| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) Подобие космологических моделей и его применение для анализа космологической эволюции Ю. Г. Игнатьев Институт физики Казанского (Приволжского) федерального университета, Казань, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 219, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924040123 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеМетоды теории подобия, как и методы размерностного анализа динамических систем [1], давно и успешно применяются в механике, гидро- и газодинамике [2], а также в астрофизике и космологии [3]. Эти методы позволяют распространять результаты исследований на другие модели и особенно ценны при исследовании сложных существенно нелинейных динамических систем, когда обязательным становится применение численных методов моделирования. Выявление законов подобия таких динамических систем позволяет распространять результаты численного интегрирования на модели с другими параметрами, тем самым предоставляя возможность комплексного численно-аналитического исследования класса моделей. Особенно эффективными методы теории подобия и размерностного анализа становятся при исследовании космологических моделей, основанных, в свою очередь, на различных теоретико-полевых моделях, содержащих зачастую не определенные на момент исследования фундаментальные константы и параметры. В работе [4] с использованием микроскопической динамики была сформулирована макроскопическая модель Вселенной, основанная на статистических системах фермионов со скалярными зарядами, классическим и фантомным, с потенциалом взаимодействия Хиггса1. В дальнейшем были сконструированы и исследованы различные варианты этой модели (см., например, [6]), а также они были исследованы на устойчивость по отношению к продольным плосковолновым гравитационным возмущениям (см., например, [7]). В этих работах была выявлена и исследована коротковолновая скалярно-гравитационная неустойчивость однородной космологической модели, принципиально отличающаяся от исследованных ранее гидродинамической и газовой гравитационной неустойчивостей. В этих же работах с помощью механизма скалярно-гравитационной неустойчивости была показана принципиальная возможность существования сверхмассивных черных дыр в ранней Вселенной. В работе [8] была исследована эволюция сферических гравитационных возмущений в среде скалярно заряженных фермионов с взаимодействием Хиггса, в частности эволюция локализованных возмущений без ограничения длины волны. Исследования скалярно-гравитационной устойчивости космологической среды вырожденных скалярно заряженных фермионов, в частности, выявило тесную связь между особыми точками вакуумно-полевой космологической модели и возникновением неустойчивых фаз в модели с заряженными фермионами. Эта выявленная связь делает необходимым проведение более детального качественного исследования динамических систем космологических моделей, основанных на статистических системах скалярно заряженных фермионов. Для исследования общих закономерностей для этих моделей стали необходимыми и методы теории подобия. Этим вопросам и посвящена настоящая статья. Заметим, что общее свойство подобия для самогравитирующих систем со скалярным взаимодействием Хиггса было сформулировано в работе [8]. Следует также отметить, что с конца 1990-х годов вплоть до настоящего времени многими исследователями изучаются космологические модели, основанные на скалярных и нелинейных фермионных (спинорных) полях (см., например, статьи [9]–[16] и цитированную в них литературу). 2. Космологическая система фермионов со скалярным взаимодействиемКратко сформулируем основные положения макроскопической теории2 для космологической модели, основанной на однокомпонентной вырожденной статистической системе скалярно заряженных фермионов и скалярном поле Хиггса $\Phi$. 2.1. Общие уравнения моделиФункция Лагранжа $L_s$ скалярного поля Хиггса есть3
$$
\begin{equation}
L_s=\frac{1}{16\pi}(g^{ik} \Phi_{,i} \Phi_{,k} -2V(\Phi)),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где
$$
\begin{equation}
V(\Phi)=-\frac{\alpha}{4} \biggl(\Phi^{2} -\frac{m_s^{2}}{\alpha}\biggr)^{\!2}
\end{equation}
\tag{2}
$$
– потенциальная энергия скалярного поля, $\alpha$ – константа самодействия, $m_s$ – масса квантов скалярного поля. Тензоры энергии-импульса скалярных полей относительно функции Лагранжа (1) и равновесной статистической системы равны
$$
\begin{equation}
S^i_{k} =\frac{1}{16\pi}\bigl(2\Phi^{,i}\Phi_{,k}- \delta^i_k\Phi_{,j} \Phi^{,j}+2V(\Phi)\delta^i_k \bigr),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $u^i$ – вектор скорости статистической системы, а $\varepsilon_p$, $p_p$ – плотность энергии и давление статистической системы. Уравнения Эйнштейна для системы “скалярное поле + частицы” имеют вид
$$
\begin{equation}
R^i_k-\frac{1}{2}\,\delta^i_k R=8\pi (T^i_k+S^i_k) + \delta^i_k \Lambda_0,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\Lambda_0$ – затравочное значение космологической постоянной, связанное с ее наблюдаемым значением $\Lambda$, получающимся при изъятии постоянного слагаемого в потенциальной энергии, соотношением Макроскопическими следствиями кинетической теории являются уравнения переноса [4], в том числе закон сохранения некоторого векторного тока, соответствующего микроскопическому закону сохранения некоторого фундаментального заряда а также законы сохранения энергии-импульса статистической системы где $\sigma$ – плотность скалярных зарядов по отношению к полю $\Phi$ [4]. Уравнения (8) эквивалентны уравнениям идеальной гидродинамики
$$
\begin{equation}
(\varepsilon_p+p_p)u^i_{,k}u^k=(g^{ik}-u^iu^k)(p_{p,k}+\sigma\Phi_{,k}),
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\nabla_k[(\varepsilon_p+p_p)u^k]=u^k(p_{p,k}+\sigma\Phi_{,k}),
\end{equation}
\tag{10}
$$
а законы сохранения фундаментального заряда (7) – уравнению где $\rho\equiv q n$ – кинематическая плотность скалярного заряда. Макроскопические скаляры для однокомпонентной статистической системы вырожденных фермионов принимают вид
$$
\begin{equation}
n=\frac{1}{\pi^2}\,\pi_\mathrm{F}^3,\qquad p_p=\frac{e^4\Phi^4}{24\pi^2}(F_2(\psi)-4F_1(\psi)),
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
\sigma=\frac{e^4 \Phi^3}{2\pi^2}\,F_1(\psi), \qquad \varepsilon_p=\frac{e^4 \Phi^4}{8\pi^2}\,F_2(\psi),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\pi_\mathrm{F}$ – импульс Ферми, $\sigma$ – плотность скалярных зарядов $e$, и введены функции $F_1(\psi)$ и $F_2(\psi)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F_1(\psi)&=\psi\,\sqrt{1+\psi^2}-\ln\bigl(\psi+\sqrt{1+\psi^2}\,\bigr),\\ F_2(\psi)&=\psi\,\sqrt{1+\psi^2}(1+2\psi^2)-\ln\bigl(\psi+\sqrt{1+\psi^2}\,\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом уравнение скалярного поля для системы скалярно заряженных вырожденных фермионов получается в качестве следствия уравнений переноса
$$
\begin{equation}
\Box \Phi + m_s^2\Phi-\alpha\Phi^3 =-8\pi\sigma\equiv-\frac{4e^4\Phi^3}{\pi}\, F_1(\psi).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Таким образом, полная система уравнений математической модели $\mathbf{M}$ системы скалярно заряженных фермионов состоит из уравнений Эйнштейна (5), уравнений гидродинамики (8) и уравнения скалярного поля (15) совместно с определениями источников: тензоров энергии-импульса скалярного поля (3), фермионной компоненты (4) и плотности скалярного заряда (13), а также плотности энергии фермионов (12) и их давления (13). Как видно из уравнений этой системы и определения ее коэффициентов, решения задачи Коши для этой системы уравнений при заданных фундаментальных параметрах полностью определяются соответствующими начальными условиями относительно метрических функций $g_{ik}(x^j)$, потенциала $\Phi(x^j)$, вектора скорости $\frac{}{}u^i(x^j)$ и импульса Ферми $\pi_\mathrm{F}(x^j)$. Эту полную систему уравнений совместно с определениями входящих в них функций, заданными начальными условиями на гиперповерхности Коши и заданным набором фундаментальных параметров $\mathbf{p}$ будем в дальнейшем называть математической моделью $\mathbf{M}$ самогравитирующей статистической системы вырожденных скалярно заряженных фермионов с взаимодействием Хиггса. 2.2. Свойство подобия математической моделиВ работе [8] доказано следующее свойство подобия рассматриваемой динамической системы. Утверждение 1. Полная система уравнений математической модели $\mathbf{M}$ инвариантна по отношению к одновременным масштабным преобразованиям фундаментальных параметров $\mathbf{P}$ (17), координат и импульса Ферми (18) математической модели Свойство подобия математической модели позволяет распространять решение с данным набором фундаментальных параметров на случай других значений фундаментальных параметров. Это практически важно при численном интегрировании уравнений модели в случае очень малых либо очень больших значений параметров и на больших интервалах изменения значений координат. При масштабных преобразованиях (17), (18) обе части уравнений (5), (8) и (15) умножаются на $k^2$, а введенные выше скаляры и тензоры изменяются по законам
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \psi=\tilde{\psi},\qquad \sigma= k^2\tilde{\sigma},\qquad V(\Phi)= k^2 \tilde{V}(\tilde{\Phi}),\notag\\ p_p= k^2 \tilde{p}_p,\qquad \varepsilon_p= k^2 \tilde{\varepsilon}_p,\qquad S^i_k= k^2 \tilde{S}^i_k,\qquad T^i_k= k^2 \tilde{T}^i_k. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
2.3. Уравнения космологической моделиВ случае пространственно плоской метрики Фридмана и однородного изотропного распределения материи $\Phi=\Phi(t)$, $\pi^{}_\mathrm{F}=\pi^{}_\mathrm{F}(t)$, $u^i=\delta^i_4$ тензор энергии-импульса скалярного поля принимает вид тензора энергии-импульса идеальной изотропной жидкости:
$$
\begin{equation}
S^{ik}=(\varepsilon_s +p_{s} )u^{i} u^{k} -p_s g^{ik} ,
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation}
\varepsilon_s=\frac{1}{8\pi}\biggl(\frac{\dot{\Phi}^2}{2}+V(\Phi)\biggr),\qquad p_{s}=\frac{1}{8\pi}\biggl(\frac{\dot{\Phi}^2}{2}-V(\Phi)\biggr).
\end{equation}
\tag{23}
$$
При этом материальные уравнения (8), (9) точно интегрируются [4]: в результате функция $\psi$ (14) определяется через функции $a(t)$ и $\Phi(t)$:
$$
\begin{equation}
\psi=\frac{\pi_0}{|e\Phi|}\,\mathrm{e}^{-\xi}, \qquad \pi_0=\pi^{}_\mathrm{F}(0),
\end{equation}
\tag{25}
$$
где мы положили здесь и в дальнейшем Таким образом, система уравнений (5), (7), (8) и (15) сводится к автономной динамической системе [4] ($H(t)$ – параметр Хаббла):
$$
\begin{equation}
\dot{\xi}=H\; (\equiv F_1),\qquad \dot{\Phi}=Z\;(\equiv F_3),
\end{equation}
\tag{27}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{H}=- \frac{Z^2}{2}-\frac{4}{3\pi}\,e_z^4\Phi^4\psi^3\,\sqrt{1+\psi^2}\;(\equiv F_2),
\end{equation}
\tag{28}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{Z}=-3HZ-m_s^2\Phi +\Phi^3\biggl(\alpha-\frac{4e^4}{\pi}\,F_1(\psi)\biggr)\;(\equiv F_4),
\end{equation}
\tag{29}
$$
а уравнение Эйнштейна для компоненты $^4_4$ становится первым интегралом этой системы:
$$
\begin{equation}
3H^2-\Lambda-\frac{Z^2}{2}-\frac{m_s^2\Phi^2}{2}+\frac{\alpha\Phi^4}{4}- \frac{e^4\Phi^4}{\pi}\,F_2(\psi)=0.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Уравнение (30) определяет некоторую трехмерную гиперповерхность $\mathbb{S}_3$ в четырехмерном арифметическом фазовом пространстве динамической системы
$$
\begin{equation}
\mathbb{S}_3\subset \mathbb{R}_4=\{\xi,H,\Phi,Z\}\equiv \{x_1,x_2,x_3,x_4\},
\end{equation}
\tag{31}
$$
на которой лежат все фазовые траектории динамической системы, т. е. конкретные космологические модели. В дальнейшем будем называть $\mathbb{S}_3$ гиперповерхностью Эйнштейна–Хиггса. Уравнение (30) определяет начальное значение параметра Хаббла $H(0)\equiv H_0$ при заданных начальных значениях остальных динамических переменных. Два симметричных решения для начального значения параметра Хаббла $H^\pm_0=\pm H_0$ соответствуют старту из состояния расширения ($+$) либо из состояния сжатия ($-$). Автономная система (27)–(29) инвариантна по отношению к временны́м трансляциям $t\to t+t_0$, что и позволяет выбрать в качестве начального условие (26) ($\xi_0=0$). Таким образом, при выборе знака начального значения параметра Хаббла остаются свободными только два начальных значения $\Phi_0$ и $Z_0$, которые будем также задавать упорядоченным списком
$$
\begin{equation}
\mathbf{I}=[\Phi_0,Z_0], \qquad \Phi_0=\Phi(0),\qquad Z_0=Z(0).
\end{equation}
\tag{32}
$$
С учетом точного интеграла (24) начальную величину импульса Ферми $\pi_0$ будем также полагать фундаментальным параметром космологической модели, задавая в дальнейшем фундаментальные параметры модели $\mathbf{M}$ упорядоченным списком [4]: 2.4. Подобие космологических моделейИтак, рассмотрим две космологические модели: $\mathbf{M}$ с фундаментальными параметрами $\mathbf{P}$ и начальными условиями $\mathbf{I}$ и подобную ей модель $\widetilde{\mathbf{M}}$ с фундаментальными параметрами $\widetilde{\mathbf{P}}$ и начальными условиями $\tilde{\mathbf{I}}$:
$$
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{I}}=\biggl[\Phi_0,\frac{1}{k}\,Z_0\biggl],
\end{equation}
\tag{34}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{P}}=\biggl[\biggl[\frac{\alpha}{k^2},\frac{m_s}{k},\frac{e}{\sqrt{k}},\frac{\pi_0}{\sqrt{k}}\biggr],\,\frac{\Lambda}{k^2}\biggr].
\end{equation}
\tag{35}
$$
Функции $f(t)=\tilde{f}(\tilde{t})$, инвариантные по отношению к преобразованию подобия (17), (18), преобразуются по правилам
$$
\begin{equation}
\tilde{f}(\tilde{t})=f\biggl(\frac{\tilde{t}}{k}\biggr).
\end{equation}
\tag{36}
$$
Пусть решения динамической системы (27)–(29), (30) для модели $\mathbf{M}$ (32), (33) задаются как Тогда решениями соответствующих уравнений для подобной модели $\widetilde{\mathbf{M}}$ (34), (35) будут
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{S}}(t)=[\tilde{\xi}(t),\widetilde{H}(t),\widetilde{\Phi}(t), \widetilde{Z}(t)]\equiv \biggl[\xi\biggl(\frac{t}{k}\biggl),\frac{1}{k}\,H\biggl(\frac{t}{k}\biggl), \Phi\biggl(\frac{t}{k}\biggl),\frac{1}{k}\,Z\biggl(\frac{t}{k}\biggl)\biggr].
\end{equation}
\tag{37}
$$
2.5. Преобразование матрицы динамической системы и ее собственных чиселВыясним, каким образом преобразуются при масштабных преобразованиях (17), (18) собственные числа матрицы динамической системы. Характеристическая матрица $\mathbf{A}$ динамической системы $\mathbf{M}$ (27)–(29) в точке $M$ (см., например, [17]) соответственно фазовым координатам (31) есть
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}(M)=\|A_i^k\|\equiv \biggl\|\frac{\partial F_i}{\partial x_k}\biggr\|= \begin{pmatrix} 0 & \hphantom{-}1 & 0 & \hphantom{-}0\vphantom{\Bigl\}} \\ \displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial \xi} & \hphantom{-}0 & \displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial \Phi} & -Z \vphantom{\Bigl\}}\\ 0 & \hphantom{-}0 & 0 & \hphantom{-}1\vphantom{\Bigl\}} \\ \displaystyle\frac{\partial F_4}{\partial \xi} & -3Z & \displaystyle\frac{\partial F_4}{\partial \Phi} & - 3H \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Согласно закону преобразования фундаментальных параметров (17), координат и импульса Ферми правые части динамической системы (27)–(29) подобной динамической системы $\widetilde{\mathbf{M}}$ получаются по следующим правилам:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{F}_1=\frac{1}{k}\,F_1,\qquad \widetilde{F}_2=\frac{1}{k^2}\,F_2,\qquad \widetilde{F}_3=\frac{1}{k}\,F_3,\qquad \widetilde{F}_4=\frac{1}{k^2}\,F_4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Таким образом, характеристическая матрица $\tilde{\mathbf{A}}$ образа $\widetilde{\mathbf{M}}$ динамической системы равна
$$
\begin{equation}
\tilde{\mathbf{A}}(\widetilde{M})=\|\tilde{A}_i^k \|\equiv \biggl\|\displaystyle\frac{\partial \widetilde{F}_i}{\partial \tilde{x}_k}\biggr\|= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \vphantom{\Bigl\}} \\ \displaystyle\frac{1}{k^2}\,\displaystyle\,\frac{\partial F_2}{\partial \xi} & 0 & \displaystyle\frac{1}{k^2}\,\displaystyle\,\frac{\partial F_2}{\partial \Phi} & -\displaystyle\frac{1}{k}\,Z \vphantom{\Bigl\}}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \vphantom{\Bigl\}}\\ \displaystyle\frac{1}{k^2}\displaystyle\,\frac{\partial F_4}{\partial \xi} & -\displaystyle\frac{3}{k}\,Z & \displaystyle\frac{1}{k^2}\displaystyle\,\frac{\partial F_4}{\partial \Phi} & -\displaystyle\frac{3}{k}\,H \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Из сравнения (38) и (40) видно, что характеристическая матрица $\tilde{\mathbf{A}}$ образа $\widetilde{\mathbf{M}}$ динамической системы $\mathbf{M}$ не подобна матрице $\mathbf{A}$, что может подтолкнуть нас к неверному выводу. Надо иметь в виду, что эта матрица не является самостоятельным объектом, а связана именно с характеристическим уравнением качественной теории динамических систем:
$$
\begin{equation}
\mathbf{A}\cdot \mathbf{X}=\lambda \mathbf{X},\qquad \mathbf{X}=\begin{pmatrix} \xi \\ H\\ \Phi\\ Z \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $\lambda$ – собственные числа, а $X$ – матрица-столбец фазовых координат точки динамической системы. Соответствующие уравнения для образа $\widetilde{\mathbf{M}}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde{\mathbf{A}}\cdot \widetilde{\mathbf{X}}=\tilde{\lambda} \widetilde{\mathbf{X}},\qquad \widetilde{\mathbf{X}}=\begin{pmatrix} \xi\vphantom{\Bigl\}} \\ \displaystyle\frac{H}{k} \vphantom{\Bigl\}}\\ \Phi \vphantom{\Bigl\}} \\ \displaystyle\frac{Z}{k} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Умножая согласно (41) матрицы $\mathbf{A}$ (38) и $\mathbf{X}$ и согласно (42) матрицы $\tilde{\mathbf{A}}$ (40) и $\widetilde{\mathbf{X}}$, легко увидеть, что полученные в итоге системы линейных однородных алгебраических уравнений относительно фазовых координат становятся эквивалентными тогда и только тогда, когда собственные числа $\lambda$ и $\tilde{\lambda}$ связаны соотношением $\tilde{\lambda}=\lambda/k$. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение 2. При масштабных преобразованиях (17), (18) собственные числа характеристической матрицы динамической системы (27)–(29) преобразуются по закону При этом координаты особых точек преобразуются так же, как и произвольные координаты фазовой траектории динамической системы, т. е. по закону (42) (или, что эквивалентно, по закону (37)). Вследствие пропорциональности собственных значений подобных моделей характер особых точек является инвариантным свойством подобия. 2.6. Вакуумно-полевая космологическая модельПереход к вакуумно-полевой космологической модели, в которой отсутствует скалярно заряженная материя, осуществляется подстановкой $e=0$ в системе уравнений (28)–(30). В результате получим систему уравнений
$$
\begin{equation}
\dot{\xi}=H\; (\equiv F_1),\qquad \dot{\Phi}=Z\; (\equiv F_3),
\end{equation}
\tag{44}
$$
$$
\begin{equation}
3H^2-\Lambda-\frac{Z^2}{2}-\frac{m_s^2\Phi^2}{2}+\frac{\alpha\Phi^4}{4}=0.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Эта динамическая система является частным случаем общей системы (27)–(29), поэтому она наследует все рассмотренные выше свойства подобия. С другой стороны, как показали исследования [4], [6], [7], космологическая система скалярно заряженных частиц наследует особенности поведения вакуумно-полевых космологических моделей, что означает важность изучения их глобальных свойств. Однако эта динамическая система имеет и принципиальное отличие от рассмотренной выше динамической системы (27)–(29) – все функции $F_i$ этой системы не зависят от масштабной функции $\xi(t)$. В результате этого динамическая система (44)–(46) сводится к автономной подсистеме в трехмерном фазовом пространстве $R_3=\{H,\Phi,Z\}$. Сокращение размерности фазового пространства, в свою очередь, приводит к снятию условий на параметр Хаббла подсистемой динамических уравнений. В результате параметр Хаббла в особых точках определяется из уравнения Эйнштейна (47). Продемонстрируем вышесказанное на анализе особых точек однополевой модели (44)–(47). Особые точки модели определяются равенством нулю правых частей динамических уравнений, т. е. их фазовые координаты определяются системой уравнений Для системы (44)–(46) уравнения (48) и их решения принимают вид
$$
\begin{equation}
-m_s^2\Phi+\alpha\Phi^3=0\quad\Rightarrow\quad \Phi_0=0,\qquad \Phi_\pm=\pm\frac{m}{\sqrt{\alpha}}.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Подстановка этих решений в первый интеграл (47) приводит к условиям на значение космологической постоянной:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \Phi&=\Phi_0&\quad&\Rightarrow &\quad \Lambda&=0,\\ \Phi&=\Phi_\pm &\quad&\Rightarrow &\quad\Lambda_0&=0,\\ \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{51}
$$
где $\Lambda_0$ – затравочное значение космологической постоянной, $\Lambda$ – ее наблюдаемое значение (см. (6)). Далее, поскольку $H=0$, мы должны сделать вывод о том, что $\xi=\mathrm{const}=0$. Следовательно, Вселенная в особой точке является евклидовой, а суммарная плотность энергии равна нулю. Однако, если мы будем использовать автономную подсистему динамической системы (44)–(46), исключая из нее первое уравнение (44), мы не получим из этой подсистемы никакого условия на параметр Хаббла, который найдем из (47), подставляя в это уравнение значения $Z=0$ из (49) и $\Phi$ из (50). Таким образом, получим правильные результаты для характеристик особых точек (см., например, [6], [18]). Приведенный пример указывает на то обстоятельство, что не любые динамические функции могут являться достаточно хорошими для качественного анализа динамической системы, в некоторых случаях их неудачный выбор может привести к вырождению системы. 3. Модифицированная система динамических уравнений3.1. Преобразование динамической системы к невырожденной формеЧтобы избавиться от указанного недостатка, преобразуем динамическую систему (28)–(30) к новым переменным, замечая, что правые части этих уравнений зависят от $\xi(t)$ лишь посредством функции $\psi(t)$, и выражая масштабно инвариантную функцию $\xi(t)$ из соотношения (25) через пару других масштабно инвариантных функций: Таким образом, получим вместо (28)–(30) новую систему уравнений (формально изменяется лишь первое уравнение системы)
$$
\begin{equation}
\dot{\psi}=\psi\biggl(H-\frac{Z}{\Phi}\biggr)\; (\equiv G_1),\qquad \dot{\Phi}=Z\;(\equiv G_3),
\end{equation}
\tag{53}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{H}=- \frac{Z^2}{2}-\frac{4}{3\pi}e_z^4\Phi^4\psi^3\sqrt{1+\psi^2}\;\,(\equiv G_2),
\end{equation}
\tag{54}
$$
$$
\begin{equation}
\dot{Z}=-3HZ-m_s^2\Phi +\Phi^3\biggl(\alpha-\frac{4e^4}{\pi}F_1(\psi)\biggr)\;(\equiv G_4),
\end{equation}
\tag{55}
$$
при этом первый интеграл системы (30) не изменяется. 3.2. Особые точки модифицированной системыНайдем теперь координаты особых точек. В этом случае уравнение $G_1=0$ имеет два решения: $Z=H\Phi$ и $\psi=0$. Нетрудно видеть, что первое решение возвращает нас в конце концов к прежней ситуации ($H=0$). Обратимся поэтому ко второму решению. С учетом $Z=0$ это решение обращает в тождество уравнение $G_2=0$. Учитывая, что согласно (15) $F_1(0)=0$, получим из (55) решения для координаты особой точки, совпадающие с решениями для однополевой вакуумной модели (50). Таким образом, динамические уравнения (53)–(55) не налагают никаких ограничений на $H(t)$. Эту величину, как и в случае вакуумно-полевой модели, мы получим из первого интеграла (30) с учетом $F_2(0)=0$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} H_0^\pm&=\pm\sqrt{\frac{\Lambda}{3}}\,, &\qquad \Phi&=\Phi_0,\\ H_\pm&=\pm\sqrt{\frac{\Lambda_0}{3}}\,, &\qquad \Phi&=\Phi_\pm. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Выпишем координаты всех шести особых точек системы (знаки принимают независимые значения):
$$
\begin{equation}
M^\pm_0 =\biggl[0,\pm\sqrt{\frac{\Lambda}{3}},0,0\biggr],
\end{equation}
\tag{57}
$$
$$
\begin{equation}
M^\pm_\pm =\biggl[0,\pm\sqrt{\frac{\Lambda_0}{3}},\pm\frac{m_s}{\sqrt{\alpha}},0\biggr].
\end{equation}
\tag{58}
$$
Заметим, во-первых, что координаты особых точек $[H,\Phi,Z]$ для динамической системы (53)–(55) с интегральным условием (30) совпадают с координатами особых точек вакуумно-полевой модели для скалярного синглета (см. [18]), что объясняет замеченные ранее особенности поведения космологической модели с заряженными фермионами вблизи особых точек вакуумно-полевой модели. Во-вторых, эти точки соответствуют нулевому значению функции $\psi(t)$, $\xi\to+\infty$, т. е. поздним стадиям космологической эволюции, на которых роль вещества ничтожно мала. В-третьих, заметим, что все законы подобия вместе с законами масштабного преобразования собственных чисел сохраняются и для модернизированной динамической системы. 3.3. Характеристическая матрица и собственные числа невырожденной динамической системыВводя упорядоченный набор новых фазовых координат $[\psi,H,\Phi,Z]$, запишем матрицу динамической системы (53)–(55) в особых точках
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, M_0=[0,H,\Phi,0]\quad \Rightarrow\quad \mathbf{Y}=\begin{pmatrix} 0 \\ H \\ \Phi \\ 0\\ \end{pmatrix}, \notag \\ \mathbf{B}(M_0)=\|B_i^k \|\equiv \biggl\|\frac{\partial G_i}{\partial y_k}\biggr\|= \begin{pmatrix} H & 0 & 0 & \hphantom{-} 0 \\ 0 & 0 & 0 & \hphantom{-}0 \\ 0 & 0 & 0 & \hphantom{-}1 \\ 0 & 0 & -m_s^2+3\alpha\Phi^2 & -3H \\ \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{59}
$$
куда необходимо подставить значения $\Phi$ и $H$ из (50) и (56). Собственные значения матрицы (59) равны
$$
\begin{equation*}
\lambda_1=0,\qquad \lambda_2=H,\qquad \lambda_{3,4}=-\frac{3}{2}\,H\pm \frac{3}{2}\,\sqrt{H^2+\frac{4}{9}(3\alpha\Phi^2-m_s^2)}\,\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя сюда значения $\Phi$ и $H$ из (50) и (56), найдем окончательно собственные значения матрицы (59) в особых точках:
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}^\pm_0 \colon \begin{cases} \lambda_2=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{\Lambda}{3}}\,, \vphantom{\biggl\}}\\ \lambda_{3,4}= \mp\displaystyle\frac{1}{2}\,\sqrt{3\Lambda} \pm \frac{1}{2}\sqrt{3\Lambda-4m^2_s}\,,\vphantom{\biggl\}}\\ \end{cases}
\end{equation}
\tag{60}
$$
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}^\pm_\pm \colon \begin{cases} \lambda_2= \pm\sqrt{\displaystyle\frac{\Lambda_0}{3}}\vphantom{\biggl\}}\,,\\ \lambda_{3,4}= \mp\displaystyle\frac{1}{2}\,\sqrt{3\Lambda_0} \pm \displaystyle\frac{1}{2}\,\sqrt{3\Lambda_0+8m^2_s}\,. \vphantom{\biggl\}} \end{cases}
\end{equation}
\tag{61}
$$
Заметим, что выражения для собственных чисел (60), (61), как и выражения для координат особых точек (50) и (56), согласно закону преобразования фундаментальных параметров (17) лишний раз подтверждают справедливость утверждения 2. Утверждение 3. Координаты собственных точек динамической системы космологической модели $\mathbf{M}$ при $H\not\equiv 0$ в подпространстве $\mathbb{R}_3\equiv\{H,\Phi,Z\}\subset \mathbb{R}_4$, как и собственные значения характеристической матрицы, совпадают с координатами собственных точек и собственными значениями характеристической матрицы вакуумно-полевой космологической модели. Заметим, что в работах [4], [6] не были выявлены эти особые точки в связи с выбором динамических переменных $[\xi,H,\Phi,Z]$, приводящим к вырожденной характеристической матрице динамической системы. В этих работах были выявлены и исследованы особые точки лишь одной ветви решений уравнения $G_1=0$ из п. 3.2, соответствующие бесконечному будущему Вселенной ($\xi\to+\infty$, $H\to0$). Заметим также, что найденная здесь ветвь решений соответствует $\psi\to0$, т. е. формально также соответствует случаю $\xi\to+\infty$, однако при этом модель остается в режиме инфляции, т. е. доминирования скалярного поля над частицами. 4. Примеры численного моделирования динамической системыИтак, согласно утверждениям 1 и 3 координаты особых точек (57), (58) исследуемой динамической системы при преобразовании подобия $\mathcal{S}_k$ преобразуются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widetilde{M}^\pm_0 =\biggl[0,\pm\frac{1}{k}\,\sqrt{\frac{\Lambda}{3}},0,0\biggr],
\end{equation}
\tag{62}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{M}^\pm_\pm =\biggl[0,\pm\frac{1}{k}\,\sqrt{\frac{\Lambda_0}{3}},\pm\frac{m_s}{\sqrt{\alpha}},0\biggr].
\end{equation}
\tag{63}
$$
4.1. Стандартный примерРассмотрим пример численного моделирования двух подобных систем $\mathbf{M}$ и $ \widetilde{\mathbf{M}} =\mathcal{S}_k(\mathbf{M})$ с коэффициентом подобия $k=10^{4}$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}: \mathbf{P} =[\,[1,1,1,0.1],3\cdot 10^{-3}], \qquad \mathbf{I} =[1,0,1],
\end{equation}
\tag{64}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}} : \widetilde{\mathbf{P}} =[\,[10^{-8},10^{-4},10^{-2},10^{-3}],3\cdot 10^{-11}], \qquad \tilde{\mathbf{I}} =[1,0,1].
\end{equation}
\tag{65}
$$
Собственные точки этих моделей в подпространствах $\mathbb{S}_3=\{H,\Phi,Z\}$ и $\widetilde{\mathbb{S}}_3=\{\widetilde{H},\Phi,\widetilde{Z}\}$ имеют следующие координаты (для простоты мы вывели приближенные значения):
$$
\begin{equation}
\mathbf{M} \colon \begin{cases} M_0= [3.16\cdot10^{-2}, 0, 0],\\ M_\pm= [2.90\cdot 10^{-1}, 1,0],\\ \end{cases}
\end{equation}
\tag{66}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}} \colon \begin{cases} \widetilde{M}_0= [3.16\cdot10^{-6}, 0, 0],\\ \widetilde{M}_\pm= [2.90\cdot 10^{-5}, 1, 0]. \end{cases}
\end{equation}
\tag{67}
$$
Как нетрудно видеть, координаты особых точек преобразуются в точном соответствии с законами подобия (37) с коэффициентом подобия $k=10^{4}$. Нетрудно вычислить собственные значения характеристической матрицы в этих точках (знаки принимают независимые значения):
$$
\begin{equation}
\mathbf{M} \colon \begin{cases} k_0= \mp 0.0474\mp i,\\ k_\pm= \mp 1.915 \pm 1.044, \\ \end{cases}
\end{equation}
\tag{68}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}} \colon \begin{cases} \tilde{k}_0= \mp 4.74\cdot10^{-6}\mp i\cdot10^{-4},\\ \tilde{k}_\pm= \mp 1.915\cdot10^{-4} \pm 1.044\cdot10^{-4}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{69}
$$
Собственные числа характеристических матриц двух подобных динамических космологических систем также преобразуются в точном соответствии с законом подобия (43) с коэффициентом подобия $k=10^{4}$. Таким образом, в рассмотренном примере точки $M_0$ и $\widetilde{M}_0$ являются притягивающими фокусами, а точки $M_\pm$ и $\widetilde{M}_\pm$ – седловыми либо узловыми. На рис. 1 показаны проекции поверхности Эйнштейна–Хиггса двух моделей на гиперплоскости $\xi=\tilde{\xi}=0.1$ $S_3=[H,\Phi,Z,]$, а на рис. 2 – проекции в гиперплоскостях $Z=0.1$ и $\widetilde{Z}=10^{-5}$ фазового пространства динамической системы. Как нетрудно увидеть из этих рисунков, графики поверхностей Эйнштейна двух подобных моделей также подобны во всех проекциях – шкалы по осям $OH$ и $OZ$ у подобной модели сжимаются в $10^4$ раз, шкалы по осям $O\xi$ и $O\Phi$ сохраняются. Заметим также, что согласно законам подобия (37) преобразуется также и уравнение секущей гиперплоскости $Z=\mathrm{const}$.  Рис. 1.Проекции гиперповерхности Эйнштейна–Хиггса моделей $\mathbf{M}$ (64) (а) и $ \widetilde{\mathbf{M}} $ (65) (б) на гиперплоскость $\xi=0.1$.  Рис. 2.Проекции гиперповерхности Эйнштейна–Хиггса модели $\mathbf{M}$ (64) на гиперплоскость $Z=0.1$ (а) и модели $ \widetilde{\mathbf{M}} $ (65) на гиперплоскость $\widetilde{Z}=10^{-5}$ (б). На рис. 3 представлены графики эволюции масштабных функций $\xi(t)$ и $H(t)$ в моделях $\mathbf{M}$ и $ \widetilde{\mathbf{M}} $, а на рис. 4 – фазовые диаграммы соответствующих моделей. Видно, что все соответствующие пары графиков подобны с коэффициентом подобия $k=10^{4}$ в соответствии с законами подобия (37). На рис. 3, в частности, можно наблюдать строгое масштабирование временной шкалы: $\tilde{t}=10^4 t$.  Рис. 3.Эволюции масштабных функций $\xi(t)$ (штриховые линии) и $H(t)$ (сплошные линии) в моделях $\mathbf{M}$ (64) (а) и $ \widetilde{\mathbf{M}} $ (65) (б).  Рис. 4.Фазовые диаграммы моделей $\mathbf{M}$ (64) (а) и $ \widetilde{\mathbf{M}} $ (65) (б) в плоскости $\{\Phi,Z\}$. Таким образом, результаты численного моделирования строго и наглядно подтверждают все сформулированные выше свойства подобия (утверждения 1–3) для подобных моделей $\mathbf{M}$ (64) и $ \widetilde{\mathbf{M}} $ (65). 4.2. Возможное нарушение симметрии подобия вблизи седловых особых точекНесмотря на то что результаты численного моделирования, приведенные выше для стандартного примера, обнаруживают строгое выполнение сформулированных свойств подобия (утверждения 1–3), возможны случаи нарушения симметрии подобия космологических моделей при построении численных моделей. Эти случаи могут иметь место при весьма малых значениях скалярного заряда $e$, если при этом фазовая траектория модели проходит через неустойчивую особую точку динамической системы. Рассмотрим такой пример:
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}_\mathbf{1}: \mathbf{P} =[\,[1,1,10^{-7},0.1],3\cdot10^{-3}], \qquad \mathbf{I} =[1,0,1],
\end{equation}
\tag{70}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1}: \widetilde{\mathbf{P}} =[\,[10^{-8},10^{-4},10^{-9},10^{-3}],3\cdot 10^{-11}], \qquad \tilde{\mathbf{I}} =[1,0,1].
\end{equation}
\tag{71}
$$
Заметим, что в этом случае координаты особых точек совпадают с координатами особых точек рассмотренных выше моделей (66) и (67), так как параметры $e$ и $\pi_0$ не влияют на эти координаты, как и на характер точек. Заметим также, что начальные условия $\Phi_0,Z_0$ в рассмотренном выше примере, как и в данном случае, совпадают с координатами особых неустойчивых точек $M_\pm$ и $\widetilde{M}_\pm$. Но в данном случае скалярный заряд мы уменьшили в $10^7$ раз. На рис. 5 представлены графики эволюции масштабных функций $\xi(t)$ и $H(t)$ в моделях $\mathbf{M}_\mathbf{1}$ и $ \widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1}$.  Рис. 5.Эволюции масштабных функций $\xi(t)$ (штриховые линии) и $H(t)$ (сплошные линии) в моделях $\mathbf{M}_\mathbf{1}$ (70) (а) и $ \widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1}$ (71) (б). Эти рисунки, несмотря на внешнюю похожесть, демонстрируют, однако, нарушение симметрии подобия. Действительно, коэффициент подобия у этих моделей составляет $k=10^4$. Поэтому согласно рис. 5а значение $\xi=70$ должно достигаться в модели $ \widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1}$ в момент времени $t\approx 2.4\cdot 10^6$, но из рис. 5б видно, что это значение достигается при $t\approx 2\cdot 10^7$, т. е. на порядок позже. При этом значение параметра Хаббла согласно рис. 5а в модели $ \widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1}$ должно быть порядка $H\approx 3\cdot10^{-5}$, но из рис. 5б мы находим значение $H\approx 3\cdot10^{-6}$, т. е. на порядок меньше. Чтобы разобраться в ситуации, приведем фазовые диаграммы моделей в плоскости $\{\Phi,Z\}$ (рис. 6).  Рис. 6.Фазовые диаграммы моделей $\mathbf{M}_\mathbf{1}$ (70) (а) и $ \widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1}$ (71) (б) в плоскости $\{\Phi,Z\}$. Комментируя график на рис. 6а, заметим, что фактически с учетом точности вычислений этот график представляет одну точку на плоскости $\{\Phi,Z\}$: $\Phi=1$, $Z=0$, т. е. описывает “залипание” траектории в особой точке. Чтобы продемонстрировать факт влияния именно особой точки на фазовые траектории, рассмотрим пример с близкими к этой точке начальными условиями, заменяя начальное значение $\Phi_0=1$ на близкое к нему $\Phi_0=0.999$:
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}_\mathbf{1a}: \mathbf{P} =[\,[1,1,10^{-7},0.1],3\cdot10^{-3}], \quad \mathbf{I} =[0.999,0,1],
\end{equation}
\tag{72}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1a}: \widetilde{\mathbf{P}} =[\,[10^{-8},10^{-4},10^{-9},10^{-3}\bigr],3\cdot 10^{-11}], \quad \tilde{\mathbf{I}} =[0.999,0,1].
\end{equation}
\tag{73}
$$
На рис. 7, 8 представлены графики эволюции масштабных функций $\xi(t)$ и $H(t)$ и фазовые диаграммы в плоскости $\{\Phi,Z\}$ модели $\mathbf{M}_\mathbf{1a}$. Графики модели $ \widetilde{\mathbf{M}} _\mathbf{1a}$ в этом случае не отличаются от соответствующих графиков на рис. 5б, 6б. Таким образом, можно убедиться в восстановлении симметрии подобия при незначительном смещении начальных условий от координат особой точки. Тем не менее рассмотренный случай показывает, что вблизи особых точек преобразование подобия необходимо применять с осторожностью.  Рис. 7.Эволюция масштабных функций $\xi(t)$ (штриховая линия) и $H(t)$ (сплошная линия) в модели $\mathbf{M}_\mathbf{{1a}}$ (72). 5. ЗаключениеВ заключение заметим, во-первых, что реалистическим космологическим моделям должны соответствовать физически реализуемые значения фундаментальных параметров, соответствующих масштабам полевых моделей типа $SU(5)$:
$$
\begin{equation}
SU(5)\colon\quad \alpha\lesssim10^{-8},\qquad m\lesssim10^{-4},\qquad e\lesssim10^{-2},
\end{equation}
\tag{74}
$$
либо стандартной модели $SM$:
$$
\begin{equation}
SM\colon\quad \alpha\lesssim10^{-30},\qquad m\lesssim10^{-15},\qquad e\lesssim10^{-9}.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Но при таких малых значениях фундаментальных параметров чисто технические трудности численного интегрирования нелинейной системы динамических уравнений позволяют распространить вычисления лишь до значений времени порядка $t\lesssim 10^4$ (см., например, [4]). Однако, совершая масштабное преобразование с коэффициентом подобия порядка $k=10^4$, мы перейдем к космологической модели $\mathbf{M}$ с параметрами $\alpha=m=e=1$, которая уже поддается численному моделированию до значительно бо́льших значений времени $t\sim 10^8$. Используя результаты интегрирования модели $\mathbf{M}$ по правилам масштабного преобразования, мы тем самым распространим результаты для исходной модели $\widetilde{\mathbf{M}}$ до времен порядка $t\gtrsim 10^8$. Аналогично в случае стандартной модели мы должны выбрать коэффициент $k=10^{15}$, тогда получим $t\sim 10^{19}$ (см. [19]). Заметим, что применение преобразования подобия к теории образования ранних зародышей сверхмассивных черных дыр [19] приводит к временам образования этих объектов $t\sim 10^{13}$ для $SU(5)$ модели и $t\sim10^{23}$ для $SM$. Обе эти величины с запасом укладываются в наблюдаемый допустимый временной интервал. Во-вторых, физически важным обстоятельством является и то, что при переходе от изучаемой космологической модели $\mathbf{M}$ к подобной космологической модели $\widetilde{\mathbf{M}}$ с коэффициентом подобия $k\sim 10^4\div10^5$ мы в такое же число раз растягиваем временной интервал космологической эволюции, переходя к временам $kt\gg t_\mathrm{Pl}$, при которых не требуется квантово-полевое рассмотрение космологической модели, а достаточно ее классического описания. Совершая обратный переход от классической модели $\widetilde{\mathbf{M}}$ к подобной ей модели $\mathbf{M}$ с коэффициентом подобия $k^{-1}$, мы получим классическую модель и на временах, сравнимых с планковскими. Эта модель, однако, ни в коей мере не претендует на какое-либо физическое значение. Она служит лишь удобной вычислительной моделью, подобной исследуемой классической космологической модели при больших временах эволюции $t\gg t_\mathrm{Pl}$. В-третьих, явная зависимость решений (37) динамической системы уравнений, описывающих космологическую модель, от коэффициента подобия позволяет аналитически продолжать полученные численные решения на подобные модели и подобные временны́е интервалы, что значительно расширяет возможности анализа численных моделей. Вместе с тем распространяются и результаты качественного анализа, описывающие глобальные свойства динамических моделей. Наконец, в-четвертых, очевидно, что установленные законы подобия динамических систем можно с успехом применять и для других космологических моделей со скалярными полями, в частности для рассмотренных ранее космологических моделей, основанных на скалярных мультиполях, асимметричном скалярном дублете [18] или многополевой модели с экспоненциальным потенциалом взаимодействия [20], что является немаловажным обстоятельством. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ign24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|