| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Моделирование термодинамики черной дыры Шварцшильда c помощью бозе-газа И. Я. Арефьева, И. В. Волович Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020028 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеПроблема микроскопического происхождения энтропии Бекенштейна–Хокинга [1], [2] для черных дыр Шварцшильда заключается в том, что черные дыры не удовлетворяют третьему началу термодинамики в его стандартной формулировке. Следовательно, такое экзотическое термодинамическое поведение черной дыры невозможно получить, используя обычные модели квантовой статистической механики, подчиняющиеся третьему закону (см. обсуждение и ссылки в работе [3]). В работе [3] мы показали, что энтропия $D=4$ черной дыры Шварцшильда
$$
\begin{equation}
S_\mathrm{BH}=\frac{\beta ^2}{16 \pi }, \qquad\beta=\frac{1}{T},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $T$ – температура, соответствует бозе-газу в $d=-\,4$ отрицательных пространственных измерениях. Этот вывод получен с использованием свойств дзета-функции Римана. Энтропия бозе-газа в $d$-мерном пространстве
$$
\begin{equation}
S_\mathrm{BG}\sim \biggl(\frac{d}{2}+1\biggr) \zeta \biggl(\frac{d}{2}+1\biggr)\beta^{-d/2},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\zeta$ – дзета-функция Римана. Выражение (1.2) допускает аналитическое продолжение для комплексного $d$, в частности для $d=-4$ имеем Следовательно, мы получаем энтропию $D=4$ черной дыры Шварцшильда. Обращаем внимание, что коэффициент пропорциональности является положительным числом и в этом вычислении нет расходимостей. В этой статье мы показываем, что некоторые черные дыры более высокой размерности можно описать с помощью бозе-газа в положительных измерениях. Однако в этих случаях имеются расходимости, которые необходимо перенормировать. Мы рассматриваем $d$-мерный бозе-газ с кинетическим членом $k^{\alpha}$, в этом случае свободная энергия
$$
\begin{equation}
F_\mathrm{BG}\sim I\biggl(-\frac{d}{\alpha}\biggr)\beta ^{-1-d/\alpha},
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation}
I(s)=\int _{0}^{\infty}\ln (1-e^{- x})\, \frac{dx}{x^{1+s}}.
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
Особый интерес представляет случай с $d/\alpha=2-D$, так как в этом случае мы получаем что совпадает с зависимостью свободной энергии черной дыры Шварцшильда от обратной температуры $\beta$, $F_\mathrm{BH}\sim \beta^{D-3}$. Однако интеграл $I(s)$ расходится при $s\geqslant 0$, и формула (1.4) не имеет смысла. Чтобы исправить формулу (1.4), введем регуляризацию в (1.5), а затем выполним перенормировку. Мы рассмотрим две возможные регуляризации интеграла в (1.5): регуляризацию с обрезанием и аналитическую регуляризацию [4]. В обоих случаях мы выполним минимальные вычитания и определим $I_\mathrm{ren}$ и $\mathcal{I}_\mathrm{ren}$ в первом и втором случаях соответственно. Мы докажем, что обе регуляризации дают один и тот же ответ, что явно означает справедливость тождества (5.2), представленного в разделе 5. В частности, черные дыры при размерности пространства-времени $D=5$ и $D=6$ соответствуют модели бозе-газа с $d/\alpha=-3$ и $d/\alpha=-4$ соответственно.Статья организована следующим образом. В разделе 2 представлена модель бозе-газа с нестандартным кинетическим членом и упомянуты две возможные схемы перенормировки свободной энергии. В разделе 3 вводится регуляризация с обрезанием и выполняется минимальная перенормировка. В разделе 4 вводится аналитическая регуляризация и представлена соответствующая минимальная перенормировка. В разделе 5 доказана эквивалентность минимальной перенормировки с обрезанием и минимальной аналитической перенормировки. В разделе 6 мы представляем несколько явных примеров, а в разделе 7 обсуждаем полученные результаты. 2. Предварительные фактыРассмотрим бозе-газ с кинетическим членом $\lambda (\vec k,\vec k)^{\alpha /2}$. В $d$-мерном случае свободная энергия дается выражением [5], [6]
$$
\begin{equation}
F_\mathrm{BG}= \frac{\Omega_{d-1}}{ \beta}\biggl(\frac{L}{2\pi}\biggr)^{\!d} \int _{0}^{\infty}\ln (1-e^{- \beta\lambda k^\alpha})k^{d-1}\, dk,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\Omega_{d-1}=2\pi ^{d/2}/\Gamma(d/2)$, а $\beta$, $\lambda$, $\alpha$, $L$ – положительные константы, $d=1,2,3,\dots$ . Делая замену переменных
$$
\begin{equation}
k=\biggl(\frac{x}{\beta \lambda}\biggr) ^{1/\alpha},
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
мы получаем
$$
\begin{equation}
F_\mathrm{BG}= \frac{\Omega_{d-1}}{ \alpha\beta}\biggl(\frac{L}{2\pi}\biggr)^{\!d}\biggl(\frac{1}{\beta \lambda}\biggr)^{\!d/\alpha} I\biggl(-\frac{d}{\alpha}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $I(s)$ определено в (1.5). Для $d=1,2,3,\dots$ и $\alpha>0$ интеграл в (1.5) сходится и
$$
\begin{equation}
I(s)=-\Gamma(-s)\zeta(1-s),\qquad \operatorname{Re}s<-1.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Однако, как уже отмечалось в разделе 1, интеграл в (1.5) расходится при $s\geqslant 0$. Чтобы придать смысл этой формуле при $s\geqslant 0$, введем регуляризации. Мы рассматриваем две регуляризации: регуляризацию с обрезанием и аналитическую регуляризацию. Мы делаем минимальные вычитания и определяем $I_\mathrm{ren}$ и $\mathcal{I}_\mathrm{ren}$ в первом и втором случаях соответственно. Ниже мы схематично опишем оба случая. Регуляризация c обрезанием. В этом случае мы начинаем с выражения
$$
\begin{equation}
I(s,a)\equiv\int _{a}^{\infty}\ln (1-e^{- x})\, \frac{dx}{x^{1+s}},\qquad a>0.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Мы находим сингулярную часть асимптотики интеграла $I(s,a)$ при $a\to 0$ в виде
$$
\begin{equation}
S(s,a)=\sum_{i\geqslant 0} A_i\frac{\ln a }{a^i}+\sum_{i\geqslant 1} C_i\frac{1 }{a^i}.
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Затем мы вычитаем эту сингулярную часть $S(s,a)$: и, наконец, снимаем регуляризацию:
$$
\begin{equation}
I_\mathrm{ren}(s)=\lim _{a\to 0}I_\mathrm{ren}(s,a).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Аналитическая регуляризация. В этом случае мы исходим из следующего представления:
$$
\begin{equation}
I(s)=\int _{0}^{\infty}\ln (1-e^{- x})\,\frac{dx}{x^{1+s}} = -\Gamma (-s)\zeta(-s+1),\qquad \operatorname{Re} s<0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Однако правая часть (2.9) корректно определена для всех $s \neq 0$ и $s \neq n$, $n\in {\mathbb Z}_+$, и мы обозначаем это выражение как $\mathcal{I}(s)$, Функция $\mathcal{I}(s)$, заданная в (2.10), является мероморфной функцией для $s\in {\mathbb C}$. Она имеет полюсы при $s=n>0$ и двойной полюс при $n=0$. Определим $\mathcal{I}_\mathrm{ren}(n)$ как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal{I}_\mathrm{ren}(n)\equiv\lim _{\epsilon \to 0}[-\Gamma(-n+\epsilon)\zeta(1-n+\epsilon) -\text{Pole Part}[ (-\Gamma(-n+\epsilon)\zeta(1-n+\epsilon)]]\\ \text{в точках}\quad n=1,2,3,\dots, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
и
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}_\mathrm{ren}(0) \equiv\lim _{\epsilon \to 0}[-\Gamma(\epsilon)\zeta(1+\epsilon) -\text{Double Pole Part}[ (-\Gamma(\epsilon)\zeta(1+\epsilon)]],
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}_\mathrm{ren}(s) \equiv\mathcal{I},\qquad s>0,\, s\neq {\mathbb Z}_+ \,.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Далее мы докажем, что
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}(s) = I_\mathrm{ren}(s), \qquad s\neq n.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Подробные определения $I_\mathrm{ren}(n)$ и $\mathcal{I}_\mathrm{ren}(n)$ даны в разделе 3 и в разделе 4 соответственно. В разделе 5 мы показываем эквивалентность этих двух форм перенормировок, т. е. справедливость (2.14) и (2.15).
3. Перенормировка с обрезаниемВ этом разделе мы представляем явную форму перенормированной версии выражения (2.5) после минимальной перенормировки. Мы различаем два случая: целые и нецелые $s\geqslant0$. Для $s=n=0,1,2,\dots\,$, имеет место следующее утверждение. Утверждение 1. Перенормированная версия выражения (2.5) после минимальных перенормировок, определенных в (2.8), имеет вид При $s\neq 0$, $s\neq n\in {\mathbb Z}_+$ имеет место следующее утверждение. Утверждение 1'. Перенормированная версия выражения (2.5) после минимальных перенормировок имеет вид Замечание 1. Формулу (3.2) можно рассматривать как обобщение формулы Чебышёва для дзета-функции (см. [7], [8]). Для доказательства этих утверждений приведем функцию $I(s,a)$, заданную формулой (2.5), к виду где
$$
\begin{equation}
I(s,a,1) =\int _{a}^{1}\ln (1-e^{- x})\, \frac{dx}{x^{1+s}}, \qquad a<1,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
$$
\begin{equation}
I(s,1,\infty) =\int _{1}^{\infty}\ln (1-e^{- x})\, \frac{dx}{x^{1+s}}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Разложим подынтегральную функцию в (3.5) в степенной ряд вблизи $x=0$. Имеем где коэффициенты $c_k$ связаны с числами Бернулли $B_k$ (см. приложение A), и мы имеем
$$
\begin{equation}
\frac{1}{x^{1+s}}\ln(1-e^{- x})=\frac{1}{x^{1+s}}\ln x+\sum _{k=1}^{n(s)}c_k x^{k-1-s}+\sum _{k=n(s)+1}^{\infty}c_k x^{k-1-s}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Возьмем $n(s)=E[s]$. В первой сумме в правой части (3.9) все члены имеют степень меньше $-1$, и после интегрирования равенства (3.9) в интервале $(a,1)$ возникают сингулярные члены при $a\to 0$. Найдем эти сингулярные члены сначала явно для $s=n$. $\bullet$ Случай $s=n$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I(n,a,1)={}&\int_a^1\biggl[\ln\biggl(\frac{1-e^{- x}}{x}\biggr)-\sum _{k=1}^{n}c_k x^k\biggr]\,\frac{dx}{x^{1+n}}+ \int _a ^1\frac{\ln x}{x^{1+n}}dx+\sum _{k=1}^{n}c_k\int _a ^1 \frac{dx}{x^{1+n-k}}={} \notag\\ ={}&\int_a^1\frac{1}{x^{1+n}}\biggl[\ln\biggl(\frac{1-e^{- x}}{x}\biggr)-\sum _{k=1}^{n}c_k x^k\biggr]dx+{} \notag \\ &+\frac{1}{n^2a^{n}}+\frac{ \ln a}{na^{n}}-c_n \ln a-\frac{1}{n^2} +\sum _{k=1}^{n-1}c_k\biggl[\frac{1}{k-n}-\frac{a^{k-n}}{k-n}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Это тождество дает представление где $S(a,n)$ включает все сингулярные члены в пределе $a\to 0$,
$$
\begin{equation}
S(n,a)=\frac{ \ln a}{na^{n}}+\frac{1}{n^2a^{n}}-c_n \ln a-\sum _{k=1}^{n-1}c_k\frac{a^{k-n}}{k-n},
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
$F(n)$ – конечная часть, содержащая предел при $a\to 0$ сходящегося интеграла во второй строке формулы (3.10) и два следующих члена из третьей строки формулы (3.10): Представление (3.11) дает утверждение 1. Для произвольных $s>0$ и $s=n+\delta$, $0<\delta<1$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I(s,a,1)={}&\int_a^1\biggl[\ln\biggl(\frac{1-e^{- x}}{x}\biggr)-\sum _{k=1}^{n(s)}c_k x^k\biggr]\,\frac{dx}{x^{1+s}}+ \int _a ^1\frac{\ln x}{x^{1+s}}\,dx+\sum _{k=1}^{n(s)}c_k\int _a ^1 \frac{dx}{x^{1+s-k}}={} \notag \\ ={}&\int_a^1\biggl[\ln\biggl(\frac{1-e^{- x}}{x}\biggr)-\sum _{k=1}^{n(s)}c_k x^k\biggr]\,\frac{dx}{x^{1+s}}+{} \notag \\ &+\frac{1}{s^2a^{s}}+\frac{ \ln a }{sa^{s}}-\frac{1}{s^2} +\sum _{k=1}^{n(s)}c_k\biggl[\frac{1}{k-s}-\frac{a^{k-s}}{k-s}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
где $n(s)$ – целая часть $s$. Это тождество дает представление где $S(s,a)$ включает все члены, сингулярные при $a\to 0$,
$$
\begin{equation}
S(s,a)=\frac{1}{(s)^2a^{s}}+\frac{\ln a}{sa^{s}} +\sum _{k=1}^{n(s)}c_k\biggl[-\frac{a^{k-n-\delta}}{k-n-\delta}\biggr].
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Лишь немногие члены дают вклад в $F(s)$. Интеграл во второй строке формулы (3.14) сходится при $a\to 0$ и дает вклад в конечную часть $F(s)$. Два члена также вносят вклад в конечную часть $F(s)$, и мы получаем
$$
\begin{equation}
F(s)=\int_0^1\biggl[\ln\biggl(\frac{1-e^{- x}}{x}\biggr)-\sum _{k=1}^{n(s)}c_k x^k\biggr]\,\frac{dx}{x^{1+s}}-\frac{1}{s^2}+\sum _{k=1}^{n(s)}\frac{1}{k-s}c_k.
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
4. Аналитическая перенормировкаВ этом разделе мы представляем явную форму перенормированной версии выражения (2.5) после аналитической перенормировки. Как и в разделе 3, мы различаем два случая: целое и нецелое $s\geqslant0$. Для $s=n$, $n=0,1,2,\dots\,$, справедливо следующее утверждение. Утверждение 2. Перенормированная версия представления (2.9) после аналитических перенормировок, определенных в (2.11), имеет вид Доказательство. Для доказательства мы используем (2.11), а также возьмем $s=n-\epsilon$, $n\neq 0$ и (2.10) для $n=0$. Имеем Утверждение 2'. Аналитическая регуляризация для $s\neq {\mathbb Z}$ непосредственно дает конечный ответ $\mathcal{I}(s)$. Доказательство немедленно следует из формы $\mathcal{I}(s)$, заданной в (2.10). Замечание 2. Обратим внимание, что здесь мы рассматривали интеграл (1.5) в целом. Однако отметим, что этот интеграл равен произведению гамма-функции и дзета-функции, и фактически расходимости возникают только в гамма-функции. В этом случае можно провести перенормировку гамма-функции и получить аналогичные результаты. В этом случае вместо выражения (5.15) мы получаем 5. Эквивалентность перенормировки с обрезанием и аналитической перенормировкиВ этом разделе мы докажем, что перенормированные свободные энергии, определенные посредством перенормировки (2.8) и перенормировки (2.11)–(2.13), совпадают. Мы различаем три случая: $s=n\neq 0$, $s=0$ и $s\neq n$, $n\in {\mathbb Z}_+$. Утверждение 3. Минимальным образом перенормированная свободная энергия (2.8) при $s=n\neq 0$ и свободная энергия при аналитической перенормировке (2.11) совпадают: Явно это означает справедливость следующего тождества: Доказательство. Рассмотрим функцию $\psi (n,s)$ переменной $s$ в зависимости от целочисленного параметра $n$, $n>0$, определенную для $\operatorname{Re} s< n+1$ как Прежде всего обратим внимание, что полюс в (5.10) – это именно тот полюс, который необходимо вычесть при аналитической перенормировке, определенной в (2.11). Чтобы выполнить перенормировку, возьмем $s=n-\epsilon$ и рассмотрим $\Gamma (-s)\zeta(-s+1)$ для малых $\epsilon$. С учетом формулы (Б.6) (см. приложение Б) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma (-s)\zeta(-s+1)={}&\Gamma(\epsilon-n)\zeta(1-n+\epsilon) =\frac{(-1)^n}{n!}\zeta (1-n) \frac{1}{\epsilon}+{} \notag \\ &+\frac{(-1)^n}{n!}\biggl[ \zeta '(1-n)+\biggl(-\gamma+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\biggr)\zeta (1-n)\biggr]+\mathcal{O}(\epsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Следовательно, чтобы проверить, что полюс в (5.10) – это именно тот полюс, который имеется в (5.11), мы должны проверить, что Доказательство формулы (5.12) следует из представления $\zeta(-n)$ через числа Бернулли (см. (Б.1) в приложении Б). Имеем В силу (5.13) правая часть (5.12) равна
$$
\begin{equation}
-\frac{(-1)^n}{n!}\zeta (1-n)=-\frac{(-1)^n}{n!}\frac{(-1)^{1-n}B_{n}}{n}= \frac{1}{n\,n!}B_{n},
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
и полученное выражение совпадает с определением $c_k$ (3.8). Также из (5.11) мы получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal{I}_\mathrm{ren}(n)=\frac{(-1)^n}{n!}\biggl[ \zeta '(1-n)+\biggl(-\gamma+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\biggr)\zeta (1-n)\biggr].
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Аналогично можно рассмотреть случай $s=0$. Утверждение 3'. Свободная энергия при минимальной перенормировке (3.1) и свободная энергия при аналитической перенормировке (2.13) совпадают, Доказательство. Для доказательства тождества (5.17) рассмотрим функцию $\psi (n,s)$, $s<n+1$, Из утверждения 1' мы видим, что С другой стороны, для $\psi (n,s)$ при $\operatorname{Re} s<0$ мы можем записать представление
$$
\begin{equation}
\psi (n,s)=-\Gamma (-s)\zeta(-s+1), \qquad \operatorname{Re} s<0.
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
Действительно, при $s<0$ мы переставляем члены в (5.18) и получаем где
$$
\begin{equation}
H (n,s)=-\frac{1}{s^2}+\sum_{k=1}^{n} \frac{c_k}{k-s},\qquad T (n,s)=\int_0^1\frac{1}{x^{s+1}}\biggl[\ln x+\sum_{k=1}^{n}c_kx^k\biggr]\,dx.
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
Вычислив $T(n,s)$ при $\operatorname{Re} s<0$, получим и $T(n,s)$ компенсирует $H(n,s)$, в результате мы получаем (5.20). Из единственности аналитического продолжения получаем (5.17). 6. ПримерыВ этом разделе мы рассмотрим несколько примеров конкретных значений $d$, $D$, $\alpha$, которые дают интерпретацию термодинамики черной дыры Шварцшильда в терминах бозе-газа. Для любых $D=4,5,6,\dots$ и $d=1,2,3,\dots$ мы фиксируем $\alpha =d/(2-D)$. С использованием (1.6) получаем
$$
\begin{equation}
F_\mathrm{BG,ren}=\frac{\Omega_{d-1}}{ \alpha}\biggl(\frac{L}{2\pi}\biggr)^{\!d} \lambda^{D-2}I_\mathrm{ren}(D-2)\beta^{D-3}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Рассматривая уравнения (Б.8)–(Б.13), мы получаем следующие выражения для свободной энергии бозе-газа.
Из приведенного выше рассмотрения мы видим, что среди перечисленных случаев только в случаях $D=5,6$ мы получаем положительное значение соответствующей энтропии.
Заметим, что в случае перенормировки (4.5) получаем
$$
\begin{equation}
F_\mathrm{BG,ren}(D)=\frac{\Omega_{d-1}}{ \alpha}\biggl(\frac{L}{2\pi}\biggr)^{\!d} \lambda^{D-2} I_\mathrm{ren}(D-2) \beta^{D-3}.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Поскольку $\alpha<0$, знак (6.10) противоположен знаку $I_\mathrm{ren}(D-2)$ и согласно (4.5) знак $F_\mathrm{BG,ren}$ определяется числом Бернулли, т. е. $F_\mathrm{BG,ren}(D)<0$ для $D=4k$ и $F_\mathrm{BG,ren,G}(D)>0$ для $D=4k+2$, $k=1,2,3$. В случае нечетных размерностей $F_\mathrm{BG,ren}(D)=0$.
7. ЗаключениеВ данной статье термодинамика черной дыры Шварцшильда моделируется статистической системой бозе-газа. Показано, что черная дыра Шварцшильда в $D=5$ и $D=6$ измерениях пространства-времени соответствует бозе-газу с одночастичной энергией. В $d$-мерном пространстве $\varepsilon(k)=\lambda k^\alpha$ с $d/\alpha=-3$ и $d/\alpha=-4$ соответственно. Обсуждаются расходимости в этих моделях бозе-газа. Показано, что схема перенормировки с минимальным вычитанием с обрезанием эквивалентна аналитической перенормировке. Этот метод не работает для случая $D=4$ черной дыры Шварцшильда, соответствующей бозе-газу в отрицательном измерении $d=-4$, что было показано в статье [3]. Микростатистическое описание термодинамики черной дыры Шварцшильда, предложенное в этой и предыдущих статьях, использует отрицательные размерности и перенормировки моделей бозе-газа. Было бы интересно получить аналогичное микроскопическое описание более общих черных дыр, включая черные дыры Рейсснера–Нордстрёма, Керра и др. Эти модели также нарушают третий закон термодинамики, поэтому естественно ожидать, что соответствующие модели статистической механики также будут обладать необычными свойствами. Приложение А. Числа Бернулли и $c_k$Дифференцируя (3.7), имеем Сравнивая это соотношение с производящей функцией чисел Бернулли мы видим, что это дает (3.8).Приложение Б. Значения функций $\zeta$ и $\Gamma$Здесь мы представим некоторые известные факты о гамма- и дзета-функциях [9]. Имеем
$$
\begin{equation}
\zeta(-n)=\frac{(-1)^n B_{n+1}}{n+1}, \qquad n=1,2,3,\dots,
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
где $B_n$ – числа Бернулли, определяемые производящей функцией (А.2),
$$
\begin{equation}
\zeta(-1)=-\frac{1}{12}, \qquad \zeta^\prime(-1)=\frac{1}{12}-\ln A.
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
Для $n\in\mathbb{N}$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \zeta'(-2n)&=(-1)^n\frac{(2n)!}{2(2\pi)^{2n}}\zeta(2n+1), \\ -\zeta'(1-2n)&=(2(2\pi)^{-s}\Gamma(s)\zeta(s))' |_{s=2n} \cos(\pi n),\\ \zeta'(1-2n)&=(-1)^{n+1}\frac{2\Gamma(2n)}{(2\pi)^{2n}}[(-\ln (2\pi)+\psi(2n))\zeta(2n)+\zeta'(2n)], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.3}
$$
где $\psi$ – дигамма-функция Для $\Gamma$-функции имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\Gamma(z-n)}{\Gamma(1+z)}=\frac{(-1)^n}{n!}\biggl(\frac{1}{z}+\sum_{r=0}^{\infty}A_r z^r\biggr),\\ A_r=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}\frac{(-1)^{k-1}}{k^{r+1}}, \qquad A_0=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{Б.4}
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\Gamma(\epsilon-n)=\Gamma(1+\epsilon)\,\frac{(-1)^n}{n!}\biggl(\frac{1}{\epsilon}+A_0+\mathcal{O}(\epsilon)\biggr)= \frac{(-1)^n}{n!}\biggl(\frac{1}{\epsilon}-\gamma+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\biggr)+\mathcal{O}(\epsilon)
\end{equation}
\tag{Б.5}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma(\epsilon-n)\zeta(1-n+\epsilon)={}&\frac{(-1)^n}{n!}\zeta (1-n) \frac{1}{\epsilon} +\frac{(-1)^n}{n!}\times{} \notag \\ &\times \biggl[ \zeta '(1-n)+\biggl(-\gamma+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\biggr)\zeta (1-n)\biggr]+\mathcal{O}(\epsilon). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.6}
$$
Имеются следующие частные случаи (Б.6):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, n=0\colon& &&-\Gamma(\epsilon)\zeta(1+\epsilon)=-\frac{1}{\epsilon^2}+\frac{1}{12}(12 \gamma_1+6 \gamma ^2-\pi^2)+\mathcal{O}(\epsilon),\\ n=1\colon& &&-\Gamma(\epsilon-1)\zeta(\epsilon)=-\frac{1}{2 \epsilon }+ \frac{1}{2} (-1+\gamma -\ln (2 \pi ))+\mathcal{O}(\epsilon),\\ n=2\colon& &&-\Gamma(\epsilon-2)\zeta(\epsilon-1)=\frac{1}{24 \epsilon }+\frac{1}{48} (24 \ln A+1-2 \gamma )+\mathcal{O}(\epsilon),\\ n=3\colon& &&-\Gamma(\epsilon-3)\zeta(\epsilon-2)=\frac{1}{6} \zeta '(-2)+\mathcal{O}(\epsilon), \\ n=4\colon& &&-\Gamma(\epsilon-4)\zeta(\epsilon-3)=-\frac{1}{2880 \epsilon }+\frac{-1440 \zeta '(-3)-25+12 \gamma }{34560}+\mathcal{O}(\epsilon), \\ n=5\colon& &&-\Gamma(\epsilon-5)\zeta(\epsilon-4)=\frac{1}{120} \zeta '(-4)+\mathcal{O}(\epsilon), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.7}
$$
где $\gamma$ – постоянная Эйлера–Машерони, $\gamma=0.577\dots$, $\gamma_1$ – постоянная Стилтьеса, $\gamma_1=-0.0728\dots$, $A$ – постоянная Глейшера, $A=1.28\dots$ . Для $\mathcal{I}_\mathrm{ren}$ имеем
$$
\begin{equation}
n=0\colon \quad\mathcal{I}_\mathrm{ren}(0)=\frac{1}{12} (12 \gamma _1+6 \gamma ^2-\pi ^2)=-0.728694,
\end{equation}
\tag{Б.8}
$$
$$
\begin{equation}
n=1\colon \quad \mathcal{I}_\mathrm{ren}(1)= \frac{1}{2} (-1+\gamma -\ln (2 \pi ))=-1.13033,
\end{equation}
\tag{Б.9}
$$
$$
\begin{equation}
n=2\colon \quad \mathcal{I}_\mathrm{ren}(2)=\frac{1}{48} (24 \ln A+1-2 \gamma )=0.12116,
\end{equation}
\tag{Б.10}
$$
$$
\begin{equation}
n=3\colon \quad \mathcal{I}_\mathrm{ren}(3)=\frac{1}{6} \zeta '(-2)=-0.00507474,
\end{equation}
\tag{Б.11}
$$
$$
\begin{equation}
n=4\colon \quad \mathcal{I}_\mathrm{ren}(4)=\frac{-1440 \zeta '(-3)-25+12 \gamma }{34560}=-0.000747065,
\end{equation}
\tag{Б.12}
$$
$$
\begin{equation}
n=5\colon \quad \mathcal{I}_\mathrm{ren}(5)=\frac{1}{120} \zeta '(-4)=0.0000665318.
\end{equation}
\tag{Б.13}
$$
БлагодарностиАвторы благодарят Д. Агеева, В. Березина, В. Загребнова, К. Ранну, П. Слепова, А. Теретенкова, А. Трушечкина, В. Фролова и М. Храмцова за плодотворные обсуждения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AreVol24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|