| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Модуляционная теория Уизема и задача о разрушении плотины для периодических решений дефокусирующего уравнения Хироты Синь-Юэ Ли, Цянь Бай, Цю-Лань Чжао College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924030036 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеОдним из наиболее важных интегрируемых уравнений является нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). Это уравнение, изначально выведенное в нелинейной оптике, тесно связано со многими нелинейными задачами теоретической физики, такими как физика плазмы [1], бозе-эйнштейновская конденсация [2] и нелинейная квантовая теория поля [3]. Однако НУШ содержит только дисперсионный член низшего порядка и нелинейный член. Для описания некоторых необычных явлений, которые не объясняются НУШ, в 1973 г. было введено НУШ более высокого порядка, называемое уравнением Хироты [4]:
$$
\begin{equation}
iq_t+{\alpha}q_{xx}+i\epsilon q_{xxx}+3i\gamma|q|^2q_x+\delta|q|^2q=0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $q(x,t)$ – скалярная функция, $\alpha$, $\epsilon$, $\gamma$ и $\delta$ – вещественные постоянные, удовлетворяющие условию $\alpha\gamma=\epsilon\delta$. Если $\delta=-2\alpha$ и $\gamma=-2\epsilon$, то (1.1) можно переписать как уравнение [5]
$$
\begin{equation}
iq_t+{\alpha}(q_{xx}-2|q|^2q)+i\epsilon(q_{xxx}-6|q|^2q_x)=0,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
которое представляет собой комбинацию НУШ и комплексного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза (мКдФ). При $\alpha\neq 0$, $\epsilon=0$ уравнение (1.2) сводится к НУШ, а при $\alpha=0$, $\epsilon\neq 0$ – к комплексному уравнению мКдФ. В последние несколько десятилетий были проведены обширные исследования уравнения Хироты. В изначальной работе [4] Хирота получил для этого уравнения $N$-солитонные решения типа солитонов огибающей, используя билинейный метод. Впоследствии в работе [6] были исследованы решения типа волны-убийцы и рациональные решения. В работе [7] путем применения метода обратной задачи рассеяния была получена явная формула для солитонных решений, включающая $N$-солитонные решения, бризеры и солитонные решения со многими полюсами. Кроме того, были проанализированы асимптотика и рассеяние вырожденных мультисолитонов [8], а также обсуждались комплексные гамильтоновы системы и квазипериодические решения [9]. Периодические решения уравнения Хироты исследовались различными методами, такими как метод разложения по эллиптическим функциям Якоби и преобразование Дарбу [10]–[12]. В связи с важными практическими применениями уравнения Хироты в физике оптических волокон в настоящей работе мы продолжим обсуждение периодических решений уравнения Хироты, используя метод конечнозонного интегрирования [13], [14], имея целью более широко представить физические эффекты, связанные с этим уравнением. Наряду с этим заслуживают внимания решения при ступенчатых начальных данных. Известно, что для дальнейшего исследования периодических решений, полученных с помощью метода конечнозонного интегрирования [15], [16], можно использовать модуляционную теорию Уизема, которая является эффективным инструментом при решении задач Коши со ступенчатыми начальными данными. Модуляционная теория, выдвинутая Уиземом в 1965 г., – это метод, основанный на усреднении дисперсионных гидродинамических законов сохранения для пакетов нелинейных периодических волн, в результате чего получается система квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка [17], [18]. Также модуляционная теория Уизема является эффективным методом анализа эволюции волн разрежения и дисперсионных ударных волн (ДУВ), описывающихся нелинейными уравнениями со ступенчатыми начальными данными [19], [20]. Наиболее важный шаг – вывод уравнений Уизема, описывающих медленную эволюцию параметров пакетов нелинейных периодических волн. Впервые эта теория была применена к уравнению КдФ Гуревичем и Питаевским [21], которые описали эволюционное поведение ДУВ, используя автомодельные решения уравнений Уизема. С тех пор модуляционная теория широко применяется в многочисленных работах. В настоящей статье основное внимание уделено периодическим решениям, уравнениям Уизема, а также решениям типа волны разрежения и ДУВ при ступенчатых начальных данных для уравнения (1.2) с $\alpha=-1$ и $\epsilon=-\varepsilon$, т. е. дефокусирующего уравнения Хироты
$$
\begin{equation}
iq_t-q_{xx}+2|q|^2q-i\varepsilon(q_{xxx}-6|q|^2q_x)=0,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $\varepsilon$ – вещественный параметр, задающий интенсивность диссипации и нелинейных эффектов высшего порядка. Уравнение (1.3) отличается от дефокусирующего комплексного уравнения мКдФ, в котором параметр задает только дисперсию и очень мал; это уравнение было исследовано в работе [22]. В нашем случае параметр $\varepsilon$ в уравнении (1.3) может быть любым. Результаты при малом $\varepsilon$ аналогичны результатам для дефокусирующего НУШ, исследованного в [23], поэтому в настоящей статье мы не считаем, что параметр $\varepsilon$ является малым числом. При рассмотрении бездисперсионного предела игнорируется только дисперсионный член, а нелинейный член высшего порядка сохраняется, поэтому полученные уравнения Уизема для уравнения (1.3) содержат параметр $\varepsilon$, что отличает наш случай от упомянутых выше уравнений Уизема для НУШ и уравнения мКдФ без параметра. Мы обсуждаем решения уравнений Уизема при ступенчатых начальных данных, получающиеся при различных значениях римановых инвариантов и параметра $\varepsilon$. Мы находим римановы инварианты в случае, когда все характеристические скорости в уравнениях Уизема рода ноль равны нулю, и анализируем влияние на результат параметра $\varepsilon$. Периодические решения и уравнения Уизема для уравнения Лакшманана–Порсезиана–Дэниеля были изучены в работе [24], в нашей статье мы дополнительно исследуем решения уравнений Уизема типа волны разрежения и ДУВ для уравнения (1.3) со ступенчатыми начальными данными. Полученные нами решения представляют собой некоторые новые волновые структуры по сравнению с возможными волновыми структурами для НУШ, приведенными в [23], [25], поскольку уравнения Уизема для уравнения (1.3) являются не строго гиперболическими, а слабо гиперболическими. Эволюция римановых инвариантов в этих волновых структурах, являющихся решениями уравнения (1.3), аналогична эволюции в случае дефокусирующего комплексного уравнения мКдФ [20], [22], но, в отличие от этого уравнения, для уравнения (1.3) возможно изменение направления скорости волновых структур при разном выборе ступенчатых исходных данных. В завершение работы, опираясь на исследования задачи о разрушении плотины для НУШ [26], мы обсуждаем аналогичную задачу для уравнения (1.3). Задача Коши для уравнения (1.3) может быть решена с помощью метода обратной задачи рассеяния, поэтому оно вполне интегрируемо [27]. Пара Лакса [28] для уравнения (1.3) записывается как
$$
\begin{equation}
\psi_x=\begin{pmatrix} E & \phantom{-}R \\ W & -E\end{pmatrix}\psi,\qquad \psi_t=\begin{pmatrix} T & \phantom{-}D \\ F & -T\end{pmatrix}\psi,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E=-\frac{i}{2}\lambda,\qquad R=-iq,\qquad W=iq^*, \\ \begin{aligned} \, T&=\frac{i}{2}\lambda^3\varepsilon+\frac{i}{2}\lambda^2+i\lambda\varepsilon|q|^2+i|q|^2+\varepsilon qq^*_x-\varepsilon q^*q_x, \\ D&=i\lambda^2\varepsilon q-\lambda\varepsilon q_x+i\lambda q-i\varepsilon q_{xx}-q_x+2i\varepsilon{q}|q|^2,\vphantom{\frac{i}{2}} \\ F&=-i\lambda^2\varepsilon q^*-\lambda\varepsilon q^*_x-i\lambda q^*+i\varepsilon q^*_{xx}-q^*_x-2i\varepsilon q^*|q|^2\vphantom{\frac{i}{2}} \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\lambda$ – спектральный параметр. Преобразование Маделунга
$$
\begin{equation}
q(x,t)=\sqrt{\rho(x,t)} e^{i\varphi(x,t)},\qquad\varphi_x(x,t)=\upsilon,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где вещественные функции $\rho$ и $\upsilon$ отвечают гидродинамическим плотности и скорости, переводит уравнение (1.3) в систему типа дисперсионных уравнений гидродинамики:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_t-2(\rho\upsilon)_x+\varepsilon(3\upsilon^2\rho+3\rho^2)_x&= 4\varepsilon(\rho^{3/4}(\rho^{1/4})_{xx})_x, \\ \upsilon_t-(\upsilon^2+2\rho)_x+\varepsilon(6\rho\upsilon+\upsilon^3)_x&= \varepsilon\bigl(\rho^{-1/2}(\upsilon(\sqrt{\rho}\,)_{xx}+(\upsilon(\sqrt{\rho}\,)_x)_x+(\upsilon\sqrt{\rho}\,)_{xx})\bigr)_x+ \\ &\quad +\biggl(\frac{1}{4}\rho^{-2}\rho^2_x-\frac{1}{2}\rho^{-1}\rho_{xx}\biggr)_{\!{}^{\scriptstyle x}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Дополнительно мы рассматриваем бездисперсионный предел этой системы и получаем гидродинамическую систему
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \rho_t-2(\rho\upsilon)_x+\varepsilon(3\upsilon^2\rho+3\rho^2)_x&=0, \\ \upsilon_t-(\upsilon^2+2\rho)_x+\varepsilon(6\rho\upsilon+\upsilon^3)_x&=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
решением которой могут быть волны разрежения. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы используем метод конечнозонного интегрирования для получения периодических решений уравнения (1.3). Кроме того, мы изучаем вырождение периодического решения рода один в солитонное решение и затем анализируем влияние параметра при члене высшего порядка на распространение периодического решения рода один и солитона. В разделе 3 мы формулируем соответствующие уравнения Уизема, которые описывают медленную модуляцию периодических решений и могут использоваться для изучения задачи со ступенчатыми начальными данными. В разделе 4 рассматривается случай, когда две характеристические скорости в уравнениях Уизема рода ноль равны нулю, а в качестве критического случая рассматриваются значения двух обнаруженных в этом процессе римановых инвариантов. Затем мы исследуем решения уравнений Уизема для волн разрежения и ДУВ, варьируя эти два инварианта как ступенчатые начальные данные. Дополнительно проанализировано столкновение двух ДУВ рода один при определенных ступенчатых начальных данных, т. е. ситуация, когда возникает и далее развивается ДУВ рода два. В разделе 5 обсуждается задача о разрушении плотины для уравнения (1.3). В разделе 6 мы подводим итоги работы. 2. Периодические решения уравнения (1.3)Мы используем метод конечнозонного интегрирования для исследования периодических решений уравнения (1.3) родов ноль, один и два. Кроме того, мы анализируем вырождение периодического решения рода один в солитонное решение, а также обсуждаем изменение характера распространения волны в зависимости от значений параметра $\varepsilon$. Мы подробно исследуем изменение поведения решений и представляем соответствующие графики. Пара Лакса (1.4) имеет два различных базисных решения $(\phi_1,\phi_2)^{\mathrm T}$ и $(\psi_1,\psi_2)^{\mathrm T}$, которые применяются для задания квадратов собственных функций
$$
\begin{equation*}
f=-\frac{i}{2}(\psi_1\phi_2+\psi_2\phi_1),\qquad g=\psi_1\phi_1,\qquad h=-\psi_2\phi_2,
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяющих следующим уравнениям:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} f_x&=-iWg+iRh,&\qquad g_x&=2iRf+2Eg,&\qquad h_x&=-2iWf-2Eh, \\ f_t&=-iFg+iDh,&\qquad g_t&=2iDf+2Tg,&\qquad h_t&=-2iFf-2Th. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Нетрудно показать, что $f^2-gh=-(\psi_1\phi_2-\psi_2\phi_1)^2/4=P(\lambda)$ не зависит от $x$ и $t$, а зависит только от $\lambda$. 2.1. Решение рода нольКвадраты собственных функций для решения рода ноль имеют вид Подставляя эти выражения в (2.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_0=\text{const},\qquad g_0=-2iq,\qquad h_0=2iq^*, \\ q_x=if_0q,\qquad q_t=if_0\biggl(f_0+\frac{2\rho}{f_0}-\varepsilon(f_0^2+6\rho)\biggr)q, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\rho=|q|^2$. Эти уравнения имеют точное решение рода ноль:
$$
\begin{equation}
q(x,t)=\sqrt{\rho}\exp\biggl[if_0\biggl(x+t\biggl(f_0+\frac{2\rho}{f_0}-\varepsilon(f_0^2+6\rho)\biggr)\!\biggr)\biggr].
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
С учетом (1.5) и (2.3) в преобразовании Маделунга мы имеем $\varphi=f_0x$ и $\upsilon=f_0$. Полином $P(\lambda)$ можно записать как
$$
\begin{equation}
P(\lambda)=f^2-gh=\lambda^2+2f_0\lambda+f_0^2-4\rho=\lambda^2-s_1\lambda+s_2,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $s_1=-2f_0$ и $s_2=f_0^2-4\rho$. Если $P(\lambda)$ имеет два нуля $\lambda_1$ и $\lambda_2$, то $\lambda_1+\lambda_2=s_1$, $\lambda_1\lambda_2=s_2$. Следовательно, $s_1=-2\upsilon$ и $s_2=\upsilon^2-4\rho$, т. е.
$$
\begin{equation*}
\lambda_1+\lambda_2=-2\upsilon,\qquad\lambda_1\lambda_2=\upsilon^2-4\rho.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая эти уравнения относительно $\lambda_1$ и $\lambda_2$, получаем
$$
\begin{equation}
\lambda_1=-\upsilon+2\sqrt{\rho},\qquad \lambda_2=-\upsilon-2\sqrt{\rho}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
2.2. Периодические решения рода одинКвадраты собственных функций для решения рода один имеют вид
$$
\begin{equation}
f=\lambda^2-f_1\lambda+f_2,\qquad g=-2iq(\lambda-\mu),\qquad h=2iq^*(\lambda-\mu^*).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Подставляя эти выражения в (2.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получаем решения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_{1x}=f_{1t}=0,\qquad q_x=iq(\mu-f_1),\qquad q_x\mu+q\mu_x=-iqf_2, \\ f_{2x}^{}=2i|q|^2(\mu-\mu^*),\qquad f_{2t}^{}=2i|q|^2(\mu-\mu^*)(\varepsilon(f_2^{}-f_1^2-2|q|^2)-f_1^{}), \\ \begin{aligned} \, &q_t=iq\bigl(f_1^2-f_2^{}-\mu f_1^{}+2|q|^2+{} \\ &\kern67pt+\varepsilon(\mu f_2^{}-\mu f_1^2-4|q|^2\mu-2f_1^{}f_2^{}+f_1^3+6|q|^2f_1^{}-2|q|^2\mu^*)\bigr), \\ &q_t\mu+q\mu_t=iq\bigl(f_1f_2+2|q|^2\mu-f_2+{} \\ &\kern67pt+\varepsilon(f_1^2f_2^{}-f_2^2-\mu f_1^{}f_2^{}+2|q|^2(f_2^{}-\mu\mu^*+2\mu f_1^{}-\mu^2))\bigr) \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
вместе с их комплексно-сопряженными. Полином $P(\lambda)$ для решения рода один можно записать как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, P(\lambda)&=(\lambda^2-f_1\lambda+f_2)^2-4|q|^2(\lambda-\mu)(\lambda-\mu^*)= \notag\\ &=\prod_{i=1}^{4}(\lambda-\lambda_i)=\lambda^4-s_1\lambda^3+s_2\lambda^2-s_3\lambda+s_4, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где элементарные симметрические полиномы $s_i$ связаны с нулями $\lambda_i$ ($i=1,2,3,4$) полинома $P(\lambda)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_1&=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4, \\ s_2&=\lambda_1\lambda_2+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_4+\lambda_2\lambda_3+\lambda_2\lambda_4+\lambda_3\lambda_4, \\ s_3&=\lambda_1\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_2\lambda_4+\lambda_1\lambda_3\lambda_4+\lambda_2\lambda_3\lambda_4, \\ s_4&=\lambda_1\lambda_2\lambda_3\lambda_4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$ в полиноме (2.8), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, s_1^{}=2f_1^{},\qquad s_2^{}=f_1^2+2f_2^{}-4|q|^2, \\ s_3^{}=2f_1^{}f_2^{}-4|q|^2(\mu+\mu^*),\qquad s_4^{}=f_2^2-4|q|^2\mu\mu^*. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, f_1^{}=\frac{1}{2}s_1^{},\qquad f_2^{}=\frac{1}{2}\biggl(s_2^{}-\frac{1}{4}s_1^2+4\rho\biggr),\qquad \mu+\mu^*=\frac{1}{2}s_1^{}+\frac{z}{4\rho}, \\ \mu\mu^*=\frac{1}{16\rho}\biggl(16\rho^2+8\rho\biggl(p+\frac{1}{8}s_1^2\biggr)+p^2+s_1^{}z-4r\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho=|q|^2,\qquad p=s_2^{}-\frac{3}{8}s_1^2,\qquad z=\frac{1}{2}s_1^{}\biggl(s_2^{}-\frac{1}{4}s_1^2\biggr)-s_3^{}, \\ r=s_4+\frac{1}{16}s_1^2\biggl(s_2^{}-\frac{3}{16}s_1^2\biggr)-\frac{1}{4}s_1^{}s_3^{}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Согласно первому уравнению в (2.7) функция $f_1$ постоянная. Используя уравнения (2.7), (2.9) и (2.10), получаем дифференциальные уравнения в частных производных для $\rho$ при $\lambda=\mu$:
$$
\begin{equation}
\rho_x^{}=i\rho(\mu-\mu^*),\qquad \rho_t^{}=\biggl(-\frac{1}{2}s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_2^{}-\frac{3}{8}s_1^2\biggr)\!\biggr)\rho_x^{}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Кроме того, из (2.7) имеем уравнения для $\mu$
$$
\begin{equation}
\mu_x^{}=-if(\mu)=-i\sqrt{P(\mu)},\qquad \mu_t^{}=\biggl(-\frac{1}{2}s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_2^{}-\frac{3}{8}s_1^2\biggr)\!\biggr)\mu_x^{}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Из (2.11) и (2.12) следует, что $\rho$ и $\mu$ являются функциями фазы $\xi=x-Vt$, где
$$
\begin{equation*}
V=V_{\mathrm{NLS}}+\varepsilon V_{\mathrm{mKdV}}=\frac{s_1}{2}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{8}s_1^2-\frac{1}{2}s_2^{}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Это согласуется с тем, что (1.2) есть комбинация НУШ и уравнения мКдФ. При этом $\rho$ и $\mu$ как функции от $\xi$ удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\frac{d\rho}{d\xi}=i\rho(\mu-\mu^*),\qquad \frac{d\mu}{d\xi}=-i\sqrt{P(\mu)}.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
С учетом (2.9) можно записать $\mu$ и $\mu^*$ как
$$
\begin{equation}
\mu=\frac{1}{4}s_1+\frac{z+\sqrt{R(\rho)}}{8\rho},\qquad \mu^*=\frac{1}{4}s_1+\frac{z-\sqrt{R(\rho)}}{8\rho},
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $R(\rho)=-64\rho^3-32\rho^2p-4(p^2-4r)\rho+z^2$. Имеют место следующие соотношения между нулями $\rho_i$ ($i=1,2,3$) полинома $R(\rho)$ и нулями $\lambda_i$ ($i=1,2,3,4$) полинома $P(\lambda)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho_1&=\frac{1}{16}(\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3-\lambda_4)^2,\\ \rho_2&=\frac{1}{16}(\lambda_1-\lambda_2+\lambda_3-\lambda_4)^2,\\ \rho_3&=\frac{1}{16}(\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3+\lambda_4)^2. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3>\lambda_4$, тогда, как нетрудно понять, $\rho_1>\rho_2>\rho_3$. Динамика функции $\rho$ по $\xi$ задается уравнением
$$
\begin{equation*}
\frac{d\rho}{d\xi}=-\frac{\sqrt{-R(\rho)}}{4}=-2i\sqrt{(\rho_1-\rho)(\rho-\rho_2)(\rho-\rho_3)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда периодическое решение уравнения (1.3) рода один можно выразить через эллиптическую функцию Якоби:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \rho&=\rho_3+(\rho_2-\rho_3)\operatorname{sn}^2(\sqrt{\rho_1-\rho_3}\,\xi,m)= \\ &=\frac{1}{16}(\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3+\lambda_4)^2+ \frac{1}{4}(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_4) \operatorname{sn}^2\biggl(\frac{1}{2}\sqrt{(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_4)}\,\xi,m\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \xi=x-\frac{1}{2}s_1^{}t-\varepsilon\biggl(\frac{3}{8}s_1^2-\frac{1}{2}s_2^{}\biggr)t, \\ m=\frac{\rho_2-\rho_3}{\rho_1-\rho_3}=\frac{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_4)}{(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_4)} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(см. рис. 1а, 1б). Мы видим, что периодическое решение зависит только от четырех параметров $\lambda_i$. Солитонный предел отвечает случаю $m=1$, т. е. $\rho_1=\rho_2$ или $\lambda_2=\lambda_3$,
$$
\begin{equation*}
|q(x,t)|^2=\frac{1}{16}(\lambda_1-\lambda_4)^2- \frac{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_2-\lambda_4)}{4\operatorname{ch}^2(\frac{1}{2}\sqrt{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_2-\lambda_4)}\,\xi)},
\end{equation*}
\notag
$$
и представляет собой темный солитон (см. рис. 1в, 1г).  Рис. 1.Периодическое решение уравнения (1.3) с $\lambda_1=1$, $\lambda_2=0.8$, $\lambda_3=0.6$, $\lambda_4=0.2$, $\varepsilon=2$ (а). Солитонное решение уравнения (1.3) в случае $\lambda_2=\lambda_3=0.6$, остальные параметры те же, что у периодического решения (в). Сечения периодического и солитонного решений при $t=1$ (б и г соответственно). При $\varepsilon=0$ уравнение (1.3) переходит в НУШ, и мы получаем периодическое решение НУШ, а при $\lambda_2=\lambda_3$ – солитонное решение. В последнем случае величина $\xi$ принимает вид $\xi=x-s_1t/2$, а остальные формулы остаются неизменными. При исследовании солитонного решения с различными значениями $\varepsilon$ мы обнаружили, что изменение значения $\varepsilon$ приводит к изменениям скорости и направления распространения солитона, но не его амплитуды и начальной фазы. При $\varepsilon=0$ солитон НУШ движется вправо по оси $x$ со скоростью $s_1/2$. При $\varepsilon=\frac{4s_1}{4s_2-3s^2_1}$ скорость солитона равна нулю. При $\varepsilon>\frac{4s_1}{4s_2-3s^2_1}$ скорость солитона больше нуля и увеличивается с ростом $\varepsilon$; солитон движется вправо по оси $x$. При $\varepsilon<\frac{4s_1}{4s_2-3s^2_1}$ солитон, наоборот, движется влево по оси $x$ (см. рис. 2).  Рис. 2.Солитонное решение уравнения (1.3) в случае $\lambda_2=\lambda_3$ c $\lambda_1=1$, $\lambda_2=\lambda_3=0.6$, $\lambda_4=0.2$ при различных значениях параметра $\varepsilon$: $\varepsilon=-2.4$ (а), $\varepsilon=-1$ (в), $\varepsilon=3$ (ж). При $\varepsilon=0$ мы получаем солитонное решение НУШ (д). Сечения решений на рис. “a”, “в”, “д”, “ж” при различных фиксированных значениях $t$ (б, г, е, з соответственно). Мы также видим, что при изменении $\varepsilon$ периодические решения уравнения (1.3) и НУШ ведут себя схожим образом (см. рис. 3).  Рис. 3.Периодическое решение уравнения (1.3) с $\lambda_1=1$, $\lambda_2=0.8$, $\lambda_3=0.6$, $\lambda_4=0.2$ при различных значениях параметра $\varepsilon$: $\varepsilon=-2$ (а), $\varepsilon=-0.96$ (в), $\varepsilon=2.5$ (ж). При $\varepsilon=0$ мы получаем периодическое решение НУШ (д). Сечения решений на рис. “a”, “в”, “д”, “ж” при различных фиксированных значениях $t$ (б, г, е, з соответственно). 2.3. Периодические решения рода дваКвадраты собственных функций для случая рода два имеют вид
$$
\begin{equation}
f=\lambda^{3}-f_1\lambda^2+f_2\lambda-f_3,\quad g=-2iq(\lambda-\mu_1)(\lambda-\mu_2),\quad h=2iq^*(\lambda-\mu_1^*)(\lambda-\mu_2^*).
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Подставляя эти выражения в (2.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получаем решения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\kern146pt f_{1x}=f_{1t}=0, \notag\\ &q_x=iq(\mu_1+\mu_2-f_1),\qquad(q\mu_1+q\mu_2)_x=iq(\mu_1\mu_2-f_2),\qquad (q\mu_1\mu_2)_x=-iqf_3, \notag\\ &q_t=iq\bigl(f_1^2-f_1(\mu_1+\mu_2)-f_2+2|q|^2+\mu_1\mu_2+{} \notag\\ &\kern76pt+\varepsilon(f_1\mu_1\mu_2-2f_1f_2+(f_2-f_1^2-4|q|^2)(\mu_1+\mu_2)+{} \notag\\ &\kern95pt+f_1^3+6|q|^2f_1+f_3-2|q|^2(\mu_1^*+\mu_2^*))\bigr), \notag\\ &(q\mu_1+q\mu_2)_t=iq\bigl((2|q|^2-f_2)(\mu_1+\mu_2)+f_1f_2-f_3+{} \notag\\ &\kern76pt+\varepsilon(-2|q|^2(\mu_1+\mu_2)(\mu_1^*+\mu_2^*-f_1+\mu_1)+{} \\ &\kern95pt+(\mu_1+\mu_2-f_1)(f_3-f_1f_2-2|q|^2\mu_2)+{} \notag\\ &\kern95pt+\mu_1\mu_2(f_2-2|q|^2\mu_1)-f_2^2+2f_2|q|^2+2|q|^2\mu_1^2f_1)\bigr), \notag\\ &(q\mu_1\mu_2)_t=iq\bigl(f_3(f_1^2-\mu_1-\mu_2+f_1)+2\mu_1\mu_2|q|^2+{} \notag\\ \notag &\kern76pt+\varepsilon(f_3(\mu_1\mu_2-f_2-f_1-\mu_2)+2f_3|q|^2-{} \\ &\kern95pt-2\mu_1\mu_2|q|^2(\mu_1^*+\mu_2^*+\mu_1+\mu_2-2f_1))\bigr) \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
вместе с их комплексно-сопряженными. Полином $P(\lambda)$ для решения рода два можно записать как
$$
\begin{equation}
P(\lambda)=\prod_{i=1}^{6}(\lambda-\lambda_i)=\lambda^6-s_1\lambda^5+s_2\lambda^4-s_3\lambda^3+s_4\lambda^2-s_5\lambda+s_6,
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
где $\lambda_i$ ($i=1,\ldots,6$) – нули полинома $P(\lambda)$, а элементарные симметрические полиномы $s_i$ связаны с $\lambda_i$ формулами
$$
\begin{equation*}
s_1=\sum_{i=1}^{6}\lambda_i,\quad s_2=\prod_{\substack{i,j=1,\\ i\neq j}}^{6}\lambda_i\lambda_j,\quad\ldots,\quad s_6=\prod_{i=1}^{6}\lambda_i.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$ в полиноме (2.17), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_1^{}=\frac{1}{2}s_1^{},\qquad f_2^{}=-\frac{1}{8}(s_1^2-4s_2^{}-16|q|^2), \\ f_3^{}=\frac{1}{16}\bigl(s_1^3-4s_1^{}s_2^{}+8s_3^{}-16|q|^2(s_1^{}-2(\mu_1^{}+\mu_2^{}+\mu_1^*+\mu_2^*))\bigr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Из (2.16) получаем уравнения для $\mu_1$ и $\mu_2$ типа Дубровина:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial\mu_1}{\partial x}&=\frac{-i\sqrt{P(\mu_1)}}{\mu_1-\mu_2},\qquad \frac{\partial\mu_2}{\partial x}=\frac{-i\sqrt{P(\mu_2)}}{\mu_2-\mu_1}, \\ \frac{\partial\mu_1}{\partial t}&= \frac{-i\bigl(\mu_2-\frac{1}{2}s_1^{}+ \varepsilon\bigl(\frac{1}{2}s_1^{}\mu_2^{}+\frac{1}{2}s_2^{}-\frac{3}{8}s_1^2\bigr)\bigr)\sqrt{P(\mu_1^{})}}{\mu_1-\mu_2}, \\ \frac{\partial\mu_2}{\partial t}&= \frac{-i\bigl(\mu_1-\frac{1}{2}s_1^{}+ \varepsilon\bigl(\frac{1}{2}s_1^{}\mu_1^{}+\frac{1}{2}s_2^{}-\frac{3}{8}s_1^2\bigr)\bigr)\sqrt{P(\mu_2^{})}}{\mu_2-\mu_1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Используя преобразование Абеля, периодическое решение рода два можно выразить через тета-функцию Римана путем интегрирования уравнений (2.18), которые зависят от фазовых переменных
$$
\begin{equation*}
\theta_1=\kappa_1x+\omega_1t+\theta_{01},\qquad \theta_2=\kappa_2x+\omega_2t+\theta_{02},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\theta_{01}$ и $\theta_{02}$ – постоянные. Кроме того, интегрированием по определенным циклам на римановой поверхности гиперэллиптической кривой $\omega^2=P(\lambda)$ можно найти постоянные $\kappa_1$, $\kappa_2$, $\omega_1$ и $\omega_2$. В этом разделе мы нашли и изучили решение уравнения (1.3) рода ноль, периодическое решение рода один, выражающееся через эллиптическую функцию Якоби, и его солитонный предел (темный солитон), а также периодическое решение рода два. Мы обнаружили, что при изменении параметра $\varepsilon$ изменяются скорости и направления распространения периодического решения рода один и темного солитона, а начальные фазы и амплитуды не изменяются. Если рассматривать периодические решения со ступенчатыми исходными данными, то их необходимо модулировать с помощью уравнений Уизема, которые мы изучаем в следующем разделе. 3. Уравнения Уизема для уравнения (1.3)В этом разделе мы исследуем уравнения Уизема, которые представляют собой систему законов сохранения, описывающих предел малой дисперсии для пакетов нелинейных периодических волн. Кроме того, уравнения Уизема описывают медленную эволюцию параметров этих волновых пакетов. Уравнения Уизема можно получить из (1.3), усредняя законы сохранения. Полученные таким образом уравнения содержат только римановы инварианты $\lambda_i$. Фактически (2.1) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{R}{g}\biggr)_{\!{}^{\scriptstyle t}}-\biggr(\frac{D}{g}\biggr)_{\!{}^{\scriptstyle x}}=0,
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
что в точности дает закон сохранения для уравнения (1.3). 3.1. Уравнения Уизема в случае решения рода нольВ данном случае перепишем уравнение (3.1) как
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\sqrt{P(\lambda)}\,\frac{R}{g_0}\biggr)- \frac{\partial}{\partial x}\biggl(\sqrt{P(\lambda)}\,\frac{D}{g_0}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\frac{R}{g_0}=\frac{1}{2},\qquad \frac{D}{g_0}=-\frac{1}{2}(\lambda-\upsilon)+\frac{1}{2}\varepsilon(\lambda\upsilon-\lambda^2-\upsilon^2-2\rho).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Тогда (3.2) принимает вид
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\sqrt{P(\lambda)}\,\bigr)- \frac{\partial}{\partial x} \bigl(\sqrt{P(\lambda)}\,(\upsilon-\lambda+\varepsilon(\lambda\upsilon-\lambda^2-\upsilon^2-2\rho))\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Из соотношений (2.5) получаем, что $\upsilon=-(\lambda_1+\lambda_2)/2$ и $\rho=(\lambda_1-\lambda_2)^2/16$. Подставим эти формулы в (3.4) и возьмем пределы $\lambda\to\lambda_1$ и $\lambda\to\lambda_2$. Получим соответствующие уравнения Уизема для $\lambda_i$ ($i=1,2$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial\lambda_1}{\partial t}+ \biggl(\frac{1}{2}(3\lambda_1^{}+\lambda_2^{})+ \frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_1^2+\lambda_2^2)+\frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1^{}\lambda_2^{}\biggr) \frac{\partial\lambda_1}{\partial x}=0, \\ &\frac{\partial\lambda_2}{\partial t}+ \biggl(\frac{1}{2}(3\lambda_2^{}+\lambda_1^{})+ \frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_2^2+\lambda_1^2)+\frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1^{}\lambda_2^{}\biggr) \frac{\partial\lambda_2}{\partial x}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
3.2. Уравнения Уизема в случае периодического решения рода одинВ этом случае закон сохранения записывается как
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\frac{R\sqrt{P(\lambda)}}{g_0(\lambda-\mu)}\biggr)- \frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{D\sqrt{P(\lambda)}}{g_0(\lambda-\mu)}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
После некоторых вычислений получаем уравнения Уизема для римановых инвариантов $\lambda_i$ ($i=1,2,3,4$):
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\lambda_i}{\partial t}+\upsilon_i\frac{\partial\lambda_i}{\partial x}=0,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\upsilon_i=-I_2(\lambda_i)/I_1(\lambda_i)$ суть скорости Уизема, в которых
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_1(\lambda_i)&=\frac{1}{2}\oint \frac{1}{\lambda_i-\mu}\frac{d\mu}{\sqrt{P(\mu)}}=-\frac{\partial L}{\partial\lambda_i}, \\ I_2^{}(\lambda_i^{})&=-\frac{1}{2}\biggl(s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2^{}\biggr)\!\biggr)I_1^{}- \frac{1}{2}\biggl(1+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_1^{}+\lambda_i^{}\biggr)\!\biggr)L. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Как следствие, имеем
$$
\begin{equation}
\upsilon_i=\frac{1}{2}\biggl(s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2\biggr)\!\biggr)- \frac{1}{2}\biggl(\frac{\partial\ln L}{\partial\lambda_i}\biggr)^{\!\!-1} \biggl(1+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_1^{}+\lambda_i^{}\biggr)\!\biggr),\qquad i=1,2,3,4.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
В этих формулах $L=\frac{K(m)}{\sqrt{(\lambda_1-\lambda_3)(\lambda_2-\lambda_4)}}$. Подставляя это выражение для $L$ в (3.9), перепишем скорости Уизема как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \upsilon_1^{}&=\frac{1}{2}\biggl(s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2^{}\biggr)\!\biggr)+{} \\ &\quad+\frac{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_1-\lambda_4)K(m)} {(\lambda_1-\lambda_4)K(m)+(\lambda_4-\lambda_2)E(m)}\biggl(1+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_1+\lambda_1\biggr)\!\biggr), \\ \upsilon_2^{}&=\frac{1}{2}\biggl(s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2^{}\biggr)\!\biggr)+{} \\ &\quad+\frac{(\lambda_1-\lambda_2)(\lambda_3-\lambda_2)K(m)} {(\lambda_2-\lambda_3)K(m)+(\lambda_3-\lambda_1)E(m)}\biggl(1+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_1+\lambda_2\biggr)\!\biggr), \\ \upsilon_3^{}&=\frac{1}{2}\biggl(s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2^{}\biggr)\!\biggr)+{} \\ &\quad+\frac{(\lambda_2-\lambda_3)(\lambda_3-\lambda_4)K(m)} {(\lambda_2-\lambda_3)K(m)+(\lambda_4-\lambda_2)E(m)}\biggl(1+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_1+\lambda_3\biggr)\!\biggr), \\ \upsilon_4^{}&=\frac{1}{2}\biggl(s_1+^{}\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2^{}\biggr)\!\biggr)+{} \\ &\quad+\frac{(\lambda_1-\lambda_4)(\lambda_4-\lambda_3)K(m)} {(\lambda_1-\lambda_4)K(m)+(\lambda_3-\lambda_1)E(m)}\biggl(1+\varepsilon\biggl(\frac{1}{2}s_1+\lambda_4\biggr)\!\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
В пределе $\lambda_2\to\lambda_1$, т. е. $m\to 0$, эти выражения упрощаются и принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \upsilon_1^{}&=\upsilon_2^{}=\frac{1}{2}\biggl(4\lambda_1^{}+\lambda_3^{}-\lambda_4^{}+6\varepsilon\lambda_1^2+ \frac{1}{4}\varepsilon(3\lambda_3^2-\lambda_4^2)+2\varepsilon(\lambda_1^{}\lambda_3^{}-\lambda_1^{}\lambda_4^{})- \frac{1}{2}\varepsilon\lambda_3^{}\lambda_4^{}\biggr), \\ \upsilon_3^{}&=\frac{1}{2}(3\lambda_3^{}+\lambda_4^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_3^2+\lambda_4^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_3^{}\lambda_4^{}, \\ \upsilon_4^{}&=\frac{1}{2}(3\lambda_4^{}+\lambda_3^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_4^2+\lambda_3^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_3^{}\lambda_4^{}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В пределе $\lambda_3\to\lambda_4$, т. е. $m\to 0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \upsilon_1^{}&=\frac{1}{2}(3\lambda_1^{}+\lambda_2^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_1^2+\lambda_2^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1^{}\lambda_2^{}, \\ \upsilon_2^{}&=\frac{1}{2}(3\lambda_2+^{}\lambda_1^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_2^2+\lambda_1^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1^{}\lambda_2^{}, \\ \upsilon_3^{}&=\upsilon_4=\frac{1}{2}\biggl(\lambda_1^{}-\lambda_2^{}+4\lambda_4^{}+6\varepsilon\lambda_4^2+ \frac{1}{4}\varepsilon(3\lambda_1^2-\lambda_2^2)+2\varepsilon(\lambda_1^{}\lambda_4^{}-\lambda_2^{}\lambda_4^{})- \frac{1}{2}\varepsilon\lambda_1^{}\lambda_2^{}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В пределе $\lambda_3\to\lambda_2$, т. е. $m\to 0$, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \upsilon_1&=\frac{1}{2}(3\lambda_1+\lambda_4)+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_1^2+\lambda_4^2)+\frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1\lambda_4, \\ \upsilon_2&=\upsilon_3=\frac{1}{2}\biggl(\lambda_1+2\lambda_2+\lambda_4+2\varepsilon\lambda_2^2+ \frac{3}{4}\varepsilon(\lambda_1^2+\lambda_4^2)+\varepsilon(\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_4)+ \frac{1}{2}\varepsilon\lambda_1\lambda_4\biggr), \\ \upsilon_4&=\frac{1}{2}(3\lambda_4+\lambda_1)+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_4^2+\lambda_1^2)+\frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1\lambda_4. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что в каждом из трех приведенных выше предельных случаев два уравнения Уизема становятся одним уравнением, а остальные уравнения образуют бездисперсионную предельную систему вида
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial\lambda_{+}}{\partial t}+ \biggl(\frac{1}{2}(3\lambda_{+}^{}+\lambda_{-}^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_{+}^2+\lambda_{-}^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_{+}^{}\lambda_{-}^{}\biggr)\frac{\partial\lambda_{+}}{\partial x}=0, \\ &\frac{\partial\lambda_{-}}{\partial t}+ \biggl(\frac{1}{2}(3\lambda_{-}^{}+\lambda_{+}^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_{-}^2+\lambda_{+}^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_{+}^{}\lambda_{-}^{}\biggr)\frac{\partial\lambda_{-}}{\partial x}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Таким образом, уравнения Уизема в случае рода ноль выглядят как предельный случай уравнений Уизема в случае рода один. 3.3. Уравнения Уизема в случае рода дваВ этом случае закон сохранения записывается как
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\frac{R\sqrt{P(\lambda)}}{g_0(\lambda-\mu_1)(\lambda-\mu_2)}\biggr)- \frac{\partial}{\partial x}\biggl(\frac{D\sqrt{P(\lambda)}}{g_0(\lambda-\mu_1)(\lambda-\mu_2)}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
а уравнения Уизема выводятся аналогично предыдущим уравнениям:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\lambda_i}{\partial t}+\upsilon_i\frac{\partial\lambda_i}{\partial x}=0,\qquad i=1,\ldots,6,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
где $\upsilon_i=-I_2(\lambda_i)/I_1(\lambda_i)$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_1(\lambda_i)&=\frac{1}{2}\int_{O_1}\frac{d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}\int_{O_2}\frac{d\mu}{(\lambda_i-\mu)\sqrt{-P(\mu)}}-{} \\ &\quad -\frac{1}{2}\int_{O_2}\frac{d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}\int_{O_1}\frac{d\mu}{(\lambda_i-\mu)\sqrt{-P(\mu)}}, \\ I_2(\lambda_i)&=-\frac{1}{2}\biggl(s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2^{}\biggr)\!\biggr)I_1(\lambda_i)-{} \\ &\quad-\frac{1}{2}\varepsilon\int_{O_1}\frac{d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}\int_{O_2}\frac{\mu\,d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}+ \frac{1}{2}\varepsilon\int_{O_2}\frac{d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}\int_{O_1}\frac{\mu\,d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}-{} \\ &\quad-\frac{1}{2}\biggl(1+\frac{1}{2}s_1\varepsilon\biggr) \biggl(\int_{O_1}\frac{\mu\,d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}\int_{O_2}\frac{d\mu}{(\lambda_i-\mu)\sqrt{-P(\mu)}}-{} \\ &\kern92pt -\int_{O_2}\frac{\mu\,d\mu}{\sqrt{-P(\mu)}}\int_{O_1}\frac{d\mu}{(\lambda_i-\mu)\sqrt{-P(\mu)}}\biggr); \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
здесь $O_1$ – цикл из $\lambda_5$ в $\lambda_4$ и $O_2$ – цикл из $\lambda_3$ в $\lambda_2$. Чтобы упростить скорости Уизема $\upsilon_i$, введем гиперэллиптические интегралы
$$
\begin{equation}
U_{ij}=\int_{O_i}\frac{\mu^{j-1}}{\sqrt{-P(\mu)}}\,d\mu,\qquad i=1,2,\quad j=1,2.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Тогда скорости Уизема $\upsilon_i$ можно записать как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \upsilon_i&=\frac{1}{2}\biggl(s_1^{}+\varepsilon\biggl(\frac{3}{4}s_1^2-s_2^{}\biggr)\!\biggr)+{} \notag\\ &\quad +\frac{\varepsilon(U_{11}U_{22}-U_{21}U_{12})+\bigl(1+\frac{1}{2}s_1\varepsilon\bigl) \bigl(U_{12}\frac{\partial U_{21}}{\partial \lambda_i}-U_{22}\frac{\partial U_{11}}{\partial \lambda_i}\bigr)} {U_{11}\frac{\partial U_{21}}{\partial \lambda_i}-U_{21}\frac{\partial U_{11}}{\partial \lambda_i}},\qquad i=1,\ldots,6. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
В этом разделе мы получили уравнения Уизема, соответствующие рассмотренным выше периодическим решениям. На основе этих уравнений в следующем разделе мы обсуждаем решения типа волны разрежения и ДУВ для уравнения (1.3) при ступенчатых начальных данных, получающиеся путем введения автомодельной переменной. 4. Решения уравнения (1.3) типа волны разрежения и ДУВИспользуем уравнения Уизема. Рассмотрим случай, когда обе характеристические скорости в уравнениях (3.5) равны нулю, и примем полученные значения римановых инвариантов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ в качестве критических. Посмотрим, как влияет на решение изменение этих двух величин. Вводя самоподобную переменную $\tau=x/t$, можно преобразовать уравнения Уизема (3.5) к виду
$$
\begin{equation}
(\Delta_1-\tau)\frac{d{\lambda_1}}{d\tau}=0,\qquad (\Delta_2-\tau)\frac{d{\lambda_2}}{d\tau}=0,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $\Delta_1$, $\Delta_1$ – характеристические скорости,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Delta_1^{}&=\frac{1}{2}(3\lambda_1^{}+\lambda_2^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_1^2+\lambda_2^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1^{}\lambda_2^{}, \\ \Delta_2^{}&=\frac{1}{2}(3\lambda_2^{}+\lambda_1^{})+\frac{3}{8}\varepsilon(5\lambda_2^2+\lambda_1^2)+ \frac{3}{4}\varepsilon\lambda_1^{}\lambda_2^{}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Рассматривая плосковолновое решение $q\sim e^{ikx-i\omega t}$, получаем дисперсионное соотношение где $k$ – волновое число, а $\omega$ – частота. Видно, что если $k=1/\varepsilon$, то $\omega=0$, и это означает, что волна стационарная, т. е. не имеет фазовой скорости. Если $k>1/\varepsilon$, то волна движется вправо; если $k<1/\varepsilon$, то волна движется влево (см. рис. 4). Рис. 4.Волновое движение при $\varepsilon=3/2$ и различных $k$: $k=1$ (а), $k=2/3$ (б), $k=1/3$ (в). При $k=1/\varepsilon$ волна останавливается, это означает, что характеристические скорости в уравнениях Уизема (4.1) равны нулю, $\Delta_1=0$, $\Delta_2=0$. При этом
$$
\begin{equation*}
\lambda_1^0=\frac{-1+\sqrt2}{3\varepsilon},\qquad \lambda_2^0=\frac{-1-\sqrt2}{3\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon>0$ в силу соотношений (2.5). Далее мы рассматриваем эти две величины как критический случай и изучаем решение уравнения (4.1), подставляя их в различные ступенчатые начальные данные. Рассмотрим четыре случая
$$
\begin{equation}
\lambda_1(x,0) =\begin{cases} a, & x<0, \\ \lambda_1^0, & x>0, \end{cases} \qquad \lambda_2(x,0) =\lambda_2^0, \qquad \lambda_1^0\neq a>\lambda_2^0;
\end{equation}
\tag{4.3.I}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_1(x,0) =\begin{cases} \lambda_1^0, & x<0, \\ a, & x>0, \end{cases} \qquad \lambda_2(x,0) =\lambda_2^0, \qquad \lambda_1^0\neq a>\lambda_2^0;
\end{equation}
\tag{4.3.II}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_1(x,0) =\lambda_1^0, \qquad \lambda_2(x,0) =\begin{cases} b, & x<0, \\ \lambda_2^0, & x>0, \end{cases} \qquad \lambda_2^0\neq b<\lambda_1^0;
\end{equation}
\tag{4.3.III}
$$
$$
\begin{equation}
\lambda_1(x,0) =\lambda_1^0, \qquad \lambda_2(x,0) =\begin{cases} \lambda_2^0, & x<0, \\ b, & x>0, \end{cases} \qquad \lambda_2^0\neq b<\lambda_1^0.
\end{equation}
\tag{4.3.IV}
$$
В случаях (4.3.I) и (4.3.II) мы получаем решение
$$
\begin{equation}
\lambda_1=-\frac{1}{5}\lambda_2^0\pm \frac{2}{15\varepsilon}\sqrt{-9(\lambda_2^0)^2\varepsilon^2-6\lambda_2^0\varepsilon+30\varepsilon\tau+9}-\frac2{5\varepsilon},\qquad \lambda_2=\lambda_2^0.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
В случаях (4.3.III) и (4.3.IV)
$$
\begin{equation}
\lambda_1=\lambda_1^0,\qquad \lambda_2=-\frac{1}{5}\lambda_1^0\pm \frac{2}{15\varepsilon}\sqrt{-9(\lambda_1^0)^2\varepsilon^2-6\lambda_1^0\varepsilon+30\varepsilon\tau+9}-\frac2{5\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Можно найти связь между автомодельной переменной $\tau$ и римановым инвариантом $\lambda$:
$$
\begin{equation}
\frac{3}2\varepsilon{\lambda^2}+\frac{3}{8}\varepsilon(\lambda+\lambda^0)^2+\frac{1}{2}(3\lambda+\lambda^0)-\tau=0.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Для каждого из перечисленных выше четырех случаев мы получаем волну разрежения. В случае (4.3.I) волна разрежения генерируется при $a<\lambda_1^0$; в случае (4.3.II) – при $a>\lambda_1^0$; в случае (4.3.III) – при $b>\lambda_2^0$; в случае (4.3.IV) – при $b<\lambda_2^0$ (см. рис. 5). Согласно рис. 5, чтобы изменялась только величина $\lambda_1$, а $\lambda_2$ оставалась постоянной, в ступенчатых начальных данных, создающих волну разрежения, амплитуда при $x<0$ должна быть меньше, чем амплитуда при $x>0$. Чтобы изменялась только величина $\lambda_2$, наоборот, амплитуда при $x<0$ должна быть больше, чем амплитуда при $x>0$. Кроме того, из этих рисунков можно заключить, что, даже когда изменяется только один риманов инвариант $\lambda_1$ или $\lambda_2$, направление соответствующей характеристической скорости может быть разным при различных начальных данных. Например, $\Delta_1>0$ на рис. 5б и $\Delta_1<0$ на рис. 5г.  Рис. 5.Ступенчатые начальные данные (левый столбец рисунков) и соответствующие волны разрежения (правый столбец) в случаях (4.3.I)–(4.3.IV) при $\varepsilon=3/2$, $\lambda_1^0=2(-1+\sqrt2\,)/9$, $\lambda_2^0=2(-1-\sqrt2\,)/9$ и различных $a$ и $b$. Далее мы обсудим, каким образом решение уравнений (4.1) развивается в ДУВ. В случае (4.3.I) ДУВ возникает и при $a>\lambda_1^0$, и при $a<\lambda_1^0$. В случае (4.3.II) ДУВ развивается только при $a<\lambda_1^0$. В случаях (4.3.III) и (4.3.IV) решение развивается как ДУВ только при $b<\lambda_2^0$ и при $b>\lambda_2^0$ соответственно. Таким образом, существуют пять типов условий, при которых решение может иметь вид ДУВ. После формирования ДУВ в игру вступает однородное уравнение Уизема (3.7), которое можно преобразовать как
$$
\begin{equation}
\frac{d\lambda_i}{d\tau}(\upsilon_i(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)-\tau)=0,\qquad i=1,2,3,4.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Сначала рассмотрим случай (4.3.I) с $a>\lambda_1^0$. Графики ДУВ при различных значениях параметра $\varepsilon$ показаны на рис. 6. Здесь
$$
\begin{equation*}
\lambda_1^{}=a,\qquad \tau=\upsilon_2(a,\lambda_2^{},\lambda_1^0,\lambda_2^0),\qquad \lambda_3^{}=\lambda_1^0,\qquad \lambda_4^{}=\lambda_2^0.
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что все ДУВ имеют одинаковый вид, который не меняется при изменении параметра $\varepsilon$.  Рис. 6.Ступенчатые начальные данные в случае (4.3.I) с $a>\lambda_1^0$ (а) и соответствующие ДУВ при $\varepsilon=1/2$, $a=0.5$ (б), при $\varepsilon=3/2$, $a=0.3$ (в) и при $\varepsilon=3$, $a=0.3$ (г). В случае (4.3.I) с $a<\lambda_1^0$ существуют два разных типа ДУВ (см. рис. 7а, 7б). Для первого типа изменяются оба римановых инварианта $\lambda_1$, $\lambda_2$, при этом
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \tau=\upsilon_1\biggl(\lambda_1,\lambda_2,-0.3,\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}\biggr),\qquad \tau=\upsilon_2\biggl(\lambda_1,\lambda_2,-0.3,\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}\biggr), \\ \lambda_3=-0.3,\qquad \lambda_4=\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}; \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для второго типа изменяется только $\lambda_2$, при этом
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_1=\frac{2(-1+\sqrt2\,)}{9},\qquad \lambda_3=-0.3,\qquad \lambda_4=\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}, \\ \tau=\upsilon_2\biggl(\frac{2(-1+\sqrt2\,)}{9},\lambda_2,-0.3,\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В случае (4.3.II) с $a<\lambda_1^0$, существуют структуры ДУВ и волны разрежения (см. рис. 7в, 7г), при этом
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_1=\frac{2(-1+\sqrt2\,)}{9},\qquad \lambda_4=\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}, \\ \tau=\upsilon_3\biggl(\kern-1pt\frac{2(-1+\sqrt2\,)}{9},\lambda_2,\lambda_3,\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}\!\biggr),\;\; \tau=\upsilon_2\biggl(\kern-1pt\frac{2(-1+\sqrt2\,)}{9},\lambda_2,\lambda_3,\frac{2(-1-\sqrt2\,)}{9}\!\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Все графики, представленные на рис. 7, построены при одном и том же значении $\varepsilon=3/2$.  Рис. 7.Ступенчатые начальные данные в случае (4.3.I) с $a<\lambda_1^0$ (а) и соответствующая ДУВ при $\varepsilon=3/2$, $a=-0.3$ (б); ступенчатые начальные данные в случае (4.3.II) с $a<\lambda_1^0$ (в) и соответствующая ДУВ при $\varepsilon=3/2$, $a=-0.4$ (г). В случаях (4.3.III) и (4.3.IV) только два типа начальных данных могут приводить к развитию ДУВ, при этом ДУВ имеют схожую структуру (см. рис. 8).  Рис. 8.Ступенчатые начальные данные в случае (4.3.III) с $b<\lambda_2^0$ (а) и соответствующая ДУВ при $\varepsilon=3/2$, $b=-0.8$ (б); ступенчатые начальные данные в случае (4.3.IV) с $b>\lambda_2^0$ (в) и соответствующая ДУВ при $\varepsilon=3$, $b=-0.1$ (г). В рассмотренных выше начальных данных только один риманов инвариант имеет ступенчатый вид, а другой постоянен. Рассмотрим случай, когда оба римановых инварианта в начальных данных являются ступенчатыми:
$$
\begin{equation}
\lambda_1(x,0)=\begin{cases} a, & x<x_2, \\ c, & x>x_2, \end{cases}\qquad \lambda_2(x,0)=\begin{cases} b, & x<x_1, \\ d, & x>x_1, \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где $a>b>c>d$ и $x_1<x_2$. При таких начальных данных сначала генерируются две ДУВ рода один, модулированные уравнениями Уизема рода один (3.7) с учетом (3.9). После некоторого времени две волны сталкиваются в определенной точке, т. е. возникает ДУВ рода два, а затем две ДУВ рода один перекрываются, и между ними возникает ДУВ рода два, модулируемая уравнениями Уизема рода два (3.13) с учетом (3.16). Пример этого процесса показан на рис. 9. Мы видим, что рис. 9б состоит из пяти областей, которые отвечают родам ноль, один, ноль, один, ноль, если смотреть слева направо. При этом в первой области, где мы имеем ДУВ рода ноль, она модулируется уравнением
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\lambda_3}{\partial t}+\upsilon_3(0.6,0.3,\lambda_3,-0.6 )\frac{\partial\lambda_3}{\partial x}=0.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Это уравнение годографа, и его решение имеет вид В области, где мы имеем ДУВ рода один, решение записывается как Для наших данных скорости точек B и C равны $0.435$ и $-0.165$ соответственно, при этом в момент времени $t=5$ две ДУВ рода один сталкиваются, как показано на рис. 9б. На этом рисунке мы имеем всего четыре области, а средняя область, отвечающая роду ноль, исчезает. После момента $t=5$ между ДУВ рода один генерируется ДУВ рода два, которая описывается шестью римановыми инвариантами, два из них являются переменными и четыре – постоянными (см. рис. 9г). На этом рисунке мы видим пять областей; средняя из них, отвечающая роду ноль на рис. 9б, становится областью, отвечающей роду два. Она модулируется уравнениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial\lambda_3}{\partial t}+\upsilon_3(0.6, 0.3,\lambda_3, \lambda_4, -0.3, -0.6 )\frac{\partial\lambda_3}{\partial x}=0, \\ &\frac{\partial\lambda_4}{\partial t}+\upsilon_4(0.6, 0.3, \lambda_3, \lambda_4, -0.3, -0.6 )\frac{\partial\lambda_4}{\partial x}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
В данном случае теория Уизема не позволяет получить точные кривые эволюции римановых инвариантов $\lambda_3$ и $\lambda_4$, и мы можем описать их лишь качественно. Комбинируя результаты приведенного выше анализа, на рис. 10 мы представляем бифуркационную диаграмму, показывающую области с решениями родов ноль, один и два на плоскости $(x,t)$ для случаев, показанных на рис. 9. 5. Задача о разрушении плотиныВ этом разделе мы рассматриваем физическое применение модуляционной теории Уизема, анализируя поведение волн в задаче Коши со специальными начальными данными: задачу о разрушения плотины. В начальный момент времени вода спокойная, затем вертикальная стенка, стоящая на горизонтальном дне, быстро исчезает, и тогда возникает двумерный поток, известный как волна при разрушении плотины. Подобные задачи вызывают широкий интерес исследователей. Рассмотрим следующие начальные данные для системы (1.6):
$$
\begin{equation}
\rho(x,0)=\begin{cases} \rho_0, & |x|<x_0, \\ 0, & |x|>x_0, \end{cases}\qquad v(x,0)\equiv 0.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Перепишем систему (1.6) в виде (3.5) через римановы инварианты, тогда начальные данные для римановых инвариантов задаются как (см. рис. 11)
$$
\begin{equation}
\lambda_1(x,0)=\begin{cases} \phantom{-}2\sqrt{\rho_0}, & x<x_0, \\ -2\sqrt{\rho_0},& x>x_0, \end{cases}\qquad \lambda_2(x,0)=\begin{cases} \phantom{-}2\sqrt{\rho_0}, & x<-x_0,\\ -2\sqrt{\rho_0}& x>-x_0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Из-за нелинейности характеристических скоростей $\Delta_i$ ($i=1,2$) по $\lambda_1$ и $\lambda_2$ система (3.5) является не подлинно гиперболической, а слабо гиперболической. Следовательно, несмотря на то что оба риманова инварианта являются убывающими функциями, в системе (3.5) может возникнуть ударная волна. Чтобы доказать это, проанализируем характеристические скорости при $x=x_0$ и $x=-x_0$. Вблизи $x=x_0$ риманов инвариант $\lambda_2=-2\sqrt{\rho_0}$, а $\lambda_1$ уменьшается от $2\sqrt{\rho_0}$ до $-2\sqrt{\rho_0}$, при этом с учетом уравнений (4.2) скорость $\Delta_1$ выражается как
$$
\begin{equation}
\Delta_1^{}(\lambda_1^{},-2\sqrt{\rho_0^{}}\,)= \frac{15\varepsilon}{8}\lambda_1^2+\frac{3}2(1-\varepsilon\sqrt{\rho_0^{}}\,)\lambda_1^{}- \sqrt{\rho_0^{}}\biggl(1-\frac{3\varepsilon}{2}\sqrt{\rho_0^{}}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Потребуем, чтобы $\Delta_1$ монотонно уменьшалась на интервале $[-2\sqrt{\rho_0},2\sqrt{\rho_0}\,]$ во избежание ударной волны. Отсюда следует, что при $\varepsilon>0$ скорость $\Delta_1$ должна принимать максимальное значение при $\lambda_1\leqslant-2\sqrt{\rho_0}$, и мы получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Delta_1}{\partial \lambda_1}\bigg|_{\lambda_1=-2\sqrt{\rho_0}}=-9\varepsilon\sqrt{\rho_0}+\frac{3}2\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Аналогично при $\varepsilon<0$ скорость $\Delta_1$ должна принимать минимальное значение при $\lambda_1\geqslant 2\sqrt{\rho_0}$, тогда
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\Delta_1}{\partial \lambda_1}\bigg|_{\lambda_1=2\sqrt{\rho_0}}=6\varepsilon\sqrt{\rho_0}+\frac{3}2\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Как следствие условий (5.4) и (5.5), получаем
$$
\begin{equation}
\varepsilon\geqslant \frac{1}{6\sqrt{\rho_0}} \quad\text{или}\quad \varepsilon\leqslant-\frac{1}{4\sqrt{\rho_0}}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Для скорости $\Delta_2$ вблизи $x=-x_0$ учтем, что уравнения (3.5) симметричны, т. е. отражение $x\to-x$ оставляет форму решения инвариантной, если сделать замены $\lambda_j\to-\lambda_{3-j}$ для $j=1,2$ и $\varepsilon\to-\varepsilon$. Следовательно, условие предотвращения ударной волны вблизи $x=-x_0$ записывается как
$$
\begin{equation}
\varepsilon\leqslant-\frac{1}{6\sqrt{\rho_0}} \quad\text{или}\quad \varepsilon\geqslant\frac{1}{4\sqrt{\rho_0}}.
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Подводя итог, приходим к выводу, что система (3.5) с начальными данными (5.2) допускает глобальное решение, если выполнено условие
$$
\begin{equation}
\varepsilon\leqslant -\frac{1}{4\sqrt{\rho_0}}\quad \text{или}\quad\varepsilon\geqslant \frac{1}{4\sqrt{\rho_0}}.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Вблизи $x=x_0$ мы имеем одно уравнение для $\lambda_1$,
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\lambda_1}{\partial t}+\Delta_1(\lambda_1,-2\sqrt{\rho_0}\,)\frac{\partial\lambda_1}{\partial x}=0.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Это уравнение годографа, и его решение имеет вид Если условие (5.8) выполнено, то $\lambda_1$ представляет собой функцию переменной $x$, монотонно убывающую от значения $\lambda_1=2\sqrt{\rho_0}$ до значения $\lambda_1=-2\sqrt{\rho_0}$. Опираясь на приведенные выше рассуждения, мы получили качественный вид картины разрушения плотины с примером образования ударной волны (см. рис. 12). Видно, что только в правой части возникает прорыв плотины, а слева мы имеем ударную волну. 6. ЗаключениеВ представленной работе мы получили и исследовали следующие решения уравнения (1.3): решение рода ноль, периодическое решение рода один, в котором фаза равна $\xi=x-V_{\mathrm{NLS}}t-\varepsilon V_{\mathrm{mKdV}}t$, и периодическое решение рода два. В пределе $m\to 1$ периодическое решение рода один вырождается в темный солитон (см. рис. 1). Мы обнаружили, что на распространение периодического решения рода один и темного солитона влияет параметр при члене высшего порядка (см. рис. 2 и рис. 3). Далее мы получили соответствующие уравнения Уизема для римановых инвариантов. Мы изучили случай, когда характеристические скорости $\Delta_1$ и $\Delta_2$ равны нулю, а полученные при этом значения римановых инвариантов $\lambda_1$ и $\lambda_2$ рассматривали как критические. Варьируя эти значения как параметры ступенчатых начальных данных, мы получили решения уравнения (1.3), описывающие четыре волны разрежения и пять ДУВ (см. рис. 5–8). Мы также рассмотрели столкновение двух ДУВ рода один при определенных начальных данных, т. е. точку, в которой начинает развиваться ДУВ рода два (см. рис. 9, 10). В конце работы мы обсудили задачу о разрушении плотины для уравнения (1.3) как важный пример физического использования модуляционной теории Уизема. В нашем случае разрушение плотины происходит только в правой ее части, а в левой части наблюдается ударная волна (см. рис. 12), что отличается от симметричного разрушения плотины в случе НУШ. Волну разрежения и ДУВ, возникающие при решении уравнений Уизема для НУШ выше третьего порядка, мы проанализируем в будущей работе. БлагодарностиАвторы хотели бы искренне поблагодарить профессора Юдзи Кодаму за его ценные предложения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiBaiZha24} |
|
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|