Щань-Юй Чжоу, “Новые достижения в теории функций многих комплексных переменных и комплексной геометрии”, ТМФ, 218:1 (2024), 187–203; Theoret. and Math. Phys., 218:1 (2024), 163

Аннотация: Дан обзор недавних новых результатов в области обратных теорем о $L^2$-существовании и $L^2$-продолжении, составляющих две основные части $L^2$-теории. Эти результаты используются для получения критерия положительности по Гриффитсу и условий положительности по Накано для (сингулярных) эрмитовых метрик голоморфных векторных расслоений, а также для доказательства сильной открытости и устойчивости пучков мультипликативных подмодулей, связанных с сингулярными неотрицательными по Накано эрмитовыми метриками на голоморфных векторных расслоениях.

Посвящается Василию Сергеевичу Владимирову в честь столетия со дня его рождения

В 1988 г. я впервые встретился с профессором В. С. Владимировым в Пекине, когда он и профессор Карацуба по приглашению профессора Ци-Кен Лу участвовали в международной конференции, посвященной профессору Лоо-Кэн Хуа. Это мероприятие положило начало новым отношениям по обмену между Институтом математики Китайской академии наук и Математическим институтом им. В. А. Стеклова Российской академии наук. В настоящее время мы с профессором Арменом Сергеевым продолжаем и расширяем отношения, установленные Лу и Владимировым, что способствует созданию Китайско-Российского математического центра. Совсем недавно профессор Армен Сергеев был удостоен Пекинской премии международного сотрудничества.

После того как мне удалось доказать замечательную гипотезу Сергеева о матричных областях Рейнхардта [1], в 1990–1998 гг. профессор Владимиров несколько раз приглашал меня посетить Математический институт. Он вдохновил меня на исследование его любимой задачи – гипотезы о расширенной трубе будущего, выдвинутой им одновременно с Н. Н. Боголюбовым, а также А. С. Вайтманом и Р. Йостом. Эта впечатляющая гипотеза тесно связана с шестой проблемой Гильберта и Проблемой тысячелетия в квантовой теории поля и калибровочной теории поля [2]. Впервые я узнал об этой гипотезе от моего наставника профессора Лу (ученика профессора Хуа) и услышал от него, что, по мнению В. С. Владимирова, школа Хуа находится ближе всех к решению этой гипотезы. В то время я почти ничего не знал об этой гипотезе. В 1997 г. мне удалось найти ее доказательство [3], и в 1998 г. я получил степень доктора наук в Математическом институте им. В. А. Стеклова. Это доказательство во многом опирается на результаты, идеи и методы Хуа, связанные с классическими областями. Во время моего пребывания в Москве мне посчастливилось пообщаться с В. С. Владимировым, посетить его семинар на кафедре математической физики, прочитать его монографию [4] и статьи.

1. Предыстория и известные результаты

1.1. Плюрисубгармонические функции

Определение 1.1. Пусть $\Omega$ – область в $\mathbb C^n$. Функция $\varphi\colon\Omega\to[-\infty,+\infty)$ называется плюрисубгармонической (кратко псг-функцией), если

1) она полунепрерывна сверху;

2) для любой комплексной прямой $L\subset\mathbb C^n$ сужение функции $\varphi$ на множество $L\cap\Omega$ является субгармонической функцией, т. е. для любых $a\in\Omega$ и $\xi\in\mathbb C^n$, таких что $|\xi|<\operatorname{dist}(a,\complement\Omega)$, функция $\varphi$ удовлетворяет следующему неравенству о среднем:

$$ \begin{equation*} \varphi(a)\leqslant\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\varphi(a+e^{i\theta}\xi)\,d\theta. \end{equation*} \notag $$

Множество всех псг-функций на $\Omega$ обозначается как $Psh(\Omega)$. Обозначим через $d^{\,\mathrm c}$ оператор $\frac{i}{2\pi}(\bar\partial-\partial)$, тогда $dd^{\,\mathrm c}=\frac{i}{\pi}\partial\bar\partial$. Основное свойство псг-функции $\varphi$ состоит в том, что $dd^{\,\mathrm c}\varphi\geqslant 0$ в смысле потоков, и наоборот, для любой $v\in L^1_{\text{loc}}$, такой что $dd^{\,\mathrm c}v\geqslant 0$ в смысле потоков, существует единственная псг-функция $\varphi$, которая является распределением, соответствующим $v$.

Определение 1.2. Пусть $\Omega$ – область в $\mathbb C^n$. Функция $\varphi\colon\Omega\to[-\infty,+\infty)$ называется строго псг-функцией, если для любой точки $x\in\Omega$ существует $\varepsilon>0$, такое что $\varphi-\varepsilon\|z\|^2$ есть псг-функция в окрестности точки $x$; здесь $z=(z_1,\ldots,z_n)$ – евклидовы координаты на $\mathbb C^n$.

Множество $P(\varphi)$ особенностей (или полюсов) псг-функции $\varphi$ – это множество точек $z\in\Omega$, таких что $\varphi(z)=-\infty$. Множество $E\subset\Omega$ называется плюриполярным (вполне плюриполярным) множеством, если существует псг-функция $\phi$ на $\Omega$, такая что $E\subset P(\varphi)$ (соответственно $E=P(\varphi)$). Имеется глубокая связь между комплексным аналитическим подмножеством и вполне плюриполярным множеством. Например, пусть комплексное аналитическое подмножество $A$ имеет вид

Композиция псг-функции с голоморфным отображением по-прежнему остается псг-функцией, и тогда понятие псг-функции приобретает смысл на любом комплексном многообразии (и даже в комплексном пространстве).

Псг-функции играют важную роль при изучении сингулярных метрик на голоморфных линейных расслоениях.

Определение 1.3. Сингулярная эрмитова метрика $h$ на голоморфном линейном расслоении $L$ – это метрика, заданная в любой тривиализации $\theta\colon L|_{{\Omega}}\stackrel{\simeq}{\to}\Omega\times\mathbb C$ как

$$ \begin{equation*} \|\xi\|_h=|\theta(\xi)|e^{-\varphi(x)},\qquad x\in\Omega,\qquad\xi\in L_x, \end{equation*} \notag $$

где $\varphi\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$ – произвольная функция, называемая весом метрики относительно тривиализации $\theta$.

Пусть $h$ – сингулярная эрмитова метрика на $L$. Тогда кривизна расслоения $L$ формально задается замкнутым $(1,1)$-потоком $\frac{i}{2\pi}\Theta_{L,h}=dd^{\,\mathrm c}\varphi$ на $\Omega$, при этом предположение, что $\varphi\in L^1_{\text{loc}}(\Omega)$, гарантирует существование $\Theta_{L,h}$ в смысле теории распределений. Хорошо известно, что $\frac{i}{2\pi}\Theta_{L,h}=dd^{\,\mathrm c}\varphi$ глобально определена на $X$ и не зависит от выбора тривиализации, а класс ее когомологий де Рама является образом первого класса Черна $c_1(L)\in H^2(X,\mathbb Z)$ в $H^2_{\mathrm{dR}}(X,\mathbb R)$.

Существует несколько важных понятий, связанных с положительностью голоморфных линейных расслоений, которые определяются в терминах псг-функций.

Определение 1.4. Пусть $L$ – голоморфное линейное расслоение на комплексном эрмитовом многообразии $(X,\omega)$.

• Мы говорим, что $L$ псевдоэффективное, если существует сингулярная эрмитова метрика $h$ на $L$, такая что $i\Theta_{L,h}\geqslant 0$ в смысле потоков, т. е. локальный вес $\varphi$ метрики $h$ можно выбрать как псг-функцию относительно любой тривиализации.

• Мы говорим, что $L$ положительное, если существует гладкая эрмитова метрика $h$ на $L$, такая что $i\Theta_{L,h}\geqslant\varepsilon\omega$ для некоторого $\varepsilon>0$, т. е. локальный вес $\varphi$ метрики $h$ можно выбрать как строго псг-функцию относительно любой тривиализации.

• Мы говорим, что $L$ большое, если существует сингулярная эрмитова метрика $h$ на $L$, такая что $i\Theta_{L,h}\geqslant\varepsilon\omega$ для некоторого $\varepsilon>0$, т. е. локальный вес $\varphi$ метрики $h$ можно выбрать как строго псг-функцию относительно любой тривиализации.

1.2. Пучки мультпликативных идеалов

Пучок мультпликативных идеалов, ассоциированный с псг-функцией, является важным понятием для количественного описания сингулярности.

Определение 1.5. Пусть $X$ – комплексное многообразие и $\varphi$ – псг-функция на открытом подмножестве $\Omega\subset X$. Пучок мультпликативных идеалов $\mathscr I(\varphi)$, ассоциированный с $\varphi$ – это подпучок идеалов в пучке $\mathscr O(\Omega)$ ростков голоморфных функций $f\in\mathscr O_{\Omega,x}$, таких что $|f|^2e^{-\varphi}$ локально интегрируема в точке $x$ по мере Лебега. Аналогично мы можем определить $L^p$-пучок мультпликативных идеалов $\mathscr I_p(\varphi)$, ассоциированный с $\varphi$, как подпучок идеалов в пучке $\mathscr O_\Omega$ ростков голоморфных функций $f\in\mathscr O_{\Omega,x}$, таких что $|f|^pe^{-\varphi}$ локально интегрируема в точке $x$ по мере Лебега.

Пучок мультпликативных идеалов $\mathscr I(\varphi)$ имеет следующие основные свойства.

Тогда множество точек, в окрестности которых функция $e^{-\varphi}$ неинтегрируема, есть не что иное, как нулевое многообразие $V(\mathscr I(\varphi))=\operatorname{supp}(\mathscr O_\Omega /\mathscr I(\varphi))$. В частности, это аналитическое подмножество.

Определение 1.6. Пусть $L$ – голоморфное линейное расслоение на комплексном многообразии $X$ с сингулярной эрмитовой метрикой $h$, такое что $i\Theta_{L,h}\geqslant 0$ в смысле потоков. Если псг-функция $\varphi$ – это весовая функция метрики $h$ относительно локальной тривиализации, то пучок идеалов $\mathscr I(\varphi)$ не зависит от выбора тривиализации и, следовательно, является ограничением на $\Omega$ глобального когерентного пучка на $X$. Мы определяем $\mathscr I(h)$ как этот глобальный когерентный пучок на $X$. Иногда, злоупотребляя обозначениями, мы будем писать $\mathscr I(\varphi)$ вместо $\mathscr I(h)$.

Имеет место фундаментальная теорема Наделя об обращении в нуль [5], [6].

Теорема 1.2. Пусть $(X,\omega)$ – кэлерово слабо псевдовыпуклое многообразие и $L$ – голоморфное линейное расслоение над $X$, снабженное сингулярной эрмитовой метрикой $h$ с весом $\varphi$. Предположим, что $i\Theta_{L,h}\geqslant\varepsilon\omega$ для некоторой непрерывной положительной функции $\varepsilon$ на $X$. Тогда

$$ \begin{equation*} H^q(X,\mathscr O(K_X+L)\otimes\mathscr I(h))=0\quad\textit{для всех}\quad q\geqslant 1. \end{equation*} \notag $$

Используя эту теорему и технику пучков мультпликативных идеалов, можно дать единое решение проблемы Леви и теоремы Кодаиры об обращении в нуль.

1.3. Гипотеза Демайи о сильной открытости

Пусть $X$ – комплексное многообразие и $\varphi$ – псг-функция на $X$. Зададим

Гипотеза Демайи о сильной открытости [7] формулируется следующим образом.

Эта гипотеза была также сформулирована в работах [8], [9]. Когда функция $e^{-\varphi}$ локально интегрируема, т. е. пучок мультипликативных идеалов $\mathscr I(\varphi)$ тривиален, гипотеза Демайи, которую в этом случае называют гипотезой об открытости, была доказана Берндтсоном [10]. Для случая, когда комплексное многообразие $X$ имеет комплексную размерность $n=2$, эта гипотеза была доказана в работах [11]–[13]. В реферате в “Mathematical Reviews” (MR3418526) было отмечено, что гипотеза Демайи “was thought to be rather inaccessible for $n>2$” ( считалась практически неприступной для $n>2$). Недавно Гуан и автор настоящей статьи полностью доказали гипотезу Демайи с помощью совершенно разных методов [14].

Приведенная выше теорема имеет следующую эквивалентную формулировку.

Теорема 1.4 [14]. Пусть $\{\varphi_j\}$ – возрастающая последовательность псг-функций, сходящаяся к псг-функции $\varphi$, $\varphi_j\nearrow\varphi$, тогда

$$ \begin{equation*} \bigcup_j\mathscr I(\varphi_j)=\mathscr I(\varphi). \end{equation*} \notag $$

Пусть $\psi$ – другая псг-функция, тогда

$$ \begin{equation*} \bigcup_{\varepsilon>0}\mathscr I((\varphi+\varepsilon\psi))=\mathscr I(\varphi). \end{equation*} \notag $$

Из этих теорем вытекают три следствия, также доказанные в [14].

Следствие 1.1. Пусть $u,v\colon(\mathbb C^n,0)\to\mathbb R\cup\{-\infty\}$ суть два псг-ростка. Следующие утверждения эквивалентны.

1. При всех $t>0$ имеет место равенство $\mathscr I(tu)=\mathscr I(tv)$.

2. Для любой подходящей модификации $\pi\colon X_\pi\to\mathbb C^n$ над точкой $0$ и всех точек $p\in\pi^{-1}(0)$ число Лелонга $\nu (u\circ\pi,p)=\nu(v\circ\pi,p)$.

Предположение о том, что справедлив такой результат, было сделано в работе [15], где было показано, что равенство $\mathscr I_{+}(tu)=\mathscr I_{+}(tv)$ для всех $t>0$ эквивалентно п. 2 следствия.

Замечание 1.1. В работе [16] Цао получил такую же теорему для $\mathscr I_{+}(h)$. При этом и Демайи, и Цао с самого начала ставили вопрос: верно ли это утверждение для $\mathscr I(h)$? Наш результат представляет собой комбинацию нашего решения гипотезы Демайи о сильной открытости (теорема 1.3) и известного результата Цао.

Пусть $L$ – голоморфное линейное расслоение на гладком проективном комплексном многообразии $X$ с размерностью Кодаиры–Иитаки $\kappa(X,L)\geqslant 0$. Тогда асимптотический мультипликативный идеал $\mathscr I(\|L\|)$ можно определить как максимальный член семейства идеалов $\{\mathscr I(\frac{1}{k}\cdot |kL|)\}$ (где $k$ велико). Демайи показал [17], что если $L$ – любой псевдоэффективный линейный дивизор, то с точностью до эквивалентности особенностей $\mathscr O_X(L)$ имеет единственную сингулярную метрику $h_{\min}$ с минимальными особенностями, имеющими поток неотрицательной кривизны. Пусть $\mathscr I(h_{\min})$ – соответствующий пучок мультипликативных идеалов для $h_{\min}$.

Результат, сформулированный в приведенном выше следствии, был предположен в работе [18], а также отмечен как открытая проблема в книге [19].

Недавно решение гипотезы Демайи о сильной открытости, в частности теорема 1.3, существенным образом использовалось в [20] для получения нового доказательства обобщения гипотезы Яу–Тяня–Дональдсона: на многообразиях Фано существование метрики Кэлера–Эйнштейна эквивалентно (равномерной) $K$-устойчивости. Эта гипотеза была недавно доказана в работах [21] и [22].

Следующий результат об устойчивости пучка мультпликативных идеалов был установлен в [23].

Теорема 1.5. Пусть $\{\varphi_j\}_{j\in\mathbb N^+}$ – последовательность отрицательных псг-функций на открытом подмножестве $D\subset\mathbb C^n$, сходящаяся к $\varphi\in Psh(D)$ по мере Лебега, и $\mathscr I(\varphi_j)_o\subset\mathscr I(\varphi)_o$. Пусть последовательность $\{F_j\}_{j\in\mathbb N^+}$ в $\mathscr O(D)$, такая что $(F_j,o)\in\mathscr I(\varphi)_o$, компактно сходится к $F\in\mathscr O(D)$. Тогда $|F_j|^2e^{ -\varphi_j}\to |F|^2e^{-\varphi}$ по норме пространства $L^1$ в окрестности точки $o$. В частности, существует $\varepsilon_0>0$, такое что $\mathscr I(\varphi_j)_o=\mathscr I((1+\varepsilon_0)\varphi_j)_o=\mathscr I(\varphi)_o$ для любого достаточно большого $j$.

Доказательство основано на результатах работы [24]. Из теоремы об устойчивости можно легко вывести следствие [9], [25].

1.4. $L^2$-теория оператора $\bar\partial$

Важным инструментом в теории функций многих комплексных переменных и комплексной геометрии является теорема Хёрмандера о существовании в $L^2$ $\bar\partial$-оператора [26].

Теорема 1.6. Пусть $\Omega\subset\mathbb C^n$ есть ограниченная гладкая строго псевдовыпуклая область и $\phi\in Psh(\Omega)\cap\mathcal C^\infty(\overline{\Omega})$. Пусть $f$ – $(0,1)$-форма с $\bar\partial f=0$. Тогда существует функция $u$ на $\Omega$, такая что $\bar\partial u=f$. При этом справедлива оценка

$$ \begin{equation*} \int_\Omega |u|^2e^{-\phi}\leqslant\int_\Omega |f|^2_{i\,\partial\bar\partial\phi}e^{-\phi} \end{equation*} \notag $$

при условии, что правая часть конечна.

С точки зрения комплексной геометрии приведенная выше теорема соответствует случаю голоморфного линейного расслоения, снабженного сингулярной метрикой с псг-весом. Существует также версия оценки Хёрмандера $L^2$-типа для оператора $\bar\partial$ в случае векторного расслоения, разработанная Демайи [27].

Пусть $(X,\omega)$ – комплексное многообразие комплексной размерности $n$, снабженное эрмитовой метрикой $\omega$, и $(E,h)$ – эрмитово голоморфное векторное расслоение ранга $r$ над $X$. В этом пункте мы предполагаем, что $r<\infty$.

Пусть $D=D'+\bar{\partial}$ есть связность Черна расслоения $(E,h)$ и $\Theta_{E,h}=[D',\bar\partial]=D'\bar{\partial}+\bar{\partial}D'$ – тензор кривизны Черна. Обозначим через $(e_1,\ldots,e_r)$ ортонормированную систему координат в $E$ над координатной картой $\Omega\subset X$ с комплексными координатами $(z_1,\ldots,z_n)$ и запишем равенство

Определение 1.7. Пространство $E$ называется положительным (неотрицательным) по Накано, если $\theta_{E,h}$ положительно (соответственно неотрицательно) определена как эрмитова форма на $TX\otimes E$, т. е. $\theta(u,u)>0$ (соответственно $\theta(u,u)\geqslant 0$) для любого $u\in TX\otimes E$, $u\neq 0$.

Пространство $E$ называется положительным (неотрицательным) по Гриффитсу, если $\theta(\xi\otimes s,\xi\otimes s)>0$ (соответственно $\theta(\xi\otimes s,\xi\otimes s)\geqslant 0$) для любого $x\in X$, всех $\xi\in T_xX$, $\xi\neq 0$, и $s\in E_x$, $s\neq 0$.

Пространства, отрицательные и неположительные по Накано и по Гриффитсу определяются аналогичным образом путем замены в приведенных выше определениях неравенств $>0$ и неравенств $\geqslant 0$ на соответственно $<0$ и $\leqslant 0$.

Лемма 1.1. Пусть $(X,\omega)$ – кэлерово многообразие, $(E,h)$ – эрмитово векторное расслоение над $X$. Тогда $(E,h)$ положительно (неотрицательно) по Накано, если и только если эрмитов оператор $[i\Theta_{E,h},\Lambda_\omega]$ положительно (неотрицательно) определен на $\Lambda^{n,1}T^*_X\otimes E$.

Напомним $L^2$-оценку для $\bar\partial$, полученную Хёрмандером, и понятие $L^2$-продолжения голоморфных сечений типа Озавы–Такэгоси для голоморфных векторных расслоений.

Сначала введем некоторые понятия и обозначения. Пусть $H$ – гильбертово пространство со скалярным произведением $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)$ и $A\colon H\to H$ – ограниченный неотрицательный самосопряженный оператор с замкнутым пространством значений $\operatorname{Im}A$. Тогда имеет место разложение в прямую сумму

Имеет место следующая $L^2$-оценка Демайи (см. теорему 4.5 в [27]).

Теорема 1.7. Пусть $X$ – полное кэлерово многообразие с кэлеровой метрикой $\omega$, которая не обязательно является полной. Пусть $(E,h)$ – эрмитово векторное расслоение ранга $r$ над $X$. Предположим, что оператор кривизны $B:=[i\Theta_{E,h},\Lambda_\omega]$ неотрицательно определен всюду на $\Lambda^{p,q}T_X^*\otimes E$ при некотором $q\geqslant 1$. Тогда для любой формы $g\in L^2(X,\Lambda^{p,q}T^*_{X}\otimes E)$, такой что $\bar{\partial}g=0$ и $\int_X \langle B^{-1}g,g\rangle\,dV_\omega<+\infty$, существует форма $f\in L^2(X,\Lambda^{p,q-1}T^*_X\otimes E)$ такая, что $\bar{\partial}f=g$ и

$$ \begin{equation*} \int_X|f|^2dV_\omega\leqslant\int_X\langle B^{-1}g,g\rangle\,dV_\omega. \end{equation*} \notag $$

Приведем также теорему Озавы–Такэгоси о $L^2$-продолжении [28].

Теорема 1.8. Пусть $\Omega\subset\mathbb C^n$ – ограниченная псевдовыпуклая область, $V\subset\Omega$ – замкнутое комплексное подмногообразие в $\Omega$. Пусть функция $\phi\in Psh(\Omega)$ такова, что $\phi|_V\not\equiv-\infty$. Тогда для любой голоморфной функции $f$ на $V$, такой что $\int_V|f|^2e^{-\phi}<+\infty$, существует голоморфная функция $F$ на $\Omega$, такая что $F|_V=f$ и

$$ \begin{equation*} \int_V|f|^2 e^{-\phi|_V}\leqslant {{C}}\int_\Omega|F|^2e^{-\phi}, \end{equation*} \notag $$

где $C$ – постоянная, зависящая только от диаметра области $\Omega$ и коразмерности многообразия $V$ в $\Omega$.

Следующая теорема об оптимальном $L^2$-продолжении для кэлеровых семейств была доказана в работе [29] (см. теорему 1.1). Такой же результат для проективных семейств был доказан в [30]–[32].

Теорема 1.9. Пусть $\pi\colon X\to B$ есть собственная голоморфная субмерсия комплексного $n$-мерного кэлерова многообразия $(X,\omega)$ на единичный шар в $\mathbb C^m$. Пусть $(E,h_E)$ – эрмитово голоморфное векторное расслоение над $X$, такое что кривизна $i\Theta_{E,h_E}\geqslant 0$ по Накано. Пусть $t_0\in B$ есть произвольная неподвижная точка. Тогда для любого сечения $u\in H^0(X_{t_0},K_{X_{t_0}}\otimes E|_{X_{t_0}})$, такого что

$$ \begin{equation*} \int_{X_{t_0}}|u|_{\omega, h}^2\,dV_{\omega_{X_{t_0}}}<+\infty, \end{equation*} \notag $$

существует сечение $\widetilde u\in H^0(X,K_X\otimes E)$, для которого $\widetilde u|_{X_{t_0}}=\widetilde u\wedge dt$, удовлетворяющее следующей $L^2$-оценке:

$$ \begin{equation*} \int_X|\widetilde u|^2_{\omega,h}dV_{X,\omega}\leqslant\mu(B)\int_{X_{t_0}}|u|_{\omega, h}^2\,dV_{\omega_{X_{t_0}}}, \end{equation*} \notag $$

где $dt=dt_1\wedge\cdots\wedge dt_m$ и $t=(t_1,\ldots,t_m)$ – голоморфные координаты на $\mathbb C^m$, а $\mu(B)$ – объем единичного шара в $\mathbb C^m$ по мере Лебега на $\mathbb C^m$.

2. Обратные теоремы о $L^2$-продолжении и критерии положительности по Гриффитсу

В статье [31] мы показали, что теорема об оптимальном $L^2$-продолжении влечет вариацию плюрисубгармоничности ядер Бергмана, используя результаты работ [33]–[35]. Полученный нами результат [31] можно рассматривать как обращение теоремы об оптимальном $L^2$-продолжении. Это наблюдение получило дальнейшее развитие в работе [36] и позволило добиться важного прогресса в изучении гипотезы Иитаки.

Впоследствии мы с учениками начали систематическое изучение различных аспектов обратных теорем о $L^2$-существовании и оптимальном $L^2$-продолжении (в том числе, теоремы Озавы–Такэгоси). Сначала сформулируем обратную к теореме Осавы–Такэгоси о $L^2$-продолжении [37].

Теорема 2.1. Пусть $\varphi\colon D\to [-\infty,+\infty)$ есть полунепрерывная сверху функция, заданная на $D\subset\mathbb{C}^n$, не равная тождественно $-\infty$. Пусть $p>0$ есть фиксированная постоянная. Пусть для каждого $z_0\in D$, такого что $\varphi(z_0)>-\infty$, и любого $m>0$ существует $f\in\mathcal O(D)$, такая что $f(z_0)=1$ и

$$ \begin{equation*} \int_D|f|^{p}e^{-m\varphi}\leqslant C_me^{-m\varphi(z_0)}, \end{equation*} \notag $$

где $C_m$ – постоянная, не зависящая от $z_0$ и удовлетворяющая условию $\frac{1}{m}\ln C_m\to 0$ при $m\to\infty$. Тогда $\varphi$ – псг-функция.

Доказательство этой теоремы опирается на метод регуляризация Демайи для псг-функций [38]. Используя теорему 2.1, можно дать новое доказательство результата из работы [39] о неотрицательности по Гриффитсу прямого образа относительных канонических пучков.

Напомним понятие сингулярных финслеровых метрик на голоморфных векторных расслоениях и дадим определение таких метрик положительной кривизны на когерентных аналитических пучках (см. работу [37], а также [40]).

Определение 2.1. Пусть $E\to X$ есть голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием $X$. (Сингулярная) финслерова метрика $h$ на $E$ – это функция $h\colon E\to [0,+\infty]$, такая что $|cv|^2_h=|c|^2h(v)$, где $|v|^2_h:=h(v)$ для любых $v\in E$ и $c\in\mathbb{C}$, и при этом множества

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, Z&:=\{x\in X\mid\exists 0\neq\xi\in E_x\colon |\xi|_{h(x)}=0\}, \\ P&:=\{x\in X\mid\exists 0\neq\xi\in E_x\colon |\xi|_{h(x)}=+\infty\} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

имеют меру $0$.

В приведенном выше определении неравенство треугольника и какие-либо свойства регулярности не требуются. Только при рассмотрении положительности по Гриффитсу требуется определенная регулярность, как показано в следующем определении [40].

Определение 2.2. Пусть $E\to X$ есть голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием $X$. Метрика $h$ называется сингулярной эрмитовой метрикой на $E$, если $\xi\in E_z\mapsto(\langle\xi,\xi\rangle_{h(z)})^{1/2}$ есть сингулярная финслерова метрика, такая что $h(z)$ – измеримая неотрицательная эрмитова метрика на множестве $X\backslash P$.

Определение 2.3 [37]. Для сингулярной финслеровой метрики $h$ на $E$ ее двойственная финслерова метрика $h^*$ на расслоении $E^*$, двойственном к $E$, определяется следующим образом. Для $f\in E^*_x$ (где $E^*_x$ – слой в $E^*$ в точке $x\in X$) $|f|_{h^*}$ равна нулю, если $|v|_h =+\infty$ для всех ненулевых $v\in E_x$, а в противном случае

$$ \begin{equation*} |f|_{h^*}:=\sup\bigl\{\,|f(v)|\,\big|\,v\in E_x, |v|_h\leqslant 1\bigl\}\leqslant+\infty. \end{equation*} \notag $$

Определение 2.4 [37]. Пусть $E\to X$ есть голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием $X$. Сингулярная финслерова метрика $h$ на $E$ называется метрикой отрицательной кривизны (по Гриффитсу), если для любого локального голоморфного сечения $s$ в $E$ функция $\ln|s|^2_h$ является псг-функцией. Сингулярная финслерова метрика $h$ на $E$ называется метрикой положительной кривизны (по Гриффитсу), если ее двойственная метрика $h^*$ на $E^*$ есть метрика отрицательной кривизны. Сингулярная эрмитова метрика $h$ на $E$ называется метрикой отрицательной (положительной) кривизны по Гриффитсу, если ассоциированная с ней финслерова метрика $h$ (соответственно двойственная метрика $h^*$) на $E$ (соответственно на $E^*$) является метрикой отрицательной кривизны.

Хорошо известен следующий факт. Пусть $h$ – гладкая эрмитова метрика на $E$, тогда следующие условия эквивалентны:

1) $h$ есть гладкая неположительная по Гриффитсу метрика;

2) $|u|_h$ есть псг-функция для любого локального голоморфного сечения $u$ в $E$;

3) $\ln|u|_h$ есть псг-функция для любого локального голоморфного сечения $u$ в $E$;

4) двойственная метрика $h^*$ на $E^*$ гладкая и неотрицательная по Гриффитсу.

Положительность по Накано, однако, не обладает этими приятными двойственными свойствами.

Введем понятие кратного $L^p$-продолжения для голоморфных векторных расслоений с сингулярными финслеровыми метриками [37].

Определение 2.5. Пусть $(E,h)$ – голоморфное векторное расслоение над ограниченной областью $D\subset\mathbb{C}^n$, снабженной сингулярной финслеровой метрикой $h$. Пусть фиксирована постоянная $p>0$. Предположим, что для любого $z\in D$, любого ненулевого элемента $a\in E_z$ с конечной нормой $|a|$ и любого $m\geqslant 1$ существует голоморфное сечение $f_m$ пространства $E^{\otimes m}$ на $D$, такое что $f_m(z)=a^{\otimes m}$, удовлетворяющее следующей оценке:

$$ \begin{equation*} \int_D|f_m|^{p}\leqslant C_m|a^{\otimes{m}}|^{p}=C_m |a|^{mp}, \end{equation*} \notag $$

где $C_m$ – постоянная, не зависящая от $z$ и при $m\to\infty$ удовлетворяющая условию роста $\frac{1}{m}\ln C_m\to 0$. Тогда говорят, что $(E, h)$ обладает свойством кратного $L^p$-продолжения.

Имеет место следующий критерий [37] неотрицательности по Гриффитсу сингулярной финслеровой метрики на голоморфных векторных расслоениях, который формулируется в терминах кратного $L^p$-продолжения.

Теорема 2.2. Пусть $(E,h)$ – голоморфное векторное расслоение над ограниченной областью $D\subset\mathbb{C}^n$ с сингулярной финслеровой метрикой $h$, такое что норма любого локального голоморфного сечения в $E^*$ полунепрерывна сверху. Если $(E,h)$ обладает свойством кратного $L^p$-продолжения при некотором $p>0$, то $(E,h)$ – расслоение положительной кривизны по Гриффитсу.

В работе [41] (см. также [42]) было введено оптимальное условие $L^p$-продолжения.

Определение 2.6. Пусть $(E,h)$ – голоморфное векторное расслоение (возможно, бесконечного ранга) над областью $D\subset\mathbb{C}^n$ с сингулярной финслеровой метрикой $h$; пусть постоянная $p>0$. Расслоение $(E,h)$ удовлетворяет условию оптимального $L^p$-продолжения, если для любых $z\in D$ и $a\in E_z$ с $|a|=1$ и любого голоморфного цилиндра $P$, такого что $z+P\subset D$, существует функция $f\in H^0(z+P,E)$, такая что $f(z)=a$ и

$$ \begin{equation*} \frac{1}{\mu(P)}\int_{z+P}|f|^p\leqslant 1, \end{equation*} \notag $$

где $\mu(P)$ – объем области $P$ по мере Лебега. Здесь под голоморфным цилиндром мы понимаем область вида $A(P_{r,s})$, где

$$ \begin{equation*} P_{r,s}=\{(z_1,z_2,\ldots,z_n)\colon|z_1|^2<r^2,\,|z_2|^2+\cdots+|z_n|^2<s^2\}, \end{equation*} \notag $$

для некоторых $A\in U(n)$ и $r,s>0$.

Справедлива следующая теорема (см. работу [42] для тривиального линейного расслоения и работу [41]).

Теорема 2.3. Пусть $E$ – голоморфное векторное расслоение над областью $D\subset\mathbb{C}^n$, а $h$ – сингулярная финслерова метрика на $E$, такая что $|s|_{h^* }$ полунепрерывна сверху для любого локального голоморфного сечения $s$ в $E^*$. Если $(E,h)$ удовлетворяет условию оптимального $L^p$-продолжения при некотором $p>0$, то $(E,h)$ неотрицательно по Гриффитсу.

Связанная со введенным понятием, но несколько иная форма свойства оптимального $L^p$-продолжения для $p=2$ была представлена в работе [36], где оно названо “свойством минимального продолжения”.

3. Обратные теоремы об $L^2$-оценке и условие положительности по Накано

Авторы работы [37] поставили естественный и фундаментальный вопрос: справедливы ли теоремы, обратные к теоремам о $L^2$-оценках Хёрмандера и Демайи?

Следует упомянуть, что Берндтссон в работе [43] доказал, что непрерывная функция $\varphi$, заданная на плоской области, является субгармонической, если $e^{-m\varphi}$ можно использовать в качестве веса в $L^2$-оценке Хёрмандера для $\bar\partial$. При этом для анализа, представленного в [43], кажутся необходимыми условия единичной размерности пространства и непрерывности функции $\varphi$.

Определение 3.1. Пусть $(X,\omega)$ – кэлерово многообразие размерности $n$ с кэлеровой метрикой $\omega$, допускающее положительное эрмитово голоморфное линейное расслоение, $(E,h)$ – (особое) эрмитово векторное расслоение (возможно, бесконечного ранга) над $X$; пусть постоянная $p>0$.

1. Говорят, что для $(E,h)$ существует оптимальная $L^p$-оценка, если для любого положительного эрмитова голоморфного линейного расслоения $(A,h_A)$ на $X$ и для любой $f\in\mathcal C^\infty_c(X,\wedge^{n,1}T^*_X\otimes E\otimes A)$ с $\bar\partial f=0$ существует $u\in L^p(X,\wedge^{n,0}T_X^*\otimes E\otimes A)$, удовлетворяющая условию $\bar\partial u=f$ и неравенству

$$ \begin{equation*} \int_X|u|^p_{h\otimes h_A}dV_\omega\leqslant\int_X\langle B_{A,h_A}^{-1}f,f\rangle^{p/2}\,dV_\omega \end{equation*} \notag $$

при условии, что его правая часть конечна; здесь $B_{A,h_A}=[i\Theta_{A,h_A}\otimes Id_E,\Lambda_\omega]$.

2. Говорят, что для $(E,h)$ существует грубая оптимальная $L^p$-оценка, если для любого $m\geqslant 1$, для любого положительного эрмитова голоморфного линейного расслоения $(A,h_A)$ на $X$ и для любой $f\in\mathcal C^\infty_c(X,\wedge^{n,1}T^*_X\otimes E^{\otimes m}\otimes A)$ с $\bar\partial f=0$ существует $u\in L^p(X,\wedge^{n,0}T_X^*\otimes E^{\otimes m}\otimes A)$, удовлетворяющая условию $\bar\partial u=f$ и неравенству

$$ \begin{equation*} \int_X|u|^p_{h^{\otimes m}\otimes h_A}\,dV_\omega\leqslant C_m\int_X\langle B_{A,h_A}^{-1}f,f\rangle^{p/2}\,dV_\omega \end{equation*} \notag $$

при условии, что его правая часть конечна; здесь $C_m$ – постоянные, удовлетворяющие при $m\to\infty$ условию роста $\frac{1}{m}\ln C_m\to 0$.

Условие существования грубой кратной $L^p$-оценки для $p=2$ было введено в работе [44] и названо скрученным условием Хёрмандера, в случае единичной размерности несколько иная форма этого условия была введена в [43].

В работе [41] мы дали ответ на вопрос, поставленный в начале этого раздела, доказав следующее условие положительности по Накано в терминах оптимальной $L^2$-оценки.

Теорема 3.1 (Дэн–Нин–Ван–Чжоу). Пусть $(X,\omega)$ – кэлерово многообразие размерности $n$, допускающее положительное линейное расслоение, $(E,h)$ – эрмитово векторное $\mathscr C^2$-гладкое расслоение над $X$ и $\theta\in C^0(X,\Lambda^{1,1}T^*_X\otimes End(E))$, причем $\theta^*=\theta$. Пусть для любого $f\in\mathcal C^\infty_c(X,\wedge^{n,1}T^*_X\otimes E\otimes A)$ с $\bar\partial f=0$ и любого положительного эрмитова линейного расслоения $(A,h_A)$ на $X$ с $i\Theta_{A,h_A}\otimes Id_E+\theta>0$ существует функция $u\in L^2(X,\wedge^{n,0}T_X^*\otimes E\otimes A)$ на $\operatorname{supp}f$, удовлетворяющая условию $\bar\partial u=f$ и неравенству

$$ \begin{equation*} \int_X|u|^2_{h\otimes h_A}dV_\omega\leqslant\int_X\langle B_{h_A,\theta}^{-1}f,f\rangle_{h\otimes h_A}\,dV_\omega \end{equation*} \notag $$

при условии, что его правая часть конечна; здесь $B_{h_A,\theta}=[i\Theta_{A,h_A}\otimes Id_E+\theta,\Lambda_\omega]$. Тогда $i\Theta_{E,h}\geqslant\theta$ по Накано. С другой стороны, если дополнительно предположить, что $X$ имеет полную кэлерову метрику, то указанное выше условие необходимо для того, чтобы $i\Theta_{E,h}\geqslant\theta$ в смысле Накано. В частности, если для $(E,h)$ существует оптимальная $L^2$-оценка, то $(E,h)$ неотрицательно по Накано.

Для доказательства теоремы 3.1 мы связали $\Theta_{E,h}$ с условием существования оптимальной $L^2$-оценки через тождество Бохнера–Кодаиры–Накано, а затем, предположив, что условие $i\Theta_{E,h}\geqslant\theta$ неверно, с использованием техники локализации пришли к противоречию.

Теорема 3.1 для тривиального линейного расслоения была доказана в работе [42], где мы также доказали, что из условия существования кратной грубой $L^p$-оценки следует неотрицательность по Гриффитсу. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3.2. Пусть $(X,\omega)$ – кэлерово многообразие, допускающее положительное эрмитово голоморфное линейное расслоение, и $(E,h)$ – голоморфное векторное расслоение над $X$ с непрерывной эрмитовой метрикой $h$. Если для $(E,h)$ существует грубая кратная $L^p$-оценка при некотором $p>1$, то $(E,h)$ неотрицательно по Гриффитсу.

Следующая открытая проблема была сформулирована Лемпертом [45].

В сформулированной проблеме сходимость просто поточечная, при этом нельзя получить сходимость производных эрмитовых метрик $h_j$, однако в силу условия положительности можно получить решение проблемы Лемперта в терминах оптимальной $L^2$-оценки (см. теорему 3.1 Дэна–Нина–Вана–Чжоу). Имеет место следующая теорема [40].

Доказательство приведенной выше теоремы состоит в следующем. Так как $h_j$ неотрицательна по Накано, в силу условия Дэна–Нина–Вана–Чжоу для метрики $h_j$ существует оптимальная $L^2$-оценка. Тогда с учетом диагональности путем перехода к пределу можно получить, что для $h$ также существует оптимальная $L^2$-оценка. Отсюда в силу условия Дэна–Нина–Вана–Чжоу метрика $h$ неотрицательна по Накано.

Часть подобных аргументов можно также найти в работе [46].

Условие Дэна–Нина–Вана–Чжоу положительности по Накано естественным образом приводит к определению неотрицательности по Накано для сингулярных эрмитовых метрик на голоморфных векторных расслоениях [46] (см. также [40]).

Определение 3.2. Будем говорить, что сингулярная эрмитова метрика $h$ на голоморфном векторном расслоении $E$ является сингулярной неотрицательной по Накано метрикой, если

1) она является метрикой отрицательной кривизны по Гриффитсу или неотрицательной по Гриффитсу;

2) для нее существует оптимальная $L^2$-оценка.

В работе [40] тем же методом, что и при доказательстве теоремы 3.3, была решена сингулярная версия проблемы Лемперта и доказана следующая теорема.

Теорема 3.4. Пусть $h$ – сингулярная неотрицательная по Гриффитсу эрмитова метрика на голоморфном векторном расслоении $E$ над комплексным многообразием $X$. Пусть $\{h_j\}$ – последовательность сингулярных метрик, неотрицательных по Накано. Предположим, что $\{h_j\}$ ограничена снизу непрерывной эрмитовой метрикой $h$ и $h_j\to h$. Тогда $h$ также сингулярна и неотрицательна по Накано.

4. Пучки мультипликативных подмодулей

Для псевдоэффективного линейного расслоения $(L,h)$ можно сформулировать решение гипотезы Гуаня–Чжоу о сильной открытости.

Теорема 4.1. Пусть $(L,h)$ – псевдоэффективное линейное расслоение, т. е. ток кривизны сингулярной метрики $h$ неотрицателен, тогда ассоциированный пучок мультипликативных идеалов $\mathscr I(h)$ удовлетворяет свойству сильной открытости: если $\{h_j\}$ – убывающая последовательность сингулярных метрик неотрицательной кривизны, сходящаяся к $h$ сверху, то

$$ \begin{equation*} \bigcup_{j}\mathscr I(h_j)=\mathscr I(h). \end{equation*} \notag $$

Для эрмитовых голоморфных векторных расслоений также можно определить понятие пучка мультипликативных подмодулей [44].

Естественно задать следующий вопрос: обладают ли пучки мультипликативных подмодулей для векторных расслоений свойствами, аналогичными свойствам псевдоэффективных линейных расслоений, например являются ли они сильно открытыми и устойчивыми?

Теорема 4.3 [40]. Пучок мультипликативных подмодулей $\mathscr E(h)$, ассоциированный с сингулярной неотрицательной по Накано эрмитовой метрикой $h$, обладает свойствами сильной открытости и устойчивости. А именно, пусть $\{h_j\}$ – последовательность сингулярных неотрицательных по Накано метрик в $E$ и $h$ – сингулярная эрмитова метрика на $E$. Если $h_j\geqslant h$ и $-\ln\det h_j\to-\ln\det h$ локально по мере, то $\sum_j\mathscr E(h_j)=\mathscr E(h)$. В частности, если $\{h_j\}$ – убывающая последовательность сингулярных эрмитовых метрик, то

$$ \begin{equation*} \bigcup_j\mathscr E(h_j)=\sum_j\mathscr E(h_j)=\mathscr E(h). \end{equation*} \notag $$

Кроме того, если $F_j\in\mathscr O(E)$ такова, что $(F_j,o)\in\mathscr E(h)_o$ для некоторой точки $o\in X$ и последовательность $\{F_j\}$ в некоторой окрестности точки $o$ компактно сходится к $F$ на $X$, то $|F_j|^2_{h_j}\to|F|^2_{h}$ в $L^p$ для любого $0<p<1+c_o^F(h)$, где $c_o^F$ – комплексный показатель сингулярности, связанный с метрикой $h$ в точке $o$, который задан в определении 3.2 в [40].

В [40] был получен более общий результат об устойчивости (см. теорему 1.8).

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Zho24}

\by Щань-Юй~Чжоу

\paper Новые достижения в~теории функций многих комплексных переменных и~комплексной геометрии

\jour ТМФ

\yr 2024

\vol 218

\issue 1

\pages 187--203

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10554}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10554}

\mathscinet{https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4700050}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024TMP...218..163Z}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2024

\vol 218

\issue 1

\pages 163--176

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577924010112}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85184188158}