| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Эволюция магнитного поля в пространственно-неоднородных аксионных структурах М. С. Дворников, П. М. Ахметьев Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н. В. Пушкова Российской академии наук, Троицк, Москва, Россия
Английская версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924030103 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНаиболее обсуждаемое решение проблемы $CP$-четности в квантовой хромодинамике (КХД) требует существования псевдоскалярной частицы, называемой аксионом [1]. В настоящее время аксионы и аксионоподобные частицы являются одними из самых правдоподобных кандидатов на роль частиц темной материи [2]. Несмотря на многочисленные попытки прямого обнаружения аксиона в экспериментах, эти частицы все еще остаются неуловимыми. Основные экспериментальные методы, используемые для обнаружения аксионов, рассмотрены в статье [3]. Роль аксионов в астрофизике освещена в работе [4]. Как правило, аксионное поле в ранней Вселенной пространственно однородно. Однако не исключается зависимость аксионного поля от координат [5]. Это имеет место в случае, когда фазовый переход Печчей–Куин происходит после повторного нагрева во время инфляции. В настоящей работе мы рассматриваем такую ситуацию, когда аксионы образуют пространственно ограниченные объекты. Одним из примеров таких структур являются аксионные звезды [6], которые являются решениями волнового уравнения для аксионного поля в искривленном пространстве-времени с учетом самодействия аксионов. Другую возможность для таких объектов представляют аксионные миникластеры [7], состоящие из вириализованных аксионов. Характеристики аксионных миникластеров были недавно изучены в работах [8], [9]. Влияние неоднородностей аксионов на свойства холодной темной материи исследовано в [10]. Аксионы, как оказывается, взаимодействуют не только с кварками и между собой, но и с фотонами. Наиболее общие способы взаимодействия между аксионами и фотонами приведены, например, в работе [11]. Взаимодействия между аксионами и другими частицами в рамках стандартной модели и в ее расширениях изучались в работе [12]. Взаимная эволюция аксионов и магнитных полей в ранней Вселенной исследовалась в работах [13], [14]. Неустойчивости в аксионной магнитной гидродинамике (МГД) обсуждались в [15]. Один из авторов изучал взаимодействие неоднородных аксионов и спиральных первичных магнитных полей [16]. В работе [16] предполагалось, что пространственная неоднородность аксионов изотропна, т. е. среднее значение градиента волновой функции обращается в нуль, тогда как вклад оператора Лапласа является неисчезающим. Взаимодействие аксионов и магнитных полей приводит к неустойчивости магнитного поля. Следовательно, затравочное магнитное поле может быть усилено аксионным динамо. Этот процесс внутри нейтронной звезды недавно изучался в работе [17]. Различные типы электромагнитного излучения, такие как быстрые радиовсплески, испускание гамма-излучения и т. д., при столкновениях аксионных звезд с различными астрофизическими объектами рассмотрены в [18]. В настоящей работе, основанной на результатах работы [16], рассматривается одновременная эволюция магнитного поля и аксионов, имеющих фиксированные пространственные распределения. Это может соответствовать, например, аксионной звезде. Наш анализ основан на новом уравнении индукции для магнитного поля, которое впервые выводится в настоящей работе. Это уравнение учитывает зависимость классического псевдоскалярного поля от пространственных координат. Данное псевдоскалярное поле представляет собой когерентную суперпозицию аксионов. Главная цель работы – проанализировать, как это неоднородное поле влияет на эволюцию во времени крупномасштабных магнитных полей. Для этого мы рассматриваем две ситуации: упрощенную одномерную модель, когда псевдоскалярное поле зависит от одной пространственной координаты, и модель с более сложной геометрией, основанную на расслоении Хопфа. Магнитные поля на трехмерной сфере связаны с расслоением Хопфа и рассматриваются во многих работах (см., например, гл. III в [19] и приведенные там ссылки). В работе [20] простейший гиперболический аналог расслоения Хопфа применяется для построения магнитного равновесия на трехмерной сфере с вариациями магнитной проницаемости. Такие гиперболические расслоения Хопфа основаны на примерах геодезических потоков, называемых потоками Гиса–Деорнуа. В работе [21] расслоение Хопфа используется для преобразования магнитного поля, которое является бездивергентным векторным полем, из компактной области в магнитное поле в стандартном трехмерном пространстве. Эта задача исследуется в приложении 1. Наш подход отличается от подхода в работе [21], где преобразовывается векторный магнитный потенциал $\mathbf{A}$. В нашей работе используется преобразование Кельвина для построения магнитного поля $\mathbb{B}$ в евклидовом пространстве с неоднородной магнитной проницаемостью и регулярными граничными условиями на бесконечности. Этот подход сохраняет магнитную спиральность и допускает оценку полной магнитной энергии, как в работе [20]. Из-за неоднородности магнитной проницаемости оператор $\operatorname{rot}$ в евклидовом пространстве является нестандартным, и расчеты, приведенные в приложении 1, отличаются от результатов раздела 3. В нашей конструкции конфигурация эллиптическая, т. е. скалярный параметр кривизны в компактной области положителен, и высшие инварианты магнитных линий не нужны. При использовании идеи из работы [22] для полей с симметрией $SU(2)$ в аналогичной задаче потребуются высшие инварианты магнитных линий. Поскольку начальная конфигурация Черна–Саймонса (ЧС) в модели с расслоением Хопфа зеркально-симметрична, т. е. числа зацепления для произвольной пары магнитных линий равны нулю, поток магнитной спиральности полностью характеризуется потоком дисперсии асимптотического эргодического инварианта Хопфа. В работе [23] предложена аналитическая формула для дисперсии эргодического асимптотического инварианта Хопфа, или плотности магнитной спиральности. Напомним, что инвариант Хопфа [19] есть плотность числа зацеплений пар магнитных линий. Плотность магнитной спиральности имеет размерность $\text{Гс}^2\cdot\text{см}^{-2}$ и распределена по четырехмерному конфигурационному пространству. Начальные точки магнитных линий в паре переносятся заданным магнитным потоком независимо друг от друга. Таким образом, инвариант Хопфа распределен в поперечных сечениях пар магнитных линий. Однако дисперсия инварианта Хопфа изучена недостаточно, поскольку в ее аналитическом выражении фигурирует бесконечномерное пространство струй. Дисперсия не представляется конечномерным интегралом [24]. Концепция асимптотических эргодических инвариантов Хопфа предполагает, что магнитные линии могут быть незамкнутыми, и для квазипериодических функций рассматриваются интегралы по магнитному потоку. Для бесконечномерного пространства струй требуются дополнительные исследования. В работе [25] в некоторой аналогичной задаче классической механики развит подход для непериодических наблюдаемых. Дисперсия плотности магнитной спиральности, как показано в работе [23], имеет размерность $\text{Гс}^4\cdot\text{см}^{-4}$. Плотность дисперсии распределена по конфигурационному пространству $2$-точий (т. е. по пространству декартового квадрата трехмерной области с магнитным полем) и задается рядом. Свойства этого ряда пока исследованы не полностью. Ясно, что дисперсия асимптотического инварианта Хопфа может быть использована для описания нарушений зеркальной симметрии на начальном этапе эволюции нелинейного осциллятора, определяемой взаимодействием с псевдоскалярным полем. Эта проблема будет впоследствии рассмотрена в другой работе. Настоящая работа имеет следующую структуру. В разделе 2 мы кратко напоминаем, как магнитные поля эволюционируют под влиянием неоднородного псевдоскалярного поля, и выводим новое уравнение индукции. Мы рассматриваем простую одномерную модель в разделе 3. Затем в разделах 4, 5 качественно изучается более сложный трехмерный случай. Наконец, в разделе 6 обсуждаются полученные результаты. Преобразование Кельвина рассматривается в приложении. 2. Электродинамика в присутствии классического псевдоскалярного поляУравнения для взаимодействующих электромагнитного и псевдоскалярного полей в искривленном пространстве-времени имеют вид
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\nu}(\sqrt{-g}F^{\mu\nu})+g_{a\gamma}\partial_{\nu}\varphi\tilde{F}^{\mu\nu}+J^{\mu} =0,
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\nu}(\sqrt{-g}\tilde{F}^{\mu\nu}) =0,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}(\sqrt{-g}\partial^{\mu}\varphi)+m^2\varphi+ \frac{g_{a\gamma}}{4}F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu} =0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $F_{\mu\nu}$ – тензор электромагнитного поля, $\tilde{F}^{\mu\nu}=E^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}/2$, $E^{\mu\nu\alpha\beta}=\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}/\sqrt{-g}$ – ковариантный симметрический тензор, $\varepsilon^{0123}=+1$, $g=\det(g_{\mu\nu})$, метрика $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-a^2,-a^2,-a^2)$ соответствует метрике Фридмана–Робертсона–Уолкера с масштабным фактором $a(t)$, $g_{a\gamma}$ является константой связи, $J^{\mu}=(\rho,\mathbf{J}/a)$ – внешний электрический ток, $\varphi$ – классическое псевдоскалярное поле, $m$ – масса поля $\varphi$. Система уравнений (2.1)–(2.3) аналогична аксионной электродинамике (см., например, [13]), если $\varphi$ рассматривается как микроскопическое поле. В нашей работе мы изучаем макроскопические пространственные распределения $\varphi$. Например, можно рассматривать $\varphi$ как когерентную суперпозицию многочисленных аксионов. Удобно переписать уравнения (2.1)–(2.3) в конформных переменных [26] $\mathbf{E}_{c}\!= a^2\mathbf{E}$, $\mathbf{B}_{c}=a^2\mathbf{B}$, $\rho_{c}=a^3\rho$ и $\mathbf{J}_{c}=a^3\mathbf{J}$. Далее будем использовать МГД-приближение, которое соответствует большой проводимости фонового вещества. В этом случае можно пренебречь током смещения по сравнению с током проводимости, $\mathbf{E}_{c}' \ll \sigma_c \mathbf{E}_{c}$, где $\sigma_{c}\approx10^2T_{\mathrm{CMB}}$ – конформная проводимость ультрарелятивистской плазмы, $T_{\mathrm{CMB}}=2.7\,\text{K}$ – текущая температура космического микроволнового излучения, а штрих означает производную по конформному времени $\eta$, которое определено как $dt=a\,d\eta$. Например, можно выбрать $a=T_{\mathrm{CMB}}/T$ и $\eta=\tilde{M}_{\mathrm{Pl}}T_{\mathrm{CMB}}^{-1}(T^{-1}-T_{\mathrm{QCD}}^{-1})$, где $\tilde{M}_{\mathrm{Pl}}=M_{\mathrm{Pl}}/1.66\sqrt{g_{*}}$, $M_{\mathrm{Pl}}=1.2\times10^{19}\,\text{ГэВ}$ – масса Планка, а $g_{*}=17.25$ – число релятивистских степеней свободы при фазовом переходе КХД [27], который происходит при $T_{\mathrm{QCD}}\approx100\,\text{МэВ}$. В этом случае $\eta(T_{\mathrm{QCD}})=0$ и $a_{\mathrm{now}}\equiv a(T_{\mathrm{CMB}})=1$. Используя результаты работы [16], находим электрическое поле в виде
$$
\begin{equation}
\mathbf{E}_c=\frac{1}{\sigma_c} [(\nabla\times\mathbf{B}_c)-g_{a\gamma} \varphi' \mathbf{B}_c]- \frac{g_{a\gamma}}{\sigma^2_c} [\nabla\varphi\times(\nabla\times\mathbf{B}_c)],
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где удерживаются только линейные по $\varphi$ члены. Исключая с помощью формулы (2.4) электрическое поле, выводим уравнение для $\mathbf{B}_{c}$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{B}'_{c}=\nabla\times [\mathbf{b}\times(\nabla\times\mathbf{B}_{c})+\alpha\mathbf{B}_{c}-\eta_{m}(\nabla\times\mathbf{B}_{c})],
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $\mathbf{b}=g_{a\gamma}\nabla\varphi/\sigma_{c}^2$, $\alpha=g_{a\gamma}\varphi'/\sigma_{c}$ – аналог параметра $\alpha$-динамо, а $\eta_{m}=\sigma_{c}^{-1}$ – коэффициент магнитной диффузии. Обратим внимание, что модифицированное уравнение индукции (2.5) никогда ранее не обсуждалось. Его следует сравнить с обычным уравнением индукции в МГД
$$
\begin{equation}
\mathbf{B}'_{c}=\nabla\times [(\mathbf{v}\times\mathbf{B}_{c})+\alpha\mathbf{B}_{c}-\eta_{m}(\nabla\times\mathbf{B}_{c})],
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $\mathbf{v}$ – макроскопическая скорость плазмы. Заметим, что величины $\mathbf{B}_{c}$ в уравнениях (2.5) и (2.6) всегда бездивергентны: $(\nabla\cdot\mathbf{B}_{c})=0$. Необходимо отметить, что уравнения (2.5) и (2.6) описывают системы, которые формально не теряют энергию на излучение электромагнитных волн, что является общим свойством МГД-приближения. Тем не менее волновые структуры типа волн ЧС возможны в подобных случаях (см., например, разделы 3, 4 ниже). Чтобы замкнуть систему, добавляем к уравнению (2.5) уравнение эволюции $\varphi$, имеющее вид
$$
\begin{equation}
\varphi^{\prime\prime}+2H\varphi'-\nabla^2\varphi+a^2m^2\varphi=\frac{g_{a\gamma}}{a^2}(\mathbf{E}_{c}\mathbf{B}_{c}),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $H=a'/a$ – параметр Хаббла. Мы изучаем поле $\varphi$ после фазового перехода КХД. Если предположить, что $\varphi$ – это КХД-аксион, то в этом случае его масса не зависит от температуры плазмы. В работе [16] была рассмотрена электродинамика неоднородных аксионов в предположении, что пространственная зависимость их волновой функции изотропна, т. е. предполагалось, что только производные четных порядков, таких как $\partial_{i}\partial_{j}\varphi$ и т. д., отличны от нуля. Теперь наша задача – изучить влияние слагаемого $\mathbf{b}\propto\nabla\varphi$ в уравнении (2.5) на эволюцию магнитного поля. Для этого исследуем пространственно ограниченную структуру типа аксионной звезды [28]. 3. Одномерная модельРассмотрим ситуацию, когда имеется сферически-симметричное распределение $\varphi$. Направим ось $z$ по радиусу и пренебрежем зависимостью от угловых координат. Следовательно, и $\mathbf{B}_c$, и $\varphi$ зависят от одной пространственной координаты $z$, т. е. мы рассматриваем одномерную модель. Примем, что магнитное поле представляет собой суперпозицию двух волн ЧС вдоль оси $z$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{B}_{c}=\mathbf{B}_{+}+\mathbf{B}_{-}, \quad \mathbf{B}_{+}=B_{+}^{(0)}(\sin kz,\cos kz,0), \quad \mathbf{B}_{-}=B_{-}^{(0)}(\cos kz,-\sin kz,0),
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где амплитуды являются функциями конформного времени $B_{\pm}^{(0)}=B_{\pm}^{(0)}(\eta)$, а $k$ – волновой вектор, характеризующий масштаб системы $\propto k^{-1}$. Обратим внимание, что $(\mathbf{B}_{+}\cdot\mathbf{B}_{-})=0$, т. е. эти волны соответствуют разным поляризациям. Как упоминалось выше, $\nabla\varphi$ направлен вдоль оси $z$, т. е. $\mathbf{b}=(0,0,b)$. Таким образом, для амплитуд волн ЧС получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
$$
\begin{equation}
B_{+}^{(0)\prime}=k [kbB_{-}^{(0)}+B_{+}^{(0)}(\alpha-\eta_{m}k)], \qquad B_{-}^{(0)\prime}=k [-kbB_{+}^{(0)}+B_{-}^{(0)}(\alpha-\eta_{m}k)].
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Из этих уравнений видно, что ненулевой градиент псевдоскалярного поля $b\propto\partial_{z}\varphi$ смешивает независимые волны ЧС. Распределение аксионов внутри аксионной звезды может быть весьма сложным (см., например, [28]). Вместо реалистического случая используем простую модель, в которой псевдоскалярное поле имеет вид
$$
\begin{equation}
\varphi(z,\eta)= \begin{cases} \varphi_{0}(\eta), & 0<z<R,\\ \varphi_{0}(\eta)\biggl(1-\dfrac{z-R}{\Delta}\biggr), & R<z<R+\Delta,\\ 0, & z>R+\Delta, \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где $R$ – радиус ядра аксионной звезды, $\Delta$ – толщина звездной коры, которая предполагается малой, $\Delta\ll R$, $\varphi_{0}(\eta)$ – осциллирующая амплитуда волновой функции. Это означает, что мы рассматриваем аналог $\alpha$-динамо в тонком слое (см., например, [29]). Используя тот факт, что $\mathbf{E}_{c}=\mathbf{J}_{c}/\sigma_{c}=(\nabla\times\mathbf{B}_{c})/\sigma_{c}$, и уравнение (3.1), получаем, что $(\mathbf{E}_{c}\cdot\mathbf{B}_{c})=k(B_{+}^ {(0)2}+B_{-}^{(0)2})/\sigma_c$ в уравнении (2.7). На основании уравнения (3.3) получаем, что $b=-g_{a\gamma}\varphi_{0}/\Delta\sigma^2$ и $\nabla^2\varphi\equiv\partial_{z}^2\varphi=0$. Окончательно, уравнения (2.7) и (3.2) переписываются в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, B_{+}^{(0)\prime}&= \frac{k}{\sigma_{c}}\biggl[-\frac{g_{a\gamma}k\varphi_{0}}{\Delta\sigma_{c}}B_{-}^{(0)}+B_{+}^{(0)}(g_{a\gamma}\varphi'_{0}-k)\biggr],\notag \\ B_{-}^{(0)\prime}&= \frac{k}{\sigma_{c}}\biggl[\frac{g_{a\gamma}k\varphi_{0}}{\Delta\sigma_{c}}B_{+}^{(0)}+B_{-}^{(0)}(g_{a\gamma}\varphi'_{0}-k)\biggr],\notag \end{aligned} \notag \\ \varphi''_{0}= -2H\varphi'_{0}-a^2m^2\varphi_{0}+\frac{g_{a\gamma}k}{a^2\sigma_{c}}(B_{+}^{(0)2}+B_{-}^{(0)2}). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Чтобы вывести уравнение (3.4), мы полагаем, что находимся на дне звездной коры, т. е. $z\gtrsim R$. Используя безразмерные переменные
$$
\begin{equation}
B_{\pm}^{(0)}=\frac{k}{g_{a\gamma}}\mathcal{B}_{\pm},\qquad\varphi_{0}=\frac{\sigma_{c}}{kg_{a\gamma}}\Phi,\qquad\eta=\frac{\sigma_{c}}{k^2}\tau,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
перепишем уравнение (3.4) в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathcal{B}_{+}}{d\tau} = -K\Phi\mathcal{B}_{-}+\mathcal{B}_{+}(\xi\Psi-1),
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathcal{B}_{-}}{d\tau} = K\Phi\mathcal{B}_{+}+\mathcal{B}_{-}(\xi\Psi-1),
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{d\Psi}{d\tau} = -\beta\Psi-\mu^2a^2\Phi+\frac{1}{a^2} (\mathcal{B}_{+}^2+\mathcal{B}_{-}^2),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\Psi=\partial_{\tau}\Phi$, $\mu=m\sigma_{c}/k^2$ – безразмерная масса поля $\varphi$, $K=(\Delta k)^{-1}$ и $\beta=2H\sigma_{c}/k^2$. Слагаемые $\mathcal{B}_{\pm}\Psi$ в правых частях уравнений (3.6) и (3.7) отвечают за усиление динамо магнитного поля, т. е. магнитное поле становится неустойчивым. Поэтому, следуя работе [30], мы вводим сдерживающий множитель $\xi=[1+(\mathcal{B}_{+}^2+\mathcal{B}_{-}^2)/\mathcal{B}_{\mathrm{eq}}^2]^{-1}$ в этих слагаемых. Здесь $\mathcal{B}_{\mathrm{eq}}$ – напряженность магнитного поля, соответствующая равнораспределению энергии. Численное решение уравнений (3.6)–(3.8) требует начальных условий. Сначала установим начальное условие для псевдоскалярного поля. Тензор энергии-импульса поля $\varphi$ равен
$$
\begin{equation}
T_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\varphi\partial_{\nu}\varphi-\frac{g_{\mu\nu}}{2}(g^{\lambda\rho}\partial_{\lambda}\varphi\partial_{\rho}\varphi-m^2\varphi^2).
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Используя это соотношение, получаем, что полная плотность энергии поля $\varphi$ равна
$$
\begin{equation}
\rho_{a}=T_{00}=\frac{1}{2}\biggl[\dot{\varphi}^2+\frac{1}{a^2}(\nabla\varphi)^2+m^2\varphi^2\biggr].
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Предположим, что изначально $\dot{\varphi}=0$. Таким образом, начальная плотность энергии
$$
\begin{equation}
\rho_{a}^{(0)}\approx\frac{\varphi_{0}^2}{2a^2\Delta^2}(1+m^2a^2\Delta^2).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Можно сравнить эту величину с $(\varepsilon mf_{a})^2$, где множитель $\varepsilon\sim10^{-10}$ для разреженной звезды и $\varepsilon\sim1$ для плотной звезды (см., например, [31]). Таким образом, мы получаем начальное условие для псевдоскалярного поля в безразмерных переменных:
$$
\begin{equation}
\Phi(T=T_{\mathrm{QCD}})=\frac{\alpha_{\mathrm{em}}\varepsilon ma\Delta k}{\pi\sigma_{c}\sqrt{2(1+m^2a^2\Delta^2)}}, \qquad \Psi(T=T_{\mathrm{QCD}})=0.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Здесь используется соотношение $g_{a\gamma}\approx\alpha_{\mathrm{em}}/2\pi f_{a}$, где $\alpha_{\mathrm{em}}=7.3\times10^{-3}$ – постоянная тонкой структуры, а $f_{a}$ – константа Печчей–Куин. Предположим, что звездная кора имеет толщину $\Delta=0.1R$. Параметр $k$ в уравнении (3.1) связан с радиусом ядра как $k=R^{-1}$. Это означает, что $K=10$ в уравнениях (3.6)–(3.8). Положим, что $k=10^{-8}T_{\mathrm{CMB}}$, что много меньше, чем обратный радиус Дебая $k_{d}=10^{-1}T_{\mathrm{CMB}}$. Физический размер такой звезды, если бы она просуществовала до настоящего времени, был бы порядка $85$ км. Масса $\varphi$ принимается равной $m=10^{-3}$ эВ, что ниже верхней границы, установленной в [32]. Кроме того, мы используем приближенное соотношение (см., например, [33])
$$
\begin{equation}
\biggl( \frac{m}{10^{-6}\,\text{эВ}} \biggr) \approx 5.7 \biggl( \frac{f_{a}}{10^{12}\,\text{ГэВ}} \biggr)^{-1}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
между массой аксиона и постоянной $f_a$. Предположим, что конформное затравочное магнитное поле равно $B_{+}^{(0)}(T=T_{\mathrm{QCD}})=4.4\times10^{13}$ Гс и $B_{-}^{(0)}(T=T_{\mathrm{QCD}})=0$, т. е. изначально присутствует только одна волна ЧС в уравнении (3.1). Используемая напряженность равна критическому швингеровскому полю $B_{\mathrm{crit}}=m_{e}^2/e$. Значение равнораспределеного поля берется в диапазоне $\mathcal{B}_{\mathrm{eq}}\lesssim10^{-5}$. Напомним, что наша основная цель – изучение поведения магнитного поля под действием псевдоскалярного поля с ненулевым градиентом $\nabla\varphi$. Нами были исследованы случаи плотной и разреженной аксионной звезды. В результате проведенного численного моделирования оказалось, что эволюция системы слабо зависит от параметра $\varepsilon$. Поэтому мы будем показывать результаты только для ситуации плотной звезды, соответствующей $\varepsilon=1$. Магнитные поля на рис. 1 являются очень быстро осциллирующими. Это приводит к визуальному слиянию кривых для $B^{(0)}_{\pm}$. Поэтому мы показываем поведение магнитных полей при малых временах эволюции на вставке на рис. 1. Данные зависимости подтверждают наше предположение о том, что ненулевой градиент $\nabla\varphi$ смешивает две разные волны ЧС. Магнитные поля на рис. 1 довольно быстро затухают. Это происходит как из-за магнитной диффузии, так и из-за вклада равнораспределенного магнитного поля в уравнениях (3.6), (3.7). Чтобы продемонстрировать этот факт, избегая быстрых осцилляций, видимых на рис. 1, мы показываем на рис. 2 эволюцию полной магнитной энергии $\Xi_{\mathrm{B}}\propto B_{+}^{(0)2}+B_{-}^{(0)2}$ для случая плотной аксионной звезды. Эволюция полной магнитной энергии в разреженной звезде идентична показанной на рис. 2.  Рис. 2.Полная магнитная энергия $\Xi_{\mathrm{B}}\propto B_{+}^{(0)2}+B_{-}^{(0)2}$, нормированная на свое начальное значение, как функция температуры плазмы в плотной аксионной звезде. Параметры системы такие же, как на рис. 1. Наконец, на рис. 3 показана энергия $\varphi$, которая приведена в уравнении (3.10) для плотной аксионной звезды. Прежде всего, на рис. 3 видно, что поле $\varphi$ начинает колебаться с частотой, намного меньшей, чем частота колебаний магнитного поля на рис. 1. Отметим также два факта: 1) $\varphi$ продолжает колебаться, даже когда магнитное поле затухает; 2) функция $\Xi_{a}$ нормирована на свое максимальное значение, которое оказывается большим, $\Xi_{a}^{(\mathrm{max})}\gg1$. Такое поведение энергии $\varphi$ следует из наличия слагаемого $\propto\left(\mathcal{B}_{+}^2+\mathcal{B}_{-}^2\right )/a^2$ в правой части уравнения (3.8).  Рис. 3.Плотность энергии $\Xi_{a}$ поля $\varphi$, нормированная на ее максимальное значение, в зависимости от температуры плазмы для плотной аксионной звезды. Параметры системы такие же, как на рис. 1. К сожалению, технически сложно численно проследить эволюцию системы на больших временах, так как мы имеем две разные характерные частоты: одна из них связана с колебаниями магнитного поля (см. рис. 1), а другая – с колебаниями $\varphi$. Отношение этих частот огромно. 4. Трехмерная модель на основе сферической волны ЧСВ этом разделе качественно рассмотривается эволюция трехмерных магнитных полей под влиянием неоднородного поля $\varphi$. В разделе 3 мы показали, что затравочное магнитное поле затухает довольно быстро (ср. рис. 1 и рис. 2). Поэтому опустим конформные величины и рассмотрим физические магнитные поля. Под сферической волной ЧС понимается аналог волн ЧС в уравнении (3.1), который определяется в компактной области, а не в плоском евклидовом пространстве. Простейшим примером такой компактной трехмерной области является стандартная трехмерная сфера, которая определяется в четырехмерном евклидовом пространстве с координатами $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ уравнением На стандартной трехмерной сфере определим правое ($\mathbf{B}_+$) и левое ($\mathbf{B}_-$) магнитные поля, а также следующие неспиральные магнитные поля: $\mathbf{B}_\mathrm{A} = \mathbf{B}_ + - \mathbf{B}_-$ и $\mathbf{B}_\mathrm{B} = \mathbf{B}_+ + \mathbf{B}_-$. Магнитное поле $\mathbf{B}_\mathrm{A}$ не является полным аналогом вектора $\mathbf{B}_c$, заданного уравнением (3.1), поскольку вектор $\mathbf{B}_c$ является правополяризованным в случае $k>0$, тогда как вектор $\mathbf{B}_\mathrm{A}$ является зеркально-симметричным. Интересен тот факт, что вектор $\mathbf{B}_\mathrm{A}$ ортогонален $\mathbf{B}_\mathrm{B}$ и две магнитные моды связаны интегралом спиральности. Заметим, что магнитный вектор $\mathbf{B}_+$ хорошо известен и построен в [19] (упр. 1.9, гл. III), а также в работе [21] с использованием преобразования Кельвина, описанного в приложении 1. Разложение
$$
\begin{equation}
\mathbf{B}_+ = \frac{1}{2}[\mathbf{B}_\mathrm{A} + \mathbf{B}_\mathrm{B}]
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
в сумму двух зеркально-симметричных векторов является новым. К сожалению, в компактной области мы не можем определить регулярный аналог градиента аксионной волновой функции $\mathbf{b}$, как в уравнении (2.5). Простейшим аналогом векторного сдвига является $k$-спектр магнитного поля. Вместо уравнения эволюции (3.2) мы получаем нелинейный осциллятор, определяемый бесконечным числом гармоник. Поскольку мы работаем в рамках теории среднего поля, то исходя из теоремы Арнольда мы переходим к инвариантной плотности коэффициентов зацеплений магнитных линий (см. [34]) на крупном масштабе. В работе [34] показано, что когда интервал магнитной турбулентности достаточно большой, а скорость диффузии инвариантной плотности коэффициентов зацеплений магнитных линий достаточно велика, то поправка старших моментов неинтересна. Баланс магнитной энергии и магнитной спиральности в главном приближении описывается неравенством Арнольда (см. приложение 2), но в аспекте исследуемой задачи указанное приближение невозможно. В нашем случае неоднородная аксионная структура на начальной стадии нелинейного процесса связана с тем, что мы рассматриваем потенциал (2.7) с нулевым средним значением, и обусловлена, как мы покажем в этом разделе, вторым моментом плотности коэффициентов зацеплений магнитных линий, который называется квадратичной магнитной спиральностью. Аналогичные балансные соотношения для старших моментов плотности значительно сложнее и к настоящему времени мало изучены. Некоторые результаты в направлении обобщения неравенства Арнольда получены в работе [35]. Опишем аналог уравнения (3.4). Для этого вычисляем производную первого порядка решения в правой части уравнения, используя вектор $\mathbf{b}$ в левой части уравнения. Выражение для плотности энергии поля $\varphi$ в данном случае дается аналогично формуле (3.10). Это решение можно использовать для описания эволюции магнитного поля за короткое время, когда начальное магнитное поле меняется медленно, а плотность энергии поля $\varphi$ меняется быстро. Аналогичная ситуация изучалась в работе [16]. Таким образом, здесь мы рассматриваем ситуацию, противоположную показанной на рис. 1 и рис. 3. Для определения сферического аналога волны ЧС мы используем стандартные МГД-расчеты на римановом многообразии, приведенные в работе [19] (определение 5.9, гл. 1). Стандартная трехмерная сфера единичного радиуса оснащена системой координат $(\phi,\psi,\theta=2\chi)$, которая связана с декартовой системой координат в пространстве $\mathbb{R}^4$ соотношением (4.6). Определим кривые $\Theta_\mathrm{A}$ и $\Theta_\mathrm{B}$ на $\mathbb{R}^4$, а не на $\mathbb{C}^2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Theta_\mathrm{A}(\phi; x_0, x_1, x_2, x_3)=\Theta_\mathrm{A}(\phi;x_0,x_1) &= ( R_\mathrm{A}\cos(\phi), R_\mathrm{A}\sin(\phi),0,0), \\ \Theta_\mathrm{B}(\psi; x_0, x_1, x_2, x_3) = \Theta_\mathrm{B}(\psi; x_2, x_3) & = (0,0,R_\mathrm{B}\cos(\psi), R_\mathrm{B}\sin(\psi)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Поскольку $R^2_\mathrm{A}+R^2_\mathrm{B}=1$, определим $R_\mathrm{A}=\sin(2\chi)$ и $R_\mathrm{B}=\cos(2\chi)$. Таким образом, вычислим
$$
\begin{equation}
\mathbf{B}_\mathrm{A} = \frac{\mathbf{d}\Theta_\mathrm{A}}{\mathbf{d}\phi}, \qquad \mathbf{B}_\mathrm{B} = \frac{\mathbf{d}\Theta_\mathrm{B}}{\mathbf{d}\psi}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Используя эти соотношения, определяем соответствующие дифференциальные формы на $\mathbb{R}^4$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta_\mathrm{A}^\mathrm{R4} &= B^0_\mathrm{A}\, \mathbf{d} x^0 + B^1_\mathrm{A}\, \mathbf{d} x^1 = - \sin(\phi) R_\mathrm{A}\,\mathbf{d} x^0 + \cos(\phi) R_\mathrm{A}\, \mathbf{d} x^1, \\ \beta_\mathrm{B}^\mathrm{R4} &= B^2_\mathrm{B}\, \mathbf{d} x^2 + B^3_\mathrm{B}\, \mathbf{d} x^3 = - \sin(\psi)R_\mathrm{B}\,\mathbf{d} x^2 + \cos(\psi)R_\mathrm{B} \,\mathbf{d} x^3. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Определим отображение между точками на трехмерной сфере $S^3$ и $\mathbb{R}^4$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Upsilon = (x_0, x_1, x_2, x_3), \\ \begin{aligned} \, x_0 & = \cos(\phi)\cos(2\chi), \qquad x_1 = \sin(\phi)\cos(2\chi), \\ x_2 &= \cos(\psi)\sin(2\chi), \qquad x_3 = \sin(\psi)\sin(2\chi), \notag \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
с координатами $S^3$: $\phi \in [0, 2\pi)$, $\psi \in [0, 2\pi]$ и $2\chi \in [0, \pi/2]$. Теперь можно вычислить дифференциальные 1-формы $\beta_\mathrm{A}^\mathrm{R4}$ и $\beta_\mathrm{B}^\mathrm{R4}$ на $S^3$ как обратный образ формы при отображении $\Upsilon$:
$$
\begin{equation}
\beta_\mathrm{A}^\mathrm{S3} ={} \Upsilon^{*} \beta_\mathrm{A}^\mathrm{R4}={} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
={} \sin(\phi) \cos(2\chi) \sin(\phi) \cos(2\chi) \,\mathbf{d} \phi + \sin(\phi) \cos(2\chi) \cos(\phi) \sin(2\chi) \,\mathbf{d} 2\chi+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{}+ \cos(2\chi)\cos(\phi)\cos(\phi)\cos(2\chi)\,\mathbf{d} \phi - \cos(2\chi) \cos(\phi) \sin(\phi) \sin(2\chi) \,\mathbf{d} 2\chi={} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\beta_\mathrm{B}^\mathrm{S3} ={} \Upsilon^{*} \beta_\mathrm{B}^\mathrm{R4}={} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
={} \sin(\psi) \sin(2\chi) \sin(\psi) \sin(2\chi)\, \mathbf{d} \phi - \sin(\psi) \sin(2\chi) \cos(\psi) \cos(2\chi)\, \mathbf{d} 2\chi+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
{} + \cos(\psi)\sin(2\chi)\cos(\psi)\sin(2\chi)\,\mathbf{d} \phi + \cos(\psi) \sin(2\chi) \sin(\psi) \cos(2\chi)\, \mathbf{d} 2\chi={} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Здесь формы подчиняются следующим свойствам:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{d} \beta_\mathrm{A}^\mathrm{S3} &= -2\cos(2\chi)\sin(2\chi) \,\mathbf{d} 2\chi \wedge \mathbf{d} \phi, \\ \mathbf{d} \beta_\mathrm{B}^\mathrm{S3} & = 2\cos(2\chi)\sin(2\chi)\, \mathbf{d} 2 \chi \wedge \mathbf{d} \psi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Рассмотрим двойственную форму $\star\mathbf{d}\beta_\mathrm{A}^\mathrm{S3}$ с элементом объема $\mathbf{d} V = \cos(2\chi)\sin(2\chi)\, \mathbf{d}\phi \wedge \mathbf{d} 2\chi \wedge \mathbf{d}\psi$ и найдем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \star\mathbf{d}\beta_\mathrm{A}^\mathrm{S3} &= \frac{1}{2}\sin^2(2\chi)\cos^2(2\chi)\, \mathbf{d}\psi = 2\sin^2(4\chi)\, \mathbf{d} \psi, \\ \star\mathbf{d}\beta_\mathrm{B}^\mathrm{S3} &= -\frac{1}{2}\sin^2(2\chi)\cos^2(2\chi) \, \mathbf{d}\phi = 2\sin^2(4\chi)\, \mathbf{d} \phi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Наконец, получаем результат:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{d}\star\mathbf{d}\beta_\mathrm{A}^\mathrm{S3} &= 2\,\mathbf{d} \beta_\mathrm{B}^\mathrm{S3}, \\ \mathbf{d}\star\mathbf{d}\beta_\mathrm{B}^\mathrm{S3} &= 2\, \mathbf{d} \beta_\mathrm{A}^\mathrm{S3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Определим гладкие магнитные поля
$$
\begin{equation}
\mathbf{B}_+ = \mathbf{B}_\mathrm{A} + \mathbf{B}_\mathrm{B} = \ast \mathbf{d} \beta^{S3}_\mathrm{A} + \ast \mathbf{d} \beta^{S3}_\mathrm{B}, \qquad \mathbf{B}_- = \mathbf{B}_\mathrm{A} - \mathbf{B}_\mathrm{B} = \ast \mathbf{d} \beta^{S3}_\mathrm{A} - \ast \mathbf{d} \beta^{S3}_\mathrm{B}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
на $S^3$, где $\ast$ означает векторное поле, которое ассоциировано с соответствующей $2$-формой посредством формы объема. Выражения для $\mathbf{B}_\mathrm{A}$ и $\mathbf{B}_\mathrm{B}$ определены с использованием соответствующих $2$-форм в соотношениях (4.9) и (4.10). Переобозначим $\mathbf{B}_\mathrm{A} \mapsto \mathbf{B}_\mathrm{A}/2$ и $\mathbf{B}_\mathrm{B} \mapsto \mathbf{B}_\mathrm{B}/2$ для простоты. Используя координаты $(\phi,\psi,2\chi=\theta)$ на $S^3$, определим
$$
\begin{equation}
\mathbf{B}_\mathrm{A}=(\sin\theta,0,0), \qquad \mathbf{B}_\mathrm{B}=(0,\cos\theta,0).
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Очевидно, $\operatorname{rot}\mathbf{B}_+=2\mathbf{B}_+$ и $\operatorname{rot}\mathbf{B}_-=-2\mathbf{B}_-$.
5. ГармоникиПреобразуем широту $\theta$ в $\chi$ по формуле
$$
\begin{equation}
\theta = 2\chi, \qquad \theta \in\biggl[0,\frac{\pi}{2}\biggr].
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Затем определим магнитные гармоники $\mathbf{B}_{1,A}$, которые называются полоидальными гармониками. Полоидальная гармоника равна нулю при $\theta =0$. Для расчетов удобно заметить, что абсолютное значение векторов $\mathbf{B}_\mathrm{A}\cos(\theta)$ и $\mathbf{B}_\mathrm{B}\sin(\theta)$ совпадает с функциями координаты $\theta$ и определяется как $\cos(\theta)\sin(\theta)$. Направления векторов перпендикулярны в произвольной точке на $S^3$. Определим распределение поля $\varphi(\theta,t)$, которое является псевдоскалярным аналогом уравнения (2.7), на сфере. Оно также зависит от времени: где параметр $a_0$ предполагается малым.Поскольку $(\mathbf{B}_\mathrm{A} \cdot \mathbf{B}_\mathrm{B})=0$, функция $\varphi(\theta,t)$ подчиняется уравнению и справедливо следующее выражение: $-\omega^2 + n^2 + m^2 = 0$. Обратим внимание, что уравнение (5.3) аналогично уравнению (2.7), где мы пренебрегаем расширением Вселенной.Рассмотрим следующую последовательность преобразований:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{B}_\mathrm{B} &\stackrel{\operatorname{rot}} {\longrightarrow}{} 2\mathbf{B}_\mathrm{A} \stackrel{\times \nabla\cos(n\theta)} {\longrightarrow} -2n\sin(n\theta)\sin(\theta)\cos^{-1}(\theta)\mathbf{B}_\mathrm{B} \stackrel{\operatorname{rot}}{\longrightarrow} {} \notag\\ &\stackrel{\operatorname{rot}}{\longrightarrow} 2n\frac{d}{d\theta}[\operatorname{tg}(\theta)\sin(n\theta)]\operatorname{ctg}(\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A} - 4n\operatorname{tg}(\theta)\sin(n\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Рассмотрим случай $n=2$. В этом случае получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf{B}_\mathrm{B} &\stackrel{\operatorname{rot}}{\longrightarrow} 2\mathbf{B}_\mathrm{A} \stackrel{\times \nabla\cos(2\theta)}{\longrightarrow}-8\sin^2(\theta)\mathbf{B}_\mathrm{B} \stackrel{\operatorname{rot}}{\longrightarrow}{} \notag \\ &\stackrel{\operatorname{rot}}{\longrightarrow} 16\cos^2(\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A} -16\sin^2(\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A} =16\cos(2\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Применим вычисления (5.5) к уравнению (2.5) и получим
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf{B}}_\mathrm{B} = a_0\sin(\omega t)\, \nabla \times [\nabla\cos(n\theta) \times (\nabla \times \mathbf{B}_\mathrm{B})] + \nabla \times[\alpha \mathbf{B}_\mathrm{B}] - \eta_m \sin(\omega t) \,\nabla \times [ \nabla\times \mathbf{B}_\mathrm{B}],
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где $\alpha$ определено в уравнении (2.5). Поскольку $\alpha = \omega \alpha_0 \cos(\omega t)\cos(n\theta)$, для малого $\alpha_0$ вычисляются только слагаемые первого порядка. Первое слагаемое известно из формулы (5.5). Второе слагаемое определяется как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \nabla \times[\alpha \mathbf{B}_\mathrm{B}] &= \alpha_0 \omega \cos(\omega t) \, \nabla \times[\cos(n\theta)\mathbf{B}_\mathrm{B}]={} \\ &=\omega \alpha_0\cos(\omega t)[n\sin(n\theta)\sin^{-1}(\theta)\cos(\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A} + 2\cos(n\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A}]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для $n=2$ второе слагаемое есть $-2 \omega\alpha_0\cos(\omega t)[2\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)]\mathbf{B}_\mathrm{A}$. Третье слагаемое имеет вид $-4\eta_m\sin(\omega t)\mathbf{B}_\mathrm{B}$. Для упрощения вычислений возьмем $\eta_m=0$. В случае $n=2$ имеем
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf{B}}_\mathrm{B} = 2a_0[8\sin(\omega t)\cos(2\theta) + \omega\cos(\omega t)(2\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))]\mathbf{B}_\mathrm{A}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Преобразуем это уравнение:
$$
\begin{equation}
\dot{\mathbf{B}}_\mathrm{B} =2a_0[8\sin(\omega t) - \omega \cos(\omega t)]\cos(2\theta)\mathbf{B}_\mathrm{A}+ 2a_0\omega\cos(\omega t) \cos^2(\theta) \mathbf{B}_\mathrm{A}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Этот расчет означает, что в стационарном невинтовом магнитном поле $\mathbf{B}_\mathrm{B}$ с быстрыми колебаниями псевдоскалярного поля вариация первого порядка задается стоячей волной, что представлено вторым членом в правой части (5.8). Амплитуда волны определяется амплитудой псевдоскалярного поля. Кроме того, мы получаем бегущую волну в первом слагаемом в (5.8). Когда частота $\omega$ поля $\varphi$ в (5.7) велика, $\alpha$-эффект, связанный со вторым слагаемым в (5.7), доминирует. Напротив, когда частота $\omega$ мала, первый член в (5.7) доминирует. В каждом из двух ограниченных случаев представлена стоячая волна. Бегущая волна представлена, когда первый и второй члены уравнения (5.7) имеют один и тот же порядок. 6. ОбсуждениеВ настоящей работе исследована одновременная эволюция магнитного и пространственно-неоднородного псевдоскалярного полей. Зависимость этих полей от координат выбрана особым образом, имитирующим реалистичные ситуации, происходящие в астрофизических объектах, например в аксионных звездах. Мы не изучали формирование конфигураций полей. Нашей основной целью был анализ временно́й эволюции как магнитных, так и псевдоскалярных полей. Сначала в разделе 2 были выписаны основные уравнения электродинамики в присутствии псевдоскалярного поля. Мы получили основное уравнение (2.5) для эволюции магнитного поля при наличии пространственно-неоднородного поля $\varphi$. Уравнение (2.5) является модификацией уравнения индукции (2.6), известного в МГД. Наши последующие исследования были основаны на уравнении (2.5). Были рассмотрены два основных случая. В разделе 3 мы изучили упрощенную одномерную модель, в которой присутствуют две волны ЧС с независимыми поляризациями. Псевдоскалярное поле линейно спадает в коре аксионной звезды. Основное влияние ненулевого градиента $\varphi$ в этой геометрии заключается в смешивании независимых волн ЧС. Это не приводит к неустойчивости магнитного поля. Образование аксионных и бозонных звезд происходит, например, за счет гравитационного взаимодействия между частицами [36]. Можно аппроксимировать распределение псевдоскалярных частиц внутри звезды соотношением (3.3). Когда такая звезда формируется, предполагается, что внутри нее возникает магнитное поле с напряженностью (3.1). Затем исследуется эволюция поля $\varphi$ и магнитного поля на основе начальных условий в (3.1) и (3.3). Мы обнаружили, что временно́й масштаб изменения магнитного поля довольно мал. Следовательно, мы можем пренебречь в уравнении (2.7) гравитационным взаимодействием между аксионами, генерирующими распределение в формуле (3.3). Поэтому мы не требуем, чтобы, например, поле (3.3) подчинялось уравнению (2.7). Следовательно, соотношение (3.3) является заданным начальным условием в нашем анализе. Если мы заменим упрощенную зависимость $\varphi$ от координат в формуле (3.3) более реалистичными гладкими функциями, рассмотренными, например, в работе [28], это лишь количественно изменит результаты. В разделе 3 мы вывели систему обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд независимых волн ЧС. Эта система была решена численно. Было найдено, что магнитное поле затухает довольно быстро. Эта система могла возникнуть в ранней Вселенной после фазового перехода КХД. Однако с учетом полученных результатов маловероятно, что какие-либо проявления такого объекта просуществуют до настоящего времени. Кроме того, было получено, что характеры эволюции плотных и разреженных аксионных звезд практически одинаковы. Изменение поляризации электромагнитной волны в присутствии аксионного поля изучалось в работе [37]. При описании этого явления учитывается неоднородность волновой функции аксиона только в уравнении (2.3) (см., например, книгу [38]), в то время как член, содержащий $\nabla \varphi$ в уравнении (2.1), не учитывается в [38]. Мы учитываем неоднородность $\varphi$ как в уравнении (2.1), так и в уравнении (2.3). Ненулевая величина $\nabla \varphi$ в уравнении (2.1) была учтена в линейном приближении в работе [39] при изучении двулучепреломления в аксионном газе. Это привело к вращению плоскости поляризации электромагнитной волны. Однако в нашей работе мы исследуем, как ненулевая величина $\nabla \varphi$ влияет на эволюцию крупномасштабных магнитных полей, а не на электромагнитные волны. Поэтому смешивание двух волн ЧС при наличии неоднородных аксионов, рассматриваемое в нашей работе, отличается от явлений, обсуждаемых в работах [37], [39]. В разделах 4, 5 мы качественно изучили более сложную ситуацию, основанную на расслоении Хопфа. При таком подходе выполняется уравнение (2.7) в первом приближении решения. Однако аналог уравнения эволюции (3.4) отличается, и более высокие члены решения зависят от младших. Наш основной результат состоит в том, что в выбранной геометрии неоднородность поля $\varphi$ приводит к росту магнитной энергии, причем такое возможно даже в случае, когда среднее попарных коэффициентов зацепления магнитных линий на исследуемом временно́м отрезке не изменяется. Мы обсудили неоднородные структуры, состоящие из псевдоскалярных частиц, возникающих после фазового перехода КХД. Таким образом, поле $\varphi$, вероятно, соответствует КХД-аксиону, имеющему в эту эпоху постоянную массу. Кроме того, мы используем ограничение на массу КХД-аксиона из работы [32]. Тем не менее наши результаты могут быть применены к любым аксионоподобным частицам. Для этого просто нужно численно решить уравнения (3.6)–(3.8) с другими коэффициентами. Результаты разделов 4, 5 являются общими. Таким образом, мы обнаружили, что влияние ненулевого градиента псевдоскалярного поля на эволюцию магнитного поля сильно зависит от геометрии системы. Конечно, всеобъемлющее исследование должно включать одновременное решение обоих уравнений (2.5) и (2.7). Мы планируем решить эту проблему в одной из наших следующих работ. Приложение 1. Преобразование КельвинаПредполагаем, что преобразование Кельвина представляет собой стереографическую проекцию сферы $S^3$ вне отмеченной точки $pt$ в евклидово пространство $\mathbb{R}^3$. Это преобразование является конформным, т. е. угол между двумя векторами не меняется. В работе [21] преобразование Кельвина используется для построения МГД-солитона в евклидовом пространстве с регулярными условиями на бесконечности. Примечательно, что преобразование Кельвина $T\!\!: S^3 \setminus \{pt\} \to \mathbb{R}^3$ не изменяет уравнения. В случае, если отмеченная точка $pt$ является северным полюсом на сфере ($\psi=\theta=0$), магнитная мода $\mathbf{B}_\mathrm{A}$ преобразуется в (обобщенную) тороидальную моду $\mathbb{B}_\mathrm{A}$, а магнитная мода $\mathbf{B}_\mathrm {B}$ переводится в (обобщенное) полоидальное поле $\mathbb{B}_\mathrm{B}$. Мы рассчитаем только преобразование для магнитных мод. Преобразование Кельвина $T$ определяется выражением
$$
\begin{equation}
(\phi,\theta,\psi) \mapsto (r=\operatorname{ctg}(\theta),\Psi,\phi),
\end{equation}
\tag{П.1}
$$
где в образе используется сферическая система координат с широтой $\Psi$ и учитывается долгота $\phi$. Образ координаты $\psi$ вычисляется явно. Она не зависит от координаты $\phi$ образа. Абсолютное значение градиента функции $\operatorname{ctg}(\theta)$ определяет модуль конформного преобразования $T$. Этот коэффициент масштабирования, являющийся функцией в образе, обозначается через $K$. Преобразование Кельвина преобразует магнитное поле $\mathbf{B}$ ($\mathbf{B}=\mathbf{B}_\mathrm {A}$ или $\mathbf{B}=\mathbf{B}_\mathrm {B}$), которое является бездивергентным полем, на исходной сфере в соответствующее магнитное поле $\mathbb{B}= T_{\ast}(\mathbf{B})/K^3$ на евклидовом пространстве-образе, где $K$ – коэффициент масштабирования, определенный выше. Эта функция имеет асимптотику $\propto r^2$, где $T_{\ast}$ – перенос вектора с помощью дифференциала от $T$. Векторное поле $\mathbb{B}$ является магнитным полем, поскольку поток $\mathbb{B}$, который проходит через поверхность $T(\Sigma) \subset \mathbb{R}^3$, равен потоку $\mathbf{B}$ через поверхность $\Sigma \subset S^3$. Можно видеть, что $\mathbb{B}_\mathrm{B} = T_{\ast}(\mathbf{B}_\mathrm{B})K^{-3}$ меняется по долготе $\phi$ и имеет вид тороидальной магнитной моды. Мода $\mathbb{B}_\mathrm{A}=T_{\ast}(\mathbf{B}_\mathrm{A})K^{-3}$ направлена перпендикулярно вдоль координат $(r,\Psi)$ и выглядит как полоидальная. Масштабный коэффициент $K$ связан с формой магнитного объема $K^3 \mathbf{d} x$ в $\mathbb{R}^3$ и имеет асимптотику $\propto r^6$ вдоль радиуса. Оба поля $\mathbb{B}_\mathrm{A}$ и $\mathbb{B}_\mathrm{B}$ имеют асимптотику $\propto r^{-4}$. Оператор $\operatorname{rot}$ в $\mathbb{R}^3$ можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\operatorname{rot}(K^{-2}T_{\ast}(F)) = K^{-3}T_{\ast}(\operatorname{rot}_\mathrm{S3}(F)),
\end{equation}
\tag{П.2}
$$
где оператор $\operatorname{rot}_\mathrm{S3}$ и векторное поле $F$ лежат в начале координат $S^3$. В частности, на бесконечности, где $K=K(r) \to +\infty$, магнитные моды являются почти потенциальными и не порождают токи. Магнитная спиральность сохраняется преобразованием $T$. Спиральность вычисляется как несобственный интеграл в виде
$$
\begin{equation}
\chi_{\mathbb{B}} =\int_{\mathbb{R}^3} (\mathbb{A} \cdot \mathbb{B})\,\mathbf{d} x = \int_{\mathbb{R}^3} (K^{-2}T_{\ast}(\mathbf{A}),K^{-3}T_{\ast}(\mathbf{B}))\, \mathbf{d} x = \int_{S^3} ((\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}))\, \mathbf{d} V = \chi_{\mathbf{B}},
\end{equation}
\tag{П.3}
$$
где $\operatorname{rot}_\mathrm{S3}(\mathbf{A})=\mathbf{B}$. Здесь используются формулы $ K^3\mathbf{d} V = \mathbf{d} x $ и $ K^2((\dots,\dots)) = (\dots, \dots)$, связывающие формы объема и скалярные произведения в прообразе и образе. Приложение 2. Неравенство АрнольдаНеравенство Арнольда [19] (теорема 1.5, гл. III) для магнитного поля на $S^3$ записывается как
$$
\begin{equation}
\int_{S^3} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{B})\, \mathbf{d} V \geqslant \frac{1}{2R}\int_{S^3} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})\, \mathbf{d} V = \frac{1}{2R}\chi_{\mathbf{B}},
\end{equation}
\tag{П.4}
$$
где $1/2R$ – величина, обратная наименьшему собственному значению оператора $\operatorname{rot}$, $R$ – радиус сферы, являющийся масштабным коэффициентом, а $\chi_\mathbf{B}$ – магнитная спиральность. Неравенство Арнольда обобщается на случай неограниченной проводящей области с переменной магнитной проницаемостью $K(r)$:
$$
\begin{equation}
\int_{\mathbb{R}^3} (\mathbb{B})^2 K^3\, \mathbf{d} x = \int_{S^3} (\mathbf{B})^2 K^{-1}\, \mathbf{d} V \geqslant \max_{S^3}(K^{-1}) \int_{S^3} (\mathbf{B})^2\, \mathbf{d} V \geqslant \frac{1}{2R}\chi_{\mathbf{B}},
\end{equation}
\tag{П.5}
$$
где $r$ – расстояние до начала координат, а $R$ – масштаб неоднородности магнитной проницаемости. БлагодарностиМы благодарны Е. М. Маслову за полезные обсуждения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DvoAkh24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|