| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Квантовые сдвиги аргумента второго порядка в Я. Икэда Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792408004X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПусть $g$ – комплексная алгебра Ли. Скобка Ли–Пуассона на симметрической алгебре $S(g)$ – это единственная скобка Пуассона, которая является расширением скобки Ли:  Теорема 1. Алгебра $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{C}\kern6.3pt}\kern-7.4pt C _\xi$ пуассоново коммутативна. Винберг [2] задался вопросом: можно ли поднять алгебру $ \kern1.1pt\overline{\vphantom{C}\kern6.3pt}\kern-7.4pt C _\xi$ сдвига аргумента до коммутативной подалгебры $C_\xi$ универсальной обертывающей алгебры $U(g)$? Назаров и Ольшанский [3] построили квантовую алгебру $C_\xi$ сдвига аргумента для любого регулярного полупростого элемента $\xi$ с помощью янгиана для случая $g=gl_d(\mathbb C)$ и с помощью скрученных янгианов для ортогонального и симплектического случаев. Тарасов [4] построил такую же квантовую алгебру сдвига аргумента для случая $g=gl_d(\mathbb C)$ с помощью отображения симметризации. Квантовая алгебра $C_\xi$ сдвига аргумента также была построена с помощью центра Фейгина–Френкеля для, во-первых, любой простой комплексной алгебры Ли $g$ и любого регулярного $\xi$ [5], [6] и, во-вторых, для любой простой комплексной алгебры Ли типа $A$ или $C$ и любого элемента $\xi$ [7], [8]. До недавнего времени не было проведено квантование оператора $\bar\partial_\xi$ сдвига аргумента. Гуревич, Пятов и Сапонов [9] определили квантовые дифференцирования $\partial^i_j$ на универсальной обертывающей алгебре $Ugl_d(\mathbb C)$. В работе [10] мы нашли явную формулу для квантовых дифференцирований соответствующих элементов, а в работе [11] доказали квантовый аналог теоремы Мищенко–Фоменко. Ниже мы представляем явные формулы для квантового сдвига аргумента вплоть до второго порядка для произвольного центрального элемента (см. предложение 1). Мы также задаем редуцированный набор генераторов алгебры, порожденной квантовыми сдвигами аргумента порядка вплоть до второго (см. следствие 1 и теорему 5). Эти генераторы являются альтернативой генераторам, предложенным Футорным и Молевым [7]. Существенную роль в наших рассуждениях играют комплексные комбинаторные формулы (см. теорему 4 и предложение 4). 2. Предварительные сведенияМы обозначаем через $\delta$ единичную матрицу и через $x^{\mathrm T}$ – матрицу, транспонированную к матрице $x$. Пусть $d$ – неотрицательное целое число и $M(d,A)$ – алгебра матриц размера $d\times d$ с элементами из алгебры $A$. Для матрицы $x$ размера $d\times d$ мы обозначаем через $x^i_j$ ее элемент с номером $(i,j)$ и пишем
$$
\begin{equation*}
x^i=\begin{pmatrix} x^i_1\!&\!\ldots\!&\!x^i_d \end{pmatrix},\qquad x_j=\begin{pmatrix} x^1_j \\ \vdots \\ x^d_j \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для $i$-го вектора-строки и $j$-го вектора-столбца матрицы $x$. Определим порождающую матрицу алгебры Ли $gl_d=gl_d(\mathbb C)$ как матрицу $e$ размера $d\times d$, составленную из некоторых элементов $e^i_j$ (генераторов алгебры Ли $gl_d$). Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли $gl_d$ – это факторалгебра
$$
\begin{equation*}
Ugl_d=\mathbb{C}\langle e^i_j\rangle/ \bigl(e^{i_1}_{j_1}e^{i_2}_{j_2}-e^{i_2}_{j_2}e^{i_1}_{j_1}-e^{i_2}_{j_1}\delta^{i_1}_{j_2}+\delta^{i_2}_{j_1}e^{i_1}_{j_2}\colon i_1,j_1,i_2,j_2=1,\ldots,d\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{C}\langle e^i_j\rangle$ обозначает свободную алгебру с единицей, построенную на элементах $e^i_j$, а знаменатель в правой части – идеал, порожденный элементами
$$
\begin{equation*}
\bigl\{e^{i_1}_{j_1}e^{i_2}_{j_2}-e^{i_2}_{j_2}e^{i_1}_{j_1}-e^{i_2}_{j_1}\delta^{i_1}_{j_2}+\delta^{i_2}_{j_1}e^{i_1}_{j_2}\colon i_1,j_1,i_2,j_2=1,\ldots,d\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
В универсальной обертывающей алгебре $Ugl_d$ имеет место следующее соотношение, которое можно доказать по индукции:
$$
\begin{equation}
[(e^n)^{i_1}_{j_1},e^{i_2}_{j_2}]=[e^{i_1}_{j_1},(e^n)^{i_2}_{j_2}]= (e^n)^{i_2}_{j_1}\delta^{i_1}_{j_2}-\delta^{i_2}_{j_1}(e^n)^{i_1}_{j_2},\qquad n=0,1,2,\ldots{}\,.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Гуревич, Пятов и Сапонов [9] определили квантовые дифференцирования на универсальной обертывающей алгебре $Ugl_d$. Приведем несколько видоизмененное определение этих операторов. Определение 1. Квантовые дифференцирования на универсальной обертывающей алгебре $Ugl_d$ – это матричные элементы единственного гомоморфизма комплексных алгебр с единицей такого что $\partial \operatorname{tr} (\xi e)= \operatorname{tr} (\xi e)+\xi$ для любой числовой матрицы $\xi$. Зададим полиномы
$$
\begin{equation*}
f^{(n)}_\pm(x)=\sum_{m=0}^{n+1}\frac{1\pm(-1)^{n-m}}2\binom{n}mx^m.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [10] была доказана следующая теорема. Обозначим через $C$ центр универсальной обертывающей алгебры $Ugl_d$. Он порождается элементами $ \operatorname{tr} e, \operatorname{tr} e^2,\ldots{}\,$. Пусть $\xi$ – произвольная числовая матрица. Отображение $\partial_\xi= \operatorname{tr} (\xi\partial)$ называется оператором квантового сдвига аргумента в направлении $\xi$. Определим $C_\xi$ как алгебру, порожденную множеством $\bigcup_{n=0}^\infty\partial_\xi^nC$. Следующая теорема была доказана в [11], [12]. 3. Формулы для квантовых сдвигов аргумента второго порядкаВ этом разделе мы приводим формулы для квантовых сдвигов аргумента второго порядка в случае центральных элементов. Чтобы получить эти формулы, достаточно теоремы 2. Для простоты обозначений мы полагаем, что $ \operatorname{tr} e^{-1}=1$. Следующие равенства задают квантовые сдвиги аргумента порядка вплоть до второго для произвольного центрального элемента. Предложение 1. Для конечного произведения $ \operatorname{tr} e^{n_1} \operatorname{tr} e^{n_2}\ldots{}\,$ имеют место равенства Доказательство получается прямым вычислением. По теореме 2 с учетом тождества $\sum_{m=0}^nf^{(n-m-1)}_{+}(x)x^m=f^{(n)}_{-}(x)$ имеем Обозначим через $A[S]$ алгебру, порожденную алгеброй $A$ и множеством $S$, содержащимся в квантовой алгебре $C_\xi$ сдвига аргумента. Пусть
$$
\begin{equation*}
C_\xi^{(0)}=C,\qquad C_\xi^{(n)}=C_\xi^{(n-1)}[\partial_\xi^nC].
\end{equation*}
\notag
$$
Из формулы (4) вытекает следующее утверждение. Действительно, в силу формулы (2) мы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_\xi^2( \operatorname{tr} e^{n_1}& \operatorname{tr} e^{n_2}\ldots)=\sum_{m_1=-1}^{n_1} \operatorname{tr} e^{m_1}\sum_{m_2=-1}^{n_2} \operatorname{tr} e^{m_2}\ldots{} \notag\\ &{}\ldots\sum_{k_1=-1}^{n_1-m_1-1}\sum_{k_2=-1}^{n_2-m_2-1}\ldots \operatorname{tr} \biggl(\xi\prod_\ell f^{(k_\ell)}_{-}(e)\,\partial \operatorname{tr} \biggl(\xi\prod_\ell f^{(n_\ell-m_\ell-k_\ell-2)}_{-}(e)\biggr)\!\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Формула (5) доказывает следствие. Следствие 2. Алгебра $C_\xi^{(2)}$ содержится в алгебре, порожденной алгеброй $C_\xi^{(1)}$ и элементами Доказательство. Элементы вида Пусть $m$ и $n$ – целые неотрицательные числа. По теореме 2 имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname{tr} (\xi e^m\partial \operatorname{tr} (\xi e^n))&= \operatorname{tr} \biggl(\xi e^m\sum_{j=1}^{n+1}\bigl(f^{(n-j)}_{+}(e)\xi e^{j-1}+f^{(n-j)}_{-}(e) \operatorname{tr} (\xi e^{j-1})\bigr)\biggr)= \notag\\ &=\sum_{j=1}^{n+1}\bigl( \operatorname{tr} (\xi e^mf^{(n-j)}_{+}(e)\xi e^{j-1})+ \operatorname{tr} (\xi e^mf^{(n-j)}_{-}(e)) \operatorname{tr} (\xi e^{j-1})\bigr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
следовательно, в силу следствия 1
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr} (\xi e^m\partial \operatorname{tr} (\xi e^n))=\sum_{j=1}^n \operatorname{tr} (\xi e^mf^{(n-j)}_{+}(e)\xi e^{j-1})\mod C_\xi^{(1)}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Определение 2. Зададим матрицу $P^{(m)}_n$ размера $(m+n)\times n$, элементы которой равны коэффициентам полинома и положим $P_n=P^{(0)}_n$. Матрица $P_n$ – это подматрица матрицы $P_{n+1}$, занимающая правый верхний угол: $P_{n+1}=\bigl(\begin{smallmatrix} * & P_n \\ 1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ и $P^{(m)}_n=\binom{0}{P_n}$ (первые $m$ строк нулевые). Например, поскольку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \begin{pmatrix} f^{(3)}_{+}(x) \!&\! f^{(2)}_{+}(x) \!&\! f^{(1)}_{+}(x) \!&\! f^{(0)}_{+}(x)\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 3x+x^3 \!&\! 1+x^2 \!&\! x \!&\! 1 \end{pmatrix}= \\ &=\begin{pmatrix} x^0 \!&\! x^1 \!&\! x^2 \!&\! x^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
мы имеем $P_4=\biggl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\biggr)$. Определение 3. Для любой числовой матрицы $x$ размера $m\times n$ положим Тогда по формуле (7) имеем
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr} (\xi e^m\partial \operatorname{tr} (\xi e^n))=\tau_\xi(P^{(m)}_n)\mod C_\xi^{(1)}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
4. Генераторы алгебры $C_\xi^{(2)}$В этом разделе мы приводим редуцированный набор генераторов алгебры $C_\xi^{(2)}$. Генераторы из следствия 2 можно записать с помощью нижнетреугольных матриц. Определение 4. Пусть $n$ – целое неотрицательное число, а $x$ – числовая матрица размера $n\times n$. Зададим нижнетреугольную числовую матрицу $\sigma(x)$ размера $n\times n$ по формуле Предложение 2. Для любой квадратной числовой матрицы $x$ имеет место равенство $(\tau_\xi \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle\circ}{{}_{\vphantom{.}}}} \sigma)(x)=\tau_\xi(x)$. Доказательство. Пусть $m$ и $n$ – целые неотрицательные числа и $(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$ – конечный набор элементов множества $M(d,\mathbb{C})\sqcup\{e\}$. В силу коммутационного соотношения (1) Предложение 3. Для любых целых неотрицательных чисел $m$ и $n$ Следующая теорема играет существенную роль в редукции числа генераторов в следствии 2 и предложении 3. Доказательство приведено в приложении. Следующая теорема является основным результатом настоящей статьи. Доказательство. В силу предложения 3 и теоремы 4 алгебра $C_\xi^{(2)}$ содержится в алгебре Вычислим несколько первых генераторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau_\xi(P^{(1)}_1) &= \operatorname{tr} (\xi^2e), \\ \tau_\xi(P^{(1)}_2)+\tau_\xi(P^{(2)}_1) &= \operatorname{tr} (2\xi^2e^2+\xi e\xi e), \\ \tau_\xi(P^{(2)}_2) &= \operatorname{tr} (\xi^2e^3+\xi e\xi e^2), \\ \tau_\xi(P^{(2)}_3)+\tau_\xi(P^{(3)}_2) &= \operatorname{tr} (2\xi^2e^4+2\xi e\xi e^3+\xi e^2\xi e^2+\xi^2e^2), \\ \tau_\xi(P^{(3)}_3) &= \operatorname{tr} (\xi^2e^5+\xi e\xi e^4+\xi e^2\xi e^3+\xi^2e^3), \\ \tau_\xi(P^{(3)}_4)+\tau_\xi(P^{(4)}_3) &= \operatorname{tr} (2\xi^2e^6+2\xi e\xi e^5+2\xi e^2\xi e^4+\xi e^3\xi e^3+4\xi^2e^4+\xi e\xi e^3), \\ \tau_\xi(P^{(4)}_4) &= \operatorname{tr} (\xi^2e^7+\xi e\xi e^6+\xi e^2\xi e^5+\xi e^3\xi e^4+3\xi^2e^5+\xi e\xi e^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вместе с элементами $\bigl\{ \operatorname{tr} (\xi e^n)\colon n=1,2,\dots\bigr\}$ они образуют коммутативное семейство (см. теорему 3 и следствие 1).
Приложение. Доказательство теоремы 4Заметим, что соотношение (10) для $m+1$ влечет такое же соотношение для $m$ и, следовательно, эквивалентно соотношению
$$
\begin{equation}
\sigma(P_{2n})=\sum_{m=1}^n\biggl(\binom{2n-m}m+\binom{2n-m-1}{m-1}\biggr)P^{(m)}_m
\end{equation}
\tag{13}
$$
вместе с соотношением для первых столбцов
$$
\begin{equation}
\sigma \begin{pmatrix} 0 & P_{m+1}^{\mathrm T} \\ P_{m+2n+1} & 0 \end{pmatrix}^{\!i}_{\!1}= \sum_{k=0}^n\biggl(\binom{2n-k}k+\binom{2n-k-1}{k-1}\biggr)\bigl(P^{(m+k+1)}_{m+k+1}\bigr)^i_1.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Соотношение (13) эквивалентно комбинаторному тождеству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\binom{2n_1+n_2+2n_3+1}{2n_3}+\binom{n_2+2n_3}{2n_3}= \\ &\quad=\sum_{n_4=0}^{n_3}\biggl(\binom{n_1+n_2+n_3+n_4+1}{2n_4}+\binom{n_1+n_2+n_3+n_4}{2n_4}\biggr)\binom{n_1+n_3-n_4}{2(n_3-n_4)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это можно доказать, сравнив элемент с номером $(2n_1+n_2+2,n_2+1)$ в матрице $\sigma(P_{2n})$ и элемент с тем же номером в матрице
$$
\begin{equation*}
\sum_{m=1}^n\biggl(\binom{2n-m}{m}+\binom{2n-m-1}{m-1}\biggr)P^{(m)}_m,
\end{equation*}
\notag
$$
при $n=n_1+n_2+n_3+1$. Соотношение (14) эквивалентно полиномиальному соотношению
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^{(m+2n)}_{+}(x)+f^{(m)}_{+}(x)x^{2n}&= \sum_{i=1}^{m+2n+1}(P_{m+2n+1}+P^{(2n)}_{m+1})^i_1x^{i-1}= \\ &=\sum_{k=0}^n\biggl(\binom{2n-k}k+\binom{2n-k-1}{k-1}\biggr)\sum_{i=1}^{m+2k+1}(P^{(k)}_{m+k+1})^i_1x^{i-1}= \\ &=\sum_{k=0}^n\biggl(\binom{2n-k}k+\binom{2n-k-1}{k-1}\biggr)f^{(m+k)}_{+}(x)x^k. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичные аргументы применимы и к формуле (11). Мы получили следующее утверждение. Предложение 4. 1. Теорема 4 эквивалентна следующим условиям. Для любых неотрицательных целых чисел $n_1$, $n_2$, $n_3$
$$
\begin{equation}
\binom{2n_1+n_2+2n_3+1}{2n_3}+\binom{n_2+2n_3}{2n_3}= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad=\sum_{n_4=0}^{n_3}\biggl(\binom{n_1+n_2+n_3+n_4+1}{2n_4}+\binom{n_1+n_2+n_3+n_4}{2n_4}\biggr)\binom{n_1+n_3-n_4}{2(n_3-n_4)},
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
\binom{2n_1+n_2+2n_3+2}{2n_3}+\binom{n_2+2n_3}{2n_3}= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad =\sum_{n_4=0}^{n_3}\binom{n_1+n_2+n_3+n_4+1}{2n_4}\biggl(\binom{n_1+n_3-n_4+1}{2(n_3-n_4)}+\binom{n_1+n_3-n_4}{2(n_3-n_4)}\biggr);
\end{equation}
\tag{16}
$$
для любых неотрицательных целых чисел $m$ и $n$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^{(m+2n)}_{+}(x)+f^{(m)}_{+}(x)x^{2n}&=\sum_{k=0}^n\biggl(\binom{2n-k}k+\binom{2n-k-1}{k-1}\biggr)f^{(m+k)}_{+}(x)x^k, \\ f^{(m+2n+1)}_{+}(x)+f^{(m)}_{+}(x)x^{2n+1}&=\sum_{k=0}^n\binom{2n-k}k\bigl(f^{(m+k+1)}_{+}(x)x^k+f^{(m+k)}_{+}(x)x^{k+1}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
2. Соотношение (15) эквивалентно соотношению
$$
\begin{equation*}
\sigma(P_{2n})=\sum_{m=1}^n\biggl(\binom{2n-m}m+\binom{2n-m-1}{m-1}\biggr)P^{(m)}_m.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Соотношение (16) эквивалентно соотношению Доказательство теоремы 4. Мы проверили соответствующие условия в предложении 4 с помощью Mathematica:  $\unicode{0x25FC}$ Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ike24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|