| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Однопараметрическая система Калоджеро–Мозера с дискретным временем У. Джайрукa, С. Ю-Конb a Division of Physics, Faculty of Science and Technology, Rajamangala University of Technology Thanyaburi, Pathumthani, Thailand b The Institute for Fundamental Study, Naresuan University, Phitsanulok, Thailand
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924030012 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСистема Калоджеро–Мозера (КМ) представляет собой математическую модель, описывающую движение одномерной системы частиц, взаимодействующих посредством дальнодействующих сил [1], [2]. Система КМ, конечно, является интегрируемой по Лиувиллю, обладает богатыми свойствами симметрии и достаточным числом сохраняющихся величин для построения точных решений. Приведем уравнения движения системы КМ для простейшего типа взаимодействия, известного как рациональный случай:
$$
\begin{equation}
\ddot x_i=\sum_{j=1}^N\frac{1}{(x_i-x_j)^3},\qquad i=1,\ldots,N,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $x_i$ – координата $i$-й частицы. Система Рейсенарса–Шнайдера (РС) – это еще одна интегрируемая система, описывающая движение одномерной системы частиц с дальним взаимодействием [3], [4]. В случае простейшего взаимодействия, а именно в рациональном случае, уравнения движения с дискретным временем для этой системы имеют вид
$$
\begin{equation}
\ddot x_i=\sum_{j=1}^N\dot x_i\dot x_j\biggl(\frac{1}{x_i-x_j+\lambda}+\frac{1}{x_i-x_j-\lambda}-\frac{2}{x_i-x_j}\biggr),\qquad i=1,\ldots,N,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где $\lambda$ – параметр. В пределе $\lambda\to 0$ система (1.2) переходит в систему КМ. Таким образом, систему РС можно рассматривать как “однопараметрическое обобщение” системы КМ. В 1994 г. Нийхоф и Пан ввели версию системы КМ с дискретным временем [5]. Уравнения движения для этой системы в рациональном случае имеют вид
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\tilde x_k}+\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)-\sum_{\substack{k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N\frac{2}{x_i-x_k}=0,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $\tilde x_i=x_i(n+1)$ и $\smash[b]{ \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} }{}_i=x_i(n-1)$ обозначают сдвиги вперед и назад соответственно. Интегрируемость этой системы можно понимать в том же смысле, что и для непрерывной системы: в терминах классической $r$-матрицы, существования точного решения и существования достаточного набора инвариантов. Вскоре после этого была представлена дискретная по времени версия системы РС [6]. Уравнения движения с дискретным временем для этой системы в рациональном случае имеют вид
$$
\begin{equation}
\prod_{\substack{j=1,\\ \!\!\!j\neq i}}^N\frac{x_i-x_j+\lambda}{x_i-x_j-\lambda}= \prod_{j=1}^N\frac{\smash[b]{(x_j-\tilde x_j)(x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_j+\lambda)}}{(x_j- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_j)(x_i-\tilde x_j+\lambda)}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Опять же в пределе $\lambda\to 0$ восстанавливается система КМ с дискретным временем. Конечно, дискретную систему РС (1.4) также можно рассматривать как “однопараметрическое обобщение” дискретной системы КМ. Недавно был предложен новый признак интегрируемости, известный как многомерная согласованность. На уровне уравнений движения с дискретным временем многомерную согласованность можно понимать как согласованность на кубе [7], [8]. На уровне гамильтонианов это свойство можно обнаружить, используя гамильтоновы коммутирующие потоки, как прямое следствие инволюции в интегрируемости по Лиувиллю [9]. С другой стороны, на уровне лагранжианов многомерная согласованность может быть выражена через соотношение замыкания для лагранжиана как прямой результат вариации действия по независимым переменным. Поскольку соотношение замыкания для 1-формы лагранжиана играет в настоящей статье основную роль в качестве критерия интегрируемости, уделим внимание выводу этого соотношения. Пусть $\mathbf n$ – вектор на решетке, а $\mathbf e_i$ – единичный вектор в $i$-м направлении. Тогда элементарный сдвиг в $i$-м направлении на решетке определяется как $\mathbf n\to\mathbf n+\mathbf e_i$. Следовательно, лагранжианы системы с дискретным временем можно выразить как
$$
\begin{equation}
\mathcal L_i(\mathbf n)=\mathcal L_i(\mathbf x(\mathbf n),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i)),
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\mathbf x=\{x_1,\ldots,x_N\}$. Действие системы с дискретным временем задается как
$$
\begin{equation}
S=S[\mathbf x(\mathbf n):\Gamma]=\sum_{\mathbf n\in\Gamma}\mathcal L_i(\mathbf x(\mathbf n),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i)),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
где $\Gamma$ – произвольная кривая на решетке (см. рис. 1). Рассмотрим другую кривую $\Gamma'$, имеющую общие начальную и конечную точки с кривой $\Gamma$; соответствующее действие задается как
$$
\begin{equation}
S'=S[\mathbf x(\mathbf n):\Gamma'\kern1pt]=\sum_{\mathbf n\in\Gamma'}\mathcal L_i(\mathbf x(\mathbf n),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i)).
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Конечно, это действие можно представить через вариацию независимых переменных $\mathbf n\to\mathbf n+\Delta\mathbf n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S'&=S-\mathcal L_i(\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_j),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i+\mathbf e_j))+ \mathcal L_i(\mathbf x(\mathbf n),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i))+{}\notag \\ &\quad+\mathcal L_j(\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_j+\mathbf e_i))- \mathcal L_j(\mathbf x(\mathbf n),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_j)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Согласно принципу наименьшего действия имеем $\delta S=S'-S=0$, в результате получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0&=\mathcal L_i(\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_j),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i+\mathbf e_j))- \mathcal L_i(\mathbf x(\mathbf n),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i))-{} \notag\\ &\quad-\mathcal L_j(\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_i),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_j+\mathbf e_i))+ \mathcal L_j(\mathbf x(\mathbf n),\mathbf x(\mathbf n+\mathbf e_j)), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
представляющее собой соотношение замыкания для 1-формы лагранжиана с дискретным временем. Для двумерной решетки (см. рис. 2) соотношение (1.9) может быть записано в следующем эквивалентном виде:
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal L(\mathbf x,\widetilde{\mathbf x})}-\mathcal L(\mathbf x,\widetilde{\mathbf x})- \widetilde{\mathcal L(\mathbf x,\widehat{\mathbf x})}+\mathcal L(\mathbf x,\widehat{\mathbf x})=0.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
В настоящей работе мы предлагаем новый тип однопараметрической системы КМ, отличный от системы РС, и изучаем ее интегрируемость, исследуя существование точного решения, классической $r$-матрицы и соотношения замыкания. Структура статьи следующая. В разделе 2 из уравнений Лакса получены две совместные однопараметрические системы КМ с дискретным временем. В разделе 3 представлены лагранжианы системы с дискретным временем и непосредственно получено соотношение замыкания через связь между временны́ми матрицами Лакса системы РС и лагранжианом. В разделе 4 рассмотрена классическая $r$-матрица для однопараметрической дискретной системы КМ. В разделе 5 приведено подробное построение точного решения. В разделе 6 рассматривается непрерывный предел однопараметрической системы КМ с дискретным временем, приводящий к однопараметрической системе КМ с непрерывным временем. В последнем разделе 7 представлены краткие выводы и перспективы дальнейших исследований. 2. Однопараметрическая система КМ с дискретным временемВ этом разделе мы строим систему КМ с дискретным временем, содержащую параметр $\lambda$. Сначала введем пространственную матрицу Лакса $\mathbf L_{\lambda}$ и две временны́е матрицы Лакса $\mathbf M$ и $\mathbf N$:
$$
\begin{equation}
\mathbf L_{\lambda} =\sum_{i,j=1}^N\frac{1}{x_i-x_j+\lambda}E_{ij},
\end{equation}
\tag{2.1а}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf M =\sum_{i,j=1}^N\frac{1}{\tilde x_i-x_j}E_{ij},
\end{equation}
\tag{2.1б}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf N =\sum_{i,j=1}^N\frac{1}{\hat x_i-x_j}E_{ij},
\end{equation}
\tag{2.1в}
$$
где $x_i=x_i(n,m)$ – координата $i$-й частицы на решетке, $N$ – число частиц в системе, $E_{ij}$ – матрица с элементами $(E_{ij})_{kl}=\delta_{ik}\delta_{jl}$. Здесь $\hat x_i=x_i(m+1)$ и $\smash[b]{ \underset{\textstyle\kern-1pt\hat{\hphantom{x}}}{x} }{}_i=x_i(m-1)$ обозначают сдвиги вперед и назад соответственно. Дискретный поток в $n$-направленииУсловие совместности уравнений (2.1а) и (2.1б) дает
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf L_{\lambda}}\mathbf M=\mathbf M\mathbf L_{\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате приходим к набору уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i,j=1}^N\sum_{k,\ell=1}^N\frac{1}{(\tilde x_i-\tilde x_j+\lambda)}\frac{1}{(\tilde x_k-x_\ell)}E_{ij}E_{k\ell}&= \sum_{i,j=1}^N\sum_{k,\ell=1}^N\frac{1}{(\tilde x_i-x_j)}\frac{1}{(x_k-x_\ell+\lambda)}E_{ij}E_{k\ell}, \\ \sum_{i,\ell=1}^N \sum_{k=1}^N\frac{1}{(\tilde x_i-\tilde x_k+\lambda)(\tilde x_k-x_\ell)}E_{i\ell}&= \sum_{i,\ell=1}^N \sum_{k=1}^N\frac{1}{(\tilde x_i-x_k)(x_k-x_\ell+\lambda)}E_{k\ell}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сокращая общие множители, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\tilde x_i-\tilde x_k+\lambda}-\frac{1}{\tilde x_i-x_k}\biggr)= \sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_k-x_\ell+\lambda}-\frac{1}{\tilde x_k-x_\ell}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Мы видим, что две части этого уравнения независимы, поэтому оно выполняется, если
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\tilde x_i-\tilde x_k+\lambda}-\frac{1}{\tilde x_i-x_k}\biggr)\equiv\widetilde{p},
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $p=p(n)$ не зависит от индекса частицы и является функцией дискретного индекса $n$. Сдвинув уравнение (2.3) на один шаг назад, имеем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-x_k+\lambda}-\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)=p.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Сдвиг вправо уравнения (2.2) дает
$$
\begin{equation}
p=\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_\ell-\tilde x_k}-\frac{1}{x_\ell-x_k-\lambda}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Теперь из (2.4) и (2.5) без труда получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\tilde x_k}+\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)- \sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-x_k+\lambda}+\frac{1}{x_i-x_k-\lambda}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
которое мы рассматриваем как однопараметрическую дискретную систему КМ по $n$-направлению. В пределе $\lambda\to 0$ она переходит в уравнение
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\tilde x_k}+\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)-\sum_{\substack{k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N\frac{2}{x_i-x_k} =0,
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
которое есть не что иное, как стандартная дискретная система КМ по $n$-направлению. Дискретный поток в $m$-направленииУсловие совместности уравнений (2.1а) и (2.1в) дает
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathbf L_{\lambda}}\mathbf M=\mathbf M\mathbf L_{\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате приходим к набору уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{i, j=1}^N \sum_{k,\ell=1}^N\frac{1}{(\hat x_i-\hat x_j+\lambda)}\frac{1}{(\hat x_k-x_\ell)}E_{ij}E_{k\ell}&= \sum_{i, j=1}^N \sum_{k,\ell= 1}^N\frac{1}{(\hat x_i-x_j)}\frac{1}{(x_k-x_\ell+\lambda)}E_{ij} E_{k\ell}, \\ \sum_{i,\ell=1}^N \sum_{k=1}^N\frac{1}{(\hat x_i-\hat x_k+\lambda)(\hat x_k-x_\ell)} E_{i\ell}&= \sum_{i,\ell=1}^N \sum_{k=1}^N\frac{1}{(\hat x_i-x_k)(x_k-x_\ell+\lambda)}E_{k\ell}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вновь сокращая общие множители, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\hat x_i-\hat x_k+\lambda}-\frac{1}{\hat x_i-x_k}\biggr)= \sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_k-x_\ell+\lambda}-\frac{1}{\hat x_k-x_\ell}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Ситуация аналогична предыдущей. Обе части уравнения (2.8) независимы, и это справедливо, если
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\hat x_i-\hat x_k+\lambda}-\frac{1}{\hat x_i-x_k}\biggr)\equiv\hat q,
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $q=q(m)$ не зависит от индекса частицы и является функцией дискретного индекса $m$. Сдвинув уравнение (2.9) на один шаг назад, получаем
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-x_k+\lambda}-\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\hat{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)=q.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Из правой части уравнения (2.8) имеем
$$
\begin{equation}
q=\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_\ell-\hat x_k}-\frac{1}{x_\ell-x_k-\lambda}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Уравнения (2.10) и (2.11) дают уравнение
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\hat x_k}+\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\hat{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)- \sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-x_k+\lambda}+\frac{1}{x_i-x_k-\lambda}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
которое мы рассматриваем как однопараметрическую дискретную систему КМ по $m$-направлению. В пределе $\lambda\to 0$ получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\hat x_k}+\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\hat{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)-\sum_{\substack{k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N\frac{2}{x_i-x_k}=0,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
которое является стандартной системой КМ по $m$-направлению с дискретным временем. Совместность дискретных потоковДве динамики по дискретным временам будут согласованными, если выполнено условие совместности уравнений (2.1б) и (2.1в):
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mathbf M}\mathbf N=\widetilde{\mathbf N}\mathbf M.
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает набор уравнений
$$
\begin{equation}
p-q =\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\tilde x_k}-\frac{1}{x_i-\hat x_k}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
$$
\begin{equation}
p-q =\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_k}-\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\hat{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
которые мы будем называть уравнениями в углах. Сопоставляя (2.14) и (2.15), получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\tilde x_k}+\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr)= \sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{x_i-\hat x_k}-\frac{1}{x_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\hat{\hphantom{x}}}{x} {}_k}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
которое представляет собой уравнение связи между одним и другим дискретными потоками.
3. Интегрируемость: соотношение замыканияВ этом разделе мы показываем, что однопараметрические системы КМ с дискретным временем из предыдущего раздела интегрируемы в том смысле, что их лагранжианы с дискретным временем удовлетворяют соотношению замыкания, которое является следствием принципа наименьшего действия по независимым переменным [10]–[17]. Нетрудно видеть, что (2.6) и (2.12) можно получить из дискретных уравнений Эйлера–Лагранжа [12]
$$
\begin{equation}
\widetilde{\frac{\partial\mathcal L_n(x,\tilde x)}{\partial x_i}}+\frac{\partial\mathcal L_n(x,\tilde x)}{\partial{\tilde x_i}}=0,\qquad \widehat{\frac{\partial\mathcal L_m(x,\hat x)}{\partial x_i}}+\frac{\partial\mathcal L_m(x,\hat x)}{\partial{\hat x_i}}=0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal L_n{(x,\tilde x)}&= -\sum_{i,j=1}^N\ln|x_i-\tilde x_j|+\sum_{i,j=1}^N\ln|x_i-x_j+\lambda|+p(\Xi-\widetilde\Xi), \\ \mathcal L_m{(x,\hat x)}&= -\sum_{i,j=1}^N\ln|x_i-\hat x_j|+\sum_{i,j=1}^N\ln|x_i-x_j+\lambda|+q(\Xi-\widehat\Xi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Здесь через $\Xi=\sum_{i=1}^N x_i$ обозначена переменная центра масс. Чтобы показать, что для лагранжиана однопараметрической модели КМ с дискретным временем выполняется соотношение замыкания, используем связь между временно́й матрицей Лакса и лагранжианом, как это было сделано в случае стандартной модели КМ с дискретным временем [12]. Интересным моментом является то, что для данной системы, как оказывается, можно получить лагранжиан с дискретным временем из соотношения $\mathcal L(x,\tilde x)=\ln|\!\det\mathbf M_{\mathrm{RS}}|$ (явное вычисление см. в приложении). Здесь $\mathbf M_{\mathrm{RS}}$ – временна́я матрица Лакса модели РС, определяемая формулой
$$
\begin{equation}
\mathbf M_{\mathrm{RS}}=\sum_{i,j=1}^N\frac{\tilde h_ih_j}{\tilde x_i-x_j+\lambda}E_{ij},
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $h_i=h_i(n,m)$ – вспомогательные переменные, подлежащие определению [6]. Предположим, что существует еще одна временна́я матрица, заданная формулой
$$
\begin{equation}
\mathbf N_{\mathrm{RS}}=\sum_{i,j=1}^N\frac{\hat h_ih_j}{\hat x_i-x_j+\lambda}E_{ij},
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
и две матрицы $\mathbf M_{\mathrm{RS}}$ и $\mathbf N_{\mathrm{RS}}$ удовлетворяют уравнению
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf M}_{\mathrm{RS}}\mathbf N_{\mathrm{RS}}=\widetilde{\mathbf N}_{\mathrm{RS}}\mathbf M_{\mathrm{RS}}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Вычислив детерминант и взяв логарифм, получаем
$$
\begin{equation}
\ln|\!\det\widehat{\mathbf M}_{\mathrm{RS}}|+\ln|\!\det\mathbf N_{\mathrm{RS}}|= \ln|\!\det\widetilde{\mathbf N}_{\mathrm{RS}}|+\ln|\!\det\mathbf M_{\mathrm{RS}}|,
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
что дает соотношение замыкания (1.10).
4. Интегрируемость: классическая $r$-матрицаВ этом разделе мы строим классическую $r$-матрицу для однопараметрической системы КМ с дискретным временем. Сначала перепишем пространственную матрицу Лакса как
$$
\begin{equation}
\mathbf L_\lambda=\sum_{i=1}^N\frac{1}{\lambda} E_{ii}- \sum_{\substack{i,j=1,\\ \!\! j\neq i}}^N\frac{1}{x_i-x_j+\lambda}E_{ij}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Далее введем пространственную матрицу Лакса стандартной системы КМ [18]
$$
\begin{equation}
\mathbf L=\sum_{i=1}^N P_iE_{ii}-\sum_{\substack{i,j=1,\\ \!\!\!j\neq i}}^N\frac{1}{x_i-x_j}E_{ij},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $P_i$ – импульс $i$-й частицы. Получаем, что, используя эти данные, классическую $r$-матрицу можно вычислить с помощью соотношения
$$
\begin{equation}
\{\mathbf L \mathop{\overset{\otimes}{,}} \mathbf L\}=[r_{12},\mathbf L\otimes 1\!\!1 ]-[r_{12}, 1\!\!1 \otimes\mathbf L],
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где $r_{12}$ – классическая $r$-матрица системы КМ. Сравнивая выражения (4.1) и (4.2), немедленно получаем классическую $r$-матрицу $r_{12}^\lambda$ для однопараметрической системы КМ с дискретным временем с помощью замен $P_i\to\frac{1}{\lambda}$ и $\frac{1}{x_i-x_j}\to\frac{1}{x_i-x_j+\lambda}$:
$$
\begin{equation}
\{\mathbf L_\lambda \mathop{\overset{\otimes}{,}} \mathbf L_\lambda\}= [r_{12}^\lambda,\mathbf L_\lambda\otimes 1\!\!1 ]-[r_{12}^\lambda, 1\!\!1 \otimes\mathbf L_\lambda].
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Здесь отметим, что в пределе $\lambda\to 0$ классическая $r$-матрица $r_{12}^\lambda$ не переходит в стандартную классическую $r$-матрицу. Эта проблема возникает из-за того, что пространственная матрица Лакса (4.1) является в некотором роде подделкой, поскольку она не дает интегралов движения через соотношение $I_n=\frac{1}{n!}\operatorname{Tr}(\mathbf L_\lambda)^n$.
5. Интегрируемость: точное решениеВ этом разделе мы находим точное решение $\{x_i(n)\}$ с начальными данными $\{x_i(0)\}$ и $\{x_i(1)=\tilde x_i(0)\}$. Сначала перепишем матрицы Лакса в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf X\mathbf L-\mathbf L\mathbf X+\lambda\mathbf L=\mathbf E,
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf X}\mathbf M-\mathbf M\mathbf X=\mathbf E,
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $\mathbf X=\sum_{i=1}^N x_i E_{ii}$ и $\mathbf E=\sum_{i=1}^N E_{ij}$. Кроме того, имеем что тоже дает уравнения движения. Положим $\mathbf M=\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}$ и $\mathbf{L}=\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}$, где $\mathbf U$ – обратимая матрица. Уравнение (5.2) приводит к цепочке эквивалентных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widetilde{\mathbf X}\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}-\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}\mathbf X=\mathbf E, \\ \mathbf U^{-1}\widetilde{\mathbf X}\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}- \widetilde{\mathbf U}^{-1}\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}\mathbf X= \widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E, \\ \widetilde{\mathbf U}^{-1}\widetilde{\mathbf X}\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}\mathbf U- \mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U= \widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U, \\ \widetilde{\mathbf U}^{-1}\widetilde{\mathbf X}\widetilde{\mathbf U}- \mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U =\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U, \\ \widetilde{\mathbf Y}-\mathbf Y=\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $\mathbf Y=\mathbf U^{-1}\mathbf{X}\mathbf U$. Также из (5.1) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf X\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}-\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}\mathbf X+ \lambda\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}=\mathbf E, \\ \mathbf X\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}\mathbf U-\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U+ \lambda\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}\mathbf U=\mathbf E\mathbf U, \\ \mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U\mathbf\Lambda-\mathbf U^{-1}\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U+ \mathbf U^{-1}\lambda\mathbf U\mathbf\Lambda=\mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U, \\ \mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U\mathbf\Lambda-\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U+ \lambda\mathbf U^{-1}\mathbf U\mathbf\Lambda=\mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U, \\ \mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U\mathbf\Lambda-\mathbf\Lambda\mathbf U^{-1}\mathbf X\mathbf U+ \lambda\mathbf\Lambda=\mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U, \\ \mathbf Y\mathbf\Lambda-\mathbf\Lambda\mathbf Y+\lambda\mathbf\Lambda =\mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
а уравнение (5.3) дает
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (\widetilde{\mathbf U}\mathbf\Lambda\widetilde{\mathbf U}^{-1}-\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1})\mathbf E=0, \\ \widetilde{\mathbf U}\mathbf\Lambda\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E-\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}\mathbf E=0, \\ \widetilde{\mathbf U}^{-1}\widetilde{\mathbf U}\mathbf\Lambda\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E- \widetilde{\mathbf U}^{-1}\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}\mathbf E=0, \\ \mathbf\Lambda\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E-\mathbf U^{-1}\mathbf E=0, \\ \mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U=\mathbf\Lambda\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Подставляя (5.7) в (5.6), получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf Y\mathbf\Lambda-\mathbf\Lambda\mathbf Y+\lambda\mathbf\Lambda=\mathbf\Lambda\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Чтобы исключить из правой части этого уравнения обратимую матрицу $\mathbf{U}$ и матрицу $\mathbf E$, используем уравнение (5.4), которое можно записать в нескольких разных видах:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf E(\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf {U}^{-1}-\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1})=0, \\ \mathbf E\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf {U}^{-1}-\mathbf E\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}=0, \\ \mathbf E\mathbf U\mathbf\Lambda\mathbf{U}^{-1}\mathbf U-\mathbf E\widetilde{\mathbf U}\mathbf U^{-1}\mathbf U=0, \\ \mathbf E\mathbf U\mathbf\Lambda -\mathbf E\widetilde{\mathbf U}=0, \\ \mathbf U^{-1}\mathbf E\widetilde{\mathbf U}=\mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U\mathbf\Lambda. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Поскольку $\mathbf U^{-1}\mathbf E\widetilde{\mathbf U}=\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U$, имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U=\mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U\mathbf\Lambda.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Подставим (5.9) в (5.5), отсюда находим
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf Y}-\mathbf Y=\mathbf U^{-1}\mathbf E\mathbf U\mathbf\Lambda.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Преобразовав уравнение (5.8), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf\Lambda^{-1}\mathbf Y\mathbf\Lambda-\mathbf\Lambda^{-1}\mathbf\Lambda\mathbf Y+\mathbf\Lambda^{-1}\lambda\mathbf\Lambda= \mathbf\Lambda^{-1}\mathbf\Lambda\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U, \\ \mathbf\Lambda^{-1}\mathbf Y\mathbf\Lambda-\mathbf Y+\lambda=\widetilde{\mathbf U}^{-1}\mathbf E\mathbf U. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Подставим (5.5) в (5.12), получим
$$
\begin{equation}
\mathbf\Lambda^{-1}\mathbf Y\mathbf\Lambda-\mathbf Y+\lambda=\widetilde{\mathbf Y}\mathbf Y,\qquad \widetilde{\mathbf Y}=\mathbf\Lambda^{-1}\mathbf Y\mathbf\Lambda+\lambda.
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Следовательно, для шагов в $n$-направлении мы имеем
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\widetilde{\mathbf Y}}=\mathbf\Lambda^{-1}\widetilde{\mathbf Y}\mathbf\Lambda+\lambda= \mathbf\Lambda^{-1}[\mathbf\Lambda^{-1}\mathbf Y\mathbf\Lambda+\lambda]\mathbf\Lambda+\lambda= (\mathbf\Lambda^{-1})^2\mathbf Y\mathbf\Lambda^2+2\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
и т. д., $\mathbf Y(n)=(\mathbf\Lambda)^{-n}\mathbf Y\mathbf\Lambda^n+n\lambda$. Конечно, для шагов в $m$-направлении
$$
\begin{equation}
\mathbf Y(m)=(\mathbf\Lambda)^{-m}\mathbf Y\mathbf\Lambda^m+m\lambda.
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Тогда для шагов в $(n,m)$-направлении имеем
$$
\begin{equation}
\mathbf Y(n,m)=(p+\mathbf\Lambda)^{-n}(q+\mathbf\Lambda)^{-m}\mathbf Y(0,0)(q+\mathbf\Lambda)^m+(p+\mathbf\Lambda)^n+(n+m)\lambda.
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
Нетрудно показать, что в пределе $\lambda\to 0$ мы получаем решение
$$
\begin{equation}
\mathbf Y(n,m)=(p+\mathbf\Lambda)^{-n}(q+\mathbf\Lambda)^{-m}\mathbf Y(0,0)(q+\mathbf\Lambda)^m(p+\mathbf\Lambda)^n,
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
которое есть не что иное, как стандартное решение дискретной системы КМ [5].
6. Непрерывный пределВ этом разделе мы рассматриваем непрерывный предел однопараметрической системы КМ с дискретным временем, которая исследовалась в предыдущих разделах. Поскольку существуют две переменные $(n,m)$ дискретного времени, мы можем реализовать наивный непрерывный предел [5] по каждой из этих переменных, что приведет к однопараметрической системе КМ с непрерывным временем. Чтобы перейти к такому непрерывному пределу, положим $x_i=Z_i+n\Delta$, где $\Delta$ – малый параметр. Мы также имеем $\tilde x_i=\widetilde Z_i+(n+1)\Delta$ и $\smash{ \underset{\textstyle\kern-1pt\tilde{\hphantom{x}}}{x} }{}_i=\smash{ \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} }{}_i+(n-1)\Delta$. Тогда (2.6) принимает вид
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{Z_i-\widetilde Z_k-\Delta}+\frac{1}{Z_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} {}_k+\Delta\vphantom{\widetilde Z_k}}\biggr)- \sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!k\neq i}}^N \biggl(\frac{1}{Z_i-Z_k+\lambda\vphantom{\widetilde Z_k}}+\frac{1}{Z_i- Z_k-\lambda\vphantom{\widetilde Z_k}}\biggr)=0
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
или
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(&\frac{1}{Z_i-\widetilde Z_i-\Delta}+\frac{1}{Z_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} {}_i+\Delta\vphantom{\widetilde Z_k}}\biggr)-{} \notag\\ &-\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N \biggl(\frac{1}{Z_i-\widetilde Z_k-\Delta}+\frac{1}{Z_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} {}_k+\Delta\vphantom{\widetilde Z_k}}- \frac{1}{Z_i-Z_k+\lambda\vphantom{\widetilde Z_k}}-\frac{1}{Z_i-Z_k-\lambda\vphantom{\widetilde Z_k}}\biggr) =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Выполним разложение в ряды
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde Z_i&=Z_i+\varepsilon\frac{dZ_i}{dt}+\frac{\varepsilon^2}{2}\frac{d^2Z_i}{dt^2}+\cdots, \\ \smash{ \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} }{}_i&=Z_i-\varepsilon\frac{dZ_i}{dt}+\frac{\varepsilon^2}{2}\frac{d^2Z_i}{dt^2}+\cdots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
где $\varepsilon$ – шаг по времени. Тогда два первых слагаемых в (6.2) принимают вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{Z_i-\widetilde Z_i-\Delta}+\frac{1}{Z_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} {}_i+\Delta}= \frac{\varepsilon^2}{\Delta^2}\frac{d^2Z_i}{dt^2}+\cdots{}\,.
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
Также находим, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{\substack{k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N& \biggl(\frac{1}{Z_i-\widetilde Z_k-\Delta}+\frac{1}{Z_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} {}_k+\Delta\vphantom{\widetilde Z_k}}\biggr)= \notag\\ &=\sum_{\substack{k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N \biggl(\frac{2}{Z_i-Z_k}+\frac{1}{(Z_i-Z_k)^3}\biggl(\varepsilon^2\frac{dZ_k}{dt}+2\varepsilon\Delta\frac{dZ_k}{dt}+\Delta^2\biggr)+\cdots\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
Если $\varepsilon\approx\Delta^2$, то
$$
\begin{equation}
\sum_{\substack{k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N \biggl(\frac{1}{Z_i-\widetilde Z_k-\Delta}+\frac{1}{Z_i- \underset{\textstyle\kern-1pt\widetilde{\hphantom{Z}}}{Z} {}_k+\Delta\vphantom{\widetilde Z_k}}\biggr)\approx \sum_{\substack{k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N\biggl(\frac{2}{Z_i-Z_k\vphantom{\widetilde Z_k}}+ \frac{2\Delta^2}{(Z_i-Z_k)^3\vphantom{\widetilde Z_k}}\biggr).
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Наконец, непрерывная версия однопараметрической системы КМ принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{d^2Z_i}{dt^2}+\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N \biggl( g'\biggl[\frac{2}{Z_i-Z_k}-\frac{1}{Z_i-Z_k+\lambda}-\frac{1}{Z_i-Z_k-\lambda}\biggr]+\frac{2g}{(Z_i-Z_k)^3}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
где $g\equiv\Delta^4/\varepsilon^2$ и $g'\equiv\Delta^2/\varepsilon^2$. В пределе $\lambda\to 0$ мы имеем
$$
\begin{equation}
\frac{d^2 Z_i}{dt^2}+2g\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!k\neq i}}^N \frac{1}{(Z_i-Z_k)^3}=0,
\end{equation}
\tag{6.8}
$$
что в самом деле является стандартной непрерывной системой КМ. С учетом уравнения (6.7) лагранжиан записывается как
$$
\begin{equation}
\mathscr L_\lambda=\sum_{i=1}^N\frac{\partial Z_i}{\partial t}- \frac{1}{2}\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N\frac{g}{(Z_i-Z_k)^2}- g'\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N\bigl(\ln|Z_i-Z_k+\lambda|+\ln|(Z_i-Z_k)|\bigr),
\end{equation}
\tag{6.9}
$$
а уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\mathscr L_{\lambda}}{\partial Z_i}- \frac{\partial}{\partial t}\biggl(\frac{\partial\mathscr L_{\lambda}}{\partial\bigl(\frac{\partial Z_i}{\partial t}\bigr)}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{6.10}
$$
Конечно, при $\lambda\to 0$ восстанавливается лагранжиан стандартной системы КМ1:
$$
\begin{equation}
\lim_{\lambda\to 0}\mathscr L_\lambda=\mathscr L= \sum_{i=1}^N\frac{\partial Z_i}{\partial t}+\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!\!k\neq i}}^N\frac{g}{(Z_i-Z_k)^2},
\end{equation}
\tag{6.11}
$$
Кроме того, гамильтониан однопараметрической непрерывной системы КМ можно записать в виде
$$
\begin{equation}
\mathscr H_\lambda=\sum_{i=1}^N P_i^2+\frac{1}{2}\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!k\neq i}}^N\frac{g}{(Z_i-Z_k)^2}+ g'\sum_{\substack{i,k=1,\\ \!\!k\neq i}}^N\bigl(\ln|Z_i-Z_k+\lambda|+\ln|Z_i-Z_k|\bigr),
\end{equation}
\tag{6.12}
$$
где $P_i=\partial Z_i/\partial t$ есть импульс $i$-й частицы.
7. ЗаключениеВ представленной работе мы предложили новый тип интегрируемой одномерной многочастичной системы – так называемую однопараметрическую или деформированную дискретную систему КМ. В пределе $\lambda\to 0$ из этой системы восстанавливается стандартная система КМ как в дискретном, так и в непрерывном случаях. На рис. 3 представлена схема взаимосвязи всех систем типа КМ. Мы поставили нашу модель на один уровень с системой РС, поскольку обе системы содержат параметр. Также хотелось бы отметить, что непрерывная система, полученная в разделе 6, является лишь первой в иерархии КМ [12]. Здесь можно задать вопрос: как деформируются другие системы в этой иерархии? Можно также изучить условие интегрируемости и квантовые свойства системы. Для этого необходимо дальнейшее исследование, и мы ответим на эти вопросы в наших следующих работах. Приложение. Связь между лагранжианом и матрицей $\mathbf M_{\mathrm{RS}}$ модели РСВ этом приложении мы выведем связь между лагранжианом однопараметрической модели с дискретным временем и матрицей модели РС
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf M_{\mathrm{RS}}=\sum_{i,j=1}^N\frac{\tilde h_ih_j}{\tilde x_i-x_j+\lambda}E_{ij}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{П.1}
$$
Для простоты начнем с матрицы размера $2\times 2$:
$$
\begin{equation*}
\mathbf M_{\mathrm{RS}}= \begin{bmatrix} \dfrac{\tilde h_1h_1}{\tilde x_1-x_1+\lambda} & \dfrac{\tilde h_1h_2}{\tilde x_1-x_2+\lambda} \\ \dfrac{\tilde h_2h_1}{\tilde x_2-x_1+\lambda} & \dfrac{\tilde h_2h_2}{\tilde x_2-x_2+\lambda} \end{bmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем ее детерминант,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \det\mathbf M_{\mathrm{RS}}&= \frac{\tilde h_1h_1\tilde h_2h_2}{(\tilde x_1-x_1+\lambda)(\tilde x_2-x_2+\lambda)}- \frac{\tilde h_2h_1\tilde h_1h_2}{(\tilde x_2-x_1+\lambda)(\tilde x_1-x_2+\lambda)}= \\ &=h_1\tilde h_1h_2\tilde h_2 \biggl[\frac{1}{(\tilde x_1-x_1+\lambda)(\tilde x_2-x_2+\lambda)}-\frac{1}{(\tilde x_2-x_1+\lambda)(\tilde x_1-x_2+\lambda)}\biggr]= \\ &=h_1\tilde h_1h_2\tilde h_2 \biggl[\frac{(\tilde x_2-x_1+\lambda)(\tilde x_1-x_2+\lambda)- (\tilde x_1-x_1+\lambda)(\tilde x_2-x_2+\lambda)}{\prod_{i,j=1,2} (\tilde x_i-x_j+\lambda)}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Упростим это выражение:
$$
\begin{equation}
\det\mathbf M_{\mathrm{RS}}=h_1\tilde h_1h_2\tilde h_2 \biggl[\frac{(\tilde x_2-\tilde x_1)(x_1-x_2)}{\prod_{i,j=1,2} (\tilde x_i-x_j+\lambda)}\biggr].
\end{equation}
\tag{П.2}
$$
Напомним соотношения [13]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^2_i&=-\frac{\prod_{j=1}^N (x_i-x_j+\lambda)(x_i-\tilde x_j-\lambda)} {\prod_{i,j=1,j\neq i}^N(x_i-x_j)\prod_{j=1}^N (x_i-\tilde x_j)}, \\ \tilde h_i^2&=-\frac{\prod_{j=1}^N (\tilde x_i-x_j+\lambda)(\tilde x_i-\tilde x_j-\lambda)} {\prod_{i,j=1,j\neq i}^N(\tilde x_i-\tilde x_j)\prod_{j=1}^N (\tilde x_i-x_j)}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда имеем для $i,j=1,2$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, h^2_1&=-\frac{(x_1-x_1+\lambda)(x_1-x_2+\lambda)(x_1-\tilde x_1-\lambda)(x_1-\tilde x_2-\lambda)}{(x_1-x_2)(x_1-\tilde x_1)(x_1-\tilde x_2)}, \\ \tilde h_1^2&=\frac{(\tilde x_1-x_1+\lambda)(\hat x_1-x_2+\lambda)(\tilde x_1-\tilde x_1-\lambda)(\tilde x_1-\tilde x_2-\lambda)} {(\tilde x_1-\tilde x_2)(\tilde x_1-x_1)(\tilde x_1-x_2)}, \\ h^2_2&=-\frac{(x_2-x_1+\lambda)(x_2-x_2+\lambda)(x_2-\tilde x_1-\lambda)(x_2-\tilde x_2-\lambda)} {(x_2-x_1)(x_2-\tilde x_1)(x_2-\tilde x_2)}, \\ \tilde h_2^2&=\frac{(\tilde x_2-x_1+\lambda)(\hat x_2-x_2+\lambda)(\tilde x_2-\tilde x_1-\lambda)(\tilde x_2-\tilde x_2-\lambda)} {(\tilde x_2-\tilde x_1)(\tilde x_2-x_1)(\tilde x_2-x_2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем логарифм этих выражений, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \ln|h_1|=\frac{1}{2}[&\ln|\lambda|+\ln|x_1-x_2+\lambda|+\ln|x_1-\tilde x_1-\lambda|+{} \\ &+\ln|x_1-\tilde x_2-\lambda|-\ln|x_1-x_2|-\ln|x_1-\tilde x_1|-\ln|x_1-\tilde x_2, \\ \ln|\tilde h_1|=\frac{1}{2}\bigl[&\ln|\lambda|+\ln|\tilde x_1-x_1+\lambda|+\ln|\tilde x_1-x_2+\lambda|-{} \\ &-\ln|\tilde x_1-\tilde x_2-\lambda|-\ln|\tilde x_1-\tilde x_2|-\ln|\tilde x_1-x_1|-\ln|\tilde x_1-x_2|], \\ \ln|h_2|=\frac{1}{2}[&\ln|\lambda|+\ln|x_2-x_1+\lambda|+\ln|x_2-\tilde x_1-\lambda|+{} \\ &+\ln|x_2-\tilde x_2-\lambda|-\ln|x_2-x_1|-\ln|x_2-\tilde x_1|-\ln|x_2-\tilde x_2|], \\ \ln|\tilde h_2|=\frac{1}{2}[&\ln|\lambda|+\ln|\tilde x_2-x_1+\lambda|+\ln|\tilde x_2-x_2+\lambda|+{} \\ &+\ln|\tilde x_2-\tilde x_1-\lambda|-\ln|\tilde x_2-\tilde x_1|-\ln|\tilde x_2-x_1|-\ln|\tilde x_2-x_2|]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \det\mathbf M_{\mathrm{RS}}&=\ln|h_1|+\ln|\tilde h_1|+\ln|h_2|+\ln|\tilde h_2|+\ln|\tilde x_2-\tilde x_1|+{} \\ &\quad+\ln|x_1-x_2|-\sum_{i,j=1,2}\ln|\tilde x_i-x_j+\lambda|= \\ &=2\ln|\lambda|-\sum_{i,j=1,2}\ln|\tilde x_i-x_j+\lambda|= \sum_{i,j=1,2}\ln|x_i-x_j+\lambda|-\sum_{i,j=1,2}\ln|x_i-\tilde x_j|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, для $N$ частиц и матрицы размера $N\times N$ получается равенство
$$
\begin{equation}
\det\mathbf M_{\mathrm{RS}}=\sum_{i,j=1}^N\ln|x_i-x_j+\lambda|-\sum_{i,j=1}^N\ln|x_i-\tilde x_j|,
\end{equation}
\tag{П.3}
$$
которое в самом деле задает лагранжиан однопараметрической системы КМ с дискретным временем. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{JaiYoo24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|