| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Стабилизация статистических решений при больших временах для гармонической решетки, взаимодействующей с полем Клейна–Гордона Т. В. Дудникова Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020053 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДанная статья является продолжением работ [1]–[6], посвященных изучению долговременно́го поведения распределений решений задачи Коши для бесконечномерных гамильтоновых систем. В качестве модели мы здесь рассматриваем линейную гамильтонову систему, состоящую из вещественного скалярного поля Клейна–Гордона $\psi(x)$ и его импульса $\pi(x)$, $x\in\mathbb{R}^d$, которое взаимодействует с гармоническим кристаллом, описываемым отклонениями $u(k)\in\mathbb{R}^n$ частиц (атомов, молекул, ионов и т. п.) от их положения равновесия и их скоростями $v(k)\in\mathbb{R}^n$, $k\in\mathbb{Z}^d$. Функция Гамильтона системы имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathrm H(\psi,u,\pi,v)&:=\frac{1}{2}\int\bigl(|\nabla\psi(x)|^2+m_0^2|\psi(x)|^2+|\pi(x)|^2\bigr)\,dx+{} \notag\\ &\quad +\frac{1}{2}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\biggl(\,\sum_{k'\in\mathbb{Z}^d}u(k)\cdot V(k-k')u(k')+|v(k)|^2\biggr)+{} \notag\\ &\quad +\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\int R(x-k)\cdot u(k)\psi(x)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Функция взаимодействия $R(x)$ имеет значения в $\mathbb{R}^n$, $m_0>0$, точка обозначает скалярное произведение в $\mathbb{R}^n$ (ниже мы используем это обозначение также для скалярного произведения в $\mathbb{R}^d$), $V$ – вещественная матрица взаимодействия, $V(k)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$, размерности $d,n\geqslant 1$. Вычисляя вариационные производные от $\mathrm H(\psi,u,\pi,v)$, приходим к следующей системе динамических уравнений:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \dot\psi(x,t)=\dfrac{\delta \mathrm H}{\delta\pi}=\pi(x,t), \qquad x\in\mathbb{R}^d,\quad t\in\mathbb{R},& \\ \dot u(k,t)=\dfrac{\partial \mathrm H}{\partial v}=v(k,t), \qquad\; k\in\mathbb{Z}^d, \quad t\in\mathbb{R},& \vphantom{\bigg|^{A^2}} \\ \dot\pi(x,t)=\displaystyle-\frac{\delta \mathrm H}{\delta\psi}= (\Delta-m_0^2)\psi(x,t)-\sum_{k'\in\mathbb{Z}^d} u(k',t)\cdot R(x-k'),& \vphantom{\bigg|^{A^2}} \\ \dot v(k,t)=\displaystyle-\frac{\partial \mathrm H}{\partial u}= -\sum_{k'\in\mathbb{Z}^d} V(k-k')u(k',t)-\int R(x'-k)\psi(x',t)\,dx'.& \vphantom{\bigg|^{A^2}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Условия на матрицу $V$ и функцию $R$ приведены в п. 2.2 ниже. Система (1.2) может служить моделью движения блоховских электронов в периодической среде, порожденной ионными ядрами. Такое движение широко изучалось в литературе (см., например, труды [7]–[10] и библиографию в них). Для системы (1.2) рассматривается задача Коши с начальными данными
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \psi(x,0)=\psi_0(x),\quad \pi(x,0)=\pi_0(x),&\quad x\in\mathbb{R}^d,\\ u(k,0)=u_0(k),\quad \kern3.3pt v(k,0)=v_0(k), &\quad k\in\mathbb{Z}^d. \end{cases}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Введем обозначения $\psi^0:=\psi$, $\psi^1:=\pi$, $u^0:=u$, $u^1:=v$ и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} &Y_0:=(Y^0_0,Y^1_0), &\qquad &\begin{aligned} \, Y^0_0& :=(\psi^0_0(x),u^0_0(k)):=(\psi_0^{}(x),u_0^{}(k)),\\ Y^1_0& :=(\psi^1_0(x),u^1_0(k)):=(\pi_0^{}(x),v_0^{}(k)), \end{aligned} \\ &Y(t):=(Y^0(t),Y^1(t)), &\qquad &\begin{aligned} \, Y^0(t)&:=(\psi^0(x,t),u^0(k,t)):=(\psi(x,t),u(k,t)),\vphantom{|^{\big|}}\\ Y^1(t)&:=(\psi^1(x,t),u^1(k,t)):=(\pi(x,t),v(k,t)). \end{aligned} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Другими словами, $Y(\,{\cdot}\,,t)$, $t\in\mathbb{R}$, – это функции, определенные на $\mathbb{P}^d:=\mathbb{R}^d\cup\mathbb{Z}^d$,
$$
\begin{equation*}
Y^i(t)= Y^i(p,t):=\begin{cases} \psi^i(x,t),& p=x\in\mathbb{R}^d,\\ u^i(k,t), & p=k\in\mathbb{Z}^d, \end{cases} \qquad i=0,1.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда система (1.2), (1.3) принимает вид динамической задачи
$$
\begin{equation}
\dot Y(t)=\mathcal A(Y(t)),\quad t\in\mathbb{R};\qquad Y(0)=Y_0.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Здесь $Y_0=(\psi_0,u_0,\pi_0,v_0)$ и
$$
\begin{equation*}
\mathcal A:=\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 1 \\ -\mathcal H & 0 \end{pmatrix},\qquad \mathcal H:=\begin{pmatrix} -\Delta+m_0^2 & S \\ S^* & \mathcal V \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal V$ – оператор свертки с матричным ядром $V$, т. е. $\mathcal Vu=\sum_{k\in\mathbb{Z}^d} V(k-k')u(k')$, и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S u(x):=\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}R(x-k)\cdot u(k),\qquad S^* \psi(k)=\int_{\mathbb{R}^d}R(x-k)\psi(x)\,dx, \\ \langle\psi,Su\rangle_{L^2(\mathbb{R}^d)}=\langle S^*\psi,u\rangle_{[l^2(\mathbb{Z}^d)]^n},\qquad \psi\in L^2(\mathbb{R}^d),\quad u\in [l^2(\mathbb{Z}^d)]^n. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы предполагаем, что начальные данные $Y_0$ задаются как случайная функция с распределением $\mu_0$. Обозначим через $\mathbb{E}$ математическое ожидание по мере $\mu_0$. На меру $\mu_0$ налагаются условия S1–S3 (см. п. 2.3 ниже). В частности, мера $\mu_0$ имеет нулевое среднее значение, а ее корреляционная матрица $Q_0(p,p'):=\mathbb{E}(Y_0(p)\otimes Y_0(p'))$, $p,p'\in\mathbb{P}^d$, имеет вид
$$
\begin{equation}
Q_0(p,p')=\begin{cases} Q_{+}(p,p'),& p_1,p'_1>a,\\ Q_{-}(p,p'),& p_1,p'_1<-a, \end{cases} \quad\text{с некоторой константой}\;\; a>0.
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
Здесь $p= (p_1,\dots,p_d)$, $ p'= (p'_1,\dots,p'_d)\in\mathbb{P}^d$, $Q_{\pm}(p,p')$ – корреляционные матрицы некоторых мер $\mu_{\pm}$, трансляционно-инвариантных относительно группы $\mathbb{Z}^d$, т. е. для любого $k\in\mathbb{Z}^d$
$$
\begin{equation}
Q_\pm(p+k,p'+k)=Q_\pm(p,p'),\qquad p,p'\in\mathbb{P}^d.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Заметим, что $\mu_0$ не является инвариантной относительно группы $\mathbb{Z}^d$, если $Q_{-}\neq Q_{+}$. Обозначим через $\mu_t$, $t\in\mathbb{R}$, вероятностную борелевскую меру, которая является распределением решения $Y(t)$ задачи (1.5) со случайными начальными данными $Y_0$. Мы изучаем асимптотику меры $\mu_t$ при $t\to\pm\infty$. Наша цель – доказать сходимость корреляционных функций меры $\mu_t$,
$$
\begin{equation}
Q_t(p,p'):=\int(Y(p)\otimes Y(p'))\,\mu_t(dY)\to Q_\infty(p,p')\quad\text{при}\;\;t\to\infty,\qquad p,p'\in\mathbb{P}^d,
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
и (слабую) сходимость мер $\mu_t$ к предельной мере $\mu_{\infty}$,
$$
\begin{equation}
\mu_t \rightharpoondown\mu_\infty\quad\text{при}\;\;t\to\infty.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Мы показываем, что предельная мера $\mu_{\infty}$ является гауссовой и инвариантной относительно сдвигов в $\mathbb{Z}^d$, и выводим явные формулы для ковариации $Q_\infty$ меры $\mu_\infty$ (см. формулы (3.3)–(3.7) ниже). В качестве примеров мы рассматриваем две начальные меры $\mu_0$. В первом случае мы предполагаем, что $\mu_{\pm}\equiv g_{\beta_{\pm}}$ (где $\beta_\pm=T_\pm^{-1}$) – это гиббсовские меры с различными температурами $T_\pm>0$ (определение см. в п. 4.1 ниже). Во втором случае предполагается, что начальные данные для поля и кристалла независимы при $t=0$, и, кроме того, в начальный момент времени “левые” и “правые” части поля и кристалла находятся в тепловом равновесии с различными температурами. В обоих случаях мы доказываем существование гиббсовских мер и получаем явные формулы для предельной корреляционной матрицы $Q_\infty$. Для одномерных цепочек гармонических осцилляторов сходимость (1.9) была доказана в работах [11], [12]. Для одномерных цепочек негармонических осцилляторов, связанных с тепловыми резервуарами, соответствующие результаты были получены в [13], [14]. Для бесконечных многомерных гармонических кристаллов сходимость (1.9) была доказана в [2], [5], а для волновых уравнений и уравнений Клейна–Гордона – в [1], [4], [6]. В случае, когда начальные меры инвариантны относительно сдвигов в $\mathbb{Z}^d$, сходимость (1.9) была доказана в [3]. В настоящей статье мы обобщаем результаты работы [3] на более общий класс начальных мер $\mu_0$ и матриц взаимодействия $V$ в кристалле. 2. Постановка задачиВведем фазовое пространство $\mathcal E^{s,\alpha}$ начальных данных $Y_0$. Определение 2.1. 1. Пусть $H^{s,\alpha}=H^{s,\alpha}(\mathbb{R}^d)$, $s\in\mathbb{R}$, $\alpha\in\mathbb{R}$, – гильбертово пространство распределений $\psi\in S'(\mathbb{R}^d)$ с нормой $\|\psi\|_{s,\alpha}\equiv\|\langle x\rangle^\alpha\Lambda^s\psi\|_{L^2(\mathbb{R}^d)}<\infty$. Здесь и $\hat\psi:=F \psi$ – преобразование Фурье функции $\psi$ умеренного роста. Для $\psi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^d)$ полагаем $\hat\psi(\xi)=\int e^{\mathrm i\xi\cdot x}\psi(x)\,dx$. При $s=0,1,2,\dots{}$ пространство $H^{s,\alpha}$ – это гильбертово пространство вещественных функций $\psi(x)$ с нормой которая эквивалентна $\|\psi\|^2_{s,\alpha}$. 2. Пусть $L^\alpha\equiv [\ell^2_\alpha(\mathbb{Z}^d)]^n$, $\alpha\in\mathbb{R}$, – гильбертово пространство векторнозначных функций $u(k)\in\mathbb{R}^n$, $k\in\mathbb{Z}^d$, с нормой
$$
\begin{equation*}
\|u\|^2_{\alpha}\equiv\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\langle k\rangle^{2\alpha}|u(k)|^2<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Пусть $\mathrm{E}^{s,\alpha}:=H^{s,\alpha}\oplus L^\alpha$, $s,\alpha\in\mathbb{R}$, – гильбертово пространство пар $Y^0\equiv(\psi,u)$ с нормой $\|Y^0\|^2_{s,\alpha}=\|\psi\|^2_{s,\alpha}+\|u\|^2_{\alpha}<\infty$. 4. Пусть $\mathcal E^{s,\alpha}:=\mathrm{E}^{s+1,\alpha}\oplus\mathrm{E}^{s,\alpha}\equiv H^{1+s,\alpha}\oplus L^\alpha\oplus H^{s,\alpha}\oplus L^\alpha$ – гильбертово пространство функций $Y=(Y^0,Y^1)$, где $Y^0=(\psi,u)$, $Y^1=(\pi,v)$, с нормой Заметим, что $\mathcal E^{s_1,\alpha_1}\subset\mathcal E^{s_2,\alpha_2}$ для любых $s_2<s_1$ и $\alpha_2<\alpha_1$, и это вложение компактно по теореме вложения Соболева. Зафиксируем $\alpha<-d/2$. Ниже рассматриваются две задачи в $\mathcal E^{s,\alpha}$: с $s=0$ и $s<-d/2$. В случае $s=0$ доказывается сходимость (1.9) при условиях S1–S4 (см. п. 2.3 ниже) на начальные (вообще говоря, негауссовы) меры $\mu_0$. В случае $s<-d/2$ мы предполагаем, что $\mu_0$ – гауссова мера, удовлетворяющая условиям S1 и S3, где $\mu_\pm$ (см. формулу (1.6)) являются гиббсовскими мерами с температурами $T_\pm>0$. Предположим сначала, что начальные данные $Y_0$ принадлежат фазовому пространству $\mathcal E:=\mathcal E^{0,\alpha}$. 2.1. Преобразование Блоха–Флоке–ЗакаДинамика системы (1.5) инвариантна относительно пространственных сдвигов в $\mathbb{Z}^d$. Поэтому, применяя преобразование Зака, мы сведем систему к задаче Блоха (см., например, [7]) на торе. Для этого сначала представим $x\in\mathbb{R}^d$ как $x=l+y$, $l\in\mathbb{Z}^d$, $y\in\mathrm K_1^d:=[0,1]^d$, и применим дискретное преобразование Фурье к решениям $\psi(l+y,t)$, $u(k,t)$, $\pi(l+y,t)$, $v(k,t)$:
$$
\begin{equation*}
\tilde\psi(\theta,y,t)=\sum_{l\in\mathbb{Z}^d}e^{\mathrm il\cdot\theta} \psi(l+y,t),\quad \tilde u(\theta,t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}e^{\mathrm ik\cdot\theta}u(k,t),\qquad y\in\mathrm K_1^d,\quad\theta\in\mathbb{R}^d;
\end{equation*}
\notag
$$
преобразования $\tilde\pi$ и $\tilde v$ определяются аналогичным образом. Функции $\tilde\psi$, $\tilde\pi$ периодические по $\theta$ и квазипериодические по $y$, т. е. $\tilde\psi(\theta,y+m,t)=e^{-\mathrm im\cdot\theta}\psi(\theta,y,t)$, $\tilde\pi(\theta,y+m,t)=e^{-\mathrm im\cdot\theta}\pi(\theta,y,t)$, $m\in\mathbb{Z}^d$. Применим к решениям $Y(\,{\cdot}\,,t)$ вариант преобразования Блоха–Флоке–Зака (или, для краткости, преобразования Зака, см. работу [10]), которое определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal Z Y(\,{\cdot}\,,t)\equiv\widetilde Y_e(\theta,t):=(\tilde\psi_e(\theta,y,t),\tilde u(\theta,t),\tilde\pi_e(\theta,y,t),\tilde v(\theta,t)), \\ \tilde\psi_e(\theta,y,t):=e^{\mathrm iy\cdot\theta}\tilde\psi(\theta,y,t),\qquad\tilde\pi_e(\theta,y,t):=e^{\mathrm iy\cdot\theta}\tilde\pi(\theta,y,t). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Заметим, что $\tilde\psi_e$, $\tilde\pi_e$ являются периодическими функциями по $y$ и квазипериодическими по $\theta$, т. е. $\tilde\psi_e(\theta+2\pi e_j,y,t)=e^{\mathrm i2\pi y_j}\tilde\psi_e(\theta,y,t)$, где $e_j\in\mathbb{Z}^d$ – вектор с координатами $e_j^i=\delta_{ij}$ и $\delta_{ij}$ – символ Кронекера. Обозначим через $\mathbb{T}_1^d:=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d$ $d$-мерный тор, пусть $\mathcal T^d:=\mathbb{T}_1^d\cup\{0\}$. Далее, $\widetilde Y_e(\theta,t)\equiv \widetilde Y_e(\theta,r,t)$, $r\in\mathcal T^d$. Тогда задача (1.5) сводится к задаче Блоха на торе $\mathbb{T}_1^d$ с параметром $\theta\in\mathrm K^d\equiv [-\pi,\pi]^d$:
$$
\begin{equation*}
\dot{\widetilde Y}_e(\theta,t)=\widetilde{\mathcal A}(\theta)(\widetilde Y_e(\theta,t)),\quad \widetilde Y_e(\theta,t)\big|_{t=0}=\widetilde Y_{0,e}(\theta),\qquad t\in\mathbb{R},\quad\theta\in\mathrm K^d,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\widetilde Y_{0,e}(\theta)$ обозначает преобразование Зака начальных данных $Y_0$. Здесь
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal A}(\theta)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\widetilde{\mathcal H}(\theta) & 0 \end{pmatrix},\qquad \widetilde{\mathcal H}(\theta)=\begin{pmatrix} (\mathrm i\nabla_y+\theta)^2+m_0^2 & \widetilde S (\theta)\\ \widetilde S^*(\theta) & \widetilde V(\theta) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
(\widetilde S(\theta)\tilde u(\,{\cdot}\,))(\theta,y):=\widetilde R_e(\theta,y)\cdot \tilde u(\theta),\quad\;\; (\widetilde S^*(\theta)\tilde\psi_e(\theta,\,{\cdot}\,))(\theta):=\int_{\mathbb{T}_1^d} \widetilde R_e(-\theta,y)\tilde\psi_e(\theta,y)\,dy.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\widetilde Y_e(\theta,t)=\widetilde{\mathcal G}_t(\theta)\widetilde Y_{0,e}(\theta),\quad \widetilde{\mathcal G}_t(\theta):=\exp(\widetilde{\mathcal A}(\theta)t),\qquad t\in\mathbb{R},\quad\theta\in\mathrm K^d.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
2.2. Условия на системуНа матрицу $V$ налагаются следующие условия. Условие V1. Существуют положительные константы $C$ и $\gamma$, такие что $\|V(k)\|\leqslant Ce^{-\gamma|k|}$ при $k\in\mathbb{Z}^d$, где $\|V\|$ обозначает матричную норму. Условие V2. Имеет место равенство $V^{\mathrm T}(-k)=V(k)$, $k\in\mathbb{Z}^d$, где $V^{\mathrm T}$ обозначает транспонирование матрицы $V$. Из условий V1 и V2 вытекает, что $\widetilde V(\theta)$ – вещественно-аналитическая эрмитова матричнозначная функция от $\theta\in\mathbb{T}^d$, где $\mathbb{T}^d$ – $d$-мерный тор $\mathbb{R}^d/(2\pi\mathbb{Z})^d$. Условие V3. Матрица $\widetilde V(\theta)$ положительно определена для каждого $\theta\in\mathbb{T}^d$, т. е. существует константа $\nu_0>0$, такая что $\bar u\cdot\widetilde V(\theta)u\geqslant \nu^2_0|u|^2$, $u\in\mathbb{C}^n$. Замечание 2.1. Условия V1–V3 выполнены, например, для кристалла со взаимодействием в соседних точках, для которого На вещественную векторнозначную функцию взаимодействия $R(x)$ налагаются следующие условия. Условие R1. Функция $R\in C^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ и $|R(x)|\leqslant Ae^{-\varepsilon |x|}$ с некоторыми константами $\varepsilon>0$ и $A<\infty$. Введем обозначение $\mathrm H_1^s:=\mathrm H^s(\mathbb{T}^d_1)\oplus\mathbb{C}^n$, $s\in\mathbb{R}$, где $\mathrm H^s(\mathbb{T}^d_1)$ – пространство Соболева. Пусть $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)$ обозначает скалярное произведение в $\mathrm H_1^0$,
$$
\begin{equation}
(F,G)=\int_{\mathbb{T}_1^d}\overline{F^1}(y) G^1(y)\,dy+\overline{F^2}\cdot G^2,\qquad F=(F^1,F^2),G=(G^1,G^2)\in\mathrm H_1^0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Условие R2. Оператор $\widetilde{\mathcal H}(\theta)$ при $\theta\in\mathrm K^d$ положительно определен. Это эквивалентно равномерной оценке $(X^0,\widetilde{\mathcal H}(\theta)X^0)\geqslant\kappa^2\|X^0\|^2_{\mathrm H^1_1}$ для $X^0\in\mathrm H^1_1$, $\theta\in\mathrm K^d$, где $\kappa>0$. Замечание 2.2. 1. Условие R2 выполнено, в частности, если Условие R2'. Пусть выполняется неравенство 2. Условие R2' выполнено для функций $R$, удовлетворяющих R1 с $A\varepsilon^{-d}\ll 1$. Утверждение 2.1. Пусть выполнены условия V1–V3 и R1, R2. Тогда для любого $Y_0\in\mathcal E$ существует, и притом единственное, решение $Y(t)\in C(\mathbb{R},\mathcal E)$ задачи Коши (1.5). Оператор $W(t)\colon Y_0\mapsto Y(t)$ непрерывен в $\mathcal E$ для любого $t\in\mathbb{R}$, Это утверждение может быть доказано аналогично предложению 2.7 в [3]. Как было показано в работе [3], из условий R1 и R2 вытекает, что для фиксированного $\theta\in\mathrm K^d$ оператор $\widetilde{\mathcal H}(\theta)$ положительно определен, самосопряжен в $\mathrm H_1^0$ и имеет дискретный спектр. Определим эрмитов положительно определенный оператор
$$
\begin{equation}
\Omega(\theta):=\sqrt{\widetilde{\mathcal H}(\theta)}>0.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Оператор $\Omega(\theta)$ имеет собственные значения $0<\omega_1(\theta)\leqslant\omega_2(\theta)\leqslant\cdots\leqslant\omega_\sigma(\theta)\leqslant\cdots{}$ и соответствующие спектральные проекторы $\Pi_\sigma(\theta)$ с кратностью $r_\sigma=\operatorname{tr}\Pi_\sigma(\theta)$. В физике твердого тела собственные значения $\omega_\sigma(\theta)$ называются (энергетическими) зонами Блоха. Функции $\omega_\sigma(\,{\cdot}\,)$ и $\Pi_\sigma(\,{\cdot}\,)$ являются вещественно-аналитическими вне множества точек, где зоны пересекаются. Однако эти функции, вообще говоря, не являются гладкими в точках пересечения. Следующая лемма уточняет свойства функций $\omega_\sigma$ и $\Pi_\sigma$ (см. также раздел XIII.16 в [15]). Лемма 2.1 (см. лемму 2.8 в [3]). Пусть выполнены условия R1 и R2. Тогда существует замкнутое подмножество $\mathcal C_*\subset \mathrm K^d$ нулевой лебеговой меры, такое что справедливы следующие утверждения. 1. Для любой точки $\Theta\in\mathrm K^d\setminus\mathcal C_*$ и каждого числа $N\in\mathbb{N}$ существует окрестность $\mathcal O(\Theta)\subset \mathrm K^d\setminus\mathcal C_*$, такая что каждая из функций $\omega_\sigma(\theta)$ и $\Pi_\sigma(\theta)$, $\sigma=1,2,\ldots,N$, может быть выбрана вещественно-аналитической в области $\mathcal O(\Theta)$. 2. Собственные значения $\omega_\sigma(\theta)$ имеют постоянную кратность $r_\sigma$ в $\mathcal O(\Theta)$. 3. Для любого $\theta\in\mathcal O(\Theta)$ имеет место спектральное разложение где $\Pi_\sigma(\theta)$ – ортогональный проектор в $\mathrm H^0_1$.Предполагается, что система (1.2) удовлетворяет следующим условиям. Условие R3. Для любого $\Theta\in\mathrm K^d\setminus\mathcal C_*$ и $\sigma=1,2,\ldots{}$ функции $\partial_{\theta_1}\omega_\sigma(\theta)$ не равны тождественно нулю в $\mathcal O(\Theta)$, где $\mathcal O(\Theta)$ введена в лемме 2.1. Для доказательства сходимости (1.8) достаточно наложить условие R3. Однако для доказательства (1.9) нам потребуется более сильное условие. Условие R3'. Пусть Для любого $\Theta\in\mathrm K^d\setminus\mathcal C_*$ детерминант $D_\sigma(\theta)\not\equiv 0$, $\sigma=1,2,\ldots\,{}$. Введем множество $\mathcal{C}\subset\mathrm K^d$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{C}=\mathcal{C}_*\bigcup_\sigma\,(\mathcal{C}_\sigma\cup \mathcal{C}^1_\sigma), \\ \begin{aligned} \, \mathcal C_\sigma&:= \bigcup_{\Theta\in\mathrm K^d\setminus\mathcal C_*}\{\theta\in\mathcal O(\Theta)\colon D_\sigma(\theta)=0\}, \\ \mathcal C_\sigma^1&:= \bigcup_{\Theta\in\mathrm K^d\setminus\mathcal C_*}\{\theta\in\mathcal O(\Theta)\colon \partial_{\theta_1}\omega_\sigma(\theta)=0\}, \end{aligned}\qquad \sigma=1,2,\ldots, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $\mathcal C_*$ – множество из леммы 2.1. Тогда лебегова мера множества $\mathcal C$ равна нулю (см. лемму 2.10 в [3]). Положим
$$
\begin{equation}
p_{\pm,\sigma\sigma'}^{ij}(\theta):=\Pi_\sigma(\theta)\tilde q_\pm^{ij}(\theta)\Pi_{\sigma'}(\theta),\qquad \theta\in\mathrm K^d,\quad\sigma,\sigma'\in\mathbb{N},\quad i,j=0,1,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $\tilde q^{ij}_\pm(\theta)$ обозначает интегральный оператор с ядром $\tilde q^{ij}_\pm(\theta,r,r')$, $\theta\in\mathrm K^d$, $r,r'\in\mathcal{T}^d$, определенным формулой (А.3) (см. приложение A). Последнее условие, налагаемое на систему, состоит в следующем. Условие R4. Если для некоторого $\sigma\neq \sigma'$ Замечание 2.3. 1. В частности, условие R4 выполняется, если $p_{\pm,\sigma\sigma'}^{ij}=0$ при $\sigma\neq\sigma'$, $i=0,1$, а это, в свою очередь, справедливо для гиббсовских мер, рассмотренных в п. 4.1 (см. формулы (4.3) ниже). 2. Вместо условия R4 можно наложить более сильное, но простое условие. Условие R4'. Если $\sigma\ne \sigma'$, то функции $\omega_\sigma(\theta)\pm\omega_{\sigma'}(\theta)$ в области $\mathcal O(\Theta)$ не равны тождественно ненулевым константам. 2.3. Условия на начальную меру $\mu_0$Напомним, что $Y_0$ в (1.5) является измеримой случайной функцией, $\mu_0$ обозначает борелевскую вероятностную меру в $\mathcal E$, которая является распределением случайной функции $Y_0$, и $\mathbb{E}$ обозначает математическое ожидание по мере $\mu_0$. Введем корреляционные функции меры $\mu_0$ следующим образом (см. (1.4)):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_0^{ij}(p,p')=\mathbb{E}[Y^i_0(p)\otimes Y^j_0(p')]&= \begin{pmatrix} \mathbb{E}(\psi^i_0(x)\psi^j_0(x')) & \mathbb{E}(\psi^i_0(x) u^j_0(k')) \\ \mathbb{E}(u^i_0(k) \psi^j_0(x')) & \mathbb{E}(u^i_0(k)\otimes u^j_0(k')) \end{pmatrix}\equiv \notag\\ &\equiv\begin{pmatrix} Q_0^{\psi^i\psi^j}(x,x') & Q_0^{\psi^i u^j}(x,k') \\ Q_0^{u^i\psi^j}(k,x') & Q_0^{u^iu^j}(k,k') \end{pmatrix} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
для $ i,j=0,1$, $p,p'\in\mathbb{P}^d$, где $\otimes$ обозначает тензорное произведение двух векторов. Предполагается, что начальная мера $\mu_0$ удовлетворяет следующим условиям. Условие S1. Мера $\mu_0$ имеет нулевое среднее значение, т. е. $\mathbb{E}(Y_0(p))\equiv 0$, $p\in\mathbb{P}^d$. Условие S2. Корреляционные функции $Q_0^{\psi^i\psi^j}(x,x')$ и $Q_0^{u^iu^j}(k,k')$ удовлетворяют следующим оценкам: Условие S3. Введем следующие функции $\zeta_\pm$ на разбиении $\mathbb{P}=\mathbb{R}\cup\mathbb{Z}$: Пусть $L^2(\mathbb{P}^d):= L^2(\mathbb{R}^d)\oplus [l^2(\mathbb{Z}^d)]^n$ и $\langle\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,\rangle$ обозначает скалярное произведение в $L^2(\mathbb{P}^d)\otimes\mathbb{R}^N$ для различных $N=1,2,\ldots{}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle Y,Z\rangle&:=\langle Y^0,Z^0\rangle+\langle Y^1,Z^1 \rangle,\qquad Y=(Y^0,Y^1),\quad Z=(Z^0,Z^1), \\ \langle Y^i,Z^i\rangle&:=\int_{\mathbb{P}^d}Y^i(p)Z^i(p)\,dp\equiv \int_{\mathbb{R}^d}\psi^i(x)\xi^i(x)\,dx+\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}u^i(k)\cdot\chi^i(k),\qquad i=0,1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $Y^i=(\psi^i,u^i)$, $Z^i=(\xi^i,\chi^i)$. Положим
$$
\begin{equation*}
D_{\mathrm F}\equiv C_0^\infty(\mathbb{R}^d),\qquad D_{\mathrm L}\equiv [C_0(\mathbb{Z}^d)]^n,\qquad \mathcal D=[D_{\mathrm F}\oplus D_{\mathrm L}]^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 2.2. Для вероятностной меры $\mu$ в $\mathcal E$ введем характеристический функционал (преобразование Фурье) Мера $\mu$ называется гауссовой (с нулевым средним значением), если ее характеристический функционал имеет вид $\hat\mu(Z)=e^{-\mathcal Q(Z,Z)/2}$, $Z \in\mathcal D$, где $\mathcal Q$ – вещественная неотрицательная квадратичная форма в $\mathcal D$. Для доказательства сходимости (1.8) налагаются условия S1–S3. Однако для доказательства утверждения (1.9) (в случае негауссовых начальных мер) нам нужно более сильное условие, чем S2. Чтобы сформулировать его, введем условие перемешивания. Определение 2.3. Пусть $\sigma (\mathcal A)$ для $\mathcal A\subset\mathbb{P}^d$ обозначает $\sigma$-алгебру в $\mathcal E$, порожденную линейными функционалами $Y\mapsto\langle Y,Z\rangle$, где $Z\in\mathcal D$ с $\operatorname{supp}Z\subset\mathcal A$. Определим коэффициент перемешивания Розенблатта [16] вероятностной меры $\mu_0$ на $\mathcal E$ следующим образом: Здесь верхняя грань берется по всем множествам $A\in\sigma(\mathcal A)$, $B\in\sigma(\mathcal B)$ и всем открытым выпуклым подмножествам $\mathcal A,\mathcal B\subset\mathbb{P}^d$ с расстоянием $\rho(\mathcal A,\mathcal B)\geqslant r$. Говорят, что мера $\mu_0$ удовлетворяет условию сильного перемешивания Розенблатта, если $\alpha(r)\to 0$ при $r\to\infty$. Условие S4. Существует $\delta>0$, такое что для $k\in\mathbb{Z}^d$ и п.в. $x\in\mathbb{R}^d$. Более того, $\mu_0$ удовлетворяет условию сильного перемешивания Розенблатта и $r^{d-1}\alpha^{p}(r)\in L^1(0,+\infty)$ с $p:=\min(\delta/(2+\delta),1/2)$. Заметим, что из условий S1 и S4 вытекает S2 с $h(s):=10e_\delta^{2/(2+\delta)}\alpha^{\delta/(2+\delta)}(s)$, где величина $e_\delta$ введена в (2.14). Это следует из леммы 17.2.3 в [17]. 2.4. Пример начальной мерыПостроим пример начальной меры $\mu_0$, которая удовлетворяет условиям S1–S4. Сначала запишем корреляционные матрицы $Q_\pm(p,p')=(Q_\pm^{ij}(p,p'))_{i,j=0,1}$ мер $\mu_\pm$ в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_\pm^{ij}(p,p'):=\mathbb{E}_\pm[Y^i(p)\otimes Y^j(p')]&= \begin{pmatrix} \mathbb{E}_\pm(\psi^i(x) \psi^j(x')) & \mathbb{E}_\pm(\psi^i(x) u^j(k')) \\ \mathbb{E}_\pm(u^i(k) \psi^j(x')) & \mathbb{E}_\pm(u^i(k)\otimes u^j(k')) \end{pmatrix}\equiv \notag\\ &\equiv \begin{pmatrix} Q_\pm^{\psi^i\psi^j}(x,x') & Q_\pm^{\psi^i u^j}(x,k') \\ Q_\pm^{u^i\psi^j}(k,x')& Q_\pm^{u^iu^j}(k,k') \end{pmatrix} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
для $i,j=0,1$, $p,p'\in\mathbb{P}^d$. Пусть $\mu_\pm$ – гауссовы меры в $\mathcal E$ с корреляционными функциями $Q_\pm^{ij}(p,p')$, $i,j=0,1$. Пусть, кроме того, $Q_\pm^{ij}(p,p')=0$ при $i\neq j$, а при $i=j$
$$
\begin{equation*}
Q_\pm^{\psi^i\psi^i}(x,x')=q_\pm^{\psi^i\psi^i}(x-x'),\quad x,x'\in\mathbb{R}^d,\qquad Q_\pm^{u^i u^i}(k,k')=q_\pm^{u^i u^i}(k-k'),\quad k,k'\in\mathbb{Z}^d,
\end{equation*}
\notag
$$
и $Q_\pm^{\psi^i u^i}(x,k)=Q_\pm^{u^i \psi^i}(k,x)=0$ при $x\in\mathbb{R}^d$, $k\in\mathbb{Z}^d$. Предположим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q_\pm^{\psi^i\psi^i}\in C^2(\mathbb{R}^d),\quad \hat q_\pm^{\psi^i\psi^i}(\xi):=F_{x\to\xi}[q_\pm^{\psi^i\psi^i}(x)]\geqslant 0,\quad (1+\xi^2)\hat q_\pm^{\psi^i\psi^i}(\xi)\in L^1(\mathbb{R}^d), \\ \tilde q_\pm^{u^iu^i}(\theta):=F_{k\to\theta}[q_\pm^{u^iu^i}(k)]\in L^1(\mathbb{T}^d),\qquad \tilde q_\pm^{u^iu^i}(\theta)\geqslant 0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Тогда в силу теоремы Минлоса [18] на $\mathcal E\equiv\mathcal E^{0,\alpha}$, $\alpha<-d/2$, существуют борелевские гауссовы меры $\mu_{\pm}$ с корреляционными матрицами $Q_\pm(p,p')$, так как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{E}_\pm(\|Y\|^2_{0,\alpha})&=\int_{\mathbb{R}^d}\langle x\rangle^{2\alpha} \bigl((1-\Delta) q^{\psi^0\psi^0}_\pm(0)+q_\pm^{\psi^1\psi^1}(0)\bigr)\,dx+{} \\ &\quad+\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\langle k \rangle^{2\alpha}\operatorname{tr}(q^{u^0u^0}_\pm(0)+q_\pm^{u^1u^1}(0))= \\ &=C_1\int_{\mathbb{R}^d} \bigl((1+\xi^2)\hat q^{\psi^0\psi^0}_\pm(\xi)+\hat q_\pm^{\psi^1\psi^1}(\xi)\bigr)\,d\xi+{} \\ &\quad +C_2\int_{\mathbb{T}^d} \operatorname{tr}(\tilde q^{u^0u^0}_\pm(\theta)+\tilde q_\pm^{u^1u^1}(\theta))\,d\theta<\infty. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Далее введем пару $(Y_{-},Y_{+})$ как единичную случайную функцию на вероятностном пространстве $(\mathcal E\times\mathcal E, \mu_{-}\times\mu_{+})$, где $Y_\pm=(Y_\pm^0,Y_\pm^1)$, $Y_\pm^i=(\psi^i_\pm(x),u^i_\pm(k))$. Тогда $Y_{\pm}$ – гауссовы независимые векторы в $\mathcal E$. Наконец, определим борелевскую вероятностную меру $\mu_0$ как распределение случайной функции
$$
\begin{equation}
Y_0(p)= \zeta_{-}(p_1)Y_{-}(p)+\zeta_{+}(p_1)Y_{+}(p),\qquad p=(p_1,\ldots,p_d)\in\mathbb{P}^d,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где $\zeta_\pm$ введены в условии S3. Тогда корреляционные функции меры $\mu_0$ имеют вид (2.12). Следовательно, мера $\mu_0$ удовлетворяет условиям S1 и S3. Предположим дополнительно, что для $i=0,1$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} |D^\gamma q_\pm^{\psi^i\psi^i}(x)|&\leqslant h(|x|),&\quad x&\in\mathbb{R}^d,\quad|\gamma|\leqslant 2-2i,\\ |q_\pm^{u^iu^i}(k)|&\leqslant h(|k|),&\quad k&\in\mathbb{Z}^d, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $h$ – неотрицательная ограниченная функция и $s^{d-1}h(s)\in L^1(0,+\infty)$. Тогда $\mu_0$ удовлетворяет условию S2 в силу (2.12). Теперь построим примеры функций $q_{\pm}^{ii}$, которые удовлетворяют условиям (2.16) и (2.18). Пусть
$$
\begin{equation*}
q_\pm^{\psi^i\psi^i}(x)=c_ig(x_1)g(x_2)\ldots g(x_d),\qquad q_\pm^{u^iu^i}(k)=d_if(k_1)f(k_2)\ldots f(k_d)\mathrm I,
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_i$ и $d_i$ – положительные константы, $\mathrm I$ – единичная матрица и
$$
\begin{equation}
g(x)=F^{-1}_{\xi\to x}[\hat g(\xi)],\quad \hat g(\xi):=\biggl(\frac{1-\cos(N_0\xi)}{\xi^2}\biggr)^{\!2},\qquad\xi\in\mathbb{R},\quad N_0>0,
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
а $f$ – четная неотрицательная последовательность, такая что $f\in\ell^1$ и $\Delta_{\mathrm L} f(k)\equiv f(k+1)-2f(k)+f(k-1)\geqslant 0$ для любого $k\geqslant 1$. Тогда $\tilde f(\theta)\geqslant 0$ в силу теорем 4.1 и 2.7 в [19] и справедливы условия (2.16). Если дополнительно $|f(k)|\leqslant C(1+|k|)^{-N}$ с $N>d$, то справедливо условие (2.18). Пусть, например,
$$
\begin{equation}
f(k)=\begin{cases} N_0-|k| & \text{при }\;\,|k|\leqslant N_0,\\ \;\,0 & \text{при }\;\,|k|>N_0, \end{cases}\quad k\in\mathbb{Z},\quad N_0>0.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Тогда $\tilde f(\theta)=\frac{1-\cos N_0\theta}{1-\cos\theta}$, $\theta\in\mathbb{T}\equiv \mathbb{R}/(2\pi\mathbb{Z})$, и условие (2.16) выполнено. Более того, в этом случае из (2.19) и (2.20) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
q_\pm^{\psi^i\psi^i}(x)=0\;\;\text{при}\;\;|x|\geqslant r_0,\qquad q_\pm^{u^i u^i}(k)=0\;\;\text{при}\;\;|k|\geqslant r_0,\qquad r_0:=N_0\sqrt{d}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда выполнено условие S4 с $\alpha(r)=0$ при $r\geqslant r_0$ и справедливы неравенства (2.18) с $h(r)=0$ при $r\geqslant r_0$.
3. Основные результатыОпределение 3.1. 1. Пусть $\mu_t$, $t\in\mathbb{R}$, – борелевская вероятностная мера в $\mathcal E$, являющаяся распределением решения $Y(t)$ задачи Коши (1.5), $\mu_t(B)=\mu_0(W(-t)B)$ для всех $B\in\mathcal B(\mathcal E)$, $t\in\mathbb{R}$. Здесь и далее $\mathcal B(X)$ обозначает $\sigma$-алгебру борелевских множеств топологического пространства $X$. 2. Корреляционные функции меры $\mu_t$, $t\in\mathbb{R}$, определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
Q^{ij}_t(p,p')\equiv\mathbb E\bigl(Y^i(p,t)\otimes Y^j(p',t)\bigr),\qquad i,j=0,1,\qquad p,p'\in\mathbb{P}^d.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Сходимость интеграла в (3.1) понимается в смысле обобщенных функций, а именно для всех $Z_1,Z_2\in D_{\mathrm F}\oplus D_{\mathrm L}$. Обозначим через $\mathcal Q_t$, $t\in\mathbb{R}$, квадратичную форму с интегральным ядром $Q_t(p,p')$. Цель настоящей статьи – доказать слабую сходимость (1.9) мер $\mu_t$ к предельной мере $\mu_\infty$ при $t\to\infty$ в пространствах $\mathcal E^{s,\beta}$ для любых $s<0$ и $\beta<\alpha<-d/2$. Это означает сходимость интегралов
$$
\begin{equation*}
\int f(Y)\,\mu_t(dY)\to\int f(Y)\,\mu_\infty(dY),\qquad t\to\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
для любого ограниченного непрерывного функционала $f(Y)$ на $\mathcal E^{s,\beta}$. Введем корреляционную матрицу $Q_\infty(p,p')$ предельной меры $\mu_\infty$. Эта матрица инвариантна относительно сдвигов в $\mathbb{Z}^d$, т. е.
$$
\begin{equation}
Q_\infty(k+r,k'+r')=:q_\infty(k-k',r,r'),\qquad k,k'\in\mathbb{Z}^d,\qquad r,r'\in\mathrm K^d_1\cup\{0\}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Для $Z\in\mathcal D$ определим квадратичную форму $\mathcal Q_\infty(Z,Z)$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal Q_\infty(Z,Z)&:=\langle Q_{\infty}(p,p'),Z (p)\otimes Z(p')\rangle= \notag\\ &=\frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathrm K^d} \bigl(\tilde q_\infty (\theta),\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)\otimes\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)\bigr)\,d\theta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Здесь $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)$ – скалярное произведение в пространстве $[\mathrm H_1^0]^2$ (ср. с формулой (2.4)), $\tilde q_\infty(\theta)=\operatorname{Op}(\tilde q_\infty(\theta,r,r'))$ обозначает интегральный оператор с ядром $\tilde q_\infty(\theta,r,r')$, где
$$
\begin{equation}
\tilde q_\infty(\theta,r,r')=e^{\mathrm i(r-r')\cdot\theta}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d} e^{\mathrm ik\cdot\theta} q_\infty(k,r,r'),\qquad \theta\in\mathrm K^d,\qquad r,r'\in\mathcal{T}^d.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Кроме того, для $\theta\in\mathrm K^d\setminus\mathcal C_*$
$$
\begin{equation}
\tilde q_\infty(\theta):= \sum_{\sigma=1}^{\infty} \Pi_\sigma(\theta) [L(\tilde{\mathbf q}^{+}(\theta))+\mathrm i\operatorname{sgn}(\partial_{\theta_1}\omega_\sigma(\theta)) C(\theta)L(\tilde{\mathbf q}^{-}(\theta))]\Pi_\sigma(\theta).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь $\partial_{\theta_1}\equiv\partial/\partial\theta_1$, $\tilde{\mathbf q}^\pm(\theta):=(\tilde q_{+}(\theta)\pm\tilde q_{-}(\theta))/2$, $\Pi_\sigma(\theta)$ – спектральный проектор, введенный в п. 3 леммы 2.1, и $L$ определяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L(q)=\frac{q+C(\theta)q C^*(\theta)}{2}, \\ C(\theta)=\begin{pmatrix} 0 & \Omega^{-1}(\theta) \\ -\Omega(\theta) & 0 \end{pmatrix},\qquad C^*(\theta)=\begin{pmatrix} 0 & -\Omega(\theta) \\ \Omega^{-1}(\theta) & 0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Здесь и далее $C^*$ обозначает матрицу, эрмитово-сопряженную к матрице $C$. Замечание 3.1. В силу формул (3.6), (3.7) матрица $\tilde q_\infty(\theta)=\bigl(\tilde q^{ij}_\infty(\theta)\bigr)_{i,j=0}^1$ удовлетворяет “условию равновесия”, т. е. Теорема 3.1. 1. Пусть выполнены условия S1–S3 и R1–R4. Тогда корреляционные функции мер $\mu_t$ имеют предел: для любого $Z\in\mathcal D$ 2. Пусть выполнены условия S1, S2, S4, R1, R2, R3', R4. Тогда для любых $s<0$, $\beta<-d/2$ в пространстве $\mathcal E^{s,\beta}$ имеет место сходимость (1.9). При этом предельная мера $\mu_\infty$ является гауссовой в $\mathcal E$. Кроме того, мера $\mu_\infty$ инвариантна относительно сдвигов в $\mathbb{Z}^d$ и ее характеристический функционал имеет вид
$$
\begin{equation*}
\hat\mu_\infty (Z)=\exp\biggl\{-\frac{\mathcal Q_\infty (Z,Z)}{2}\biggr\},\qquad Z\in\mathcal D.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Мера $\mu_\infty$ стационарна по времени, т. е. $[W(t)]^*\mu_\infty=\mu_\infty$, $t\in\mathbb{R}$. Более того, группа $W(t)$ удовлетворяет условию перемешивания относительно $\mu_\infty$, где $\mathbb{E}_\infty$ обозначает интеграл по мере $\mu_\infty$. В частности, поток $W(t)$ эргодичен относительно $\mu_\infty$, т. е.Первое утверждение теоремы 3.1 доказано в приложении A. Утверждения 2 и 3 могут быть доказаны аналогично теореме A в [3]. 4. Приложение к гиббсовским мерамРассмотрим два частных случая начальных мер. Сначала определим гиббсовские меры для нашей модели. 4.1. Гиббсовские мерыФормально гиббсовские меры $g_\beta$ определяются как
$$
\begin{equation*}
g_\beta(dY)= \frac{1}{Z_\beta}\exp\{-\beta \mathrm H(Y)\}\prod_{p\in\mathbb{P}^d}dY(p),\qquad \beta=T^{-1}>0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Z_\beta$ – нормирующий множитель, функция Гамильтона $\mathrm H(Y)$ определена в (1.1), $T$ – соответствующая абсолютная температура. Введем гиббсовские меры $g_\beta$ как гауссовы борелевские вероятностные меры $g_\beta(dY)=g^0_\beta(dY^0)\times g^1_\beta(dY^1)$ в пространствах $\mathcal E^{s,\alpha}\equiv\mathrm{E}^{s+1,\alpha}\oplus\mathrm{E}^{s,\alpha}$, $s,\alpha<-d/2$, с характеристическими функционалами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \hat g_\beta^0(Z)&=\int e^{\mathrm i\langle Y^0,Z\rangle}\,g_\beta^0(dY^0)= \exp\biggl\{-\frac{1}{2\beta}\langle\mathcal H^{-1}Z,Z\rangle\biggr\}, \\ \hat g_\beta^1(Z)&=\int e^{\mathrm i\langle Y^1,Z\rangle}\,g_\beta^1(dY^1)= \exp\biggl\{-\frac{1}{2\beta}\langle Z,Z\rangle\biggr\}, \end{aligned} \qquad Z\in D_{\mathrm F}\oplus D_{\mathrm L}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $g^1_\beta(dY^1)\equiv g^1_\beta(d\pi\,dv)$ является гауссовой мерой в $\mathrm{E}^{s,\alpha}$, $s,\alpha<-d/2$, с корреляционной матрицей (см. (2.15))
$$
\begin{equation*}
Q^{11}_\beta(p,p')=\begin{pmatrix} Q^{\pi\pi}_\beta(x,x') & 0 \\ 0 & Q^{vv}_\beta(k,k') \end{pmatrix}=\frac1{\beta} \begin{pmatrix} \delta(x-x') & 0 \\ 0 & \delta_{kk'}\mathrm I \end{pmatrix},\qquad p,p'\in\mathbb{P}^d,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm I$ – единичная матрица. Ниже через $\mathrm I$ мы обозначаем также тождественный оператор в $\mathrm H_1^0$. Так как $Q^{11}_\beta(k+r,k'+r')=:q^{11}_\beta(k-k',r,r')$, в преобразовании Зака
$$
\begin{equation}
\widetilde Q^{11}_\beta(\theta,\theta')=(2\pi)^d\delta(\theta-\theta')\tilde q^{11}_\beta(\theta),\quad\theta,\theta'\in\mathrm K^d, \quad \text{где}\quad\tilde q^{11}_\beta(\theta)=\beta^{-1}\mathrm I.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В свою очередь, мера $g^0_\beta(dY^0)\equiv g^0_\beta(d\psi\,du)$ является гауссовой в $\mathrm{E}^{s+1,\alpha}$, $s,\alpha<-d/2$, с корреляционной матрицей $Q_\beta^{00}(p,p')$, где $Q_\beta^{00}(k+r,k'+r')=:q_\beta^{00}(k-k',r,r')$. Применяя преобразование Зака, получаем
$$
\begin{equation}
\widetilde Q^{00}_\beta(\theta,\theta')=(2\pi)^d\delta(\theta-\theta')\tilde q^{00}_\beta(\theta),\quad\theta,\theta'\in\mathrm K^d, \quad\text{где}\quad \tilde q^{00}_\beta(\theta)=\beta^{-1}\widetilde{\mathcal H}^{-1}(\theta).
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Таким образом, мера $g_\beta$ является гауссовой в $\mathcal E^{s,\alpha}$ с корреляционной матрицей $Q_\beta(p,p')=\bigl(Q^{ij}_\beta(p,p')\bigr)_{i,j=0,1}$, где $Q^{ij}_\beta=0$ при $i\neq j$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q^{ii}_\beta(k+r,k'+r')=q^{ii}_\beta(k-k',r,r'), \\ q^{ii}_\beta(k,r,r')=\frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathrm K^d} e^{-\mathrm ik\cdot\theta}e^{-\mathrm i(r-r')\cdot\theta}\tilde q^{ii}_\beta(\theta,r,r')\,d\theta, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\tilde q^{ii}_\beta(\theta,r,r')$ – интегральное ядро оператора $\tilde q^{ii}_\beta(\theta)$, $i=0,1$. Эта лемма доказана в приложении Б. Заметим, что меры $g_\beta$ инвариантны относительно динамики $W(t)$: мы имеем $W(t)^*g_\beta=g_\beta$, $t\in\mathbb{R}$. Пример 4.1. Пусть $\mu_0=g_0$ есть борелевская вероятностная мера в пространстве $\mathcal E^{s,\alpha}$, $s,\alpha<-d/2$, задающая распределение случайной функции $Y_0$ вида (2.17), где $Y_\pm$ – гауссовы независимые векторы в $\mathcal E^{s,\alpha}$ с распределениями $\mu_{\pm}\equiv g_{\beta_\pm}$, $\beta_\pm=T_\pm^{-1}>0$. Тогда меры $\mu_{\pm}$ имеют корреляционные матрицы $Q_\pm^{ij}(k+r,k'+r'):=q_{\beta_\pm}^{ij}(k-k',r,r')$, определяемые формулами (4.1) и (4.2). В случае гиббсовских мер $\mu_\pm\equiv g_{\beta_\pm}$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p_{\pm,\sigma\sigma'}^{11}(\theta)&= \omega_\sigma^{2}(\theta)p_{\pm,\sigma\sigma'}^{00}(\theta)=T_\pm\delta_{\sigma\sigma'}\Pi_\sigma(\theta), \\ p_{\pm,\sigma\sigma'}^{01}(\theta)&=p_{\pm,\sigma\sigma'}^{10}(\theta)=0, \end{aligned}\qquad \theta\in\mathrm K^d,\quad\sigma,\sigma'\in\mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Следовательно, условие R4 выполнено. Кроме того, в данном случае не требуется условие перемешивания (см. условие S4), поскольку $g_0$ – гауссова мера. Заметим, что $g_0$ удовлетворяет условиям S1 и S3, но не S2. Обозначим через $g_t$ распределение случайной функции $W(t)Y_0$, $t\in\mathbb{R}$. Существование решений задачи (1.5) в случае начальных данных $Y_0\in\mathcal E^{s,\alpha}$, $s\in\mathbb{R}$, можно доказать аналогично утверждению 2.1, если вместо условия R2 предположить, что (см. оценку (2.5)) Теорема 4.1. Пусть $s,\alpha<-{d}/{2}$. Тогда существует борелевская вероятностная мера $g_\infty$, такая что $g_t\rightharpoondown g_\infty$ при $t\to\infty$ в пространстве $\mathcal E^{s,\alpha}$. Более того, $g_\infty$ – гауссова мера в $\mathcal E^{s,\alpha}$ с нулевым средним значением и с корреляционной матрицей $Q_{\infty}(p,p')$ вида Доказательство. Воспользуемся рассуждениями, которые использовались при доказательстве п. 1 теоремы 3.1. Однако в случае, когда начальная мера $\mu_0$ удовлетворяет условию S2, справедливы оценки из леммы А.1. Эти оценки позволяют применить теорему Лебега–Римана к осциллирующим интегралам в (А.16) (детали см. в приложении A). Если $\mu_0=g_0$, то условие S2 не выполнено. В этом случае мы применим явные выражения для $\mathcal Q_t$ через корреляционные матрицы гиббсовских мер $g_{\beta_\pm}$. А именно, сначала запишем квадратичную форму $\mathcal Q_t(Z,Z)$ в виде (А.16). Далее упростим подынтегральное выражение в правой части (А.16), используя (А.17) и (А.18). Для этого заметим, что $p_{\pm,\sigma\sigma'}^{ij}=0$ при $\sigma\neq \sigma'$ в силу (4.3). Следовательно, $M_{\sigma\sigma'}=0$ при $\sigma\neq \sigma'$, и тогда $A^{\pm}_{\sigma\sigma'}=B^{\pm}_{\sigma\sigma'}=0$. При $\sigma=\sigma'$ из (4.3) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
C_\sigma(\theta)p_{\pm,\sigma\sigma}(\theta)C^{\mathrm T}_\sigma(\theta)=p_{\pm,\sigma\sigma}(\theta),\qquad C_\sigma(\theta)p_{\pm,\sigma\sigma}(\theta)=-p_{\pm,\sigma\sigma}(\theta)C^{\mathrm T}_\sigma(\theta).
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $A^{-}_{\sigma\sigma}=B^{+}_{\sigma\sigma}=0$. Таким образом, подынтегральное выражение в (А.16) не зависит от $t$ и имеет вид
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal G}_{t,\sigma}(\theta)M_{\sigma\sigma'}(\theta)\widetilde{\mathcal G}^*_{t,\sigma'}(\theta)= \delta_{\sigma\sigma'} A^{+}_{\sigma\sigma}.
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, в силу (4.3) и (4.4) $A^{+}_{\sigma\sigma}(\theta)=\Pi_\sigma(\theta) \tilde q_\infty(\theta)\Pi_\sigma(\theta)$ с $\tilde q_\infty(\theta)=\bigl(\tilde q^{ij}_\infty(\theta)\bigr)_{i,j=0}^{1}$. Таким образом, из (А.19) вытекает, что $\mathcal Q_t(Z,Z)=\mathcal Q_\infty(Z,Z)+o(1)$, $t\to\infty$. Пример 4.2. Построим еще одну гауссову меру $\mu_0$ на $\mathcal E^{s,\alpha}$, $s,\alpha<-d/2$, следующим образом. Предположим, что случайные начальные данные для поля и кристалла $\Psi_0(x)=(\psi^0_0,\psi^1_0)\equiv (\psi_0,\pi_0)$ и $U_0(k)=(u^0_0,u_0^1)\equiv(u_0,v_0)$ независимы. Кроме того, при $t=0$ точки поля с координатами $x_1<-a$ и $x_1>a$ находятся в тепловом равновесии с температурами $T_{-}^{\mathrm F}$ и $T_{+}^{\mathrm F}$. Аналогично в начальный момент времени частицы кристалла с координатами $k_1<-a$ и $k_1>a$ имеют гиббсовские распределения с температурами $T_{-}^{\mathrm L}$ и $T_{+}^{\mathrm L}$. Точнее, введем гиббсовские меры для поля как гауссовы борелевские меры Лемма 4.2. Меры $g_\beta^{\mathrm F}$ существуют в $\mathcal H^{s,\alpha}_{\mathrm F}$ при $s,\alpha<-d/2$. Доказательство. В силу теоремы Минлоса достаточно проверить, что Теперь введем гиббсовские меры для кристалла как гауссовы борелевские меры
$$
\begin{equation*}
g_\beta^{\mathrm L}(du^0du^1)=g_\beta^{\mathrm L,0}(du^0)\times g_\beta^{\mathrm L,1}(du^1),\qquad\beta=(T^{\mathrm L})^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
в пространстве $\mathcal L^\alpha_{\mathrm L}:=L^\alpha(\mathbb{Z}^d)\oplus L^\alpha(\mathbb{Z}^d)$, $\alpha<-d/2$, с характеристическими функционалами вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \hat g^{\mathrm L,0}_\beta(h)&= \int e^{\mathrm i\langle u^0,h\rangle}g_\beta^{\mathrm L,0}(du^0)= \exp\biggl\{-\frac{1}{2\beta}\langle\mathcal V^{-1}h,h\rangle\biggr\}, \\ \hat g^{\mathrm L,1}_\beta(h)&= \int e^{\mathrm i\langle u^1,h\rangle}\,g_\beta^{\mathrm L,1}(du^1)= \exp\biggl\{-\frac{1}{2\beta}\langle h,h\rangle\biggr\}, \end{aligned}\qquad h\in [C_0(\mathbb{Z}^d)]^n,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal V$ – оператор свертки с матричным ядром $V(k-k')$. Корреляционные матричнозначные функции меры $g_\beta^{\mathrm L}$ равны
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int\bigl(u^0(k)\otimes u^0(k')\bigr)g_\beta^{\mathrm L,0}(du^0)&=\frac{1}{\beta}\,\mathcal E_{\mathrm L}(k-k'), \\ \int\bigl(u^1(k)\otimes u^1(k')\bigr)g_\beta^{\mathrm L,1}(du^1)&=\frac{1}{\beta}\,\delta_{kk'}\mathrm I, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
где $\mathrm I$ – единичная матрица, $\mathcal E_{\mathrm L}(k)$ – фундаментальное решение оператора $\mathcal V$, т. е. в дискретном преобразовании Фурье
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathcal E}_{\mathrm L}(\theta)=\widetilde V^{-1}(\theta),\qquad \theta\in\mathbb{T}^d.
\end{equation*}
\notag
$$
Меры $g_\beta^{\mathrm L}$ существуют в $\mathcal L^\alpha_{\mathrm L}$, $\alpha<-d/2$. Действительно, в силу (4.6), если $\alpha<-d/2$,
$$
\begin{equation*}
\int\|u^0\|_\alpha^2\,g_\beta^{\mathrm L,0}(du^0)= \int\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\langle k\rangle^{2\alpha}|u^0(k)|^2g_\beta^{\mathrm L,0}(du^0)= \sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\langle k\rangle^{2\alpha}\frac{1}{\beta}\,\operatorname{tr}[\mathcal E_{\mathrm L}(0)]<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
так как в силу условия V3
$$
\begin{equation*}
\operatorname{tr}[\mathcal E_{\mathrm L}(0)]= \frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathbb{T}^d} \operatorname{tr}[\widetilde V^{-1}(\theta)]\,d\theta<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, применяя (4.6), получаем
$$
\begin{equation*}
\int\|u^1\|_\alpha^2\,g_\beta^{\mathrm L,1}(d u^1)=\frac{n}{\beta}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\langle k\rangle^{2\alpha}<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Введем независимые случайные векторы $\Psi_\pm=(\psi^0_\pm,\psi^1_\pm)$ и $U_\pm=(u^0_\pm,u^1_\pm)$ в вероятностных пространствах $(\mathcal H_{\mathrm F}^{s,\alpha},g^{\mathrm F}_{\beta_\pm^{\mathrm F}})$ и $(\mathcal L_{\mathrm L}^\alpha,g^{\mathrm L}_{\beta_\pm^{\mathrm L}})$ соответственно; здесь $\beta_\pm^{\mathrm F}:=(T_\pm^{\mathrm F})^{-1}$ и $\beta_\pm^{\mathrm L}:=(T_\pm^{\mathrm L})^{-1}$. Тогда $Y_\pm:=(\Psi_\pm(x),U_\pm(k))$ – случайные функции в вероятностном пространстве $(\mathcal E^{s,\alpha},g^{\mathrm F}_{\beta_\pm^{\mathrm F}}\times g^{\mathrm L}_{\beta_\pm^{\mathrm L}})$. Наконец, введем борелевскую вероятностную меру $\mu_0$ как распределение случайной функции $Y_0$ вида (2.17). Тогда $\mu_0$ – гауссова мера в пространстве $\mathcal E^{s,\alpha}$, $s,\alpha<-d/2$, ее корреляционная матрица $Q_0$ имеет вид (2.12), где $Q^{ij}_\pm=0$ при $i\neq j$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q^{00}_\pm(p,p')&=\begin{pmatrix} T_\pm^{\mathrm F}\mathcal E_{\mathrm F}(x-x')& 0 \\ 0 & T_\pm^{\mathrm L}\mathcal E_{\mathrm L}(k-k') \end{pmatrix}, \\ Q^{11}_\pm(p,p')&=\begin{pmatrix} T_\pm^{\mathrm F}\delta(x-x') & 0 \\ 0 & T_\pm^{\mathrm L}\delta_{kk'}\mathrm I \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $g_t$ распределение случайной функции $W(t)Y_0$, $t\in\mathbb{R}$. Тогда справедливо следующее утверждение. Лемма 4.3. Меры $g_t$ слабо сходятся к предельной мере $g_\infty$ при $t\to \infty$ в пространстве $\mathcal E^{s,\alpha}$, $s,\alpha<-d/2$. Более того, $g_\infty$ – гауссова мера в $\mathcal E^{s,\alpha}$ с нулевым средним значением и с корреляционной матрицей $Q_{\infty}(p,p')$ вида (3.3). В преобразовании Зака корреляционные операторы $\tilde q^{ij}_{\infty}(\theta)=\operatorname{Op}(\tilde q^{ij}_{\infty}(\theta,r,r'))$ равны Эта лемма доказывается аналогично теореме 4.1. Приложение А. Доказательство п. 1 теоремы 3.1Для доказательства введем вспомогательные обозначения и докажем необходимые оценки для начальных корреляционных функций. А.1. Оценки для начальной ковариацииВведем разложение $p=k+r$, где $k\in\mathbb{Z}^d$ и $r\in\mathrm K_1^d\cup \{0\}$. Другими словами, $r=x-[x]\in\mathrm K_1^d$, если $p=x\in\mathbb{R}^d$, и $r=0$, если $p=k\in\mathbb{Z}^d$. Из (1.7) и (2.15) вытекает, что
$$
\begin{equation}
Q_\pm^{ij}(k+r,k'+r')=:q_\pm^{ij}(k-k',r,r')\equiv \begin{pmatrix} q_\pm^{\psi^i\psi^j}(k-k'+r,r') & q_\pm^{\psi^i u^j}(k-k'+r) \\ q_\pm^{u^i\psi^j}(k'-k+r')& q_\pm^{u^iu^j}(k-k') \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
С помощью преобразования Зака (2.2) введем следующие матрицы:
$$
\begin{equation*}
\widetilde Q_\pm(\theta,r,\theta',r'):=\mathcal Z_{p\to(\theta,r)}\mathcal Z_{p'\to(-\theta',r')}[Q_\pm(p,p')],\qquad \begin{aligned} \, \theta,\theta'&\in\mathrm K^d,\\ r,r'&\in\mathcal T^d\equiv \mathbb{T}_1^d\cup \{0\}.\end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\widetilde Q_\pm^{ij}(\theta,r,\theta',r')= (2\pi)^d\delta(\theta-\theta') \tilde q_\pm^{ij}(\theta,r,r'),\quad \theta,\theta'\in\mathrm K^d, \qquad r,r'\in\mathcal T^d,
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\tilde q_\pm^{ij}(\theta,r,r')=e^{\mathrm i (r-r')\cdot\theta} \sum_{k\in\mathbb{Z}^d} e^{\mathrm ik\cdot\theta}q_\pm^{ij}(k,r,r')= \begin{pmatrix} \tilde q_\pm^{\psi^i\psi^j}(\theta,y,y') & \tilde q_\pm^{\psi^i u^j}(\theta,y) \\ \overline{\tilde q_\pm^{u^i\psi^j}(\theta,y')} & \tilde q_\pm^{u^iu^j}(\theta)\vphantom{|^{\Big|}} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
Лемма А.1. 1. Пусть выполнены условия S1 и S2. Тогда справедливы следующие оценки: где константа $C$ не зависит от $p,p'\in\mathbb{P}^d$. равномерно ограничены по $(\theta,y,y')\in\mathrm K^d\times \mathbb{T}_1^d\times \mathbb{T}_1^d$; здесь $|\alpha|\leqslant1-i$, $|\beta|\leqslant 1-j$.Доказательство. Оценки (А.4) вытекают из условия S2. Кроме того, из условий S1–S3 следует, что Остальные оценки доказываются аналогично. Следствие А.1. 1. Квадратичная форма $\mathcal Q_0(Z,Z)$ непрерывна в $\mathbf L^2:=[L^2(\mathbb{P}^d)]^2$: Квадратичные формы с матричными ядрами $Q_\pm(p,p')$ также непрерывны в $\mathbf L^2$. 2. Пусть $i,j=0,1$, $\sigma,\sigma'\in\mathbb{N}$, функции $p^{ij}_{\pm,\sigma\sigma'}$ определены в (2.9) и $k,p\in\{-1;0\}$ для любых $i,j$ или $k=1$, если $i=0$, и $p=1$, если $j=0$. Тогда операторы $\Omega^{k}(\theta)\widetilde{p}^{ij}_{\pm,\sigma\sigma'}(\theta) \Omega^{p}(\theta)$ удовлетворяют следующей оценке:
$$
\begin{equation*}
\sum_{\sigma=1}^{+\infty} \int_{\mathrm K^d}\bigl((\Omega^{k}(\theta)\widetilde{p}^{ij}_{\pm,\sigma\sigma}(\theta)\Omega^{p}(\theta)) (\theta,r,r'),\widetilde Z_{e}(\theta,r)\otimes \widetilde Z_{e}(\theta,r')\bigr)\,d\theta\leqslant C\|Z\|_{L^2(\mathbb{P}^d)}^2
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $Z\in L^2(\mathbb{P}^d)$. 3. Квадратичная форма $\mathcal Q_\infty(Z,Z)$ непрерывна в $\mathbf L^2$. Первое утверждение следствия вытекает из оценок (А.4) с использованием либо теста Шура (см., например, [20]), либо неравенства Юнга. Утверждения 2 и 3 доказываются аналогично (см. работу [3], следствие 3.3). А.2. Разложение ковариации $Q_t$Лемма А.2. Функции $\zeta_\pm$, введенные в условии S3, допускают следующие представления (в преобразовании Зака): где $\widetilde{\alpha}_{\pm,e}(0,r)=1$, $\alpha_\pm(p)=0$ при $|p|\geqslant a+1$. Доказательство. Положим $\alpha^{\mathrm c}_\pm(x):=\zeta^{\mathrm c}_\pm(x)-\zeta^{\mathrm c}_\pm(x\mp1)$, $x\in\mathbb{R}$. Тогда Применим преобразование Зака к начальной корреляции $Q_0(p,p')$:
$$
\begin{equation}
\widetilde Q_0(\theta,\theta',r,r'):=\mathcal Z_{p\to(\theta,r)}\mathcal Z_{p'\to (-\theta',r')}\bigl[Q_0(p,p')\bigr],\qquad\theta,\theta'\in\mathrm K^d.
\end{equation}
\tag{А.6}
$$
Через $\widetilde Q_0(\theta,\theta')$ обозначим интегральный оператор с ядром $\widetilde Q_0(\theta,\theta',r,r')$. Применяя равенство $\widetilde{fg}(\theta)=(2\pi)^{-2d}\tilde f*\tilde g(\theta)$ для $\theta\in\mathbb{R}^{2d}$, представление (2.12) и равенство (А.2), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde Q_0(\theta,\theta')&:=\mathcal Z_{p\to(\theta,r)}\mathcal Z_{p'\to(-\theta',r')} \biggl[\sum_{\pm}\zeta_\pm(p_1)\zeta_\pm(p'_1)Q_\pm(p,p')\biggr]= \notag\\ &\;=\frac{1}{(2\pi)^{2d}}\sum_{\pm} \bigl(\mathcal Z_{p\to(\theta,r)}[\zeta_{\pm}(p_1)]\mathcal Z_{p'\to(-\theta',r')}[\zeta_{\pm}(p'_1)]\bigr)* (2\pi)^{d}\tilde q_\pm(\theta)\delta(\theta-\theta')= \notag\\ &\;=(2\pi)^{d-2}\delta(\bar\theta-\bar\theta')\sum_{\pm}\int_{[-\pi,\pi]}\tilde\zeta_{\pm,e}(\theta_1-\xi,r_1) \overline{\tilde\zeta_{\pm,e}(\theta'_1-\xi,r'_1)}\,\tilde q_\pm(\xi,\bar\theta,r,r')\,d\xi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.7}
$$
Здесь $\theta=(\theta_1,\bar\theta)\in\mathrm K^d$, $\bar\theta=(\theta_2,\ldots,\theta_d)$, звездочкой обозначена свертка по $\theta$ и $\theta'$. В преобразовании Зака решение задачи (1.5) имеет вид (2.3), где
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal G}_t(\theta)=e^{\widetilde{\mathcal A}(\theta)t}=\cos(\Omega(\theta)t)\,\mathrm I+\sin(\Omega(\theta)t)\,C(\theta).
\end{equation}
\tag{А.8}
$$
Здесь $\mathrm I$ – единичная матрица, а матрица $C(\theta)$ определена в (3.7). Применяя преобразование Зака к матрице $Q_t(p,p')$, определенной в (3.1), получаем
$$
\begin{equation*}
\widetilde Q_t(\theta,\theta'):=\mathcal Z_{p\to (\theta,r)}\mathcal Z_{p'\to(-\theta',r')}[Q_t(p,p')]= \widetilde{{\mathcal G}}_t(\theta)\widetilde Q_0(\theta,\theta') \widetilde{{\mathcal G}}_t^{\kern1.5pt\mathrm T}(-\theta'), \qquad\theta,\theta'\in\mathrm K^d.
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом $\widetilde{{\mathcal G}}^{\kern1.5pt\mathrm T}_t(-\theta')=\widetilde{{\mathcal G}}^*_t(\theta')$, используя преобразование (А.7), находим, что при $Z\in\mathcal D$
$$
\begin{equation*}
\mathcal Q_t(Z,Z):=\langle Q_{t}(p,p'),Z(p)\otimes Z(p')\rangle= \frac{1}{(2\pi)^d}\sum_{\pm}\int_{\mathrm K^{d}} \bigl(\tilde q_{\pm}(\theta),I^Z_{\pm,t}(\theta,\,{\cdot}\,)\otimes I^Z_{\pm,t}(\theta,\,{\cdot}\,)\bigr)\,d\theta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $I^Z_{\pm,t}(\theta,r)$ обозначает внутренний векторнозначный интеграл,
$$
\begin{equation}
I^Z_{\pm,t}(\theta,r):= \frac{1}{2\pi}\int_{[-\pi,\pi]}\tilde\zeta_{\pm,e}(\eta,r_1) \widetilde{\mathcal G}^{\kern1.5pt\mathrm T}_t(\theta_1+\eta,\bar\theta)\, \overline{\widetilde Z_e(\theta_1+\eta,\bar\theta,r)}\,d\eta,\qquad r\in\mathcal{T}^d.
\end{equation}
\tag{А.9}
$$
А.3. Стабилизация корреляционных матриц $\mu_t$Введем следующее множество $\mathcal D^0\subset \mathcal D$:
$$
\begin{equation*}
\mathcal D^0=\bigcup_{N}\mathcal D_{N},\quad \mathcal D_{N}:=\biggl\{Z\in\mathcal D\,\bigg|\, \begin{aligned} \, &\Pi_\sigma \widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)=0\;\,\text{для всех}\;\,\sigma\geqslant N,\;\,\theta\in\mathrm K^d,\\ &\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)=0\;\,\text{в окрестности множества}\;\,\mathcal C\cup\partial \mathrm K^d \end{aligned}\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где множество $\mathcal{C}$ определено в (2.8). Напомним, что $\mathrm{mes}\,\mathcal{C}=0$. Лемма А.3. Пусть сходимость (3.8) имеет место для любых $Z\in\mathcal D^0$. Тогда сходимость (3.8) имеет место для любых $Z\in\mathcal D$. Эта лемма может быть доказана аналогично лемме 5.2 в [3]. Пусть $Z\in\mathcal D^0$, а $\operatorname{supp}\widetilde Z_e$ обозначает замыкание множества
$$
\begin{equation*}
\bigl\{\theta\in\mathrm K^d\colon\widetilde Z_e(\theta,y)\not\equiv 0,\,y\in\mathbb{T}_1^d\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что $\operatorname{supp}\widetilde Z_e\cap (\mathcal C\cup\partial \mathrm K^d)=\varnothing$. Следовательно, для любой точки $\Theta\in\operatorname{supp}\widetilde Z_e$ существует окрестность $\mathcal O(\Theta)\subset \mathrm K^d\setminus(\mathcal C \cup \partial \mathrm K^d) $ со свойствами из леммы 2.1. Таким образом, $\operatorname{supp} \widetilde Z_e\subset\bigcup_{m=1}^M \mathcal O(\Theta_m)$, где $\Theta_m\in\operatorname{supp} \widetilde Z_e$. Следовательно, существует конечное разбиение единицы
$$
\begin{equation}
\sum_{m=1}^M g_m(\theta)=1,\qquad \theta\in\operatorname{supp} \widetilde Z_e\subset\mathrm K^d\setminus(\mathcal C\cup\partial\mathrm K^d).
\end{equation}
\tag{А.10}
$$
Здесь $g_m$ – неотрицательные функции из $C_0^\infty(\mathrm K^d)$ с $\operatorname{supp}g_m\subset\mathcal O(\Theta_m)$, а собственные значения $\omega_\sigma(\theta)$ и проекторы $\Pi_\sigma(\theta)$ являются вещественно-аналитическими функциями от $\theta\in\operatorname{supp}g_m$ для каждого $m$ (мы не нумеруем эти функции индексом $m$, чтобы не усложнять обозначения). Пусть $Z\in\mathcal D_N$ с некоторым $N\in\mathbb{N}$. Используя разложение (2.7) и формулы (А.8)–(А.10), получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal Q_t(Z,Z)=\sum_{\sigma,\sigma'=1}^N\sum_{m=1}^M\sum_{\pm} \frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathrm K^{d}}g_m(\theta) \bigl(\tilde q_{\pm}(\theta),I^Z_{\pm,t,\sigma}(\theta,\,{\cdot}\,)\otimes I^Z_{\pm,t,\sigma'}(\theta,\,{\cdot}\,)\bigr)\,d\theta,
\end{equation}
\tag{А.11}
$$
где
$$
\begin{equation}
I^Z_{\pm,t,\sigma}(\theta,r):=\frac{1}{2\pi} \int_{[-\pi,\pi]}\tilde\zeta_{\pm,e}(\eta,r_1) \widetilde{\mathcal G}^{\kern1.5pt\mathrm T}_{t,\sigma}(\theta_1+\eta,\bar\theta)\Pi_\sigma(\theta_1+\eta,\bar\theta)\, \overline{\widetilde Z_e(\theta_1+\eta,\bar\theta,r)}\,d\eta;
\end{equation}
\tag{А.12}
$$
здесь $r\in\mathcal{T}^d$ и
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal G}_{t,\sigma}(\theta):=\cos\omega_\sigma(\theta)t\,\mathrm I+\sin\omega_\sigma(\theta)t\,C_\sigma(\theta),\qquad C_\sigma(\theta):=\begin{pmatrix} 0 & \omega^{-1}_\sigma(\theta) \\ -\omega_\sigma(\theta) & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{А.13}
$$
Следующая лемма вытекает из предложения А.4(i) в [11]. Лемма А.4. Пусть $\chi\in C^1(\mathrm K^d)$ и $\partial_{\theta_1} \omega_\sigma(\theta)\neq 0$ при $\theta\in\operatorname{supp}\chi\subset (\mathrm K^d\setminus\mathcal{C})$. Тогда для $\theta\in\operatorname{supp}\chi$ при $t\to+\infty$ мы имеем Следствие А.2. Пусть $Z\in\mathcal D_N$ с некоторым $N\in\mathbb{N}$. Тогда в силу соотношений (А.12), (А.13) и (А.5) получаем, что при $t\to+\infty$ Вернемся к доказательству сходимости (3.8). Положим
$$
\begin{equation}
M_{\sigma\sigma'}(\theta):=\frac{1}{4}\sum_{\pm}[\mathrm I\pm \mathrm i\operatorname{sgn}(\partial_{\theta_1}\omega_\sigma(\theta)) C_\sigma(\theta)] p_{\pm,\sigma\sigma'}(\theta) [\mathrm I\mp \mathrm i\operatorname{sgn}(\partial_{\theta_1}\omega_{\sigma'}(\theta))C^*_{\sigma'}(\theta)],
\end{equation}
\tag{А.15}
$$
где $p_{\pm,\sigma\sigma'}$ введены в (2.9). Тогда из (А.11), (А.14) и (А.15) вытекает, что при $t\to\infty$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\kern-12pt\mathcal Q_t(Z,Z)= \notag\\ \;&=\sum_{\sigma,\sigma'=1}^N\sum_{m=1}^M\frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathrm K^{d}}g_m(\theta) \bigl(\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,),\widetilde{\mathcal G}_{t,\sigma}(\theta)M_{\sigma\sigma'}(\theta) \widetilde{\mathcal G}^*_{t,\sigma'}(\theta)\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)\bigr)\,d\theta+o(1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.16}
$$
Используя разложение (А.13) и обозначения (А.15), имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal G}_{t,\sigma}(\theta)M_{\sigma\sigma'}(\theta) \widetilde{\mathcal G}^*_{t,\sigma'}(\theta)= \sum_{\pm}\bigl[\cos(\omega^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)t) A^\mp_{\sigma\sigma'}(\theta) +\sin(\omega^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)t) B^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)\bigr],
\end{equation}
\tag{А.17}
$$
где $\omega^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta):=\omega_\sigma(\theta)\pm\omega_{\sigma'}(\theta)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)&:=\frac{1}{2}[M_{\sigma\sigma'}(\theta)\pm C_\sigma(\theta)M_{\sigma\sigma'}(\theta)C^*_{\sigma'}(\theta)], \\ B^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)&:=\frac{1}{2}[C_\sigma(\theta)M_{\sigma\sigma'}(\theta)\pm M_{\sigma\sigma'}(\theta)C^*_{\sigma'}(\theta)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.18}
$$
Осциллирующие интегралы в (А.16) с $\omega^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)\not\equiv\text{const}$ стремятся к нулю при $t\to\infty$ по теореме Лебега–Римана, поскольку все подынтегральные выражения в (А.16) суммируемы в силу п. 2 следствия А.1. Более того, тождества $\omega^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)\equiv\text{const}_\pm$ с $\text{const}_\pm\neq 0$ невозможны в силу условия R4' (см. п. 2 замечания 2.3). Если выполнено условие R4, то при $\omega^\pm_{\sigma\sigma'}(\theta)\equiv\text{const}_\pm$ (с $\text{const}_\pm\ne 0$) матричные коэффициенты $A^\mp_{\sigma\sigma'}$ и $B^\pm_{\sigma\sigma'}$ в (А.17) равны нулю. Таким образом, только интегралы с $\omega^{-}_{\sigma\sigma'}(\theta)\equiv 0$ вносят вклад в предел, поскольку из $\omega^{+}_{\sigma\sigma'}(\theta)\equiv 0$ вытекает, что $\omega_\sigma(\theta)\equiv\omega_{\sigma'}(\theta)\equiv 0$, что невозможно в силу условия R2 (а также R3). Поэтому при $t\to\infty$
$$
\begin{equation}
\mathcal Q_t(Z,Z)=\sum_{\sigma=1}^N \sum_{m=1}^M\frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathrm K^{d}} g_m(\theta) \bigl(\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,), A^{+}_{\sigma\sigma}(\theta)\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)\bigr)\,d\theta+o(1).
\end{equation}
\tag{А.19}
$$
Наконец, применяя (2.9) и формулу для $C_\sigma$ из (А.13), перепишем матрицу $A^{+}_{\sigma\sigma}$ в виде $A^{+}_{\sigma\sigma}(\theta) =\Pi_\sigma(\theta)\tilde q_\infty(\theta)\Pi_\sigma(\theta)$, где $\tilde q_\infty(\theta)$ определено в (3.6). Утверждение 1 теоремы 3.1 доказано.
Приложение Б. Существование гиббсовских мерОбозначим через $\mathbb{E}_\beta$ математическое ожидание по мере $g_\beta$. По теореме Минлоса для доказательства леммы 4.1 достаточно проверить, что для всех $s,\alpha<-d/2$
$$
\begin{equation}
\mathbb{E}_\beta(\|Y\|^2_{s,\alpha})\equiv\int\|Y\|^2_{s,\alpha}\, g_\beta(dY)\leqslant C<\infty.
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
Поскольку мера $g_\beta$ инвариантна относительно сдвигов в $\mathbb{Z}^d$ и $\alpha<-d/2$, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathbb{E}_\beta^{}(\|Y\|^2_{s,\alpha})\leqslant C(\alpha,d)e^s_\beta, \\ e^s_\beta:=\mathbb{E}_\beta^{}\biggl[\,\int_{\mathrm K_1^d}\bigl(|\Lambda^{s+1}\psi(y)|^2+|\Lambda^s\pi(y)|^2\bigr)\,dy +|u(0)|^2+|v(0)|^2\bigg], \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где операторы $\Lambda^s$ введены в (2.1). Пусть $Y(p)=(\psi(x),u(k),\pi(x),v(k))$ – случайная функция с распределением $g_\beta$. Обозначим через $C^s_\beta$ корреляционный оператор случайной функции
$$
\begin{equation*}
Y^s:=\bigl((\Lambda^{s+1}\psi)(y)|_{y\in\mathrm K_1^d},u(0),(\Lambda^s\pi)(y)|_{y\in\mathrm K_1^d},v(0)\bigr)\in\mathcal H_0:= [\mathrm H^0(\mathrm K_1^d)\oplus \mathbb{R}^n]^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $e^s_\beta$ равно следу оператора $C^s_\beta$ в $\mathcal H_0$. Заметим, что $C^s_\beta=\operatorname{Op}(q^s_\beta(0,r,r'))$ является интегральным оператором с ядром $q^s_\beta(0,r,r')$, где
$$
\begin{equation}
q^s_\beta(0,r,r')=\frac{1}{(2\pi)^d}\int_{\mathrm K^d} e^{-\mathrm i\theta\cdot(r-r')}\tilde q^s_\beta(\theta,r,r')\,d\theta,\qquad r,r'\in\mathrm K_1^d\cup\{0\}.
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
Обозначим через $\tilde q^s_\beta(\theta):=\operatorname{Op}(\tilde q^s_\beta(\theta,r,r'))$ интегральный оператор с ядром $\tilde q^s_\beta(\theta,r,r')$, где $\tilde q^s_\beta(\theta)=\bigl(\tilde q^{s,ij}_\beta(\theta)\bigr)_{i,j=0,1}$. Тогда $\tilde q^{s,ij}_\beta(\theta)=0$ при $i\neq j$ и
$$
\begin{equation*}
\tilde q^{s,ii}_\beta(\theta)=\widetilde{\mathbf{\Lambda}}^{s+1-i}(\theta)\tilde q^{ii}_\beta(\theta)\widetilde{\mathbf{\Lambda}}^{s+1-i}(\theta),\qquad i=0,1,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tilde q^{ii}_\beta(\theta)$ введены в (4.1) и (4.2). Оператор $\widetilde{\mathbf{\Lambda}}^s(\theta)\colon\mathrm H_1^s\to \mathrm H^0_1$ определяется соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widetilde{\mathbf{\Lambda}}^s(\theta)(\psi(\,{\cdot}\,),u):=(\widetilde{\Lambda}^s(\theta)\psi,u),\qquad (\psi,u)\in\mathrm H^s_1\equiv\mathrm H^s(\mathbb{T}_1^d)\oplus\mathbb{C}^n, \\ (\widetilde{\Lambda}^s(\theta)\psi)(y):=F^{-1}_{l\to y}[\langle2\pi l+\theta\rangle^s\psi^\#(l)], \\ \psi^\#(l):=F_{y\to l}[\psi(y)]=\int_{\mathbb{T}_1^d}e^{2\pi\mathrm i\,l\cdot y}\psi(y)\,dy,\qquad l\in\mathbb{Z}^d. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (Б.2) вытекает, что
$$
\begin{equation*}
e^s_\beta=\operatorname{tr}_{\mathcal H_0} C^s_\beta= \frac{1}{(2\pi)^d} \int_{\mathrm K^d}\operatorname{tr}_{\mathcal H_0}[e^{-\mathrm ir\cdot\theta}\tilde q^s_\beta(\theta)e^{\mathrm ir'\cdot \theta}]\,d\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $e^{-\mathrm ir\cdot\theta}\colon(\psi(y),u)\to (e^{-\mathrm iy\cdot\theta}\psi(y),u)$ ограничен в $\mathrm H_1^0$. В свою очередь, операторы $\tilde q^{s,ii}_\beta(\theta)$, $i=0,1$, неотрицательны и самосопряжены в $\mathrm H_1^0$, так как
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathrm K^d} \bigl(\tilde q^{s,ii}_\beta(\theta),\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)\otimes\widetilde Z_e(\theta,\,{\cdot}\,)\bigr)\,d\theta= C\int|\langle\mathbf{\Lambda}^{s+1-i}Y,Z\rangle|^2\,g_\beta^{i}(dY)\geqslant 0
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $Z\in D_{\mathrm F}\oplus D_{\mathrm L}$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
e^s_\beta\leqslant C \int_{\mathrm K^d}\operatorname{tr}_{\mathrm H_1^0}[\tilde q^s_\beta(\theta)]\,d\theta= C \int_{\mathrm K^d} \operatorname{tr}_{\mathrm H^0_1} \bigl[\widetilde{\mathbf{\Lambda}}^s(\theta) \bigl(\widetilde{\mathbf{\Lambda}}(\theta)\tilde q^{00}_\beta(\theta)\widetilde{\mathbf{\Lambda}}(\theta) +\tilde q^{11}_\beta(\theta)\bigr) \widetilde{\mathbf{\Lambda}}^s(\theta)\bigr]\,d\theta,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tilde q^{ii}_\beta(\theta)$ определены в (4.1) и (4.2). Оператор
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf{\Lambda}}(\theta)\tilde q^{00}_\beta(\theta)\widetilde{\mathbf{\Lambda}}(\theta)= \beta^{-1}\widetilde{\mathbf{\Lambda}}(\theta)\widetilde{\mathcal H}^{-1}(\theta)\widetilde{\mathbf{\Lambda}}(\theta)
\end{equation*}
\notag
$$
ограничен в $\mathrm H_1^0$ (равномерно по $\theta\in\mathrm K^d$), так как $\|\widetilde{\mathcal H}^{-1}(\theta)Y\|_{\mathrm H_1^1}\leqslant C\|Y\|_{\mathrm H_1^{-1}}$ для всех $Y\in\mathrm H_1^{-1}$ (см. лемму 9.2 в [3]). При этом
$$
\begin{equation*}
\int_{\mathrm K^d} \operatorname{tr}_{\mathrm H^0_1}[\widetilde{\mathbf{\Lambda}}^{2s}(\theta)]\,d\theta\leqslant C\int_{\mathbb{R}^d}\langle\xi\rangle^{2s}\,d\xi<\infty,\qquad s<-\frac{d}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $e^s_\beta\leqslant C\beta^{-1}<\infty$ в силу теоремы 1.6 в [21]. Отсюда вытекает оценка (Б.1). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у нее нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dud24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|