| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Об излучении фотонов переменным электромагнитым полем В. В. Скобелев Московский политехнический университет, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792405009X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ нашей работе [1] в дополнение к ранее рассмотренным нелинейным эффектам впервые было указано на существование еще одного эффекта – трехфотонного излучения переменным электромагнитным полем $F$ в борновском приближении однократного взаимодействия с этим полем: $F\to 3\gamma$. Эти эффекты, ставшие уже классическими в смысле “нарушения” принципа суперпозиции в рамках квантовой электродинамики (КЭД), следующие: 1) фотон-фотонное рассеяние $\gamma \gamma \to \gamma \gamma$ [2]–[17]; 2) эффект Дельбрюкка [18]–[30] – когерентное рассеяние фотона на ядре $\gamma +(Ze)\to \gamma +(Ze)$; 3) расщепление фотона в поле ядра $\gamma_1+(Ze)\to\gamma_2 \gamma_3 +(Ze)$ [31]–[37]. За прошедшие со времени публикации работы [1] и некоторых ее приложений [38] полсотни лет выяснилось, что она вызвала определенный интерес у авторов, занимающихся нелинейными эффектами, в связи с возможностью экспериментального подтверждения полученных в ней результатов. В частности, вероятное подтверждение эффекта излучения фотонов переменным электромагнитным полем, образующимся при столкновении тяжелых ионов, как и некоторых других упомянутых выше нелинейных эффектов, было получено в работе [39]. В последнее время с той же целью идентификации нелинейных эффектов, включая и процесс $F\to 3\gamma $, впервые рассмотренный в нашей работе [1], проводятся эксперименты с использованием мощных лазеров [40], [41]. Все это указывает на актуальность темы, в основном, как мы понимаем, из-за упомянутого формального “нарушения” классического принципа суперпозиции. К тому же в работе [1], имевшей формат краткого сообщения, отсутствовали подробные выкладки и необходимые комментарии при выводе основных формул, полученных в низкоэнергетическом приближении методом Гейзенберга–Эйлера [42] со значением суммарного 4-импульса фотонов $k^2 \ll m^2$ (в отличие от работы [1], здесь мы используем метрику с сигнатурой $+---$). Кроме того, этот вариант излучения допускает обобщение на общий случай произвольных значений $k^2$, которые в работе [1] вообще не рассматривались. В работе [1] впервые обсуждались и два других механизма излучения фотонов переменным полем: а) двухфотонное излучение $FF\to 2\gamma$ (второе борновское приближение по полю); б) однофотонное излучение $FFF\to \gamma$ (третье приближение). Всем этим эффектам соответствуют диаграммы КЭД типа “четырехполюсник” с упомянутым числом взаимодействий с полем $F$ в вершинах. Изложенная в работе [1] теория этих двух эффектов, как и $F\to 3\gamma$, также была неполной, что было связано с форматом публикации (не последнюю роль играли и соображения приоритета с возможностью быстрой публикации основных идей работы без их детального освещения). Эта совокупность причин и побудила нас спустя пятьдесят лет вернуться к вопросу об излучении фотонов переменным электромагнитным полем $F$. В разделе 2 мы обсуждаем перспективы точного вычисления методами КЭД матричного элемента и основной характеристики процесса $F\to 3\gamma$ – полной вероятности $W_{3\gamma}$, а также выясняем возможности пролонгации этого результата работы [1] на другие значения 4-импульса, включая и ультрарелятивистский диапазон $k^2 \gg m^2$. Данный $\gamma$-диапазон представляет интерес в плане экспериментального обнаружения нелинейных эффектов, как это было выяснено в работах [43]–[45], в которых были впервые идентифицированы описанные выше эффекты 2, 3. В разделе 3 из общих соображений найдено выражение $W_{3\gamma}$ с включением $\gamma$-диапазона $k^2 \gg m^2$, а в разделе 4 этот результат для $\gamma$-диапазона применяется к частному случаю переменного однородного электрического поля импульсного типа. В разделе 5 дан развернутый комментарий к выводу основной формулы для вероятности двухфотонного излучения [1]. В разделах 6, 7 дано ее представление посредством фурье-образов инвариантов поля. В разделе 8 рассмотрено двухфотонное излучение в частном случае переменного однородного электрического поля импульсного типа по аналогии с разделом 4. В разделе 9 обсуждается эффект однофотонного излучения, в плане математического аппарата принципиально отличающийся от двух предыдущих, поскольку в этом случае переданный импульс $k$ одновременно есть и импульс находящегося на массовой поверхности излученного фотона со значением $k^2 =0$ с соответствующей модификацией вычислительной процедуры при расчете вероятности излучения. 2. О точном расчете матричного элемента процесса $F\to 3\gamma$По обычным правилам диаграммной техники процессу трехфотонного излучения соответствуют три основные диаграммы (см., например, [46], [47]), отличающиеся перестановкой фотонных линий, с тензорным обозначением вида $T_{\mu \nu \lambda \sigma} (k_1,k_2,k_3)$ их вкладов в “суммарный тензор” $T_{\mu \nu \sigma \lambda}$. По определению он равен
$$
\begin{equation}
T_{\mu \nu \lambda \sigma} = T_{\mu \nu \lambda \sigma} (k_1,k_2,k_3) +T_{\mu \lambda \nu \sigma} (k_2,k_1,k_3)+T_{\mu \nu \sigma \lambda} (k_1,k_3,k_2)
\end{equation}
\tag{1}
$$
с перестановкой в $T_{\mu \nu \sigma \lambda} (k_1,k_2,k_3)$ индексов и импульсов фотонов 1, 2 и 2, 3 во втором и третьем слагаемых в (1). “Основной” тензор $T_{\mu \nu \lambda \sigma} (k_1,k_2,k_3)$, соответствующий диаграмме на рис. 1, имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T_{\mu \nu \lambda \sigma} (k_1,k_2,k_3)={}&\int d^4 p\, \operatorname{Tr}\{\gamma_{\mu} G(p)\gamma_{\nu} G(p-k_1)\gamma_{\lambda} \times{} \notag \\ &\times G(p-k_1 -k_2)\gamma_{\sigma} G(p-k_1 -k_2 -k_3)\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
 Рис. 1.Фейнмановская диаграмма процесса $F\to 3\gamma$, соответствующая тензору $T_{\mu \nu \lambda \sigma} (k_1,k_2,k_3)$ с его представлением формулой (2). Матричный элемент $M_{fi} $ процесса трехфотонного излучения тогда имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
M_{fi} =2\frac{e^4}{(2\pi)^4} \frac{1}{4!} (4\pi)^{3/2} A^{\mu} (k) e_1^{\nu} e_2^{\lambda} e_3^{\sigma} T_{\mu \nu \lambda \sigma},
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $A^{\mu} (k)$ – фурье-образ 4-потенциала $A^{\mu} (x)$ внешнего поля $F$, который определим как
$$
\begin{equation}
A^{\mu} (x)\equiv \frac{1}{(2\pi)^4} \int e^{i(kx)} A^{\mu} (k)\,d^4 k,
\end{equation}
\tag{4а}
$$
причем а фактор $2$ в формуле (3) учитывает равный основным вклад диаграмм с обратным направлением обхода петли. Выражение для тензора $T_{\mu \nu \lambda \sigma} (k_1,k_2,k_3)$ (2) логарифмически расходится при интегрировании по импульсу петли, а суммарному тензору $T_{\mu \nu \lambda \sigma}$ (1) (это хорошо известно при вычислении аналогичного интеграла в эффекте фотон-фотонного рассеяния [46]) соответствует сходящееся выражение. Однако из соображений калибровочной инвариантности тензор $T_{\mu \nu \sigma \lambda}$ все же должен быть регуляризован стандартной процедурой вычитания [46]:
$$
\begin{equation*}
T_{\mu \nu \lambda \sigma} \to T_{\mathrm{reg};\mu \nu \lambda \sigma} \equiv T_{\mu \nu \lambda \sigma} -T_{\mu \nu \lambda \sigma}|_{k_{1,2,3}=0}
\end{equation*}
\notag
$$
(для простоты мы далее используем обозначение $T_{\mu \nu \lambda \sigma}$ вместо $T_{\mathrm{reg};\mu \nu \lambda \sigma}$). При вычислении выражения полной вероятности
$$
\begin{equation}
W_{3\gamma} =\frac{1}{(2\pi)^9} \frac{1}{3!} \int |M_{fi}|^2\, d\mathbf{k}_1\,d\mathbf{k}_2\, d\mathbf{k}_3\, (2\omega_1 2\omega_2 2\omega_3)^{-1}
\end{equation}
\tag{5}
$$
следует в соответствии с (4б) выполнить тождественное преобразование вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_{3\gamma} \to W_{3\gamma} ={}&\frac{1}{(2\pi)^{9}}\frac{1}{3!} \int d^4 k\, \delta (k-k_1 -k_2 -k_3)\times{} \notag \\ &\times \int |M_{fi}|^2\, d\mathbf{k}_1\, d\mathbf{k}_2\, d\mathbf{k}_3\, (2\omega_1 2\omega_2 2\omega_3)^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
и с учетом (3) получаем промежуточное выражение $W_{3\gamma}$:
$$
\begin{equation}
W_{3\gamma} =\frac{1}{(2\pi)^9} \frac{1}{3!} \frac{2e^8}{(3!)^2 (2\pi)^5} \int d^4 k\, A^\mu (k)A^{\mu'} (-k)I_{\mu \mu'},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_{\mu \mu'} ={}&\int \delta (k-k_1 -k_2 -k_3)\times{} \\ &\times\sum_\mathrm{pol}e_1^{\nu} e_2^{\lambda} e_3^{\sigma} [e_1^{\nu'} e_2^{\lambda'} e_3^{\sigma'}]^* T_{\mu \nu \lambda \sigma} T_{\mu'\nu'\lambda'\sigma'}^*\, d\mathbf{k}_1\,d\mathbf{k}_2\, d\mathbf{k}_3 (2\omega_1 2\omega_2 2\omega_3)^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая также во внимание известное тождество
$$
\begin{equation*}
\int \frac{d\mathbf{k}_{1,2,3}}{2\omega_{1,2,3}}\equiv \int d^4 k_{1,2,3}\,\delta (k_{1,2,3}^2),
\end{equation*}
\notag
$$
заметим, что выражение для $I_{\mu \mu'}$ является релятивистски-инвариантным, а результат интегрирования после инвариантной процедуры суммирования [47] по поляризациям фотонов должен тогда выражаться через тензоры $g_{\mu \mu'}$ и $k_{\mu} k_{\mu'}$. Это означает, что при выполнении условия Лоренца $(Ak)=0$ подынтегральное выражение $\int d^4 k$ может быть представлено в виде $2(A(k)A(-k))\varphi (k^2)$ или, при определении безразмерного формфактора $f(k^2)=\varphi (k^2)/k^2$, в эквивалентной этому виду записи $f(k^2)\times 2(A(k)A(-k))\times k^2$. Если же учесть вытекающее из (4а) равенство $F_{\mu \nu} (k)= i(A_{\nu} k_{\mu} -A_{\mu} k_{\nu})$ со значением $F_{\mu \nu} (k)F^{\nu \mu} (-k)=2(A(k)A(-k))\times k^2$, то подынтегральное выражение становится равным $f(k^2)F_{\mu \nu} (k)F^{\nu \mu} (-k)$, и, как можно видеть, c учетом различия в определении скалярных произведений оно отличается только фактором $f(k^2)=(k^2 /m^2)^4$ от соответствующего низкоэнергетического приближения нашей работы [1]. Таким образом, аналитический расчет тензора $I_{\mu \mu'}$, а также в соответствии с [1], должен приводить к следующему результату для безразмерной (см. также раздел 3) полной вероятности $W_{3\gamma}$:
$$
\begin{equation}
W_{3\gamma} =\frac{17}{4(2\pi)^8 90^3} e^8 \int f(k^2) K \theta (k^2)\theta (k_{0})\,d^4 k,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где в целях последующего удобства записи формул введено обозначение При этом в низкоэнергетическом приближении $k^2 \ll m^2$ должно выполняться равенство [1] Точное же вычисление безразмерного формфактора $f(k^2)$ в рамках обсуждаемой в данном разделе диаграммной техники КЭД сталкивается с существенными и пока непреодолимыми затруднениями технического характера и на данном этапе не представляется возможным. Впрочем, такая же ситуация имеет место при точном по частоте расчете матричного элемента и сечения классического нелинейного эффекта – фотон-фотонного рассеяния $\gamma \gamma\to \gamma \gamma$, который до сих пор тоже не выполнен. 3. Ультрарелятивистская асимптотика выражения $W_{3\gamma}$Как отмечалось в разделе 1, в целях постановки эксперимента по наблюдению обсуждаемого эффекта $F\to 3\gamma$ необходимо найти асимптотику формфактора $f(k^2)$ в $\gamma$-диапазоне $k^2 \gg m^2$ исходя из предположения, что фурье-образ $F_{\mu \nu} (k)$ существенно отличен от нуля для значений $k$ в этом диапазоне и что именно они могут давать основной вклад в интеграл (8). Для этого мы используем оригинальный метод авторов работ [4], который основан, в частности, на соображениях размерности физических величин. Именно, применительно к нашему случаю в ультрарелятивистской асимптотике $k^2 \gg m^2$ формфактор $f(k^2)$ не должен зависеть от массы электрона $m$, причем выражение для полной вероятности $W_{3\gamma}$ (8) должно оставаться, естественно, безразмерным. Поскольку же при использовании принятой в работе [1] и в настоящей работе релятивистской системы единиц $\hbar, c\to 1$, $e^2 =1/137$ размерность $[F_{\mu \nu} (x)]$ тензора поля $F_{\mu \nu}(x)$ совпадает с размерностью $[k^2]$, а размерность $[F_{\mu \nu} (k)]$ фурье-образа $F_{\mu \nu} (k)$ в соответствии с аналогичным соотношению (4) его определением равна размерности $[1/k^2]$, то отсюда однозначным образом вытекает, что при $k^2 \gg m^2$ формфактор $f(k^2)$ должен быть некоторой константой $g'>0$, являющейся просто числом1. При сформулированном выше условии относительно вклада значений $k^2 \gg m^2$ в интеграл в выражении (8) оно c учетом значения $f(k^2)\to g'$ принимает вид
$$
\begin{equation}
W_{3\gamma} =\frac{17}{4(2\pi)^8 90^3} e^8 g' \int K \theta (k^2)\theta (k_0)\,d^4 k.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Выражение для $K$ (8а) можно упростить, если учесть наглядное представление свертки $F_{\mu \nu} (k)F^{\nu \mu} (-k)$ через фурье-образы напряженностей электрического $E(k)$ и магнитного $H(k)$ полей (см. также книгу [48]):
$$
\begin{equation}
K \equiv F_{\mu \nu} (k)F^{\nu \mu} (-k)=2[E(k)E(-k)-H(k)H(-k)].
\end{equation}
\tag{11}
$$
Поскольку вектор $\mathbf{H}(k)$ выражается через векторное произведение $\mathbf{k}\times \mathbf{A}$, то при выборе системы, в которой $\mathbf{k}=0$, имеем $\mathbf{H} (\mathbf{k}) =0$, и в этом случае Так как все представленные выше выражения для $W_{3\gamma}$ являются релятивистскими инвариантами, то и в любой системе должно выполняться неравенство т. е. для существования эффекта $F\to 3\gamma$ поле $F_{\mu \nu}$ должно быть “электроподобным”. В частности, данный эффект возможен и в “чисто электрическом поле”. Это и было использовано в работе [1] для расчета вероятности в низкоэнергетическом приближении $k^2 \ll m^2$ в однородном электрическом поле импульсного типа.В контексте настоящей работы представляет интерес пролонгировать этот результат работы [1] на $\gamma$-диапазон $k^2 \gg m^2$. Это мы делаем в разделе 4. 4. Трехфотоное излучение в однородном электрическом поле импульсного типаВ качестве иллюстрации положений разделов 2, 3 рассмотрим трехфотонное излучение в зависящем от времени $t$ импульсном однородном электрическом поле $E$ общего вида где $g(t/\tau)$ – безразмерная функция времени, существенно отличная от нуля только при $|t|\lesssim\tau$. Выражение (14) является обобщением рассмотренного в [1] в низкоэнергетическом приближении частного случая со значениемСоответствующий выражению (14) фурье-образ $E(k)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
E(k)=E_{0} \int e^{-i(kx)} g\biggl(\frac{t}{\tau}\biggr)\,d^3 x\,dt.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементарным преобразованием с обычным определением дельта-функции приводим это выражение к виду
$$
\begin{equation}
E(k)=(2\pi)^3 \delta (\vec{k})E_{0} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ik_{0} t} g\biggl(\frac{t}{\tau}\biggr)\,dt,
\end{equation}
\tag{14б}
$$
или, после мультипликативной замены переменной $\tilde{t}=t/\tau$, имеем
$$
\begin{equation}
E(k) =(2\pi)^3 \delta (\vec{k})E_{0} \tau J(k_{0} \tau),
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
J(k_{0} \tau) =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ik_{0} \tau \tilde{t}} g(\tilde{t})\,d\tilde{t}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
При этом согласно (12) имеем а дающее главный вклад эффективное значение $|\tilde{t}|$ в интеграле (16) в соответствии с обозначенными свойствами функции $g(\tilde{t})$ будет, очевидно, равно $|\tilde{t}|_\mathrm{eff} \sim 1$. С использованием стандартной процедуры [47] далее одну из дельта-функций заменяем на $V/(2\pi)^3$: Вводя вероятность излучения из единицы объема $w_{3\gamma} =W/V$, получаем для нее с учетом (10) следующий результат (интеграл по $d^3 k$ является тривиальным и элементарно вычисляется с использованием дельта-функции $\delta (\vec{k})$):
$$
\begin{equation}
w_{3\gamma} =\frac{17}{2(2\pi)^5 90^3} e^8 g'E_{0}^2 \tau^2 \int_{0}^{\infty}J^2\, dk_0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
После замены переменной $x=k_{0} \tau$ это выражение может быть записано в виде
$$
\begin{equation}
w_{3\gamma} =\frac{17}{2(2\pi)^5 90^3} e^8 g'E_0^2 \tau I,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где – число, конкретное значение которого с учетом определения (16) зависит от вида фигурирующей в (14) функции $g(t/\tau)\equiv g(\tilde{t})$. Более удобным является представление (19) в следующем компактном виде, наглядно демонстрирующем порядок величины $w_{3\gamma} $ и ее размерность $[w_{3\gamma}]=1/\text{см}^3$:
$$
\begin{equation}
w_{3\gamma} = N e^{6} \biggl(\frac{E_0}{E_\mathrm{cr}} \biggr)^2 \frac{\tau}{\lambda_\mathrm{C}} \lambda_\mathrm{C}^{-3},
\end{equation}
\tag{20}
$$
Здесь $\lambda_\mathrm{C} =1/m$ – комптоновская длина волны, а $E_\mathrm{cr} =m^2 /e=4.41\times 10^{13}$ ед. CГСЭ – так называемое критическое швингеровское поле. Величина фактора $(E_{0} /E_\mathrm{cr})^2$ может быть порядка единицы в поле мощных $\gamma$-лазеров, создание которых является лишь вопросом времени (см. также [41]). Упомянутое выше условие $\tau \ll 1/m$ применимости этого ультрарелятивистского приближения (20) в случае поля вида (14) эквивалентно сильному неравенству $\tau /\lambda_\mathrm{C} \ll 1$ для фигурирующего в (20) фактора $\tau /\lambda_\mathrm{C}$. Иллюстративный расчет $w_{3\gamma}$ при конкретном выборе функции $g(t/\tau) $ в (14) в виде (14а) дан в приложении A. Точное значение численного фактора $N$ (20а) зависит от чисел $g'$, $I$. Алгоритм вычисления $g'$ дан в разделе 2 и является асимптотикой $f(k^2)|_{k^2 \gg m^2}\to g'$. Значение ультрарелятивистского приближения формфактора $f(k^2)$ получено в разделе 3, число $I$ задано интегралом (19а) и зависит от конкретного вида функции $g(t/\tau)$ в (14). Как видно из структуры подынтегрального выражения (16) и в соответствии с эффективной величиной $\tilde{t}_\mathrm{eff} \sim 1$, при выполнении ограничения $\tau \ll 1/m$ на параметр $\tau $ значения $k_0$ в интеграле (18), дающие главный вклад, могут удовлетворять условию $k_{0} >m$ с эффективным значением $k_{0}^2 \gg m^2$ и его релятивистским обобщением вида $k^2 \gg m^2$. При этом экспоненциальный фактор в (14б), (16) равен единице, а используемое представление (10) является адекватным. Вклад значений $k_0 \lesssim m$ в интеграле (18) не соответствует условию применимости представления (10). Их вклад в вероятность должен описываться либо точным значением формфактора $f(k^2)$ в (8), который на данном этапе неизвестен, либо его нерелятивистским приближением (9), причем в этом последнем случае он очевидным образом подавлен этим же фактором (9), так что выражение (20) в допустимом для его применимости варианте $k_{0}^2 \gg m^2$ действительно может давать существенный вклад в вероятность. Во всяком случае, может иметь место относительно большая вероятность испускания трех $\gamma$-квантов со значением суммарного 4-импульса $k^2 \gg m^2$, и эта вероятность сравнима или даже превосходит вероятность испускания трех фотонов при других значениях $k^2 \lesssim m^2$. К таким же выводам можно прийти и при непосредственном вычислении интегралов в частном случае зависимости вида (14а) (см. приложение A). Таким образом, вследствие обозначенных свойств функции $g(\tilde{t})\equiv g(t/\tau)$ (и при достаточно большом ее значении в максимуме) соответствующее значение вероятности $w_{3\gamma}$ трехфотонного излучения, по-видимому, не исключает экспериментального наблюдения эффекта $F\to 3\gamma$, так как в этом варианте возможна генерация трех $\gamma$-квантов с их экспериментальной идентификацией, например, по схеме совпадений или другими, использованными, в частности, в работах [39]–[41], методами. 5. Двухфотонное излучение переменного поля. Тензорная структура подынтегрального выраженияПриведенную в работе [1] формулу для вероятности $W_{2\gamma}$ двухфотонного излучения мы перепишем здесь в метрике с сигнатурой $+---$ и в удобном для последующего виде:
$$
\begin{equation}
W_{2\gamma} ={} \frac{1}{(2\pi)^7 30^3 144} \biggl(\frac{e}{m} \biggr)^8 \int d^4 k\, \widetilde{W}\theta (k^2)\theta (k_0),
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{W} ={} I^{\mu \nu \mu'\nu'} J_{\mu \nu \mu'\nu'},
\end{equation}
\tag{22}
$$
$$
\begin{equation}
I^{\mu \nu \mu'\nu'} \equiv{} I^{\alpha \beta \mu \nu} (k)I_{\alpha \beta} {}^{\mu'\nu'} (-k),
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
I^{\alpha \beta \mu \nu} (k)={} \int d^4 x\, e^{i(kx)} \{ 14[g^{\alpha \nu} (F^2)^{\beta \mu} +g^{\beta \mu} (F^2)^{\alpha \nu} -g^{\alpha \beta} (F^2)^{\mu \nu} -g^{\mu \nu} (F^2)^{\alpha \beta} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ F^{\alpha \nu} F^{\beta \mu} + F^{\alpha \beta} F^{\mu \nu}]- 5[(g^{\alpha \nu} g^{\beta \mu} -g^{\mu \nu} g^{\alpha \beta}) (F^2)_{\lambda}^{\lambda} +4F^{\alpha \mu} F^{\beta \nu}]\},
\end{equation}
\tag{24}
$$
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'} ={} \sum_{i=1}^4 J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(i)},
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(1)}={} (k^2)^2 (g_{\mu \nu} g_{\mu'\nu'} +g_{\mu \nu'} g_{\mu'\nu}+g_{\mu \mu'} g_{\nu \nu'}),
\end{equation}
\tag{25а}
$$
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(2)} ={} 8k_{\mu} k_{\nu} k_{\mu'} k_{\nu'},
\end{equation}
\tag{25б}
$$
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(3)} ={} -6k^2 (k_{\mu} k_{\mu'} g_{\nu \nu'} +k_{\nu} k_{\nu'} g_{\mu \mu'}),
\end{equation}
\tag{25в}
$$
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(4)} ={} 4k^2 (k_{\mu} k_{\nu} g_{\mu'\nu'} +k_{\mu} k_{\nu'} g_{\mu'\nu}+k_{\mu'} k_{\nu'} g_{\mu \nu} +k_{\mu'} k_{\nu} g_{\mu \nu'}).
\end{equation}
\tag{25г}
$$
В силу низкоэнергетического характера используемого в [1] приближения предполагается, что доминирующий вклад в интеграл (21) дают значения $k_0\ll m$, $k^2\ll m^2$. Это подразумевает определенные ограничения на вид зависимости тензора поля $F_{\mu \nu} \equiv F_{\eta \nu} (x)$ от $x$. Вообще говоря, тензорная структура $J_{\mu \nu \mu'\nu'}$ (25) определяется следующим интегралом по фазовому объему фотонов с импульсами $k_1 $ и $k_2$:
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'} \sim \int \delta (k-k_1 -k_2) k_{1\mu} k_{2\nu} k_{1\mu'} k_{2\nu'} \frac{d^3 k_1}{2k_{10}} \frac{d^3 k_2}{2k_{20}},
\end{equation}
\tag{26}
$$
так что для фотонов на массовой поверхности $k_1^2 =k_2^2 =0$ и представлений (25), (25а)–(25г) имеют место легко проверяемые соотношения
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'} g^{\mu \mu'} =J_{\mu \nu \mu'\nu'} g^{\nu \nu'} =0.
\end{equation}
\tag{26а}
$$
Из вида подынтегрального выражения (26) следует также, что оно не меняется при перестановках индексов $\mu \nu \leftrightarrow\mu'\nu'$ или $\mu \nu \leftrightarrow \nu'\mu'$, так что выражение $J_{\mu \nu \mu'\nu'}$ (25) с учетом (25а)–(25г) также не меняется при этих перестановках. Поскольку вычисленный нами (см. приложение В, формула (В.2)) тензор $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ тоже при этом не меняется, то в нашей оригинальной работе [1] опущено второе слагаемое в (25в) и два последних слагаемых в (25г), дающие в силу этой симметрии $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ тот же вклад в $\widetilde{W}$ (22), что и оставшиеся слагаемые. При этом в [1] вклад этих оставшихся слагаемых, разумеется, удвоен, и они записаны там в виде
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(3)} =-12k^2 k_{\mu} k_{\mu'} g_{\nu \nu'},
\end{equation}
\tag{27а}
$$
$$
\begin{equation}
J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(4)} =8k^2 (k_{\mu} k_{\nu} g_{\mu'\nu'} +k_{\mu} k_{\nu'} g_{\mu'\nu}.
\end{equation}
\tag{27б}
$$
С учетом замены (25в), (25г) на (27а), (27б) в [1] смысл такого представления (25) тензора $J_{\mu \nu \mu'\nu'}$ состоит в различных свойствах симметрии его частей $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(i)}$. Именно, $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(1)}$ и $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(2)}$ симметричны при перестановках любой пары индексов, $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(3)}$ симметричен при перестановке $\mu\leftrightarrow \mu'$ и (или) $\nu \leftrightarrow \nu'$, а $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(4)}$ – только при перестановке $\nu\leftrightarrow \nu'$. Соответственно, выражение для $\widetilde{W}$ также может быть представлено как сумма четырех слагаемых:
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}=\sum_{i=1}^4 \widetilde{W}_{i},\qquad \widetilde{W}_{i} =I^{\mu \nu \mu'\nu'} J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(i)},
\end{equation}
\tag{28}
$$
а перечисленные свойства симметрии $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(i)}$ будут использованы в работе для упрощения вида тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ (см. приложение В, формулы (В.2а)–(В.2в)) при вычислении величин $\widetilde{W}_{i}$. В конкретных расчетах оказалось наиболее удобным использовать матричное представление тензора поля $F_{\mu \nu} \equiv F_{\mu \nu}(x)$ через его составляющие – напряженности электрического $E\equiv E(x)$ и магнитного $H\equiv H(x)$ полей [48]. Более того, можно учитывать только электрическое поле $E$, поскольку вид $\widetilde{W}$ в выражении через импульсные представления (фурье-образы) соответствующих полевых инвариантов
$$
\begin{equation}
I_2 =2k^{\mu} \{ F_{\mu \lambda} F^{\lambda} {}_{\nu} \}_{k} k^{\nu}
\end{equation}
\tag{29б}
$$
получается, как будет видно, “релятивистской пролонгацией” из представления $\widetilde{W}$ через фурье-образ $E_{k}^2$ квадрата электрического вектора $E^2$, а выражения $W_{2\gamma}$ (21) – через инварианты (29а), (29б) аналогично представлению $W_{3\gamma}$ (8), (8а), (9), что и является нашей целью при рассмотрении процесса $FF\to 2\gamma$. Эти импульсные представления (“релятивистский” фурье-образ) функции $f(x)$, обозначенные для удобства в (29а), (29б) как $f_k$ в дополнение к обозначению вида $f(k)$ (24), определены следующим образом: Заметим далее, что полярный вектор $\mathbf{E}$ при инверсии координат меняет знак на противоположный [48], $\mathbf{E}\to - \mathbf{E}$, а если к этому добавить инверсию времени, то возможен вариант $\mathbf{E}\to \varepsilon_{E} \mathbf{E}$, $\varepsilon_{E}^2 =1$ (конкретно в качестве приложения полученных в разделах 6, 7 результатов далее будет рассмотрен частный случай $\varepsilon_{E}=-1$, т. е. когда при $t\to -t$ вектор $\mathbf{E}$ не меняется (см. раздел 8)). Аналогично для аксиального вектора $\mathbf{H}$ имеем $\mathbf{H}\to \varepsilon_{H} \mathbf{H}$, $\varepsilon_{E}^2=1$. Это означает, что величины $E^2$ и $H^2 $ не меняются при инверсии координат в четырехмерном пространстве-времени, а их фурье-образы $E_{k}^2$, $H_{k}^2$, которые находятся по формуле (30), являются действительными. Это же относится и к импульсному представлению $I_1$ (31а) полевого инварианта (см., например, книгу [48]), который выражается посредством $E_{k}^2$, $H_{k}^2$:
$$
\begin{equation}
I_1 \equiv (F_{\mu \nu} F^{\nu \mu})_{k}=2(E_{k}^2 -H_{k}^2).
\end{equation}
\tag{31а}
$$
В рассматриваемом здесь (и в работе [1]) случае “электроподобного” поля, когда $E^2 >H^2$ и, следовательно, $E_{k}^2 >H_{k}^2$, инвариант $I_1$ больше нуля. В случае “чисто электрического поля” имеем из (31а) Аналогичное этому соотношение для другого инварианта $I_2$ (29б) получено в разделе 6 (формулы (35а), (35б)) с использованием матричного представления тензора поля и его квадрата через напряженности однородного электрического поля $E$ с последующей “релятивистской пролонгацией” типа $E_{k}^2 \to I_1 /2$, вытекающей в этом последнем случае из (31б). В “электроподобном” поле, когда $E_{k}^2 >H_{k}^2$, и, как отмечено, инвариант $I_1$ больше нуля, для любой точки пространства можно выбрать систему, в которой поле является “чисто электрическим” (как в разделе 3 при рассмотрении эффекта $F\to 3\gamma$). В связи с этим предварительно сформулируем основные принципы расчета двухфотонного излучения в однородном электрическом поле. 6. О двухфотонном излучении в однородном электрическом полеПредставление ковариантного тензора поля $F_{\mu \nu}$ соответствующей матрицей $\hat{F}_{\mu \nu}$ получается из первой формулы (23.5) книги [48], если в ней положить $H=0$; вид этой матрицы задан выражением (Б.1) в приложении B, а матрицы $\hat{F}_{\mu \nu}^2$ – формулой (Б.2). Как видно, при выборе оси $Z$ по направлению поля отличные от нуля элементы этих матриц и, соответственно, ковариантных тензоров $F_{\mu \nu}$, $F_{\mu \nu}^2$ можно записать посредством безразмерных двумерных тензоров $G_{\mu \nu}^{\mp}$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
F_{\mu \nu} =E G_{\mu \nu}^{-}, \qquad G_{\mu \nu}^{-} =-g_{\mu 0} g_{\nu 3}+g_{\mu 3} g_{\nu 0},
\end{equation}
\tag{32а}
$$
$$
\begin{equation}
F_{\mu \nu}^2 =E^2 G_{\mu \nu}^{+}, \qquad G_{\mu \nu}^{+} =g_{\mu 0} g_{\nu 0}+g_{\mu 3} g_{\nu 3}.
\end{equation}
\tag{32б}
$$
Необходимый для дальнейшего вид тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$, вычисляемого по формуле (23), может быть получен подстановкой аналогичных (32а), (32б) выражений контравариантных тензоров
$$
\begin{equation}
F^{\mu \nu} =-E G_{-}^{\mu \nu}, \qquad G_{-}^{\mu \nu} =-g^{\mu 0} g^{\nu 3}+g^{\mu 3} g^{\nu 0},
\end{equation}
\tag{33а}
$$
$$
\begin{equation}
(F^2)^{\mu \nu} =E^2 G_{+}^{\mu \nu}, \qquad G_{+}^{\mu \nu} =g^{\mu 0} g^{\nu 0} +g^{\mu 3} g^{\nu 3},
\end{equation}
\tag{33б}
$$
в подынтегральное выражение (24). Как можно видеть, значение фигурирующего в (23) тензора $I^{\alpha \beta \mu \nu} (k)$ получается тогда заменой в (24) квадратичных комбинаций тензора поля на их фурье-образы, которые можно найти с использованием (33а), (33б), включая замену $E^2 \to E_{k}^2$, так что, например, в соответствии с (33б) После этого символ $\int d^4 x\,e^{i(kx)}$ должен быть, разумеется, опущен. Получающийся при этом вид $I^{\alpha \beta \mu \nu} (k)$ приведен в приложении В (формула (В.1)). Из (29б), (34), кстати, следует аналогичное формуле (31б) для $I_1$ представление $I_2$: Как видно, согласно
$$
\begin{equation}
k_{\mu} G_{+}^{\mu \nu} k_{\nu} \equiv (kG_{+} k)=k_0^2+k_3^2
\end{equation}
\tag{35б}
$$
инвариант $I_2$ больше нуля, как и $I_1$. Эта же процедура применима к вычислению тензора $I_{\alpha \beta} {}^{\mu'\nu'} (-k)$, также фигурирующего в (23). Далее следует выполнить свертку по индексам $\alpha $, $\beta $ в правой части соотношения (23), после чего мы получим выражение для тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$. Приведем некоторые необходимые для этого и легко проверяемые на основании определений (32а), (32б), (33а), (33б) соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, G_{+}{}^{\beta \mu} G_{+\beta} {}^{\mu'} =G_{+}{}^{\mu \mu'},\qquad G_{-}{}^{\alpha \mu'} G_{-\alpha} {}^{\nu'} =G_{+} {}^{\mu''\nu'},\\ G_{+} {}^{\beta \mu}G_{-\beta} {}^{\nu'} =G_{-}{}^{\mu \nu'},\qquad G_{\lambda} {}^{+\lambda} =2,\qquad G_{\lambda} {}^{-\lambda} =0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{36а}
$$
$$
\begin{equation}
G_{+}{}^{\alpha \beta} G_{-\alpha} {}^{\mu'} G_{-\beta} {}^{\nu'} =G_{+}{}^{\mu'\nu'},\qquad G_{-}{}^{\alpha \beta} G_{-\alpha} {}^{\mu'} G_{-\beta} {}^{\nu'} =G_{-}{}^{\mu'\nu'}.
\end{equation}
\tag{36б}
$$
Получающееся при этом после достаточно громоздких преобразований с учетом (36а), (36б) общее выражение для тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ представлено в приложении В (формула (В.2)). Обозначим неявным образом фигурирующие в формуле (22) упрощенные в соответствии с типами симметрии тензоров (25а), (25б), (27а), (27б) значения $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ посредством $I_{i}^{\mu \nu \mu'\nu'}$, $i=1,2,3,4$. Эти величины $I_{i}^{\mu \nu \mu'\nu'}$ представлены в приложении В (формулы (В.2а), (В.2б), (В.2в)). Впрочем, в случае (В.2в) какие-либо упрощения тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}\to I^{\mu \nu \mu'\nu'}_4$ вообще отсутствуют из-за низкой степени симметрии тензора $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(4)}$ (27б). 7. Значения $\widetilde{W}$ (28) и $W_{2\gamma}$ (21) в выражении через инварианты поля (29а), (29б)Результаты раздела 6 относятся и к любому “электроподобному” полю, если в системе, в которой $\vec{H}=0$, в данной точке пространства выбрать ось $Z$ параллельно вектору $\vec{E}$. Тогда с использованием приведенных в приложении В упрощенных в соответствии с типами симметрии тензоров $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(i)}$ в формуле (28) для тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ с их введенным выше обозначением $I_{i}^{\mu \nu \mu'\nu'}$, после достаточно громоздких алгебраических преобразований, сопровождающихся к тому же множеством арифметических действий с большими числами, можно получить следующие результаты для соответствующих вкладов $\widetilde{W}_{i}$ в подынтегральное выражение $W_{2\gamma}$ (21):
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}_2 =(E_{k}^2)^2 \{1056(k^2)^2 +4768(kG_{+} k)^2 +2240k^2 (kG_{+} k)\},
\end{equation}
\tag{37б}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}_3 =(E_{k}^2)^2 \{ -3168(k^2)^2 +17376k^2 (kG_{+} k)\},
\end{equation}
\tag{37в}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}_{4} =(E_{k}^2)^2 \{14144(k^2)^2 +23552k^2 (kG_{+} k)\}.
\end{equation}
\tag{37г}
$$
Здесь используется обозначение (35б) $(kG_{+} k)\equiv k_{\mu} G_{+}^{\mu \nu} k_{\nu}$, $(kG_{+} k)=k_{0}^2 +k_1^2 >0$. Суммарный вклад $\widetilde{W}$ (28) в подынтегральное выражение (21) находим из (37а)–(37г):
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}=(E_{k}^2)^2 \{ 31968(k^2)^2 +4768(kG_{+} k)^2 +43168k^2 (kG_{+} k)\}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Эта величина $\widetilde{W}$ является положительно определенной, как и должно быть по смыслу вероятности $W_{2\gamma}$ (21). При разложении чисел в (38) на множители до простых чисел получаем
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}=(E_{k}^2)^2 32\{ 9\times 111(k^2)^2 +149(kG_{+} k)^2 +1349k^2 (kG_{+} k)\} .
\end{equation}
\tag{39}
$$
Далее представим эти выражения $\widetilde{W}$ (38), (39) посредством полевых инвариантов $I_1$, $I_2$ (29а), (29б), что и являлось одной из декларированных выше целей. В соответствии с (31а), (31б), (35а), (35б) для этого в выражениях (38), (39) надо сделать замены
$$
\begin{equation}
(E_{k}^2)^2 (k^2)^2 \to \frac{1}{4} I_1^2 (k^2)^2, \quad (E_{k}^2)^2 (kG_{+} k)^2 \to \frac{1}{4} I_2^2, \quad (E_{k}^2)^2 k^2 (kG_{+} k)\to k^2 \frac{1}{4} I_1 I_2.
\end{equation}
\tag{40}
$$
В результате, например, формула (39) принимает вид
$$
\begin{equation}
\widetilde{W}=8\{ 9\times 111(k^2)^2 I_1^2 +149I_2^2 +1349k^2 I_1 I_2 \}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Соответственно, вероятность (21) в выражении через инварианты $I_1$, $I_2$ записывается следующим образом:
$$
\begin{equation}
W_{2\gamma} =\frac{1}{(2\pi)^{7} 30^3 18} \biggl(\frac{e}{m} \biggr)^{8} \int d^4 k\, \{ 9\times 111(k^2)^2 I_1^2 +149I_2^2 +1349k^2 I_1 I_2 \} \theta (k^2)\theta (k_{0}).
\end{equation}
\tag{42}
$$
Это выражение и является решением поставленной в разделе 5 задачи представления вероятности $W_{2\gamma}$ через инварианты $I_1$, $I_2$.
8. Двухфотонное излучение в однородном электрическом поле импульсного типаВ нашей оригинальной работе [1] в качестве иллюстрации аналогичной (42) формулы для вероятности $W_{3\gamma}$ трехфотонного излучения была вычислена вероятность в однородном электрическом поле импульсного типа (см. также раздел 4) Представляется естественным с использованием полученных результатов вычислить эту же вероятность и для двухфотонного излучения $FF\to 2\gamma$.Поскольку речь идет о “чисто электрическом поле”, то для этой цели проще использовать не общее выражение (42), а исходное выражение (21) с подстановкой в него выражения для $\widetilde{W}$ (39) через $(E_{k}^2)^2$. В результате формула (21) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_{2\gamma} ={}&\frac{2}{(2\pi)^{7} 30^3 9} \biggl(\frac{e}{m} \biggr)^{8} \int d^4 k\, (E_{k}^2)^2 \times{} \notag \\ &\times \{ 9\times 111(k^2)^2 +149(k_{0}^2 +k_3^2)^2 +1349k^2 (k_{0}^2 +k_3^2)\} \theta (k^2)\theta (k_{0}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Найденный по формуле (30) фурье-образ $E_{k}^2$ квадрата напряженности $E^2$ имеет вид
$$
\begin{equation}
E_{k}^2 =(2\pi)^3 \delta (\vec{k})\sqrt{\frac{\pi}{2}} E_{0}^2 \tau e^{-(k_{0} \tau)^2/8}.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Соответственно для фигурирующего в (44) значения $(E_{k}^2)^2$ имеем
$$
\begin{equation}
(E_{k}^2)^2 =\frac{1}{4} (2\pi)^{7} \delta ^2 (\vec{k})E_{0}^4 \tau ^2 e^{-(k_{0} \tau)^2/4}.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Заменяя, как и в разделе 4, одну из дельта-функций на $V/(2\pi)^3$, находим
$$
\begin{equation}
(E_{k}^2)^2 =\frac{1}{4} (2\pi)^4 V\delta (\vec{k})E_{0}^4 \tau ^2 e^{-(k_{0} \tau)^2/4}.
\end{equation}
\tag{46а}
$$
В результате подстановки этого выражения в (44) находим для вероятности $w_{2\lambda} =W_{2\lambda}/V$ излучения пары фотонов из единицы объема
$$
\begin{equation}
w_{2\gamma} =\frac{2497}{(2\pi)^3 30^3 18} \biggl(\frac{e}{m} \biggr)^{8} E_{0}^4 \tau ^2 \int_{0}^{\infty}dk_{0}\, k_{0}^4 e^{-(k_{0} \tau)^2/4}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Элементарное интегрирование дает результат, аналогичный формуле (3) для трехфотонного излучения в работе [1]:
$$
\begin{equation}
w_{2\gamma} = \frac{2497\sqrt{\pi}}{(2\pi)^3 30^3 12} \biggl(\frac{e}{m} \biggr)^{8} \frac{E_{0}^4}{\tau^3}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
В аналогичной формуле (20) форме это выражение записывается в виде
$$
\begin{equation}
w_{2\gamma} =\frac{2497\sqrt{\pi}}{(2\pi)^3 30^3 12} e^4 \biggl(\frac{E_{0}}{E_\mathrm{cr}} \biggr)^4 \biggl(\frac{\lambda_\mathrm{C}}{\tau} \biggr)^3 \lambda_\mathrm{C}^{-3}.
\end{equation}
\tag{48а}
$$
9. Однофотонное излучениеКак было упомянуто в разделе 1, в работе [1] была получена вероятность однофотонного излучения переменного электромагнитного поля. Соответствующее выражение, однако, имеет предварительный характер, как и аналогичное выражение для двухфотонного излучения, и малопригодно для практических расчетов. Ситуация здесь вполне аналогична эффекту двухфотонного излучения, который обсуждался в разделах 5–8, а следовательно, необходимы дальнейшие преобразования и упрощения, что и является содержанием данного раздела. Приведенное в [1] и используемое здесь после некоторых очевидных преобразований и уточнений выражение для вероятности $W_{1\gamma}$ однофотонного излучения в метрике с сигнатурой $+---$ и в низкоэнергетическом приближении $k_{0} \ll m$, даваемом эффективным лагранжианом Гейзенберга–Эйлера [42], имеет вид
$$
\begin{equation}
W_{1\gamma} =\frac{2}{(2\pi)^{6} 90^2} \biggl(\frac{e}{m} \biggr)^{8} \int d^4 k\, I_{\mu \nu} k^{\mu} k^{\nu} \delta (k^2)\theta (k_{0})
\end{equation}
\tag{49а}
$$
со следующими выражениями тензоров $I_{\mu \nu}$ и $I_{\mu} {}^{\alpha} (k)$:
$$
\begin{equation}
I_{\mu \nu} =I_{\mu} {}^{\alpha} (k)I_{\nu \alpha} (-k),
\end{equation}
\tag{49б}
$$
$$
\begin{equation}
I_{\mu} {}^{\alpha} (k) =\int d^4 x\, e^{i(kx)} [14(F^3)_{\mu} {}^{\alpha} -5(F^2)_{\lambda} {}^{\lambda} F_{\mu} {}^{\alpha}]
\end{equation}
\tag{49в}
$$
(тензор $I_{\nu \alpha} (-k)$ получается из (49в) опусканием второго индекса и комплексным сопряжением). При этом, как и ранее в разделе 5 в случае двухфотонного излучения, предполагается, что фурье-образ фигурирующих в (49в) комбинаций тензора поля $F$ таков, что главный вклад в (49а) дают значения $k_{0} \ll m$, $k^2 <m^2$. Для вычисления явного вида тензора $I_{\mu \nu}$ в случае “чисто электрического поля” удобно использовать представление тензора $F\equiv F(x)$ в электрическом поле с модулем напряженности $E\equiv E(x)$ посредством двумерных тензоров $G^{\pm}$, определенных соотношениями (32а), (32б), (33а), (33б) и с соответствующими представлениями тензоров $F_{\mu \nu}$, $F_{\mu \nu}^2$ (32а), (32б) и $F^{\mu \nu}$, $(F^2)^{\mu \nu}$ (33а), (33б). Используя свойства этих тензоров $G^{\pm}$
$$
\begin{equation}
G_{\lambda} {}^{+\lambda} =2, \qquad G_{-} {}^{\alpha \mu} G_{\alpha} {}^{-\nu} =G_{+} {}^{\mu \nu}, \qquad G_{+} {}^{\alpha \mu} G_{\alpha} {}^{-\nu} =G_{-} {}^{\mu \nu},
\end{equation}
\tag{50}
$$
можно получить, что
$$
\begin{equation}
(F^3)_{\mu} {}^{\alpha} =E^3 G_{\mu} {}^{-\sigma} G_{\sigma} {}^{-\beta} G_{\beta} {}^{-\alpha} =E^3 G_{\mu} {}^{-\alpha},\qquad (F^2)_{\lambda} {}^{\lambda} F_{\mu} {}^{\alpha} =2E^3 G_{\mu} {}^{-\alpha}.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Тогда для $I_{\mu} {}^{\alpha} (k)$ (49в) получим с учетом соотношений (51) и выражения через фурье-образ $E_{k}^3$ куба напряженности $E^3$ следующее выражение:
$$
\begin{equation}
I_{\mu} {}^{\alpha} (k)=4E_{k} {}^3 G_{\mu} {}^{-\alpha}.
\end{equation}
\tag{52}
$$
С учетом второго свойства (50) и формул (49б), (52) получим
$$
\begin{equation}
I_{\mu \nu} =16E_{k}^3 \times E_{-k}^3 G^{+}{}_{\mu \nu}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Выражение для $W_{1\gamma}$ (49а) в общем случае комплексного значения $E_{k}^3$ записывается тогда в виде
$$
\begin{equation}
W_{1\gamma} =\frac{1}{2^3 \pi ^{6} 45^2} \biggl(\frac{e}{m} \biggr)^{8} \int d^4 k\, |E_{k}^3|^2 (kG_{+} k)\delta (k^2)\theta (k_{0})
\end{equation}
\tag{54}
$$
со значением $(kG_{+} k)\equiv (kG^{+} k)=k_0^2+k_3 ^2$ (35б). В данном случае не представляется возможным записать подынтегральное выражение (54) через скалярные инварианты поля, как это было сделано в разделе 7 в случае двухфотонного излучения, так как таких кубичных по полю инвариантов не существует из-за антисимметрии тензора $F$, и, следовательно, “релятивистская пролонгация” величин $E_{k}^3$, $W_{1\gamma}$ с их выражением через $F$ также невозможна, а формулу (54) можно использовать для расчетов только в переменном электрическом поле. В этой связи заметим, что приведенные выше приложения общих результатов к случаю однородного электрического поля импульсного типа, по аналогии с работой [1], выглядят достаточно абстрактными, поскольку в реальных экспериментах это поле, очевидно, сосредоточено в ограниченной области пространства. В частности, при этом возможны и принципиальные изменения некоторых результатов. Например, вероятность однофотонного излучения $W_{1\gamma}$, очевидным образом равная нулю в однородном поле из-за наличия функции $\delta (\vec{k})$ в фурье-образе $E_{k}^3$ (см. также разделы 4, 8 и формулу (54)), может быть и отличной от нуля. Существенная модификация результатов может иметь место также для случаев трех- и двухфотонного излучения, рассмотренных в разделах 4–8. Последнее особенно важно для их экспериментальной идентификации. Пока в этом плане нами получены лишь предварительные результаты. 10. ЗаключениеТаким образом, в данной работе мы весьма существенно дополнили и развили идеи оригинальной работы [1], так что ее вполне можно рассматривать как самодостаточное и также оригинальное исследование, не уступающее в этом плане [1]. Результаты могут иметь значение в свете усиливающегося в последнее время интереса к экспериментальному подтверждению нелинейных эффектов КЭД [39]–[41]. Приложение А. К вычислению вероятности в однородном поле импульсного типа (14а)При конкретном выборе фигурирующей в формуле (14) функции $g(t/\tau)$ в виде (14а) для расчета ультрарелятивистской асимптотики результат вычисления интеграла (16) оказывается следующим: а интеграл $I$ (19а) принимает вид с соответствующим значением коэффициента $N$ (20а), фигурирующего в выражении для вероятности $w_{3\gamma}$ (20). Тогда выражение для $w_{3\gamma}$ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
w_{3\gamma} =\frac{17g'e^{6}}{2^{19/2} \pi ^{7/2} 45^3} \biggl(\frac{E_{0}}{E_\mathrm{cr}} \biggr)^2 \frac{\tau}{\lambda_\mathrm{C}} \lambda_\mathrm{C}^{-3},
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
содержащем лишь один неизвестный численный фактор $g'$, являющийся в соответствии с результатами раздела 3 ультрарелятивистской асимптотикой формфактора $f(k^2)\!: f(k^2)|_{k^2 \gg m^2} \to g'$. Алгоритм вычисления $g'$ сформулирован в разделах 2, 3, однако его реализация, как отмечалось в конце раздела 2, сталкивается с техническими трудностями при установлении необходимого для этого точного вида функции $f(k^2)$ с последующим вычислением $g'$ в качестве ультрарелятивистской асимптотики $f(k^2)|_{k^2 \gg m^2} \to g'$. Результаты (А.1)–(А.3) подтверждают общие рассуждения в разделе 4, относящиеся к переменным полям вида (14). В частности, явный вид интеграла $J(k_{0} \tau)$ (А.1), определяемый в общем случае (14) выражением (16), действительно указывает на принципиальную возможность “ультрарелятивистских” значений $k_{0}^2$, $k^2 \gg m^2$, при величине параметра $\tau \ll 1/m$ ($\tau ^2 \ll 1/m^2$), когда $J(k_{0} \tau)$ имеет порядок единицы и подавление вероятности может быть обусловлено только факторами $(E_{0} /E_\mathrm{cr})^2$, $\tau/\lambda_\mathrm{C}$ в выражениях (20), (А.3), а вместо малого фактора (9) в подынтегральном выражении (8) в $W_{3\gamma}$, $w_{3\gamma}$ фигурирует число $g'$, не имеющее отношения к подавлению вероятности. Приложение Б. Матрицы $\widehat{F}_{\mu \nu}$, $\widehat{F}_{\mu \nu}^{\kern1pt 2}$ тензоров $F_{\mu \nu}$ и $F_{\mu \nu}^2$ в электрическом полеВид матрицы $\widehat{F}_{\mu \nu}$ следует из первой формулы (23.5) книги [48], если в ней положить $H=0$:
$$
\begin{equation}
\widehat{F}_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_{X} & E_{Y} & E_{Z} \\ -E_{X} & 0 & 0 & 0 \\ -E_{Y} & 0 & 0 & 0 \\ -E_{Z} & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
Матрица $\widehat{F}_{\mu \nu}^{\kern1pt 2}$ вычисляется в нашем случае обычным способом [49] как произведение матрицы $\widehat{F}_{\mu \nu}$ на транспонированную матрицу $\widehat{\tilde{F}}_{\mu \nu} (=\widehat{F}^{\mu \nu})\!: \widehat{F}_{\mu \nu}^{\kern1pt 2} =\widehat{F}_{\mu \nu} \times \widehat{\tilde{F}}_{\mu \nu}$, она равна
$$
\begin{equation}
\widehat{F}_{\mu \nu}^{\kern1pt 2} = \begin{pmatrix} E^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & E^2_X & E_X E_Y & E_X E_Z \\ 0 & E_X E_Y & E^2_Y & E_Y E_Z \\ 0 & E_X E_Z & E_Y E_Z & E^2_Z \end{pmatrix}, \qquad \operatorname{Tr}\widehat{F}_{\mu \nu}^{\kern1pt 2} =2E^2,
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
причем результат не зависит от порядка сомножителей: произведение $\widehat{\tilde{F}}_{\mu \nu} \times \widehat{F}_{\mu \nu}$ дает тот же вид матрицы $\widehat{F}_{\mu \nu}^{\kern1pt 2}$. Заметим, что вид (Б.2) ковариантной матрицы $\widehat{F}_{\mu \nu}^{\kern1pt 2}$ и совпадающей с ней контравариантной матрицы $(\widehat{F}^{\kern1pt 2})^{\mu \nu}$ согласуется с (31), (31а), (31б), (32б), (33б).
Приложение В. Вид тензоров $I^{\alpha \beta \mu \nu} (k)$, $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ в выражении через тензоры $G_{\pm}$Тензор $I^{\alpha \beta \mu \nu} (k)$ (24) в однородном электрическом поле имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^{\alpha \beta \mu \nu} (k)={}&E_{k}^2 \{ 14[g^{\alpha \nu} G_{+}^{\beta \mu} +g^{\beta \mu} G_{+}^{\alpha \nu} -g^{\alpha \beta} G_{+}^{\mu \nu} -g^{\mu \nu} G_{+}^{\alpha \beta} +G_{-}^{\alpha \nu} G_{-}^{\beta \mu} +{} \notag \\ &+G_{-}^{\alpha \beta} G_{-}^{\mu \nu} ]-5[2(g^{\alpha \nu} g^{\beta \mu} -g^{\mu \nu} g^{\alpha \beta})+4G_{-}^{\alpha \mu} G_{-}^{\beta \nu}]\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{В.1}
$$
Общий вид тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ без учета свойств симметрии тензоров $J_{\mu \nu \mu'\nu'}^{(i)}$ (25а), (25б), (27а), (27б) следующий:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I^{\mu \nu \mu'\nu'} ={}&\{ 14^2 [g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu'\mu} +g^{\mu \mu'} G_{+}^{\nu \nu'} +3G_{+}^{\mu'\mu} G_{+}^{\nu \nu'} -2G_{+}^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} -g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu} +{} \notag \\ &+4G_{-}^{\nu \nu'} G_{-}^{\mu \mu'} -4G_{-}^{\mu \nu} G_{-}^{\mu'\nu'} +2g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} -g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} ]+5^2 [4(g^{\nu \nu'}g^{\mu'\mu} +{} \notag \\ &+2g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} )+16G_{-}^{\nu \mu'} G_{-}^{\mu \nu'} -8(g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu} +16G_{+}^{\mu \mu'} G_{+}^{\nu \nu'} ]-{} \notag \\ &-14\times 5[4g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu \mu'} +16G_{-}^{\nu \mu'} G_{-}^{\mu \nu'} +4G_{+} {}^{\nu \nu'} g^{\mu \mu'} -8G_{+} {}^{\mu \nu} G_{+} {}^{\mu'\nu'} +{} \notag \\ &+8g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} -6(g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu} )+4G_{-}^{\nu \nu'} G_{-}^{\mu \mu'} +{} \notag \\ &+8G_{+}^{\mu'\nu} G_{+}^{\mu \nu'} +12G_{-}^{\mu \nu} G_{-}^{\nu'\mu'} ]\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{В.2}
$$
Упрощенный в соответствии с наборами элементов симметрии тензоров (25а), (25б), (27а), (27б) вид тензора $I^{\mu \nu \mu'\nu'}$ (В.2), обозначаемый как $I_{1,2,3,4}^{\mu \nu \mu'\nu'}$, задается выражениями
$$
\begin{equation}
I_{1,2}^{\mu \nu \mu'\nu'} ={} (E_{k}^2)^2 \{ 14^2 [2g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu'\mu} +G_{+}^{\mu'\mu} G_{+}^{\nu \nu'} -2g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu} +2g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'}]+5^2 [12g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'}-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{В.2а}
$$
$$
\begin{equation}
-16g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +16G_{+}^{\mu \mu'} G_{+}^{\nu \nu'} ]-14\times 5[-4g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu \mu'} +8g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} ]\},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
I^{\mu \nu \mu'\nu'}_3 ={} (E_{k}^2)^2 \{ 14^2 [g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu'\mu} +g^{\mu \mu'} G_{+}^{\nu \nu'} +3G_{+}^{\mu'\mu} G_{+}^{\nu \nu'} -2G_{+}^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} -2g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu}+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{В.2б}
$$
$$
\begin{equation}
+4G_{-}^{\nu \nu'} G_{-}^{\mu \mu'} -4G_{-}^{\mu \nu} G_{-}^{\mu'\nu'} +2g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} ]+5^2 [4(g^{\nu \nu'} g^{\mu'\mu} +2g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} )+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+16G_{-}^{\nu \mu'} G_{-}^{\mu \nu'} -16g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +16G_{+}^{\mu \mu'} G_{+}^{\nu \nu'} ]-14\times 5[4g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu \mu'} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+16G_{-}^{\nu \mu'} G_{-}^{\mu \nu'} +4G_{+}^{\nu \nu'} g^{\mu \mu'} -8G_{+}^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +8g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} -12g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+8G_{+}^{\mu'\nu} G_{+}^{\mu \nu'} +12G_{-}^{\mu \nu} G_{-}^{\nu'\mu'} ]\},
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
I^{\mu \nu \mu'\nu'}_{4} ={} -(E_{k}^2)^2 \{ 14^2 [g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu'\mu} +g^{\mu \mu'} G_{+}^{\nu \nu'} +3G_{+}^{\mu'\mu} G_{+}^{\nu \nu'} -2G_{+}^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} -g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu}-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{В.2в}
$$
$$
\begin{equation}
-4G_{-}^{\mu \nu} G_{-}^{\mu'\nu'} +2g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} -g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} ]+5^2 [4(g^{\nu \nu'}g^{\mu'\mu} +2g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} )+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+16G_{-}^{\nu \mu'} G_{-}^{\mu \nu'} -8(g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu} +16G_{+}^{\mu \mu'} G_{+}^{\nu \nu'} ]-14\times 5[4g^{\nu \nu'} G_{+}^{\mu \mu'} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+16G_{-}^{\nu \mu'} G_{-}^{\mu \nu'} +4G_{+}^{\nu \nu'} g^{\mu \mu'} -8G_{+}^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +8g^{\mu \nu} g^{\mu'\nu'} -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
-6(g^{\mu \nu} G_{+}^{\mu'\nu'} +g^{\mu'\nu'} G_{+}^{\mu \nu} )+8G_{+}^{\mu'\nu} G_{+}^{\mu \nu'} +12G_{-}^{\mu \nu} \times G_{-}^{\nu'\mu'} ]\}.
\end{equation}
\notag
$$
Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Sko24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|