| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Решение дробного уравнения Лиувилля в статистической механике с использованием производных Римана–Лиувилля и Капуто З. Коричиa, А. Суигатa, Р. Бехушb, М. Т. Мефтахb a Department of Exact Sciences, École Normale Supérieure de Ouargla, Ouargla, Algeria b Department of Physics, Kasdi Merbah University, Ouargla, Algeria
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020107 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДробное исчисление – это раздел математики, в котором традиционные концепции дифференцирования и интегрирования обобщаются на нецелые порядки. Концепция дробного исчисления имеет долгую историю и уходит корнями в начало XVIII в. Однако только в середине XX в. века дробное исчисление стало предметом серьезного внимания и начало интенсивно развиваться. Были введены различные определения дробного дифференцирования, в том числе производные Римана–Лиувилля и Капуто [1], [2]. Дробное исчисление находит применение во многих областях науки и техники, например в хаотической динамике [3], [4], механике фрактальных сред [5], квантовой механике [6], физике плазмы [7], теории аномальной диффузии [8], теории конденсированных сред [9] и классической механике [10]. Уравнения, включающие производные или интегралы нецелого порядка, успешно описывают аномальную кинетику. Обычно дробные уравнения в динамике или кинетике возникают как некие феноменологические модели. Предпринимались попытки ввести производные нецелого порядка в основные уравнения статистической механики. К сожалению, дробные производные появляются только в результате преобразования Фурье этих уравнений, как это было реализовано для уравнения Фоккера–Планка–Заславского [11]. Недавно некоторые авторы применили концепцию дробного исчисления в квантовой и статистической физике и разработали новую дробную квантовую и статистическую механику [12]–[15]. Они также показали, что гамильтониан некоторых систем с дальнодействием можно записать как где $D_\beta$ – коэффициент, с помощью которого согласуются физические единицы измерения и который имеет размерность $[D_\beta]=\text{эрг}^{1-\beta}\cdot\text{см}^\beta\cdot\text{с}^{-\beta}$, а $\beta$ – параметр, лежащий между единицей и двойкой ($1<\beta\leqslant 2$).В работах [16] Алисултанов и Мейланов изучали термодинамические свойства некоторых систем с дробным гамильтонианом. В работе [17] Тарасов исследовал статистическую механику дробного обобщения гамильтоновых систем и вывел дробное уравнение Лиувилля. Основная цель настоящей статьи – найти плотность вероятности для различных физических систем путем решения уравнения Лиувилля. В разделе 2 представлен вывод уравнения Лиувилля с использованием дробной производной. В разделе 3 основное внимание уделяется дробной системе идеального газа, при этом для решения дробного уравнения Лиувилля используются различные определения дробной производной. Наконец, в разделе 4 исследуется система из $N$ независимых дробных осцилляторов; на основе различных определений дробной производной мы решаем для нее дробное уравнение Лиувилля. Завершает нашу работу раздел 5, содержащий заключительные выводы. 2. Дробное уравнение ЛиувилляУравнение Лиувилля – это фундаментальное уравнение классической механики и статистической физики, описывающее временну́ю эволюцию плотности вероятности $\rho$ системы в фазовом пространстве. Уравнение названо в честь Жозефа Лиувилля, который впервые вывел его в 1838 г. [18]. В классической механике плотность вероятности определяет вероятность $\rho(p,q,t)\,d^nq\,d^np$ того, что система находится в бесконечно малом объеме $d^nq\,d^np$ фазового пространства. Уравнение Лиувилля получается путем расчета динамики этой плотности вероятности [19]:
$$
\begin{equation}
\frac{d\rho(p,q,t)}{dt}=\frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial t}+ \sum_{i=1}^n\biggl(\frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial p_i}\dot p_i\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $(p,q)=(p_1,p_2,\ldots,p_n,q_1,q_2,\ldots,q_n)$ – обобщенные координаты. Используя уравнения Гамильтона
$$
\begin{equation}
\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},
\end{equation}
\tag{3}
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\frac{d\rho(p,q,t)}{dt}=\frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial t}+ \sum_{i=1}^n\biggl(\frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}- \frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Введем скобки Пуассона $\{\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,\}$ для $H$ и $\rho$:
$$
\begin{equation}
\{\rho(p,q,t),H\}=\sum_{i=1}^n \biggl(\frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}- \frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\biggr).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Тогда уравнение Лиувилля можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\rho(p,q,t)}{\partial t}=-\{\rho(p,q,t),H\}=\{H,\rho(p,q,t)\},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $H$ – гамильтониан системы, $p=(p_1, p_2,\ldots,p_n)$ и $q=(q_1,q_2,\ldots,q_n)$. Согласно уравнению Лиувилля эволюция плотности фазового пространства определяется гамильтонианом системы и вероятность сохраняется во времени. Другими словами, уравнение Лиувилля описывает, как меняется распределение вероятностей системы во времени под действием ее гамильтониана. Важно отметить, что уравнение Лиувилля – это уравнение непрерывности, которое справедливо только для гамильтоновых систем. Обобщение теоремы Лиувилля было дано Тарасовым [17], который ввел дробный элемент объема фазового пространства. При этом дробное уравнение Лиувилля принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \sum_{k=1}^n\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} H}{dp_k^\alpha}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}- \sum_{k=1}^n\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k}{dp_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} H}{dq_k^\alpha}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}=0,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\alpha$ – степень производной. Предполагая, что плотность не зависит от времени, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\rho}{\partial t}=\{H,\rho\}_\alpha= \sum_{k=1}^n\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} H}{dp_k^\alpha}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}- \sum_{k=1}^n\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k}{dp_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} H}{dq_k^\alpha}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}=0.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Следует отметить, что дробное уравнение Лиувилля представляет собой уравнение в частных производных, описывающее временну́ю эволюцию системы, в котором пространственные и временны́е производные имеют дробные, а не целые степени. Такие уравнения используются для описания систем со сложной динамикой типа фракталов и хаотических систем, а также при изучении аномальной диффузии и других явлений, которые нельзя описать уравнениями с традиционными производными целого порядка. Мы попытаемся найти решение дробного уравнения Лиувилля для различных гамильтоновых систем и вычислим плотность $\rho$, используя различные определения дробной производной. 3. Дробный идеальный газРассмотрим дробный идеальный газ в одномерном пространстве, состоящий из $N$ одинаковых частиц, заключенных в объеме $V$, которые находятся в равновесии при температуре $T$. Мы предполагаем, что система изолирована и описывается следующим гамильтонианом [14]: Дробное уравнение Лиувилля для этой системы получается, если подставить данный гамильтониан в уравнение (8):
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{3N}\biggl[\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dp_k^\alpha} \biggl(\,\sum_{i=1}^{3N}D_\beta^{}p_i^\beta\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}- \biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k}{dp_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dq_k^\alpha} \biggl(\,\sum_{i=1}^{3N}D_\beta^{}p_i^\beta\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}\biggr]=0.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Чтобы решить уравнение (10) и найти плотность этой системы, будем далее использовать дробные производные Римана–Лиувилля и Капуто. 3.1. Производная Римана–ЛиувилляСогласно монографии [20] дробная производная Римана–Лиувилля по $q$ для $p_k^\beta$ равна
$$
\begin{equation}
\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k^\beta}{dq_k^\alpha}=p_k^\beta\frac{q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}
\end{equation}
\tag{11}
$$
и отлична от нуля, а дробная производная Римана–Лиувилля по $p$ равна
$$
\begin{equation}
\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k^\beta}{dp_k^\alpha}=\frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Используя выражения (10)–(12), находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_\beta\sum_{k=1}^{3N}\biggl(\frac{\Gamma(2)q_k^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\biggr)^{\!-1}& \biggl(\,\sum_{\substack{i=1,\\ \!\!i\neq k}}^{3N}p_i^{\beta }\frac{p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}+ \frac{\Gamma(\beta+1)p_k ^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}-{} \notag\\ &-D_\beta \sum_{k=1}^{3N}\biggl(\frac{\Gamma(2)p_k^{1-\alpha} }{\Gamma(2-\alpha)}\biggr)^{\!-1} \biggl(\,\sum_{i=1}^{3N}p_i^\beta\frac{q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Нетрудно видеть, что это уравнение можно переписать как
$$
\begin{equation}
q_k^{\alpha-1}\biggl(\,\sum_{\substack{i=1,\\ \!\!i\neq k}}^{3N} p_i^\beta\frac{p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}+\frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha} }{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}= p_k^{\alpha-1}\biggl(\,\sum_{i=1}^{3N}p_i^\beta\frac{q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho }{dp_k^\alpha}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
После упрощений получаем
$$
\begin{equation}
q_k^{2\alpha-1}\biggl(\,\sum_{\substack{i=1,\\ \!\!i\neq k}}^{3N} p_i^\beta+\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\beta+1)p_k^\beta}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}= p_k^{2\alpha-1}\biggl(\,\sum_{i=1}^{3N}p_i^\beta\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
В рамках изучаемой системы, состоящей из $N$ идентичных частиц с пренебрежимо малым взаимодействием между ними, плотность зависит от переменных $p$ и $q$. Помимо тривиального решения $\rho=0$, которое не имеет физического смысла, теория уравнений в частных производных дает решение вида
$$
\begin{equation}
\rho=\prod_{i=1}^{3N}\rho(p_i,q_i)=\prod_{i=1}^{3N}\rho_1(p_i)\rho_2(q_i).
\end{equation}
\tag{16}
$$
Подставим это выражение в (15), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{i=1,\\ \!\!i\neq k}}^{3N}q_k^{2\alpha-1} \biggl(p_i^\beta+{}&\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\beta+1)p_k^\beta}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\biggr) \rho_1(p_k)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_2(q_k)}{dq_k^\alpha}= \notag \\ &\qquad\qquad=\biggl(\,\sum_{i=1}^{3N}p_k^{2\alpha-1}p_i^\beta\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_1(p_k)}{dp_k^\alpha}\rho_2(q_k). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Используя закон сохранения энергии $\sum_{i=1}^{3N}p_i^\beta=P_0$, мы можем записать равенство
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{i=1,\\ \!\!i\neq k}}^{3N}p_i^\beta=P_0-p_k^\beta.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Тогда уравнение (17) принимает вид
$$
\begin{equation*}
q_k^{2\alpha-1}\biggl(P_0^{}-p_k^\beta+\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\beta+1)p_k^\beta}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\biggr) \rho_1^{}(p_k)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_2(q_k)}{dq_k^\alpha}=P_0^{}p_k^{2\alpha-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_1(p_k)}{dp_k^\alpha}\rho_2^{}(q_k).
\end{equation*}
\notag
$$
Его можно преобразовать как
$$
\begin{equation}
q_k^{2\alpha-1}\frac{1}{\rho_2^{}(q_k^{})}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_2(q_k)}{dq_k^\alpha}= \frac{P_0^{}p_k^{2\alpha-1}}{\Bigl(P_0^{}-p_k^\beta+\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\beta+1)p_k^\beta}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\Bigr)} \frac{1}{\rho_1^{}(p_k^{})}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_1^{}(p_k^{})}{dp_k^\alpha}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Чтобы это уравнение выполнялось, обе его части должны быть равны одной и той же постоянной $\eta$:
$$
\begin{equation}
q_k^{2\alpha-1}\frac{1}{\rho_2(q_k)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_2(q_k)}{dq_k^\alpha}= \frac{P_0p_k^{2\alpha-1}}{\Bigl(P_0-p_k^\beta+\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\beta+1)p_k^\beta}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\Bigr)} \frac{1}{\rho_1(p_k)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_1(p_k)}{dp_k^\alpha}=\eta
\end{equation}
\tag{20}
$$
или, эквивалентно,
$$
\begin{equation}
\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_2(q_k)}{dq_k^\alpha}-\eta q_k^{1-2\alpha}\rho_2^{}(q_k^{})=0,
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_1(p_k)}{dp_k^\alpha}- \mu[P_0^{}p_k^{1-2\alpha}-p_k^{\beta+1-2\alpha}(1+\alpha B(1+\beta,-\alpha))]\rho_1^{}(p_k^{})=0,
\end{equation}
\tag{22}
$$
где $B(1+\beta,-\alpha)$ – бета-функция Эйлера и $\mu=\eta/P_0$. Общее решение уравнения (21) в смысле Римана–Лиувилля имеет вид [2]
$$
\begin{equation}
\rho_2^{}(q_k)=\frac{b'}{\Gamma(\alpha)}q_k^{\alpha-1}E^{}_{\alpha,1/\alpha-1,2/\alpha}[\eta q_k^{1-\alpha}],
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $E_{n,l,m}$ – обобщенная функция Миттаг-Леффлера, а постоянная $b'$ определяется как
$$
\begin{equation}
b'=\frac{d^{\alpha-1}\rho_2(q_k)}{dq_k^{\alpha-1}}(0).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Что касается уравнения (22), то нас будет интересовать его решение только для значений $\alpha$, удовлетворяющих соотношению $1+\alpha B(1+\beta,-\alpha)=0$. Итак, нам предстоит решить уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_1(p_k)}{dp_k^\alpha}=\mu p_k^{1-2\alpha}\rho_1^{}(p_k^{}).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Его решение аналогично решению уравнения (21), и мы получаем следующее выражение для $\rho_1(p_k)$:
$$
\begin{equation}
\rho_1(p_k)=\frac{b}{\Gamma(\alpha)}p_k^{\alpha-1}E_{\alpha,1/\alpha-1,2/\alpha}[\mu p_k^{1-\alpha}],\quad\text{где}\quad b=\frac{d^{\alpha-1}\rho_1(p_k)}{dp_k^{\alpha-1}}(0).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Таким образом, плотность вероятности идеального газа выражается как
$$
\begin{equation}
\rho=\prod_{i=1}^{3N}\frac{bb'}{\Gamma^2(\alpha)}p_i^{\alpha-1}q_i^{\alpha-1} E_{\alpha,1/\alpha-1,2/\alpha}[\mu p_i^{1-\alpha}]E_{\alpha,1/\alpha-1,2/\alpha}[\eta q_i^{1-\alpha}].
\end{equation}
\tag{27}
$$
В отличие от стандартного случая, в котором плотность для изолированного идеального газа является константой, в нашем случае, если придерживаться концепции дробных производных Римана–Лиувилля, плотность вероятности дробного идеального газа зависит от $p$ и $q$. При $\alpha=1$ плотность $\rho$ для идеального газа из $N$ частиц становится постоянной, и это полностью соответствует стандартному случаю. 3.2. Производная КапутоСогласно монографии [20] для $p_k^\beta$ дробная производная Капуто по $q$ равна нулю, $ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k^\beta/dq_k^\alpha=0$, а производная Капуто по $p$ равна [20]
$$
\begin{equation}
\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k^\beta}{dp_k^\alpha}=\frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Уравнение (10) принимает вид
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{3N}\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dp_k^\alpha} \biggl(\,\sum_{i=1}^{3N}D_\beta\frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}=0
\end{equation}
\tag{29}
$$
или, эквивалентно,
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{3N}\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}\biggr)^{\!-1} D_\beta \frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}=0.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Тогда $ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho/dq_k^\alpha=0$, и это означает, что Таким образом, при применении производной Капуто плотность остается постоянной, что полностью согласуется со стандартным случаем. Сравнивая формулы (27) и (31), мы видим, что плотность вероятности для идеального газа зависит от определения дробной производной. 4. Система дробных осцилляторовРассмотрим систему из $N$ независимых дробных осцилляторов [6], которая описывается следующим гамильтонианом:
$$
\begin{equation}
H=\sum_{i=1}^{3N}H_i,\qquad H_i^{}=D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu,
\end{equation}
\tag{32}
$$
где $l$ – коэффициент размерности $[l]=[\text{энергия }]^{1/2}\cdot[\text{длина}]^{-\nu/2}$ и $1<\nu\leqslant 2$. После подстановки данного гамильтониана в дробное уравнение Лиувилля (8) получаем, что плотность есть решение следующего уравнения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^{3N}\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}\biggr)^{\!-1}& \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu)}{dp_k^\alpha} \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}-{} \notag\\ &-\sum_{k=1}^n\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k}{dp_k^\alpha}\biggr)^{\!-1} \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta +l^2q_i^\nu)}{dq_k^\alpha} \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Чтобы найти решение, будем использовать дробные производные Римана–Лиувилля и Капуто. 4.1. Производная Римана–ЛиувилляДробные производные Римана–Лиувилля по переменным $p$ и $q$ для функции $\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu)$ равны
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dq_k^\alpha}\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu)&= \frac{D_\beta q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)} \sum_{i=1}^{3N}p_i^\beta+\frac{l^2q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)} \sum_{\substack{i=1,\\ \!\!i\neq k}}^{3N}q_i^\nu+l^2\frac{\Gamma(\nu+1)q_k^{\nu-\alpha}}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}, \\ \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dp_k^\alpha}\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu)&= D_\beta\frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}+ \frac{D_\beta p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)} \sum_{\substack{i=1,\\ \!\!i\neq k}}^{3N}p_i^\beta+\frac{l^2p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}\sum_{i=1}^{3N}q_i^\nu. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти уравнения можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dq_k^\alpha}\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta p_i^{\beta }+l^2q_i^\nu)&= \frac{q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ l^2\biggl(\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)q_k^{\nu-\alpha}, \\ \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dp_k^\alpha}\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta p_i^{\beta }+l^2q_i^\nu)&= \frac{p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ D_\beta\biggl(\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)p_k^{\beta-\alpha}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $H$ – гамильтониан системы. Тогда уравнение (33) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=1}^{3N}\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}\biggr)^{\!-1} \biggl(\frac{q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ l^2\biggl(\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)q_k^{\nu-\alpha}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}-{} \\ &\quad -\sum_{k=1}^{3N}\biggl(\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k}{dp_k^\alpha}\biggr)^{\!-1} \biggl(\frac{p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ D_{\beta}\biggl(\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)p_k^{\beta-\alpha}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, мы имеем
$$
\begin{equation}
\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} q_k}{dq_k^\alpha}=\frac{\Gamma(2)q_k^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)},\qquad \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} p_k}{dp_k^\alpha}=\frac{\Gamma(2)p_k^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Таким образом, приходим к уравнению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{k=1}^{3N}&q_k^{\alpha-1} \biggl(\frac{q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ l^2\biggl(\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)q_k^{\nu-\alpha}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}-{} \\ &-\sum_{k=1}^{3N}p_k^{\alpha-1} \biggl(\frac{p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ D_\beta\biggl(\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)p_k^{\beta-\alpha}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
или, эквивалентно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, q_k^{\alpha-1}\biggl(&\frac{q_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ l^2\biggl(\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)q_k^{\nu-\alpha}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}-{} \\ &-p_k^{\alpha-1}\biggl(\frac{p_k^{-\alpha}}{\Gamma(1-\alpha)}H+ D_\beta\biggl(\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}-\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\biggr)p_k^{\beta-\alpha}\biggr) \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем плотность $\rho$ как произведение $\rho=\rho_3(q_k)\rho_4(p_k)$ функций от $p_k$ и $q_k$. Тогда
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{H+u(l,\alpha,\nu)q_k^\nu}{q_k\rho_3(q_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)}{dq_k^\alpha}- \biggl(\frac{H+w(\alpha,\beta)p_k^\beta}{p_k\rho_4(p_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}=0,
\end{equation}
\tag{35}
$$
где
$$
\begin{equation*}
u(l,\alpha,\nu)=l^2\biggl(\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}-1\biggr),\qquad w(\alpha,\beta)=D_\beta\biggl(\frac{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}-1\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Из условия постоянства энергии ($H=K_0$) имеем
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{K_0^{}+u(l,\alpha,\nu)q_k^\nu}{q_k\rho_3(q_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)}{dq_k^\alpha}= \biggl(\frac{K_0^{}+w(\alpha,\beta)p_k^\beta}{p_k\rho_4(p_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Чтобы это уравнение выполнялось, обе его части должны быть равны одной и той же постоянной $\eta$:
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{K_0^{}+u(l,\alpha,\nu)q_k^\nu}{q_k\rho_3(q_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)}{dq_k^\alpha}= \biggl(\frac{K_0^{}+w(\alpha,\beta)p_k^\beta}{p_k\rho_4(p_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}=\eta.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Отсюда получаем два дробных дифференциальных уравнения
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{K_0+u(l,\alpha,\nu)q_k^\nu}{q_k\rho_3(q_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)}{dq_k^\alpha}=\eta,\qquad \biggl(\frac{K_0+w(\alpha,\beta)p_k^\beta}{p_k\rho_4(p_k)}\biggr)\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}=\eta.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Чтобы решить приведенные выше дробные дифференциальные уравнения, определим дробную производную Римана–Лиувилля порядка $\alpha$ функции $f(t)$:
$$
\begin{equation}
D_{t}^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dt^n}\int_0^{t}(t-s)^{n-\alpha-1}f(s)\,ds,
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $n$ – наименьшее целое число, большее или равное $\alpha$. Используя это определение, после упрощения выражений получаем уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dq_k^n} \int_0^{q_k}(q_k-s)^{n-\alpha-1}\rho_3(s)\,ds- \frac{\eta}{(K_0+u(l,\alpha,\nu)q_k^\nu)}q_k\rho_3(q_k)=0, \\ &\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^n}{dp_k^n} \int_0^{p_k}(p_k-s)^{n-\alpha-1}\rho_4(s)\,ds- \frac{\eta}{(K_0+w(\alpha,\beta)p_k^\beta)}p_k\rho_4(p_k)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $0<\alpha<1$ имеем $n=1$, и уравнения принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dq_k}\int_0^{q_k}(q_k-s)^{-\alpha}\rho_3(s)\,ds- \frac{\eta}{(K_0+u(l,\alpha,\nu)q_k^\nu)}q_k\rho_3(q_k)=0, \\ &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dp_k}\int_0^{p_k}(p_k-s)^{-\alpha}\rho_4(s)\,ds- \frac{\eta}{(K_0+w(\alpha,\beta)p_k^\beta)}p_k\rho_4(p_k)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После умножения обеих частей на $\Gamma(1-\alpha)$ получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\frac{d}{dq_k}\int_0^{q_k}(q_k-s)^{-\alpha}\rho_3(s)\,ds- \frac{\eta \Gamma(1-\alpha)}{(K_0+u(l,\alpha,\nu)q_k^\nu)}q_k\rho_3(q_k)=0, \\ &\frac{d}{dp_k}\int_0^{p_k}(p_k-s)^{-\alpha}\rho_4(s)\,ds- \frac{\eta\Gamma(1-\alpha)}{(K_0+w(\alpha,\beta)p_k^\beta)}p_k\rho_4(p_k)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дифференциальное уравнение, которое можно решать различными методами в зависимости от значений $\alpha$, $\beta$, $\nu$ и $u(l,\alpha,\nu)$, $w(\alpha,\beta)$. Однако, как правило, явного решения в терминах элементарных функций найти не удается, и для получения решения требуются численные методы. 4.2. Производная КапутоДробные производные Капуто по переменным $p$ и $q$ для функции $\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu)$ равны
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dq_k^\alpha}\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu)=l^2\frac{\Gamma(\nu+1)q_k^{\nu-\alpha}}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}, \\ \frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} }{dp_k^\alpha}\sum_{i=1}^{3N}(D_\beta^{}p_i^\beta+l^2q_i^\nu)=D_\beta\frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
Таким образом, дробное уравнение Лиувилля принимает вид
$$
\begin{equation}
l^2\biggl(\frac{\Gamma(2)p_k^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha )}\biggr)^{\!-1} \frac{\Gamma(\nu+1)q_k^{\nu-\alpha}}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}- D_\beta\biggl(\frac {\Gamma(2)q_k^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\biggr)^{\!-1} \frac{\Gamma(\beta+1)p_k^{\beta-\alpha}}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}=0.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Его можно переписать как
$$
\begin{equation}
p_k^{2\alpha-\beta-1}l^2\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dp_k^\alpha}= q_k^{2\alpha-\nu-1}D_\beta\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho}{dq_k^\alpha}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Для решения последнего уравнения можно использовать тот же метод, что и выше. Запишем плотность $\rho(p_k,q_k)$ в виде произведения $\rho(p_k,q_k)=\rho_3(q_k)\rho_4(p_k)$ функций от $p_k$ и от $q_k$. Тогда имеем
$$
\begin{equation*}
p_k^{2\alpha-\beta-1}l^2\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)\rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}= q_k^{2\alpha-\nu-1}D_\beta\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)\rho_4(p_k)}{dq_k^\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Разделим обе части на $\rho_3(q_k)\rho_4(p_k)$ и получим
$$
\begin{equation*}
p_k^{2\alpha-\beta-1}l^2\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}\frac{1}{\rho_4(p_k)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}= q_k^{2\alpha-\nu-1}D_\beta^{}\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\frac{1}{\rho_3(q_k)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)}{dq_k^\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы это уравнение выполнялось, обе его части должны быть равны одной и той же постоянной, обозначим ее как $m$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &p_k^{2\alpha-\beta-1}l^2\frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(\nu-\alpha+1)}\frac{1}{\rho_4(p_k)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}=m, \\ &q_k^{2\alpha-\nu-1}D_\beta^{}\frac{\Gamma(\beta+1)}{\Gamma(\beta-\alpha+1)}\frac{1}{\rho_3(q_k)}\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)}{dq_k^\alpha}=m. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
Перепишем эти уравнения как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_4(p_k)}{dp_k^\alpha}-m\frac{\Gamma(\nu-\alpha+1)}{l^2\Gamma(\nu+1)}p_k^{2\alpha-\beta-1}\rho_4(p_k)=0, \\ &\frac{ d^{\kern1pt\alpha\kern-1pt} \rho_3(q_k)}{dq_k^\alpha}-m\frac{\Gamma(\beta-\alpha+1)}{\Gamma(\beta+1)D_\beta}q_k^{2\alpha-\nu-1}\rho_3(q_k)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Общее решение этих уравнений имеет вид [2]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_4(p_k)&=bE_{\alpha,3-(\beta+1)/\alpha,2-(\beta+1)/\alpha} \biggl(m\frac{\Gamma(\nu-\alpha+1)}{l^2\Gamma(\nu+1)}p_k^{3\alpha-\beta-1}\biggr), \\ \rho_3(q_k)&=b'E_{\alpha,3-(\nu+1)/\alpha,2-(\nu+1)/\alpha} \biggl(m\frac{\Gamma(\beta-\alpha+1)}{\Gamma(\beta+1)D_\beta}q_k^{3\alpha-\nu-1}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $b=\rho_4(0)$, $b'=\rho_3(0)$. Таким образом, плотность $\rho$ для системы дробных осцилляторов записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \rho=\prod_{i=1}^{3N}b & E_{\alpha,3-(\beta+1)/\alpha,2-(\beta+1)/\alpha}\biggl(m\frac{\Gamma(\nu-\alpha+1)}{l^2\Gamma(\nu+1)}p_i^{3\alpha-\beta-1}\biggr)\times{} \notag\\ &\times b' E_{\alpha,3-(\nu+1)/\alpha,2-(\nu+1)/\alpha}\biggl(m\frac{\Gamma(\beta-\alpha+1)}{\Gamma(\beta+1)D_\beta}q_i^{3\alpha-\nu-1}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{45}
$$
Важно отметить, что при $\alpha=1$ и $\beta=\nu=2$ выражение для плотности принимает вид
$$
\begin{equation}
\rho=\prod_{i=1}^{3N}bb'E_{1,0,-1}\biggl(\frac{m}{2l^2}\biggr)E_{1,0,-1}\biggl(\frac{m}{2D_2}\biggr).
\end{equation}
\tag{46}
$$
Глядя на это соотношение, мы можем заметить, что постоянство плотности влечет изолированный характер системы.
5. ЗаключениеВ представленной работе мы применили дробное исчисление к задачам статистической физики и, найдя решения дробного уравнения Лиувилля, вычислили плотность вероятности для двух идеальных газовых систем: системы свободного газа и системы, состоящей из $N$ дробных осцилляторов. При решении мы использовали дробные производные Римана–Лиувилля и Капуто. Мы обнаружили, что плотность вероятности зависит от типа применяемой производной.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorSouBek24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|