| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Обобщенные голографические фишчейн-модели Р. М. Яхиббаевa, Д. М. Толкачёвab a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия b Институт физики им. Б. И. Степанова НАН Беларуси, Минск, Беларусь
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924030048 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеБлагодаря развитию теории струн и квантовой теории поля идея голографии получила широкое распространение в современной физике. Дуализм AdS/CFT в его различных формах представляет собой ярчайший пример соответствия между режимом слабой константы связи в квантовой теории поля и сильным режимом в гравитации. В то же время прямое доказательство связи между теориями в объеме и на границе пока не найдено, и непосредственная связь между моделями, например, AdS$_5$ и CFT$_4$ остается неясной. В рамках интегрируемых моделей не так давно был представлен прямой вывод дуальности из первых принципов без суперсимметрии – дуальность между фишнет- и фишчейн-моделями [1]–[3]. Бискалярная фишнет-модель является особым пределом $\mathcal N=4$ суперсимметричной теории Янга–Миллса (SYM) в $d=4$, которая наследует в планарном пределе интегрируемость и конформность [4], [5]. Такая теория может быть получена с помощью $\gamma$-деформации $\mathcal N=4$ SYM-теории и взятия предела двойного масштабирования, в котором параметр деформации $\gamma$ удерживается большим, а константа Янга–Миллса $g_{\mathrm{YM}}$ удерживается малой [6]. Лагранжиан бискалярной фишнет-модели, таким образом, имеет вид [5]
$$
\begin{equation}
\mathcal L=N_{\mathrm c}\operatorname{Tr}(-\phi^\unicode{8224}\square\phi -\varphi^\unicode{8224}\square\varphi+(4\pi)^2\xi^2\phi^\unicode{8224}\varphi^\unicode{8224}\phi\varphi),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где оба скалярных поля $\phi$, $\varphi$ преобразуются по присоединенному представлению группы $SU(N_{\mathrm c})$, $\xi^2$ – константа связи, а $\square$ – даламбертиан. Фейнмановские диаграммы в планарном пределе такой модели образуют квадратную решетку интегралов. Эта модель в точности разрешима, как и соответствующая ей спиновая цепочка Гейзенберга [7]. В рамках подхода Бете–Солпитера можно вычислить весь спектр аномальной размерности и получить корреляционную функцию в любом пределе для константы связи [8], [9]. С другой стороны, условия, налагаемые на конформную размерность, можно интерпретировать как физические и, анализируя их, построить двойственную теорию для бискалярной фишнет-модели, так называемую фишчейн-модель, классический лагранжиан которой представи́м в следующем виде:
$$
\begin{equation}
L=\xi^2\sum_{i=0}^J\biggl(\frac{\dot X^2_i}{2} +\prod_{i=1}^J(-X_i\cdot X_{i+1})^{1/J}\biggr),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $X_i(t)$ – мировые координаты скалярной частицы $i$ на проективном световом конусе в пространстве $\mathbb R^{1,5}$. В работе Громова и Севера [2] было показано, как именно квантуется эта модель и как именно может быть установлена двойственность между фишчейн-моделью в AdS$_5$ и фишнет-моделью на границе CFT$_4$. Показано также, что возможно обобщение дуальности на более сложный случай фишнет-модели с соответствующей интегрируемой голографической моделью, включающей магноны и антимагноны [3]. Также полагается, что фишчейн-модель является квантованной версией нелинейной сигма-модели c AdS$_5$ таргет-пространством, однако связь фишчейна и сигма-моделей не является точно доказанной [2], [10]. В то же время существует естественное обобщение бискалярной модели на произвольные размерности [11], и данное обобщение также интегрируемо: также можно получить точную аномальную размерность и корреляционные функции. В рамках голографического принципа, конечно, было бы интересно показать дуальность между обобщенными фишчейнами и фишнет-моделями в произвольных размерностях. Интересно, что среди этих моделей есть неизотропная шестимерная фишнет-модель, соответствующая высокоэнергетическому пределу шестимерной $\mathcal N=(1,1)$ SYM-теории в планарном пределе [12]. В этом пределе теория конечна, и можно найти замкнутое выражение для амплитуды на массовой поверхности [13]. Кроме того, хорошо известно, что шестимерная $\mathcal N=(1,1)$ SYM-теория является эффективным низкоэнергетическим пределом теории струн, описывающим динамику D5-бран, поэтому получение дуальной модели для шестимерных фишнет-теорий представляется шагом к полному дуальному описанию высокоразмерных $\mathcal N=2$ SYM-подобных моделей. Ниже мы будем фокусироваться на шестимерных фишнет-теориях. Работа построена следующим образом. В разделе 2 дается введение в обобщенную бискалярную фишнет-модель в произвольной размерности и описываются ее основные особенности. В разделе 3 мы показываем, как получить голографическую фишчейн-модель, двойственную набору бискалярных фишнет-моделей. В разделе 4 мы переходим к приложениям, вычисляем спектры и проверяем справедливость дуальных моделей на некоторых примерах. В разделе 5 мы приводим прямое доказательство фишнет/фишчейн соответствия. 2. Фишнет-модели в произвольных размерностяхВ общем случае бискалярные модели в произвольном числе измерений могут быть записаны в виде лагранжиана [11], [12], [14]
$$
\begin{equation}
\mathcal L=N_c\operatorname{Tr}(\phi^\unicode{8224}(-\square)^\omega\phi +\varphi^\unicode{8224}(-\square)^{d/2-\omega}\varphi +\xi^2(4\pi)^{d/2}\phi^\unicode{8224}\varphi^\unicode{8224}\phi\varphi)
\end{equation}
\tag{3}
$$
c произвольным параметром изотропичности $\omega\in(0,d/2)$ и размерностью пространства $d$. В случае произвольных $d$, $\omega$ модель (3) является нелокальной. На квантовом уровне действие (3) не является полным и должно быть дополнено операторами следующего вида:
$$
\begin{equation}
\mathcal L_{dt}\sim\alpha_i(\xi) \sum_i\operatorname{tr}(O_2)\operatorname{tr}(\widetilde{O}_2),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $O_2$ и $\widetilde O_2$ – некоторые мономы, состоящие из $(\phi,\varphi)$ и их производных и сопряжений. Очевидно, введение такого рода контрчленов восстанавливает конформность модели настройкой параметра $\alpha_i(\xi)$, чтобы соответствующая ей бета-функция равнялась нулю (т. е. необходимо найти УФ-фиксированную точку [11]). В отличие от четырехмерного частного случая, данная модель не может быть выведена из какой-либо теории, известной на данный момент. Однако подобного рода $d$-размерные модели в планарном пределе также интегрируемы в соответствии с интегрируемостью спиновой цепочки $SO(1,d+1)$ [11]. Регулярная структура решетки фейнмановских интегралов позволяет изолировать интегральный оператор, который можно назвать производящим. Ядро этого оператора может быть выражено как [11]
$$
\begin{equation}
\widehat B=\prod_{i=1}^J\frac{\xi^2/\pi^{d/2}} {|\vec y_i-\vec y_{i+1}|^{d-2\omega}|\vec x_i-\vec y_i|^{2\omega}}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Этот интеграл можно рассматривать как оператор, действующий на решетку и добавляющий интегралы слой за слоем (см. рис. 1). Собственный вектор этого оператора (вектор на гильбертовом пространстве) называется волновой функцией конформной теории поля $\Psi$. В общем виде эта функция может быть определена как
$$
\begin{equation}
\Psi_\mathcal O=\langle\mathcal O_J(x_0)\operatorname{tr} [\varphi^\unicode{8224}(x_1)\dotsb\varphi^\unicode{8224}(x_J)]\rangle,
\end{equation}
\tag{6}
$$
причем $\mathcal O_J$ является локальным оператором, т. е. это просто ($J+1$)-точечная корреляционная функция. Эта функция может быть записана в виде, имеющем нулевой $U(1)$-заряд:
$$
\begin{equation}
\mathcal O_J=\operatorname{tr}[\partial^A\varphi(\phi^\unicode{8224}\phi)^B]+\dotsb,
\end{equation}
\tag{7}
$$
с нейтральной комбинацией функции $\phi$ и ее сопряжений. В планарном пределе такая корреляционная функция содержит диаграмму Фейнмана специального вида [8] – так называемый колесный граф, пример которого изображен на рис. 2. Явная форма волновой функции для случая взаимодействия двух частиц может быть зафиксирована конформной симметрией (см. приложение A), поэтому она зависит от собственных значений операторов дилатации $\Delta$ и спина $S$. Отметим, что генераторы конформной группы и производящий оператор $\widehat B$ коммутируют [5]. Собственные значения производящего оператора задаются следующим уравнением:
$$
\begin{equation}
\widehat B \circ \Psi_{\Delta,S}=h^{-1}_{\Delta,S}\Psi_{\Delta,S},
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $h^{-1}_{\Delta,S}$ является спектром модели. Подробности вычисления даны в приложении A, здесь же мы приведем явный вид выражения для спектра:
$$
\begin{equation}
h_{\Delta,S}=\frac{\Gamma(\omega)^2}{\Gamma(d/2-\omega)^2} \frac{\Gamma(d/4+S/2-\Delta/2)\Gamma(d/4-2\omega +S/2+\Delta/2)} {\Gamma(d/4+S/2+\Delta/2)\Gamma(d/4+2\omega+S/2-\Delta/2)}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Здесь и ниже мы ориентируeмся на целочисленные значения параметра деформации и размерности пространства. Например, для $d=4$ и $\omega=1$ можно получить известный результат [5]:
$$
\begin{equation}
h_{\Delta,S}^{-1}=\frac{1}{16}(-\Delta+S+2)(-\Delta+S+4)(\Delta+S-2)(\Delta+S),
\end{equation}
\tag{10}
$$
а также можно найти другой спектр для $d=6$ и $\omega=1$ [12]:
$$
\begin{equation}
h_{\Delta,S}^{-1}=\frac{1}{16}(-\Delta+S+3)(-\Delta+S+5)(\Delta+S-1)(\Delta+S+1).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Таким образом, можно сделать вывод, что спектры этих двух моделей идентичны с поправкой на сдвиг спина на единицу. Для $d=6$ и $\omega=2$ ситуация иная и спектр имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, h_{\Delta,S}^{-1}&=\frac{1}{256}(\Delta-S-3)(\Delta -S-5)(\Delta -S-7)(\Delta -S-9)\times{} \notag \\ &\qquad{}\times(\Delta +S-5)(\Delta +S-3)(\Delta +S-1)(\Delta+S+1), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
выглядящий как “квадрат” спектров типа (11). В рамках дуального описания, которое дано в последующих разделах, такой вид спектра будет более понятным. Как было отмечено выше, каждое действие оператора $\widehat B$ на $\Psi$ добавляет еще один слой к решетке, создавая геометрическую прогрессию, которая может быть формально просуммирована:
$$
\begin{equation}
1+\widehat B+\widehat B^2+\dotsb=\frac{1}{1-\widehat B}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Таким образом, выражение (13) позволяет записать точную полную четырехточечную корреляционную функцию в компактном виде:
$$
\begin{equation}
\biggl\langle x_1,x_2\biggl|\frac{1}{1-\widehat B}\biggr|y_1,y_2\biggr\rangle =\sum_S\int d\Delta\,\frac{1}{1-h^{-1}_{\Delta,S}} \langle x_1,x_2|\Psi_{\Delta,S}\rangle\langle\Psi_{\Delta,S}| y_1,y_2\rangle.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Действительно, уравнение, задающее полюсы в приведенном выше выражении, можно представить в виде Произведение в угловых скобках в (14) может быть преобразовано в конформный блок с соответствующей мерой интегрирования (его форма не очень важна для данного обсуждения, но ее можно найти, например, в [15]). Таким образом, конечным результатом после интегрирования по остаткам является корреляционная функция в привычном виде [16]: где $u$, $v$ – соответствующие конформные переменные, $C_{\Delta,S}$ – константа структуры, а $g_{\Delta,S}(u,v)$ – конформный блок, имеющий фиксированную форму [16]. Уравнение (15) для производящего оператора играет ключевую роль, поскольку с его помощью выбираются “физические состояния”, соответствующие аномальной размерности фишнет-модели. Оказывается, что, интерпретируя его как физическое условие, можно найти голографически двойственную картину.
3. Получение фишчейн-моделейКак было отмечено выше, условие (15), налагаемое на волновые функции конформной теории поля, можно интерпретировать как физическое. То есть операторное выражение (15) можно рассматривать как условия стационарности волновой функции. В этом можно убедиться следующим образом. Действуя на уравнение (15) даламбертианом $(-\square_i)^\omega$ и используя соотношения
$$
\begin{equation}
D(x-y)=\frac{\Gamma(d/2-\omega)}{4^\omega\pi^{d/2}\Gamma(\omega)} \frac{1}{((x-y)^2)^{(d-2\omega)/2}},
\end{equation}
\tag{18}
$$
можно заметить сходство с уравнением теории, обладающим инвариантностью относительно репараметризации по времени: причем гамильтониан можно отождествить с
$$
\begin{equation}
\widehat H=\prod_ip_i^{2\omega}-\prod_i\frac{4^\omega\xi^2}{((x_i-x_{i+1})^2)^\omega} \frac{\Gamma(\omega)}{\Gamma(d/2-\omega)},
\end{equation}
\tag{20}
$$
поскольку $p_x=-i\,\partial_x$ (если не оговорено отдельно, полагаем, что произведение ведется от 1 до $J$). Очевидно, этот гамильтониан с учетом уравнения (19) имеет нулевой спектр. Эта симметрия позволяет сформулировать модель в несколько ином виде. Чтобы убедиться в этом, обратимся к лагранжиану, который соответствует гамильтониану (20):
$$
\begin{equation}
L=\frac{2J\omega-1}{(2\omega)^{2J\omega/(2J\omega-1)}} \biggl(\frac{1}{\gamma}\prod_i\dot x_i^{2\omega}\biggr)^{1/(2J\omega-1)} +\gamma\prod_i\frac{4^\omega\kappa\xi^2}{((x_i-x_{i+1})^2)^\omega},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где вспомогательный параметр $\gamma$ преобразуется при $t\to f(t)$ как $\gamma\to\gamma/f'(t)$, а $\kappa$ представляет собой просто комбинацию гамма-функций. Можно зафиксировать параметр $\gamma$, варьируя по нему:
$$
\begin{equation}
S=2J\xi^{1/\omega}\kappa^{1/(2\omega)} \int dt\,\biggl(\prod_i\frac{\dot x_i^{2\omega}} {((x_i-x_{i+1})^2)^\omega}\biggr)^{1/(2J\omega)}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Здесь и далее мы предполагаем, что $\omega$ является целым или полуцелым числом. Известно, что конформная алгебра размерности $d$ совпадает с алгеброй $SO(1,d+ 1)$, а конформно-инвариантная величина размерности $d$ является скаляром $d+2$ на $SO(1,d+1)$. В этом отождествлении координата плоского пространства $x^{\mu=-1,0,\dots,n}$ отображается на проективный световой конус в пространстве $\mathbb R^{1,{d+1}}$, $x^\mu=X^\mu_i/X^+_i$, $X^+_i=X^0_i+X^{-1}_i$; связь, ограничивающая динамику частиц на световом конусе, задана как $X^2_i=0$. Выполнив такое вложение, можно найти действие типа Намбу–Гото для цепочки частиц, составляющих струну, или дискретизированной струны:
$$
\begin{equation}
S=2\xi^{1/\omega}\kappa^{1/(2\omega)}J \int dt\,\biggl(\prod_i \frac{\dot X_i^{2\omega}}{(-2X_i\cdot X_{i+1})^\omega}\biggr)^{1/(2\omega J)}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Легко видеть, что это действие в частном случае воспроизводит четырехмерный результат и соответствует голографическому принципу т’Хоофта. При этом форма самого действия полностью совпадает с найденной Громовым и Севером [1]. Действие (23) можно переписать в форме Полякова [1], [17]:
$$
\begin{equation}
L=\sum_i\alpha_i\frac{P^2_i}{2} -\prod_i(-\alpha_i X_i\cdot X_{i+1})^{-1/J}+\eta_iX_i^2,
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $\alpha_i$ и $\eta_i$ – множители Лагранжа. Первый множитель отвечает за глобальное калибровочное преобразование, а второй удерживает частицу на световом конусе. Далее необходимо зафиксировать калибровку, так как эти вспомогательные множители преобразуются в соответствии с симметриями действия. Их несколько: 1) конформная симметрия; 2) симметрия репараметризационного преобразования по времени; 3) трансляция вдоль длины цепочки $X_i\to X_{i+1}$; 4) зависящее от времени перемасштабирование за счет погружения $X_i\to g_i(t) X_i$, $\alpha_i\to g^2_i\alpha_i$, $\eta_i\to g^{-2}_i\eta_i$. После экстремизации действия по $\alpha_i$ необходимо выбрать $\alpha_i=1$, чтобы зафиксировать калибровочную симметрию фишчейна следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal L=2\prod_i(-X_i\cdot X_{i+1})^{1/J}=\dot X^2_k.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Это выражение можно представить как ограничение на динамику дискретизированной струны: плотность энергии вдоль этого отрезка струны равна нулю. Это условие можно интерпретировать как связь Вирасоро. Существует еще одно ограничение, которое можно зафиксировать как $\mathcal L=m^2$ в силу репараметризации времени $t\to f(t)$ и соответствующего масштабирования $X_i(t)\to X_i(t)f^{\prime-1/2}$, $\eta_i\to\eta_i f^{\prime 2}$. Действие (23) имеет точно такую же форму, как и действие для шестимерной фишнет-теории, поэтому наследует все ее свойства, будучи определенной в пространстве размерности $D=d+2$. Из самой формы лагранжиана непосредственно следует форма конформной размерности $\Delta\sim\xi^{1/\omega}$ для $\xi\gg 1$, которая может быть найдена из соотношения (9). Это напоминает квазиклассический предел в квантовой механике, только место константы Планка здесь занимает обратная константа связи в соответствующей степени. Предвосхищая квантование этой модели, удобно ввести инвариантную плотность заряда $SO(1,d+1)$ и выразить полученные величины в соответствии с этим инвариантом. Глобальный заряд $SO(1,d+1)$ определяется как $Q^{MN}=\xi^{1/\omega}\sum_iq^{MN}_i$, а квадратные скобки обозначают коммутацию индексов. Поскольку теория конформна на классическом уровне, мы можем выбрать масштабную размерность $Q^{-1,0}=i\Delta$ и лоренцевские спины в виде $Q^{1,2}=S_1$, $Q^{3,4}=S_2$.Уравнения движения в терминах плотности заряда можно переформулировать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\dot q^{MN}_i=\frac{\mathcal L}{2}(j^{MN}_{i+1}-j^{MN}_i),
\end{equation}
\tag{27}
$$
где плотность тока1
$$
\begin{equation}
j^{MN}_i=\frac{X_i^{[M}\cdot X^{N]}_{i+1}}{X_i\cdot X_{i+1}}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Существует также интересная зависимость между плотностью заряда и плотностью тока: Используя два последних уравнения, можно найти соотношение нулевой кривизны и соответствующие пары Лакса для доказательства интегрируемости классического фишчейна [1]. Условия связей, налагаемые на систему из цепочки частиц, можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
C_X=X_i^2,\qquad C_P=\frac{1}{2}(P_i^2-m^2),\qquad C_O=X_i\cdot P_i,
\end{equation}
\tag{29}
$$
при этом $m^2=\mathcal L$ является постоянной в соответствующей калибровке. Коммутационная алгебра может быть записана в терминах скобок Дирака, так как последние два условия являются связями второго рода. В терминах плотностей зарядов можно легко найти гамильтониан в инвариантной форме, удобной для использования и квантования [2].
4. Квантование фишчейн-моделейКвантование модели в произвольном числе измерений осуществляется в полном соответствии с четырехмерным случаем [2] с оговоркой, что необходимо сделать замену $\xi\to\xi^{1/\omega}$:
$$
\begin{equation}
[\widehat X^M_m,\widehat P^N_n] =\frac{i\delta_{mn}}{\xi^{1/\omega}} \biggl[\eta^{MN}-\frac{1}{m^2}\widehat P^M_k\widehat P^N_k\biggr],
\end{equation}
\tag{30}
$$
$$
\begin{equation}
[\widehat X^M_m,\widehat X^N_n] =\frac{i\delta_{mn}}{\xi^{1/\omega}} \frac{[\widehat P_k^M,\widehat X_k^N]}{m^2}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
В этих выражениях отражен тот факт, что в самом начале мы положили, что в данной модели $1/\xi$ аналогична константе Планка. Такие коммутаторы выглядят не похожими на канонические коммутационные соотношения, поэтому нам необходимо осуществить замену
$$
\begin{equation}
\widehat X^M_i=-\frac{1}{m^2\xi^{1/\omega}}\widehat P^{M}_i +\widehat Y^M_i-\frac{1}{m^2}(\widehat P_i\cdot\widehat Y_i)\widehat P^M_i,
\end{equation}
\tag{33}
$$
которая позволяет избавиться в (30)–(32) от масс в знаменателях, так что отсюда имеем более удобные коммутаторы
$$
\begin{equation}
[\widehat Y^M_m,\partial_{Y,n}^N] =\frac{i}{\xi^{1/\omega}}\eta^{MN}\delta_{mn},\qquad [\widehat Y^M_m,\widehat Y_n^N]=0,
\end{equation}
\tag{34}
$$
где $Y_i$ – координата в пространстве AdS$_{D-1}$, которое возникает как следствие квантования модели, т. е. дискретизированная струна на классическом уровне определена на световом конусе, а на квантовом уровне ее динамика определена уже на AdS (собственным значением $\widehat Y$ является просто $Y$, так что $Y_i$ – координаты частиц фишчейна на гиперболоиде), а $\partial_{Y,n}^N$ – сопряженный к $\widehat Y$ импульс, выраженный в координатном виде как производная. Данные операторы действуют на векторы гильбертова пространства: такие векторы в координатном представлении – это дуальные волновые функции конформной теории поля $\widehat\Psi(\{Y_i\})$. Прямое доказательство соответствия $\widehat\Psi(\{Y_i\})$ и $\Psi(\{x_i\})$ дано в следующем разделе. Рассмотрим в деталях, чему после квантования соответствуют условия связи. В первую очередь, обращает на себя внимание возникновение пространства AdS$_{D-1}$, которое как раз появляется вследствие того, что коммутатор по координатам не равен нулю: $C_X=\widehat X^2\sim R^2=\mathbf C_{2,j}/(m^2\xi^{2/\omega})$, причем $\mathbf C_{2,j}$ является квадратичным оператором Казимира:
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf C}_{2,j} =-\frac{1}{2}\xi^{2/\omega}\operatorname{tr}(\widehat q^2).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Собственное значение квадратичного оператора Казимира в объемлющем пространстве для произвольной $\mathfrak{so}(1,d+ 1)$-алгебры задается как
$$
\begin{equation}
\mathbf C_{2,j}=\Delta_i(\Delta_i-D+2)\frac{(D-2)^2}{16},
\end{equation}
\tag{36}
$$
причем $\Delta_i$ – каноническая размерность скалярных частиц (полей в дуальной фишнет-картине). Например, в случае $D=6$ получается $\mathbf C_{2,j}=-3$ для скалярных классических частиц, для $D=8$ он равен $-45/4$ и т. д. Причем аналог момента импульса в $SO(1,d+1)$ теперь можно представить как
$$
\begin{equation}
\hat q^{M N}_k=\frac{i}{\xi^{1/\omega}} (\widehat Y^M_k,\partial_{Y,k}^N-\widehat Y^N_k\,\partial_{Y,k}^M),
\end{equation}
\tag{37}
$$
где $\partial_{Z,i}^N$ – соответствующая производная по координатам $\widehat Z_i$. Связь $C_O$ также подвергается модификации, ведь непосредственное вычисление дает
$$
\begin{equation}
\widehat X\cdot\widehat P \sim\frac{c_j-D}{i\xi^{1/\omega}},
\end{equation}
\tag{38}
$$
$$
\begin{equation}
\widehat P\cdot\widehat X \sim\frac{c_j-1}{i\xi^{1/\omega}},
\end{equation}
\tag{39}
$$
где константу $c_j$ удобно выбрать равной единице. Связь второго рода $C_P$ на квантовом уровне может быть отождествлена с уравнением [2]
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf C}_{2,i} \circ\widehat\Psi=\mathbf C_{2,i}\widehat\Psi,
\end{equation}
\tag{40}
$$
так как это уравнение аналогично уравнению Клейна–Гордона–Фока в пространстве AdS:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\xi^{2/\omega}}\square_{\mathrm{AdS}}\widehat\Psi(Y_i) =m^2\widehat\Psi(Y_i),
\end{equation}
\tag{41}
$$
так что роль массы скалярной частицы в дуальном пространстве играет собственное значение оператора Казимира [2]. Можно также заметить, что последнее уравнение переписывается в явном виде [2]:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\xi^{2/\omega}R_j^2}((R_j\,\partial_{R_j})^2 +dR_j\,\partial_{R_j}-\mathbf C_{j,2})\Psi =-m^2\widehat\Psi(Y_i),
\end{equation}
\tag{42}
$$
откуда очевидно, что можно избавиться от зависимости от радиуса пространства AdS: где функция $f(R)$ может быть получена из уравнения (42) в виде Таким образом, получается, что координата $Y$ содержит избыточную степень свободы, связанную с присутствием радиуса пространства AdS$_{D-1}$ – $R_j$, так что можно избавиться от этой зависимости, введя новую координату $Y_i=Z_iR_i$, которая удовлетворяет соотношению $Z_i^2=-1$. Несмотря на то что величину (37) формально можно отождествить с гамильтонианом классической фишчейн-модели, его не получится использовать для определения гамильтониана на квантовом уровне, так как $\hat q^{M N}_i$ не является неприводимым симметричным и бесследовым тензором. Именно поэтому из $(\hat{q}^2)^{MN}$ имеет смысл вычесть члены, мешающие антисимметризации и бесследовости матрицы:
$$
\begin{equation}
{:}\,\hat q_{j}^2\kern1pt{:}^{N M}\equiv(\hat q_j^2)^{N M} -\frac{id}{2\xi^{1/\omega}}\hat q_j^{N M} -\mathbf C_{2,j}\frac{d^2}{8D\xi^{2/\omega}}\eta^{NM}.
\end{equation}
\tag{45}
$$
В таком виде гамильтониан можно считать определенным непротиворечиво:
$$
\begin{equation}
\widehat H_q=\operatorname{tr} \biggl(\prod_i\biggl[\frac{{:}\,q^2_i\kern1pt{:}}{2}\biggr]_\omega\biggr)-1.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Индекс $\omega$ обозначает число сверток операторов заряда $SO(1,d+1)$. Такой вид “нормально-упорядоченного” оператора позволяет достаточно просто считать спектры и непосредственно доказать дуальность моделей. Действуя этим оператором на $\widetilde\Psi$: можно получить описание динамики всей модели. Однако стоит уточнить, что условие (47), налагаемое на волновую функцию, нарушает унитарность: т. е. и в данном случае спектр будет содержать мнимые степени свободы (несмотря на то, что оператор $H_q$ является самосопряженным). 4.1. Получение спектра конформной размерностиРассмотрим, как получаются спектры при $J=2$ непосредственно из уравнения (47). Дуальную волновую функцию можно зафиксировать с помощью конформной симметрии в наиболее общем виде следующим образом [2]:
$$
\begin{equation}
\widehat\Psi_{\Delta,S}(Z_1,Z_2) =\frac{(Z_1\mathcal N/(Z_1\cdot\mathcal X)) -(Z_2\mathcal N/(Z_2\cdot\mathcal X))^S} {(Z_1\cdot\mathcal X)^{(\Delta-S)/2}(Z_2\cdot\mathcal X)^{(\Delta-S)/2}} F\biggl(Z_1\cdot Z_2,\ln\frac{Z_1\cdot\mathcal X}{Z_2\cdot\mathcal X}\biggr),
\end{equation}
\tag{48}
$$
где $\mathcal X_A$ и $\mathcal N_A$ – некоторые нуль-векторы в пространстве AdS$_{D-1}$. Построение данной волновой функции очень напоминает вид (П.3) (см. ниже). Дуальная волновая функция также должна удовлетворять условию связи
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathbf C}_{2,i} \circ \widehat\Psi_{\Delta,S}(Z_1,Z_2) =\mathbf C_2\widehat\Psi_{\Delta,S}(Z_1,Z_2),\qquad i=1,2.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Два условия (49) могут быть переписаны с помощью взятия их суммы и разности в следующем виде:
$$
\begin{equation}
2(\gamma+\operatorname{ch}\kappa)F^{(1,1)}+(D-2-\Delta+S)F^{(0,1)} -(\Delta-S)\operatorname{sh}\kappa F^{(1,0)}=0,
\end{equation}
\tag{50}
$$
$$
\begin{equation}
(\gamma^2-1)F^{(2,0)}+F^{(0,2)}+F^{(1,0)} (\gamma(D-\Delta +S-1)+\operatorname{ch}\kappa(S-\Delta))-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad{}-2\operatorname{sh}(\kappa)F^{(1,1)} +\frac{1}{4}F(\Delta(-2D+\Delta+4)+2S(D-\Delta-2)+4\mathbf C_2+S^2)=0,
\end{equation}
\tag{51}
$$
где $F=F(\gamma,\kappa)$, $\gamma=Z_1\cdot Z_2$ и $\kappa=\ln(Z_1\cdot\mathcal X/(Z_2\cdot\mathcal X))$. Эти уравнения движения однозначно описывают поведение частиц как на границе пространства AdS$_{D-1}$, так и в мировом объеме. К несчастью, решить их не удается, однако можно достаточно легко найти решение около границы (в пределе, где должна включаться фишнет-модель). В этом пределе, где $\gamma\to\infty$ и $\kappa$ фиксирована как постоянная, можно заметить из (50), что функция $F$ должна себя вести как $\sim 1/\gamma$. После соответствующей подстановки в (51) можно получить
$$
\begin{equation}
(\gamma\,\partial_\gamma+\vartheta_1) (\gamma\,\partial_\gamma+\vartheta_2)F(\gamma)=0,
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $\vartheta_i$ – некоторая сумма $D$, $S$, $\Delta$ и $\mathbf C_2$. Для $d=6$ и $\omega=1$ имеем
$$
\begin{equation}
\vartheta_1=-3-\Delta+S,\qquad \vartheta_2=15-\Delta+S.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Подставляя поведение $F\sim\gamma^{-\vartheta_i}$ в гамильтониан, удерживая $\gamma$ большим, получаем
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{(-\Delta+S+3)(-\Delta+S+5)(\Delta+S-1)(\Delta+S+1)}{16\xi^4}\biggr) \widehat\Psi_{\Delta,S}=\widehat\Psi_{\Delta,S}.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Получившийся спектр полностью совпадает с результатом (11). Так что определенная нами фишчейн-модель на AdS$_7$ действительно является голографической копией бискалярной фишнет-модели. Используя уравнения (50) и (51), можно переписать гамильтониан для фишчейн-модели как
$$
\begin{equation}
\widehat H_q=\operatorname{tr} \biggl(\,\prod_{i=1}^J\biggl[\frac{{:}\,q^2_i\kern1pt{:}}{2}\biggr]^2\biggr)-1
\end{equation}
\tag{55}
$$
в соответствии с общей процедурой. Данный гамильтониан также воспроизводит спектр соответствующей фишнет-модели:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{256\xi^2}((\Delta-S-3)(\Delta-S-5)(\Delta-S-7)(\Delta-S-9)\times{} \notag \\ &\qquad{}\times(\Delta+S-5)(\Delta+S-3)(\Delta+S-1)(\Delta+S+1)) \widehat\Psi_{\Delta,S}=\widehat\Psi_{\Delta,S}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{56}
$$
Так же была проверена модель, дуальная фишнет-модели, с параметрами $d=6$, $\omega=3/2$, так что соответствующий квантовый фишчейн должен иметь гамильтониан вида
$$
\begin{equation}
H_q\sim\frac{1}{8}\operatorname{tr}({:}\,q_1^2\kern1pt{:}\;{:}\,q_1{:}\,\cdot\,{:}\,q_2\kern1pt{:}\;{:}\,q_2^2\kern1pt{:})-1.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Спектры получаются идентичными. Таким образом, на достаточно нетривиальных примерах показано соответствие фишнет- и фишчейн-моделей.
5. Доказательство соответствияНесмотря на то что соответствие было проверено на двухточечных спектрах, можно было бы доказать голографическое соответствие более строго. По аналогии с введением дуальной волновой функции необходимо ввести источник в мировом объеме и связать его с граничной моделью, при этом такая связь должна удовлетворять условиям (49), а также условию конформной симметрии, т. е. дуальная волновая функция может быть выражена как
$$
\begin{equation}
\widehat\Psi_{\mathcal O}(\{Z_i\}) =\int\,\prod_i\biggl(-\frac{d^dx_i}{(2\pi)^{d/2}(Z_i\cdot\mathcal X_i)^{\mathbf C_2}} \Psi_{\mathcal O}(\{x_i\})\biggr),
\end{equation}
\tag{58}
$$
где $\mathcal X_i$ – нуль-вектор, компоненты которого зависят от $x_i$, $\{x_i\}$ обозначает весь набор координат $i=1,\dots,J$ и нижние индексы волновые функции конформной теории поля означают, что рассматривается корреляционная функция с произвольным оператором $\mathcal O$, введенным в разделе 2. Собственное значение оператора обозначено вновь как $\mathbf C_2$, оно играет роль массы в “уравнении движения”, знаменатель обеспечивает выполнение уравнения движения $(Z_i\cdot\mathcal X_i)^{-\mathbf C_2}$ и может быть понят как пропагатор типа “балк–граница” [2]. Следующим пунктом доказательства соответствия является формулировка интегралов в $SO(1,d+1)$-инвариантных терминах. Меру интегрирования в ковариантном виде можно переписать как [19] что соответствует интегрированию на проективном световом конусе в пространстве $\mathbb R^{1,d+1}$ [2]. То есть $SO(1,d+1)$ инвариантная мера может быть записана как
$$
\begin{equation}
\lim_{\Lambda\to\infty}\frac{1}{2\Lambda} \underset{-e^\Lambda<X^+<e^\Lambda} \int \biggl(-\frac{d^dX\delta(X^2)}{(4\pi)^{d/2}} \frac{f(X/X^+)}{X^+(Z\cdot\mathcal X)^{\mathbf C_2}}\biggr) =\int\,D^dX\frac{f(X/X^+)}{X^+(Z\cdot\mathcal X)^{\mathbf C_2}},
\end{equation}
\tag{59}
$$
где $X^+$ – координата светового конуса, $\Lambda$ – параметр обрезания. С помощью такой процедуры можно непосредственно построить дуальную волновую функцию. В балке имеем
$$
\begin{equation}
\widehat\Psi_{\mathcal O}(\{Z_i\}) =\int\,\prod_i\biggl(-\frac{D^{d+2}X_i}{(2\pi)^{d/2}(Z_i\cdot\mathcal X_i)^{\mathbf C_2}} \psi_{\mathcal O}(\{X_i\})\biggr),
\end{equation}
\tag{60}
$$
где подынтегральное выражение
$$
\begin{equation}
\psi_{\mathcal O}(\{X_i\}) =\frac{\Psi_{\mathcal O}(\{\vec X_i/X_i^+\})}{X^+_1\dots X^+_J}.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Так, становится очевидным, что дуальная волновая функция может быть переписана в терминах координат $D$-мерного пространства. Далее мы обратим производящий оператор (17), (18) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathbf B^{-1}=\prod_i|x_i-x_{i+1}|^{2\omega}\prod_j \frac{(-\square_j^{(d)})^\omega}{2\xi^2}.
\end{equation}
\tag{62}
$$
Снова ограничим себя целочисленными параметрами $\omega$ (либо $\omega=d/4$) и поглотим $\kappa$-фактор. С помощью представления (60) можно показать, что производящий оператор и след квадрата плотности заряда группы $SO(1,d+1)$ идентичны друг другу. Погружая $d$-размерный даламбертиан в пространство размерности $D=d+2$, обнаруживаем, что $\square^{(D)}=\square^{(d)}-\partial_{X_+}\partial_{X_-}$, так что легко показать, что выполняется
$$
\begin{equation}
\int\prod_i\frac{d^dx_i}{(Z_i\cdot\mathcal X_i)^{\mathbf C_2}} \mathbf B^{-1} \circ \Psi(\{x_i\}) =\int\prod_i\frac{D^dX_i}{(Z_i\cdot\mathcal X_i)^{\mathbf C_2}} \widetilde{\mathbf B}^{-1} \circ \psi(\{\vec X_i/X^+_i\}),
\end{equation}
\tag{63}
$$
причем обращенный производящий оператор, действующий на координатах $X_i$, дается как
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathbf B}^{-1}=\prod_i(X_i\cdot X_{i+1})^\omega \prod_j\frac{(\square_j^{(D)})^\omega}{2\xi^2}.
\end{equation}
\tag{64}
$$
Из формулы (64) видно, как аномальная размерность действия $\Delta$ ведет себя при больших константах связи. Обнаруживая, что действие оператора $ \widetilde{\mathbf B}^{-1}$ соответствует нормально упорядоченному действию оператора следа квадрата $\mathbf q_i$, действующего на $X_i$, можно заключить, что
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr}\prod_i\biggl(\frac{:\mathbf q_i^2:}{2}\biggr)^\omega \simeq\prod_i(X_i\cdot X_{i+1})^\omega\prod_j \frac{(-\square_j^{(D)})^\omega}{2\xi^2}=\mathbf B^{-1},
\end{equation}
\tag{65}
$$
т. е. эти два оператора могут быть отождествлены, так как допустимо выражение
$$
\begin{equation}
\mathbf{\hat q}_i^{MN}=\widehat X^M_i\widehat K^N_i-\widehat X^M_i\widehat K_i^N,
\end{equation}
\tag{66}
$$
где $K$ – оператор, действующий на координатах $X_i$,
$$
\begin{equation*}
\widehat K_{M,i}=-\frac{i}{\xi^{1/\omega}}\, \frac{\partial}{\partial X^M_i},
\end{equation*}
\notag
$$
так что нормально упорядоченный оператор $:\mathbf q_i^2:$ может быть определен, как в (45), с соответствующими операторами $X$ и $K$. Из тождества (65) очевидно, что
$$
\begin{equation}
\int\prod_{i=1}^J\frac{D^dX_i}{-(2\pi)^{d/2}(Z_i.X_i)^{\mathbf{C}_2}}\hat{\mathbf q}_i \psi_{\mathcal O}(\{X_i\}) =\hat q_i\int\prod_{i=1}^J\frac{D^dX_i}{-(2\pi)^{d/2}(Z_i.X_i)^{\mathbf{C}_2}} \psi_{\mathcal O}(\{X_i\}),
\end{equation}
\tag{67}
$$
где $q_i$ действует только на $Z_i$-координаты, следовательно,
$$
\begin{equation}
\int\prod_{i=1}^J\frac{D^dX_i}{-(2\pi)^{d/2}(Z_i.X_i)^{\mathbf{C}_2}} \widetilde{\mathbf B}^{-1}\psi_{\mathcal O}(\{X_i\}) =(\widehat H_q+1)\widehat\Psi(\{Z_i\}).
\end{equation}
\tag{68}
$$
Данное выражение подтверждает идентичность двух способов задания операторов, т. е. дуальность доказана. Мы увидели, что оператор $B$, действующий на координатах $x_i$, эквивалентен оператору $q^{MN}_i$, действующему на координатах $Z_i$. Остается только построить в явном виде норму на гильбертовом пространстве для двойственной волновой функции фишнета. Как отмечалось в разделе 1, волновая функция может быть определена в виде (6), поэтому норма состояний вне массовой поверхности (“длина вектора”) может быть выражена в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\langle\Psi_{\mathcal{\widetilde O}}|\Psi_{\mathcal O}\rangle =\int\prod_{i=1}^J\frac{d^dx_i}{(2\pi)^{d/2}} \Psi^\unicode{8224}_{\widetilde{\mathcal O}}(\{x_i\}) \prod_{j=1}^J(-\square_j)^\omega\Psi_{\mathcal O}(\{x_i\}).
\end{equation}
\tag{69}
$$
В терминах $d$-мерных координат она может быть переписана в виде
$$
\begin{equation}
\langle\Psi_{\widetilde{\mathcal O}}|\Psi_{\mathcal O}\rangle =\int\prod_{i=1}\frac{D^dX_i}{(2\pi)^{d/2}} \Psi^\unicode{8224}_{\widetilde{\mathcal O}}(\{X_i\}) \prod_{j=1}^J(-\square_j)^\omega\Psi_{\mathcal O}(\{X_i\}).
\end{equation}
\tag{70}
$$
Таким образом, после такого переопределения мы можем найти норму для волновой функции фишчейна
$$
\begin{equation}
\langle\widehat\Psi_{\widetilde{\mathcal O}}|\widehat\Psi_{\mathcal O}\rangle =\int_{Z_i^+<\Lambda_i}\prod_{i=1}^J\frac{d^{d+1}Z_i}{(2\pi)^{d/2}} \widehat\Psi^\unicode{8224}_{\widetilde{\mathcal O}}(\{Z_i\}) \prod_j(\nabla^\unicode{8224}_{j,M}\nabla_j^M+\mathbf C_{2,j})^\omega \widehat\Psi_{\widetilde{\mathcal O}}(\{Z_j\})
\end{equation}
\tag{71}
$$
с мерой интегрирования $d^{d+1}Z_i=d^{d+2}Z_i\delta(Z_i^2-1)$ на единичном радиусе пространства AdS и с дифференциальным оператором
$$
\begin{equation}
\nabla_{i,M}=\frac{\partial}{\partial Z_i^M}+Z_{i,M} \biggl(Z_i\cdot\frac{\partial}{\partial Z_i}\biggr),
\end{equation}
\tag{72}
$$
которая является просто ковариантной производной на пространстве AdS$_{d+1}$. Таким образом, поведение нормы волновых функций в объеме AdS точно такое же, как и в работе [2].
6. ВыводыВ настоящей статье мы обобщили результаты работ [1], [2] по голографическим фишчейнам на случай произвольных размерностей и общего вида взаимодействия. Мы также обнаружили, что вид масштабирующей размерности на классическом уровне для коррелятора в фишчейн-модели позволяет провести параллели с голографическим принципом т’Хоофта. На квантовом уровне мы наблюдали то же самое: возникает фиксированный радиус пространства AdS при квантовании фишчейна, пропорциональный собственному значению квадратичного оператора Казимира. Голографическая дуальность доказывается достаточно легко: она полностью основана на свойствах производящего оператора и квантованной плотности заряда группы $SO(1,d+1)$. Нам также удалось непосредственно получить спектр неизотропной решетки в шестимерии из фишнет-модели, а также из фишчейн-модели. Удивительно, но фишчейн-модель проходит тесты достаточно хорошо, воспроизводя все спектры. Мы убедились, что фишчейн-модель является неунитарной теорией и тахионные состояния в ней обнаруживаются по появлению результирующих спектров на квантовом уровне благодаря аналогу условия периодичности в теории замкнутых струн, вытекающему из ограничения (19). Интересно было бы посмотреть, как вписывается в эти модели шестимерная теория с гексагональной и треугольной структурой фейнмановских диаграмм в плоском пределе, введенная Замолодчиковым [7]. Существует также множество возможностей, по какому пути пойти при использовании многомерных фишчейн-моделей. Перечислим их более подробно. Существует предположение, что такая модель [10], [20] в непрерывном пределе $J\to\infty$ должна модифицироваться в нелинейную сигма-модель в пространстве AdS. Уравнения плотности тока фишчейн- и сигма-моделей внешне похожи, а уравнения термодинамического анзаца Бете [10] для четырехмерной фишнет-модели имеют в термодинамическом пределе вид, аналогичный сигма-модели в AdS, однако доказательство того, что сигма-модель в пространстве AdS является фишнет-моделью в непрерывном пределе, представляется интересной задачей. Такое доказательство открыло бы путь к прямому квантованию сигма-моделей и исследованию более сложных струнных моделей [21]. Также любопытной задачей является рассмотрение фишчейн-моделей, включающих фермионные поля (фишнет-модели с фермионами широко представлены и подробно изучены в литературе, см., например, [22], [23]), или, тем более, изучение фишчейн-моделей, обладающих суперсимметрией. Представляется чрезвычайно плодотворным рассмотрение модели Садчева–Йе–Китаева, поскольку она похожа на одномерную бискалярную фишнет-модель [24]. Можно было бы вывести дуальные ей фишчейн-аналоги, так как соответствие AdS$_2$/CFT$_1$ хорошо изучено [24]. Отметим также, что для $d=1$ и $\omega=1/4$ в (9) фишчейн-модель имеет очень похожий спектр. Можно найти соответствующую фишчейн-модель и сравнить ее с фишчейном модели Садчева–Йе–Китаева, поскольку они, по-видимому, близки друг другу благодаря изоморфизму между группами $SO(2,1)$ и $PSL(2,R)$. Существуют также низкоразмерные модели, определяемые моделями спиновых цепочек, например теория Липатова в лидирующем пределе, для которой также могут быть получены дуальные модели [20]. Можно ожидать, что их дуальное описание будет более сложным, но также и более полезным для изучения квантовой хромодинамики. Приложение. Спектр неизотропной бискалярной фишнет-моделиСоотношение “звезда-треугольник” [25] дается следующим образом:
$$
\begin{equation}
\int\,d^dx_0x_{01}^ax_{02}^bx_{03}^c =\pi^{d/2}\frac{\Gamma(a/2+d/2)\Gamma(b/2+d/2)\Gamma(c/2+d/2)} {\Gamma(-a/2)\Gamma(-b/2)\Gamma(-c/2)} x^{-a-d}_{12}x^{-b-d}_{23}x^{-c-d}_{13},
\end{equation}
\tag{П.1}
$$
т. е. при $x_3\to\infty$ выражение упрощается и приводится к виду
$$
\begin{equation}
\int\,d^dx_0x_{01}^ax_{02}^b =\pi^{d/2}\frac{\Gamma(a/2+d/2)\Gamma(b/2+d/2)\Gamma(-a/2-b/2-d/2)} {\Gamma(-a/2)\Gamma(-b/2)\Gamma(a/2+b/2+d)}x_{12}^{a+b+d}.
\end{equation}
\tag{П.2}
$$
Тогда мы можем использовать это тождество в таком виде для получения спектра волновой функции для $J=2$. Конформная симметрия фиксирует форму волновой функции фишнет-модели следующим образом:
$$
\begin{equation}
\Psi_{S,\Delta,x_0}(x_1,x_2) =\frac{x_{12}^{\Delta-S-d+2\omega}}{x_{01}^{(\Delta-S)/2}x_{02}^{(\Delta-S)/2}} \biggl(2\frac{(nx_{02})}{x_{02}^2}-2\frac{(nx_{01})}{x_{01}^2}\biggr)^S.
\end{equation}
\tag{П.3}
$$
Эта волновая функция играет роль собственного вектора оператора построения графа. Поэтому собственные значения оператора могут быть определены следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal H \circ \Psi_{S,\Delta,x_0}=h_{\Delta,S}^{-1}\Psi_{S,\Delta,x_0},
\end{equation}
\tag{П.4}
$$
так что производящий оператор задан как
$$
\begin{equation}
\mathcal H=\int d^dx_1\,d^dx_2\,\frac{1}{x_{12}^{4\omega}x_{13}^{d-2\omega}x_{24}^{d-2\omega}}.
\end{equation}
\tag{П.5}
$$
Инвертируя интеграл относительно точки $x_0$, используя соотношения “звезда-треугольник” [8], [11], можно легко определить спектр произвольной бискалярной фишнет-модели:
$$
\begin{equation}
h_{\Delta,S}=\frac{\Gamma(\omega)^2}{\Gamma(d/2-\omega)^2} \frac{\Gamma(d/4+S/2-\Delta/2)\Gamma(d/4-2\omega+S/2+\Delta/2)} {\Gamma(d/4+S/2+\Delta/2)\Gamma(d/4+2\omega+S/2-\Delta/2)}.
\end{equation}
\tag{П.6}
$$
В пределе $\omega=d/4$ результат работы [11] восстанавливается. БлагодарностиАвторы выражают благодарность А. Онищенко и Ф. Левковичу-Маслюку за комментарии, обсуждение и критику. Авторы также благодарны Г. Корчемскому, С. Федоруку и Н. Громову за существенные разъяснения и комментарии. Также авторы благодарны Д. И. Казакову за помощь при подготовке работы. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{YahTol24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|