| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Бесконечное множество вращательно-периодических решений колебательных систем с затуханием Х. Хашнауи Department of Mathematics, Preparatory Institute for Engineering Studies, University of Kairouan, Kairouan, Tunisia
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020089 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЦелью настоящей работы является исследование проблемы существования множественных $Q$-вращательно-периодических решений следующей системы уравнений второго порядка, описывающих затухающие колебания, вызванные импульсными воздействиями:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, -q''(t)+Aq'(t)+B(t)q(t)=\nabla_q V(t,q(t))\quad\text{для почти всех}\quad t\in\Omega, \\ \triangle(q'(t_j))=\nabla\varphi_j(q(t_j)),\qquad j=1,\ldots,m, \\ q(T)=Qq(0),\qquad q'(T)= Qq'(0). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Здесь $0=t_0<t_1<\cdots<t_m<t_{m+1}=T$, $t_{j+m+1}=t_j+T$, $\Omega=[0,T]\backslash\{t_1,\ldots,t_m\}$; функция $q(t)$ принимает значения в $\mathbb{R}^N$,
$$
\begin{equation*}
\triangle (q'(t_j))=q'(t_j^{+})-q'(t_j^{-}),\qquad q'(t_j^{\pm})=\lim_{t\to t_j\pm 0}q'(t);
\end{equation*}
\notag
$$
матрица $Q\in O(n)$, где $O(n)$ – ортогональная группа над $\mathbb{R}^N$;
$$
\begin{equation*}
V(t,q)\in C^1([0,T]\times\mathbb{R}^N,\mathbb{R}),\qquad V(t,0)=0,\qquad \nabla V(t+T,q)=Q\,\nabla V(t,Q^{-1}q);
\end{equation*}
\notag
$$
$A$ – постоянная кососимметричная ($N\times N$)-матрица, $B(t)$ – непрерывная ($N\times N$)-матричнозначная функция, $B(t+T)Q=QB(t)$;
$$
\begin{equation*}
\varphi_j\in C^1(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}),\qquad\varphi_j(0)=0,\qquad \nabla\varphi_{j+m+1}(q)=Q\,\nabla\varphi_j(Q^{-1}q).
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 1.1. $Q$-вращательно-периодическое решение системы (1.1) определяется как решение $q$, удовлетворяющее условию $q(t+T)=Qq(t)$. Импульсные воздействия встречаются в различных эволюционных процессах, характеризующихся резкими изменениями их состояний во времени. Задачи с импульсными воздействиями находят применение во многих областях исследований, включая, среди прочего, инженерные науки, физику, химию, астрономию и теорию управления (см. работы [1], [2] и ссылки в них). Благодаря вкладу многих математиков за последние несколько десятилетий в решении импульсных задач был достигнут значительный прогресс (см., например, работы [3], [4] и ссылки в них). В последние годы мощным инструментом для изучения проблемы существования множественных решений динамических систем и дифференциальных уравнений, в том числе с импульсными воздействиями, стала теория критических точек [4]–[8]. Достигнутый прогресс в этой области способствовал более глубокому пониманию сложных динамических явлений с импульсными компонентами. В работе [9] были представлены новые результаты о существовании несталкивающихся решений динамических систем. Используя аналогичный подход, авторы этой работы впоследствии расширили свое исследование, чтобы изучить периодические решения динамических систем второго порядка с сингулярностями отталкивающего типа [10]. В работе [11] на основе теории Морса рассматривались множественные вращательно-периодические решения асимптотически линейных гамильтоновых систем. В связи с приведенным выше обсуждением возникает естественный вопрос: можно ли использовать теорию критических точек для изучения разнообразных $Q$-вращательно-периодических решений колебательных систем второго порядка с затуханием, управляющихся импульсными воздействиями? В настоящей статье мы даем положительный ответ на этот вопрос. А именно, мы вводим новый интеграл действия, в котором учитывается влияние импульсных воздействий и оператора $Q$. Используя теорию критических точек, мы показываем, что задачи этого типа имеют множественные решения. Для обоснования наших выводов мы будем опираться на следующие предположения относительно задачи (1.1). Предположение H1. Функции $\varphi_j(q)$ являются четными, и $\varphi_j(q)\geqslant 0$ для всех $q$ и каждого $j=1,\ldots,m$. Предположение H2. Существует постоянная $\mu_0\in(0,1)$, такая что при всех $\mu\in[0,\mu_0]$ и для любого $q\in\mathbb{R}^N$ имеет место неравенство Здесь и далее выражение типа $(v\cdot q)$ означает стандартное скалярное произведение векторов $v,q\in\mathbb{R}^N$, соответствующая норма обозначается как $|q|=(q\cdot q)^{1/2}$. Предположение H3. Существуют постоянные $a_j>0$, $d_j>0$ и $\gamma_j\in[1,2)$, такие что $|\varphi_j(q)|\leqslant a_j+d_j|q|^{\gamma_j}$ для всех $q\in \mathbb{R}^N$. Предположение H4. Функция $V(t,q)$ четная по $q\in\mathbb{R}^N$ при любых $t\in [0,T]$, и существуют постоянная $p>2$ и неотрицательная непрерывная функция $a(t)$, такие что $|V(t,q)|\leqslant a(t)|q|^p$. Предположение H5. Равномерно по $t\in [0,T]$ имеет место предельное соотношение $\lim_{|q|\to\infty} |q|^{-2}V(t,q)=\infty$. Предположение H6. Существует положительная постоянная $M$, такая что для всех $\mu\in[0,\mu_0]$, где $\mu_0$ задано в предположении H2, при любых $t\in[0,T]$, $q\in\mathbb{R}^N$ выполнено неравенство Сформулируем основной результат настоящей статьи. Теорема 1.1. При выполнении условий H1–H6 задача (1.1) обладает последовательностью $Q$-вращательно-периодических решений $\{q_i\}_{i=\overline{1,\infty}}$, таких что Приведем пример, демонстрирующий практическое применение этого результата. Пример. Существуют функции $\varphi_j$ и $V$, которые удовлетворяют теореме 1.1, но не удовлетворяют соответствующим условиям в статьях [3], [9]–[11]. А именно, определим функцию $\varphi_j(q)$, $q\in\mathbb{R}$, для $j=1,\ldots,m$ следующим образом: 2. Основной результат и вариационный подходОпределим гильбертово пространство $E$ как
$$
\begin{equation*}
E:=\biggl\{q\colon[0,T]\to\mathbb{R}^N\,\bigg|\, \begin{aligned} \, &q\;\,-\text{ абсолютно непрерывная функция},\\ &q(T)=Qq(0),\;q'(T)=Qq'(0),\;q'\in L^2([0,T];\mathbb{R}^N) \end{aligned}\biggr\}
\end{equation*}
\notag
$$
со скалярным произведением
$$
\begin{equation*}
(q,v)=\int^T_0[(q(t)\cdot v(t))+(q'(t)\cdot v'(t))]\,dt,\qquad q,v\in E,
\end{equation*}
\notag
$$
и соответствующей нормой $\|q\|=(q,q)^{1/2}$. Также введем стандартным образом пространства $C:=C([0,T],\mathbb{R}^N)$ с нормой $\|q\|_{\infty}=\max_{t\in[0,T]}|q(t)|$ и $L^p:=L^p([0,T],\mathbb{R}^N)$ с нормой $\|q\|_p=\bigl(\int^T_0|q(t)|^p\bigr)^{1/p}$. Аналогично [12] имеем, что вложение $E\hookrightarrow C$ компактно, поэтому существует постоянная $S_Q>0$, такая что Пусть функционал $\mathcal K_Q\colon E\to\mathbb{R}$ задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal K_Q(q)&:=\frac{1}{2}\int^T_0[(q'(t)\cdot q'(t))+(B(t)q(t)\cdot q(t))]\,dt= \notag\\ &\;\,=\frac{1}{2}\|q\|^2-\frac{1}{2}\int^T_0\bigl((J_N-B(t))q(t)\cdot q(t)\bigr)\,dt, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $J_N$ – единичная ($N\times N$)-матрица. По теореме Рисса существует линейный самосопряженный оператор $\mathcal T_Q\colon E\to E$, такой что для любого фиксированного $v\in E$
$$
\begin{equation*}
\int^T_0\bigl((J_N-B(t))q(t)\cdot v(t)\bigr)\,dt=(\mathcal T_Qq,v),\qquad q\in E.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда $\mathcal K_Q(q)=((J_N-\mathcal T_Q)q,q)/2$. Из компактности вложения $E\hookrightarrow C$ следует, что оператор $\mathcal T_Q$ компактен. Используя хорошо известную спектральную теорию компактных операторов, получаем, что пространство $E$ можно разложить в прямую сумму подпространств, инвариантных относительно оператора $J_N-\mathcal T_Q$, например как $E=E^{-}_Q\oplus E^0_Q\oplus E^{+}_Q$, где $E^0_Q=\operatorname{Ker}(J_N-\mathcal T_Q)$, а подпространства $E^{-}_Q$ и $E^{+}_Q$ отвечают множеству отрицательных и множеству положительных точек спектра данного оператора. Кроме того, существует положительная постоянная $\zeta$ такая, что
$$
\begin{equation}
\pm\mathcal K_Q(q)\geqslant\zeta\|q\|^2,\qquad q\in E^{\pm}_Q.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Каждая $q\in E$ абсолютно непрерывна и $q'\in L^2$. Отсюда следует, что равенство $\triangle q(t)=q'(t^{+}_j)-q'(t^{-}_j)=0$ не может быть выполнено для каждого $t\in(0, T)$. Получаем для $v\in E$, $Q\in O(n)$ следующую цепочку равенств:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &-\int^T_0(q''(t)\cdot v(t))\,dt=-\sum^m_{j=0}\int^{t_{j+1}}_{t_j}(q''(t)\cdot v(t))\,dt= \notag \\ &\quad=-\sum^m_{j=0}\biggl[(q'(t^{-}_{j+1})\cdot v(t^{-}_{t_{j+1}}))-(q'(t^{+}_{j})\cdot v(t^{+}_{t_j}))- \int^{t_{j+1}}_{t_j}(q'(t)\cdot v'(t))\,dt\biggr]= \notag\\ &\quad=\sum^m_{j=0}[(q'(t^{+}_j)\cdot v(t^{+}_j))-(q'(t^{-}_{j+1})\cdot v(t^{-}_{j+1}))]+ \int^T_0(q'(t)\cdot v'(t))\,dt= \notag\\ &\quad=(q'(0)\cdot v(0))-(q'(T)\cdot v(T))+\sum^m_{j=1}(\nabla\varphi_j(q(t_j))\cdot v(t_j))+ \int^T_0(q'(t)\cdot v'(t))\,dt= \notag \\ &\quad=(q'(0)\cdot v(0))-(Qq'(0)\cdot Qv(0))+\sum^m_{j=1}(\nabla\varphi_j(q(t_j))\cdot v(t_j))+ \int^T_0(q'(t)\cdot v'(t))\,dt= \notag\\ &\quad=\sum^m_{j=1}(\nabla\varphi_{j}(q(t_{j}))\cdot v(t_{j}))+\int^T_0(q'(t)\cdot v'(t))\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Рассмотрим энергетический функционал $\mathcal U\colon E\to\mathbb{R}$ для задачи (1.1):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal U(q)&=\frac{1}{2}\int^T_0|q'(t)|^2\,dt+\frac{1}{2}\int^T_0(Aq(t)\cdot q'(t))\,dt+ \frac{1}{2}\int^T_0(B(t)q(t)\cdot u(t))\,dt+{} \notag \\ &\quad +\sum^m_{j=1}\varphi_j(q(t_j))-\int^T_0 V(t,q(t))\,dt. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Можно показать, что если $V$ и $\varphi_j$ непрерывно дифференцируемы, то $\mathcal U\in C^1(E,\mathbb{R})$. Кроме того, с учетом кососимметричности матрицы $A$ получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (\mathcal U'(q)\cdot v)&=\int^T_0(q'(t)\cdot v'(t))\,dt-\int^T_0(Aq'(t)\cdot v(t))\,dt+ \int^T_0(B(t)q(t)\cdot v(t))\,dt+{} \\ &\quad +\sum^m_{j=1}(\nabla\varphi_j(q(t_j))\cdot v(t_j))-\int^T_0(\nabla V(t,q(t))\cdot v(t))\,dt \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $q,v\in E$. Точка $q\in E$ является вращательно-периодическим решением задачи (1.1), если и только если $q$ – критическая точка функционала $\mathcal U$. Определение 2.1. Функция $q\in E$ называется слабым решением задачи (1.1), если для всех $v\in E$ Введем подпространства
$$
\begin{equation}
M_k=\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_k\},\qquad N_k=\overline{\operatorname{span}\{e_k,e_{k+1},\ldots\}},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где ${e_i}$, $i=1,2,\ldots{}$, – ортонормированный базис в $E$. Важным утверждением, используемым в настоящей статье, является следующая теорема о фонтане, доказанная Барчем [13]. Лемма 2.1. Пусть для $\mathcal U\in C^1(E,\mathbb{R})$ выполнено равенство $\mathcal U(q)=\mathcal U(-q)$. Пусть $M_k$, $N_k$ – подпространства (2.6). Предположим, что для каждого достаточно большого $k\in\{1,2\ldots\}$ существуют числа $\rho_k>r_k>0$, такие что Лемма 2.2. Если выполнены предположения H2 и H6, то для $q\in E$, $s\in[0,\mu_0]$ справедливо следующее неравенство: Доказательство. С учетом соотношения (2.5) получаем Лемма 2.3. Если выполнены предположения H1, H2, H4 и H5, то при достаточно больших $k$ существуют $\rho_k>r_k>0$, для которых справедливы условия (2.7) и (2.8). Доказательство. Пусть В силу стандартных аргументов $\Gamma_k\to 0$ при $k\to\infty$. Выбрав $k$ достаточно большим, чтобы было выполнено включение $N_k\subset E^{+}_Q$, с помощью соотношений (2.3), (2.5) и предположений H1, H4 получаем, что для $q\in N_k$ Что касается соотношения (2.8), то достаточно показать, что функционал $\mathcal U(q)$ антикоэрцитивный, т. е.
$$
\begin{equation}
\mathcal U(q)\to-\infty\;\,\text{при}\quad\|q\|\to\infty\;\,\text{для}\quad q\in M_k.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Пусть (2.12) не выполнено. Тогда найдутся последовательность $\{q_i\}\subset M_k$ и число $s\in\mathbb{R}$ такие, что $\|q_i\|\to\infty$ при $i\to\infty$, но $\mathcal U(q_i)\geqslant s$. Пусть $v_i=q_i/\|q_i\|$, тогда $\|v_i\|=1$. Поскольку $\dim M_k<\infty$ и единичная сфера в $M_k$ компактна, в $\{v_i\}$ найдется подпоследовательность (которую мы также обозначим как $\{v_i\}$), такая что $v_i\to v$ в $E$. Тогда $\|v\|=1$. Поскольку $v\neq 0$, имеем $|q_i(t)|\to\infty$ при $i\to\infty$. Пусть Применив условие H5, получаем, что для любого $t\in [0,T]$ С учетом (2.5) отсюда получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal U(q_i)&=\frac{1}{2}\|q_i\|^2+\frac{1}{2}\int^T_0(Aq_i(t)\cdot q'_i(t))\,dt+\sum^m_{j=1}\varphi_j(q_i(t_j))-\int^T_0F(t,q_i(t))\,dt\leqslant \\ &\leqslant\frac{1}{2}\|q_i\|^2 +\frac{1}{2}\|A\|\,\|q_i\|^2+\sum^m_{j=1}a_j+\sum^m_{j=1}d_jS^{\gamma_j}_Q\|q\|^{\gamma_j}-\int^T_0F(t,q_i(t))\,dt= \\ &=\|q_i\|^2\biggl(\frac{1}{2}(1+\|A\|)+\sum^m_{j=1}a_j\frac{1}{\|q_i\|^2}+{} \\ &\kern60pt+\sum^m_{j=1}d_jS^{\gamma_j}_Q\frac{1}{\|q_i\|^{2-\gamma_j}}- \int^T_0\frac{F(t,q_i(t))}{|q_i|^2}|v_i|^2\,dt\biggr)\to-\infty\;\;\text{при}\;\; i\to\infty, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_j$, $d_j$ и $\gamma_j$ взяты из предположения H3, а постоянная $S_Q$ введена в (2.1). Получили противоречие с условием $\mathcal U(q_i)\geqslant s$. Таким образом, Замечание. Как было показано в работе [14], деформационная лемма может быть доказана с использованием более слабого, чем (PS)$_c$, условия Черами (C) [15]. Следует отметить, что теорема о фонтане справедлива и при условии (C). Лемма 2.4. Если выполнены предположения H1–H6, то $\mathcal U(q)$ удовлетворяет условию (C)$_c$ с уровнем $c>0$, т. е. если для последовательности $\{q_i\}\subset E$ имеют место сходимости то $\{q_i\}$ содержит сходящуюся в $E$ подпоследовательность. Доказательство. Пусть последовательность $\{q_i\}\subset E$ такова, что $\{\mathcal U(q_i)\}$ ограничена и $\mathcal U'(q_i)\to 0$ при $i\to\infty$. Тогда существует постоянная $D>0$, такая что Пусть $\Upsilon_1=\{t\in [0,T]\colon v\neq 0\}$, $\Upsilon_2=[0,T]\backslash\Upsilon_1$. В силу предположения H5 существует $l>0$, такое что $V(t,q)\geqslant 0$ при $t\in [0,T]$ и $|q|\geqslant l$. Кроме того, в силу предположения H4 существует $l_1\in(0,1)$, такое что
$$
\begin{equation*}
|V(t,q)|\leqslant\|a\|_{\infty}|q|^p\leqslant\|a\|_{\infty}|q|^2\quad\text{при}\quad t\in [0,T],\quad |q|\leqslant l_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Вследствие непрерывности функции $V$ при $(t,q)\in[0,T]\times[l_1,l]$ существует постоянная $l_2>0$, такая что $|V(t,q)|\leqslant l_2$. Следовательно, $V(t,q)\geqslant-\|a\|_{\infty}|q|^2-l_2$, если $(t,q)\in[0,T]\times [0,l]$. По лемме Фату получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\liminf_{i\to\infty}\int_{\Upsilon_2}\frac{F(t,q_i)}{\|q_i\|^2}\,dt>-\infty,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
которое с учетом предположения H5 влечет, что при $t\in[0,T]$
$$
\begin{equation*}
\liminf_{i\to\infty}\int_0^T\frac{F(t,q_i)}{\|q_i\|^2}\,dt= \liminf_{i\to\infty}\int_{\Upsilon_1}\frac{F(t,q_i)}{|q_i|^2}|v_i|^2\,dt+ \liminf_{i\to\infty}\int_{\Upsilon_2}\frac{F(t,q_i)}{|q_i|^2}|v_i|^2\,dt=\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это противоречит (2.16). Таким образом, последовательность $\{q_i\}$ ограничена, следовательно, содержит слабо сходящуюся подпоследовательность (которую мы также обозначим как $\{q_i\}$), $q_i\rightharpoonup q$, которая тем самым сходится равномерно в $C$. В силу непрерывности функций $V$ и $\varphi_j$ с помощью стандартных рассуждений получаем, что $\{q_i\}$ сходится к $q$ по норме пространства $E$. Как результат, $\mathcal U$ удовлетворяет условию (C)$_c$. Доказательство теоремы 1.1. Опираясь на леммы 2.2–2.4, мы заключаем, что функционал $\mathcal U$ обладает последовательностью $Q$-вращательно-периодических решений, которую мы обозначим как $\{q_i\}_{i=\overline{1,\infty}}$. Используя уравнения (2.2), (2.3) и предположения H1, H2, H4, H5, можно доказать следующий результат: БлагодарностиАвтор выражает искреннюю благодарность рецензенту за ценные замечания и предложения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kha24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|