| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О положительных неподвижных точках оператора типа Гаммерштейна с вырожденным ядром и мерах Гиббса И. М. Мавлоновa, Н. Х. Хушвактовa, Г. П. Арзикуловb, Ф. Х. Хайдаровacd a Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, Ташкент, Узбекистан b Ташкентский государственный технический университет им. И. А. Каримова, Ташкент, Узбекистан c Институт математики им. В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан, Ташкент, Узбекистан d Ташкентский международный университет финансового управления и технологий, Ташкент, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924090113 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеУравнение Гаммерштейна встречается в разнообразных областях и представляет большой интерес для широкой аудитории в связи с обширными приложениями. Ряд задач, возникающих в теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), например эллиптические краевые задачи, линейные части которых обладают функцией Грина, можно преобразовать в интегральные уравнения Гаммерштейна. Уравнения типа Гаммерштейна играют важную роль в теории оптимального управления, а также в теории автоматов и теории сетей (см., например, монографию [1]). Имеется несколько работ, посвященных неподвижным точкам оператора Гаммерштейна на конусе. Были доказаны основные теоремы о существовании и множественности неподвижных точек уравнений Гаммерштейна (см. например, [2]–[4]). С другой стороны, хорошо было бы получить новые результаты о единственности неподвижных точек уравнений Гаммерштейна на конусе. Так, например, в последние годы всё большее внимание уделялось моделям на дереве Кэли с несчетным множеством значений спина. В работах [5], [6] рассматривался гамильтониан на дереве Кэли $\Gamma^k$ со значениями спина, заполняющими отрезок $[0,1]$, и было показано, что существование трансляционно-инвариантной расщепляющей меры Гиббса для этого гамильтониана эквивалентно существованию положительной неподвижной точки нелинейного интегрального оператора типа Гаммерштейна. В работе [6] для $k=1$ (когда дерево Кэли становится одномерной решеткой $\mathbb{Z}$) было показано, что интегральное уравнение имеет единственное решение, а это означает, что существует единственная мера Гиббса. Для общего $k\geqslant 2$ было найдено достаточное условие единственности периодической меры Гиббса [7]. В работах [8], [9] было доказано существование фазовых переходов для деревьев Кэли $\Gamma^k$ порядка $k\geqslant 2$. Отметим, что все эти работы посвящены моделям со взаимодействием ближайших соседей. В работах [10]–[12] для моделей на $\Gamma^2$ были описаны расщепляющие меры Гиббса в модели четырех конкурирующих взаимодействий (внешнее поле, взаимодействие ближайших соседей, вторых и третьих соседей) и показано, что периодическая мера Гиббса для гамильтонианов с четырьмя конкурирующими взаимодействиями является либо трансляционно-инвариантной, либо периодической с периодом 2. Однако теоремы о неподвижных точках интегрального оператора Гаммерштейна на конусе невозможно напрямую применить, используя известные результаты о существовании и единственности неподвижных точек интегрального оператора Гаммерштейна на конусе. В настоящей работе мы строим новые вырожденные ядра оператора Гаммерштейна, рассматривая эту задачу с точки зрения теории мер Гиббса. 2. Предварительные сведенияДерево Кэли $\Gamma^k=(V,L)$ порядка $k\geqslant 1$ – это бесконечное дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого исходит в точности $k+1$ ребер. Здесь $V$ – множество вершин графа $\Gamma^k$, а $L$ – множество его ребер. Мы рассматриваем модели, в которых каждой вершине дерева присваивается значение спина из множества $[0,1]$. Для множества $A\subseteq V$ конфигурация $\sigma_A$ на $A$ – это произвольная функция $\sigma_A\colon A\to[0,1]$; множество всех конфигураций на $A$ есть $\Omega_A=[0,1]^A$. Конфигурацию на $V$ будем обозначать как $\sigma(x)$, $x\in V$, а множество всех конфигураций – как $\Omega=[0,1]^V$. Будем считать, что все вершины из множества $V$ пронумерованы (в любом порядке) числами $0,1,2,\ldots{}\,$, таким образом, $V=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$. Множество $\Omega$ можно рассматривать как метрическое пространство с метрикой $\rho\colon\Omega\times \Omega\to\mathbb{R}^{+}$, заданной как
$$
\begin{equation*}
\rho(\{\sigma(x_n)\}_{x_n\in V},\{\sigma'(x_n)\}_{x_n\in V})=\sum_{\substack{n\geqslant 0:\\ \sigma(x_n)\neq\sigma'(x_n)}}2^{-n}
\end{equation*}
\notag
$$
(или любой другой эквивалентной метрикой, которую может предпочесть читатель; наша метрика взята из книги [13]). Пусть $\mathcal B$ – сигма-поле борелевских подмножеств множества $\Omega$. Для каждого $m\geqslant 0$ зададим $\pi_m\colon\Omega\to[0,1]^{m+1}$ формулой
$$
\begin{equation*}
\pi_m(\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\ldots)=(\sigma_0,\sigma_1,\ldots,\sigma_m),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\sigma_i:=\sigma(x_i)$. Пусть $\mathcal C_m=\pi_m^{-1}(\mathcal P([0,1]^{m+1}))$, где $\mathcal P([0,1]^{m+1})$ – семейство всех подмножеств множества $[0,1]^{m+1}$ (декартова произведения отрезков $[0,1]$). Тогда $\mathcal C_m$ – поле и каждое из множеств в $\mathcal C_m$ является открытым и замкнутым в метрическом пространстве $(\Omega,\rho)$; при этом $\mathcal C_m \subset\mathcal C_{m+1}$. Пусть $\mathcal C=\bigcup_{m\geqslant 0}\mathcal C_m$, тогда $\mathcal C$ – поле (цилиндрических множеств) и каждое из множеств в $\mathcal C$ является одновременно открытым и замкнутым. Обозначим как $\mathcal S(\mathcal C)$ наименьшее сигма-поле, содержащее $\mathcal C$. Каждый элемент множества $\mathcal S(\mathcal C)$ называется измеримым цилиндром. Рассмотрим формальный гамильтониан
$$
\begin{equation}
H(\sigma)=-J\sum_{\langle x,y\rangle\in L}\xi_{\sigma(x),\sigma(y)},\qquad \sigma\in\Omega,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $J\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ и $\xi\colon(u,v)\in [0,1]^2\to\xi_{uv}\in\mathbb{R}$ есть заданная ограниченная измеримая функция. Как обычно, $\langle x,y\rangle$ обозначает ближайшие соседние вершины. Пусть $h\colon V\ni x\mapsto h_x=(h_{t,x},t\in [0,1])\in\mathbb{R}^{[0,1]}$ есть отображение для $x\in V\backslash\{x^0\}$. Введем множества
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_n=\{x\in V\mid d(x,x^0)=n\},\qquad V_n=\{x\in V\mid d(x,x^0)\leqslant n\}, \\ S(x)=\{y\in W_{n+1}\mid d(x,y)=1\}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $d(x,y)$ – стандартное расстояние на дереве Кэли между вершинами $x$ и $y$. Для $n=1,2,\ldots$ рассмотрим вероятностное распределение $\mu^{(n)}$ на $\Omega_{V_n}$, заданное как
$$
\begin{equation}
\mu^{(n)}(\sigma_n)=Z_n^{-1}\exp\biggl(-\beta H(\sigma_n)+\sum_{x\in W_n}h_{\sigma_n(x),x}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь $\sigma_n\colon V\ni x\mapsto\sigma(x)$, а $Z_n$ – соответствующая статистическая сумма,
$$
\begin{equation}
Z_n=\int_{\Omega_{V_n}}\exp\biggl(-\beta H({\tilde\sigma}_n)+\sum_{x\in W_n}h_{{\tilde\sigma_n}(x),x}\biggr) \lambda_{V_n}(d\tilde\sigma_n),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\lambda_{V_n}(d\tilde\sigma_n)$ – мера Лебега на $V_n$. Пусть $\Lambda$ – конечное подмножество в $V$ и $\Delta\subset\Lambda$. Если $\mu_\Lambda$ – мера на $\mathcal B_\Lambda$ (где $\mathcal B_\Lambda$ – стандартная сигма-алгебра, порожденная цилиндрическим подмножествами, с базой $\Lambda$), то проекцией меры $\mu_\Lambda$ на $\mathcal B_\Delta$ является мера $\pi_\Delta(\mu_\Lambda)$ на $\mathcal B_\Delta$, заданная как
$$
\begin{equation*}
[\pi_\Delta(\mu_\Lambda)](B)=\mu_\Lambda\{\sigma\in\Omega_\Lambda\colon\,\sigma|_\Delta\in B\},\qquad B\in\mathcal B_\Delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично, если $\mu$ – мера на $\mathcal B$, то проекция меры $\mu$ на $\mathcal B_\Lambda$ задается как
$$
\begin{equation*}
[\pi_\Lambda(\mu)](B)=\mu\{\sigma\in\Omega\colon\,\sigma_\Lambda\in B\}= \mu(\bar\sigma|_\Lambda=\sigma_\Lambda\colon\sigma_\Lambda\in B), \qquad B\in\mathcal B_\Lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Известна следующая теорема – теорема Колмогорова о продолжении меры [14]. Теорема 2.1. Пусть $\Omega_t$ для каждого индекса $t$ из некоторого множества $T$ – это полное сепарабельное метрическое пространство с классом $\mathcal F_t$ борелевских множеств (сигма-полем, порожденным открытыми множествами). Пусть для любого конечного непустого подмножества $v$ в $T$ задана вероятностная мера $P_v$ на $\mathcal F_v$. Предположим, что меры $P_v$ согласованны, т. е. $\pi_u(P_v)=P_u$ для любого непустого $u \subset v$. Тогда существует единственная вероятностная мера $P$ на $\mathcal F=\prod_{t\in T}\mathcal F_t$, такая что $\pi_v(P)=P_v$ для всех $v$. Вероятностные распределения $\mu^{(n)}$ согласованны, если для любого $n\geqslant 1$ и любой конфигурации $\sigma_{n-1}\in\Omega_{V_{n-1}}$ Тогда по теореме Колмогорова о продолжении меры существует единственная мера $\mu$ на $\Omega$, такая что $\mu(\{\sigma\big|_{V_n}=\sigma_n\})=\mu^{(n)}(\sigma_n)$ для любого $n$ и любой конфигурации $\sigma_n\in\Omega_{V_n}$. Эта мера $\mu$ называется расщепленной мерой Гиббса, соответствующей гамильтониану (2.1) и функции $x\mapsto h_x$, $x\neq x^0$.Предложение 2.1 [6]. Вероятностные распределения $\mu^{(n)}(\sigma_n)$, $n=1,2,\ldots{}$, заданные в (2.2), согласованны, если и только если для всех $x\in V\backslash\{x^0\}$ справедливо следующее уравнение: Здесь и далее $f(t,x)=e^{h_{t,x}-h_{0,x}}$ для $t\in [0,1]$ и $du=\lambda(du)$ – мера Лебега. Заметим, что проанализировать решения уравнения (2.5) непросто, сложно дать полное описание заданного потенциала $\xi_{tu}$. Пусть $\xi_{tu}$ – непрерывная функция. Зададим множества
$$
\begin{equation*}
C^+[0,1]=\{f\in C[0,1]\colon f(x)\geqslant 0\},\qquad C_0^+[0,1]=C^+[0,1]\backslash\{\theta(x)\equiv 0\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим оператор $R_k\colon C^{+}_0[0,1]\to C^{+}_0[0,1]$ формулой
$$
\begin{equation*}
(R_kf)(t)=\biggl(\frac{\int_0^1K(t,u)f(u)\,du}{\int_0^1 K(0,u)f(u)\,du}\biggr)^{\!k},\qquad k\in\mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
$$
где $K(t,u)=e^{J\beta \xi_{tu}}$, $f(t)>0$ для $t,u\in[0,1]$. Мы рассматриваем уравнение (2.5) на классе трансляционно-инвариантных функций $f(t,x)$, т. е. таких, что $f(t,x)=f(t)\in C[0,1]$ для всех $x\in V$. Запишем его как Заметим, что это нелинейное уравнение при любом $k\geqslant 1$. Рассмотрим для каждого $k\in\mathbb{N}$ интегральный оператор $H_k$, действующий на конусе $C^{+}[0,1]$ по правилу
$$
\begin{equation*}
(H_kf)(t)=\int^{1}_0K(t,u)f^k(u)\,du,\qquad k\in\mathbb{N}.
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $H_k$ называется интегральным оператором Гаммерштейна порядка $k$. Очевидно, что при $k\geqslant 2$ оператор $H_k$ нелинейный. Лемма 2.1 [7]. Пусть $k\geqslant2$. Уравнение имеет нетривиальное положительное решение тогда и только тогда, когда оператор Гаммерштейна имеет положительное собственное значение, т. е. уравнение Гаммерштейна имеет ненулевое положительное решение для некоторого $\lambda>0$. Нетрудно проверить, что если число $\lambda_0>0$ является собственным значением оператора $H_k$ с $k\geqslant 2$, то любое положительное число является собственным значением оператора $H_k$ (см. теорему 3.7 в [7]). Отсюда получаем следующую лемму. Лемма 2.2. Пусть $k\geqslant 2$. Уравнение (2.7) имеет нетривиальное положительное решение тогда и только тогда, когда оператор Гаммерштейна $H_k$ имеет нетривиальную положительную неподвижную точку, причем $N_{\mathrm{fix}}^{+}(R_k)=N_{\mathrm{fix}}^{+}(H_k)$, где $N_{\mathrm{fix}}^{+}(T)$ – число нетривиальных положительных неподвижных точек оператора $T$. 3. Оператор Гаммерштейна $H_3$ с вырожденным ядромПусть $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ и $\psi_1(t)$, $\psi_2(t)$ – положительные функции из множества $C_0^+[0,1]$. Рассмотрим оператор Гаммерштейна
$$
\begin{equation*}
(H_3f)(t)=\int_0^1(\varphi_1(t)\psi_1(u)+\varphi_2(t)\psi_2(u))f^3(u)\,du
\end{equation*}
\notag
$$
и кубический оператор $P$ из $\mathbb{R}^2$ в $\mathbb{R}^2$, действующий по правилу
$$
\begin{equation*}
P(x,y)=(\alpha_{11}x^3+3\alpha_{12}x^2y+3\alpha_{21}xy^2+\alpha_{22}y^3,\; \beta_{11}x^3+3\beta_{12}x^2y+3\beta_{21}xy^2+\beta_{22}y^3).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \alpha_{11}^{}&=\int^{1}_0\psi_1^{}(u)\varphi_1^3(u)\,du>0,&\qquad \alpha_{12}^{}&=\int^{1}_0\psi_1^{}(u)\varphi_1^2(u)\varphi_2(u)\,du>0, \\ \alpha_{21}^{}&=\int^{1}_0\psi_1^{}(u)\varphi_1(u)\varphi_2^2(u)\,du>0,&\qquad \alpha_{22}^{}&=\int^{1}_0\psi_1^{}(u)\varphi_2^3(u)\,du>0, \\ \beta_{11}^{}&=\int^{1}_0\psi_2^{}(u)\varphi_1^3(u)\,du>0,&\qquad \beta_{12}^{}&=\int^{1}_0\psi_2^{}(u)\varphi_1^2(u)\varphi_2(u)\,du>0, \\ \beta_{21}^{}&=\int^{1}_0\psi_2^{}(u)\varphi_1(u)\varphi_2^2(u)\,du>0,&\qquad \beta_{22}^{}&=\int^{1}_0\psi_2^{}(u)\varphi_2^3(u)\,du>0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3.1. Оператор Гаммерштейна $H_3$ имеет нетривиальную положительную неподвижную точку тогда и только тогда, когда кубический оператор $P$ имеет нетривиальную положительную неподвижную точку, причем $N_{\mathrm{fix}}^{+}(H_3)=N_{\mathrm{fix}}^{+}(P)$. Предположим, что оператор Гаммерштейна $H_3$ имеет нетривиальную положительную неподвижную точку $f(t)\in C_0^+[0,1]$. Положим
$$
\begin{equation}
c_1=\int^{1}_0\psi_1(u)f^3(u)\,du,\qquad c_2=\int^{1}_0\psi_2(u)f^3(u)\,du.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Очевидно, что $c_1>0$, $c_2>0$, т. е. $(c_1,c_2)\in\mathbb{R}_2^{>}$. Тогда функция $f(t)$ удовлетворяет уравнению Следовательно, с учетом формул (3.2) мы имеем два тождества для $c_1$, $c_2$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, c_1^{}&=\alpha_{11}^{}c_1^3+3\alpha_{12}^{}c_1^2c_2^{}+3\alpha_{21}^{}c_1^{}c_2^2+\alpha_{22}^{}c_2^3, \\ c_2^{}&=\beta_{11}^{}c_1^3+3\beta_{12}^{}c_1^2c_2^{}+3\beta_{21}^{}c_1^{}c_2^2+\beta_{22}^{}c_2^3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом $(c_1,c_2)$ – неподвижная точка кубического оператора $P$. Теперь предположим, что $(x_0,y_0)$ – нетривиальная положительная неподвижная точка кубического оператора $P$, т. е. $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}_2^{+}\backslash\{(0,0)\}$ и при этом числа $x_0$, $y_0$ удовлетворяют следующим уравнениям: Аналогично предыдущему можно доказать, что функция $f_0(t)=x_0\varphi_1(t)+y_0\varphi_2(t)$ является неподвижной точкой оператора Гаммерштейна $H_3$ и $f_0(t)\in C_0^+ [0,1]$. Это завершает доказательство.4. Положительные неподвижные точки кубических операторов на конусе $\mathbb{R}_2^{+}$Определим кубический оператор $\mathcal C$ на конусе в пространстве $\mathbb{R}^2$, действующий по правилу
$$
\begin{equation*}
\mathcal C(x,y)=(a_{11}x^3+3a_{12}x^2y+3a_{21}xy^2+a_{22}y^3,\;b_{11}x^3+3b_{12}x^2y+3b_{21}xy^2+b_{22}y^3).
\end{equation*}
\notag
$$
Ясно, что все нетривиальные положительные неподвижные точки кубического оператора $\mathcal C$ строго положительны. Обозначим через $N_{\mathrm{fix}}^{>}(V)$ число неподвижных точек кубического оператора $\mathcal C$, которые принадлежат $\mathbb{R}_2^{>}=\mathbb{R}_2^{+}\backslash\{(0,0)\}$. Лемма 4.1. [15] 1. Если $\omega=(x_0,y_0)\in \mathbb{R}_2^{+}$ является неподвижной точкой кубического оператора $\mathcal C$, то $\omega\in\mathbb{R}_2^{>}$ и при этом $\xi_0=y_0/x_0$ является корнем алгебраического уравнения 2. Если число $\xi_0>0$ является корнем алгебраического уравнения (4.1), то точка $\omega_0=(x_0,\xi_0x_0)\in\mathbb{R}_2^{>}$, где является неподвижной точкой кубического оператора $\mathcal C$.Положим
$$
\begin{equation*}
\mu_0=a_{22},\quad \mu_1=3a_{21}-b_{22},\quad \mu_2=a_{12}-b_{21},\quad \mu_3=a_{11}-3b_{12},\quad \mu_4=-b_{11}
\end{equation*}
\notag
$$
и зададим полином $P_4(\xi)$ четвертого порядка как
$$
\begin{equation}
P_4(\xi)=\mu_0\xi^4+\mu_1\xi^3+3\mu_2\xi^2+\mu_3\xi+\mu_4.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Из леммы 4.1 вытекает следующий результат. Предложение 4.1. Число положительных неподвижных точек кубического оператора $\mathcal C$ равно числу положительных корней полинома $P_4(\xi)$. Доказательство. Если $\xi_0$ – положительный корень полинома $P_4(\xi)$, то положительную неподвижную точку кубического оператора $\mathcal C$ можно найти по формуле Отсюда следует, что если полином $P_4(\xi)$ имеет несколько положительных корней, то столько же положительных неподвижных точек имеет кубический оператор $\mathcal C$. Лемма 4.2 [15]. Кубический оператор $\mathcal C$ имеет не более трех положительных неподвижных точек, т. е. $1\leqslant N_{\mathrm{fix}}^{>}(\mathcal C)\leqslant 3$. 5. Неединственность положительных неподвижных точек оператора Гаммерштейна $H_3$Зададим две положительные функции на отрезке $[0,1]$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \zeta_1(u)&=\begin{cases} 1/2+\sin2\pi u, &\text{если}\;\,u\in[0,1/2],\\ 1/2, &\text{если}\;\,u\in[1/2,1], \end{cases} \\ \zeta_2(u)&=\begin{cases} 1/2, &\text{если}\;\,u\in[0,1/2],\\ 1/2-\sin2\pi u, &\text{если}\;\,u\in[1/2,1]. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для каждых положительных чисел $a$, $b$ определим непрерывные положительные функции на отрезке $[0,1]$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1(t;a,b)&=\begin{cases} a\cos\pi t+b, &\text{если}\;\,t\in[0,1/2],\\ b, &\text{если}\;\,t\in[1/2,1], \end{cases} \\ F_2(t;a,b)&=\begin{cases} b, &\text{если}\;\, t\in[0,1/2],\\ -a\cos\pi t+b, &\text{если}\;\, t\in[1/2,1]. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть для положительных $a$, $b$
$$
\begin{equation*}
\widetilde K(t,u;a,b)=\zeta_1(u)F_1(t;a,b)+\zeta_2(u)F_2(t;a,b),\qquad t,u\in[0,1].
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 5.1. Пусть $\widetilde K(t,u;a,b)$ – ядро оператора Гаммерштейна $H_3$, тогда: 1) если $ a\leqslant\frac{35(44+15\pi)}{318}b$, то существует единственная положительная неподвижная точка оператора $H_3$, которая имеет вид
$$
\begin{equation}
f(t)=\frac{1}{\sqrt{\frac{177a}{35\pi}+\frac{44+15\pi}{6\pi}b}}\,\zeta_1(t)+\frac{1}{\sqrt{\frac{177a}{35\pi}+\frac{44+15\pi}{6\pi}b}}\,\zeta_2(t);
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
2) если $a>\frac{35(44+15\pi)}{318}b$, то существуют ровно три положительные неподвижные точки оператора $H_3$. Доказательство. 1. Сначала найдем коэффициенты полинома $P_4(\xi)$: Если $3a_{21}-a_{11}+2a_{22}=0$, т. е. $a=\frac{35(44+15\pi)}{318}b$, то $D=0$. Тогда квадратное уравнение (5.2) имеет единственный корень $\xi=1$, который является единственным положительным кратным корнем полинома $P_4(\xi)$. В силу леммы 4.2 и уравнения (3.3) в обоих рассмотренных случаях единственная положительная неподвижная точка оператора Гаммерштейна $H_3$ определяется формулой (5.1). 2. Доказательство второй части теоремы аналогично. Корнями полинома $P_4(\xi)$ являются $\xi_1=-1$, $\xi_2=1$ и корни квадратного уравнения (5.2). Пусть $D>0$. Очевидно, что $3a_{21}-a_{11}-2a_{22}<0$, поэтому $3a_{21}-a_{11}+2a_{22}$ также должно быть отрицательным. Если подставить коэффициенты, то мы увидим, что это условие выполнено при $a>\frac{35(44+15\pi)}{318}b$. Теперь рассмотрим выражение $3a_{21}-a_{11}$. Поскольку $3a_{21}-a_{11}+2a_{22}<0$ и $a_{22}>0$, имеем $3a_{21}-a_{11}<0$. Из этого неравенства и неравенства $D>0$ следует, что корни квадратного уравнения (5.2) положительны. Поэтому оператор $H_3$ имеет три положительные неподвижные точки. БлагодарностиМы благодарим рецензента за полезные обсуждения и предложения, а также внимательное прочтение рукописи. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MavKhuArz24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|