| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Базисы, межбазисные разложения в обобщенной задаче МИК–Кеплера в непрерывном спектре и задача рассеяния Л. Г. Мардоянab a Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия b Ереванский государственный университет, Ереван, Армения
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792311003X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ работе [1] нами была предложена модель минимально суперинтегрируемой системы, описываемой гамильтонианом
$$
\begin{equation}
\widehat{H}=\frac{1}{2}(-i\vec{\nabla} -s\vec{A}\,)^2 +\frac{s^2}{2r^2}-\frac{\alpha}{r}+ \frac{c_1}{r(r+z)} +\frac{c_2}{r(r-z)},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где ${c_1}$ и ${c_2}$ – неотрицательные постоянные. Эту модель мы назвали обобщенной задачей МИК–Кеплера. В этой работе мы используем систему единиц, в которой $\hbar=m=e=c=1$. Суперинтегрируемая система МИК–Кеплера была построена Цванзигером [2], а потом заново открыта МакИнтошем и Кизнеросом [3]. Эта система описывается гамильтонианом
$$
\begin{equation}
\widehat{H}_{0}=\frac{1}{2}(-i\vec{\nabla} -s\vec{A}\,)^2 +\frac{s^2}{2r^2}-\frac{\alpha}{r},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\vec{A}=\frac{1}{r(r-z)}(y,-x,0), \qquad \operatorname{rot}\vec{A}=\frac{\vec{r}}{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отличительной особенностью этой системы является кулоновская скрытая симметрия, определяемая следующими интегралами движения:
$$
\begin{equation}
\widehat{\!\!\vec{J}}=\vec{r}\times(-i\vec{\nabla} -s\vec{A}\,)-s\frac{\vec{r}}{r},
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat{\!\!\vec{I}}=\frac{1}{2}[(-i\vec{\nabla} -s\vec{A}\,)\times\, \widehat{\!\!\vec{J}}\, -\, \widehat{\!\!\vec{J}}\,\times(-i\vec{\nabla} -s\vec{A}\,)] + \alpha\frac{\vec{r}}{r}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Здесь оператор $\widehat{\kern-4pt\vec{J}}$ определяет угловой момент системы, а оператор $\widehat{\!\!\vec{I}}$ является аналогом вектора Рунге–Ленца. Эти интегралы движения вместе с гамильтонианом образуют квадратичную алгебру симметрии кулоновской задачи. Для фиксированных отрицательных значений энергии интегралы движения составляют алгебру $so(4)$, а для положительных значений энергии – алгебру $so(3,1)$. В силу скрытой симметрии задача МИК–Кеплера факторизуется не только в сферических и параболических координатах, а также в вытянутых сфероидальных координатах. Таким образом, система МИК–Кеплера является естественным обобщением кулоновской задачи при наличии монополя Дирака. Монопольное число $s$ удовлетворяет правилу дираковского квантования заряда $s=0, \pm 1/2, \pm 1,\dots$ . Система МИК–Кеплера может быть построена путем редукции четырехмерного изотропного осциллятора с использованием так называемого преобразования Кустаанхеймо–Штифеля [4] как на классическом, так и на квантовом уровне [5]–[7]. Для целых значений $s$ система МИК–Кеплера описывает относительное движение двух дираковских дионов (заряженных магнитных монополей), в котором вектор $\vec r$ определяет положение второго диона относительно первого [2]. Для полуцелого $s$ предполагается наличие магнитного поля соленоида, придающего системе спин $1/2$ [8], [9]. Гамильтониан (1) при $s=0$ и $c_i \neq 0$, $i=1,2$, переходит в гамильтониан обобщенной системы Кеплера–Кулона [10]
$$
\begin{equation}
\widehat{H}=\frac{1}{2}\Delta-\frac{\alpha}{r}+ \frac{c_1}{r(r+z)} +\frac{c_2}{r(r-z)}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Потенциальная энергия
$$
\begin{equation}
V=-\frac{\alpha}{r}+ \frac{c_1}{r(r+z)} +\frac{c_2}{r(r-z)}
\end{equation}
\tag{6}
$$
является одним из потенциалов типа Смородинского–Винтерница [11]. Потенциалы типа Смородинского–Винтерница были заново исследованы в 1990 г. Эвансом [12]. В случае, когда $c_1=c_2$, потенциал (6) сводится к потенциалу Хартманна, который использовался для описания аксиально-симметричных систем, подобных кольцеобразным молекулам [13]. Наконец, при $s=c_1=c_2=0$ мы приходим к обычной задаче Кеплера–Кулона. Также следует отметить, что переменные в уравнении Шредингера для обобщенной задачи МИК–Кеплера разделяются не только в сферических и параболических координатах [1], но также и в вытянутых сфероидальных координатах [14]. В работе [15] показано, что обобщенная система МИК–Кеплера и четырехмерный двойной сингулярный осциллятор дуальны друг другу, а преобразованием дуальности является обобщенная версия преобразования Кустаанхеймо–Штифеля. В работах [16] построены квадратичные алгебры как для обобщенной задачи МИК–Кеплера, так и для дуальной ей задачи четырехмерного двойного сингулярного осциллятора. Настоящая статья пострена следующим образом. В разделах 2, 3 получены волновые функции обобщенной системы МИК–Кеплера для непрерывного спектра в сферических и параболических координатах. В разделах 4, 5 решена задача межбазисных разложений для обобщенной системы МИК–Кеплера в непрерывном спектре. В разделе 6 рассмотрена квантово-механическая задача рассеяния в обобщенной системе МИК–Кеплера, получено выражение для амплитуды рассеяния и вычислено значение сечения рассеяния, обобщающее формулу в случае рассеяния заряженных частиц в поле диона [17]. 2. Сферический базисРешение уравнения Шредингера с гамильтонианом (1) в сферических координатах
$$
\begin{equation}
x=r\sin\theta \cos\varphi, \qquad y=r\sin\theta \sin\varphi, \qquad z=r\cos\theta
\end{equation}
\tag{7}
$$
ищем в виде Эта задача сводится к нахождению собственных функций системы коммутирующих операторов $\{\widehat{H}, \widehat{J}_{z}, \widehat{M}\}$, где интеграл движения $\widehat{M}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\widehat{M}=\widehat{J}^{\,2}+\frac{2c_1}{1+\cos\theta}+\frac{2c_1}{1-\cos\theta},
\end{equation}
\tag{9}
$$
$\widehat{J}^{\,2}$ – квадрат углового момента (3), $\widehat{J}_{z}=s-i\partial/\partial\varphi$ – его $z$-компонента, $\widehat{J}_{z}\psi=m\psi$. После подстановки выражения (8) переменные в уравнении Шредингера разделяются, и мы приходим к следующей системе связанных дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta} \biggl(\sin\theta \frac{\partial Z}{\partial\theta}\biggr)+ \frac{1}{4\cos^2(\theta/2)}\biggl(\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}-4c_1\biggr)Z +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \frac{1}{4\sin^2(\theta/2)}\biggl[\biggl(\frac{\partial}{\partial \varphi}+2is\biggr)^2-4c_2\biggr]Z=-AZ,
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \biggl(r^2\frac{dR}{dr}\biggr)-\frac{A}{r^2}R + 2\biggl(E+\frac{\alpha}{r}\biggr)R=0,
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $A$ – постоянная разделения в сферических координатах. Нормированное условием
$$
\begin{equation}
\int_{0}^{\pi} \sin\theta \,d\theta \int_{0}^{2\pi} Z^{(s)}_{jm}(\theta, \varphi;\delta_1,\delta_2) Z^{(s)*}_{j'm'}(\theta, \varphi;\delta_1,\delta_2)\,d\varphi = \delta_{jj'}\, \delta_{mm'}
\end{equation}
\tag{12}
$$
решение уравнения (10) имеет вид [1]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Z^{(s)}_{jm}(\theta, \varphi;\delta_1,\delta_2) ={}&N_{jm}^{(s)}(\delta_1,\delta_2)(1+\cos\theta)^{m_1/2} (1-\cos\theta)^{m_2/2}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times P^{(m_2,m_1)}_{j-m_{+}}(\cos\theta)\frac{e^{i(m-s)\varphi}}{\sqrt{2\pi}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $m_1=|m-s|+\delta_1=\sqrt{(m-s)^2+4c_1}$, $m_2=|m+s|+\delta_2=\sqrt{(m+s)^2+4c_2}$, $m_{+}=(|m+s|+|m-s|)/2$, $P^{(a,b)}_{n}(x)$ – полином Якоби, а постоянная нормировки с точностью до фазового множителя дается выражением
$$
\begin{equation}
N_{jm}^{(s)}(\delta_1,\delta_2)= \sqrt{\frac{(2j+\delta_1+\delta_2+1)(j-m_{+})! \, \Gamma(j+m_{+}+\delta_1+\delta_2+1)} {2^{2m_{+}+\delta_1+\delta_2+1} \Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1) \Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1)}},
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $m_{-}=(|m+s|-|m-s|)/2$. Квантовые числа $m$ и $j$ пробегают следующие значения: $m=-j,-j+1,\ldots,j-1,j$, $j=m_{+}, m_{+}+1,\dots$ . Квантовые числа $j$ и $m$ характеризуют полный импульс и его проекцию на ось $z$. Для (полу)целых $s$ числа $j$, $m$ являются (полу)целыми. Кроме того, сферическая постоянная разделения $A$ квантуется и имеет вид
$$
\begin{equation*}
A=\biggl(j+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}\biggr)\biggl(j+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}+1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Угловую волновую функцию $Z^{(s)}_{jm}$ назовем кольцеобразными монопольными гармониками Тамма по аналогии с термином “монопольные гармоники”, которые были изучены Таммом [18]. Кольцеобразные монопольные гармоники Тамма обобщают функции, изученные Хартманном [13] в случае $s=0$, $\delta_1=\delta_2$. Пользуясь связью между полиномами Якоби и Гегенбауэра [19]
$$
\begin{equation*}
\biggl(\lambda+\frac{1}{2}\biggr)_{n}C^{\lambda}_{n}(x)=(2\lambda)_{n} P^{(\lambda-1/2, \lambda-1/2)}_{n}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где – символ Похгаммера, при $s=0$, $\delta_1=\delta_2=\delta$ получим формулу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Z^{(0)}_{jm}(\theta, \varphi;\delta,\delta) ={}&2^{|m|+\delta}\Gamma\biggl(|m|+\delta +\frac{1}{2}\biggr) \sqrt{\frac{(2j+2\delta +1)(j-|m|)!}{4\pi^2\Gamma(j+|m|+2\delta +1)}}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\times(\sin\theta)^{|m|+\delta}C^{|m|+\delta +1/2}_{j-|m|}(\cos\theta) e^{im\varphi}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
которая с точностью до фазового множителя совпадает с результатом, полученным в работе [20]. В случае $\delta=0$, т. е. $c_1=c_2=0$, с помощью формулы, связывающей полиномы Гегенбауэра и Лежандра [19],
$$
\begin{equation*}
P^{|m|}_{j}(x)=\frac{(-2)^{|m|+\delta}}{\sqrt{\pi}}\,\Gamma\biggl(|m|+\frac{1}{2}\biggr) (1-x^2)^{|m|/2}C^{|m|+1/2}_{j-|m|}(x),
\end{equation*}
\notag
$$
соотношение (15) можно свести к выражению
$$
\begin{equation*}
Z^{(0)}_{jm}(\theta, \varphi;0,0)= \sqrt{\frac{(2j+1)(j-|m|)!}{4\pi (j+|m|)!}}\, P^{|m|}_{j}(\cos\theta)\, e^{im\varphi},
\end{equation*}
\notag
$$
которое с точностью до фазового множителя совпадает с обычной сферической функцией $Y_{lm}(\theta, \varphi)$. Решение радиального уравнения (10) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^{(s)}_{kj}(r; \delta_1, \delta_2)={}&C^{(s)}_{kj}(\delta_1, \delta_2)\frac{(2ikr)^{j+(\delta_1+ \delta_2)/2}}{\Gamma(2j+\delta_1+ \delta_2+2)}\, e^{-ikr} \times \notag \\ &\times F\biggl(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{k}; 2j+\delta_1+ \delta_2+2; 2ikr\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $F(\alpha; \gamma; z)$ – вырожденная гипергеометрическая функция, $k=\sqrt{2E}$. Далее, пользуясь представлением вырожденной гипергеометрической функции [21]
$$
\begin{equation}
F(\alpha; \gamma; z)=\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma - \alpha)}(-z)^{-\alpha}G(\alpha; \alpha-\gamma+1; -z)+ \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}e^{z}z^{\alpha-\gamma}G(\gamma-\alpha; 1-\alpha; z),
\end{equation}
\tag{17}
$$
где
$$
\begin{equation*}
G(\alpha; \gamma; z) = 1+\frac{\alpha \gamma}{1!\, z} + \frac{\alpha (\alpha+1)\gamma (\gamma+1)}{2! \,z^2}+ \cdots,
\end{equation*}
\notag
$$
для радиальной волновой функции (16) получим асимптотическое выражение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^{(s)}_{kj}(r; \delta_1, \delta_2)={}& C^{(s)}_{kj}(\delta_1, \delta_2)\frac{e^{-\pi \alpha/2k}}{kr}\times{} \notag \\ &\times \operatorname{Re} \biggl\{\frac{\exp\left(-i\left[kr +\frac{\alpha}{k}\ln2kr + \frac{\pi}{2}\left(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1\right) \right]\right)}{\Gamma\left(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k}\right)}\times{} \notag \\ &\times G\biggl(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{k}; i\frac{\alpha}{k}-j-\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}; -2ikr\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Если радиальную волновую функцию нормировать условием
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty} r^2 R^{(s)}_{kj}(r; \delta_1, \delta_2)R^{(s)*}_{k'j}(r; \delta_1, \delta_2)\, dr =2\pi\delta(k-k'),
\end{equation*}
\notag
$$
то постоянная нормировки $C^{(s)}_{kj}(\delta_1, \delta_2)$ равна
$$
\begin{equation}
C^{(s)}_{kj}(\delta_1, \delta_2)=2k e^{\pi \alpha/2k}\,\biggl|\Gamma\biggl(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k}\biggr)\biggr|.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Теперь в формуле (18), устремляя $r$ к $\infty$ и ограничиваясь первым членом разложения, для радиальной волновой функции $R^{(s)}_{kj}(r; \delta_1, \delta_2)$ получим следующий асимптотический вид:
$$
\begin{equation*}
R^{(s)}_{kj}(r; \delta_1, \delta_2)\approx \frac{2}{r} \sin\biggl[kr +\frac{\alpha}{k}\ln2kr + \frac{\pi}{2}\biggl(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}\biggr)+\delta_{j}\biggr],
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\delta_{j}=\arg \Gamma\biggl(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
3. Параболический базисВ параболических координатах $\xi, \eta \in [0, \infty)$, $\varphi \in [0, 2\pi)$, которые определяются формулами
$$
\begin{equation*}
x = \sqrt{\xi \eta}\cos\varphi, \qquad y = \sqrt{\xi \eta}\sin\varphi, \qquad z=\frac{1}{2}(\xi - \eta),
\end{equation*}
\notag
$$
дифференциальный элемент объема и оператор Лапласа имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, dV =\frac{1}{4}(\xi + \eta)\,d\xi\, d\eta\, d\varphi, \\ \Delta = \frac{4}{\xi + \eta}\biggl[\frac{\partial}{\partial \xi}\biggl(\xi\frac{\partial}{\partial \xi}\biggr)+ \frac{\partial}{\partial \eta}\biggl(\eta\frac{\partial}{\partial \eta}\biggr)\biggr] + \frac{1}{\xi \eta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
После подстановки
$$
\begin{equation*}
\psi(\xi, \eta, \varphi) = \Phi_1(\xi) \Phi_2(\eta) \frac{e^{i(m-s)\varphi}}{\sqrt{2\pi}}
\end{equation*}
\notag
$$
переменные в уравнении Шредингера для гамильтонина (1) разделяются, и мы приходим к системе дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d}{d\xi}\biggl(\xi\frac{d\Phi_1}{d\xi}\biggr)+\biggl(\frac{k^2}{4}\xi - \frac{m_1^2}{4\xi} +\frac{1}{2}\beta + \frac{\alpha}{2}\biggr)\Phi_1&=0, \\ \frac{d}{d\eta}\biggl(\eta\frac{d\Phi_2}{d\eta}\biggr)+\biggl(\frac{k^2}{4}\eta - \frac{m_2^2}{4\eta} -\frac{1}{2}\beta + \frac{\alpha}{2}\biggr)\Phi_2&=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $\beta$ – постоянная разделения. Решения уравнений (20) ищем в виде
$$
\begin{equation*}
\Phi_1(x_1)=e^{-x_1/2}x_1^{m_1/2}f_1(x_1), \qquad \Phi_2(x_2)=e^{-x_2/2}x_2^{m_2/2}f_2(x_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_1=ik \xi$, $x_2=ik \eta$, $k=\sqrt{2E}$. Тогда для функций $f_1$ и $f_2$ получим уравнения вырожденных гипергеометрических функций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, x_1\frac{d^2f_1}{dx_1^2}+(m_1+1-x_1)\frac{df_1}{dx_1}-\biggl(\frac{m_1+1}{2} +i\frac{\beta}{2k} + i\frac{\alpha}{2k}\biggr)f_1&=0, \\ x_2\frac{d^2f_2}{dx_2^2}+(m_2+1-x_2)\frac{df_2}{dx_2}-\biggl(\frac{m_2+1}{2} -i\frac{\beta}{2k} + i\frac{\alpha}{2k}\biggr)f_2&=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нормированный условием
$$
\begin{equation*}
\int \psi^{(s)}_{k \beta m}(\xi, \eta, \varphi; \delta_1, \delta_2) \psi^{(s)*}_{k' \beta' m'}(\xi, \eta, \varphi; \delta_1, \delta_2)\, dV = 4\pi \delta (k-k') \delta (\beta-\beta') \delta_{mm'}
\end{equation*}
\notag
$$
параболический базис имеет вид
$$
\begin{equation}
\psi^{(s)}_{k \beta m}(\xi, \eta, \varphi; \delta_1, \delta_2) = C^{(s)}_{k \beta m}(\delta_1, \delta_2)\Phi^{(s)}_{k \beta m_1}(\xi) \Phi^{(s)}_{k, -\beta, m_2}(\eta) \frac{e^{i(m-s)\varphi}}{\sqrt{2\pi}},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Phi^{(s)}_{k \beta q}(x)= e^{-ikx/2}\frac{(ikx)^{q/2}}{\Gamma(q+1)}\, F\biggl(\frac{q+1}{2}+i\frac{\alpha}{2k}+i\frac{\beta}{2k}; q+1; ikx\biggr),
\end{equation}
\tag{22}
$$
а постоянная нормировки равна
$$
\begin{equation}
C^{(s)}_{k \beta m}(\delta_1, \delta_2) = \sqrt{\frac{k}{2\pi}}\,e^{\pi \alpha/2k} \biggl|\Gamma\biggl(\frac{m_1+1}{2}-i\frac{\alpha}{2k}-i\frac{\beta}{2k}\biggr) \Gamma\biggl(\frac{m_2+1}{2}-i\frac{\alpha}{2k}+i\frac{\beta}{2k}\biggr)\biggr|.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Отметим, что при вычислении нормировочного множителя (23) мы использовали асимптотическое представление вырожденной гипергеометрической функции (17). Исключая из уравнений (20) энергию $E$, получаем дополнительный интеграл движения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{X}={}&\frac{2}{\xi + \eta}\biggl[\xi\frac{\partial}{\partial \eta}\biggl(\eta\frac{\partial}{\partial \eta}\biggr) -\eta\frac{\partial}{\partial \xi}\biggl(\xi\frac{\partial}{\partial \xi}\biggr)\biggr]+ \frac{\xi - \eta}{2\xi \eta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} + is\frac{\xi^2 + \eta^2}{\xi \eta(\xi + \eta)}\frac{\partial}{\partial \varphi}-{} \\ &- s^2\frac{\xi - \eta}{2\xi \eta} + \frac{2c_1\eta}{\xi (\xi + \eta)}- \frac{2c_2\xi}{\eta (\xi + \eta)}+\frac{\xi - \eta}{\xi + \eta} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с собственными значениями $\beta$ и собственными функциями $\psi^{(s)}_{k \beta m}(\xi, \eta, \varphi; \delta_1, \delta_2)$. В декартовых координатах оператор $\widehat{X}$ можно переписать как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{X}={}&z\biggl(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\biggr) -x\frac{\partial^2}{\partial x\, \partial z} -y\frac{\partial^2}{\partial y\, \partial z} +is\frac{r + z}{r(r - z)}\biggl(x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\biggr)- \frac{\partial}{\partial z} -{} \\ &- s^2\frac{r+ z}{r(r-z)}+ c_1 \frac{r-z}{r(r+z)}- c_2 \frac{r-z}{r(r+z)}+\frac{z}{r}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
откуда следует, что $\widehat{X}$ связан с $z$-компонентой аналога вектора Рунге–Ленца $\widehat{I}_{z}$ (4)
$$
\begin{equation*}
\widehat{X} = \widehat{I}_{z} + c_1 \frac{r-z}{r(r+z)}- c_2 \frac{r-z}{r(r+z)}
\end{equation*}
\notag
$$
и совпадает с $\widehat{I}_{z}$, когда $c_1=c_2=0$. Таким образом, мы решили спектральную задачу
$$
\begin{equation*}
\widehat{H}\psi = E\psi, \qquad \widehat{X}\psi = \beta \psi, \qquad \widehat{J_{z}}\psi = m \psi
\end{equation*}
\notag
$$
для обобщенной задачи МИК–Кеплера в параболических координатах.
4. Разложение параболического базиса по сферическомуИскомое разложение при фиксированных значениях энергии запишем в виде
$$
\begin{equation}
\psi^{(s)}_{k\beta m}(\xi, \eta, \varphi; \delta_1, \delta_2)= \sum_{j=m_{+}}^{\infty} W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) \psi^{(s)}_{k j m}(r, \theta, \varphi; \delta_1, \delta_2).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Умножая обе части разложения (24) на $\sin\theta\, Z^{(s)}_{j' m}(\theta, \varphi; \delta_1, \delta_2)$, проинтегрируем по углу $\theta$ и используем условие ортонормировки (12). Далее, представим вырожденные гипергеометрические функции, входящие в параболический базис, в виде рядов
$$
\begin{equation*}
F(\alpha; \gamma; z) = \sum_{s=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{s} z^{s}}{s! (\gamma)_{s}}
\end{equation*}
\notag
$$
и перейдем от параболических координат к сферическим согласно соотношениям
$$
\begin{equation}
\xi = r (1+ \cos\theta), \qquad \eta = r (1- \cos\theta).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Тогда вместо (24) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) F\biggl(j+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{k}; 2j+\delta_1+ \delta_2+2; 2ikr\biggr)= \frac{N^{(s)}_{jm}(\delta_1, \delta_2)}{2^{j+(\delta_1+ \delta_2)/2}} \times{} \notag \\ &\times \frac{\Gamma(2j+\delta_1+ \delta_2+2)}{\Gamma(m_1+1)\Gamma(m_2+1)} \frac{C^{(s)}_{k\beta m}(\delta_1, \delta_2)}{C^{(s)}_{k j}(\delta_1, \delta_2)} \sum_{p=0}^{\infty}\sum_{t=0}^{\infty} \frac{(u)_{p}(v)_{t}}{p! \, t!}\frac{(ikr)^{p+t-j+m_{+}}}{(m_1+1)_{p} (m_2+1)_{t}}Q^{pt}_{jms}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, u = \frac{m_1+1}{2}+i\frac{\alpha}{2k} + i\frac{\beta}{2k}, \qquad v = \frac{m_2+1}{2}+i\frac{\alpha}{2k} - i\frac{\beta}{2k}, \\ Q^{pt}_{jms}=\int_{0}^{\pi} \sin\theta (1+ \cos\theta)^{p+m_1} (1- \cos\theta)^{t+m_2} P^{(m_1, m_2)}_{j-m_{+}}(\cos\theta)\,d\theta. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь формулой Родрига для полиномов Якоби [19]
$$
\begin{equation*}
P^{(a, b)}_{n}(x) = \frac{(-1)^{n}}{2^{n}n!}(1-x)^{-a}(1+x)^{-b} \frac{d^{n}}{dx^{n}}[(1-x)^{a+n}(1+x)^{b+n}]
\end{equation*}
\notag
$$
и последовательно интегрируя по частям $j-m_{+}$ раз, убеждаемся в том, что интеграл отличен от нуля только при условии $p+t-j+m_{+} \geqslant 0$, и поэтому все члены ряда (26) содержат $r$ в неотрицательной степени, так что в пределе $r\to 0$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) ={}& \frac{N^{(s)}_{jm}(\delta_1, \delta_2)}{2^{j+(\delta_1+ \delta_2)/2}} \frac{\Gamma(2j+\delta_1+ \delta_2+2)}{\Gamma(m_1+1)\Gamma(m_2+1)} \times{} \notag \\ &\times \frac{C^{(s)}_{k\beta m}(\delta_1, \delta_2)}{C^{(s)}_{k j}(\delta_1, \delta_2)} \sum_{p=0}^{j-m_{+}} \frac{(u)_{p}(v)_{j-m_{+}-p}}{p! \, (j-m_{+}-p)!}\frac{Q^{p,j-m_{+}-p}_{jms}}{(m_1+1)_{p} (m_2+1)_{j-m_{+}-p}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Интеграл $Q^{pt}_{jms}$ при $t=j-m_{+}-p$ переходит в замкнутое выражение
$$
\begin{equation*}
Q^{p,j-m_{+}-p}_{jms} =(-1)^{j-m_{+}-p}\, 2^{j+m_{+}\delta_1+ \delta_2+1} \frac{\Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1) \Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1)} {\Gamma(2j+\delta_1+ \delta_2+2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя последнее соотношение в формулу (27) и учитывая вспомогательные равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (v)_{j-m_{+}-p} = \frac{(-1)^{p}(v)_{j-m_{+}}}{(1-j+m_{+}-v)_{p}}, \qquad (j-m_{+}-p)! = \frac{(-1)^{p} (j-m_{+})!}{(-j+m_{+})_{p}}, \\ (m_2+1)_{j-m_{+}-p} = \frac{(-1)^{p}\Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1)} {\Gamma(m_2+1)(-j-m_{-}-\delta_2)_{p}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
а также явный вид нормировочного множителя $N^{(s)}_{jm}(\delta_1, \delta_2)$ (14), для коэффициентов разложения $W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2)$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) = \frac{(-1)^{j-m_{+}}}{\Gamma(m_1+1)} \frac{C^{(s)}_{k\beta m}(\delta_1, \delta_2)}{C^{(s)}_{k j}(\delta_1, \delta_2)} (v)_{j-m_{+}} \times{} \\ &\qquad\times \biggl[\frac{2(2j+\delta_1+ \delta_2+1)\Gamma(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1)}{(j-m_{+})! \, \Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1)}\biggr]^{1/2} \times{} \\ &\qquad\times\, _{3}F_2\left\{\!\!\! \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} {-}j+m_{+},&-j-m_{-}-\delta_2,&u \\ m_1+1,& 1-j+m_{+}-v & \end{array}&1 \end{array} \right\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, пользуясь формулой [22]
$$
\begin{equation}
_{3}F_2\left\{\!\!\! \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} s,&s',&-N \\ t',& 1-N-t \end{array}&1 \end{array} \right\} = \frac{(t+s)_{N}}{(t)_{N}}\,\, _{3}F_2\left\{\!\!\! \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} s,&t'-s',&-N \\ t',& t+s & \end{array} & 1 \end{array} \right\}
\end{equation}
\tag{28}
$$
и явными выражениями для нормировочных постоянных $C^{(s)}_{k j}(\delta_1, \delta_2)$ и $C^{(s)}_{k\beta m}(\delta_1, \delta_2)$, окончательно получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) = \frac{(-1)^{j-m_{+}}}{\Gamma(m_1+1)}\frac{e^{-i\delta_{j}}}{\sqrt{\pi k}} \frac{\left|\Gamma\left(\frac{m_1+1}{2}-i\frac{\alpha}{2k}-i\frac{\beta}{2k}\right) \Gamma\left(\frac{m_2+1}{2}-i\frac{\alpha}{2k}+i\frac{\beta}{2k}\right)\right|} {\Gamma\left(m_{+}+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{2k}\right)} \times{} \notag \\ &\qquad\times \biggl[\frac{(2j+\delta_1+ \delta_2+1)\Gamma(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1)}{4(j-m_{+})! \, \Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1)}\biggr]^{1/2} \times{} \notag \\ &\qquad\times\, _{3}F_2\left\{ \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} -j+m_{+},&j+m_{+}+\delta_1+\delta_2+1, &\frac{m_1+1}{2}-i\frac{\alpha}{2k}-i\frac{\beta}{2k} \\ m_1+1,& m_{+}+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{2k} & \end{array}&1 \end{array} \right\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Пользуясь формулой (28), можно убедиться, что коэффициенты (29) вещественны.
5. Ортогональность и обратное разложениеРассмотрим разложение сферического базиса обобщенной системы МИК–Кеплера по параболическому базису. Параболическая постоянная разделения $\beta$, вообще говоря, может принимать как вещественные, так и комплексные значения (например, в задаче резерфордовского рассеяния или в задаче рассеяния заряженных частиц в поле диона [17]). Поэтому неясно, какая область интегрирования по $\beta$ обеспечивает ортогональность коэффициентов $W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2)$ (29) по квантовому числу $j$. Докажем важное для нас свойство ортогональности
$$
\begin{equation}
Q_{jj'} = \int_{-\infty}^{\infty} W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) W^{j'*}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2)\,d\beta = \delta_{j j'}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Подставим в интеграл (30) вместо $W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2)$ выражение (29), запишем обобщенную гипергеометрическую функцию $_{3}F_2$ в виде полинома и произведем замену переменной $z=i\beta /2k$, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{jj'} ={}&(-1)^{j+j'-2m_{+}}\frac{e^{i(\delta_{j'}-\delta_{j})}}{\left[\Gamma(m_1+1)\right]^2} \frac{\sqrt{(2j+\delta_1+ \delta_2+1)(2j'+\delta_1+ \delta_2+1)}} {\left|\Gamma\left(m_{+}+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{2k}\right)\right|^2}\times{} \\ &\times [\Gamma(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1)]^{1/2}\times{} \\ &\times \biggl[\frac{\Gamma(j'+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j'-m_{-}+\delta_1+1)}{(j-m_{+})! \, \Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1) (j'-m_{+})!\, \Gamma(j'+m_{-}+\delta_2+1)}\biggr]^{1/2}\times{} \\ &\times \sum_{p=0}^{j-m_{+}}\frac{(j-m_{+})_{p}(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1)_{p}} {p!\left(m_{+}+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{2k}\right)_{p}}\times{} \\ &\times \sum_{t=0}^{j'-m_{+}}\frac{(j'-m_{+})_{t}(j'+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1)_{t}} {t!\left(m_{+}+\frac{\delta_1+ \delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{2k}\right)_{t}}B_{pt}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B_{pt}={}& \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \Gamma\biggl(\frac{m_1+1}{2}+p+i\frac{\alpha}{2k}+z\biggr) \Gamma\biggl(\frac{m_2+1}{2}-i\frac{\alpha}{2k}+z\biggr) \times{} \\ &\times \Gamma\biggl(\frac{m_1+1}{2}+t-i\frac{\alpha}{2k}-z\biggr) \Gamma\biggl(\frac{m_2+1}{2}+i\frac{\alpha}{2k}-z\biggr) dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно лемме Барнса [22]
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty} \Gamma(\alpha +s) \Gamma(\beta+s) \Gamma(\gamma -s) \Gamma(\delta-s)\,ds = \frac{\Gamma(\alpha +\gamma )\Gamma(\alpha +\delta ) \Gamma(\beta +\gamma )\Gamma(\beta +\delta )} {\Gamma(\alpha +\beta +\gamma +\delta )},
\end{equation*}
\notag
$$
если полюсы выражения $\Gamma(\gamma -s) \Gamma(\delta-s)$ лежат справа от пути интегрирования, а полюсы выражения $\Gamma(\alpha +s) \Gamma(\beta+s)$ – слева, причем ни один из полюсов первой совокупности не совпадает ни с одним из полюсов второй совокупности. В нашем случае требования этой леммы соблюдаются, поэтому имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{jj'} ={}&(-1)^{j+j'-2m_{+}} e^{i(\delta_{j'}-\delta_{j})} \Gamma(m_2+1) \frac{\sqrt{(2j+\delta_1+ \delta_2+1)(2j'+\delta_1+ \delta_2+1)}} {\Gamma(m_1+1)\Gamma(2m_{+}+\delta_1+ \delta_2+2)}\times{} \\ &\times \biggl[\frac{\Gamma(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1)\Gamma(j'+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1)} {(j-m_{+})!\, \Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1) (j'-m_{+})! \,\Gamma(j'+m_{-}+\delta_2+1)}\biggr]^{1/2}\times{} \\ &\times \sqrt{\Gamma(j'-m_{-}+\delta_1+1)} \sum_{p=0}^{j-m_{+}}\frac{(j-m_{+})_{p}(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1)_{p}} {p!(2m_{+}+\delta_1+ \delta_2+2{2k})_{p}}\times{} \\ &\times {_{3}F_2}\left\{\!\!\! \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} -j'+m_{+},&j'+m_{+}+\delta_1+\delta_2+1, &m_1+p+1 \\ m_1+1,& 2m_{+}+\delta_1+ \delta_2+p+2 & \end{array}&1 \end{array} \right\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь, пользуясь теоремой Заальшютца [22]
$$
\begin{equation}
_{3}F_2\left\{\!\!\! \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} a,&b, &-n \\ c,& 1+a+b-c-n & \end{array}&1 \end{array} \right\} =\frac{(c-a)_{n} (c-b)_{n}}{(c)_{n} (c-a-b)_{n}}
\end{equation}
\tag{31}
$$
и подставляя сюда
$$
\begin{equation*}
a = j'+m_{+}+\delta_1+\delta_2+1, \quad b=m_1+p+1, \quad n=j'-m_{+}, \quad c=2m_{+}+\delta_1+ \delta_2+p+2,
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{jj'} ={}& \frac{(-1)^{j+2j'+m_{+}}e^{i(\delta_{j'}-\delta_{j})}}{\Gamma(1-j'+m_{+})}\times{} \\ &\times \frac{\sqrt{(2j+\delta_1+ \delta_2+1)(2j'+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j'+m_{-}+\delta_2+1)}} {\Gamma(j'+m_{+}+\delta_1+\delta_2+2)} \times{} \\ &\times \biggl[\frac{\Gamma(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1)\Gamma(j'+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1)} {(j-m_{+})!\, \Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1) (j'-m_{+})! \, \Gamma(j'-m_{-}+\delta_1+1)}\biggr]^{1/2}\times{} \\ &\times {_{3}F_2}\left\{\!\!\! \begin{array}{c|c} \begin{array}{ccc} -j+m_{+},&j+m_{+}+\delta_1+\delta_2+1, &1 \\ 1-j'+m_{+},& j'+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+2 & \end{array}&1 \end{array} \right\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Повторно применяя теорему Заальшютца (31), окончательно получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q_{jj'} = \frac{(-1)^{2(j+j')e^{i(\delta_{j'}-\delta_{j})}}} {\Gamma(j-j'+1)\Gamma(j'-j+1)} \frac{\sqrt{(2j+\delta_1+ \delta_2+1)(2j'+\delta_1+ \delta_2+1)}} {j+j'+\delta_1+\delta_2+1} \times{} \\ &\times \biggl[\frac{(j'-m_{+})!\,\Gamma(j+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j-m_{-}+\delta_1+1)\Gamma(j'+m_{-}+\delta_2+1)} {(j-m_{+})!\, \Gamma(j'+m_{+}+\delta_1+ \delta_2+1) \Gamma(j'-m_{-}+\delta_1+1)\Gamma(j+m_{-}+\delta_2+1)} \biggr]^{1/2}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Так как числа $j$ и $j'$ целые или полуцелые одновременно, то последнее соотношение обращается в нуль при $j\neq j'$ за счет произведения гамма-функций от $(j-j'+1)$ и $(j'-j+1)$ и в единицу при $j = j'$, т. е.
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) W^{j'*}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2)\,d\beta = \delta_{j j'}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Тогда из (32) и (24) следует разложение сферического базиса обобщенной задачи МИК–Кеплера по параболическому базису
$$
\begin{equation}
\psi^{(s)}_{kjm}(r, \theta, \varphi; \delta_1, \delta_2) = \int_{-\infty}^{\infty} W^{j}_{k\beta m s}(\delta_1, \delta_2) \psi^{(s)}_{k\beta m}(\xi, \eta, \varphi; \delta_1, \delta_2)\,d\beta,
\end{equation}
\tag{33}
$$
где интегрирование ведется по вещественной оси. Результаты, полученные в разделах 2–5, при $c_1=c_2=0$ совпадают с формулами, полученными в работе [17], а при $s=0$ и $c_1=c_2=0$ – с точностью до фазового множителя с формулами, приведенными в монографии [23]. 6. Задача рассеянияПоскольку обобщенная система МИК–Кеплера кулоноподобная, волновая функция не должна зависеть от азимутального угла $\varphi$. Подставляя в уравнения (20) $m=s$ и соответственно $m_1=\delta_1=2\sqrt{c_1}$, а $m_2=2|s|+\delta_2=2\sqrt{s^2+c_2}$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d}{d\xi}\biggl(\xi\frac{d\Phi_1}{d\xi}\biggr)+\biggl(\frac{k^2}{4}\xi - \frac{\delta_1^2}{4\xi} +\frac{1}{2}\beta + \frac{\alpha}{2}\biggr)\Phi_1&=0, \\ \frac{d}{d\eta}\biggl(\eta\frac{d\Phi_2}{d\eta}\biggr)+\biggl(\frac{k^2}{4}\eta - \frac{(2|s|+\delta_2)^2}{4\eta} -\frac{1}{2}\beta + \frac{\alpha}{2}\biggr)\Phi_2&=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
Если считать, что параболическая постоянная разделения то решение уравнения Шредингера согласно формулам (21) и (22) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi^{(s)}_{k}(\delta_1, \delta_2) ={}&C^{(s)}_{k}(\delta_1, \delta_2) e^{ik(\xi - \eta)/2}(ik\xi)^{\delta_1/2} (ik\eta)^{|s|+\delta_2/2} \times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\times F\biggl(|s|+\frac{\delta_2-\delta_1}{2}+i\frac{\alpha}{k}; 2|s|+\delta_2+1; ik\eta\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $C^{(s)}_{k}(\delta_1, \delta_2)$ – постоянная нормировки. Ограничиваясь первыми двумя членами представления (17) для вырожденной гипергеометрической функции, при больших $\eta$ получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F\biggl(&|s|+\frac{\delta_2-\delta_1}{2}+i\frac{\alpha}{k}; 2|s|+\delta_2+1; ik\eta\biggr) \approx e^{-\pi \alpha/2k}e^{i\pi(|s|+(\delta_2-\delta_1)/2)}\times{} \\ &\times \frac{\Gamma(2|s|+\delta_2+1)} {\Gamma\left(|s|+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k}\right)} (ik\eta)^{-|s|-(\delta_2-\delta_1)/2} \biggl\{\biggl[1-\frac{i}{k\eta}\biggl(|s|+\frac{\delta_2-\delta_1}{2}+i\frac{\alpha}{k}\biggr) \times{} \\ &\times \biggl(|s|+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}-i\frac{\alpha}{k}\biggr)\biggr] e^{-i(\alpha/k) \ln k\eta}+ e^{-i\pi(|s|+(\delta_2-\delta_1)/2)}\times{} \\ &\times \biggl(|s|+\frac{\delta_2-\delta_1}{2}+i\frac{\alpha}{k}\biggr) \frac{\Gamma\left(|s|+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k}\right)} {\Gamma\left(|s|+\frac{\delta_2-\delta_1}{2}+1+i\frac{\alpha}{k}\right)} \frac{e^{ik\eta}}{(ik\eta)^{\delta_1+1}}e^{i(\alpha/k) \ln k\eta}\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая постоянную нормировки $C^{(s)}_{k}(\delta_1, \delta_2)$ в виде
$$
\begin{equation}
C^{(s)}_{k}(\delta_1, \delta_2)= e^{\pi \alpha/2k}e^{-i\pi(|s|+(\delta_2-\delta_1)/2)} \frac{\Gamma\left(|s|+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k}\right)} {\Gamma(2|s|+\delta_2+1)}
\end{equation}
\tag{36}
$$
и переходя к сферическим координатам согласно формулам (25), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi^{(s)}_{k}(\delta_1, \delta_2) ={}& (kr\sin\theta)^{\delta_1} \biggl[1-\frac{i}{2kr\sin^2(\theta/2)} \biggl(|s|+\frac{\delta_2-\delta_1}{2}+i\frac{\alpha}{k}\biggr) \times{} \notag \\ &\qquad\qquad\quad\times \biggl(|s|+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}-i\frac{\alpha}{k}\biggr)\biggr] \exp\biggl[ikz-i\frac{\alpha}{k} \ln\biggl(2kr\sin^2\frac{\theta}{2}\biggr)\biggr] +{} \notag \\ &+\frac{f(\theta;\delta_1, \delta_2)}{r} \exp\biggl(ikr+i\frac{\alpha}{k} \ln (2kr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(\theta;\delta_1, \delta_2) ={}& e^{-i\pi(|s|+\delta_2/2)} \frac{\left[\alpha-ik(|s|+(\delta_2-\delta_1)/2)\right] (\cos\theta/2)^{\delta_1}} {2k^2(\sin(\theta/2))^{\delta_1+2}} \times{} \notag \\ &\times \frac{\Gamma(|s|+\frac{\delta_1+\delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k})} {\Gamma(|s|+\frac{\delta_2-\delta_1}{2}+1+i\frac{\alpha}{k})} \exp\biggl(2i\frac{\alpha}{k} \ln \sin\frac{\theta}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
При $\delta_1=0$ (т. е. $c_1=0$) имеем, как и в случае резерфордовского рассеяния, что при отрицательных $z$ и больших значениях $r$ волновая функция имеет вид плоской волны, а именно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\psi^{(s)}_{k}(0, \delta_2) = \biggl\{1-\frac{i}{2kr\sin^2(\theta/2)} \biggl[\biggl(|s|+\frac{\delta_2}{2}\biggr)^2+\frac{\alpha^2}{k^2}\biggr]\biggr\} \times{} \notag \\ &\times \exp\biggl[ikz-i\frac{\alpha}{k} \ln\biggl(2kr\sin^2\frac{\theta}{2}\biggr)\biggr] +\frac{f(\theta;0, \delta_2)}{r} \exp\biggl(ikr+i\frac{\alpha}{k} \ln (2kr)\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $f(\theta;0, \delta_2)$ – амплитуда рассеяния, равная
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(\theta;0, \delta_2) ={}& e^{-i\pi(|s|+\delta_2/2)} \frac{\alpha-ik(|s|+\delta_2/2)} {2k^2(\sin(\theta/2))^2}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\times \frac{\Gamma\left(|s|+\frac{\delta_2}{2}+1-i\frac{\alpha}{k}\right)} {\Gamma\left(|s|+\frac{\delta_2}{2}+1+i\frac{\alpha}{k}\right)} \exp\biggl(2i\frac{\alpha}{k} \ln \sin\frac{\theta}{2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Для сечения рассеяния $d\sigma = |f(\theta;0, \delta_2)|^2\, d\Omega$ ($d\Omega$ – элемент телесного угла) получим формулу
$$
\begin{equation}
d\sigma = \frac{\alpha^2+k^2(|s|+\delta_2/2)^2} {4k^{4}(\sin(\theta/2))^{4}}\,d\Omega.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Таким образом, формулы (39)–(41) описывают задачу рассеяния в системе с гамильтонианом
$$
\begin{equation*}
\widehat{H}=\frac{1}{2}(-i\vec{\nabla} -s\vec{A}\,)^2 +\frac{s^2}{2r^2}-\frac{\alpha}{r}+ \frac{c_2}{r(r-z)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Далее, подставляя в формулы (39)–(41) $\delta_2=0$ (т. е. $c_2=0$), приходим к соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi^{(s)}_{k}(0, 0) ={}& \biggl[1-\frac{i(\alpha^2+k^2s^2)}{2k^{3}r\sin^2(\theta/2)}\biggr] \exp\biggl[ikz-i\frac{\alpha}{k} \ln\biggl(2kr\sin^2\frac{\theta}{2}\biggr)\biggr] +{} \\ &+\frac{f(\theta;0, 0)}{r} \exp\biggl(ikr+i\frac{\alpha}{k} \ln (2kr)\biggr), \\ f(\theta;0, 0) ={}& e^{-i\pi|s|} \frac{\alpha-ik|s|} {2k^2(\sin(\theta/2))^2} \frac{\Gamma\left(|s|+1-i\frac{\alpha}{k}\right)} {\Gamma\left(|s|+1+i\frac{\alpha}{k}\right)} \exp\biggl(2i\frac{\alpha}{k} \ln \sin\frac{\theta}{2}\biggr), \\ d\sigma ={}& \frac{\alpha^2+k^2s^2} {4k^{4}(\sin(\theta/2))^{4}}\,d\Omega, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которые описывают рассеяние заряженных частиц в поле дираковского диона [17] и, как легко заметить, при $s=0$ переходят в известные формулы резерфордовского рассеяния. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Mar23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|