малой группе связан с зарядами по отношению к подгруппе $U_1\times U_1$ в формуле (119) как
$$
\begin{equation}
Q_1^{(5)} = \frac{1}{4} (5 Q_1^{(10)} - Q_2^{(10)} ).
\end{equation}
\tag{121}
$$
Действительно, в этом случае $SU_5$ синглет (указанный в формуле (120) жирным шрифтом) имеет заряд $\frac{1}{4}(5\cdot (-1)- (-5)) = 0$. Коэффициент $1/4$ в этой формуле введен для удобства обозначений. Правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к подгруппе $SU_5\times U_1\times U_1$ (119) мы можем вывести, используя формулы (103) и (118):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &248|_{E_8} = 10\times 1(0,0) + 3\times 1(4,0) + 3\times 1(-4,0) + 3\times 1(1,5) + 3\times 1(-1,-5) +{} \notag\\ &+1(3,-5) + 1(-3,5) + 3\times 5(1,-3) + 3\times\overline{5}(-1,3) + 3\times 5(-2,2) + 3\times \overline{5}(2,-2) +{} \notag\\ &+ 3\times 5(2,2) + 3\times \overline{5}(-2,-2) + 5(-3,-3) + \overline{5}(3,3) +10(0,4) +\overline{10}(0,-4) +{} \notag\\ &+ 10(3,-1)+ \overline{10}(-3,1)+ 3\times 10(-1,-1) + 3\times \overline{10}(1,1) + 24(0,0) |_{SU_5\times U_1\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{122}
$$
Заряды в скобках $(Q_1^{(10)}, Q_2^{(10)})$ соответствуют группам $U_1$, параметризуемым $\beta_1^{(10)}$ (первое число) и $\beta_2^{(10)}$ (второе число). Принимая во внимание, что в соответствии с формулой (100) мы видим, что первое число ($Q_1^{(10)}$) является собственным значением оператора $4\sqrt{3}t_1^{(10)}$, где $t_1^{(10)}$ – генератор $U_1$-множителя в группе $SO_{10}\times U_1$, нормированный так же, как и $SO_{10}$ генераторы. Как мы уже упоминали в конце п. 7.1, второе число ($Q_2^{(10)}$) является собственным значением оператора Поэтому заряд малой группы $Q_1^{(5)}$ является собственным значением оператора
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4}(5\cdot 4\sqrt{3} t_1^{(10)} - 4\sqrt{5} t|_{U_1\subset SO_{10}}) = 4\sqrt{5} \biggl(\frac{\sqrt{15}}{4} t_1^{(10)} - \frac{1}{4} t|_{U_1\subset SO_{10}} \biggr).
\end{equation}
\tag{125}
$$
Принимая во внимание, что стоящий справа в скобках оператор, очевидно, нормирован так же, как и $SO_{10}$ генераторы, мы видим, что константа связи для $U_1$ подгруппы малой группы $SU_5\times U_1$ дается формулой
$$
\begin{equation}
e_1^{(5)} = \frac{e_{10}}{4\sqrt{5}} = \frac{e_5}{2\sqrt{10}},
\end{equation}
\tag{126}
$$
где мы также использовали формулу (116). Поэтому для рассматриваемой цепочки нарушения симметрии мы получаем
$$
\begin{equation}
\text{B-1-1}:\qquad \alpha_5 = \frac{\alpha_{10}}{2},\qquad \alpha_1^{(5)} = \frac{\alpha_5}{40}.
\end{equation}
\tag{127}
$$
Вычисляя заряды малой группы для всех слагаемых в формуле (122) в соответствии с формулой (121), мы строим правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе $SU_5\times U_1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 16\times 1(0) + 4\times 1(5) + 4\times 1(-5) + 6\times 5(2) + 6\times \overline{5}(-2) + 4\times 5(-3)+{} \notag\\ & + 4\times \overline{5}(3) + {10}(4) + \overline{10}(-4) + 4\times 10(-1) + 4\times \overline{10}(1) + 24(0) |_{SU_5\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{128}
$$
Ниже мы увидим, что последующее нарушение симметрии $SU_5\times U_1 \to SU_3\times SU_2\times U_1$ может быть реализовано вакуумным средним скалярного поля в $SU_5$ представлении $10$. Поэтому из формулы (128) мы заключаем, что имеются два различных варианта для этого нарушения симметрии, а именно: либо вакуумным средним $10(-1)$ (и/или $\overline{10}(1)$), либо вакуумным средним $10(4)$ (и/или $\overline{10}(-4)$). Мы будем обозначать их B-1-1-1 и B-1-1-2 соответственно, следуя договоренности, что вариант с минимальным модулем $U_1$-заряда указывается номером 1. 7.2.2. B-1-2. Вакуумные средние $27(-1)|_{E_6\times U_1}$ и $16(3)|_{SO_{10}\times U_1}$Другой вариант нарушения симметрии появляется, если вакуумные средние приобретают скалярные поля в представлениях $27(-1)$ $E_6\times U_1$ и $16(3)$ $SO_{10}\times U_1$. Правило ветвления представления $16(3)$ по отношению к подгруппе (119) имеет вид
$$
\begin{equation}
16(3)|_{SO_{10}\times U_1} = 10(3,-1) + \overline{5}(3,3) + \mathbf{1(3,-5)}|_{SU_{5}\times U_1\times U_1},
\end{equation}
\tag{129}
$$
так что в этом случае заряд малой группы может быть определен как
$$
\begin{equation}
Q_1^{(5)} = \frac{1}{4} (5 Q_1^{(10)} + 3Q_2^{(10)}),
\end{equation}
\tag{130}
$$
где коэффициент $1/4$ выбран для удобства обозначений. Действительно, в этом случае заряд синглета в формуле (129) составляет $(5\cdot 3+ 3\cdot(-5))/4 = 0$, так что представление $16(3)$ действительно содержит часть, инвариантную относительно малой группы. Как и в случае B-1-1, заряд (130) может быть рассмотрен как собственное значение оператора
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4}(5\cdot 4\sqrt{3} t_1^{(10)} + 3\cdot 4\sqrt{5} t|_{U_1\subset SO_{10}}) = 2\sqrt{30} \biggl(\sqrt{\frac{5}{8}} t_1^{(10)} + \sqrt{\frac{3}{8}} t|_{U_1\subset SO_{10}} \biggr).
\end{equation}
\tag{131}
$$
Вновь оператор справа в скобках нормирован так же, как $SO_{10}$ генераторы, так что значение константы связи для $U_1$-множителя в группе $SU_5\times U_1$ может быть связано с константой связи $e_{10}$ формулой
$$
\begin{equation}
e_1^{(5)} = \frac{e_{10}}{2\sqrt{30}} = \frac{e_5}{\sqrt{60}}.
\end{equation}
\tag{132}
$$
Поэтому для рассматриваемой цепочки нарушения симметрии величины констант связи даются выражениями
$$
\begin{equation}
\text{B-1-2}:\qquad \alpha_5 = \frac{\alpha_{10}}{2},\qquad \alpha_1^{(5)} = \frac{\alpha_5}{60}.
\end{equation}
\tag{133}
$$
Вычисляя заряд (130) для всех слагаемых в выражении (122), мы получаем правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе $SU_5\times U_1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 12\times 1(0) + 6\times 1(5) + 6\times 1(-5) + 6\times 5(-1) + 6\times \overline{5}(1) + 3\times 5(4) +{} \notag\\ &+ 3\times \overline{5}(-4)+5(-6) + \overline 5(6) + 3\times {10}(-2) + 3\times \overline{10}(2) + 2\times 10(3) +{} \notag \\ &+ 2\times \overline{10}(-3) + 24(0)|_{SU_5\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{134}
$$
Из этого выражения мы видим, что последующее нарушение симметрии также может быть реализовано двумя различными способами, а именно: вакуумными средними представлений $10(-2)$ (и/или $\overline{10}(2)$) или $10(3)$ (и/или $\overline{10}(-3)$). Следуя нашим обычным договоренностям, мы обозначаем их как B-1-2-1 и B-1-2-2 соответственно. Детали соответствующего нарушения симметрии обсуждаются ниже в разделе 8. 7.2.3. B-2-1. Вакуумные средние $27(2)|_{E_6\times U_1}$ и $16(1)|_{SO_{10}\times U_1}$Нарушение симметрии $E_6\times U_1 \to SO_{10}\times U_1 \to SU_5\times U_1$ может быть также реализовано с помощью вакуумных средних скалярных полей в представлениях $27(2)$ $E_6\times U_1$ и $16(1)$ $SO_{10}\times U_1$. Благодаря правилу ветвления
$$
\begin{equation}
16(1)|_{SO_{10}\times U_1} = 10(1,-1) + \overline{5}(1,3) + \mathbf{1(1,-5)}|_{SU_{5}\times U_1\times U_1}
\end{equation}
\tag{135}
$$
заряд малой группы может быть выбран в виде
$$
\begin{equation}
Q_1^{(5)} = -\frac{1}{2} (5 Q_1^{(10)} + Q_2^{(10)}),
\end{equation}
\tag{136}
$$
где множитель $-1/2$ введен для дальнейшего удобства. Принимая во внимание, что для варианта B-2 нарушения $E_6\times U_1$ мы видим, что $Q_1^{(10)}$ является собственным значением оператора $4 t_1^{(10)}$, тогда как $Q_2^{(10)}$ вновь является собственным значением оператора (124). Поэтому заряд (136) является собственным значением оператора
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{2}(5\cdot 4 t_1^{(10)} + 4\sqrt{5} t|_{U_1\subset SO_{10}}) = 2\sqrt{30} \biggl(-\sqrt{\frac{5}{6}} t_1^{(10)} - \sqrt{\frac{1}{6}} t|_{U_1\subset SO_{10}} \biggr).
\end{equation}
\tag{138}
$$
Это означает, что константа связи для $U_1$-компоненты малой группы связана с константами связи $e_{10}$ и $e_5$ формулой
$$
\begin{equation}
e_1^{(5)} = \frac{e_{10}}{2\sqrt{30}} = \frac{e_5}{\sqrt{60}},
\end{equation}
\tag{139}
$$
так что для способа нарушения симметрии B-2-1 мы получаем
$$
\begin{equation}
\text{B-2-1}:\qquad \alpha_5 = \frac{\alpha_{10}}{2},\qquad \alpha_1^{(5)} = \frac{\alpha_5}{60}.
\end{equation}
\tag{140}
$$
Заметим, что эти значения констант связи в точности совпадают со значениями для варианта B-1-2. Также в этом случае необходимо вывести правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе $SU_5\times U_1$. С этой целью мы вначале построим правило ветвления по отношению к $SU_5\times U_1\times U_1$ подгруппе (119), используя формулы (110) и (118):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 8\times 1(0,0) + 4\times 1(2,0) + 4\times 1(-2,0) + 2\times 1(1,5) + 2\times 1(-1,-5) +{} \notag\\ &+ 2\times 1(1,-5) + 2\times 1(-1,5) + 2\times 5(1,-3) + 2\times \overline{5}(-1,3) + 2\times 5(-1,-3) +{} \notag\\ &+ 2\times \overline{5}(1,3) + 5(2,2)+ \overline{5}(-2,-2) + 5(-2,2) + \overline{5}(2,-2) + 4\times 5(0,2) +{} \notag\\ &+ 4\times \overline{5}(0,-2) + 10(0,4) + \overline{10}(0,-4) + 2\times 10(-1,-1) + 2\times \overline{10}(1,1) +{} \notag \\ &+ 2\times 10(1,-1) + 2\times \overline{10}(-1,1) + 24(0,0)|_{SU_5\times U_1\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{141}
$$
После этого для каждого слагаемого мы вычисляем заряд (136), соответствующий $U_1$ подгруппе малой группы. Результат дается выражением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 12\times 1(0) + 6\times 1(5) + 6\times 1(-5) + 6\times 5(-1) + 6\times \overline{5}(1) + 3\times 5(4) +{} \notag\\ &+ 3\times \overline{5}(-4)+5(-6) + \overline 5(6) + 3\times {10}(-2) + 3\times \overline{10}(2) + 2\times 10(3) +{} \notag \\ &+ 2\times \overline{10}(-3) + 24(0)|_{SU_5\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{142}
$$
Как и величины констант связи, это правило ветвления такое же, как в случае B-1-2. Поэтому дальнейшее нарушение симметрии ($SU_5\times U_1 \to SU_3\times SU_2\times U_1$) происходит тем же самым способом, что и в случае B-1-2. Поэтому ниже в разделе 8 мы не будем рассматривать его отдельно и приведем только результаты.
8. Нарушение симметрии $SU_5\times U_1 \to SU_3\times SU_2\times U_1$8.1. Вложение $SU_3\times SU_2 \times U_1 \subset SU_5$Группа $SU_3\times SU_2\times U_1$ может быть вложена в $SU_5$ как
$$
\begin{equation}
\omega_5 = \begin{pmatrix} e^{-2i\beta_2^{(5)}} \omega_3 & 0 \\ 0 & e^{3i\beta_2^{(5)}} \omega_2 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{143}
$$
где $\omega_3\in SU_3$, $\omega_2\in SU_2$, а вещественное число $\beta_2^{(5)}$ является параметром подгруппы $U_1$. Если $U_1$-заряд отождествить с коэффициентом при $i\beta_2^{(5)}$ в аргументах экспонент, то правила ветвления для некоторых низших $SU_5$ представлений запишутся как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 5|_{SU_5} &= [1,2](3) + [3,1](-2)|_{SU_3\times SU_2\times U_1},\\ \overline{5}|_{SU_5} &= [1,2](-3) + [\overline{3},1](2)|_{SU_3\times SU_2\times U_1},\\ 10|_{SU_5}& = [1,1](6) + [\overline{3},1](-4) + [3,2](1)|_{SU_3\times SU_2\times U_1},\\ \overline{10}|_{SU_5} &= [1,1](-6) + [3,1](4) + [\overline{3},2](-1)|_{SU_3\times SU_2\times U_1},\\ 24|_{SU_5} &= [1,1](0) + [1,3](0) + [3,2](-5) + [\overline{3},2](5) + [8,1](0)|_{SU_3\times SU_2\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{144}
$$
где первый символ в квадратных скобках обозначает представление $SU_3$, второй символ соответствует представлению $SU_2$, а $U_1$-заряд приводится в круглых скобках. Надлежащим образом нормированные $SU_5$ генераторы, соответствующие $SU_3$, $SU_2$ и $U_1$ подгруппам могут быть представлены как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, t_{A}|_{SU_3\subset SU_5} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \lambda_A & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad t_\alpha|_{SU_2\subset SU_5} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & \sigma_\alpha \end{pmatrix}, \\ t|_{U_1\subset SU_5} = \frac{1}{2\sqrt{15}} \begin{pmatrix} -2\cdot 1_3 & 0\\ 0 & 3\cdot 1_2 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{145}
$$
где $\lambda_A$, $A=1,\ldots,8$, и $\sigma_\alpha$, $\alpha=1,2,3$, – матрицы Гелл-Манна и Паули соответственно. Это, в частности, означает, что $e_5=e_3=e_2$. Из вида $U_1$ генератора мы также видим, что числа, представленные в формуле (144) в круглых скобках, являются собственными значениями оператора $\sqrt{60} t|_{U_1\subset SU_5}$ (в рассматриваемом представлении). Таким образом, для простых подгрупп константы связи связаны формулами
$$
\begin{equation}
e_2 = e_3 = e_5 = \frac{e_{10}}{\sqrt{2}} = \frac{e_6}{\sqrt{6}} = \frac{e_7}{\sqrt{12}} = \frac{e_8}{\sqrt{60}},
\end{equation}
\tag{146}
$$
или, эквивалентно, для $\alpha_i\equiv e_i^2/4\pi$
$$
\begin{equation}
\alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_5 = \frac{\alpha_{10}}{2} = \frac{\alpha_6}{6} = \frac{\alpha_7}{12} = \frac{\alpha_8}{60}.
\end{equation}
\tag{147}
$$
8.2. Варианты нарушения симметрии8.2.1. B-1-1-1. Вакуумные средние $27(-1)|_{E_6\times U_1}$, $16(-1)|_{SO_{10}\times U_1}$ и $10(-1)|_{SU_5\times U_1}$Очевидно, группа $SU_5\times U_1$ содержит подгруппу $SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1$,
$$
\begin{equation}
SU_{5}\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(5)}} \supset (SU_{3}\times SU_2 \times \underbrace{U_1}_{\beta_2^{(5)}}\,)\times \underbrace{U_1}_{\beta_1^{(5)}}.
\end{equation}
\tag{148}
$$
Нас интересует соответствующее правило ветвления для представления $10(-1)$, поскольку это представление присутствует в формуле (128) и может быть использовано для дальнейшего нарушения симметрии. Из формулы (144) мы получаем
$$
\begin{equation}
10(-1)|_{SU_5\times U_1} = \mathbf{[1,1](-1,6)} + [\overline{3},1](-1,-4) + [3,2](-1,1)|_{SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1},
\end{equation}
\tag{149}
$$
где заряд $Q_1^{(5)}$, соответствующий группе $U_1$ с параметром $\beta_1^{(5)}$, дается первым числом в круглых скобках, а второе число представляет собой заряд $Q_2^{(5)}$ по отношению к группе $U_1$, параметризуемой $\beta_2^{(5)}$. Мы видим, что правая часть формулы (149) содержит $SU_3\times SU_2$ синглет, который указан жирным шрифтом. Глядя на его заряды по отношению к $U_1\times U_1$, мы заключаем, что симметрия нарушается до $SU_3\times SU_2\times U_1$, где $U_1$-заряд малой группы может быть выбран в виде
$$
\begin{equation}
Q_1^{(Y)} = - \frac{1}{30} (6 Q_1^{(5)} + Q_2^{(5)}).
\end{equation}
\tag{150}
$$
Множитель $-1/30$ вновь выбирается для удобства обозначений. Ранее мы выбирали аналогичные коэффициенты таким образом, чтобы заряды малой группы были бы наименьшими возможными целыми числами. Теперь мы выбираем нормировочный коэффициент иначе: так, чтобы $U_1$-заряды различных суперполей можно было отождествлять с гиперзарядом в МССМ (см. формулу (158) ниже). В п. 7.2 мы продемонстрировали, что для варианта B-1-1 константа связи для $U_1$-множителя в $SU_5\times U_1$ равна Это означает, что заряд $Q_1^{(5)}$ является собственным значением оператора $2\sqrt{10} t_1^{(5)}$, где $t_1^{(5)}$ – генератор $U_1$-множителя в $SU_5\times U_1$, нормированный так же, как и генераторы $SU_5$ множителя. Как мы уже упоминали, заряд $Q_2^{(5)}$ можно рассматривать как собственное значение оператора где $t|_{U_1\subset SU_5}$ определяется последней формулой в (145). Поэтому заряд (150) можно рассматривать как собственное значение оператора
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{30} (6\cdot 2\sqrt{10} t_1^{(5)} + 2\sqrt{15} t|_{U_1\subset SU_5}) = \sqrt{\frac{5}{3}} \biggl(-\frac{2\sqrt{6}}{5} t_1^{(5)} - \frac{1}{5} t|_{U_1\subset SU_5} \biggr).
\end{equation}
\tag{153}
$$
Принимая во внимание, что оператор справа в круглых скобках нормирован так же, как $SU_5$ генераторы, мы получаем, что константа связи для $U_1$-множителя в малой группе $SU_3\times SU_2\times U_1$ равна или, эквивалентно,
$$
\begin{equation}
\text{B-1-1-1:}\qquad \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_5,\qquad \alpha_1^{(Y)} = \frac{3}{5} \alpha_5,
\end{equation}
\tag{155}
$$
где $\alpha_1^{(Y)}\equiv \big(e_1^{(Y)}\big)^2/4\pi$. Это означает, что мы получаем стандартное условие объединения констант связи $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$ с $\alpha_1\equiv 5\alpha_1^{(Y)}/3$, так что в этом случае Ниже мы увидим, что B-1-1-1 является единственным вариантом, который позволяет достичь этих соотношений для констант связи. Различные детали нарушения симметрии для этого случая приведены в табл. 1. Таблица 1.Вариант B-1-1-1 для разложения 248 на неприводимые представления различных подгрупп, появляющихся в цепочке нарушения симметрии. Этот вариант является единственным, для которого объединение констант связи происходит в соответствии с формулой (9), и окончательное правило ветвления включает все представления, необходимые для размещения суперполей МССМ. Заметим, что модули $U_1$-зарядов для всех (супер)полей, приобретающих вакуумные средние, в этом случае являются минимально возможными.
Для построения правила ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе $SU_3\times SU_2\times U_1$ мы начинаем с правила ветвления по отношению к $SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1$ подгруппе (148). Это правило ветвления может быть выведено с использованием формул (128) и (144):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 17\times [1,1](0,0) + [1,1](4,6) + [1,1](-4,-6) + 4\times [1,1](5,0) +{} \notag \\ &+ 4\times [1,1](-5,0) + 4\times [1,1](-1,6) + 4\times [1,1](1,-6) + 6\times [1,2](2,3) +{} \notag\\ & + 6\times [1,2](-2,-3)+ 4\times [1,2](-3,3) + 4\times [1,2](3,-3) + [1,3](0,0) +{} \notag\\ &+ [3,1](-4,4)+ [\overline{3},1](4,-4) + 4\times [3,1](-3,-2) + 4\times [\overline{3},1](3,2) +{} \notag\\ &+ 6\times [3,1](2,-2) + 6\times [\overline{3},1](-2,2) + 4\times [3,1](1,4) + 4\times [\overline{3},1](-1,-4) +{} \notag\\ & + [3,2](0,-5)+ [\overline{3},2](0,5) + 4\times [3,2](-1,1) + 4\times [\overline{3},2](1,-1) +{} \notag \\ &+ [3,2](4,1) + [\overline{3},2](-4,-1)+ [8,1](0,0)|_{SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{157}
$$
Затем для всех слагаемых мы вычисляем заряды по отношению к $U_1$ подгруппе малой группы с помощью формулы (150):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 25\times\mathbf{[1,1](0)} + 5\times[1,1](1) +5\times\mathbf{[1,1](-1)} + [1,3](0) + 10\times\mathbf{[1,2](1/2)}+{} \notag\\ & + 10\times\mathbf{[1,2](-1/2)} +10\times \mathbf{[3,1](-1/3)} + 10\times[\overline{3},1](1/3) + 5\times \mathbf{[3,1](2/3)}+{} \notag\\ & + 5\times [\overline{3},1](-2/3) + 5\times [3,2](1/6) + 5\times \mathbf{[\overline{3},2](-1/6)} +[3,2](-5/6) +{} \notag\\ &+[\overline{3},2](5/6) + [8,1](0) |_{SU_3\times SU_2\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{158}
$$
где части, соответствующие киральным суперполям МССМ (включая хиггсы и правые нейтрино), указаны жирным шрифтом. Мы видим, что правая часть содержит слагаемые с квантовыми числами всех суперполей МССМ (включая правые нейтрино), а $U_1$-заряд действительно сопадает с гиперзарядом благодаря надлежащему выбору нормировочного множителя в формуле (150). Конечно, мы не обсуждаем здесь, какие поля остаются после различных нарушений симметрии и сколько представлений $248$ необходимо для построения МССМ (если это возможно). Здесь мы только демонстрируем, что имеется такой вариант для нарушения симметрии, что константы связи получающейся $SU_3\times SU_2\times U_1$ теории удовлетворяют стандартным условиям объединения (9). Конечно, более аккуратный анализ требует исследования квантовых поправок, которые существенно зависят от масштабов различных нарушений симметрии благодаря пороговым эффектам. Хотя эти эффекты меняют поведение бегущих констант связи, мы можем предположить, что все масштабы, появляющиеся в рассматриваемой цепочке нарушения симметрии, являются достаточно большими и близки друг к другу, так что объединение констант связи в суперсимметричном случае остается и на квантовом уровне. Тем не менее этот вопрос заслуживает отдельного детального изучения. 8.2.2. B-1-1-2. Вакуумные средние $27(-1)|_{E_6\times U_1}$, $16(-1)|_{SO_{10}\times U_1}$ и $10(4)|_{SU_5\times U_1}$Альтернативно нарушение симметрии $SU_5\times U_1 \to SU_3\times SU_2\times U_1$ может быть реализовано, если вакуумное среднее приобретает представление $10(4)$ (и/или $\overline{10}(-4)$), присутствующее в формуле (128). Его правило ветвления по отношению к $SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1$ подгруппе (148) имеет вид
$$
\begin{equation}
10(4)|_{SU_5\times U_1} = \mathbf{[1,1](4,6)} + [\overline{3},1](4,-4) + [3,2](4,1)|_{SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1}.
\end{equation}
\tag{159}
$$
Из этой формулы мы заключаем, что заряд по отношению к $U_1$-компоненте малой группы $SU_3\times SU_2\times U_1$ может быть записан как
$$
\begin{equation}
Q_1^{(Y)} = \frac{1}{30} (- 3 Q_1^{(5)} + 2 Q_2^{(5)}),
\end{equation}
\tag{160}
$$
где мы вновь выбираем нормировочный множитель таким образом, чтобы получающееся разложение представления $248$ содержало слагаемые с теми же значениями гиперзаряда, что и суперполя МССМ. Заряд (160) получается как собственное значение оператора
$$
\begin{equation}
\frac{1}{30} (- 3\cdot 2\sqrt{10} t_1^{(5)} +2 \cdot 2\sqrt{15} t|_{U_1\subset SU_5}) = \sqrt{\frac{2}{3}} \biggl(-\sqrt{\frac{3}{5}} t_1^{(5)} + \sqrt{\frac{2}{5}} t|_{U_1\subset SU_5} \biggr),
\end{equation}
\tag{161}
$$
где в скобках в правой части мы вновь выделяем оператор, нормированный так же, как и генераторы $SU_5$. Из формулы (161) мы заключаем, что константа связи для $U_1$-компоненты малой группы связана с $SU_5$ константой связи формулой Мы видим, что для этого варианта нарушения симметрии стандартные условия объединения (9) не выполняются. В частности, величина угла Вайнберга, предсказываемая в этом случае, равна а константы связи даются формулами
$$
\begin{equation}
\text{B-1-1-2:}\qquad \alpha_3 = \alpha_2 = \alpha_5,\qquad \alpha_1^{(Y)} = \frac{3}{2} \alpha_5.
\end{equation}
\tag{164}
$$
Вычисляя значения гиперзаряда (160) для всех слагаемых в формуле (157), мы получаем правило ветвления для $E_8$-представления $248$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 19\times\mathbf{[1,1](0)} + 8\times[1,1](1/2) +8\times[1,1](-1/2) + 12\times [1,2](0)+{} \notag\\ &+ 4\times\mathbf{[1,2](1/2)} + 4\times\mathbf{[1,2](-1/2)} + [1,3](0) +8\times [3,1](1/6) +{} \notag\\ &+ 8\times[\overline{3},1](-1/6) + 6\times \mathbf{[3,1](-1/3)} + 6\times [\overline{3},1](1/3) + \mathbf{[3,1](2/3)} +{} \notag\\ &+ [\overline{3},1](-2/3) + 2\times [3,2](-1/3) + 2\times [\overline{3},2](1/3) +4\times [3,2](1/6) +{} \notag \\ &+ 4\times \mathbf{[\overline{3},2](-1/6)} + [8,1](0)|_{SU_3\times SU_2\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{165}
$$
Вновь жирный шрифт указывает представления и гиперзаряды, необходимые для суперполей МССМ. Конечно, эти значения гиперзаряда были получены благодаря надлежащему выбору нормировочного множителя в формуле (160). Однако в этом случае отсутствуют слагаемые $[1,1](-1)$, соответствующие правым заряженным лептонам, так что этот вариант должен быть исключен. Наиболее похожее представление $[1,1](-1/2)$ имеет другое значение гиперзаряда. Детали нарушения симметрии для варианта B-1-1-2, рассмотренного здесь, суммируются в табл. 2. Таблица 2.Разбиение представления $248$ на неприводимые представления различных подгрупп и соответствующие константы связи для варианта B-1-1-2. В этом случае константы связи получающейся $SU_3\times SU_2\times U_1$ теории не удовлетворяют стандартному условию объединения (9), а окончательное правило ветвления не включает представление $[1,1](-1)$, необходимое для правых заряженных лептонов.
8.2.3. B-1-2-1. Вакуумные средние $27(-1)|_{E_6\times U_1}$, $16(3)|_{SO_{10}\times U_1}$ и $10(-2)|_{SU_5\times U_1}$Рассмотрим теперь вариант B-1-2. В соответствии с формулой (134) нарушение симметрии $SU_5\times U_1\to SU_3\times SU_2\times U_1$ может быть реализовано вакуумными средними либо представлений $10(-2)$ (и/или $\overline{10}(2)$), либо представлений $10(3)$ (и/или $\overline{10}(-3)$). Здесь мы опишем детали нарушения симметрии для первого варианта B-1-2-1. Правило ветвления для представления $10(-2)$ по отношению к $SU_3\times SU_2\times U_1 \times U_1 $ подгруппе (148) записывается как
$$
\begin{equation}
10(-2)|_{SU_5\times U_1} = \mathbf{[1,1](-2,6)} + [\overline{3},1](-2,-4) + [3,2](-2,1)|_{SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1}.
\end{equation}
\tag{166}
$$
Из этой формулы мы видим, что заряд, соответствующий $U_1$-компоненте малой группы $SU_3\times SU_2 \times U_1$, может быть выбран как
$$
\begin{equation}
Q_1^{(Y)} = -\frac{1}{30} (3 Q_1^{(5)} + Q_2^{(5)}),
\end{equation}
\tag{167}
$$
где нормировочный множитель обеспечивает обычные значения гиперзаряда для различных низкоэнергетических (супер)полей. Принимая во внимание, что в случае способа нарушения симметрии B-1-2 константа связи для $U_1$-компоненты $SU_5\times U_1$ есть видим, что теперь заряд $Q_1^{(5)}$ является собственным значением оператора $2\sqrt{15} t_1^{(5)}$. Как и в случае B-1-1, заряд $Q_2^{(5)}$ можно рассматривать как собственное значение оператора (152). Поэтому заряд $Q_1^{(Y)}$, определенный формулой (167), является собственным значением оператора
$$
\begin{equation}
-\frac{1}{30} (3 \cdot 2\sqrt{15} t_1^{(5)} + 2\sqrt{15} t|_{U_1\subset SU_5}) = \sqrt{\frac{2}{3}} \biggl(-\frac{3}{\sqrt{10}} t_1^{(5)} - \frac{1}{\sqrt{10}} t|_{U_1\subset SU_5}\biggr).
\end{equation}
\tag{169}
$$
Как и ранее, в правой части мы выделили оператор, нормированный так же, как и $SU_5$ генераторы. Поэтому константа связи для $U_1$-компоненты малой группы $SU_3\times SU_2\times U_1$ связана с $SU_5$ константой связи формулой Следовательно, в этом случае калибровочные константы связи низкоэнергетической $SU_3\times SU_2\times U_1$ теории принимают вид
$$
\begin{equation}
\text{B-1-2-1:}\qquad \alpha_3=\alpha_2 = \alpha_5,\qquad \alpha_1^{(Y)} = \frac{3}{2} \alpha_5
\end{equation}
\tag{171}
$$
и совпадают со значениями в варианте B-1-1-2. В частности, это означает, что $\sin^2\theta_\mathrm{W} =3/5$, и стандартное условие объединения (9) не выполняется. Чтобы получить правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе, мы начнем с разложения этого представления по $SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1$ подгруппе (148), которое может быть построено с помощью формул (134) и (144):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 13\times [1,1](0,0) + 2\times [1,1](3,6) + 2\times [1,1](-3,-6) + 3\times [1,1](-2,6)+{} \notag\\ &+ 3\times [1,1](2,-6) + 6\times [1,1](5,0) + 6\times [1,1](-5,0) + [1,2](-6,3) +{} \notag\\ &+[1,2](6,-3) + 3\times [1,2](4,3) + 3\times [1,2](-4,-3) + 6\times [1,2](-1,3) +{} \notag\\ &+ 6\times [1,2](1,-3) + [1,3](0,0) + 3\times [3,1](2,4) + 3\times [\overline{3},1](-2,-4) +{} \notag\\ &+ [3,1](-6,-2)+ [\overline{3},1](6,2) + 2\times [3,1](-3,4) + 2\times [\overline{3},1](3,-4) +{} \notag\\ &+ 3\times [3,1](4,-2) + 3\times [\overline{3},1](-4,2) + 6\times [3,1](-1,-2) + 6\times [\overline{3},1](1,2) +{} \notag\\ &+ [3,2](0,-5)+ [\overline{3},2](0,5) + 3\times [3,2](-2,1) + 3\times [\overline{3}\,,2](2,-1) +{} \notag \\ &+ 2\times [3,2](3,1)+ 2\times [\overline{3},2](-3,-1) + [8,1](0,0)|_{SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{172}
$$
Затем для всех слагаемых в этом выражении необходимо вычислить заряды по отношению к $U_1$-компоненте малой группы $SU_3\times SU_2\times U_1$, используя формулу (167). Тогда мы получаем разложение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 19\times\mathbf{[1,1](0)} + 8\times[1,1](1/2) +8\times[1,1](-1/2) + 12\times [1,2](0)+{} \notag\\ &+ 4\times\mathbf{[1,2](1/2)} + 4\times\mathbf{[1,2](-1/2)} + [1,3](0) +8\times [3,1](1/6) +{} \notag\\ &+ 8\times[\overline{3},1](-1/6) + 6\times \mathbf{[3,1](-1/3)} + 6\times [\overline{3},1](1/3) + \mathbf{[3,1](2/3)} +{} \notag\\ &+ [\overline{3},1](-2/3) + 2\times [3,2](-1/3) + 2\times [\overline{3},2](1/3) +4\times [3,2](1/6) +{} \notag \\ &+ 4\times \mathbf{[\overline{3},2](-1/6)} + [8,1](0)|_{SU_3\times SU_2\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{173}
$$
которое в точности совпадает с аналогичным разложением для варианта B-1-1-2. Поэтому оно не содержит представления $[1,1](-1)$, необходимого для правых заряженных лептонов, и не подходит для построения феноменологически приемлемой модели. Заметим, что хотя объединение калибровочных констант связи и окончательное правило ветвления для представления $248$ являются одинаковыми для вариантов B-1-1-2 и B-1-2-1, соответствующие цепочки нарушения симметрии различны. Однако в этой работе мы не обсуждаем состав частиц получающейся теории, который существенно зависит от таких деталей нарушения симметрии, которые здесь не рассматриваются. Например, необходимо представить лагранжиан теории и конкретизировать все скалярные поля, которые приобретают вакуумные средние. Поэтому, строго говоря, варианты B-1-1-2 и B-1-2-1 не эквивалентны, несмотря на совпадение формул для низкоэнергетической теории. Для случая B-1-2-1 детали нарушения симметрии (обсуждаемые в этой работе) собраны в табл. 3. Таблица 3.Разбиение представления $248$ на неприводимые представления различных подгрупп и соответствующие константы связи для варианта B-1-2-1. В этом случае условие объединения для калибровочных констант связи низкоэнергетической $SU_3\times SU_2\times U_1$ теории отличается от формулы (9), и представление $[1,1](-1)$ отсутствует в окончательном правиле ветвления. Получающиеся значения констант связи и окончательное правило ветвления для представления $248$ такие же, как и в варианте B-1-1-2.
8.2.4. B-1-2-2. Вакуумные средние $27(-1)|_{E_6\times U_1}$, $16(3)|_{SO_{10}\times U_1}$ и $10(3)|_{SU_5\times U_1}$Для этого случая $SU_5\times U_1$ симметрия нарушается до $SU_3\times SU_2\times U_1$ вакуумными средними представлений $10(3)$ (и/или $\overline{10}\,(-3)$), присутствующих в разложении (134). В соответствии с формулой (144) правило ветвления для представления $10(3)$ по отношению к подгруппе (148) записывается как
$$
\begin{equation}
10(3)|_{SU_5\times U_1} = \mathbf{[1,1](3,6)} + [\overline{3},1](3,-4) + [3,2](3,1)|_{SU_3\times SU_2\times U_1\times U_1}.
\end{equation}
\tag{174}
$$
Это означает, что заряд, соответствующий $U_1$-компоненте малой группы $SU_3\times SU_2\times U_1$, может быть выбран в виде где (как и в предыдущих случаях) множитель $1/30$ включен для того, чтобы получающееся разложение представления $248$ содержало стандартные значения гиперзаряда для различных суперполей МССМ. Как и в случае B-1-2-1, заряд малой группы $Q_1^{(Y)}$, даваемый формулой (175), получается как собственное значение оператора
$$
\begin{equation}
\frac{1}{30} (2 \cdot 2\sqrt{15} t_1^{(5)} - 2\sqrt{15} t|_{U_1\subset SU_5} ) =\frac{1}{\sqrt{3}} \biggl(\frac{2}{\sqrt{5}} t_1^{(5)} - \frac{1}{\sqrt{5}} t|_{U_1\subset SU_5}\biggr),
\end{equation}
\tag{176}
$$
где оператор справа в круглых скобках нормирован так же, как и генераторы группы $SU_5$. Поэтому калибровочная константа, соответствующая $U_1$-компоненте малой группы, дается выражением так что в рассматриваемом случае калибровочные константы связи низкоэнергетической теории могут быть выражены в терминах $SU_5$ константы связи как
$$
\begin{equation}
\text{B-1-2-2:}\qquad \alpha_3=\alpha_2 = \alpha_5,\qquad \alpha_1^{(Y)} = 3 \alpha_5.
\end{equation}
\tag{178}
$$
Это означает, что угол Вайнберга для цепочки нарушения симметрии B-1-2-2 составляет Таблица 4.Разбиение представления $248$ на неприводимые представления различных подгрупп и соответствующие константы связи для варианта B-1-2-2. В этом случае условие объединения для калибровочных констант связи низкоэнергетической $SU_3\times SU_2\times U_1$ теории отличается от формулы (9), и представления $[1,1](-1)$ и $[3,1](2/3)$ отсутствуют в окончательном правиле ветвления.
Вычисляя заряды для $U_1$-компоненты малой группы с помощью формулы (175) для всех слагаемых в формуле (172), мы получаем разложение $E_8$-представления $248$ по отношению к малой группе $SU_3\times SU_2\times U_1$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 248|_{E_8} ={}& 17\times\mathbf{[1,1](0)} + 9\times[1,1](1/3) + 9\times[1,1](-1/3) + \mathbf{[1,2](1/2)} +{} \notag\\ &+ \mathbf{[1,2](-1/2)} + 9\times [1,2](1/6) + 9\times [1,2](-1/6) + [1,3](0) + 9\times [3,1](0) +{} \notag\\ &+ 9\times[\overline 3,1](0)+ 3\times [3,1](1/3) + 3\times[\overline{3},1](-1/3) +3\times \mathbf{[3,1](-1/3)} +{} \notag\\ &+ 3\times[\overline{3},1](1/3) + 3\times [3,2](-1/6) + 3\times [\overline{3},2](1/6) + 3\times [3,2](1/6) +{} \notag\\ &+ 3\times \mathbf{[\overline{3},2](-1/6)} + [8,1](0)|_{SU_3\times SU_2\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{180}
$$
Мы видим, что это выражение не содержит все части, необходимые для различных суперполей МССМ. Множитель в формуле (175) был выбран таким образом, чтобы приведенное выше выражение содержало часть $[\overline{3},2](-1/6)$, соответствующую (зарядово-сопряженным) левым кваркам. Однако в этом случае представления $[1,1](-1)$ и $[3,1](2/3)$, необходимые для правых заряженных лептонов и правых верхних кварков соответственно, отсутствуют. Поэтому этот вариант нарушения симметрии также должен быть исключен. Детали нарушения симметрии для случая B-1-2-2 собраны в табл. 4. 8.2.5. B-2-1-1. Вакуумные средние $27(2)|_{E_6\times U_1}$, $16(1)|_{SO_{10}\times U_1}$ и $10(-2)|_{SU_5\times U_1}$Как мы упоминали выше, вариант B-2-1 приводит к тем же самым значениям $SU_5\times U_1$ констант связи и тому же самому правилу ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к $SU_5\times U_1$, что и вариант B-1-2. Поэтому последнее нарушение симметрии $SU_5\times U_1 \to SU_3\times SU_2 \times U_1$ теперь происходит точно тем же способом, что и для варианта B-1-2-1. Однако предыдущие нарушения симметрии $E_6\times U_1 \to SO_{10}\times U_1 \to SU_5\times U_1$ для вариантов B-2-1-1 и B-1-2-1 различны. Детали цепочки нарушения симметрии для варианта B-2-1-1 приведены в табл. 5. Мы видим, что в этом случае величины калибровочных констант связи для низкоэнергетической $SU_3\times SU_2 \times U_1$ теории не удовлетворяют стандартным условиям (9), а состав частиц не соответствует МССМ. Таблица 5.Разбиение представления $248$ на неприводимые представления различных подгрупп, возникающих в варианте нарушения симметрии B-2-1-1. Окончательное правило ветвления и окончательные значения констант связи являются такими же, как и в вариантах B-1-1-2 и B-1-2-1.
8.2.6. B-2-1-2. Вакуумные средние $27(2)|_{E_6\times U_1}$, $16(1)|_{SO_{10}\times U_1}$ и $10(3)|_{SU_5\times U_1}$Поскольку величины $SU_5\times U_1$ констант связи и правило ветвления для $E_8$-представления $248$ по отношению к $SU_5\times U_1$ являются одними и теми же для вариантов B-2-1 и B-1-2, в этом случае нарушение симметрии $SU_5\times U_1 \to SU_3\times SU_2\times U_1$ совпадает со случаем варианта B-1-2-2. Полная цепочка нарушения симметрии, включая величины констант связи и правила ветвления для представления $248$, описана в табл. 6. Вновь для этого варианта нарушения симметрии условия объединения отличаются от формулы (9), а состав частиц не соответствует МССМ. Таблица 6.Разбиение представления $248$ на неприводимые представления различных подгрупп, возникающих в варианте нарушения симметрии B-2-1-2. Окончательное правило ветвления и окончательные величины констант связи являются такими же, как и в варианте B-1-2-2.
9. ЗаключениеВ этой работе мы исследуем возможность построения ТВО на базе теории с калибровочной группой $E_8$, предполагая, что нарушение симметрии происходит за счет вакуумных средних полей, возникающих из представлений $248$ (без привлечения высших представлений). Это дает цепочку нарушения симметрии (8), в которой $U_1$ калибровочные преобразования на некотором шаге представляют собой нетривиальные комбинации $U_1$ преобразований и преобразований простой группы на предыдущем шаге. В частности, мы считаем, что все группы $U_1$ являются различными, и не рассматриваем варианты, когда какая-либо группа $U_1$ является подгруппой простой группы на предыдущем шаге. Один из таких вариантов возникает, например, если $SU_5$ симметрия нарушена вакуумным средним хиггсовского поля в присоединенном представлении $24$ до $SU_3\times SU_2\times U_1$, а $U_1$-множитель в $SU_5\times U_1$ нарушен $SU_5$ синглетом с нетривиальным $U_1$-зарядом. Все эти варианты также являются возможными и интересными, причем их число достаточно велико. Заметим, что хотя исходная $E_8$ теория является векторноподобной, похоже, что с помощью рассматриваемой цепочки нарушения симметрии возможно получить киральную низкоэнергетическую теорию, поскольку вакуумные средние приобретаются скалярными полями с нетривиальными $U_1$-зарядами. Это может создать асимметрию между сопряженными представлениями (которые всегда появляются симметрично в правилах ветвления представления $248$), так что нарушение четности может быть спонтанным, при условии, что построен надлежащий динамический механизм. Однако этот вопрос не рассматривался в этой работе. Здесь основной целью является исследование того, можно ли достигнуть стандартного объединения калибровочных констант связи, соответствующего $\alpha_3=\alpha_2$ и $\sin^2\theta_\mathrm{W}=3/8$ на масштабе объединения (которое, конечно, происходит при очень больших энергиях). В принципе это означает, что мы имеем дело с суперсимметричными теориями, поскольку только в суперсимметричном случае это объединение согласуется с экспериментальными данными [5]–[7]. Заметим, что присутствие нескольких масштабов нарушения симметрии, конечно, меняет эволюцию бегущих констант связи. Тем не менее, если все масштабы нарушения симметрии близки друг к другу, соответствующие поправки могут быть пренебрежимо малы и не влияют на объединение калибровочных констант. В этой работе мы не рассматриваем квантовые поправки и просто пытаемся найти такой способ нарушения симметрии, при котором калибровочные константы связи $SU_3\times SU_2\times U_1$ теории на классическом уровне связаны как $e_3=e_2=e_1^{(Y)}\sqrt{5/3}$. Было установлено, что рассматриваемая цепочка нарушения симметрии может быть реализована шестью различными способами. Только один из них (B-1-1-1) дает стандартные условия объединения (9). Замечательным образом оказалось, что только для этого варианта разложение представления $248$ содержит все части, требуемые для размещения суперполей МССМ. Интересно, что в этом варианте вакуумные средние приобретаются скалярными полями в представлениях 27 $E_6$, 16 $SO_{10}$ и $10$ $SU_5$ с наименьшими возможными модулями $U_1$-заряда. Вероятно, этот факт и сходство между всеми нарушениями симметрии означают существование определенного механизма для цепного нарушения симметрии, аналогичного предложенному в работе [132]. Заметим, что для его реализации недостаточно иметь только одно представление $248$, так что возможность использования (свободной от расходимостей) $\mathcal{N}=4$ суперсимметричной теории Янга–Миллса с калибровочной группой $E_8$ может быть рассмотрена. Приложение. Правила ветвления для фундаментального и присоединенного представлений $E_7$ по подгруппе $E_6\times U_1$Правила ветвления для представлений $E_7$ по подгруппе $E_6\times U_1$, представленные в работе [17], не содержат $U_1$-зарядов. Поэтому здесь мы обсуждаем, как эти заряды могут быть найдены и вычисляем их для двух интересующих нас низших представлений $E_7$. В соответствии с [17] группа $E_7$ содержит подгруппу $SO_{12}\times SO_3$. В свою очередь, группа $SO_{12}$ содержит подгруппу $SO_{10}\times U_1$, так что мы получаем вложение
$$
\begin{equation}
E_7 \supset SO_{12}\times SO_3 \supset (SO_{10}\times \underbrace{U_1}_{\gamma_2}) \times \underbrace{U_1}_{\gamma_1},
\end{equation}
\tag{П.1}
$$
где $\gamma_1$ и $\gamma_2$ – вещественные параметры соответствующих $U_1$-преобразований. $E_7$-правила ветвления для представлений $56$ и $133$ по отношению к подгруппе $SO_{12}\times SO_3$ даются формулой (32). $SO_{12}$ правила ветвления по подгруппе $SO_{10}\times U_1$ также можно найти в работе [17]; они имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 12|_{SO_{12}} &= 1(2) + 1(-2) + 10(0)|_{SO_{10}\times U_1},\\ 32|_{SO_{12}} &= 16(1) + \overline{16}(-1)|_{SO_{10}\times U_1},\\ 32'|_{SO_{12}} &= 16(-1) + \overline{16}(1)|_{SO_{10}\times U_1},\\ 66|_{SO_{12}}&= 1(0) + 10(2) + 10(-2) + 45(0)|_{SO_{10}\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.2}
$$
где числа в скобках представляют собой заряды по отношению к группе $U_1$, параметризуемой $\gamma_2$. $U_1$-заряды различных частей $SO_3$ представлений также могут быть легко найдены из теории углового момента. Принимая во внимание, что $2J_3$ пробегает значения от $-2J$ до $2J$ с шагом 2, и используя формулы (32) и (П.2), мы заключаем, что фундаментальное и присоединенное $E_7$-представления разлагаются по неприводимым представлениям подгруппы (П.1) в соответствии с правилами ветвления
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 56|_{E_7} &= [12,2] + [32,1]|_{SO_{12}\times SO_3} = 1(1,2) + 1(-1,2) + 1(1,-2) + 1(-1,-2) +{} \\ &\quad+ 10(1,0) + 10(-1,0) + 16(0,1) + \overline{16}(0,-1)|_{SO_{10}\times U_1\times U_1},\\ 133|_{E_7} &= [1,3] + [66,1] + [32',2]|_{SO_{12}\times SO_3} = 1(2,0) + 1(0,0) + 1(-2,0) +{} \\ &\quad+ 1(0,0) + 10(0,2)+ 10(0,-2) + 45(0,0) + 16(1,-1) + \overline{16}(1,1) +{} \\ &\quad+ 16(-1,-1)+ \overline{16}(-1,1) |_{SO_{10}\times U_1\times U_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.3}
$$
Здесь первое число в круглых скобках представляет собой заряд $Q_{\gamma_1}$, соответствующий подгруппе $U_1$, параметризуемой $\gamma_1$, а второе число – заряд $Q_{\gamma_2}$, соответствующий подгруппе $U_1$, параметризуемой$\gamma_2$. С другой стороны, в соответствии с [17] группа $E_7$ содержит подгруппу $E_6\times U_1$, а группа $E_6$ содержит подгруппу $SO_{10}\times U_1$. Поэтому мы получаем другое вложение:
$$
\begin{equation}
E_7 \supset E_6\times \underbrace{U_1}_{\delta_1} \supset (SO_{10}\times \underbrace{U_1}_{\delta_2}) \times \underbrace{U_1}_{\delta_1},
\end{equation}
\tag{П.4}
$$
где параметры групп $U_1$ обозначены через $\delta_1$ и $\delta_2$. Правила ветвления для $E_7$-представлений $56$ и $133$ по подгруппе $E_6$ приведены в работе [17] и являются довольно очевидными. Однако не так тривиально найти соответствующие $U_1$-заряды. С этой целью мы предположим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 56|_{E_7} &= 27(1) + \overline{27}(-1) + 1(x_1) + 1(-x_1)|_{E_6\times U_1},\\ 133|_{E_7} &= 1(x_2) + 27(x_3) + \overline{27}(-x_3) + 78(x_4)|_{E_6\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.5}
$$
где в скобках мы записываем заряд, соответствующий подгруппе $U_1$, параметризуемой $\delta_1$, а константы $x_i$ подлежат вычислению. ($U_1$-заряд $E_6$-представления $27$ в первой формуле может быть выбран произвольным образом. Полагая его равным единице, мы просто задаем его нормировку.) Используя формулу (63), мы получаем правила ветвления по подгруппе (П.4) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 56|_{E_7} &= 1(1,4) +10(1,-2) +16(1,1) + 1(-1,-4) + 10(-1,2) + \overline{16}(-1,-1) +{} \\ &\quad+ 1(x_1,0) + 1(-x_1,0)|_{SO_{10}\times U_1\times U_1},\\ 133|_{E_7} &= 1(x_2,0) + 1(x_3,4) + 10(x_3,-2) + 16(x_3,1) + 1(-x_3,-4) + 10(-x_3,2)+{} \\ &\quad +\overline{16}(-x_3,-1) + 1(x_4,0) + 16(x_4,-3) + \overline{16}(x_4,3) + 45(x_4,0)|_{SO_{10}\times U_1\times U_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.6}
$$
где числа в скобках представляют собой заряды $Q_{\delta_1}$ и $Q_{\delta_2}$ по отношению к группам $U_1$, параметризуемым $\delta_1$ и $\delta_2$ соответственно. Сравнивая формулы (П.3) и (П.6), мы видим, что (как и ожидалось) $SO_{10}$ представления совпадают, но их $U_1$-заряды различны. Дело в том, что подгруппы $U_1$, параметризуемые $\gamma_{1,2}$ и $\delta_{1,2}$, являются различными. Однако $U_1$-заряды совпадут, если мы сделаем отождествление
$$
\begin{equation}
\begin{cases} Q_{\delta_1} = Q_{\gamma_1} + Q_{\gamma_2},\\ Q_{\delta_2} = -2 Q_{\gamma_1} + Q_{\gamma_2}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{П.7}
$$
Это означает, что при $U_1\times U_1$ преобразованиях поле $\varphi$ меняется как
$$
\begin{equation}
\varphi \to \exp(iQ_{\delta_1} \delta_1 + i Q_{\delta_2}\delta_2)\varphi = \exp(i Q_{\gamma_1} (\delta_1 - 2 \delta_2) + iQ_{\gamma_2}(\delta_1 + \delta_2))\varphi,
\end{equation}
\tag{П.8}
$$
так что параметры $U_1\times U_1$ подгрупп в (П.1) и (П.4) связаны как
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \gamma_1 = \delta_1 -2\delta_2,\\ \gamma_2 = \delta_1 + \delta_2, \end{cases} \qquad\qquad \begin{cases} \delta_1 = \dfrac{\gamma_1 + 2\gamma_2}{3}, \\ \delta_2 = \dfrac{-\gamma_1 + \gamma_2}{3}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{П.9}
$$
Используя формулу (П.7) и сравнивая формулы (П.3) и (П.6), мы получаем Подставляя эти значения в формулы (П.5), мы получаем требуемые разложения
$$
\begin{equation}
56|_{E_7} = 27(1) + \overline{27}(-1) + 1(3) + 1(-3)|_{E_6\times U_1},
\end{equation}
\tag{П.11}
$$
$$
\begin{equation}
133|_{E_7} = 1(0) + 27(-2) + \overline{27}(2) + 78(0)|_{E_6\times U_1},
\end{equation}
\tag{П.12}
$$
которые совпадают с правилами (70). БлагодарностиАвтор очень благодарен профессору К. Пателу и профессору Р. Маджи за указание некоторых важных ссылок. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ste24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|